§10.1分式的概念
分式知识点总结
分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
）4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为（），其中A、B、C是整式注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
10.1 分式
y 2x + 3
3x + 2 ( x + 1)(x 1)
例2、求分式 3 a 的值
a+2
(1) a=-1 (2)a=3 (3)a=-2
解：1）当a=-1 时，
3 a 3 3 2）当a=3时， 0 a + 2 3+ 2
3）当a=-2时，
3 (1) 3 a 4 ( 1 ) + 2 a+2
3 a 分式 中分母的值为0，则分式无意义。 a+2
做一做 1 5(1)、当a=4时，求代数式a-3的值为_____; 求代数式a+2的值为_____; 6 1
求分式
a 3 a + 2
a 3 6 的值为________ 。 a + 2
(2)、当a=-2时，你可以求出分式
的值吗？
解：不能。因为当a=-2时，分式的分母的值为0， 则分式无意义。 a 3 (3)、当a= 3时，求分式 的值。 a+2 a3 33 0 解：当a=3时， 0 a + 2 3+ 2 5
分式
A B
Ｂ中？若不是， 请说明理由。
×× √ × √ √
（1） （2） （3）
5 , 3
b , 2 , 2a+b, x + 1 , 2 4x b
（4）
（5）
a b
(6)
2、下列代数式中，哪些是分式？
2 y
x y 2
x + xy x
2
x +1 2
2x + 4 例3、x取什么值时，分式 （1）无意义， x 1
（2）有意义？（3）值为零。 解：由分母x-1=0，得 x=1，所以 x2 （1）当x =1时，分式 无意义 2x 3 x2 （2）当x ≠1时，分式 有意义 2x 3 （3）由分子2x+4=0，得 x=-2，所以当x =-2 x2 时，分式 2 x 3的值为零。 如果分母为0，
分式的概念课件
将分数转换为小数是通过除法实现的，例如，$frac{2}{3} = 0.overline{6}$；将小数转换为分数是通 过乘以其倒数或将小数表示为两个整数的比值实现的，例如，$0.333... = frac{1}{3}$。
04
分式的应用
物理中的分式
总结词
物理中的分式主要用于描述和解决与速度、 加速度、功率等相关的物理问题。
分式的概念ppt课件
• 分式的定义 • 分式的基本性质 • 分式的简化 • 分式的应用 • 分式的注意事项
01
分式的定义
什么是分式
总结词
分式是数学中一种基本的代数式，表 示两个整式的商。
详细描述
分式由分子和分母两部分组成，分子 是整式，分母也是整式，并且分母不 为零。例如，$frac{x^2}{y}$是一个分 式，其中$x^2$是分子，$y$是分母。
通分
总结词
通分是将两个或多个分式化为同 分母的过程，以便进行加减运算 。
详细描述
通分是将分母不同的分式化为具 有相同分母的分式的过程。例如 ，将分式$frac{2}{3}$和 $frac{3}{5}$通分为 $frac{10}{15}$和$frac{9}{15}$。
分数和小数的转换
总结词
将分数转换为小数或将小数转换为分数是常见的数学操作，有助于理解和应用分式的概念。
详细描述
在物理学中，分式经常被用来表示和解决与 速度、加速度、功率等相关的物理问题。例 如，在计算物体的运动速度和加速度时，我 们通常使用分式来表示物体的位移与时间的 关系。此外，在电路分析中，分式也常被用
来表示电流与电压的关系。
数学中的分式
总结词
数学中的分式主要用于解决代数和几何问题，以及进 行函数分析。
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
第十章 分式
10.1 分式的意义两个整式A.B 相除，即A ÷B 时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么B A叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.当B=1时，B A为整式。
如果分母为零，那么分式无意义；如果分母不为零，那么分式有意义；如果分子为零，分母不为零，那么分式值为零。
10.2 分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即NB N A M B MA B A÷÷=⋅⋅= 其中M 、N 为整式，且0,0,0≠≠≠N M B .把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分。
