巧用圆锥曲线的光学性质作切线
圆锥曲线中切线问题的妙解
圆锥曲线中 切线问题的妙解在高中数学中圆锥曲线是一个重点也是一个难点，我们只有深刻理解圆锥曲线，掌握通性通法，才能更好地解决这一难题。
平时我们还要多归纳、多总结还可以得到一系列的结论。
下面我们利用一些结论来巧妙地解决圆锥曲线中的切线问题。
结论一．过圆锥曲线上一点的切线方程1.设圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上有一点P (x 0，y 0)，则过P 点的切线方程为(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2.2.(1)椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为＋＝1 (2)双曲线－＝1(a ，b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为－＝1. (3)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为y 0y ＝2p例1：求双曲线x 2－＝1在点(，)处的切线方程.解 ：由双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是－＝1，∴双曲线x 2－＝1在点(，)处的切线方程为x －＝1，即2x －y －＝0.例 2：已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若O 为坐标原点，P 为直线l ：x ＝2上的一动点，过点P 作直线l ′与椭圆相切于点A ，若△POA 的面积S 为，求直线l ′的方程.解 (1)由题意得：椭圆C 的标准方程为＋y 2＝1.(2)设A (x 0，y 0)，则切线l ′的方程为＋yy 0＝1，即y ＝－x ，则直线l ′与x 轴交于点B ，∵P ，∴S △POA ＝··＝，即＝，∴＝±，即或解得x 0＝1，y 0＝－或x 0＝1，y 0＝(x 0＝0，y 0＝±1不合题意舍)，∴直线l ′的方程为y ＝－x ＋或y ＝x －.结论二：过圆锥曲线外一点作曲线的切线1.过椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)外一点P (x 0，y 0)，作椭圆的两条切线，则两切点的连线方程为＋＝1(a ＞b ＞0).2过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)外有一点P (x 0，y 0)，作双曲线的两条切线，则两切点的连线方程为－＝1.3.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)外有一点P (x 0，y 0)，作抛物线的两条切线，则两切点的连线方程为y 0y ＝2p例3：已知P (1，1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x 2－＝1的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，求直线AB 的方程.解： 利用结论2得直线AB 的方程为x －＝1，即2x －y －2＝0.例4 ：已知曲线C ：y ＝，D 为直线y ＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .则直线AB 过定点解：设D ，抛物线方程为 ，则过D 点作抛物线的两条切线，则两切点的连线方程为 得，直线AB 的方程为 整理得：2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点在圆锥曲线中我们如果能够熟记这些结论，再结合常规方法，那就可以快速的找到解决切线问题解题思路，从而可以快速求得答案。
圆锥曲线的切线及其作图原理
圆锥曲线的切线及其作图原理摘要：介绍了圆锥曲线作切线的简单方法、易操作，在作图中有很高的使用价值，应进行推广. 并按照这个方法完成了《圆锥曲线的切线及其作图原理》几何画板课件.笔者最近借助几何画板研究一个数学问题时,无意中发现了圆的一个优美性质,并将其推广到椭圆和双曲线,这一性质为我们提供了过椭圆(双曲线)上任意一点作椭圆(双曲线)切线的非常简便的尺规方法.定理1:已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,直线l 与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与圆相切。
证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则000001222000022y y x y xk k x r x r x r y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+∴MN 的中点0000(,())x Q m m x y y --+,∴直线PQ 的斜率为00xk y =- ∴直线0000:()x PQ y y x x y -=--,即为200x x y y r +=,易知直线PQ 与圆相切.定理2:已知,A B 是椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过椭圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与椭圆相切.证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则20000012222000022y y x y b x k k x a x a x a a y +=+==-+--直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+∴MN 的中点200020(,())b x Q m m x y a y --+,∴直线PQ 的斜率为2020b x k a y =-∴直线200020:()b x PQ y y x x a y -=--,即为00221x x y ya b +=,易知直线PQ 与椭圆相切.定理3:已知,A B 是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过双曲线C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与双曲线相切。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法
专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法 【微点综述】圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论． 一、圆锥曲线切线方程方法 1．向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程． 例11．已知圆O 的方程是()()222x a y b r -+-=，求经过圆上一点()00,M x y 的圆的切线l 的方程． 2．变换法设椭圆方程为22221x y a b +=，我们作变换：,,x au y bv =⎧⎨=⎩则可把椭圆化为单位圆：221u v +=，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题． 例22．求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程． 3．判别式法可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．思维导图：设切线方程⇒联立切线与椭圆的方程⇒消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程⇒Δ0=求切线斜率⇒写出切线方程． 注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切． 例33．求经过点()2,1M 的双曲线：2222x y -=的切线l 的方程． 4．导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程． 例44．设为,A B 曲线2:4x C y =上两点，,A B 的横坐标之和为4．设M 为曲线C 上一点，C在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程． 例55．证明：过椭圆C ：22221x y m n+=(m >n >0)上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为00221x x y y m n +=．5．几何性质法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：（1）若焦点为12,F F 的椭圆或双曲线上有一点M ，则12F MF ∠的平分线一定与圆锥曲线相切；（2）若焦点为F 的抛物线上有一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则FN 的中点P 与M 的连线PM 必与抛物线相切．据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程． 例66．求抛物线2:8C y x =上经过点()8,8M 的切线l 的方程． 例77．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 例8（2022乙卷理科）8．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，且F 与圆M ：()2241y x ++=上点的距离的最小值为4． (1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 【强化训练】（2022桃城区校级模拟）9．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022聊城一模）10．已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．则直线AB 过定点（ ） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022迎泽区校级月考）11．已知圆()22:14C x y -+=.动点P 在直线280x y +-=上，过点P 引圆的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点______.12．过圆2216x y +=外一点P （4，2）向圆引切线． (1)求过点P 的圆的切线方程；(2)若过点P 的直线截圆所得的弦长为(3)若过P 点引圆的两条切线，切点分别为1P 、2P ，求过切点1P 、2P 的直线方程． （2021春·黑龙江期中）13．