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初中数学组卷：三角形及四边形(附答案)

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中考数学冲刺专题训练(附答案)：三角形与四边形

中考数学冲刺专题训练(附答案)：三角形与四边形

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：三角形与四边形一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12C ．14D ．12或16【答案】A 【解析】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：A ．2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBM=12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线， ∴∠ECM=12∠ACM ， 则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC ）=12∠A=30°， 故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．3D ．6【答案】D 【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝6； 故选D.4．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12C ．16D ．32【答案】C 【解析】 如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==， 12DC BO BD ==，AC BD ⊥， 面积为28，∴12282AC BD OD AO ⋅=⋅=① 菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++⋅=+=，8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16， 故选C ．5．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DE B ．AC =DF C ．∠A =∠D D ．BF =EC【答案】C 【解析】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误． 故选C ．6．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（ ）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，AB CD =，AD BC =， ∵平行四边形的周长为28， ∴14AB AD += ∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线， ∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=， 故选：D ．7．如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C 【解析】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=，90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形， ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2﹣2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 ①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM=，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt △CEF 中，OC ＝12EF ＝22x ， △EAF 中，∠EAO ＝∠FAO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°， ∴OE ＝BE ， ∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ）， ∴AO ＝AB ＝1， ∴AC ＝2＝AO+OC ，∴1+22x ＝2， x ＝2﹣2，∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22； 故②不正确； ③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ， ∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE ， ∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°， ∴H 、B 、E 三点共线， 在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ）， ∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF ， 故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°， ∠FDN ＝45°， ∴DF ＞FN ，故存在点E 、F ，使得NF ＞DF ， 故④不正确； 故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 与点D ，连结AD ，若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是____________．【答案】34° 【解析】由作图过程可知BD=BA ， ∵∠B=40°， ∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=70°， ∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°. 故答案为34°. 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE α=．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．【答案】53或53【解析】 分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B ︒∴∠=∠=，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '︒∴∠=∠=∠=，AB BE ∴=，315a ∴=， 53a ∴=；②当点B '落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ︒∴∠=∠=∠=∠=，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '︒∴∠=∠=，1AB AB '==，35EB EB a '==，2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a =-=-=． 在ADB '∆与B CE '∆中，90A 90B AD EBC B DD C ︒︒⎧∠=∠=-∠'''⎨∠=∠=⎩， ADB B CE ''∴∆⋃∆，DB AB CE B E'''∴=，即2112355a a a -=，解得153a =，20a =（舍去）． 综上，所求a 的值为53或53． 故答案为53或53． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90°得ABG ∆，则CF 的长为_____．【答案】6-25 【解析】作FM AD M FN AG N ⊥⊥于，于 ，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则4FM ＝∵正方形ABCD的边长为4，点是的中点，2DE ∴＝，∴224225AE =+=∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，∴252349090AG AE BG DE GAE ABG D ∠∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝，＝，＝，＝＝ 而90ABC ∠︒＝ ， ∴点G 在CB 的延长线上，∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A 平分∠GAD ， ∴FN ＝FM ＝4， ∵11••22AB GF FN AG ＝, ∴425254GF ⨯==, ∴4225625CF CG GF +=-＝﹣＝﹣ ． 故答案为6-25．12．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝1，以OA 为一边，在第一象限作菱形OAA 1B ，并使∠AOB ＝60°，再以对角线OA 1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA 1A 2B 1，再依次作菱形OA 2A 3B 2，OA 3A 4B 3，……，则过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-32018，3）2019） 【解析】过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝32，AC＝12，∴OC＝OA+AC＝32，在Rt△OA1C中，OA1＝2213OC AC+=，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝23，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝33＝（3）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B133）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23，∵菱形OA3A4B3的边长为333，∴OA4＝934，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，OA2020＝（3）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（3）2018，（3）2019），故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。

2019、2020年山东中考数学试题分类(5)——三角形与四边形(含答案)

2019、2020年山东中考数学试题分类(5)——三角形与四边形(含答案)