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂.如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。
化简分式时要将分式化成最简分式或整式。
10.3分式两个分式相除，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
BD AC D C B A =⋅ , BCAD C D B A D C B A =⋅=÷分式的运算结果一般化简成最简分式或整式。
10.4分式的加减同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减。
将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。
通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
10.5 可以化成一元一次方程的分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元方程的解也叫做方程的根。
在分式方程变形时，有时可能产生不合适原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根。
分式方程化为整式方程的过程必须两边乘以一个适当的整式，由于这个整式可能为零，是本不相等的两边也相等了，这时就可能产生增根。
分式的定义
分式的定义分式是由两个整式构成的比值，它通常写成$\frac{A(x)}{B(x)}$的形式，其中$A(x)$和$B(x)$是两个整式，$B(x)$不等于0。
分子$A(x)$是分式的分子，分母$B(x)$是分式的分母。
分数可以表示为带分数或小数，但分式只能表示为分式形式。
分子和分母都是整式的分式称为代数分式，而分子或分母中含有实数或变量的分式称为含有实数或变量的分式。
分数是初中数学中最简单和最重要的概念之一。
分式的含义是把一个整体分成若干份，并取其中的一份或几份，或者将分子分数与分母分数的比较简单的方法。
分式的定义把两个多项式的表达式用除法来表示，分母是被除数的表达式，分子是除数的表达式。
分式中的分式在代数上的意义是相同的。
例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$表示相同的数值，它们都代表同一个比值。
分式中不能出现分母为0的情况，因为任何数除以0都无法得到一个有意义的结果。
如果分母为0，那么分式就没有定义。
一个分式是简单分式，当分母和分子都为一次多项式时。
一个分式是复杂分式，当分子或分母中至少有一个高于一次的多项式时。
如果一个分子中的每一个项都是分母的因数，则该分式被称为真分式。
如果一个分式的分子是一个多项式，这个多项式可以被分解成独立的因子，每个因子都不是分母的因子，那么这个分式被称为带余式。
分式的基本运算要比整式复杂得多，因为要注意分母不能为零。
对于分式的四则运算来说，最重要的原则是分母化通，即把每个分式的分母化为相同的多项式，这样就能进行加减乘除了。
例如，如果要计算$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$，那么需要把分母化为相同的多项式，最终结果才能以分式的形式表示。
因此，可以将分母通分为$bd$，然后得到等效的分式$\frac{ad+bc}{bd}$。
总之，分式是代数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各种数学方面，包括高等数学，物理和工程学。
了解分式的基本概念和运算方法是理解更高级数学理论的关键。
分式的概念讲解
分式的概念讲解分式是数学中一个重要的概念，它是有理数的一种特殊表达形式。
分式由分子和分母组成，分子是一个整数或一个多项式，分母是一个非零的整数或一个多项式。
分式的形式通常为a/b，其中a为分子，b为分母。
分式有以下几个重要的概念和性质：1. 分子和分母：分式的分子和分母分别表示表达式中的被除数和除数。
例如，在分式3/4中，3是分子，4是分母。
2. 分式的值：分式表示一个有理数，可以通过计算分子除以分母的商得到。
例如，分式3/4的值为0.75，因为3除以4等于0.75。
3. 约分：分式可以进行约分，即将分子和分母的公因子约去，使分式的值保持不变。
例如，分式6/8可以约分为3/4，因为6和8都能被2整除。