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y+= B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += （2020．新课标△）14．已知△M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作△M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=（2022宿州期末）15．定义：若点()00,P x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，则以 P 为切点的切线方程为：00221x x y y a b +=.已知椭圆 22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线 MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点（ ） A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022金安区校级期末）16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ） A ．1BCD ．2（2022吉安期末理）17．过圆222x y r +=上一定点(),o o P x y 的圆的切线方程为20o x x y y r +=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．20?x y +-= B ．30x y --= C ．2330x y +-= D ．3100x y --=（2022大连期末）18．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点N 的切线方程为_____________. （2022泸县校级一模）19．椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是______．（2022金安区校级模拟）20．一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C （ABC ≠0）上一点M （x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C ，．若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点M （x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线l ，已知直线l 过点N 0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率的取值范围是⎣，则该双曲线离心率的取值范围是______． （2022兴庆区校级一模）21．已知()00,P x y 是抛物线()220y px p =>上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在22y px =两边同时求导，得：2'2yy p =，则'py y=，所以过P 的切线的斜率0p k y =.试用上述方法求出双曲线22y x 12－＝在P 处的切线方程为_________.（2022亳州期末）22．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，离心率12e =，点P (2，3)在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程(2)求过点P 的椭圆C 的切线方程(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P 被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．（2022福州二模）23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M （4，t ），其中t R ∈，切点分别是A 、B ，试利用结论：在椭圆22221x y a b+=上的点()00,x y 处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=，证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ；(3)试探究2211AF BF +的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由． （2022香坊区校级三模）24．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B .（1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程. （2022渝中区校级月考）25．已知椭圆22122:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为12，过点)E的椭圆1C 的两条切线相互垂直.（△）求椭圆1C 的方程；（△）在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由. （2022杭州模拟）26．已知曲线1C 上任意一点到()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1，椭圆2C 的中心在原点，一个焦点与1C 的焦点重合，长轴长为4．(1)求曲线1C 和椭圆2C 的方程；(2)椭圆2C 上是否存在一点M ，经过点M 作曲线1C 的两条切线,MA MB （,A B 为切点）使得直线AB 过椭圆的上顶点，若存在，求出切线,MA MB 的方程，不存在，说明理由．参考答案：1．()()()()200x a x a y b y b r --+--=【分析】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，利用0OM ON ⋅=化简整理可得. 【详解】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，由已知得圆心(),O a b ，()()0000,,,OM x a y b MN x x y y ∴=--=--，又0OM ON ⋅=，即()0000()()()0x x x a y y y b --+--= 所以()()()()()()00000x a x a x a y b y b y b ----+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， △过圆上的点()00,M x y 的圆的切线l 的方程是：()()()()()()220000x a x a y b y b x a y b --+--=-+-，又()()22200x a y b r -+-=，△所求圆的切线l 的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．2．340x y +-=【分析】令,43yx u v ==，利用伸缩变换求得椭圆和点M 在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.【详解】令,43y x u v ==，则椭圆在新坐标系uOv 下的方程是：221u v +=，点M ⎛ ⎝⎭在新坐标系uOv 下的坐标是：⎝⎭，设过圆221u v +=上的点⎝⎭的切线方程为(22v k u -=-（易得斜率必存在），即(v k u =221u v +=整理得2221(1)(1)(21)02k u k u k k +-+--=由题意可知，22222(1)2(1)(21)0k k k k k =--+--=Δ，整理得2(1)0k +=即1k =-，所以切线方程为(v u =-，即：u v +=∴过椭圆上一点M 的切线l的方程是：43x y+340x y +-=． 3．10x y --=【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解【详解】若直线斜率不存在，过点()2,1M 的直线方程为：2x =，代入2222x y -=可得21y =，与双曲线有两个交点，不是切线；若直线斜率存在，设l 的方程是：()12y k x -=-，即：21y kx k =-+，将它代入方程2222x y -=整理得：()()()222214218840k x k k x k k ---+-+=，由已知20210,k -∆=≠，即()()()2224214218840k k k k k -----+=⎡⎤⎣⎦，解得：1k =，故所求切线l 的方程为：21y x =-+，即：10x y --=． 4．7y x =+【分析】在求得直线AB 的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出点M 的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=，于是直线AB 的斜率为121212121212()()14()4y y x x x x x x k x x x x -+-+====--， 由24x y =，得2x y '=． 设()33,M x y ，由题意可知：312x =，解得32x =，()2,1M ∴． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段的中点为()2,2N m +，1MN m =+将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=，当()1610m ∆=+>，即当1m >-时，12x =+22x =-从而可得12AB x =-= 因为AM BM ⊥，且BN AN =，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 所以BN AN MN ==，所以2AB MN =，即()21m =+， 解得7m =，直线AB 的方程为7y x =+． 5．证明见解析【分析】方法一：分0y >，0y <和0y =，当0y >，0y <时，利用导数求切线方程可得； 方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程. 【详解】法一：由椭圆C ：22221x y m n+=，则有22221y x n m =-当0y >时，y =2nx y m '=-，△当00y >时，2000222001x n n n k x x y mm m y n =-=-=-⋅． △切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，整理为：222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，两边同时除以22m n 得：00221x x y ym n+=． 