2019、2020年山东中考数学试题分类（5）——三角形与四边形一．三角形的重心（共2小题）1．（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c22．（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4二．三角形内角和定理（共1小题）3．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°三．全等三角形的性质（共1小题）4．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED四．全等三角形的判定与性质（共7小题）5．（2019•临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD 的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．26．（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17．（2019•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．8．（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．9．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．10．（2020•泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．11．（2019•莱芜区）如图，已知等边△ABC ，CD ⊥AB 于D ，AF ⊥AC ，E 为线段CD 上一点，且CE ＝AF ，连接BE ，BF ，EG ⊥BF 于G ，连接DG ． （1）求证：BE ＝BF ；（2）试说明DG 与AF 的位置关系和数量关系．五．等腰三角形的性质（共1小题） 12．（2020•临沂）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，CD ∥AB ，则∠BCD ＝（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 六．勾股定理（共2小题） 13．（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）n D ．（√22）n ﹣114．（2019•枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝ ．七．勾股定理的逆定理（共1小题） 15．（2019•滨州）满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（ ） A ．AB =√41，BC ＝4，AC ＝5 B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：5 C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．|cos A −12|+（tan B −√33）2＝0八．等腰直角三角形（共1小题） 16．（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB ＝40cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25cm 2B ．1003cm 2C ．50cm 2D ．75cm 2九．三角形综合题（共1小题） 17．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，连接BD ，AB ＝BD ，点F 是线段CE 上一点． 探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？ ．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．一十．多边形内角与外角（共5小题） 18．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB 中，射线OC 交边AB 于点D ，则∠ADC 的度数为（ ）A．60°B．70°C．80°D．85°19．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米20．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．621．（2019•莱芜区）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．1322．（2019•枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．一十一．平行四边形的性质（共5小题）23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2＞S 2B．S1+S2＜S 2C．S1+S2=S 2D．S1+S2的大小与P点位置有关24．（2019•烟台）如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A ．2425B ．45C ．34D ．122525．（2020•济南）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：AE ＝CF ．26．（2020•淄博）已知：如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ． 求证：△ABC ≌△DCE ．27．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．一十二．平行四边形的判定与性质（共1小题） 28．（2019•威海）如图，E 是▱ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE 、CE 、BD ，BE 交CD 于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（ ）A ．∠ABD ＝∠DCEB ．DF ＝CFC ．∠AEB ＝∠BCD D ．∠AEC ＝∠CBD 一十三．菱形的性质（共3小题） 29．（2020•日照）已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（ ） A ．8√3 B ．8 C ．4√3 D ．2√3 30．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，△ACE 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，点C 与点E 关于x 轴对称，则点D 的坐标是 ．31．（2019•聊城）在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF ． 求证：（1）△ABF ≌△DAE ； （2）DE ＝BF +EF ．一十四．菱形的判定（共1小题） 32．（2020•滨州）如图，过▱ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ． （1）求证：△PBE ≌△QDE ；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．一十五．矩形的性质（共3小题） 33．（2020•威海）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝4，BC ＝3，则tan α的值为（ ）A ．38B ．34C ．√52D ．√151534．（2020•泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论： ①DN ＝BM ； ②EM ∥FN ； ③AE ＝FC ；④当AO ＝AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 35．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，点P 在对角线BD 上，且BP ＝BA ，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为 ．一十六．矩形的判定（共1小题） 36．（2019•临沂）如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（ ）A ．OM =12ACB ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND一十七．正方形的性质（共5小题） 37．（2019•莱芜区）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连接EN 、EF ，有以下结论： ①AN ＝EN②当AE ＝AF 时，SS SS=2−√2③BE +DF ＝EF④存在点E 、F ，使得NF ＞DF 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 38．（2020•青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若DE ＝2，OF ＝3，则点A 到DF 的距离为 ．39．（2020•枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的周长是．40．（2019•泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．41．（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．一十八．正方形的判定（共1小题）42．（2020•威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB 上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）A ．四边形DEBF 为平行四边形B ．若AE ＝3.6，则四边形DEBF 为矩形C ．若AE ＝5，则四边形DEBF 为菱形D ．若AE ＝4.8，则四边形DEBF 为正方形 一十九．梯形（共1小题） 43．（2020•泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ＝2cm ，底边BC ＝6cm ，∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长为（ ）A ．1cmB ．√63cm C ．（2√3−3）cmD ．（2−√3）cm二十．*平面向量（共1小题）44．（2019•日照）规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为（a ，b ），那么向量SS →可以表示为：SS →=（a ，b ），如果SS →与SS →互相垂直，SS →=（x 1，y 1），SS →=（x 2，y 2），那么x 1x 2+y 1y 2＝0．若SS →与SS →互相垂直，SS →=（sin α，1），SS →=（2，−√3），则锐角∠α＝ ．二十一．四边形综合题（共6小题） 45．（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ．46．（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD 和Rt △EBF 中，AB ∥CD ，CD ＞AB ，点C 在EB 上，∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，延长DC 交EF 于点M ．点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm /s ．过点P 作GH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）． 解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上？（2）连接PQ ，作QN ⊥AF 于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值； （3）连接QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（4）点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．47．（2020•临沂）如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝60°，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．（1）求证：AF ＝EF ；（2）求MN +NG 的最小值；（3）当点E 在AB 上运动时，∠CEF 的大小是否变化？为什么？48．（2020•济宁）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E ，F ，G 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CG ，AF 平分∠EAG ，点H 是线段AF 上一动点（与点A 不重合）．（1）求证：△AEH ≌△AGH ；（2）当AB ＝12，BE ＝4时．①求△DGH 周长的最小值；②若点O 是AC 的中点，是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出SS SS 的值；若不存在，请说明理由．49．（2020•德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是： ；（2）AD 的取值范围是 ；方法运用：（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ．（4）如图3，在矩形ABCD 中，SS SS =12，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且SS SS =12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG ．50．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD 垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2019、2020年山东中考数学试题分类（5）——三角形与四边形参考答案与试题解析一．三角形的重心（共2小题）1．【解答】解：设EF ＝x ，DF ＝y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AE =12AC =12b ，BD =12a ， ∴AF ＝2DF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠AFE ＝∠BFD ＝90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2＝c 2，①在Rt △AEF 中，x 2+4y 2=14b 2，②在Rt △BFD 中，4x 2+y 2=14a 2，③②+③得5x 2+5y 2=14（a 2+b 2），∴4x 2+4y 2=15（a 2+b 2），④①﹣④得c 2−15（a 2+b 2）＝0，即a 2+b 2＝5c 2．故选：A ．2．【解答】解：∵点G 为△ABC 的重心，∴AE ＝BE ，BF ＝CF ，∴EF =12SS =1.7， 故选：A ．二．三角形内角和定理（共1小题）3．【解答】解：∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB ＝∠EFB ＝90°，∴∠BAF ＝∠BEF ＝90°﹣17.5°，∴AB ＝BE ，∴AF ＝EF ，∴AD ＝ED ，∴∠DAF ＝∠DEF ，∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝95°，∴∠BED ＝∠BAD ＝95°，∴∠CDE ＝95°﹣50°＝45°，故选：C ．三．全等三角形的性质（共1小题）4．【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AC ＝AE ，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．四．全等三角形的判定与性质（共7小题）5．【解答】解：∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，在△ADE 和△CFE 中{∠S =∠SSSSSSS =SS SS =SS，∴△ADE ≌△CFE （AAS ），∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．故选：B ．6．【解答】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，①正确；∴∠OAC ＝∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB +∠OAC ＝∠AOB +∠OBD ，∴∠AMB ＝∠AOB ＝40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC ＝∠OHD ＝90°，在△OCG 和△ODH 中，{∠SSS =∠SSSSSSS =SSSS SS =SS ，∴△OCG ≌△ODH （AAS ），∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠BMC ，④正确；∵∠AOB ＝∠COD ，∴当∠DOM ＝∠AOM 时，OM 才平分∠BOC ，假设∠DOM ＝∠AOM∵△AOC ≌△BOD ，∴∠COM ＝∠BOM ，∵MO 平分∠BMC ，∴∠CMO ＝∠BMO ， 在△COM 和△BOM 中，{∠SSS =∠SSS SS =SS SSSS =SSSS，∴△COM ≌△BOM （ASA ），∴OB ＝OC ，∵OA ＝OB∴OA ＝OC与OA ＞OC 矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选：B ．7．【解答】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°，延长CD 到H 使DH ＝CD ，∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADH 与△BCD 中，{SS =SSSSSS =SSSS SS =SS ，∴△ADH ≌△BCD （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH =√3AH ＝4√3，∴△ABC 的面积＝S △ACH =12×4×4√3=8√3，故答案为：8√3．8．【解答】【问题解决】证明：在CD 上截取CH ＝CE ，如图1所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH ＝60°，∴△CEH 是等边三角形，∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，∴∠DEH +∠HEF ＝∠FEC +∠HEF ＝60°，∴∠DEH ＝∠FEC ，在△DEH 和△FEC 中，{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，∴△DEH ≌△FEC （SAS ），∴DH ＝CF ，∴CD ＝CH +DH ＝CE +CF ，∴CE +CF ＝CD ；【类比探究】解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD +CE ；理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∵GD ∥AB ，∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∴△GCD 为等边三角形，∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，∵△EDF 为等边三角形，∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，∴∠EDG ＝∠FDC ，在△EGD 和△FCD 中，{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，∴△EGD ≌△FCD （SAS ），∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．9．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．10．【解答】解：（1）四边形BEAC 是平行四边形，理由如下：∵△AED 为等腰三角形，∠EAD ＝90°，B 是DE 的中点，∴∠E ＝∠BAE ＝45°，∠ABE ＝90°，∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAE ＝45°，∠ABE ＝∠BAC ＝90°，∴BC ∥AE ，AC ∥BE ，∴四边形BEAC 是平行四边形；（2）①∵△ABC 和△AED 均为等腰三角形，∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∴AE ＝AD ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，∴△AEB ≌△ADC （SAS ），∴BE ＝CD ；②延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，∵G是EC的中点，∴EG＝DC，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．11．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°∵CD⊥AB，AC＝BC∴BD＝AD，∠BCD＝30°，∵AF⊥AC∴∠F AC＝90°∴∠F AB＝∠F AC﹣∠BAC＝30°∴∠F AB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE∴△ABF≌△CBE（SAS）∴BF＝BE（2）AF＝2GD，AF∥DG理由如下：连接EF，∵△ABF≌△CBE∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF∴BG＝FG，且BD＝AD∴AF＝2GD，AF∥DG五．等腰三角形的性质（共1小题）12．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ACB ＝70°，∵CD ∥AB ，∴∠ACD ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠BCD ＝∠ACD ﹣∠ACB ＝70°．故选：D ．六．勾股定理（共2小题）13．【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，∴OA 2=√2；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴OA 3＝2=(√2)2；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴OA 4＝2√2=(√2)3．∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，∴OA 5＝4=(√2)4，……∴OA n 的长度为（√2）n ﹣1．故选：B ．14．【解答】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC =√2AB ＝2√2，BF ＝AF =√22AB =√2，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD ＝BC ＝2√2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF =√SS 2−SS 2=√6，∴CD ＝BF +DF ﹣BC =√2+√6−2√2=√6−√2，故答案为：√6−√2．七．勾股定理的逆定理（共1小题）15．【解答】解：A 、∵52+42=25+16=41=(√41)2，∴△ABC 是直角三角形，错误；B 、∵（3x ）2+（4x ）2＝9x 2+16x 2＝25x 2＝（5x ）2，∴△ABC 是直角三角形，错误；C 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∴∠C =53+4+5×180°=75°≠90°，∴△ABC 不是直角三角形，正确； D 、∵|cos A −12|+（tan B −√33）2＝0，∴SSSS =12，SSSS =√33，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，错误；故选：C ．八．等腰直角三角形（共1小题）16．【解答】解：如图：设OF ＝EF ＝FG ＝x （cm ），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x，∴x＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）故选：C．九．三角形综合题（共1小题）17．【解答】解：（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E ＝∠EDF ，∴EF ＝FD ，∵∠E +∠ECD ＝90°，∠EDF +∠FDC ＝90°，∴∠FCD ＝∠FDC ，∴FD ＝FC ，∴EF ＝FC ，∴点F 是EC 的中点．（3）如图3中，取EC 的中点G ，连接GD ．则GD ⊥BD ．∴DG =12EC =92， ∵BD ＝AB ＝6，在Rt △BDG 中，BG =√SS 2+SS 2=√(92)2+62=152， ∴CB =152−92=3，在Rt △ABC 中，AC =√SS 2+SS 2=√62+32=3√5，∵∠ACB ＝∠ECD ，∠ABC ＝∠EDC ，∴△ABC ∽△EDC ，∴SS SS =SS SS，∴3√59=3SS ， ∴CD =9√55， ∴AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 一十．多边形内角与外角（共5小题）18．【解答】解：∵OA ＝OB ，∠AOB ＝140°，∴∠A ＝∠B =12（180°﹣140°）＝20°， ∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝∠A +∠AOC ＝20°+60°＝80°，故选：C ．19．【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点， 所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C ．20．【解答】解：设所求正n 边形边数为n ，则1080°＝（n ﹣2）•180°，解得n ＝8．故选：B ．21．【解答】解：设这个多边形是n 边形，根据题意得，（n ﹣2）•180°＝5×360°，解得n ＝12．故选：C ．22．【解答】解：∵∠ABC =(5−2)×180°5=108°，△ABC 是等腰三角形， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝36度．一十一．平行四边形的性质（共5小题）23．【解答】解：过点P 作EF ⊥AD 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴S ＝BC •EF ，S 1=SS ⋅SS 2，S 2=SS ⋅SS 2， ∵EF ＝PE +PF ，AD ＝BC ，∴S 1+S 2=S 2，故选：C ．24．【解答】解：连接AC ，过点D 作DF ⊥BE 于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∵▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，∵DE ⊥BD ，∴OC ∥ED ，∵DE ＝6，∴OC =12DE ＝3，∵▱ABCD 的面积为24，∴12BD •AC ＝24，∴BD ＝8， ∴BC ＝CD =√SS 2+SS 2=√42+32=5，∵S 平行四边形ABCD ＝BC •DF ＝24，∴DF =245，∴DF =245，∴sin ∠DCE =SS SS =2455=2425． 故选：A ．25．【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，∴∠EAC ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中{∠SSS =∠SSSSS =SS SSSS =SSSS，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ．26．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＝∠DCE ，在△ABC 和△DCE 中，{SS =SSSS =SSSS SS =SS∴△ABC ≌△DCE （SAS ）．27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∵DE ＝BF ，∴OE ＝OF ，又∵OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．一十二．平行四边形的判定与性质（共1小题）28．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴DE ∥BC ，∠ABD ＝∠CDB ，∵∠ABD ＝∠DCE ，∴∠DCE ＝∠CDB ，∴BD ∥CE ，∴BCED 为平行四边形，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠CBF ，在△DEF 与△CBF 中，{∠SSS =∠SSSSSSS =SSSS SS =SS，∴△DEF ≌△CBF （AAS ），∴EF ＝BF ，∵DF ＝CF ，∴四边形BCED 为平行四边形，故B 正确；∵AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBF ，∵∠AEB ＝∠BCD ，∴∠CBF ＝∠BCD ，∴CF ＝BF ，同理，EF ＝DF ，∴不能判定四边形BCED 为平行四边形；故C 错误；∵AE ∥BC ，∴∠DEC +∠BCE ＝∠EDB +∠DBC ＝180°，∵∠AEC ＝∠CBD ，∴∠BDE ＝∠BCE ，∴四边形BCED 为平行四边形，故D 正确，故选：C ．一十三．菱形的性质（共3小题）29．【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC ＝60°，∠BAD ＝120°，∵菱形的周长为8，∴边长AB ＝2，∴菱形的对角线AC ＝2，BD ＝2×2sin60°＝2√3，∴菱形的面积=12AC •BD =12×2×2√3=2√3．故选：D ．30．【解答】解：如图，∵△ACE 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，∴CH ＝1，∴AH =√3，∵∠ABO ＝∠DCH ＝30°，∴DH ＝AO =√33， ∴OD =√3−√33−√33=√33， ∴点D 的坐标是（√33，0）．故答案为：（√33，0）． 31．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC ，∴∠BP A ＝∠DAE ，∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE ，∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE ，∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE （ASA ）；（2）∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF ，∵AF ＝AE +EF ＝BF +EF ，∴DE ＝BF +EF ．一十四．菱形的判定（共1小题）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EB ＝ED ，AB ∥CD ，∴∠EBP ＝∠EDQ ，在△PBE 和△QDE 中，{∠SSS =∠SSSSS =SS SSSS =SSSS，∴△PBE ≌△QDE （ASA ）；（2）证明：如图所示：∵△PBE ≌△QDE ，∴EP ＝EQ ，同理：△BME ≌△DNE （ASA ），∴EM ＝EN ，∴四边形PMQN 是平行四边形，∵PQ ⊥MN ，∴四边形PMQN 是菱形．一十五．矩形的性质（共3小题）33．【解答】解：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE ∥BF ，CE ＝EF ，∴△CEG ∽△CFB ，∴SS SS =SS SS ， ∵SS SS =12， ∴SS SS =12，∵BC ＝3， ∴GB =32，∵l 3∥l 4，∴∠α＝∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，∴∠ABG ＝90°，∴tan ∠BAG =SS SS =324=38，∴tan α的值为38，故选：A ．34．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠DAE ＝∠BCF ＝90°，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAN ＝∠BCM ，∵BF ⊥AC ，DE ∥BF ，∴DE ⊥AC ，∴∠DNA ＝∠BMC ＝90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠SSS =∠SSS SSSS =SSSS SS =SS，∴△DNA ≌△BMC （AAS ），∴DN ＝BM ，∠ADE ＝∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠SSS =∠SSS SS =SS SSSS =SSSS，∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE ＝FC ，DE ＝BF ，故③正确；∴DE ﹣DN ＝BF ﹣BM ，即NE ＝MF ，∵DE ∥BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM ∥FN ，故②正确；∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，∴BE ＝DF ，∵BE ∥DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO ＝AD ，∴AO ＝AD ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO ＝∠DAN ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠ADO ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠ADN ＝ODN ＝30°，∴∠ODN ＝∠ABD ，∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D ．35．【解答】解：∵矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，∠BAD ＝∠BCD ＝90°， ∴BD =√SS 2+SS 2=13，∵BP ＝BA ＝5，∴PD ＝BD ﹣BP ＝8，∵BA ＝BP ，∴∠BAP ＝∠BP A ＝∠DPQ ，∵AB ∥CD ，∴∠BAP ＝∠DQP ，∴∠DPQ ＝∠DQP ，∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝DQ ﹣CD ＝DQ ﹣AB ＝8﹣5＝3，∴在Rt △BCQ 中，根据勾股定理，得BQ =√SS 2+SS 2=√153=3√17．故答案为：3√17．一十六．矩形的判定（共1小题）36．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM ＝DN ，∴OB ﹣BM ＝OD ﹣DN ，即OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵OM =12AC ，∴MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．一十七．正方形的性质（共5小题）37．【解答】解：①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN ＝∠EBM ＝45°，∠AMN ＝∠BME ，∴△AMN ∽△BME ，∴SS SS =SS SS ，∵∠AMB ＝∠EMN ，∴△AMB ∽△NME ，∴∠AEN ＝∠ABD ＝45°∴∠NAE ＝∠AEN ＝45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，∴AN ＝EN ，故①正确；②在△ABE 和△ADF 中，∵{SS =SSSSSS =SSSS =90°SS =SS ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE ＝DF ，∵BC ＝CD ，∴CE ＝CF ，假设正方形边长为1，设CE ＝x ，则BE ＝1﹣x ，如图2，连接AC ，交EF 于O ，∵AE ＝AF ，CE ＝CF ，∴AC 是EF 的垂直平分线，∴AC ⊥EF ，OE ＝OF ，Rt △CEF 中，OC =12EF =√22x ，△EAF 中，∠EAO ＝∠F AO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°，∴OE ＝BE ，∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ），∴AO ＝AB ＝1，∴AC =√2=AO +OC ，∴1+√22x =√2，x ＝2−√2，∴SS SS =√2)2−√2=(√2−1)(2+√2)2=√22； 故②不正确；③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ，∵∠EAF ＝45°＝∠DAF +∠BAE ＝∠HAE ，∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°，∴H 、B 、E 三点共线，在△AEF 和△AEH 中，{SS =SS SSSS =SSSS SS =SS ，∴△AEF ≌△AEH （SAS ），∴EF ＝EH ＝BE +BH ＝BE +DF ，故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN +∠NAD ＞45°，∠FDN ＝45°，∴DF ＞FN ，故不存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，故④不正确；故选：B ．38．【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝DO ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝90°，∵点F 是AE 的中点，∴DF ＝AF ＝EF =12AE ，∴OF 垂直平分AD ，∴AG ＝DG ，∴FG =12DE ＝1，∵OF ＝3，∴OG ＝2，∵AO ＝CO ，∴CD ＝2OG ＝4，∴AD ＝CD ＝4，∴AE =√SS 2+SS 2=√42+22=2√5．过A 作AH ⊥DF 于H ，∴∠H ＝∠ADE ＝90°，∵AF ＝DF ，∴∠ADF ＝∠DAE ，∴△ADH ∽△EAD ，∴SS SS =SS SS ， ∴SS 2=2√5， ∴AH =4√55，即点A 到DF 的距离为4√55，解法二：在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AO ＝DO ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝90°，∵点F 是AE 的中点，∴DF ＝AF ＝EF =12AE ，∴OF 垂直平分AD ，∴AG ＝DG ， ∴FG =12DE ＝1， ∵OF ＝3，∴OG ＝2，∵AO ＝CO ，∴CD ＝2OG ＝4，∴AD ＝CD ＝4，∴DG ＝2，∴DF =√SS 2+SS 2=√4+1=√5，过A 作AH ⊥DF 于H ，∴∠H ＝∠ADE ＝90°，∴S △ADF =12DF •AH =12AD •FG ， ∴AH =4√55，故答案为：4√55．39．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8−42=2，由勾股定理得：DE=√SS+SS=√42+22=2√5，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2√5=8√5，故答案为：8√5．40．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE ＝MF ，ME ＝BC∴ME ＝AB ＝BC∴BE ＝MA ＝MF∴AG ＝FG ，（2）DH ⊥HG理由如下：如图，延长GH 交CD 于点N ，∵FG ⊥AD ，CD ⊥AD∴FG ∥CD∴SS SS =SS SS =SS SS ，且CH ＝FH ，∴GH ＝HN ，NC ＝FG∴AG ＝FG ＝NC又∵AD ＝CD ，∴GD ＝DN ，且GH ＝HN∴DH ⊥GH41．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD ，四边形ECGF 都是正方形∴DA ∥BC ，AD ＝CD ，FG ＝CG ，∠B ＝∠CGF ＝90°∵AD ∥BC ，AH ∥DG∴四边形AHGD 是平行四边形∴AH ＝DG ，AD ＝HG ＝CD∵CD ＝HG ，∠ECG ＝∠CGF ＝90°，FG ＝CG∴△DCG ≌△HGF （SAS ）∴DG ＝HF ，∠HFG ＝∠HGD∴AH ＝HF ，∵∠HGD +∠DGF ＝90°∴∠HFG +∠DGF ＝90°∴DG ⊥HF ，且AH ∥DG∴AH ⊥HF ，且AH ＝HF∴△AHF 为等腰直角三角形．（2）∵AB ＝3，EC ＝5，∴AD ＝CD ＝3，DE ＝2，EF ＝5∵AD ∥EF∴SS SS =SS SS =53，且DE ＝2 ∴EM =54一十八．正方形的判定（共1小题）42．【解答】解：∵O 为BD 的中点，∴OB ＝OD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠CDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠OEB ，∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OE ＝OF ，∴四边形DEBF 为平行四边形，故A 选项不符合题意，若AE ＝3.6，AD ＝6，∴SS SS =3.66=35， 又∵SS SS =610=35， ∴SS SS =SS SS ，∵∠DAE ＝∠BAD ，∴△DAE ∽△BAD ，∴∠AED ＝∠ADB ＝90°．∴四边形DEBF 为矩形．故B 选项不符合题意，∵AB ＝10，AE ＝5，∴BE ＝5，又∵∠ADB ＝90°，∴DE =12AB ＝5， ∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 为菱形．故C 选项不符合题意，∵AE ＝3.6时，四边形DEBF 为矩形，AE ＝5时，四边形DEBF 为菱形，∴AE ＝4.8时，四边形DEBF 不可能是正方形．故选项D 符合题意．故选：D ．一十九．梯形（共1小题）43．【解答】解：过F 作FH ⊥BC 于H ，∵高AG ＝2cm ，∠B ＝45°，∴BG ＝AG ＝2cm ，∵FH ⊥BC ，∠BEF ＝30°，∴EH =√3SS =2√3，∵沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF ＝CE ，∵AG ⊥BC ，FH ⊥BC ，∴AG ∥FH ，∵AG ＝FH ，∴四边形AGHF 是矩形，∴AF ＝GH ，∴BC ＝BG +GH +HE +CE ＝2+2AF +2√3=6，∴AF ＝2−√3（cm ），故选：D ．二十．*平面向量（共1小题）44．【解答】解：依题意，得2sin α+1×（−√3）＝0，解得sin α=√32．∵α是锐角，∴α＝60°．故答案是：60°．二十一．四边形综合题（共6小题）45．【解答】解：∵把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，∴∠D ＝∠AD 'E ＝90°＝∠DAD '，AD ＝AD '，∴四边形ADED '是矩形，又∵AD ＝AD '=√3，∴四边形ADED '是正方形，∴AD ＝AD '＝D 'E ＝DE =√3，AE =√2AD =√6，∠EAD '＝∠AED '＝45°，∴D 'B ＝AB ﹣AD '＝2，∵点F 是BD '中点，∴D 'F ＝1，∴EF =√2+S′S 2=√3+1=2，∵将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，∴AE ＝A 'E =√6，∠D 'ED ''＝α，∠EA 'D ''＝∠EAD '＝45°，∴A 'F =√6−2，故①正确；∵tan ∠FED '=S′S S′S =3=√33， ∴∠FED '＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D 'D ″的长度=75°×S ×√3180°=5√312π，故②正确； ∵AE ＝A 'E ，∠AEA '＝75°，∴∠EAA '＝∠EA 'A ＝52.5°，∴∠A 'AF ＝7.5°，∵∠AA 'F ≠∠EA 'G ，∠A 'AF ≠∠EA 'G ，∠AF A '＝120°≠∠EA 'G ，∴△A 'AF 与△A 'GE 不全等，故③错误；∵D 'E ＝D ''E ，EG ＝EG ，∴Rt △ED 'G ≌Rt △ED ''G （HL ），∴∠D 'GE ＝∠D ''GE ，∵∠AGD ''＝∠A 'AG +∠AA 'G ＝105°，∴∠D 'GE ＝52.5°＝∠AA 'F ，又∵∠AF A '＝∠EFG ，∴△AF A '∽△EFG ，故④正确，故答案为：①②④．46．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，∴SS SS =SS SS ， ∴8−68=SS6，∴CM =32，∵点M 在线段CQ 的垂直平分线上， ∴CM ＝MQ ， ∴1×t =32，∴t =32；（2）如图1，过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，∵∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，∴AC =√SS 2+SS 2=√64+36=10cm ，EF =√SS 2+SS 2=√64+36=10cm ， ∵CE ＝2cm ，CM =32cm ，∴EM =√SS2+SS 2=√4+94=52， ∵sin ∠P AH ＝sin ∠CAB ， ∴SS SS =SS SS ，∴610=SS 2S ，∴PH =65t ， 同理可求QN ＝6−45t ，∵四边形PQNH 是矩形，∴PH ＝NQ ，∴6−45t =65t ， ∴t ＝3；∴当t ＝3时，四边形PQNH 为矩形；（3）如图2，过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，由（2）可知QN ＝6−45t ， ∵cos ∠P AH ＝cos ∠CAB ，∴SS SS =SS SS ， ∴SS 2S =810，∴AH =85t ，∵四边形QCGH 的面积为S ＝S 梯形GMFH ﹣S △CMQ ﹣S △HFQ ，∴S =12×6×（8−85t +6+8−85t +32）−12×32×[6﹣（6−45t ）]−12×（6−45t ）（8−85t +6）=−1625t 2+15t +512；（4）存在，理由如下：如图3，连接PF ，延长AC 交EF 于K ，∵AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，AC ＝EF ＝10cm ，∴△ABC ≌△EBF （SSS ），∴∠E ＝∠CAB ，又∵∠ACB ＝∠ECK ，∴∠ABC ＝∠EKC ＝90°，∵S △CEM =12×EC ×CM =12×EM ×CK ，∴CK =2×3252=65， ∵PF 平分∠AFE ，PH ⊥AF ，PK ⊥EF ，∴PH ＝PK ，∴65t ＝10﹣2t +65， ∴t =72，∴当t =72时，使点P 在∠AFE 的平分线上．47．【解答】解：（1）连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF ＝EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，交BD 于点O ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠F AE+∠FEA，∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD＝∠CFD=12∠AFC，∵AF＝CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，∴∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠FEA+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．48．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=12∠BCD＝60°＝∠ABC，∵BE＝CG，∴△ABE≌△ACG（SAS），∴AE＝AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAF＝∠GAF，∵AH＝AH，∴△AEH≌△AGH（SAS）；（2）①如图1，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，∵AB＝12，BE＝4，∴CG＝4，∴CE ＝DG ＝12﹣4＝8，由（1）知，△AEH ≌△AGH ，∴EH ＝HG ，∴l △DGH ＝DH +GH +DG ＝DH +HE +8，要使△DGH 的周长最小，则EH +DH 最小，最小为DE ，在Rt △DCM 中，∠DCM ＝180°﹣120°＝60°，CD ＝AB ＝12，∴CM ＝6，∴DM =√3CM ＝6√3，在Rt △DME 中，EM ＝CE +CM ＝14，根据勾股定理得，DE =√SS 2+SS 2=√142+(6√3)2=4√19，∴△DGH 周长的最小值为4√19+8；②Ⅰ、当OH 与线段AE 相交时，交点记作点N ，如图2，连接CN ，∴点O 是AC 的中点，∴S △AON ＝S △CON =12S △ACN ， ∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S △SSSS △SSS =14， ∴S △CEN ＝S △ACN ，∴AN ＝EN ，∵点O 是AC 的中点，∴ON ∥CE ，∴SS SS =12；Ⅱ、当OH 与线段CE 相交时，交点记作Q ，如图3，连接AQ ，FG ，∵点O 是AC 的中点，∴S △AOQ ＝S △COQ =12S △ACQ ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S △SSSS △SSS =14， ∴S △AEQ ＝S △ACQ ，∴CQ ＝EQ =12CE =12（12﹣4）＝4，∵点O 是AC 的中点，∴OQ ∥AE ，设FQ ＝x ，∴EF ＝EQ +FQ ＝4+x ，CF ＝CQ ﹣FQ ＝4﹣x ，由（1）知，AE ＝AG ，∵AF 是∠EAG 的角平分线，∴∠EAF ＝∠GAF ，∵AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴FG ＝EF ＝4+x ，过点G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，在Rt △CPG 中，∠PCG ＝60°，CG ＝4，∴CP =12CG ＝2，PG =√3CP ＝2√3，∴PF ＝CF +CP ＝4﹣x +2＝6﹣x ，在Rt △FPG 中，根据勾股定理得，PF 2+PG 2＝FG 2，∴（6﹣x ）2+（2√3）2＝（4+x ）2，∴x =85，∴FQ =85，EF ＝4+85=285， ∵OQ ∥AE ，∴SS SS =SS SS =4285=57， 即SS SS 的值为12或57．49．【解答】解：（1）∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，又∵∠ADC ＝∠BDE ，AD ＝DE ，∴△BED ≌△CAD （SAS ），故答案为：SAS ；（2）∵△BED ≌△CAD ，∴AC ＝BE ＝4，在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，∴2＜2AD ＜10，。