4. 扩分：分式可以进行扩分，即将分子和分母同时乘以一个数，使分式的值保持不变。
例如，分式2/3可以扩分为4/6，因为2除以3等于4除以6。
5. 逆分数：逆分数是指分子大于分母的分式，可以通过将逆分数的分子和分母对调得到原分式。
例如，逆分数5/3可以对调得到3/5。
6. 真分数与假分数：当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于或等于分母时，分式称为假分数。
7. 混合数：混合数是真分数和整数的组合，它由一个整数和一个真分数组成，可以通过分数的加法和整数的相加得到。
例如，混合数3 1/2可以表示为整数部分3加上真分数1/2。
8. 分式的运算：分式可以进行加、减、乘、除的运算。
加减分式的运算首先要找到它们的公共分母，然后对分子进行加减运算，分母保持不变；乘除分式的运算可以直接对分子和分母进行相应的乘除运算。
分式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数中。
分式能够表达有理数的比例关系，可以用于解决许多实际问题，如物体的比例、速度的比例、百分比等。
分式还可以用于代数式的运算和方程的求解等数学问题。
总之，分式是数学中重要的概念，它能够准确地表达有理数的比例关系，进行各种运算和解决实际问题。
熟练掌握分式的概念和性质，对于数学学习和实际生活都有很大的帮助。
分式的概念与计算
分式的概念与计算分式是数学中的基本概念之一，它在实际生活和解决问题中起着重要的作用。
本文将介绍分式的概念、表示方法以及如何进行分式的计算。
一、分式的概念分式是指形如 a/b 的数，其中 a 和 b 都是整数，且 b 不等于 0。
这里的 a 被称为分子，b 被称为分母。
分子和分母之间用一条横线隔开，表示两者之间的除法关系。
分式可以表示真数、假数和整数。
当分子小于分母时，这个分式表示一个真数；当分子大于分母时，这个分式表示一个假数；当分子等于分母时，这个分式表示一个整数。
二、分式的表示方法除了常见的分式形式 a/b，分式还可以以其他形式表示，比如带分数、百分数等。
1. 带分数带分数是指一个整数部分和一个分数部分组合在一起的数。
例如，7 1/4 就是一个带分数，整数部分是7，分数部分是1/4。
2. 百分数百分数是指以百分之一为单位的分数，通常以百分号 "%" 表示。
例如，75% 就表示 75 百分之一。
三、分式的计算分式的计算主要包括分式的加减乘除四则运算，下面将具体介绍每种运算的方法。
1. 分式的加法与减法分式的加法与减法的计算方法类似，需要先找到两个分式的公共分母，然后对分子进行相应的加减运算，最后化简得到结果。
2. 分式的乘法分式的乘法只需要将两个分式的分子和分母分别相乘即可。
如果能对结果进行约分，则需要进行约分化简。
3. 分式的除法分式的除法需要将除数的分子与被除数的分母相乘，再将除数的分母与被除数的分子相乘。
最后将相乘得到的结果作为除法的结果。
四、应用举例为了更好地理解分式的概念和计算，下面举例说明。
1. 例题1：计算 3/8 + 1/4。
解：首先找到两个分式的公共分母，即 8 和 4 的最小公倍数 8。
然后对分子进行相应的加法，得到 3/8 + 2/8 = 5/8。
2. 例题2：计算 5/6 × 2/3。
解：将两个分式的分子和分母分别相乘，得到 5/6 × 2/3 = 10/18。
分式定义及意义
10.1 分式定义及意义一、复习引入：1、什么是单项式？多项式？举例说明。
2、根据条件列出代数式①半径为r 的圆的面积 。
②长方形的宽为am ，长比宽多5m ，求该长方形的面积； 。
③面积为102cm 的长方形花坛，如果原计划长为b cm ，后决定延长3cm ，那么它的宽用代数式表示为 。
④底为（a-2）cm ，面积为s 2cm 的三角形的高为 。
思考：观察所列代数式①②与③④有何区别？ 。
二、引导思维、自学感知1、观察③④，试总结分式定义：一般地，用A 、B 表示 ，A ÷B （B ≠0）可以表示为 的形式。
如果B 中含有 ，那么我们把式子 （ ）叫分式。
（另一种定义：分母中含有 的代数式叫分式）例1 下列各式是分式吗？如果不是，请说明理由。
⑴23+x x （x ≠ -2） ⑵32+x例2 当x 取什么值时，下列各式有意义？⑴13-x x ⑵321+-x x ⑶)1)(2(3+-+x x x小结：分式有意义的条件：2、巩固练习（一）：1、下列各式哪些是分式？哪些是整式？ ⑴b 1 ⑵325+-a a ⑶y x y x --22 ⑷πx ⑸2n m + ⑹1312-b 2、x 取什么值时，下列分式有意义？⑴123++x x ⑵5332+-x x ⑶2132x x -- ⑷65922+--x x x2、例题分析例1、当x 是什么数时，分式2312+-x x 的值等于零？ 例2、若分式11+-x x 的值为零，求x 的值。