同理可证：00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=． 当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=． 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=． 法二：当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，△由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 化简可得：2222t m k n =+，△式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t =-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k y n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=． 当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=．6．280x y -+=【分析】根据线段NF 的垂直平分线经过点M 即可求得切线方程.【详解】由抛物线2:8C y x =可得其焦点()2,0F ， 准线方程为：2x =-， 过点()8,8M 作准线的垂线，设垂足为N ，则N 的坐标为()2,8-， 又设FN 的中点为P ，则P 的坐标为()0,4，如图所示：故直线PM 的方程为：84480y x --=-， 即280x y -+=，△切线l 的方程为280x y -+=． 7．答案见解析.【分析】根据两切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+，且均过均过点P ，可知弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】以22y px =（p ＞0）为例说明．设点00(,)Q x y 是抛物线22y px =上的任意一点，则过点00(,)Q x y 且与抛物线相切的直线方程为00()y y k x x -=-，联立2002()y pxy y k x x ⎧=⎨-=-⎩得：222222000000(222)20k x k x p ky x k x y kx y -+-++-=，因为二者相切，所以Δ0=，即222222000000(222)4(2)0k x p ky k k x y kx y +--+-=，化简得：0p k y =，又2002y px =， 代入00()y y k x x -=-得：()00y y p x x =+，即抛物线22y px =在00(,)Q x y 处的切线方程为()00yy p x x =+. 设准线上任一点0,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+两切线均过点P ，则满足1012p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2022p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故过两切点的弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则弦AB 过焦点．【点睛】（1）点()00,P x y 是抛物线()220y mx m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00y y m x x =+；（2）点()00,P x y 是抛物线()220x my m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00x x m y y =+．8．(1)p ＝2(2)【分析】（1）先求42pFM =+，点F 到圆M 上的点的距离的最小值即为FM r -. （2）求出AB =和点P 到直线AB的距离d =322(6)2144PABb S ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭△，根据b 的范围即可求最大值.（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到圆心4(0,)M -的距离42p FM +，所以点F 到圆M 上的点的距离的最小值为4142pFM r -=+-=， 解得p ＝2； （2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =， 即214y x =，则12y x '=， 设切点()11,A x y ，()22,B x y ， 则易得PA l ：21124x x y x =-，△PB l ：22224x x y x =-，△联立△△可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，设AB l ：y kx b =+，联立抛物线方程，消去y 并整理可得2440x kx b --=， △216160k b ∆=+>，即20k b +>， 且124x x k +=，124x x b =-， △(2,)P k b -△AB ==点P 到直线AB 的距离d =△()322142PABS AB d k b ==+△△，又点(2,)P k b -在圆M ：()2241y x ++=上， 故()22144b k --=，代入△得，332222(6)2112154444PAB b b b S ⎛⎫--+⎛⎫-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 而[]5,3p y b =-∈--，△当b ＝5时，()max=PAB S【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 9．A【分析】设(2,)P t ，圆心C 的坐标为(0,0)，可得以线段PC 为直径的圆N 的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦AB 的方程可得答案． 【详解】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 10．A【分析】由P A △AC ，PB △BC 可知点A 、B 在以PC 为直径的圆上，设点P 坐标，写出以PC 为直径的圆的方程，然后可得直线AB 方程，再由直线方程可确定所过定点. 【详解】根据题意，P 为直线l ：20x y ++=上的动点，设P 的坐标为(),2t t --， 过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A △AC ，PB △BC ， 则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C （0，0），(),2P t t --，则以PC 为直径的圆的方程为：()()20x x t y y t -+++=，变形可得：()2220x y tx t y +-++=，则有22221(2)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+-++=⎩，联立可得：()120tx t y -++=，变形可得：()120y t x y +--=， 即直线AB 的方程为()120y t x y +--=，变形可得：()120y t x y +--=，则有1200y x y +=⎧⎨-=⎩，解可得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：A ． 11．118,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，设P 的坐标为(82,)t t -，由圆的切线的性质分析可得则A 、B 在以CP 为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线AB 的方程，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，动点P 在直线280x y +-=上，设P 的坐标为(82,)t t -， 圆22:(1)4C x y -+=，圆心为(1,0)，过点P 引圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA CA ⊥，PB CB ⊥，则A 、B 在以CP 为直径的圆上，该圆的方程为(1)[(82)](0)()0x x t y y t ---+--=， 变形可得：22(92)(82)0x y t x ty t +---+-=，又由A 、B 在圆C 上，即直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，则有2222230(92)(82)0x y x x y t x ty t ⎧+--=⎨+---+-=⎩， 则直线AB 的方程为(711)(22)x t x y -=--，则有7110220x x y -=⎧⎨--=⎩，解可得：11787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故直线AB 恒过定点11(7，8)7；故答案为：11(7，8)7．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用. 12．(1)x ＝4或34200x y +-= (2)y ＝2或43100x y --= (3)280x y +-=【分析】（1）分k 不存在和k 存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；（22，结合圆心到直线距离公式，可得解； （3）由题意12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径，写出圆的方程，过切点1P 、2P 的直线即为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的交线，求解即可. （1）当切线斜率不存在时，过点P （4，2）的直线为x ＝4，圆心到直线距离等于半径，故x ＝4为切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=．4=，即430k +=解得：34k =-，此时切线方程为34200x y +-=．△过点P 的圆的切线方程为x ＝4或34200x y +-=； （2）由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为420kx y k --+=．