2020 年中考数学四边形与三角形全等综合卷(含答案).doc

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2020年中考数学四边形与三角形全等综合卷一．平行四边形与全等三角形1．如图，已知E，F分别是□ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．2．如图，BD为▱ABCD的对角线，AE∥CF，点E、F在BD上．求证：BE＝DF．3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB．求证：AC＝ED．4．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连结DE交AB于点F．求证：△ADF≌△BEF．5．如图，在▱ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE＝∠ADC．若DE＝AD，求证：DF＝CE．6．如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF．7．如图，在▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC、BE．求证：AB＝CE；8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE＝CF．9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：（1）AE＝AB；（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．10．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，连接AF、CE．求证：AF＝CE．二、菱形与全等三角形11．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE 交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．12．已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC．13．如图，菱形ABCD中，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．求证：DE＝DF．14．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．15．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．16．如图，在菱形ABCD中，过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，BM，BN分别交AC于点E、F．求证：AE＝CF．17．如图，在平行四边形BFEC中，连接FC，并延长至点D，延长CF至点A，使DC＝AF，连接AB、DE．（1）求证：AB∥DE．（2）若平行四边形BFEC是菱形，且∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，则CF＝ ．18．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．19．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．三、矩形与全等三角形20．已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．21．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．22．已知：如图，P为矩形ABCD内一点，PC＝PD，求证：P A＝PB．23．已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF＝AB．24．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：BE＝CE．25．在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，两直角边与AB、BC分别交于点M、N，求证：BM＝CN．26．已知：矩形ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G，H两点．求证：EG＝FH．27．如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF＝BE，AF与BE交于点G，∠AGB＝60°．（1）求证：AF＝DE；（2）若AB＝6，BC＝8，求AF．28．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD 的中点．求证：BE＝CF．29．如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若DE＝3，OE＝9，求AB、AD的长；四、正方形与全等三角形30．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．求证：AF＝DG31．如图，已知点C为线段AB上一点，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN ＝BM．32．正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，AE，BF交于点O，若AE＝BF，求证：AE⊥BF．33．在正方形ABCD中，BC＝2，E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF．（1）求证：△ADF≌△ABE．（2）若BE＝1，求sin∠AED的值．34．在正方形ABCD中，M、N分别是边CD、AD的中点，连接BN，AM交于点E．求证：AM⊥BN．35．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ＝AP．36．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．（1）求证：△ABG≌△ADF；（2）求证：AG⊥AF；（3）当EF＝BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．37．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，求证：OE＝OF．38．如图，以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接BE、DF．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），则线段BE与DF的数量关系是 ．（2）当四边形ABCD为平行四边形时（如图2），问（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．39．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．40．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交点G，求证：AG＝CG．参考答案与试题解析1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，∠D＝∠B，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵AB＝CD，DE＝BF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF．2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∠B＝∠AEB＝∠DAE＝∠ADC，∴AE＝CD，在△ADC和△DAE中，∴△ADC≌△DAE（SAS）∴AC＝ED．4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E又∵BC＝BE，∴AD＝BE，在△ADF和△BEF中，，∴△ADF≌△BEF（ASA）；5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DEC中，，∴△AFD≌△DCE（AAS），∴DF＝CE．6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE；∵E为BC中点，∴EB＝EC，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF，∴DC＝CF．7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABF＝∠ECF，∵点F是边BC的中点，∴BF＝CF，在△ABF和△CEF中，，∴△ABF≌△ECF（ASA），∴AB＝CE．8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．9．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，，∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝AB；（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠AMB，∴AB＝AM，∵AB＝AE，AM＝DM，∴点M是AD的中点，∴BC＝2AM，∴BC＝BE，∴△BCE是等腰三角形．∵BM平分∠ABC，∴BM⊥CE．10．证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，∴∠DAE＝∠BCF＝90°，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DEG≌△DFG（SAS），∴∠DGE＝∠DGF．12．证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∵AC＝AC，AE＝AF，∴△AEC≌△AFC（SAS）∴∠AEC＝∠AFC．13．证法一：连接BD，如图1．∵四边形ABCD是菱形，∴∠1＝∠2，∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF．证法二：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴S菱形ABCD＝AB×DE，S菱形ABCD＝CB×DF，∴DE＝DF．证法三：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠E＝∠F＝90°，在△AED和△CFD中，∵∴△AED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．14．（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝215．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，∵EC＝FC，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．16．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠BAM＝∠BCN，∠BAE＝∠DAE＝∠DCA＝∠BCF，又∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF．17．（1）证明：∵四边形BFEC为平行四边形，∴BF∥CE，BF＝CE，∴∠BFC＝∠ECF，∴∠BF A＝∠ECD，在△AFB与△DCE中，，∴△AFB≌△DCE，（SAS），∴∠A＝∠D，∴AB∥DE；（2）解：过点B作BM⊥CF于点M，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BM，∴BM＝＝2.4，又∵四边形BFEC为菱形，∴BF＝BC＝3，CF＝2FM，在Rt△BFM中，FM＝＝1.8，∴CF＝2×1.8＝3.6．故答案为：3.6．18．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE．19．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠A＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴BE＝CF．20．解：∵AM＝DN，∴AM+MN＝MN+ND，∴AN＝MD，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠D，在△ABN和△DCM中，∵，∴△ABN≌△DCM，∴BN＝CM．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵M是AD的中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：由（1）得：△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴ME＝BE＝BM，MF＝CF＝CM，∴ME＝MF，又∵N是BC的中点，∴EN、FN是△BCM的中位线，∴EN＝CM，FN＝BM，∴EN＝FN＝ME＝MF，∴四边形MENF是菱形．22．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵PD＝PC，∴∠PDC＝∠PCD，∴∠ADP＝∠BCP，在△P AD和△PBC中，，∴△P AD≌△PBC，∴P A＝PB．23．证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B＝∠DF A＝90°，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，在△AFD和△EBA中，，∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF＝AB．24．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EAB＝∠EDC，在△EAB和△EDC中，，∴△EAB≌△EDC，∴EB＝EC．25．证明：如图，连接BE，CE，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°∵AD＝2AB，E是AD的中点，∴AE＝DE＝AB＝CD∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝90°∵AB＝CD，∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△ABE≌△DCE（AAS）∴BE＝CE，∵∠BEN+∠CEN＝90°，∠BEM+∠BEN＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，且BE＝CE，∠ABE＝∠ECN，∴△BEM≌△CEN（ASA）∴BM＝CN26．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF，∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH．在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG＝FH．27．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵四边形BCEF是平行四边形，∴BC∥EF，BC＝EF，∴AD＝EF，AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE．（2）连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，∵BC＝8，∴BD＝＝10，∵四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，∴∠AGB＝∠BED＝60°，∵AF＝DE＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴AF＝BE＝BD＝10．28．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵点E是AO的中点，点F是OD的中点∴OE＝OA，OF＝OD，∴OE＝OF，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴BE＝CF．29．证明：（1）∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，∴∠ABO＝∠DEA＝90°．在Rt△ABO与Rt△DEA中，∵∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）∴∠AOB＝∠DAE．∴AD∥BC．又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB＝DE＝3，设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x．在Rt△DEA中，由AE2+DE2＝AD2得：（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5．∴AD＝5．即AB、AD的长分别为3和5．30．解：∵四边形ABCD是正方形，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴AF＝DG，31．证明：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACN＝∠BCM＝90°，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．32．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC＝CD，又CE＝DF，∴BE＝CF，∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BOE＝180°﹣（∠CBF+∠BEA）＝90°，∴AE⊥BF．33．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在△ADF和△ABE中：∴△ADF≌△ABE（SAS）．（2）∵BC＝2，BE＝1，∴CD＝AD＝AB＝2，CE＝3，∴DE＝＝，AE＝＝，如图，作AH⊥DE于H，则S△AED＝DE•AH，又∵S△AED＝AD•AB＝2，∴DE•AH＝2，∴AH＝，∴sin∠AED＝＝．34．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAN＝∠ADM＝90°，∵M、N分别是边CD、AD的中点，∴AN＝AD，DM＝CD，∴AN＝DM，在△ABN和△DAM中，，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴∠ABN＝∠DAM，∵∠DAM+∠BAE＝90°，∴∠ABN+∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AM⊥BN．35．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAQ＝∠ADP＝90°，AB＝DA，∵DQ＝CP，∴AQ＝DP，在△ABQ和△DAP中，，∴△ABQ≌△DAP（SAS），∴BQ＝AP．36．解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．∵BG＝DF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）；（2）证明：∵△ABG≌△ADF，∴∠GAB＝∠F AD，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠F AD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；（3）①解：△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，在△AEG和△AEF中．，∴△AEG≌△AEF（SSS）．∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2﹣x）2+1 2＝（1+x）2，得x＝．∴BE的长为．37．解：∵正方形ABCD中，OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，∠ABO＝∠ACB＝45°，∴∠EOB＝∠FOC，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．38．解：（1）BE＝DF（或相等）如图1，∵四边形ABCD为正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABF、△ADE都是等边三角形∴AF＝AB，AE＝AD，∠BAF＝∠DAE＝60°∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝150°∴∠BAE＝∠DAF∵AB＝AF＝AE＝AD∴△ABE≌△AFD（SAS）∴BE＝DF故答案为：BE＝DF或相等；（2）成立．证明：如图2，∵△AFB为等边三角形∴AF＝AB，∠F AB＝60°∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝60°∴∠F AB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠F AD＝∠BAE．在△AFD和△ABE中，，∴△AFD≌△ABE（SAS），∴BE＝DF．39．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．40．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∵E、F分别是AB、BC边的中点，∴AE＝ED＝CF＝DF．又∠D＝∠D，∴△ADF≌△CDE（SAS）．∴∠DAF＝∠DCE，∠AFD＝∠CED．∴∠AEG＝∠CFG．在△AEG和△CFG中，∴△AEG≌△CFG（ASA）．∴AG＝CG．。

中考数学总复习三角形与四边形测试卷A(含答案).doc

中考数学总复习三角形与四边形测试卷A(含答案).doc

中考数学总复习 三角形与四边形 测试卷A（测试时间60分钟,满分100分）一、选择题（每题4分，共32分）1.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知Zl = 30° ,则Z2的大小是A. 30°B. 45°C. 60°D. 65°2. 如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点0, AD=AE.还需添加一个条件才能使△ ABE^AACD,则不能添加的那个条件是（）A. ZB=ZCB. ZAEB=ZADCC. BD = CED. DC = EB3. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是（）C. OA=OB ・D. OA=AD5.如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点0, AB 丄AC,若AB=4, AC = 6,则BD 的 长是 （）6. 若顺次连接四边形ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD —定是7. 下列命题是真命题的是A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形8. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,已知下列6个条件:①AB 〃DC ；②AB = DC ；③AC=BD ； @ZABC=90° ；⑤OA = OC ； ⑥OB = OD,则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥二、填空题（每题5分，共20分）9. 如图，己知直线AB 、CD 相交于点0, OA 平分ZEOC, ZDOB = 35° ,则ZEOC=A. 8B. 9C. 10D. 11 A.矩形 C.对角线相等的四边形 B.菱形D.对角线互相垂直的四边形A. ZABC = 90°B. AC=BD,10. 如图，ZkABC 屮，已知AB=8, BC=6, CA = 4, DE 是屮位线，贝lj DE= _____________第9题 第10题 第11题 笫12题11. 在AABC 中，AB=AC = 5, BC=6.若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ______________ . 12. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ±,且AE = EF = FA.下列结论:①厶ABE^AADF ；②CE = CF ；③ZAEB = 75° ；④BE+DF = EF ；⑤SAABE+SAADFF = SACEF.其 中正确的是 __________ .(只填写序号)三、解答题(第13、“题每题10分.第15、16题每题14分，共48分)23.己知：如图,AC=AC, D 是BC 的中点，AB 平分ZDAE, AE 丄BE,垂足为E. 求证：AD = AE.第13题14.如图，在ZXABC 中，ZABC=90° , ZBAC = 60° , AACD 是等边三角形，E 是AC 的屮点，连接BE 并延长，交DC 于点F,求证：(1) AABE^ACFE(2) 四边形ABFD 是平行四边形.第14题ADA15.在平行阿边形ABCD中，过点D作DE丄AB于点F在边CD ±, DF = BE,连接AF, BF.⑴求证：四边形BFDE是矩形;⑵若CF = 3, BF = 4, DF = 5,求证：AF 平分ZDAB第15题16.⑴如图⑴，正方形ABCD, EF分别在边BC上，ZEAF=45°,延长CD到点G,使DG = BE,连结EF, AG,求证：EF = FG.(2)如图⑵,等腰直角AABC中，ZBAC = 90° = 45°若BM = 1, CN = 3,求MN 的长.图（1）图（2）第16题A卷答案:H・4.8 12.①②③⑤ 13・略14. 15・略1・ C 2. D 3. B 4. D 5. C 6. D 7. C 8. C 9. 70°10. 3 16. (1)略；(2)V10。

中考数学特训卷专题八三角形和四边形(有答案)

中考数学特训卷专题八三角形和四边形(有答案)

专题八三角形和四边形
⊙热点一：与三角形、四边形有关的计算、证明1．(2013年吉林长春)如图Z8-3，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，C
D.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为________ .
图Z8-3
2．(2013年河南)如图Z8-4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠
B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为________．
图Z8-4
3．(2013年江苏扬州)如图Z8-5，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置，连接AE.
(1)求证：AB⊥AE；
(2)若BC2＝AD·AB，求证：四边形ADCE是正方形．
图Z8-5
⊙热点二：与三角形、四边形有关的操作探究题1．(2013年湖南湘潭)在数学活动课中，小辉将边长为2
和3的2个正方形放置在直线l上，如图Z8-6(1)，他连接AD，CF，经测量发现AD＝CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图Z8-6(2)，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由
；
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图Z8-6(3)，请你求出CF的长．
(1) (2)(3)
图Z8-6。

2019、2020年浙江中考数学试题分类(5)——三角形与四边形(含答案)

2019、2020年浙江中考数学试题分类(5)——三角形与四边形(含答案)