例3、当x 取什么值时，分式392--x x 值为零？小结：分式的值为零的条件： 。
巩固练习：（二）1、当x 取什么值时，下列分式值为零？ ⑴x352- ⑵392--x x ⑶2652-+-x x x ⑷622-+-x x x三、拓展提高：1、若分式x 352-值小于零，求x 的取什么值范围。
2、若132+-x x ＞0成立，求x 的取值范围。
3、当x 为何值时分式2)1(1-+x x 的值为正数？ 4、当a 为何值时，2)1(4+a 的值为1？四、课堂小结：通过本节课你有什么收获？五、课堂检测1、下列各式44b -，57+a ，14+a ，b a +2，6-πx 是分式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、填空：（1）当x 时，分式124+-x x 值为零 （2）当x 时，分式1324+-x x 有意义 （3）当x 时，分式14+x 无意义 （4）当x 时，代数式 1225-+x x 是分式 3、 当x 取什么值时，下列分式值为零？ ⑴x x 5213+- ⑵732-+x x ⑶112+-x x※4、若分式x 15253-的值为负数，求x 的取什么值范围。
(完整版)10.1分式的概念
东山莫厘中学2015—2016八年级第一学期教学案教学目标:(一)知识目标1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式，并能概括分式的概念。
2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 （二）能力目标：1、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。
(三)情感与价值观目标:1。
通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点和难点重点:探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。
难点：能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。
教学方法：引导、启发、探索讨论一 课前导学：做一做（1）面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为________米； (2）面积为a 平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为________米； （3）面积为a 平方米的长方形一边长b 米,则它的另一边长为________米； (4)正n 边形的每个内角为__________度.（5）一箱苹果售价a 元,箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的 售价是 元.（6）有两块棉田，有一块a 公顷，收棉花m 千克，第二块b 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是 .请将刚才所写的代数式你认为分母有共同特征进行分类，并将同一类填入一个圈内，并说明理由。
特征： 特征；归纳:分式的概念：形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有字母,B ≠0)的式子，叫做 .其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
整式和分式统称有理式, 即 有理式包括 。
注意:在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如,在分式a S中，a ≠ ；在分式nm -9中，m ≠ 。
二、成果展示1、下列各式：x2、22+x 、x xy x -、33y x +、23+πx、()()1123-++x x x 中,分式有( ）A.1个B.2个 C 。
分式讲义
3．最简因式：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【学习目标】
1、掌握分式的基本性质
2、会对分式进行恒等变形，会对分式进行约分，将分式化为最简分式。
【典型例题】
1．分式的基本性质的应用
【解答】
【例6】约分：
（1） ，（2） ，（3） .