△r ＝4，且弦长为△圆心到直线420kx y k --+=的距离2d ==，即2340k k -= 解得k ＝0或43k =．△所求直线方程为y ＝2或43100x y --=； （3）由题意，1122,OP PP OP PP ⊥⊥ 故12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径 △P （4，2），△以PO 为直径的圆圆心为(2,1)，半径||2PO r == 故圆的方程为()()22215x y -+-=，由于12,P P 也在圆2216x y +=上，故过切点1P 、2P 的直线为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的公共弦 两圆方程作差可得过1P 、2P 的直线方程为280x y +-=． 13．C【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上， 故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 14．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d =>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． △()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 15．C【解析】设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，即可表示出MA 的方程，又M 在MA 上，即可得到()1126132x t y t++=，即可得到直线AB 的方程，从而求出直线AB 过的定点； 【详解】解：因为点M 在直线260x y --=上，设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，所以MA 的方程为11132x x y y+=，又M 在MA 上，所以()1126132x t y t ++=△，同理可得()2226132x t y t ++=△； 由△△可得AB 的方程为()26132x t yt++=，即()22636x t yt ++=，即()()431260x y t x ++-=，所以4301260x y x +=⎧⎨-=⎩，解得1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线恒过定点12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C 16．C【解析】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，根据题意，求得过点B 的切线l 的方程，即可求得C 、D 坐标，代入面积公式，即可求得OCD 面积S 的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x y y x =，即111,x y ==时等号成立， 所以OCD. 故选：C【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B 的切线方程，进而求得面积S 的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 17．A【解析】根据类比推理，可得直线l 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -的切线l 的方程为31124x y-+=， 即40x y --=，切线l 的斜率为1， 与直线l 垂直的直线的斜率为-1， 过A 点且与直线l 垂直的 直线方程为(13)y x +=-一， 即20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 18． 111x x y y +=22221x x y ya b+= 【分析】由OM 垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过C 上点M 的切线方程；利用导数的几何意义在点()22,N x y 处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程 【详解】解：因为11OM y k x =，切线与直线OM ， 所以所求切线的斜率为11x y -， 所以所求的切线方程为1111()x y y x x y -=--，即221111y y y x x x -=-+，得221111x x y y x y +=+，因为点()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，所以22111x y +=，所以过C 上点M 的切线方程为111x x y y +=； 当20y >时，设0y >，由22221x y a b +=得22221y x b a=- 22222y a x b a -= △22222()b y a x a =-△y = △1'222()(2)2b y a x x a-=-⋅-1222()bx a x a -=--=△过点()22,N x y的切线的斜率为△过点()22,N x y的切线的方程为22)y y x x -=-△点()22,N x y 在椭圆上，△2222221x y a b+=，222222222,a y a y b x a b b=+=， △2222()bx b y y x x a ay -=-⋅-， 即222222()b xy y x x a y -=-- 2222222222a y y a y b x x b x -=-+，2222222222a y y b x x a y b x +=+，△222222a y y b x x a b +=，△所求的切线方程为22221x x y ya b+=， 当20y <时，同理可得其切线方程为22221x x y ya b+=所以过E 上点()22,N x y 的切线方程为22221x x y ya b+=， 故答案为：111x x y y +=；22221x x y ya b+= 【点睛】此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题 19．340x y +-=【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】△椭圆223144x y +=，△y >0时，y △23xy -'=， △x ＝1时，13y '=-，即切线斜率13k =-，△椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是()1113y x -=--，即340x y +-=． 故答案为：340x y +-=． 20．【分析】求得切线方程，将N 代入切线方程，即可求得M 点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案． 【详解】双曲线在M （x 0，y 0）的切线方程为00221x x y ya b-=，将N 代入切线方程， 解得y 0＝﹣2b ，代入双曲线方程解得：x 0，21y b =，即y2bx +，由斜率的取值范围是⎣1≤b a ≤2， 由双曲线的离心率e ＝c a1≤22b a ≤4，∴双曲线离心率的取值范围， 故答案为:．【点睛】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．21．20-=x y【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对2212y x ＝－两边同时求导得，22x yy x y y '∴'=＝，，0002|2x x x k y y =∴='＝， △切线方程为2(y x ，整理为一般式即：20x y －.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 22．(1)2211612x y +=；(2)280x y +-=； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出,,a b c .（2）由直线与椭圆相切，根据判别式Δ0=即可求出直线斜率k . （3）利用向量数量积证明直线1PF 与2F P 关于直线m 对称即可；【详解】（1）由题意可得：2222212491c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得216a =，212b =，△椭圆C 的方程为：2211612x y +=；（2）显然，过点P (2，3)的切线存在斜率， 设切线l 的斜率为k ，则l ：3(2)y k x -=-，由22116123(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()222348231648120k x k kx k k +--+--=， 因为直线l 与椭圆C 相切，∴()()()2222Δ64234341648120k k k k k =--+--=，化为：24410k k ++=，解得12k =-．△求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=． （3）证明：△椭圆C 的方程为：2211612x y +=， 则椭圆左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ， △过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=， △过点P 的椭圆法线方程为m ：210x y --=， 法线的方向向量()1,2m =--， △()14,3PF =--，()20,3PF =-， △1112cos ,PF mPF m PF m⋅==-，2222cos ,PF mPF m PF m⋅==- △直线1PF ，2F P 关于直线m 对称；△从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点． 【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：△定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．△待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 23．(1)22143x y +=(2)证明见解析(3)是，常数为43【分析】（1）代入点坐标，结合2221b e a=-求解即可；（2）根据结论设出切线方程，两条切线交于点M （4，t ），可得点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，求出定点坐标即可； （3）联立直线AB 与椭圆，点点距公式表示22,AF BF ，结合韦达定理化简即得解【详解】（1）△椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．