2019、2020年浙江中考数学试题分类（5）——三角形与四边形一．三角形三边关系（共3小题）1．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，113．（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8二．三角形内角和定理（共2小题）4．（2019•绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5°B．10°C．30°D．70°5．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°三．全等三角形的判定与性质（共4小题）6．（2020•湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（）A．DC＝DT B．AD=√2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长8．（2020•台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．9．（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．四．角平分线的性质（共1小题）10．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42五．等腰三角形的性质（共2小题）11．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C 点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°12．（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．六．等边三角形的判定与性质（共1小题）13．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA ，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是 ．七．勾股定理（共2小题）14．（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和15．（2020•绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点D ，连结BD ．若BD 的长为2√3，则m 的值为 ．八．勾股定理的证明（共1小题）16．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形SSSSS 正方形SSSS 的值是（ ）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154 九．勾股定理的应用（共3小题）17．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√341718．（2019•衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D ．现测得AB ＝8dm ，DC ＝2dm ，则圆形标志牌的半径为（ ）A ．6dmB ．5dmC ．4dmD ．3dm19．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O ，P 两点固定，连杆P A ＝PC ＝140cm ，AB ＝BC ＝CQ ＝QA ＝60cm ，OQ ＝50cm ，O ，P 两点间距与OQ 长度相等．当OQ 绕点O 转动时，点A ，B ，C 的位置随之改变，点B 恰好在线段MN 上来回运动．当点B 运动至点M 或N 时，点A ，C 重合，点P ，Q ，A ，B 在同一直线上（如图3）．（1）点P 到MN 的距离为 cm ．（2）当点P ，O ，A 在同一直线上时，点Q 到MN 的距离为 cm ．一十．等腰直角三角形（共1小题）20．（2019•宁波）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°一十一．三角形中位线定理（共1小题）21．（2020•宁波）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF ．若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．4一十二．三角形综合题（共1小题）22．（2020•金华）如图，在△ABC 中，AB ＝4√2，∠B ＝45°，∠C ＝60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ．①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数．②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．一十三．多边形（共2小题）23．（2020•湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′．若∠D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是（ ）A ．1B ．12C ．√22 D ．√3224．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（ ）A．1 B．√2C．√3D．2一十四．平面镶嵌（密铺）（共1小题）25．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F 分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．一十五．平行四边形的性质（共2小题）26．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°27．（2020•绍兴）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．一十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）28．（2019•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．一十七．菱形的性质（共1小题）29．（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．一十八．菱形的判定（共1小题）30．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件： ，使▱ABCD 是菱形．一十九．矩形的性质（共6小题）31．（2019•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ） A ．14 B ．12 C ．817 D ．815 32．（2019•金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB ＝m ，∠BAC ＝∠α，则下列结论错误的是（ ）A ．∠BDC ＝∠αB ．BC ＝m •tan α C ．AO =S 2SSSSD ．BD =S SSSS 33．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）．①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3． 34．（2019•绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB ＝AE ＝6，BC ＝5，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝135°，∠E ＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．35．（2019•舟山）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．36．（2019•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．二十．正方形的性质（共5小题）37．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和238．（2019•绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E 从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变39．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为．40．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为．41．（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．二十一．正方形的判定与性质（共1小题）42．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②二十二．四边形综合题（共8小题）43．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1S2=13时，求SSSS的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的110时，请直接写出tan∠BAE的值．44．（2020•嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF ＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．45．（2020•绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．46．（2020•温州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=24 5．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．47．（2019•舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝a，AD＝h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM＝90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．48．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．49．（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．50．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）2019、2020年浙江中考数学试题分类（5）——三角形与四边形参考答案与试题解析一．三角形三边关系（共3小题）1．【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．2．【解答】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．3．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：C．二．三角形内角和定理（共2小题）4．【解答】解：∠3＝∠2＝100°，∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，故选：B．5．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．三．全等三角形的判定与性质（共4小题）6．【解答】解：如图，连接OD．∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线，∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵DC是切线，∴CD⊥OC，∴∠ACD＝90°，∴∠A＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝DT，∴AC=√2CD=√2DT，故选项B正确，∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，∴△DOC≌△DOT（SSS），∴∠DOC＝∠DOT，∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，∴∠AOT＝∠BOT＝45°，∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，∴BO＝BD，故选项C正确，根据筛选法，故选：D．7．【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．9．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，∴AE=√SS2+SS2=√25+144=13．四．角平分线的性质（共1小题）10．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．五．等腰三角形的性质（共2小题）11．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．12．【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD=12（180°﹣∠B）=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°−12m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12m°，∵EA＝EC，∴∠CAE=12S AEB＝90°−12n°−12m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°−12n°−12m°=12n°．六．等边三角形的判定与性质（共1小题）13．【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．七．勾股定理（共2小题）14．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．15．【解答】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2√3，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2√3，∴D′E＝3√3，∴AD′=√(3√3)2+12=2√7，∴m＝2√7，综上所述，m的值为2或2√7，故答案为：2或2√7．八．勾股定理的证明（共1小题）16．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°， 又∵∠DBC ＝45°， ∴∠GBC ＝22.5°， ∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ， ∴△BPG ≌△BCG （ASA ）， ∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ， ∵O 为EG ，BD 的交点， ∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=S 2(√2+1)2+S 2=(4+2√2)S 2， ∴S 正方形SSSS S 正方形SSSS=(4+2√2)S 22S 2=2+√2．故选：B ．九．勾股定理的应用（共3小题） 17．【解答】解：过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6， 解得：x ＝4， ∴DE ＝4， ∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√SS 2+SS 2=√42+32=5， ∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°， ∴△CDE ∽△CBF ， ∴SS SS =SS SS ，即3SS=58，∴CF =245．故选：A ．18．【解答】解：连接OA ，OD ，∵点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D ．AB ＝8dm ，DC ＝2dm ， ∴AD ＝4dm ，设圆形标志牌的半径为r ，可得：r 2＝42+（r ﹣2）2， 解得：r ＝5， 故选：B ． 19．【解答】解：（1）如图3中，延长PO 交MN 于T ，过点O 作OH ⊥PQ 于H ．由题意：OP ＝OQ ＝50cm ，PQ ＝P A ﹣AQ ＝140﹣60＝80（cm ），PM ＝P A +BC ＝140+60＝200（cm ），PT ⊥MN ，∵OH ⊥PQ ，∴PH ＝HQ ＝40（cm ）， ∵cos ∠P =SSSS =SSSS ， ∴4050=SS 200，∴PT ＝160（cm ），∴点P 到MN 的距离为160cm ， 故答案为160．（2）如图4中，当O ，P ，A 共线时，过Q 作QH ⊥PT 于H ．设HA ＝xcm ．由题意AT ＝PT ﹣P A ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝P A ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ， ∵QH ⊥OA ，∴QH 2＝AQ 2﹣AH 2＝OQ 2﹣OH 2， ∴602﹣x 2＝502﹣（90﹣x ）2， 解得x =4609，∴HT ＝AH +AT =6409（cm ）， ∴点Q 到MN 的距离为6409cm ．故答案为6409．一十．等腰直角三角形（共1小题） 20．【解答】解：设AB 与直线n 交于点E ， 则∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°． 又直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°．故选：C ．一十一．三角形中位线定理（共1小题） 21．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB =√SS 2+SS 2=√82+62=10． 又∵CD 为中线， ∴CD =12AB ＝5．∵F 为DE 中点，BE ＝BC 即点B 是EC 的中点， ∴BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD ＝2.5． 故选：B ．一十二．三角形综合题（共1小题） 22．【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D ．在Rt △ABD 中，AD ＝AB •sin45°＝4√2×√22=4．（2）①如图2中，∵△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝EP ，∵AE ＝EB ，∴BE ＝EP ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠PEB ＝90°，∴∠AEP ＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC =SS SSS60°=8√33， ∵PF ⊥AC ，∴∠PF A ＝90°，∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，∴∠AFE ＝∠B ，∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴SS SS =SS SS ，即4√2=√28√33，∴AF ＝2√3，在Rt △AFP ，AF ＝FP ，∴AP =√2AF ＝2√6．方法二：AE ＝BE ＝PE 可得直角三角形ABP ，由PF ⊥AC ，可得∠AFE ＝45°，可得∠F AP ＝45°，即∠P AB ＝30°． AP ＝AB cos30°＝2√6．一十三．多边形（共2小题）23．【解答】解：根据题意可知菱形ABC ′D ′的高等于AB 的一半，∴菱形ABC ′D ′的面积为12SS 2，正方形ABCD 的面积为AB 2． ∴菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是12．故选：B ．24．【解答】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度=√32×2=√3．故选：C ．一十四．平面镶嵌（密铺）（共1小题）25．【解答】解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2√2=6+2√2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5+√2+√2=8+2√2．故四边形MNPQ 的周长是6+2√2或10或8+2√2．故答案为：6+2√2或10或8+2√2．一十五．平行四边形的性质（共2小题）26．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，∴∠C ＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴∠E ＝70°．故选：D ．27．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，∴∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，{∠SSS =∠SSS SSSS =SSSS SS =SS，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．一十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）28．【解答】（1）证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC ，EF ∥AB ，∴DF ∥BE ，EF ∥BD ，∴四边形BEFD 是平行四边形；（2）解：∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝6，∴DF ＝DB ＝DA =12AB ＝3，∵四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形，∵DB ＝3，∴四边形BEFD 的周长为12．一十七．菱形的性质（共1小题）29．【解答】解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，∵三个菱形全等，∴CO＝HO，∠AOH＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOH+∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOC+∠BOH＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO=√2x，IK=√2x﹣x，∵Rt△CIK中，（√2x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+√2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK=12IC×BO，∴√2x2=12×2×BO，∴BO＝2√2+2，∴BE＝2BO＝4√2+4，AB＝AE=√2BO＝4+2√2，∴△ABE的周长＝4√2+4+2（4+2√2）＝12+8√2，故答案为：12+8√2．一十八．菱形的判定（共1小题）30．【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴当AD＝DC，▱ABCD为菱形；故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．一十九．矩形的性质（共6小题）31．【解答】解：如图，∵∠ADC＝∠HDF＝90°∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°∴△CDM≌△HDN（ASA）∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形∴四边形DNKM是菱形∴KM＝DM∵sinα＝sin∠DMC=SS SS∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，∵MD2＝CD2+MC2，∴a 2＝4+（8﹣a ）2，∴a =174 ∴CM =154 ∴tan α＝tan ∠DMC =SS SS =815 故选：D ．32．【解答】解：A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴AO ＝OB ＝CO ＝DO ，∴∠DBC ＝∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC ＝∠BDC ＝∠α，故本选项不符合题意；B 、在Rt △ABC 中，tan α=SS S ，即BC ＝m •tan α，故本选项不符合题意；C 、在Rt △ABC 中，AC =S SSSS ，即AO =S 2SSSS ，故本选项符合题意； D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ＝m ，∵∠BAC ＝∠BDC ＝α，∴在Rt △DCB 中，BD =S SSSS，故本选项不符合题意； 故选：C ．33．【解答】解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2−1，④√32，不可以是√3． 故答案为：①②③④．34．【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示：过点C 作CF ⊥AE 于F ，S 1＝AB •BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：过点E 作EF ∥AB 交CD 于F ，FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥FG 于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，∵∠C ＝135°，∴∠FCH ＝45°，∴△CHF 为等腰直角三角形，∴AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ，∴BG ＝CH ＝FH ＝FG ﹣HG ＝6﹣5＝1，∴AG ＝AB ﹣BG ＝6﹣1＝5，∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，∴当x＝5.5时，即：AM＝5.5时，FM＝11﹣5.5＝5.5，S的最大值为30.25．35．【解答】解：添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABD＝∠BDC，又∵BE＝DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．36．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．二十．正方形的性质（共5小题）37．【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．38．【解答】解：连接DE，∵S△SSS=12S四边形SSSS，S △SSS =12S 正方形SSSS ，∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等．故选：D ．39．【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：√32−22=√5，故阴影部分的面积是：2×√52×4=4√5，故答案为：4√5．40．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠BAM ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD ＝AB ，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧时，由题意得，点E 与点B 重合， ∴∠ADE ＝45°，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧时，由题意得，E ′A ＝E ′M ， ∴△AE ′M 为等边三角形，∴∠E ′AM ＝60°，∴∠DAE ′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD ＝AE ′，∴∠ADE ′＝15°，故答案为：15°或45°．41．【解答】解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴DE ＝1﹣a ，∵S 1＝S 2，∴a 2＝1×（1﹣a ），解得，S 1=−√52−12（舍去），S 2=√52−12，即线段CE 的长是√52−12； （2）证明：∵点H 为BC 边的中点，BC ＝1，∴CH ＝0.5，∴DH =√12+0．52=√52，∵CH ＝0.5，CG =√52−12， ∴HG =√52， ∴HD ＝HG ．二十一．正方形的判定与性质（共1小题）42．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．二十二．四边形综合题（共8小题）43．【解答】（1）解：如图1中，△AFG 是等腰三角形．理由：∵AE 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHG ＝90°，∵AH ＝AH ，∴△AHF ≌△AHG （ASA ），∴AF ＝AG ，∴△AFG 是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O 作OL ∥AB 交DF 于L ，则∠AFG ＝∠OLG ．∵AF ＝AG ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∵∠AGF ＝∠OGL ，∴∠OGL ＝∠OLG ，∴OG ＝OL ，∵OL ∥AB ，∴△DLO ∽△DFB ，∴SS SS =SS SS ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝2OD ，∴BF ＝2OL ，∴BF ＝2OG ．（3）解：如图3中，过点D 作DK ⊥AC 于K ，则∠DKA ＝∠CDA ＝90°，∵∠DAK ＝∠CAD ，∴△ADK ∽△ACD ，∴SS SS =SS SS ，∵S 1=12•OG •DK ，S 2=12•BF •AD ， 又∵BF ＝2OG ，S 1S 2=13， ∴SS SS=23=SS SS ，设CD ＝2x ，AC ＝3x ，则AD =√5x ， ∴SS SS =SS SS =√52．（4）解：设OG ＝a ，AG ＝k ．①如图4中，连接EF ，当点F 在线段AB 上时，点G 在OA 上．∵AF ＝AG ，BF ＝2OG ，∴AF ＝AG ＝k ，BF ＝2a ，∴AB ＝k +2a ，AC ＝2（k +a ），∴AD 2＝AC 2﹣CD 2＝[2（k +a ）]2﹣（k +2a ）2＝3k 2+4ka ，∵∠ABE ＝∠DAF ＝90°，∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ，∴SS SS =SS SS ，即SS SS =SS SS ，∴SS S +2S =S SS ，∴BE =S (S +2S )SS ，由题意：10×12×2a ×S (S +2S )SS =AD •（k +2a ）， ∴AD 2＝10ka ，即10ka ＝3k 2+4ka ，∴k ＝2a ，∴AD ＝2√5a ，∴BE =S (S +2S )SS =4√55a ，AB ＝4a ， ∴tan ∠BAE =SS SS =√55．②如图5中，当点F 在AB 的延长线上时，点G 在线段OC 上，连接EF ．∵AF ＝AG ，BF ＝2OG ，∴AF ＝AG ＝k ，BF ＝2a ，∴AB ＝k ﹣2a ，AC ＝2（k ﹣a ），∴AD 2＝AC 2﹣CD 2＝[2（k ﹣a ）]2﹣（k ﹣2a ）2＝3k 2﹣4ka ，∵∠ABE ＝∠DAF ＝90°，∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ，∴SS SS =SS SS ，即SS SS =SS SS ，∴SS S −2S =S SS ， ∴BE =S (S −2S )SS ， 由题意：10×12×2a ×S (S −2S )SS =AD •（k ﹣2a ）， ∴AD 2＝10ka ，即10ka ＝3k 2﹣4ka ，∴k =143a ，∴AD =2√1053a ， ∴BE =S (S −2S )SS =8√10545a ，AB =83a ， ∴tan ∠BAE =SS SS =√10515， 综上所述，tan ∠BAE 的值为√55或√10515．44．【解答】解：【思考】四边形ABDE 是平行四边形．证明：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，∠BAC ＝∠EDF ，∴AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形；【发现】如图1，连接BE 交AD 于点O ，∵四边形ABDE 为矩形，∴OA ＝OD ＝OB ＝OE ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE =12（x +4），∴OF ＝OA ﹣AF ＝2−12x ，在Rt △OFE 中，∵OF 2+EF 2＝OE 2，∴(2−12S )2+32=14(S +4)2，解得：x =94，∴AF =94cm ．【探究】BD ＝2OF ，证明：如图2，延长OF 交AE 于点H ，由矩形的性质及旋转的性质知：OA ＝OB ＝OE ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠ODE ＝∠OED ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∠OAE ＝∠OEA ，∴∠BDE +∠DEA ＝∠ABD +∠EAB ，∵∠ABD +∠BDE +∠DEA +∠EAB ＝360°，∴∠ABD +∠BAE ＝180°，∴AE ∥BD ，∴∠OHE ＝∠ODB ，∵EF 平分∠OEH ，∴∠OEF ＝∠HEF ，∵∠EFO ＝∠EFH ＝90°，EF ＝EF ，∴△EFO ≌△EFH （ASA ），∴EO ＝EH ，FO ＝FH ，∴∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ，∴△EOH ≌△OBD （AAS ），∴BD ＝OH ＝2OF ．45．【解答】解：（1）如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O＝∠C'OC＝α＝30°，∴C′H＝C′O•cos30°＝2√3，∴点C′到直线OF的距离为2√3．（2）①如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．∵C′P∥OF，∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′＝4，∴C′M＝2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2−2．如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N＝2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2+2．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．∵OA′＝2√5，OM＝2，∠OMA′＝90°，∴A′M=√S′S2−SS2=√(2√5)2−22=4，∴A′D＝2，即d＝2，如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．。

中考数学复习——三角形与四边形专题训练(含解析)

中考数学复习——三角形与四边形专题训练(含解析)