【解答】
【例7】已知 ，求 的值．
【分析】遇到连等分式，一般采取设系数，然后代入约分。
【解答】
3．最简因式的判断
【例8】判断下列因式那些是最简因式，那些不是最简因式，并说明理由。
【解答】
【点评】最简分式的定义：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【解答】
【例4】 为何值时，分式 有意义？
【分析】分式 有意义的条件是： 。
【解答】
【点评】分式是否有意义，只和分母有关，与分子无关。
【例5】 为何值时，分式 有意义？
【解答】
4．分式值为零的条件
【例6】如果分式 的值为零，那么 、 应满足什么条件？
【分析】分式 的值为零条件是： 且 。
【解答】
5．与分式有关的实际问题
另
【能力提高】
1.根据分式的基本性质，下列各式中，变形不正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
2.下列各式正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
3.下列约分错误的是（）
（A） （B）
（C） （D）
4.如果分式 中， 的值都变为原来的2倍，则分式的值（）
（A）不变（B）变为原来的 （C）变为原来的2倍（D）变为原来的4倍
分式的概念课件
分式函数的图像
分式函数的图像可以帮助我们直观地理解和分析函数的性质、变化趋势以及与实际情境的关联。
分式函数的性质
分式函数具有独特的性质，包括奇偶性、渐进线、零点、极值等，这些性质帮助我们进一步理解和分析函数。
分式函数的定义域和值域
分式函数的定义域是指使函数有意义的所有输入值的集合，值域是指函数的 所有可能输出值的集合。部分，分母表示分式所描述的整体。分子和分母可以是任意数或表达式。
分式的约分和化简
约分是指将分子和分母的公约数约去以简化分式。分式可以通过约分和化简来使其更简洁、易于计算和理解。
分式的乘法
分式的乘法是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。乘法可以帮助我们计算分数的乘积和各种实际情境中的 比值。
分式的除法
分式的除法是指将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。除法可以 帮助我们计算分数的商和比值的变化。
分式的加法
分式的加法是指将两个分式相加，得到一个新的分式。加法可以帮助我们计算部分与整体的总量以及各种实际 问题中的总和。
分式的减法
分式的减法是指将一个分式减去另一个分式，得到一个新的分式。减法可以 帮助我们计算部分与整体的差异和变化。
分式函数的极限
分式函数的极限描述了函数在某一点或无穷远处的趋势和变化规律。极限在 微积分中起着重要的作用。
分式函数的导数
分式函数的导数帮助我们计算函数的变化率和斜率。导数在微积分和曲线研究中具有广泛的应用。
分式函数在微积分中的应用
分式函数在微积分中的应用涉及到函数的求导、曲线的极值、区间分析、图 像绘制等方面。
分式的概念
分式是数学中的重要概念，它描述了整体中的一部分，并在各种实际情境和 数学问题中发挥着重要作用。
分式的概念和运算
分式的概念和运算分式作为数学中的重要概念，在实际生活和学习中都有着广泛的应用。
它可以帮助我们更好地理解和处理各种比例关系和分配问题。
本文将从基本概念、分式的运算规则和应用几个方面，对分式进行详细的阐述。
一、基本概念1. 分式的定义分式是指以“分子/分母”的形式表示的数，其中分子与分母均为整数，分母不等于零。
分子表示被分割的数量，分母表示整体的数量。
2. 分子与分母的含义分子表示分割出的部分数量，分母表示整体的数量。
例如，若将一个馅饼平均分给3个人，则分子为1（表示每个人份的馅饼数量），分母为3（表示总共有3个人）。
3. 分数与分式的关系分数是分式的一种特殊形式，它是指分子比分母小的分式。
例如，1/2、2/3都是分数，也是分式。
可以说所有的分数都是分式，但不是所有的分式都是分数。
二、分式的运算规则1. 分式的乘法和除法分式的乘法：两个分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：2/3 × 3/4 = (2 × 3) / (3 × 4) = 6/12分式的除法：两个分式相除时，将被除数的分子与除数的分母相乘得到新的分子，将被除数的分母与除数的分子相乘得到新的分母。
例如：2/3 ÷ 3/4 = (2 × 4) / (3 × 3) = 8/92. 分式的加法和减法分式的加法：两个分式相加时，首先找到两个分式的公共分母，然后将各自的分子相加得到新的分子，分母保持不变。
例如：1/2 + 1/3 = (1×3 + 1×2) / 2×3 = 5/6分式的减法：两个分式相减时，首先找到两个分式的公共分母，然后将各自的分子相减得到新的分子，分母保持不变。
例如：1/2 - 1/3 = (1×3 - 1×2) / 2×3 = 1/6三、分式的应用1. 比例关系分式可以用来表示比例关系。
分式的概念及基本性质
分式的概念及基本性质
分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号或括号的作用。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
一、分式的概念
1.分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。
