6.4 数据的离散程度1 省级一等奖教案(含反思)

6．4 数据的离散程度

1．了解极差的意义，掌握极差的计算方法；

2．理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．(重点、难点)

一、情境导入

从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择乙运动员参赛．

问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗？

问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？

二、合作探究

探究点一：极差

欢欢写了一组数据：9.5，9，8.5，8，7.5，这组数据的极差是( )

A ．0.5

B ．8.5

C ．2.5

D ．2

解析：这组数据的最大值是9.5，最小值是7.5，因此这组数据的极差是：9.5－7.5＝

2.故选D.

方法总结：要计算一组数据的极差，找出最大值与最小值是关键．

探究点二：方差、标准差

【类型一】 方差和标准差的计算

求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差．

解析：一组数据的方差计算有两个常用的简化公式：(1)s 2＝1n

[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx 2]；(2)s 2＝1n

[(x 1′2＋x 2′2＋…＋x n ′2)－nx ′2]，其中x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，a 是接近原数据平均数的一个常数，x ′是x 1′，x 2′，…，x n ′的平均数．

解：方法一：因为x ＝110(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s 2＝110

[(7－7)2＋(6－7)2

＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2.

所以标准差s＝30 5

.

方法二：同方法一，所以s2＝1

10

[(72＋62＋82＋82＋52＋92＋72＋72＋62＋72)－10×72]＝

1.2，标准差s＝30

5

.

方法三：将各数据减7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而x′＝0，

所以s2＝1

10

[02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02－10×02]＝1.2.所以标准

差s＝30 5

.

方法总结：计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算．

【类型二】方差和标准差的应用

在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下：

甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29；

乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26.

(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？

(2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况．

解析：先求出两队参赛选手年龄的平均值，再由标准差的定义求出s甲与s乙，最后比较大小并作出判断．

解：(1)x甲＝1

10

×(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(岁)，

x乙＝1

10

×(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(岁)．

(2)s2甲＝

1

10

×[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2]＝2.29，

s2乙＝1

10

×[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2]＝0.89.

所以s甲＝ 2.29≈1.51，

s乙＝0.89≈0.94，

因为s甲>s乙，

所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大．

方法总结：求标准差时，应先求出方差，然后取其算术平方根．标准差越大(小)其数据波动越大(小)．

【类型三】统计量的综合应用

甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成

图(a)、(b)所示的统计图．

(1)在图(b)中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况．

(2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x 甲＝90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x 乙．

(3)就这五场比赛，分别计算两队成绩的方差．

(4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？

解析：第(4)题可根据第(1)(2)(3)题的结果，从平均分、折线的走势、获胜场数和方差四个方面分别进行简要分析．

解：(1)如图所示．

(2)x 乙＝15

(110＋90＋83＋87＋80)＝90(分)． (3)甲队成绩的方差s 2甲＝15

[(80－90)2＋(86－90)2＋(95－90)2＋(91－90)2＋(98－90)2]＝41.2；乙队成绩的方差s 2乙＝15

[(110－90)2＋(90－90)2＋(83－90)2＋(87－90)2＋(80－90)2]＝111.6.

(4)从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；从方差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．综上所述，

选派甲队参赛更能取得好成绩．

方法总结：本题是反映数据集中程度与离散程度的综合题．从图形中得到两队的成绩，然后从平均数、方差的角度来考虑，在平均数相同的情况下，方差越小的越稳定．

三、板书设计

数据的离散程度⎩⎪⎨⎪⎧极差：一组数据中最大数据与最小数据的差

方差：各个数据与平均数差的平方的平均数 s 2＝1n

[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2]标准差：方差的算术平方根 公式：s ＝s 2

经历表示数据离散程度的几个量的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力．通过小组合作，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．

7.3 平行线的判定

第一环节：情景引入

活动内容：

回顾两直线平行的判定方法

师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．

生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．

生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．

我们知道： “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．

活动目的：

回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．

教学效果：

由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．

第二环节：探索平行线判定方法的证明

活动内容：

① 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．