中考数学复习——三角形与四边形专项训练一．选择题（共9小题） 1．（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 已知：如图，∠BEC ＝∠B +∠C ． 求证：AB ∥CD ．证明：延长BE 交★于点F ．则∠BEC ＝■+∠C （三角形的外角等于它不相等的内角之和）． 又∠BEC ＝∠B +∠C ，得∠B ＝▲． 故AB ∥CD （●相等，两直线平行）． 则回答错误的是（ ）A ．★代表CDB ．■代表∠EFC C ．▲代表∠EFCD ．●代表同位角 2．（2020•上虞区校级一模）已知△ABC 的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．15 3．（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 4．（2020•越城区模拟）用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt △ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，AE =13AB ，AF =13AC ，分别以EF 、FC 为直径作半圆，面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）BE 、A ．S 1+S 3＝2S 2B ．S 1+S 3＝4S 2C ．S 1＝S 3＝S 2D ．S 2=13（S 1+S 3）6．（2019•诸暨市模拟）已知，关于x 的不等式组{x −2x ＜02x −1≥7至少有三个整数解，且存在以3，a ，5为边的三角形，则a 的整数解有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 7．（2019•上虞区一模）在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m •BD ，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n •AC ．则xx xx=（ ）A ．1x (x +1)B ．1x (1−x )C ．1x (1−x )D ．1x (x −1)8．（2019•上虞区一模）为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A ．正方形；B ．矩形；C ．四边形；D ．菱形；E ．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、①、①、①”所标注的各区域中，正确的填法依次是（ ）（用名称前的字母代号表示）A ．C 、E 、B 、D B ．E 、C 、B 、D C ．E 、C 、D 、B D ．E 、D 、C 、B 9．（2019•诸暨市模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB ∥y 轴，CD 交x 轴于点M ，过原点的直线EF 分别交AD 、BC 边于点E 、F ，以EF 为一边作矩形EFGH ，并使EF 的对边GH 所在直线过点M ，若点A 的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH 的面积的大小变化情况是（ ）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小二．填空题（共10小题）10．（2020•越城区模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠B ＝30°，且xx xx=32，那么xx xx的值是 ．11．（2019•诸暨市模拟）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于 ．12．（2018•柯桥区模拟）长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为 ． 13．（2018•上虞区模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在边BC 上，E 在斜边AB 上，若△ADE 是等腰直角三角形，则BE 的长为 ． 14．（2020•新昌县校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是直线BC 上一点，且BE ＝BO ，连结AE ，若∠BAC ＝60°，则∠CAE 的度数是 ．15．（2020•嵊州市模拟）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在菱形的边上，若满足PE +PF ＝a 的点P 只有4个，则a 的取值范围是 ．16．（2020•嵊州市模拟）如图，在矩形ABCD 中，E 是直线BC 上一点，且CE ＝CA ，连结AE ．若∠BAC ＝60°，则∠CAE 的度数为 ．17．（2019•绍兴模拟）如图，在正方形ABCD 中，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，∠EAB 的度数是 ．18．（2018•绍兴二模）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为（﹣4，0）．正方形OEFG 的顶点F 落在y 轴的正半轴上，直线AE 与直线FG 相交于点P ，若△OEP 的其中两边之比为√2：1，则点P 的坐标为 ．19．（2018•上虞区一模）如图，平面直角坐标系中O 是原点，①OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是（8，0），（3，4），点D ，E 把线段OB 三等分，延长CD ，CE 分别交OA ，AB 于点F ，G ，连结FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；①△OFD 与△BEG 相似；①四边形DEGF 的面积是20；①OD =4√53；其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）三．解答题（共21小题） 20．（2020•新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a ﹣d ，a ，a +d ，（a ＞d ＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．（1）判定 按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（ ） A .1，2，3；B .1，√3，2；C .1，√3，3；D .3，4，5．（2）性质 求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．（3）应用 如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC 中剪一个矩形，且矩形的一边在AB 上，其余两个顶点分别在BC ，AC 上，已知AB ＝50cm ，BC ＞AC ，∠C ＝90°，求剪出矩形面积的最大值．21．（2020•柯桥区模拟）如图，在△ABC 中，G 为边AB 中点，∠AGC ＝α．Q 为线段BG 上一动点（不与点B 重合），点P 在中线CG 上，连接P A ，PQ ，记BQ ＝kGP ． （1）若α＝60°，k ＝1， ①当BQ =12BG 时，求∠P AG 的度数．①写出线段P A 、PQ 的数量关系，并说明理由．（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k ，使得①中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．22．（2019•上虞区一模）在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （t +2√2，0），对于线段AB 和点P 给出如下定义：当∠APB ＝90°时，称点P 为线段AB 的“直角视点”． （1）若t =−√2，在点C （0，√2），D （﹣1，√62），E （√22，√62）中，能够成为线段AB “直角视点”的是 ． （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（4√3，0），∠OMN ＝30°．①线段AB 的“直角视点”P 在直线MN 上，且∠ABP ＝60°，求点P 的坐标．①在①的条件下，记Q 为直线MN 上的动点，在点Q 的运动过程中，△QAB 的周长存在最小值，试求△QAB 周长的最小值 ．①若存在线段AB 的“直角视点”在△MON 内部，则t 的取值范围是 ．23．（2019•柯桥区模拟）如图，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．24．（2018•新昌县模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；①求∠F的大小．（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．25．（2018•柯桥区模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．26．（2020•上虞区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C分别是x，y轴上的点，且B（16，0），C（0，8），D为线段AC的中点，sin A=45，E（0，a）为y轴正半轴上的任意一点，连结DE，以DE为边按顺时针方向作正方形DEFG．（1）填空：点A的坐标为；（2）记正方形DEFG的面积为S，①求S关于a的函数关系式；①当DF∥AB时，求S的值；（3）是否存在满足条件的a的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的a 的值；若不存在，说明理由．27．（2020•上虞区模拟）如图，矩形ABCD的四个顶点在正△EFG的边上，已知正△EFG的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S，边长AB为x．求：（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）当S=√32时，x的值．28．（2020•新昌县模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，BC＝16，点O是对角线AC的中点，点E是AD 边上的动点，连结EO并延长交BC于点F，过O作GH⊥EF，分别交矩形的边于点G，H．（1）当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，①求证：四边形HFGE是菱形．①求AE的取值范围．（2）当四边形HFGE的面积为144时，求AE的长．29．（2020•新昌县模拟）小明对教材“课题学习”中的的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探索，他先把正方形ABCD沿对角线AC对折，再把∠BAC对折，使点B落在AC上，记为点E，然后沿CE的中垂线折叠，得到折痕PQ，如图1，类似地，折出其余三条折痕GH，IJ，KO，得到八边形GHIJKOPQ，如图2．（1）求证：△CPQ是等腰直角三角形；（2）若AB＝a，求PQ的长．（用含a的代数式表示）；（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形．试说明八边形GHIJKOPQ是正八边形，请把过程补充完整．解：理由如下：①∴∠GQP＝135°．同理可得：∠QPO＝∠POK＝∠OKJ＝∠KJI＝∠JIH＝∠IHG＝∠HGQ＝135°．①∴PQ＝QG．同理可得：QG＝GH＝HI＝IJ＝JK＝KO＝PO＝PQ．∴八边形GHIJKOPQ是正八边形．30．（2020•越城区模拟）如图，在①ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．31．（2019•柯桥区模拟）如图，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、C分别在x、y轴上，OA ＝8，OC＝6，动直线MN交线段OA于点M，交线段AC于点N，且OM＝AN．（1）计算AC的长度，并求当MN∥AB时AN的长．（2）连结MC，当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标．（3）记矩形OABC关于直线MN的轴对称图形为矩形O'A'B'C'，O与O'，A与A'，B与B'，C与C'分别为对应点，当M、N与这四对对应点的其中一对点为顶点组成的四边形恰好是菱形时，直接写出点M的坐标．32．（2019•柯桥区模拟）如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF．设BE＝x（当点E与点B重合时，x的值为0），DF＝y1，CF＝y2．小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程．（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值，请补全表格：x012345y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y20 1.41 2.83 4.24 5.657.07（2）根据表中各组数值，在同一平面直角坐标系xOy中，画出函数y1的图象．（3）结合图2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，请直接写出BE长度．（精确到0.1）33．（2019•绍兴模拟）有一道作业题：（1）请你完成这道题的证明；已知：如图1，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点（G与B，D不重合）连结AG，CG求证：△BAG≌△BCG（2）做完（1）后，小颖善于反思，她又提出了如下的问题，请你解答．如果在射线CB 上取点E ，使GE ＝GC ，连结GE ． ①如图2，当点E 在线段CB 上时，求证：AG ⊥EG ． ①探究线段AB ，BE ，BG 之间的数量关系． 34．（2019•上虞区一模）在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD ﹣2DE =√2BM ”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若xx xx=13，CM ＝2，则线段DG ＝ ．35．（2019•柯桥区模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．（1）①依题意补全图1； ①求证：∠EDC ＝∠BAD ；（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ；①小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ．想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．（一种方法即可） 36．（2018•柯桥区模拟）定义：等腰三角形ABC ，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形ABC 是等腰倍边三角形． （1）如图1，等腰倍边三角形ABC ，AB ＝AC ，BC ＝2，则AB ＝ ，tan B ＝ ；（2）如图2，平行四边形ABCD ，AB ＝8，对角线交于点O ，若分成的四个以O 为顶点的三角形中存在等腰倍边三角形，求AC +BD 的值．37．（2018•绍兴二模）在四边形ABCD 中，∠B +∠D ＝180°，对角线AC 平分∠BAD ．（1）问题发现：如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，求证：AD+AB＝AC；（2）思考探究：如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，则（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；（3）拓展应用：如图3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝3，求线段AC的长度．38．（2018•绍兴二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，在点P的运动过程中，① 求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．①①求当点A与点E距离最近时t的值，并求出该最近距离．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，求符合条件的m的取值范围．39．（2018•上虞区模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．概念理解：在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中，不一定是“等邻角四边形”的是．问题探究：如图，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝3，BC＝9，P为线段BC上一动点（不包含端点B，C），Q为直线CD上一动点，连结P A，PQ，在P，Q的运动过程中始终满足∠APQ＝∠B，当CQ达到最大时，试求此时BP的长．应用拓展：在以60°为等角的等邻角四边形ABCD中，∠D＝90°，若AB＝3，AD=√3，试求等邻角四边形ABCD 的周长．40．（2018•上虞区模拟）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．（1）求证：△EDC≌△HFE；（2）连接BE、CH．①四边形BCHE是怎样的特殊四边形？证明你的结论．①当AB与BC满足什么数量关系时，四边形BCHE为菱形？试说明你的理由．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．【答案】D【解答】证明：延长BE交CD于点F．则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于它不相等的内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC，故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故★代表CD，■代表∠EFC，▲代表∠EFC，●代表内错角．故选：D．2．【答案】C【解答】解：如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O，且AD＝5，BE＝10，延长OD至G，使DG＝OD，则O为AG中点．∵O是重心，∴OB＝2OE，∵OB+OE＝BE＝10，∴OE=13BE=103，同理，可得OD=13AD=53，∴CG＝2OE=203，OG＝2OD=103，∵OC＜OG+CG=203+103=10，CF=32OC，∴CF＜10×32=15，∵第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C．3．【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．4．【答案】A【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．5．【答案】B【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．【答案】B【解答】解：解不等式①，可得x＜2a，解不等式①，可得x≥4，∵不等式组至少有三个整数解，∴a＞3，又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，∴a的取值范围是3＜a＜8，∴a的整数解有4、5、6，7共4个，故选：B．7．【答案】C【解答】解：连接AD，∵BC＝m•BD，∴CD＝（1﹣m）BD∴S△ACD＝（1﹣m）S△ABD，又∵S△ABD=12⋅xx⋅xx，S△ACD=12⋅xx⋅xx，∴12⋅xx⋅xx=（1﹣m）12⋅xx⋅xx，∵AB＝n•AC，∴AC•DF＝（1﹣m）n•AC•DE ∴DF＝（1﹣m）n•DE∴xxxx=1(1−x)x故选：C．8．【答案】A【解答】解：①表示四边形，①表示平行四边形，①或①表示菱形或矩形，故选：A．9．【答案】B【解答】解：如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P．∵∠OEP+∠HEK＝90°，∠HEK+∠HKE＝90°，∴∠HKE＝∠OEP，∵∠OPE＝∠H＝90°，∴△OPE∽△EHK，∴xxxx=xxxx，∴OP•EK＝HE•OE，易证四边形OMKE是平行四边形，∴EK＝OM，∴OP•OM＝HE•OE，∵矩形ABCD的面积为定值，∴OP•OM是定值，∴HE•OE是定值，∵矩形EFGH的面积＝2HE•EO，∴矩形EFGH的面积是定值．故选：B．二．填空题（共10小题）10．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠B＝∠C，∵∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴xxxx=xxxx=xxxx，∴AE2＝DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴xxxx=xxxx，∴AD2＝DE×CD，∴xx2xx2=xxxx=（32）2=94，设CD＝9x，则BE＝4x，∵xxxx=xxxx，∴AB=xxxx×BE=32×4x＝6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB＝AC，∴BM＝CM=12 BC，∵∠B＝30°，∴AM=12AB＝3x，BM=√3AM＝3√3x，∴BC＝2BM＝6√3x，∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6√3x，∴xxxx=√3x63x=13√318−1；故答案为：13√318−1．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：过F 作AM 的垂线交AM 于D ，可证明Rt △ADF ≌Rt △ABC ，Rt △DFK ≌Rt △CAT ，所以S 2＝S Rt △ABC ．由Rt △DFK ≌Rt △CAT 可进一步证得：Rt △FPT ≌Rt △EMK ，∴S 3＝S △FPT ，又可证得Rt △AQF ≌Rt △ACB ，∴S 1+S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ．易证Rt △ABC ≌Rt △EBN ，∴S 4＝S Rt △ABC ，∴S 1﹣S 2+S 3+S 4＝（S 1+S 3）﹣S 2+S 4＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ABC +S Rt △ABC＝6﹣6+6＝6，故答案是：6．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，已知4条线段的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时任意两端点的最长距离为7；①选3、4+5、7作为三角形，则三边长为3、9、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时任意两端点的最大距离为9．故答案为：9．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点E 作EF 作∥AC ，交BC 于点F ，∴∠BFC ＝∠C ＝90°，∵∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°∴AB ＝2AC ＝2，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：CB =√xx 2−xx 2=√3，∵△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝DA ，∵∠DAC +∠ADC ＝90°，∠EDF +∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠EDF在△ADC 和△DEF 中，{∠xxx =∠xxx xx =xxxx xx =xx，∴△ADC ≌△DEF （AAS ），∴DF ＝AC ＝1，设CD ＝x ，所以EF ＝x ，BF =√3−1﹣x∵EF ∥AC∴xx xx =xx xx ，即x 1=√3−√3， 解得：x ＝2−√3，∴BE ＝2x ＝4﹣2√3，故答案为：4﹣2√3．14．【答案】15°．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵∠BAC ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OB ，∵BE ＝BO ，∴AB ＝BE ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAE ＝45°，∴∠CAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15°．15．【答案】a ＝4√7或12＜a ＜8√7．【解答】解：不妨假设点P 在线段BC 上，作点E 关于BC 的对称点G ，EG 现BC 交于点K ，连接FG 交BC 于点P ，此时PE +PF 的值最小，如图1，过F 作FH ⊥EK 于点H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝12，∠ACB ＝60°，∵点E ，F 将对角线AC 三等分，∴AE ＝EF ＝FC ＝4，∴GK ＝EK ＝EC •sin ∠ACB ＝4√3，CK =12CE ＝4，∵FH ⊥EG ，BC ⊥EG ，∴HF ∥BC ，∵EF ＝FC ，∴xx =xx =12xx =2√3，∴HF =12xx =2，∴xx =√xx 2+xx 2=√(6√3)2+22=4√7，根据菱形的对称性知，当PE+PF＝a＝4√7时，在菱形ABCD的四边各存在一点满足条件PE+PF＝a；当点P在C点时，PE+PF＝8+4＝12，当P点在B点时，连接BD，与AC交于点O，如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=12xx=6，∴xx=xx⋅xxx∠xxx=6√3，∵OE＝OF=12EF＝2，∴PE＝PF=√(6√3)2+22=4√7，∴xx+xx=8√7，当点P由C运动到B时，PE+PF的值由最大值12减小到4√7再增加到8√7，由菱形的对称性质知，当12＜PE+PF＜8√7时，即12＜a＜8√7时，在菱形ABCD的四边各存在一点满足条件PE+PF＝a；综上，点P在菱形的边上，若满足PE+PF＝a的点P只有4个，则a的取值范围是a＝4√7或12＜a＜8√7．