2.分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
二、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
三、四则运算
同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减。
异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算。
分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母。
分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘。
四、分式条件
1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
九年级数学上人教版《 分式的概念》课堂笔记
《分式的概念》课堂笔记一、分式的概念定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注意：分母中必须含有字母，分子、分母都是整式。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：BA=B×CA×C（A、B、C为整式，且B、C=0）三、分式的约分1.定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2.方法：把分子、分母分解因式，然后约去它们的公因式。
3.注意：约分时，分子、分母必须是公因式的最高次幂。
四、分式的通分1.定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2.方法：把各个分式的分子、分母分解因式，然后求出它们的最简公分母，再把各个分式的分子、分母分别乘以适当的整式，使各个分式的值不变。
3.注意：通分时，最简公分母必须选取适当的字母。
五、典型例题例1：计算下列分式：（1）x2+44x2；（2）x2−1x−1；（3）x2−96xy；（4）a2+4a+4a2−4。
解：（1）原式=(x+2)24x2；（2）原式=(x+1)(x−1)x−1=x+11；（3）原式=(x+3)(x−3)6xy；（4）原式=(a+2)2(a+2)(a−2)=a+2a−2。
例2：把下列各分式约分：（1）4m2n28m2n；（2）x2−1x−1；（3）a2+b2a2−b2；（4）9−x2x+3。
解：（1）原式=4n8=n2；（2）原式=(x+1)(x−1)x−1=x+11；（3）原式=(a+b)2(a+b)(a−b)=a+ba−b；（4）原式=(3+x)(3−x)−(x−3)=−(x2−9)−(x−3)=x2−9x−3。
分式知识点总结简易
分式知识点总结简易一、分式的概念分式是一个数与数的比值，由分子和分母组成。
例如：1/2，3/4等都是分式。
二、分式的基本概念1. 分子：分式中上面的数叫做分子，表示被分成的分数部分。
2. 分母：分式中下面的数叫做分母，表示分成的份数。
3. 分子小于分母的分式叫做真分数，分子大于等于分母的分式叫做假分数。
4. 分数的分子为0，这个分数就是0；分数的分母为1，这个分数就是整数。
三、分式的化简1. 分式的约分：将分子和分母的公约数全部约去，得到最简分数。
例如：4/6，2/3是可约分数，每个约为1/2。
2. 分式的乘除：分数的乘法：分子乘以分子，分母乘以分母。
分数的除法：把除数分子和分母互换位置，再进行乘法。
例如：3/4 × 2/5 = 6/20，6/20 = 3/10。
3/4 ÷ 2/5 = 15/8，15/8是3 7/8。
3. 分式的加减：分式的加减与分数的加减相同，都需要找到通分后的相加与相减。
例如：1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2。
1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6。
四、分式的应用1.分数的比较：分式的比较需要统一分母后进行比较大小。
例如：1/3 与 2/5比较大小，需要将它们的分母扩大为15，然后比较。
2.分式的运用在生活中，我们会经常用到分式。
比如：做菜时需要按比例调配食材，在商场购物时打折信息等等。
总之，分式是数学中重要的概念，它涉及到了分数、比例等概念，是数学中基础且重要的概念。
掌握分式的知识，对学生的数学学习十分重要。
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3 b 3 （ 5） （ 6） x 2 a 1 y 2 2 m( n p ) x xy y （ 7） （ 8） 7 2 x 1
x （ 2） 2
（3）3x2-1
2、把下列各有理式分别填入相应的圈内。
1 , 1 (x ＋ y ) , 3 x² 5 x 1 (x ＋ y ) , , 0 5 a x , ＋ y 3 2 整式 , 0 , a , ab ＋ 1 , x ＋y c 2 3 2 1 , 3 , x² x
3 、在下列各分式中，当 x 等于什么时，分 式的值是零？当x等于什么数时，分式没有 意义？ 1 (当x＝ 2 时，分式的值是零； 2 x － 1 (1) 2－x 当x＝2时，分式没有意义.)
－1 (2) x² 1＋ x (当x＝1时，分式的值是零；
当x＝－1时，分式没有意义.)