△222314b e a =-=，△221914a b +=，△， 由△△得：24a =，23b =，△椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设切点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，则切线方程分别为11143x x y y+=，22143x x y y +=． 又两条切线交于点M （4，t ），即1113t x y +=，2213tx y +=，即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，令0y =，可得1x = 故对任意实数t ，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点()21,0F ．（3）将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， △122612t y y t +=+，1222712y y t =-+， 不妨设10y >，20y <，21AF y =，同理22BF y =，△211212221111y y y y y y AF BF -⎫+=-=⎪⎭1243==，△2211AF BF +的值恒为常数43． 24．（1）2y x =+；（2）2214812x y +=. 【分析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，1(,2)2D -在切线上，求出两解，分别对应切点,A B 坐标，则方程可求. （2a b 、的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合123k k k +=，再建立a b 、的一个关系，则椭圆方程可求. 【详解】解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y ==切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-， 当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =， 所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由e =2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=， 21651645P Q P Q x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+，()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =， 所以椭圆的方程2214812x y +=.【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.25．(△)22143x y +=；(△)满足条件的点P 有两个.【详解】试题分析：(1) 结合椭圆的离心率可求得1c =，则椭圆方程为22143x y +=.(2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线BC 的方程为002x y x y =-，则点P 的轨迹方程为112y x =-，原问题转化为直线112y x =-与椭圆1C 的交点个数，即满足条件的点P 有两个. 试题解析：（△）由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ， 则1NE k =，NE的直线方程为y x =因为椭圆22122:1x y C a b+= ()0a b >>的离心率为12，所以椭圆22122:143x y C c c+=，所以22221,43y x x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 0∆=，则1c =， 所以椭圆方程为22143x y +=.（△）设点()11,B x y ，()22,C x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=，△抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+-， △21114y x =，△112x y x y =-.△点()00,P x y 在切线1l 上，△10012x y x y =-.△ 同理，20022x y x y =-.△ 综合△、△得，点()11,B x y ，()22,C x y 的坐标都满足方程002xy x y =-. △经过()11,B x y ，()22,C x y 两点的直线是唯一的， △直线BC 的方程为002x y x y =-， △点()1,1A 在直线BC 上，△00112y x =-， △点P 的轨迹方程为112y x =-.又△点P 在椭圆1C 上，又在直线112y x =-上， △直线112y x =-经过椭圆1C 内一点()0,1-， △直线112y x =-与椭圆1C 交于两点. △满足条件的点P 有两个.26．(1)21:4C x y =，222:134x y C +=(2)2y =-【分析】(1)依据曲线1C 和椭圆的定义求方程.(2) 假设点M 存在，设切线方程，M 即在抛物线又在椭圆上找到等量关系.【详解】（1）由曲线1C 上任意一点到F （0，1）的距离比到x 轴的距离大1，根据抛物线的定义，曲线1C 为以F （0，1）为焦点的抛物线，则曲线1C ：24x y =；设椭圆2C 的方程()222210y x a b a b+=>>，由24a =，a ＝2，c ＝1，2223b a c =-=，△椭圆2C ：22143y x +=；（2）若存在，由题意设AB 方程：y ＝kx +2代入24x y =，化简得2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，△ 由于12y x '=，△切线MA 方程为：()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，△同理切线MB 方程为：2221124y x x x =-，△ 由△△得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，△M （2k ，-2）， 又M （2k ，-2）在椭圆上，24113k +=可得：k ＝0，△M （0，-2）k ＝0代入△有：1x =2x =-△椭圆2C 上存在一点M （0，-2）符合题意，此时两条切线的方程为2y =-． 【点睛】本题要证明切点弦过定点，设切点弦的直线方程，得到韦达定理，然后通过切点写出两条切线方程，可以得到交点M 的坐标，由点M 的特性可以求出M 坐标，进而求出切点，写出切线方程．。
高中数学圆锥曲线切线题解题方法
高中数学圆锥曲线切线题解题方法在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念，而求解圆锥曲线的切线问题是其中的一个难点。
本文将介绍一些解题方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。
在解决圆锥曲线切线问题时，首先要明确题目给出的条件和要求。
例如，考虑以下题目：已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在椭圆上，求过点$P$的切线方程。
解决这类问题的关键是确定切线的斜率。
我们可以通过对椭圆方程进行求导来得到切线的斜率。
对椭圆方程两边同时对$x$求导，得到$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
由于点$P$在椭圆上，代入点$P(x_0,y_0)$，可得$\frac{2x_0}{a^2}+\frac{2y_0}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
进一步整理得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}$。
由此可见，切线的斜率与点$P$的坐标有关。
接下来，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求解切线方程。
例如，如果我们使用点斜式，切线方程可以表示为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)$。
通过上述步骤，我们可以得到切线的方程。
但是，在具体解题过程中，我们还需要注意一些细节。
首先，要注意点$P$的坐标是否满足椭圆方程。
如果点$P$不在椭圆上，那么切线方程将无意义。
其次，要注意椭圆方程中的参数$a$和$b$的取值范围。
当$a=b$时，椭圆退化为圆，此时切线方程的求解方法也会有所不同。
除了椭圆，我们还可以考虑其他类型的圆锥曲线，如双曲线和抛物线。
对于双曲线，我们可以通过类似的方法求解切线方程。
例如，已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在双曲线上，求过点$P$的切线方程。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。
（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。
该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。
1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
如图1中。
事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。
所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。
椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。
3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。
仍可利用到角公式获证。
这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。
二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。
圆锥曲线的切线方程的三种求法
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。
圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题
圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题1. 引言圆锥曲线是数学中重要的概念之一，涉及到切线和切点的求解问题是圆锥曲线的一个热门话题。
本文将介绍切线与圆锥曲线的切点，并探讨如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题的技巧与方法。
2. 切线与圆锥曲线的切点在二维几何中，切线是一条与曲线相切且仅有一个交点的直线。
对于圆锥曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，其切线与曲线的切点是求解问题的关键。
2.1 切线与椭圆的切点椭圆是圆锥曲线中的一类，具有很多重要性质。
求解切线与椭圆的切点的一种方法是利用椭圆的参数方程。
设椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长短半轴，θ为参数。
将参数方程代入椭圆的方程，可以得到关于θ的方程。
求解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。
2.2 切线与抛物线的切点抛物线是另一种常见的圆锥曲线，具有特殊的形状和性质。
对于抛物线，切线与曲线的切点也可以通过参数方程求解。
设抛物线的参数方程为x=t，y=t^2，其中t为参数。
同样地，将参数方程代入抛物线的方程，得到关于t的方程。
解出t后，再代入参数方程，可以求得切点的坐标。
2.3 切线与双曲线的切点双曲线是圆锥曲线中的另一类重要曲线，也可以应用切线与切点求解问题的方法。
对于双曲线，同样可以采用参数方程的方法求解切点的坐标。
设双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ，其中a和b分别为双曲线的参数，sec为余割函数，tan为正切函数。
将参数方程代入双曲线的方程，得到关于θ的方程。
解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。
3. 利用切线与圆锥曲线的切点求解问题在实际问题中，我们经常需要利用切线与圆锥曲线的切点来求解特定的数学问题。
以下是几个常见的应用案例。
3.1 求切线与曲线的夹角通过求解切线与曲线的切点，我们可以进一步求解切线与曲线的夹角。
利用切线的斜率和曲线的导数，可以得到切线与曲线的夹角的正切值。
过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的切线及原理
过圆锥曲线外⼀点作圆锥曲线的切线及原理过双曲线外⼀点作双曲线的切线及原理作法：① P 为双曲线外任⼀点，以P 为圆⼼2PF 为半径作圆1C ，以1F 为圆⼼2a 为半径作圆2C ，圆12,C C 交于点M ；（12,F F 为双曲线的两焦点，2a 为双曲线的实轴长）②取2F M 的中点D ，连PD 交1MF 于T 。
同样道理可以作出双曲线另⼀条切线。
下⾯证明PD 是双曲线的切线，T 是切点。
证明：⾸先证明T 在双曲线上：在圆1C 上，D 是弦2MF 的中点，则2PD MF ⊥，所以2TM TF =；在圆2C 上，112F M TM FT a =-=，则212TF TF a -=，所以T 在双曲线上。
再证T 是切点：过T 引PD 的垂线TS ，则2//TS MF ，所以2NTS TF M ∠=∠，12STM F MF ∠=∠，⼜由于22TMF TF M ∠=∠，所以MTS NTS ∠=∠，有双曲线的光学性质知TS 是双曲线在T 点处的法线，由于PD ⊥TS ，因此PD 是双曲线的切线，T 是切点。
过椭圆外⼀点作椭圆的切线及原理作法：① P 为椭圆外任⼀点，以P 为圆⼼2PF 为半径作圆1C ，以1F 为圆⼼2a 为半径作圆2C ，圆12,C C 交于点,M N ；（12,F F 为椭圆的两焦点，2a 为椭圆的长轴长）②取2F M 的中点D ，连PD 交1MF 于T 。
同样道理可以作出另⼀条切线。
下⾯证明PD 是椭圆的切线，T 是切点。
证明：⾸先证明T 在椭圆上：在圆1C 上，D 是弦2MF 的中点，则2PD MF ⊥，所以2TM TF =；在圆2C 上，112F M FT TM a =+=，那么122TF TF a +=，所以T 在椭圆上。
再证T 是切点：过T 引PD 的垂线TS ，则2//TS MF ，所以12FTS TMF ∠=∠， 22STF TF M ∠=∠，⼜由于22TMF TF M ∠=∠，所以12FTS F TS ∠=∠，有椭圆的光学性质知TS 是椭圆在T 点处的法线，由于PD ⊥TS ，因此PD 是椭圆的切线，T 是切点。
探究圆锥曲线的光学性质及其应用
yo7=2P * 探究圆锥曲线的光学性质及其应用学完圆锥曲线方程后，我对圆锥曲线的光学性质产生了兴趣，对其进行了证明及探究, 一下是一些成果。
一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P(x o^o)为圆锥曲线+ + m + + F = 0(A、B、C不同时为零)上一定点，则在该点处的切线方程为：血声+E•竺匹Ucy°y+D•土 + E.Z^Z + F = O2 ° 2 2 (该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程)。
该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率k = f(x°,yo),进而用点斜式写出切线方程y-yo = f(x o^oXx-x0)t则在点p处的法线方程为1y _ = _ ------------(龙-x』。
1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线X =即龙@》°)上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
如图1中5 = 2 °，y M X图I事实上，设何(矶，为)为抛物线X = 2px上一点.则切线MT的方程可由替换法则，得即y o y = p(x + x o)t斜率为％ ,于是得在点M处的法线方程为令得法线与x轴的交点N的坐标为（衍十卩①,所以|FN|=|FM|,从而得ccj = ct3 = C4?即勺二巾.当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。
所以过M的法线平分这条宜线和这一点的焦半径的夹角。
|FT|=|FM|=>Z1 = Z2 = Z3>从而得也=也・也可以利用到角公式来证明0' = %抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后, 反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
圆锥曲线的切线与光学性质
錐線與直線之關係◎錐線與直線之關係的判別：∆。
若∆> 0 ⇔相交於二點。
若∆= 0 ⇔相切。
若∆< 0 ⇔不相交。
◎切線方程式：˙類型１利用“根的判別式”解之解法：將一次式代入二次式，得到一元二次方程式。
令判別式＝0。
˙類型２給定“斜率”的切線若已知切線的斜率m時，要求其方程式，通常有下列二法：法１：利用“根的判別式”解之：設切線為y＝mx+k，將之代入二次式，令判別式＝0⇒求出k值。
法２：公式法：˙類型３給定“點”的切線當給予點(x0 , y0)時，(x0 , y0)在曲線上：x2⇒x0x, xy⇒20yx xy+, y2⇒y0yx⇒20 xx+, y⇒20 yy+, 常數⇒常數即過ax2 +bxy +cy2 +dx +ey+f＝0上一點(x0 , y0)的切線方程式為ax0x +b⋅20yx xy++cy0y +d⋅20 xx++e⋅20 yy++ f＝0。
(x0 , y0)不在曲線上：設切線是y–y0＝m(x–x0)。
將之代入二次式得到x（或y）的一元二次方程式，令判別式＝0，求出m值。
註：通常如此之m值有二個，若只求得一個，那麼另一是鉛直切線。
◎弦長及包含弦之直線方程式：因為圖形的交點就是聯立方程式的實數解，因此關於弦長的求法是：將一次式代入二次式，得到一元二次方程式。
再利用“根與係數的關係”解之。
解為了了解直線L 與雙曲線Γ是否有交點，我們將直線式y ＝2x ＋k 代入錐線式 4x 2－9y 2＝36 ( 消去y )得4x 2－9 ( 2x ＋k )2＝36，乘開化簡變成x 的一元二次方程式32x 2＋ ( 36k )x ＋9 ( k 2＋4 )＝0， (Ａ) 計算(Ａ)式的判別式D ＝( 36k )2－36．32．( k 2＋4 )＝144 ( k 2－32 )。
(1) 若D ＞0，解出 | k | ＞4 2 時，此時方程式(Ａ)有兩個相異實根，故直線L 與雙曲線Γ相交於兩個點。
运用圆锥曲线的光学性质解题
运用圆锥曲线的光学性质解题
以《运用圆锥曲线的光学性质解题》为标题，本文旨在阐述如何运用圆锥曲线的光学性质解决实际问题。
光学（Optics）是研究光的科学，涉及到光的折射、反射、衍射、振动等物理现象。
圆锥曲线（Conic sections）是光学中常用的基本曲线，它有四种不同的形态，即圆、椭圆、双曲线和超椭圆。
它们的特点是曲线的标准方程式记录了与点之间的距离有关的信息，并且使用它们可以得到与物体运动有关的信息。
圆锥曲线在光学中有着广泛的应用，它可以应用于光传播、折射、反射、衍射、振动等物理现象，运用圆锥曲线可以用来计算光的变化，可以用于光的衍射和反射。
比如，在实验室中，通过分析圆锥曲线，可以研究光的折射、反射、衍射、振动等光学性质。
此外，圆锥曲线还可以用来解决复杂的实际问题。
比如，在太阳能热水器中，可以利用圆锥曲线来计算太阳能热水器的效率，从而提高太阳能热水器的性能。
此外，圆锥曲线还可以用于光照度计算，以及解决照相机的成像问题。
另外，人们可以利用圆锥曲线的光学性质来解决实际问题，比如，利用圆锥曲线的光学性质，可以精确地测量大圆锥的半径，从而精确地测量出一个大球的直径和表面积。
此外，圆锥曲线在解决实际问题中可以用来提高准确度。
例如，通过使用圆锥曲线，可以精准地测量出一头牛的实际体积，从而更准确地测量出一头牛的实际重量。
总之，运用圆锥曲线的光学性质可以解决实际问题。
它可以用来提高实际测量的精度，从而使实验数据更加准确可靠。
通过运用圆锥曲线的光学性质，可以深入地研究光的折射、反射、衍射、振动等物理现象，从而更好地理解它们的本质。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线，也称为抛物线或椭圆曲线，是一种椭圆的衍射曲线。
圆锥曲线具有独特的光学特性，在光学应用中，广泛应用于实验数据分析和光学系统的设计。
本文就圆锥曲线的光学性质及其应用作一介绍。
圆锥曲线是一种具有定向镜效果的曲线，由焦点和曲线之间变量决定。
它具有正折射现象，即射线从一端的凸曲线向另一端的凹曲线传播。
由于具有强大的变形性，经过多次变形可以缩短射线的传播路径，最终可以将较弱的光束聚集成最大的光束，从而节省空间资源。