故答案为：a＝4√7或12＜a＜8√7．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，如图，当点E在点B左侧时，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠AEC＝75°，若点E'在点C右侧时，∵AC＝CE'，∴∠CAE'＝∠CE'A，∵∠ACB＝∠CAE'+∠CE'A＝30°，∴∠CAE'＝15°，综上所述：∠CAE的度数为75°或15°，故答案为75°或15°．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，当点E在正方形ABCD内，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝CD，∠ADC＝∠DAB＝90°∵分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E∴CD＝DE＝EC＝AD，∴∠EDC＝60°∴∠ADE＝30°，且AD＝DE∴∠DAE＝75°∴∠BAE＝15°当点E在正方形ABCD外，同理可得：∠BAE＝75°故答案为：15°或75°18．【答案】见试题解答内容【解答】解：①如图1，当P与F重合时，满足OP：OE=√2：1，∵四边形OEFG是正方形，∴∠OFE＝45°，∵∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠OFE＝45°，∴OA＝OF＝4，∴F（0，4），即P（0，4）；①如图2，当AE⊥x轴时，满足PE=√2OE，则EP∥OF，OE∥PG，∴四边形PEOF是平行四边形，∴EP＝OF=√2OE，Rt△AOE中，∵OA＝AE＝4，∴OE＝EF＝4√2，同理得：EP=√2EF＝8，∴P（﹣4，12）；①如图3，过P 作PM ⊥x 轴于M ，直线FG 交x 轴于N ，满足OP =√2PE 成立；设OE ＝a ，PF ＝b ，则EF ＝FG ＝OG ＝GN ＝a当OP =√2PE 时，则有OP 2＝2PE 2∴OG 2+PG 2＝2（EF 2+PF 2）即：a 2+（a +b ）2＝2（a 2+b 2）化简可得b ＝2a∴PN ＝4a ，即xx xx =14 而OE ∥PN∴△AOE ∽△ANP∴xx xx =xx xx =14 而OA ＝4，∴ON ＝12∴OG ＝GN ＝6√2，PN ＝24√2∴PM ＝MN ＝24而ON ＝12，∴OM ＝12∴点M 的坐标为（﹣12，0），点P 的坐标为（﹣12，24）．故答案为：P （0，4）或P （﹣4，12）或P （﹣12，24）19．【答案】见试题解答内容【解答】解：①∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，BC ＝OA ，∴△CDB ∽△FDO ，∴xx xx=xx xx ， ∵D 、E 为OB 的三等分点， ∴xx xx =21=2， ∴xx xx =2，∴BC ＝2OF ，∴OA ＝2OF ，∴F 是OA 的中点；所以①结论正确；①如图2，延长BC 交y 轴于H ，由C （3，4）知：OH ＝4，CH ＝3，∴OC ＝5，∴AB ＝OC ＝5，∵A （8，0），∴OA ＝8，∴OA ≠AB ，∴∠AOB ≠∠EBG ，∴△OFD ∽△BEG 不成立，所以①结论错误；①由①知：F 为OA 的中点，同理得；G 是AB 的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=12OB，FG∥OB，∵OB＝3DE，∴FG=32 DE，∴xxxx=32，过C作CQ⊥AB于Q，S①OABC＝OA•OH＝AB•CQ，∴4×8＝5CQ，∴CQ=32 5，S△OCF=12OF•OH=12×4×4＝8，S△CGB=12BG•CQ=12×52×325=8，S△AFG=12×4×2＝4，∴S△CFG＝S①OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝8×4﹣8﹣8﹣4＝12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴x△xxxx△xxx=（xxxx）2=49，∴x四边形xxxxx△xxx=59，∴x四边形xxxx12=59，∴S四边形DEGF=20 3；所以①结论错误；①在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2＝BH2+OH2，∴OB=√42+(3+8)2=√137，∴OD=√137 3，所以①结论错误；故本题结论正确的有：①；故答案为：①．三．解答题（共21小题）20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A、∵1+2＝3，∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；B、当√3−d＝1，√3+d＝2，得d＝1+√3，d＝2−√3，∵1+√3≠2−√3，故B不符合题意；C、∵1+√3＜3，∴1，√3，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；D、当4﹣d＝3，4+d＝5，得d＝1，∵32+42＝52，∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；故选D．（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，化简得a2﹣4ad＝0，∴a（a﹣4d）＝0，∵a＞d＞0，∴a﹣4d＝0，∴a＝4d，∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，∵AB＝50，∴d＝50﹣a，∴AC＝2a﹣50，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a﹣50）2+a2＝502，∵a＞0，∴a＝40，∴BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，∴CH=xx⋅xxxx=30×4050=24，∵四边形DEFG是矩形，∴设FG＝x，∴CM＝24﹣x，∵EF∥AB，∴△CFE∽△CBA，∴xxxx=xxxx，∴xx50=24−x24，∴EF=25(24−x)12，∴S矩形DEFG＝FG•EF=25x(24−x)12=−2512（x﹣12）2+300，∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，∵∠AGM＝α＝60°，∴△AGM为等边三角形，∴AG＝GM，∠MAG＝60°，∵BQ=12 BG，∴Q为GB的中点，∵G为AB的中点，∴AG＝BG＝2BQ，∵k＝1，∴BQ＝GP，∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，∴GP＝MP，∴AP平分∠MAG，∴∠P AG＝∠P AM＝30°；①如图2，在AG上取点N，连接PN，使得PN＝PG，∵∠PGN＝60°，∴△PGN是等边三角形，∵BG＝GA，∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，∴GQ＝AN，∵∠ANP＝∠QGP，∴△ANP≌△QGP（SAS），∴P A＝PQ；（2）存在，k=√2，使得①中的结论成立；证明：如图3，过点P作PG的垂线交AG于点H．∵∠AGC＝45°，∴∠PHG＝45°，∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，∵xx=√2xx，xx=√2xx，∴HG＝BQ，∵AG＝BG，∴AH＝GQ．∴△AHP≌△QGP（SAS）∴P A＝PQ．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）若t =−√2，则A （−√2，0），B （√2，0）， 则AB ＝2√2，∴AB 2＝8，∵点C （0，√2），D （﹣1，√62），E （√22，√62）， 由勾股定理得：AC 2＝（√2）2+（√2）2＝4，BC 2＝（√2）2+（√2）2＝4， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴点C 是线段AB 的“直角视点”； 同理：AD 2＝（√2−1）2+（√62）2=92−2√2，BD 2＝（√2+1）2+（√62）2=92+2√2， ∴AD 2+BD 2＝9≠AB 2，∴∠ADB ≠90°，∴点D 不是线段AB 的“直角视点”； 同理：AE 2＝（√2+√22）2+（√62）2＝6，EE 2＝（√2−√22）2+（√62）2＝2， ∴AE 2+BE 2＝8＝AB 2，∴∠AEB ＝90°，∴点E 是线段AB 的“直角视点”； 故答案为：C 、E ；（2）①分两种情况：a 、△ABP 在M 点左侧时；当MN 与x 轴的夹角∠OMN 在x 轴上方时， ∵点P 是线段AB 的“直角视点”， ∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵∠ABP ＝60°，∴∠P AB ＝30°，∴PB =12AB =√2，P A =√3PB =√6， 如图1所示：作PG ⊥AB 于G ， 则PG =12P A =√62，∵点M 的坐标是（4√3，0），∠OMN ＝30°， ∴OM ＝4√3，GM =√3PG =3√22， ∴OG ＝OM ﹣GM ＝4√3−3√22，∴P （4√3−3√22，√62）；当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4√3−3√22，−√62）；b、△ABP在M点右侧时，同理得：P（4√3+3√22，√62）或（4√3+3√22，−√62）；综上所述，点P的坐标为（4√3−3√22，√62）或（4√3−3√22，−√62）或（4√3+3√22，√62）或（4√3+3√22，−√62）；①∵AB＝2√2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，∵∠OMN＝30°，∴∠MAA'＝60°，∵AG=√3PG=3√2 2，∴BG＝AB﹣AG=√22，A'G=√3AG=3√62，由勾股定理得：A'B=√x′x2+xx2=√14，∴△QAB最小值为2√2+√14；故答案为：2√2+√14．①如图3所示：当B点与O重合，则t+2√2=0，∴t＝﹣2√2；当A与M重合时，t＝4√3，∴若存在线段AB的“直角视点”在△MON内部，t的取值范围是﹣2√2＜t＜4√3；故答案为：﹣2√2＜t＜4√3．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠MON ＝90°，∴∠OBA +∠OAB ＝90°，∵∠OBA 、∠OAB 的平分线交于点C ，∴∠ABC +∠BAC =12×90°＝45°， ∴∠ACB ＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135；（2）在△AOB 中，∠OBA +∠OAB ＝180°﹣∠AOB ＝180°﹣n °，∵∠OBA 、∠OAB 的平分线交于点C ，∴∠ABC +∠BAC =12（∠OBA +∠OAB ）=12（180°﹣n °），即∠ABC +∠BAC ＝90°−12n °，∴∠ACB ＝180°﹣（∠ABC +∠BAC ）＝180°﹣（90°−12n °）＝90°+12n °；（3）∵BC 、BD 分别是∠OBA 和∠NBA 的角平分线，∴∠ABC =12∠OBA ，∠ABD =12∠NBA ，∠ABC +∠ABD =12∠OBA +12∠NBA ，∠ABC +∠ABD =12（∠OBA +∠NBA ）＝90°，即∠CBD ＝90°，同理：∠CAD ＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB +∠ADB ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，由（1）知：∠ACB ＝90°+12n °，∴∠ADB ＝180°﹣（90°+12n °）＝90°−12n °， ∴∠ACB +∠ADB ＝180°，∠ADB ＝90°−12n °；（4）∠E 的度数不变，∠E ＝40°；理由如下：∵∠NBA ＝∠AOB +∠OAB ，∴∠OAB ＝∠NBA ﹣∠AOB ，∵AE 、BC 分别是∠OAB 和∠NBA 的角平分线，∴∠BAE =12∠OAB ，∠CBA =12∠NBA ，∠CBA ＝∠E +∠BAE ，即12∠NBA ＝∠E +12∠OAB ， 12∠NBA ＝∠E +12（∠NBA ﹣80°）， 12∠NBA ＝∠E +12∠NBA ﹣40°，∴∠E ＝40°．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当∠BAC ＝90°时，①AE ＝AD ﹣DE =√22AB ﹣DE =5√22−52；①连接DM ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，AD ＝DC ．∵点M 是AC 的中点，∴DM ＝MC ＝AM ＝DE ，DM ⊥AC ，∴∠MDC ＝∠MDE ＝45°，∴∠DEM =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠F ＝90°﹣67.5°＝22.5°；（2）当∠BAC ≠90°时，∠BAC ＝4∠F ．理由如下：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴∠ADC ＝90°．设∠BAC ＝4x ，则∠DAC ＝2x ．∵点M 是AC 的中点，∴DM ＝MC ＝AM ＝DE ，∴∠ADM ＝∠DAC ＝2x ，∴∠DEM =12（180°﹣2x ）＝90°﹣x ， ∴∠F ＝90°﹣DEM ＝90°﹣（90°﹣x ）＝x ，∴∠BAC ＝4∠F ．25．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠x =∠xxx =xxxx xx =xx，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．26．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵sin A =45，OC ＝8，∠AOC ＝90°，∴xx xx =45， ∴8xx =45，∴AC ＝10，∴OA =√xx 2−xx 2=√102−82=6，∴A （﹣6，0）．故答案为：（﹣6，0）；（2）①如图1，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，∵D 为AC 的中点，∴DH ＝3，HO ＝4，EH ＝a ﹣4，∴S ＝DE 2＝EH 2+DH 2＝（a ﹣4）2+9；①当DF ∥x 轴时，点H 即为正方形DEFG 的中心，∴EH ＝DH ＝3，∴a ＝4+3＝7，∴S ＝（7﹣4）2+9＝18；（3）①当点F 落在BC 边上时，如图2，作DM ⊥y 轴于M ，FN ⊥y 轴于N ，在△DEM 与△EFN 中，{∠xxx =∠xxx =90°xxxx =xxxx xx =xx，∴△DEM ≌△EFN （AAS ），∴NF ＝EM ＝a ﹣4，EN ＝DM ＝3，∵EC ＝a ﹣8，∴CN ＝11﹣a ，∵NF ∥OB ，∴△CNF ∽△COB ，∴xx xx =xx xx ， ∴x −416=11−x 8．∴a =263．①当点G 落在BC 边上时，如图3，作DM ⊥y 轴于M ，GN ⊥DM 轴于N ，延长NG 交x 轴于点Q ，则四边形OMNQ 为矩形，由①同理可得△DEM ≌△GDN ，∴GN ＝DM ＝3，DN ＝EM ＝a ﹣4，∵GQ ＝1，QB ＝2，∴OQ＝MN＝14，又∵MN＝DN﹣DM＝a﹣4﹣3＝14，∴a＝21；①当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE＝DM＝3，即a＝3；①当点G落在AC边上时，如图5，∵∠CDE＝∠AOC＝90°，∠DCE＝∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴xxxx=xxxx，∴8−x10=58，∴a=7 4，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．综上可得，当a=263或21或3或74时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．27．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝x，则DC＝x，∵△EFG是等边三角形，∴ED＝DC＝x，∵正△EFG的边长为2，∴DF＝2﹣x，在Rt△DF A中，sin F＝sin60°=xxxx=xx2−x，∴DA=√32（2﹣x），∴S=√32（2﹣x）×x，即S关于x的函数表达式为S=−√32x2+√3x，自变量x的取值范围为0＜x＜2；（2）当S=√32时，√32=−√32x2+√3x，解得x＝1．28．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，∵在矩形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠EOA＝∠EOC，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴OE＝OF，同理可得：OG＝OH，又∵GH⊥EF，∴四边形HFGE是菱形；①当GH与BD重合时，如图2，∵在矩形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝16，∴BD=√xx2+xx2=√122+162=20，∴OB＝OD＝10，在Rt△ABD和Rt△EOD中，cos∠EDO＝cos∠ADB=4 5，∴DE=xxxxxxxxx=1045=12.5，∴AE＝AD﹣DE＝3.5，当GH与AC重合时，如图3，同理可得：sin∠AEO=xxxx=sin∠BAC=xxxx=45，∴10xx=45，∴AE＝12.5，∴3.5＜AE＜12.5．即当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，AE的取值范围是3.5＜AE＜12.5．（2）①当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的两条边上时，当点G在AD上，如图4，由（1）可知四边形HFGE是菱形，且菱形的高是12．∵S四边形HFGE＝144，∴EG＝12，∴EH＝EH＝12＝AB，∴EH⊥HF，∴四边形HFGE是正方形，由于正方形HFGE和矩形ABCD的对称轴为同一条，∴AE=12（16﹣12）＝2．同理可证：当点G在BC上时，如图5，AE＝14．①当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，如图6，过点O作OP⊥AD，OQ⊥CD，交AD，CD分别于点P，Q，则四边形POQD为矩形，∴∠POQ＝90°，∴∠POE＝∠GOQ，又∵∠EPO＝∠OQG＝90°，∴△EPO∽△GQO，∵OP=12AB＝6，OQ=12AD＝8，∴xxxx=xxxx=68=34，∴xxxx=xxxx=34，设EF＝3a，HG＝4a，∴S四边形HFGE=12EF•HG=12×3a×4a＝144，解得a＝2√6，∴OE=3x2=3√6，∴EP=√xx2−xx2=3√2，∴当E点在P点左侧时，AE＝8﹣3√2，由对称性可得，当点E在P点右侧时，如图7，AE＝8+3√2，综上所述，AE的长为8+3√2或8﹣3√2或2或14．29．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形ABCD沿对角线AC对折，∴PQ⊥CE，∵AC为正方形的对角线，∴∠ACQ＝∠ACP＝45°，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴△CPQ是等腰直角三角形；（2）由折叠可知：QE＝CQ，CP＝PE，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝CP＝PE，∠BCD＝90°，∴四边形CQEP是正方形，∴PQ＝CE，在正方形ABCD中，AC=√2a，由折叠可知：AE＝AB＝a，∴CE=√2a﹣a，∴PQ=√2a﹣a．（3）①∵△CPQ是等腰直角三角形，∴∠CQP＝45°；①设AB＝a，由（2）可知：PQ=√2a﹣a，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴CQ＝a−√22 a，同理可得：DG＝a−√22 a，∴QG＝CD﹣DG﹣CQ＝a﹣（a−√22a）﹣（a−√22a）=√2a﹣a．30．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{xx=xx xx=xx xx=xx，∴△AEH≌△CGF．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH．∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH 是菱形．31．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1中，设OM ＝AN ＝m ．在Rt △AOC 中，∵∠AOC ＝90°，OC ＝6，OA ＝8，∴AC =√xx 2+xx 2=10，∵MN ∥AB ，AB ∥OC ，∴MN ∥OC ，∴xx xx =xx xx ， ∴8−x 8=x 10，∴m =409，∴AN =409．（2）如图2﹣1中，当∠MNC ＝90°时，设OM ＝AN ＝n ．∵∠ANM ＝∠AOC ，∠MAN ＝∠OAC ，∴△MAN ∽△CAO ，∴xx xx =xx xx ， ∴xx 10=x 8，∴AM =54n ，∵OM +AM ＝8， ∴n +54n ＝8，∴n =329，∴M （329，0）．如图2﹣2中，当∠CMN ＝90°时，作NH ⊥AM 于H ，设OM ＝AN ＝a ，则AH =45a ，HN =35a ，MH ＝8﹣a −45a ＝8−95a ， ∵△COM ∽△MHN ，∴xx xx =xx xx ，∴68−95x =x 35x ， 解得a =229，∴M （229，0）． 综上所述，满足条件的M 的坐标为（329，0）或（229，0）．（3）①如图3﹣1中，当四边形ONO ′M 是菱形时，易证ON ＝OM ＝AN ＝CN ＝5，此时M （5，0）．①如图3﹣2中，当四边形AMA ′N 是菱形时，易证OM ＝AM ＝4，此时M （4，0）．①如图3﹣3中，当四边形CMC ′N 是菱形时，设OM ＝AN ＝b ，∵CM ＝CN ，∴62+b 2＝（10﹣b ）2，解得b =165，此时M （165，0）．①如图3﹣4中，当四边形BNB ′M 是菱形时，设OM ＝AN ＝c ，作NJ ⊥AB 于J ．∵BM ＝BN ，∴62+（8﹣c ）2＝（6−35c ）2+（45c ）2， 解得c =8011，此时M （8011，0）． 综上所述，满足条件的点M 的坐标为（5，0）或（4，0）或（165，0）或（8011，0）．32．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）补全表格如下：x 0 12 3 4 5 y 15.0 4.12 3.61 3.61 4.12 5.00 y 20 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）函数图象如下：（3）结合函数图象2，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为2.59（图中点A ）， 当DF ＝CD ＝y 1＝5时x ＝5（图中点C ）当CF＝CD＝y2＝5时x＝3.5（图中点B）故答案为：2.59或5或3.5．33．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，又∵AB＝BC，BG＝BG，∴△BAG≌△BCG（SAS）；（2）①如图2，由（1）知△BAG≌△BCG，∴∠BAG＝∠BCG，∴GE＝GC，∴∠BCG＝∠GEC，∴∠GEC＝∠BAG，又∵∠GEC+∠BEG＝180°，∴∠BAG+∠BEG＝180°，∴∠ABE+∠AGE＝180°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEG＝90°，∴AG⊥EG．①如图3，当点E在线段CB上时，作GH⊥BC于H，在Rt△BGH中，BH=√22 BG，∵BE＝BH﹣EH①，AB＝BH+CH①，∵GE＝GC，∴EH＝CH，∴①+①，得：AB+BE＝2BH，∴AB+BE=√2BG；如图3，当点E在线段CB延长线上时，作GH⊥BC于H，在Rt △BGH 中，BH =√22BG ，∵BE ＝EH ﹣BH ①，AB ＝BH +HC ①，∴①﹣①，得：AB ﹣BE ＝2BH ，∴AB ﹣BE =√2BG ．34．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°，∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°，∴△BPM 是等腰直角三角形，∴PM ＝BM ，PB =√2BM ，∵BM ＝DN ，∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，{∠xxx =∠xxxxxxx =xxxx xx =xx，∴△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =√2BM ，即BD ﹣2DE =√2BM ；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°，∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形，∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD +PD ＝BD +2DE ，根据勾股定理得：BP =√2BM ，即BD +2DE ＝BP =√2BM ，故答案为：BD +2DE =√2BM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ，∴AB ∥DN ，∴△ABF ∽△DNF ，∴AF ：FD ＝AB ：ND ，∵AF ：FD ＝1：2，∴AB ：ND ＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ，∵BM ＝DN ，∴x +2＝2x ，x ＝2，∴AB ＝AD ＝2，DF =43，。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2022年人教版中考数学一轮复习：三角形+四边形压轴 专项练习题(Word版,含答案)