谈一谈这一节课你的收获和体会 。
x (1) ; x 1 x2 (2) ; 2x 3 x2 4 (3) . x2
小结:分式有意义 分母不等于零
分式无意义 分母等于零 分式值为零 分子等于零且分母不等于零
阅读下面一题的解答过程，试判断是否正确， 如果不正确，请加以改正。
当ｘ是什么数时，分式
x 4
1 （ 2） 2 x 9
2、当x为任意实数时，下列分式一定有意义 的是（ ）
（A）
2 x 2 1
1 （B） 2 x 2
（C）
1 x2
（D）
1 1 x
例题变形 1.当x取什么值时，下列分式无意义？
x (1) ; x 1 x2 ( 2) . 2x 3
2.当x取什么值时，下列分式的值为零？
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
2 xy 2x y 1 x (1) ; (2) ; (3) ; (4) . x 2 x y 3
解:属于整式的有（2）、（4） 属于分式的有（1）、（3）
为什么（2）、（4）不是分 式？判断的关键是什么？
分母含有字母是分式，
分母不含字母是整式.
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
吗？试试看。 2、把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一
起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克这 种混合饮料需多少甲种饮料？
1、填空:（用分式表示）
(1)若某梨园m平方米产梨p千克,则平均每 p 平方米产梨___ m 千克； (2)小明t小时走了s千米的路，则他走这段路的 s 平均速度是____ t 千米／时； (3)一货车送货上山，上山的速度为x千米/时, 下山的速度为y千米/时,则该货车的平均速度 2 2xy 1 1 千米/时． 是________ ＋ x ＋ y x y
要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.
解 (1)由x－1≠0,得x ≠ 1.
x 所以,当x ≠ 1时,分式 x－1 有意义. 3 (2)由2x＋3 ≠0,得x ≠－ . 2 x－ 2 3 所以,当x ≠－ 时,分式 2x＋3 有意义. 2
1、当x取什么值时，下列分式有意义？
8 （ 1） x 1
ab ＋ 1 c 2
分式
在分式中，分母的值不能是零。如果分 母的值是零，则分式没有意义。
s 例如：在分式 a 中,a≠0； 9 在分式 m－n 中,m - n ≠ 0，即m≠n.
例2 当x取什么值时，下列分式有意义？ x 1 (1) x－1 (2) x－2 2x＋3 (3) x 2 9 分析
x x 4
的值是零？
解：由分子 |x| -4=0，得x=±4
所以当x=±4时，分式 x x 4 的值是零.
x 4
例
a 3 求分式 的值 a2
(1)a 3
2 ( 2) a 5
拓展创新
1、一个分子为x－5的分式，且知它在x≠1时
有意义。 你能写出一个符合上面条件的分式
分式的概念
①分子分母都是整式 ②分母中必含有字母
分母中字母的取值不能使分母 值为零，否则分式无意义. 当分子为零且分母不为零时， 分式值为零.
下
课
2、填空
a＋ 1 (1)当 a_____ ＝0 时 ,分式 2a 无意义； a ＋ 1 ≠0 时 ,分式 2a 有意义. (2)当a ____ a＋ 1 ＝-1 时，则分式 2－a 的值为零. (3)当a_____ 8 (4)当x_____ ＝1 时，则分式 x－1 无意义. 1 ＝ ± 3 (5)当x______时，则分式 无意义. x² －9 x－ 1 ＜0 时,分式 |x|－x 有意义. (6)当x____
上面的问题出现了代数式
S P , a mn
这些代数式与整式有什么不同?这些 代数式有什么共同特征? 分母中含有字母.
什么叫分式?
形如 A(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0) B 的式子，叫做分式.
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
整式和分式统称有理式，即 有理式 整式
分式 分母含字母
苏科版数学教材八年级下
§10.1 分式的概念
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另 2 一边长为________ 米； 3 (2)面积为s平方米的长方形一边长a米,则它的另 s 一边长为________ 米； a (3)一箱苹果售价p元，总重m千克,箱重n千克.则 p 每千克苹果的售价是_______ m－n 元. 两个整数相除,不能整除时结果可用分数表示. 当两个整式不能整除时,它们的商应该怎么表 示呢?