圆锥曲线的光学特性可用于光学系统的调节与设计，用以改善系统的光学性能。
例如，圆锥曲线可用于仪器测量系统中，可实现精度和稳定性的优化；它也可以用于照相机或摄像机镜头中，可以产生美丽而清晰的镜头效果。
快速而高效的衍射准则，可用于现实环境中较慢的光源，从而实现最佳的照明效果。
圆锥曲线也可以用来实现安全性和代价效益的优化，以提供可靠的衍射光学效果。
另外，圆锥曲线也可用于光学精密机械和检测系统，用于准确和高效的数据采集。
例如，它可以作为太阳数据的解决方案，可以准确的采集太阳辐射信息；此外，也可以用于测试各种光学系统参数，确定系统的可靠性和兼容性。
总之，圆锥曲线是一种光学衍射曲线，具有极大的用途。
它具有特殊的衍射效应，可以有效的改善各种精密光学系统的性能，从而实现最佳的效果。
圆锥曲线的光学特性的应用前景极为广，在诸如仪器测量、摄像机镜头、光学设备及照明系统等领域具有相当重要的历史意义，显示出它对光学领域的重要作用。
圆锥曲线的切线与法线的解析
圆锥曲线的切线与法线的解析圆锥曲线是数学中的一种重要曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在研究这些曲线时，我们经常需要求解曲线上某一点处的切线和法线。
本文将介绍圆锥曲线的切线和法线的解析方法。
一、椭圆的切线与法线椭圆是平面上一点到两个给定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，我们来求解它的切线和法线。
1. 切线的解析式设椭圆的焦点为F₁和F₂，椭圆上的点P(x, y)。
连接F₁P和F₂P，并垂直平分F₁P和F₂P的中垂线，交椭圆于点M。
连接点M和点P，我们发现线段MP恰好就是切线。
由于F₁M = F₂M，根据垂直平分线的性质，有F₁P = F₂P。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则F₁M = F₁P - MP = a - xF₂M = F₂P + MP = a + x根据椭圆的定义，有F₁P + F₂P = 2a。
结合上面的等式，我们可以得到：2(a - x) + 2(a + x) = 2a4a = 2ax = a即当P(x, y)在椭圆的长轴上时，切线与椭圆的长轴垂直。
因此，椭圆的切线方程可以表示为：x = a当P(x, y)不在椭圆的长轴上时，切线的斜率可以通过求解导数来得到。
设椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1，对该方程两边求导得：2x/a² + 2y/b² * dy/dx = 0dy/dx = -x(a²/b²)可以看出，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。
再通过点斜式求解切线的方程，即可得到椭圆上任一点的切线方程。
2. 法线的解析式椭圆上任意一点P(x, y)处的法线垂直于切线。
设法线的斜率为k，由于切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，所以有k = -x(a²/b²)。
通过点斜式求解法线的方程，设法线与切点P(x, y)的坐标为(Nx, Ny)，有：(Nx - x) / (Ny - y) = -x(a²/b²)(Ny - y) = (x² - a²) / (b²x)由于法线过点P(x, y)，代入坐标可得：(Nx - x) / ((Nx² - a²) / (b²Nx) - y) = -x(a²/b²)化简以上方程可以得到椭圆上任一点的法线方程。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面上一类重要的数学曲线，它们在光学领域中具有重要的应用。
本文将分析圆锥曲线的光学性质以及它们在光学领域中的应用。
第一部分：圆锥曲线的定义及其光学性质圆锥曲线是在一个平面上与两个定点焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的轨迹。
这两个焦点和常数2a定义了一个圆锥曲线的形状。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在光学领域中，圆锥曲线具有以下一些重要的光学性质：1.焦距：圆锥曲线的焦距是指从焦点到曲线的任意一点的距离。
焦距是光学中用来描述圆锥曲线形状的一个重要参数。
2.反射性质：圆锥曲线具有良好的反射性质，即光线经过圆锥曲线反射后能够聚焦到焦点上。
这种反射性质在光学仪器中有广泛的应用。
3.折射性质：当光线穿过圆锥曲线时，会根据曲线的形状和光线入射的角度发生折射现象。
这种折射性质在透镜和光学元件中有重要的应用。
4.光学成像：圆锥曲线具有良好的成像性质，可以用来设计出具有特定功能的光学元件，如凸透镜、凹透镜和椭圆反射面。
以上是圆锥曲线的一些光学性质，这些性质对于理解和设计光学系统非常重要。
第二部分：圆锥曲线在光学领域中的应用1.凸透镜：椭圆形凸透镜是一种常用的光学元件，它可以实现对光线的聚焦和成像。
利用椭圆形凸透镜的焦距和反射性质，可以设计出能够产生清晰的像的光学系统。
2.凹透镜：双曲线形凹透镜可以用来调制和分离光线，具有广泛的应用。
双曲线形凹透镜能够对光线进行折射和散射，可用于太阳能集热器和激光设备中。
3.抛物面反射器：抛物面反射器是一种利用抛物线形状的曲面进行光学反射的设备。
抛物面反射器可以产生平行入射光线的焦点，可用于望远镜和抛物面反射天线中。
4.光学成像系统：圆锥曲线在光学成像系统的设计中有重要的应用。
通过合理选择椭圆、抛物线和双曲线形状的曲面，可以设计出具有不同聚焦特性的光学成像系统，满足不同的光学需求。
5.光学测量仪器：圆锥曲线可以用来设计各种光学测量仪器，如激光测距仪、光学显微镜和激光雷达。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧阐述
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧阐述圆锥曲线是解析几何中的重要内容，其中包括椭圆、双曲线和抛物线等。
在研究圆锥曲线的性质时，常常需要找到曲线上某点处的切线和法线方程。
本文将重点探讨圆锥曲线的切线和法线方程求解技巧。
1. 切线的求解技巧切线是曲线在某一点处的切线，它与曲线仅相交于该点。
我们可以通过求解切线的斜率和通过给定点的方程来确定切线方程。
为了求解切线，首先需要求曲线在某点处的导数。
以椭圆为例，其方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b）。
假设我们要求解椭圆上一点P的切线方程，P的坐标为(x0, y0)。
（1）求解切线斜率：椭圆的导数可以通过隐函数求导法求得。
对椭圆方程两边同时求导，得到2x/a^2 + 2yy'/b^2 = 0。
将点P的坐标代入上式，可得到斜率m = -xb^2/ya^2。
（2）切线的方程：切线方程的一般形式为y - y0 = m(x - x0)。
将m和P的坐标代入切线方程中，可得到椭圆上点P处的切线方程。
2. 法线的求解技巧法线是与切线垂直的直线。
与切线类似，我们可以通过求解法线的斜率和通过给定点的方程来确定法线方程。
为了求解法线，同样需要求曲线在某一点处的导数。
以抛物线为例，其方程为y^2 = 4ax（a > 0）。
假设我们要求解抛物线上一点P的法线方程，P的坐标为(x0, y0)。
（1）求解法线斜率：抛物线的导数可以通过隐函数求导法求得。
对抛物线方程两边同时求导，得到2yy' = 4a。
将点P的坐标代入上式，可得到斜率m = -1/(2a)。
（2）法线的方程：法线方程的一般形式为y - y0 = -1/m(x - x0)。
将m和P的坐标代入法线方程中，可得到抛物线上点P处的法线方程。
3. 切线和法线方程求解实例通过以上技巧，我们可以来解决一个具体的求解问题。
示例：求解椭圆x^2/4 + y^2/9 = 1上点P(2, 3)处的切线和法线方程。
过圆锥曲线上一点作切线的方法（第一部分）
过圆锥曲线上一点作切线的方法（第一部分）作圆锥曲线的切线，也是一个比较有意思的问题。
网上这方面的资料虽然有一些，但比较零散，本文汇集了笔者所能见到的几种方法，并给出详细的证明。
按，本文很多地方如果用射影几何研究当更为简洁，但遗憾的是笔者没有学过，所以这里基本只利用传统初等几何和解析几何的方法，只有个别地方涉及帕斯卡定理和投影法。
（感谢邵勇老师和蒋迅老师的帮助）方法一：已知两个焦点位置作法：对椭圆（图 1）：1.连接、；2.作角的平分线，其中是延长线上的点。
直线即为所求。
对双曲线（图 2）：1.连接、；2.作角的平分线。
直线即为所求。
对抛物线（图 3）：1.连接；2.过作对称轴的平行线，设为平行线上在抛物线外的一点；3.作的平分线。
直线即为所求。
证明：根据圆锥曲线光学性质可证。
方法二：已知一个焦点和对应的准线作法：1.连接；2.过作的垂线，交准线于点；3.连接。
直线即为所求。
证明：以椭圆为例，建立坐标系，设左焦点，，，椭圆方程为。
则在直角三角形中，由得：，（勾股定理），整理得到满足的方程：又知道过点切线方程为将带入（2），得到切线与准线交点的纵坐标满足，与（1）对照，可知满足该方程，即点在切线上。
得证。
方法三：作法：1.在其上任取、、、四点；2.连接、，延长线交于点；3.连接、，延长线交于点；4.连接；5.连接，延长线交直线于点；6.连接。
直线即为所求。
证明：根据圆锥曲线的帕斯卡定理，圆锥曲线内接六边形的对边连线交于三个点，此三点共线。
在图中，设附近有一点，不妨设为在之间，则直线与交点、直线与交点、直线与交点共线。
当趋近于时，第一个交点趋近于，第二个交点为不变，第三个交点趋近于过点切线与交点，也在直线上，即是与的交点。
得证。
方法四：适用于椭圆和双曲线，是中心，给出长轴（或实轴）作法：对于椭圆：1.以长轴为直径作圆；2.过点作长轴的垂线，交长轴于点，交圆于点；3.过作圆的切线，交长轴延长线于点；4.连接。
运用圆锥曲线的光学性质解题
运用圆锥曲线的光学性质解题光学学科是物理学的一个分支，它研究光和人们接触的物体之间的相互作用以及光的性质及其应用。
在人们的日常生活中，光的性质起着重要的作用，特别是圆锥曲线的光学性质在教学、科学研究及解决实际问题中都起着重要的作用。
本文主要围绕运用圆锥曲线的光学性质解题这一话题展开。
首先，本文介绍了圆锥曲线的光学性质以及运用它们解决实际问题的背景。
圆锥曲线的光学性质表明，当光从一个介质中传入另一个介质时，其入射角和反射角之间存在着一定的关系。
圆锥曲线在光学领域尤其重要，它具有传播连续性，由此可以解决球面表面上光线传播的实际问题。
其次，本文针对上述性质，简要详细介绍了圆锥曲线特性中涉及到的几何概念，包括折射、反射和室内损耗等。
讨论传播连续性球面表面光线传播的实际问题时，可以利用光从一个介质传入另一个介质的折射原理，以及光从折射表面反射或出射的反射原理，以及光在传播过程中受到的室内损耗等。
再次，本文简要介绍了一些实际应用的例子，比如：光纤传输、激光雷达、激光测距等。