2022年人教版中考数学一轮复习：三角形+四边形压轴 专项练习题(Word版,含答案)

2022年人教版中考数学一轮复习：三角形+四边形压轴专项练习题三角形压轴专项练习题1．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有．（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．2．（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC ＝90°，求证：∠ADB＝45°；（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．4．定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为2：1，那么这个三角形叫做“倍直角三角形”．（1）如图1，下列三角形中是“倍直角三角形”的是；（2）已知“倍直角三角形”的一条直角边的长度为2，则另一条直角边的长度为；（3）如图2，正方形网格中，已知格点A、B、C、D，找出格点E，使△ABE、△CDE都是“倍直角三角形”，这样的点E共有个；（4）如图3，正方形网格中，已知格点A、B，找出格点C，使△ABC是“倍直角三角形”，请画出所有满足条件的点C．5．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC6．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，FD⊥ED．（1）如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上．请探究出线段AE，AF，AB的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请探究出此时线段AE，AF，AB的数量关系，并加以证明．7．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．8．如图所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边BC上的一个动点且∠AEF＝90°，EF 交DC于点G，交正方形外角平分线CF于点F，点M是AB的中点，连接EM．（1）求证：∠BAE＝∠FEC；（2）若E为BC的中点，求证：AE＝EF；（3）点E在何位置时线段DG最短，并求出此时DG的值．9．已知，在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B点作互相平行的直线AM、BN，过点C 的直线分别交直线AM、BN于点D、E．（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，求证：AD+DC＝BE．10．（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．11．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求证：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE 的长．12．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．13．如图在平面直角坐标系中，点A（0，a）、B（﹣2，0）、C（b，0）且（a+b﹣7）2+＝0（1）求点A、C的坐标；（2）求△ABC的面积S△ABC；（3）当点P的坐标是（m，4）且S△ABP＝S△ABC时，求m的值．14．如图，已知AB∥CD，∠1+3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明AB∥EF的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（）．即∠BCF＝90°．∵＝180°（三角形内角和等于180°），∴＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴（）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（）．∴AB∥FE（）．参考答案1．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正确，在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，连接AF，要使OC＝OE，则有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．2．（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ACD+∠CFD＝90°，∴∠BDC＝90°；（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°；（3）①如图3，在形内作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，与（2）同理△ABE≌△ACD，∴AE＝DA，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°；②∵BE＝DC，∴DB＝BE+DE＝DA+DC．3．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠CAD＝45°，∵△EFD是等腰直角三角形，∴∠EFD＝∠AFE＝90°，∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF；（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AF＝EF仍然成立，理由如下：如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，∴∠GDC＝∠C＝45°，∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，∵△DFE是等腰直角三角形，∴＝，∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，∴∠FDG＝∠EDC，∴△FDG∽△EDC，∴∠FGD＝∠ECD＝45°，∴∠FGA＝45°，在△FGA和△FGD中，，∴△FGA≌△FGD（SAS），∴AF＝DF，∵DF＝EF，（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中点，∴AD＝7，取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，∴FG∥DC，∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，在Rt△APF中，AP＝，AF＝，∴PF＝＝＝，①如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG＝4，∵△FDG∽△EDC，∴＝，∴EC＝4；②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，同理得△FDG∽△EDC，∴＝，综上，EC的长是4或3．4．解：（1）如图1中，∵AB＝，BC＝，AC＝3，∴AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是倍直角三角形，∵DF＝2，DE＝4，EF＝2，∴DF2+DE2＝EF2，∴∠FDE＝90°，∵DE＝2DF，∴△DEF是倍直角三角形，∵∠GHI＝90°，GH＝5，HL＝3，∴GH≠2HI，∴△GHI不是倍直角三角形，故答案为：△DEF．（2）∵“倍直角三角形”的一条直角边的长度为2，∴另一条直角边的长度为1或4，故答案为：1或4．（3）如图2中，满足条件的点E共有4个，故答案为：4．（4）如图3中，满足条件的点C共有5个．5．（1）解：如图1中，∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝8，∵AE⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AE＝•AC•AB，∴AE＝＝．（2）解：如图2中，在CE上取一点T，使得FJ＝CJ，连接FJ．∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵AE⊥BC，AC＝8，∴CE＝AC•cos60°＝4，∵∠DCA＝45°，∴∠FCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°，∵JF＝JC，∴∠JFC＝∠JCF＝15°，∴∠EJF＝∠JFC+∠JCF＝30°，设EF＝m，则FJ＝JC＝2m，EJ＝m，∴m+2m＝4，∴m＝4（2﹣），∴EF＝4（2﹣），∴S△ECF＝×4×4（2﹣）＝8（2﹣）．（3）证明：如图3中，过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠AMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF+AF＝CN+BN，即PF+AF＝BC．6．解：（1）AE+AF＝AB，理由如下：连接AD，如图1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∴∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，∠DAF＝∠BAC＝45°，AD＝BC＝BD，∴∠B＝∠DAF，∠ADB＝90°，又∵FD⊥ED，∴∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AE+BE＝AB，∴AE+AF＝AB；（2）AB+AF＝AE，理由如下：连接AD，如图2所示：同①得：∠BDE＝∠ADF，AD＝BD，∠ABD＝∠CAD＝45°，∴∠DBE＝∠DAF＝135°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB+BE＝AE，∴AB+AF＝AE．7．解：（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t；故答案为（10﹣2t）；（2）存在．分两种情况讨论：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．因为AB＝6，所以PC＝6．所以BP＝10﹣6＝4，即2t＝4．解得t＝2．因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP．因为PB＝PC，所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．解得t＝2.5．因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等．8．解：（1）∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，（2）证明：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°，∵E为BC的中点，∴AM＝EC＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，又∠AEB+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，（3）设BE＝x，CE＝4﹣x，由（1）知，∠BAE＝∠GEC，∵∠B＝∠ECG＝90°，∴△ABE∽△GEC，∴，∴，∴GC＝，∴DG＝4﹣＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2即E为BC中点时，线段DG最短，DG的最小值为3．9．证明：（1）如图1，延长AC交BN于点F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD．10．解：（1）如图1，过点P作PM⊥AC于M，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴PM＝PA，∴PB+PA＝PB+PM，∴当B，P，M三点共线时，PB+PA的值最小，此时，BM⊥AC，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴BM＝＝，故答案为：；（2）如图2，把△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BEF，连接PE，由旋转得：PB＝BE，∠CBF＝∠PBE＝60°，∠BPC＝∠BEF＝120°，PC＝EF，∴△PBE是等边三角形，∴∠BPE＝∠BEP＝60°，PB＝PE，∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝30°+60°＝90°，∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴∠APB+∠BPE＝∠BEF+∠BEP＝120°+60°＝180°，∴A，P，E，F四点共线，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，AC＝，∴BC＝BF＝2，AB＝AC＝，在Rt△ABF中，AF＝＝＝7，∴PA+PB+PC＝PA+PE+FE＝AF＝7；（3）如图3，把△BPC绕点B顺时针旋转60°并扩大2倍得到△BED，连接AD，取BE的中点F，连接PF，PE，由旋转得：∠PBE＝∠CBD＝60°，BE＝2PB，DE＝2PC，BD＝2BC＝4000，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝30°+60°＝90°，∵BF＝BP，∴△BPF是等边三角形，∴BF＝EF＝PF，∴∠BPE＝90°，PE＝PB，∴PA+PB+2PC＝PA+PE+DE≥AD（当点A，P，E，D共线时取等号），在Rt△ABD中，AD＝＝＝2000（米）；∴PA+PB+2PC的最小值是2000米．11．（1）①证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAM＝120°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAM，∵AB＝AC，AD＝AM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴BD＝CM；②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝30°，由①知：△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°，∴∠DCM＝60°，∵∠CMD＝90°，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD，∵BD＝CM，∴＝；（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，∴EG＝CE＝，CG＝，∵AC＝AB＝2，∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴AF＝AC＝，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴∠DAF＝∠EAG，∵∠AFD＝∠AGE＝90°，∴△ADF∽△AEG，∴，即＝，∴DF＝，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，∴，解得：EF＝2或﹣2（舍），∴DE＝DF+EF＝+2＝；解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，∴∠MCQ＝60°，Rt△QMC中，CQ＝CM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，∴EQ＝x﹣1，∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，∴∠DAE＝∠EAM，∵AD＝AM，AE＝AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴EM＝DE＝5﹣2x，由勾股定理得：EM2＝EQ2+QE2，∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，解得：x＝，∴DE＝5﹣2x＝．12．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴∠A+∠C＝2∠E，∵∠A＝28°，∠C＝32°，∴∠E＝30°；（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，即∠A+2∠C＝3∠E．13．解：（1）∵（a+b﹣7）2+＝0，∴，解得，∴A（0，3），C（4，0）；（2）∵A（0，3）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴BC＝6，OA＝3，∴S△ABC＝＝9；（3）当P点在第一象限，则PC∥AB，如图，作PM⊥x轴于M，∵PC∥AB，∴∠ABO＝∠PCM，∵∠AOB＝∠PMC，∴△AOB∽△PMC，∴＝，即＝，∴CM＝，∴OM＝OC+CM＝＝，∴m＝，当P点在第二象限，同理求得，综上，m的值为﹣或．14．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（等量代换）．即∠BCF＝90°．∵∠BCF+∠4+∠5＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠4+∠5＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（等式的性质）．∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．2022年人教版中考数学一轮复习：四边形压轴专项练习题1．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．2．在▱ABCD中，点M为AB的中点．（1）如图1，若∠A＝90°，连接DM且∠BMD＝3∠ADM，试探究AB与BC的数量关系；（2）如图2，若∠A为锐角，过点C作CE⊥AD于点E，连接EM，∠BME＝3∠AEM，①求证：AB＝2BC；②若EA＝EC，求的值．3．如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，0），B（0，4）．（Ⅰ）点C的坐标是（，）；（Ⅱ）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y 轴于点F，求△OPF的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形O'F'D'E′与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出x的取值范围．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．6．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ 交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）求DE的长；（3）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．7．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AB边上，且BC＝BE，连接EC、AC，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG分别交EC、DC于F、H两点．（1）如图1，若BC＝2，∠ECA＝15°，求线段EF的长．（2）如图2，延长AB到M，连接MF，使得∠BMF＝∠FBC，求证：BF+FM＝AC．（3）如图3，在（1）的条件下，点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，点P是线段AD的中点，连接AN，将△ADN绕点D逆时针旋转α°（0≤α≤360）到△A'DN'，连接PA'，NA'，当3NA'﹣PA'取最大值时，请直接写出△A'DH的面积．8．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG 绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D 逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．9．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．10．如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系；（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，DE＝2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的取值范围：．11．在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求线段PM的长度；（2）如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P'处，AB的中点为Q，直接写出P'Q的最小值．12．如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．（1）如图①，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；（2）如图②，连接BF，若△BEF为等边三角形，求的值；（3）如图③，已知E为AB中点，tan∠ADE＝，连接BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．（结果用关于S的代数式表示）13．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD边于点E，连接BE．（1）如图1，求证：BD平分∠EBC；（2）如图2，延长EO交BC于点F，当BF＝2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于CD的线段．14．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围：；②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．15．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．2．解：（1）BC＝AB，理由如下：∵∠BMD＝3∠ADM，∴∠A+∠ADM＝3∠ADM，∴∠A＝2∠ADM，∵∠A＝90°，∴∠ADM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，∴AD＝BC，AM＝AB，∴BC＝AB；（2）①取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，N是CD的中点，∴DN＝CN＝CD＝AB＝AM＝BM，CD∥AB，∴四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，∴MN∥AD∥BC，∴＝，∠AEM＝∠EMF，∠CMF＝∠MCB，∴EF＝CF，∵CE⊥AD于点E，∴MN⊥CE，∴MF是CE的垂直平分线，∴ME＝MC，∴∠EMF＝∠CMF，设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，∵∠BME＝3∠AEM，∴∠BME＝3α，∴∠BMC＝∠BME﹣∠EMC＝α，∴∠BMC＝∠MCB＝α，∴BC＝BM＝AB，∴AB＝2BC；②如图：由①知：AB＝2BC，∴CD＝2AD设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），Rt△CDE中，ED2+EC2＝CD2，∴x2+y2＝4（y﹣x）2，化简整理得：3x2﹣8xy+3y2＝0，解得x＝y或x＝y，∵DE＜AE，∴x＝y，∴＝，即＝．3．解：（Ⅰ）∵A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC＝OA＝3，BC∥OA，AB∥OC，∴点C的坐标为：（﹣3，4）；故答案为：﹣3，4；（Ⅱ）由旋转的性质，可得：OD＝OB＝4，OF＝OA＝3，∠ODF＝∠OBA，∠OFD＝∠OAB，∵∠BOD＝90°，∴S△DOF＝OD•OF＝×4×3＝6，DF＝＝＝5，∵AB∥OC，∴∠OBA＝∠BOC，∴∠ODF＝∠BOC，∵∠OFP＝∠DFO，∴△OFP∽△DFO，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△OPF＝S△DOF＝×6＝；（Ⅲ）如图，重叠部分为五边形时，F′必须位于点B上方，∵OF＝3，OB＝4，∴d＞1，当点C在D′F′上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线D′F′的解析式为y＝x+b，将C（﹣3，4）代入，得4＝×（﹣3）+b，解得：b＝，∴直线D′F′的解析式为y＝x+，令x＝0，得y＝，∴F′（0，），∴OF′＝，∴FF′＝OF′﹣OF＝﹣3＝，∴d＜，∴1＜d＜；∵＝sin∠F′OC＝，∴P′F′＝F′O＝（d+3），同理可得：P′O＝（d+3），∴S△F′P′O＝P′F′•P′O＝×（d+3）×（d+3）＝（d+3）2，∵＝cos∠D′F′O＝，BF′＝d﹣1，∴HF′＝（d﹣1），∵＝sin∠D′F′O＝，∴HB＝HF′＝×（d﹣1）＝（d﹣1），∴S△HBF′＝BF′•HB＝×（d﹣1）×（d﹣1）＝（d﹣1）2，∵OO′＝d，∴O′G＝OO′•sin∠BOC＝d，OG＝OO′•cos∠BOC＝d，∴S△OGO′＝O′G•OG＝×d×d＝d2，∴S＝S△F′P′O﹣S△HBF′﹣S△OGO′＝（d+3）2﹣（d﹣1）2﹣d2＝﹣d2+d+，∴S＝﹣d2+d+（1＜d＜）．4．（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）证明：由折叠性质可得，AB＝BG，∵AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴BG＝DC．（3）解：由折叠可知AB＝GB，由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，又∵∠C＝90°，AB＝CD，FD＝CF，∴GB＝2GF，BF+GF＝3GF，∵BF2＝BC2+CF2，∴（3GF）2＝64+GF2，∴GF＝2，∴CD＝2GF＝4．5．解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，∵△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB+∠ABE＝90°，∴∠AQB+∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE，∵∠AKB+∠ABE＝90°，∴∠AKB+∠ADG＝90°，∵∠AKB＝∠DKH，∴∠DKH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG＝＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，由（2）知，△ABE∽△ADG，∴＝＝，即＝，∴DG＝4．6．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），解得：t＝2，即t＝2s时，△BPQ是直角三角形；。

中考复习之—三角形与四边形练习题(含答案)

中考复习之—三角形与四边形练习题(含答案)