光纤传输是一种基于光折射原理的数据传输方式，使用圆锥曲线来求解光纤中光线的传播路径；激光雷达是利用激光束反射原理来测量距离和速度；激光测距则利用激光在传播过程中发生的室内损耗特性来测量距离。
最后，本文就一些关于圆锥曲线的光学性质在解决实际问题方面的应用进行了讨论，提出了以下几点建议：首先，要正确理解圆锥曲线的特性，对它们进行分析思考，以便正确应用；其次，要熟悉折射、反射及室内损耗等圆锥曲线特性，以便正确解决实际问题；最后，要多积累实际应用的例子，如光纤传输、激光测距等，以便更好地应用圆锥曲线的特性。
总之，圆锥曲线的光学性质起着重要的作用，它们不仅在理论研究上十分重要，而且在实际应用中也有着重要的作用，从而为解决实际问题提供了可靠的依据。
正确理解运用圆锥曲线的光学性质，可以体现出较强的理论知识，从而更好地解决实际问题。
圆锥曲线切线方程的五种求法
2013-12教学实践论———柯西不等式就此“诞生”！而此不等式的应用经常在数学竞赛中出现。
顿时，学生们眼中的喜悦无法言表。
我也深受感染，陶醉其中！从教学实例中我深深体会到：数学教学应充分挖掘学生的潜力，充分调动学生的主观能动性，放手让学生主动探究，教师适时引导，就会有意想不到的收获。
这正如古人云：授之以鱼不如授之以渔。
读懂读通教材及学生，教师在数学教学中才能做到游刃有余。
今后我将不断提高自己的知识素养与教学技能，全身心地投入到新课程的教学中。
（作者单位江苏省南京市栖霞中学烷基苯校区）•编辑刘俊婷切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M （x0，y0）的圆的切线l的方程.解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），∴OM=（x-a，y-b，MN=x-x0，y-y0），又∵OM⊥MN∴OM·MN=0即：（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0，即：［（x-a）-（x0-a）］（x0-a）+［（y-b）-（y0-b）］（y0-b）=0，所以过圆上的点M（x0，y0）的圆的切线l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-［（x0-a）2+（y0-b）2］=0，即：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，即l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.二、巧用变换设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，我们做变换：x=aμy=bv{，则可把椭圆化为单位圆：μ2+v2=1，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题：例2.求过椭圆x216+y29=1上一点M（22√，32√2）的切线l方程.解：令μ=x4，v=y3，则椭圆在新坐标系μOv下的方程是：u2+v2=1，点M（22√，32√2）在新坐标系μOv下的坐标是：（2√2，2√2），易知过圆u2+v2=1上的点（2√2，2√2）的切线方程是：2√2μ+2√2v=1，即：μ+v=2√，所以过椭圆上一点M的切线l的方程是：x4+y3=2√，即：3x+4y=122√.值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.解：设l的方程是：y-1=k（x-2）且k≠±2√2，即：y=kx-（2k-1），将它代入方程x2-2y2=2中整理得：（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，由已知得：△=［-4k（2k-1）］2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例4.此处仍以上面的例3为例.解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，得：2x-4yy′=0，即：y′x=2，y=1=x2y x=2，y=1=1，这就是所求切线的斜率，∴过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM 必与抛物线相切。
作圆锥曲线切线的简单方法
作圆锥曲线切线的简单方法过圆锥曲线“外”不(含焦点区域一点用《几何画板》作切线有简单方法.介绍如下.1、过椭圆外一点作椭圆的两条切线(1设P是椭圆外任意一点,椭圆的长轴为A'A左, 、右焦点分别为F1、F2.以F1 为圆心、A'A(=2a为半径作圆;以P为圆心、PF2为半径作圆.两圆交于点M、N.(2过P分别作F2M、F2N 的垂线PC、PD.PC、PD就是过P的椭圆的两条切线.(3联结F1M、F1N分别交PC、PD于C、D.C、D就是切点.证明由作法知,PC是△F1CF2的外角∠F2CM的平分线.根据椭圆切线的性质(也即光学性质知PC是过P的椭圆的切线.同样PD是△F1F2D的外角∠F2DN 的平分线.2、过双曲线“外”一点作双曲线的两条切线(1设P是双曲线“外”可以作出两条切线的任意一点,双曲线的实轴为A'A左, 、右焦点分别为F1、F2.以F1为圆心、实轴A'A(=2a为半径作圆;以P为圆心、PF2 为半径作圆.两圆交于点M 、N.(2过P分别作F2M、F2N的(中垂线PD、PC. PD、PC就是过P的双曲线的两条切线.(3联结直线F1M、F1N分别交PD、PC于D、C.D、C就是切点.证明由作法知,PC是△F1CF2的平分线.根据双曲线切线的性质(也即光学性质知PC 是过P的双曲线的切线.同样PD是△F1DF2的平分线.3、过抛物线“外”一点作抛物线的两条切线(1设P是抛物线“外”任意一点,抛物线的准线为l,焦点为F.以P为圆心、PF为半径作圆,此圆与抛物线的准线l 交于M 、N.(2设FM、FN的中点分别为A、B.过M、N分别作准线l的垂线与PA、PB交于C、D. PC、PD就是过P的抛物线的两条切线,C、D就是切点.证明由作法知,PC是△FCM 的平分线.根据抛物线切线的性质(也即光学性质知PC是过P的抛物线的切线.同样PD 是抛物线的过P的另一条切线.。
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点 的双 曲线 的切线 。
射后， 必经过椭圆的另一个焦点。
由光的反射原理可知， 光的人射角与反射角是相等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 因此， 椭 圆切线的法线为人射光线与反射光线所成角的平分线， 故作椭圆上任 一点的切线问题可以通过作人射光线与反射光线所成角的平分线的
垂线而得。
过椭圆上任一点 P 作椭圆的切线:
如图， 在椭圆上任取一点 P ， PF,,PFZ 作L FIPF: 的平分线 连接 ， PQ， 再过P 点作PQ 的垂线 MN 即为椭圆在P 点上的切线。
平行线PQ， FPQ 的平分线PK， 作L 再过P 点作PK 的垂线M 即为过 N 点P 的抛物线的切线。且有L MPF=L NPQo
推论: 椭圆上任一点的两条焦点弦与过这一点的切线所成的弦
切角相等。(即L MPF,= L NPF2) 二、 双曲线的光学性质及切线作法 双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线， 经过双曲 线反射后， 反射光线的反向延长线必经过双曲线的另一焦点。 与椭圆同理， 过双曲线上任一点P 作双曲线的切线， 可以通过作 人射光线与反射光线所成角的平分线的垂线而得。
科技动态
[摘 要」 锥 线 着 常 妙 光 性 本文对利用圆锥曲线的光学性质在国锥曲线的切线作法 国 曲 有 非 奇 的 学 质，
应用上作一个粗浅的探讨。
[关键词〕 锥曲 光 性 切 作 圆 线 学质 线 法
一、 国的光学性质及切线作法 椭 椭 圆的光学性质 :从椭 圆的一个焦点发 出的光线 经过椭 圆 的反
/ 文件尾 1
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} 四 、结束语
XML 组成文档内容结构的技术特点， 详细分析了文档结构的元数据， 并且根据XM 的组成结构给出了一个动态生成 文档 L 的 法， 为动态生成 OpenOff 文档打下了基础。 i
以上比 较详细地介绍了OpenO 的文档的存储格式和由
由
过双 曲线上 任 一点 P 作双 曲线 的切线 :
参考文献
如图， 在双曲线上任取一点 P ， 连接 PF,,PF2 ， PFI 反向延长 作 线 PK，作LL PK 的平分线 PQ，再过 P 点作 PQ 的垂线 MN 即为过 P FZ $con_head 二 $aryl [0]."<office:body><office:text>'; $arr2 二explode("</office:text></office:body>",$arrl [l ]);
/ 资料 内容
P] 刘锐诚 《 高中数学1.人民日报出版社,2002.6 121杨向群等 f 中等职业教育教材 数学》 ， 湖南科学技术出版社， 2005.6
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4.将处理完的content.xml 加入$x 的zipf le: i
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/ 文件 头
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3. 将准备好的资料放入入指定的数组，并将之插入 content.xml 中 待处理的资料内容: $tempa rr['name'] 二 $array[0] ; $temp- arr['tel'] =San dy[1] ; $tempa rr['email'] =$array[2] ; $tempa rr['address'] =$array[3] ; $tempa nf'describe'] =n1 2br($array[4]);
与椭圆类似的， MPF,=L NPKa 有L 三、 抛物线的光学性质及切线作法 \
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抛物线的光学性质: 从抛物线发出的光线， 经过抛物线反射后， 都 平行于抛物线的对称轴。 因此， 人射光线与反射光线的角平分线即为抛物线反射点上切线 的法线， 故有抛物线上任一点的切线作法如下。 过抛物线上任一点作抛物线的切线: 如图， 在抛物线上任取一点P ， PF ， 点作抛物线对称轴的 连接 过P
/ 拆分 content.xml
5.
最后以 流方式 输出OpenO 文件， 供下载: 以
if (strpos ($ SERVER ['HT P USER- AGENT'] ， T 'MSIE') II strpos ($S ERVER ['HT P USER- AGENT'] ， T 'Opera')) $mimeType="application/x- download';