中考复习之——三角形与四边形1、三角形与平行四边形联手1，在平行四边形ABCD中, ∠ABC的平分线交C D于点E, ∠ADC的平分线交A B于例1、如图点F. 试判断A F与CE是否相等，并说明理由.解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB=CD ，∠A=∠C，∠ADC= ∠CBA∵DF 平分∠ADC ，BE 平分∠CBA∴∠ADF=1/2 ∠ADC=1/2 ∠CBA= ∠CBE在△ADF 和△CBE 中∠A=∠CAD=BC∠ADF= ∠CBE∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF=CE2、三角形与矩形联手5，矩形ABCD 中，点 E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF⊥AE于例2、如图F，连结DE，求证：DF＝DC．证明：∵AE=AD∴∠AED=∠ADE∵AD‖BC ∴∠CED=∠ADE∴∠CED=∠AED∵∠DFE=∠C=90∠CED=∠AED（已证）DE=DE（公共边）∴△DFE≌△DCE（AAS）∴DF=DC例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为 F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.解：∵AB平行DC ∴∠AED=∠EDC∵CF⊥DE ∴∠DFC=∠DAE又∵DE=AB且AB=DC ∴DE=DC∵∠AED=∠EDC ∠DAE=∠DFC DE=DC∴△AED全等于△FCD∴AD=CF例4、如图6，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O点的直线EF与AB，CD 的延长线分别交于E，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形．是菱形？证明你的结论证明：1、证明：∵矩形ABCD∴OA＝OC，AB∥CD∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO∴△BOE≌△DOF （AAS）2、EF⊥AC时，四边形AECF为菱形∵△BOE≌△DOF∴OE＝OF又∵OA＝OC∴平行四边形AECF∵EF⊥AC∴菱形AECF（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）例5、在矩形ABCD 中，AB=2，AD= 3．（1）在边CD 上找．一点E，使EB 平分∠AEC，并加以说明；F．E P 并延长交A B 的延长线于（2）若P 为BC 边上一点，且B P=2CP，连接①求证：点 B 平分线段A F；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．解：（1）∵∠AEB= ∠BEC=∠ABE∴∠AEB= ∠ABEAB=AE=2DE=1( 勾股定理计算)∴DE=EC=1E 是DC 的中点（2）∵⊿ECP∽⊿FBP∴EC/BF=PC/PB=1/2∴BF=2A F点B 平分线段②由（1）知⊿AED ≌⊿BEC⊿ABE 是等边三角形在⊿PEC 中tan∠PEC=√3/3∴∠PEC=30 o=∠F∴⊿AEF 是直角三角形∴AF=2AE=2AB3、三角形与正方形联手点(点G 与C、D 不重例6、如图8 所示，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连结B G，DE．我们探究下列B G、线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系：图中线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系；B G、线段（1）①猜想如图 1 中线段②将图 1 中的正方形CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a b，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（08年义乌市）（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG的值．解：（1）①BG⊥DE，BG=D；E②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=D，C CG=C，E∠BCD=∠ECG=9°0，∴∠BCG∠=DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=D，E∠CBG∠=CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC/DC＝CG/CE =b/a ，又∵∠BCG∠=DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．B E、DG．（3）连接根据题意，得A B=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=9°0∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25A D ，以线BC 上一动点，连接9- 甲，在△ ABC 中，∠ACB 为锐角．点 D 为射例 7、如图AD 为一边且在AD 的右侧作正方形A DEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点 D 在线段B C 上时（与点 B 不重合），如图9- 乙，线段C F、BD 之间的位置关系为▲，数量关系为▲．②当点D 在线段B C 的延长线上时，如图9- 丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？B C 上运动．试探究：当△ABC 满足一个（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段什么条件时，CF⊥BC（点C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC ＝4 2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边D E 与线段C F 相．交于点P，求线段C P 长的最大值解：（1）①CF 与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90o．∵∠BAC=90，o∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC ，∴CF=BD∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90，o AB=AC ，∴∠ABC=45，o∴∠ACF=45o，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点 A 作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（3）当具备∠BCA=45o 时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）∵DE与CF交于点P 时，∴此时点D位于线段C Q上，∵∠BCA=45，o可求出AQ= CQ=4．设C D=x ，∴DQ=4―x，容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，．∵0＜x≤ 3 ∴当x=2时，CP有最大值1．4三角形与梯形联手11，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD 例8、已知：如图的延长线相交于点 F ．（1）求证：△BCE 和△FDE 全等（2）连结BD，CF ，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．1、证明：∵AD∥BC∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE∵E是BC的中点∴BE＝CE∴△ABE≌△FCE （AAS）∴AB＝CF2、菱形ABFC证明：∵AD∥BC，AB＝CF∴平行四边形ABFC∵△ADC沿AE折叠至△AEC，∠D＝90∴∠AEC＝∠D＝90∴AF⊥BC∴菱形ABFC例9、如图12，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠A=∠D．∵M 是AD 的中点，∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，AB ＝DC ∠A＝∠D AM ＝DM ∴△ABM ≌△DCM （SAS）．∴MB=MC ．例10、如图13 所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD 相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．解：∵ABCD 是等腰梯形∴AB=DC ∠ABC= ∠DCBBC 是公共边∴△ABC ≌△DCB(SAS)还有△ABD ≌△DCA(SAS)∵AD ‖BC ∠ABC= ∠DCB∴∠BAD= ∠CDAAD 是公共边且AB=DC∴△ABD ≌△DCA(SAS)14，在梯形ABCD 中，AD ∥BC，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF∥AB ，例11、已知：如图BF 的延长线交DC 于点E。

初中数学组卷：三角形及四边形(附答案)

初中数学组卷：三角形及四边形(附答案)

中考数学几何题一．选择题（共19小题）1．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）⑤S△CEFA．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④6．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接DF，分析下=S△ABF其中列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．411．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．514．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，③S=AB2，四边形CEDF④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．②③16．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A．105°B．110°C．100° D．120°17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④18．已知，等腰Rt△ABC中AC=BC，点D在BC上，且∠ADB=105°，ED⊥AB，G 是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE=2FG，连GE、GB．则下列结论：①AG⊥BE；②∠DGE=60°；③BF=2FG；④AD+DC=AB．其中正确的结论有（）A．①②B．①②④C．①③④D．②③④19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE=CF，BF交CE于P，连PD，下列结论：①AC=AE，②CD=BE，③PB=PF，④DP=BF，其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．①③二．填空题（共5小题）20．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：=S△AFG；⑤∠AGB+∠AED=145°．①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥GF；④S△ABG其中正确的个数有个．21．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②BG=EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB=1+，其中正确结论的序号为．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．23．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论，其中正确的有（填正确结论的序号）．=AB2．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD24．如图，在正方形ABCD中，分别以AD，BC为斜边作Rt△ADE和Rt△CBF，=20，S△ADE=3，则EF=．且Rt△ADE≌Rt△CBF，连结EF，若S正方形ABCD三．解答题（共15小题）25．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．26．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．27．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．28．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．29．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．30．如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M 为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．（1）求证：MN=EN；（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系．①写出AN与EM：位置关系；数量关系；②请证明上述结论．31．已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB 延长线上的一点，且DE=EC．（1）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．32．如图，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．33．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．34．操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．35．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．36．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．37．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．38．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）39．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．2017年02月28日账号1的初中数学组卷三角形及四边形参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016•牡丹江）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD 于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=⊂FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，cos∠FCE=，∴CG===1，∴DG=CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．2．（2016•黑龙江模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．（2016•南充模拟）如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAE+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵BE⊥DP，∴∠ABE+∠BPE=90°，又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF；故①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，在△ABM和△FBM中，，∴△ABM≌△FBM（SAS），∴AB=BF，故②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，在△BEF和△DFC中，，∴△BEF≌△DFC（SAS），∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，故④正确；∴CF⊥DEP，∵BE⊥DP，∴CF∥BE；故③正确．故选D．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．4．（2016秋•庐阳区期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O 四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可；D、利用同角的三角函数计算．【解答】解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∴AF=FD=AD=BC=2，∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，∴四边形AGOF是矩形，∴OG=AF=2，=AE•OG=5，∵S△AEO∴AE===5，所以此选项的说法正确；B、∵OE⊥AC，∴∠EOC=90°∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BCE=∠BOE，所以此选项的说法正确；C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE==3，∴AB=3+5=8，∴AC===4，∴AO=AC=2，∴EO===，∴OE≠BE，∵E、B、C、O四点共圆，∵∠EOC=90°，∴EC是直径，∴EC与OB不垂直；此选项的说法不正确；D、sin∠BOE=sin∠BCE==，所以此选项的说法正确，因为本题选择说法错误的，故选C．【点评】本题考查了矩形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的有关知识，较为麻烦，此类题相当于解决四个问题，尤其是第三问利用了圆中的性质进行证明，比较容易理解；本题还利用了同角的三角函数求一个角的正弦，这在解直角三角形中经常运用，要熟练掌握．5．（2016春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【分析】①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；=S△CFM，根据MC＞BE，得到S△BEC＜2S△EFC．④根据EF=FM，得到S△EFC【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②如图1，延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，故②正确；③设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；④∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误，故选：A．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF≌△DMF是解题关键．6．（2016春•镇江期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．20【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S=AE•BC=AF•CD，四边形ABCD∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=（9﹣x）2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．7．（2016春•重庆期中）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH 交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【解答】解：作EJ⊥BD于J，连接EF∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=BF；故③正确．故选B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．8．（2016春•张家港市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等；从而判断出①正确；②由①可得AB=BE=CD=HD，继而证得∠EDH=∠EDC，然后由角平分线的性质，证得②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；∴BE=DH，∴AB=BE=CD=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵∠C=90°，DH⊥AE，∴∠EDH=∠EDC，∴HE=CE；故②正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠OHE=∠AHB=67.5°，∴∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，即H是BF的中点；故③正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．9．（2016秋•邹城市校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE ⊥AC于点，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S=S△ABF其中正确的结论有（）四边形CDEFA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD，即可得到AEFS四边形CDEF=S△ABF，故④正确．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴==，=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF=S△ABF，故④正确；∴S四边形CDEF故选：A．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．10．（2015•常州模拟）已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．4【分析】如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M坐标，要求CD 的最小值只需求出CM的最小值即可．【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，∵A（0，6），B（0，﹣4），∴M（0，1），∵点到直线的距离垂线段最短，∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，直线3x﹣4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=﹣4，即F（﹣4，0），E（0，3），∴OE=3，OF=4，EM=2，EF==5，∵△EOF∽△ECM，∴=，即=，解得：CM=，则CD的最小值为．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．11．（2015•泰安模拟）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM=∠NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故①正确；由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以==，故④正确．因为∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，DQ=UQ，即可得出结论，故③正确；【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN=∠ABC=90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：，∴==，故④正确．故选D．【点评】本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．12．（2015春•和平区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确．【解答】解：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG，∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，∵∠BCD=90°，∴∠ECG=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，∴E、B、C、H四点共圆，∴∠CBH=∠GEC=45°，①正确；∵CE=CG，CH⊥EG，∴点H是EG的中点，②正确；∵∠HBF=45°，BH=8，∴FH=FB=4，又BC=6，∴FC=2，∴CH==2，∴EG=2CH=4，③正确；∵CH=2，∠HEC=45°，∴EC=4，∴BE==2，∴DG=2，④正确，故选：D．【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI⊥AD于I，过C 作CJ⊥AD于J，得出四边形BCJG是矩形，再判定△BAG≌△AEH，△CJD≌△DIF，最后根据四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积，进行计算即可．【解答】解：延长AD，过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI ⊥AD于I，过C作CJ⊥AD于J，则四边形BCJG是矩形∴∠EHA=∠G=90°∵△ABE是等腰直角三角形∴AE=BA，∠EAB=90°∴∠BAG+∠EAH=∠AEH+∠EAH=90°∴∠BAG=∠AEH在△BAG和△AEH中∴△BAG≌△AEH（AAS）∴AG=EH同理可得，△CJD≌△DIF∴DJ=FI∵四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积=×AD×EH+×AD×FI=×AD×（EH+FI）=×AD×（AG+DJ）=×AD×（JG﹣AD）=×AD×（BC﹣AD）=×2×（5﹣2）=3故选（B）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及全等三角形．解题时注意：四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①根据中点的定义以及三角形中位线定理，可得AG=AB=BC=GE；②根据AG＞AE，AM⊥GE，可得ME＜GE，进而得出ME＜BC；③根据菱形的性质，判定△BHF≌△AHC（ASA），即可得到FH=HC；④根据两角对应相等可判定△AEF∽△BEA，得出=，进而得到AE2=EF•EB；⑤根据AD∥BH，得出△ADF∽△HBF，进而得到=，即AF•BH=FH•AD，再根据AD=BC，得到AF•BH=FH•BC即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∴E是AC的中点，又∵G是AB中点，∴GE是△ABC的中位线，AG=AB，∴GE=BC，GE∥BC，∴AG=AB=BC=GE，即△AEG是等腰三角形，故①正确；∵菱形ABCD中，∠BAD=135°，∴∠DAC=67.5°=∠ACB，∠ABC=45°，∵GE∥BC，∴∠AGE=45°，∠AEG=67.5°，又∵AH⊥BC，∴AH⊥GE，∴ME＜GE=BC，故②错误；∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∠BHF=∠AHC=90°，∴AH=BH，∵∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE，∴∠HBF=∠HAC，∴△BHF≌△AHC（ASA），∴FH=HC，故③正确；∵菱形ABCD中，∠ABE=∠CBE，而∠HBF=∠HAC，∴∠ABE=∠FAE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，。

数的三角形与四边形练习题及答案

数的三角形与四边形练习题及答案

数的三角形与四边形练习题及答案题目：数的三角形与四边形练习题及答案一、选择题1. 下列四边形中，不是平行四边形的是（）A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 正方形2. 一个三角形有几个内角？（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列四边形中，对角线数目最多的是（）A. 矩形B. 正方形C. 五边形D. 梯形4. 一个四边形有几个边？（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 如果一个三角形的两个内角相等，它是一个什么三角形？（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形二、填空题1. 平行四边形拥有____条对边。

2. 一个五边形有____个内角。

3. 具有四个等边的四边形是____。

4. 一个凸四边形有____个顶点。

5. 如果一个四边形的两组对边分别相等且平行，它是一个____。

三、解答题1. 请画出一个钝角三角形，并标出其中的钝角。

2. 如果一个正方形的边长是8 cm，求它的周长和面积。

3. 一个梯形的上底长为5 cm，下底长为12 cm，高为8 cm，求它的面积。

4. 一个直角三角形的两个直角边分别为3 cm和4 cm，求它的斜边长。

考试答案：一、选择题1. C2. C3. C4. C5. B二、填空题1. 22. 33. 正方形4. 45. 平行四边形三、解答题1. [请自行绘制图形并标注钝角]2. 周长 = 4 ×边长 = 4 × 8 cm = 32 cm面积 = 边长 ×边长 = 8 cm × 8 cm = 64 cm²3. 面积 = (上底 + 下底) ×高 / 2 = (5 cm + 12 cm) × 8 cm / 2 = 68 cm²4. 斜边长= √(直角边1² + 直角边2²) = √(3 cm² + 4 cm²) = √(9 cm² + 16 cm²) = √25 cm = 5 cm希望以上练习题能够帮助你巩固数的三角形与四边形的知识。

河北省中考数学复习四边形专项训练(五)三角形与四边形试题(含解析)

河北省中考数学复习四边形专项训练(五)三角形与四边形试题(含解析)

专项训练 ( 五)三角形与四边形一、选择题1.如图，∠ AOB的度数可由量角器测得，作∠AOB的均分线 OC，则∠ AOC的度数为(C)第1题图A.70 °B.20°C.25°D.65°1【分析】∵∠ AOB＝50°， OC均分∠ AOB，∴∠ AOC＝2∠ AOB＝25°.2. 如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为 36 km/h ；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27 km/h. 两船均于 7： 15 出发，两岸平行，水面宽为 18.9 km ，则两船距离近来时的时辰为 (C)第2题图A.7 ：35B.7：34C.7：33D.7：32【分析】设 x h后两船距离近来．依据题意，得36x＝ 18.9 － 27x. 解得x＝ 0.3.0.3 h＝18 min. 因此两船距离近来时的时辰为7： 33.3.假如一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，那么它是 (A)A. 锐角三角形B.钝角三角形C. 直角三角形D.钝角三角形或直角三角形【分析】设三角形的三个内角的度数分别为2k，3k，4k，则 2k＋ 3k＋ 4k＝ 180° . 解得k ＝ 20°. 因此这个三角形最大的内角为4×20°＝ 80° . 因此此三角形是锐角三角形．4.在以下三角形中，若AB＝ AC，则不可以被一条直线分红两个小等腰三角形的是(B)A B C D【分析】 A. 作∠的均分线即可． C. 过点A作的垂线即可． D. 以点A为极点AB ABC BC为一边在三角形内部作一个72°的角即可．只有选项B 不可以被一条直线分红两个小等腰三角形．5. 如图，一根木棍斜靠在与地面( OM)垂直的墙 ( ON)上．设木棍的中点为P，若木棍 A 端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点 O的距离(A)第5题图1A. 不变B.变小C.变大D.没法判断1【分析】如答图，连结OP.在Rt△ AOB中， OP是斜边 AB上的中线，∴ OP＝2AB.因为木棍的长度不变，因此不论木棍怎样滑动，OP都是一个定值．第 5题答图6.如图，在△ ABC中，∠ C＝90°， AC＝BC， AD均分∠ CAB交 BC于点 D， DE⊥ AB于点 E.若 AB＝6 cm，则△ DEB的周长为(A)第6题图A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm【解析】∵ DE⊥ AB，∴∠ AED＝90°.∴∠ C＝∠ AED.∵ AD平分∠CAB，∴∠ CAD＝∠EAD.∵AD＝ AD，∴△ ACD≌△ AED(AAS)．∴ AC＝ AE， CD＝ DE.∴ BD＋ DE＝ BD＋ CD＝ BC＝ AC＝AE.∴△ DEB的周长为 BD＋DE＋ BE＝ AE＋ BE＝AB＝6 cm.7.如图，在△ ABC中， AB＝ AC＝6， D是 BC上的点， DF∥ AB交 AC于点 F， DE∥ AC交 AB 于点 E，那么四边形AFDE的周长为(B)第7题图A.6B.12C.24D.48【分析】∵ DE∥ AC，DF∥AB，∴四边形 AFDE是平行四边形，∠ B＝∠ FDC，∠ EDB＝∠ C.∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C.∴∠ B＝∠ EDB，∠ C＝∠ FDC.∴ BE＝ ED， DF＝ FC.∴?AFDE的周长为 AB＋ AC ＝12.8.如图，在 ?ABCD中，∠BAD的均分线交BC于点E，∠ABC的均分线交AD于点F. 若BF ＝12，AB＝ 10，则AE的长为 (D)第8题图A. 13B. 14C. 15D. 16【分析】如答图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ BC.∴∠ DAE＝∠ AEB.∵∠ BAD的均分线交BC于点 E，∴∠ DAE＝∠ BAE.∴∠ BAE＝∠ BEA.∴ AB＝BE.同理 AB＝ AF.∴ AF＝ BE.∴四边形 ABEF是平行四边形．∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．∴ AE⊥ BF， OA＝OE， OB＝OF2＝ 1＝6.∴＝2－2＝ 102 －62＝8. ∴＝ 2 ＝16.2BFOA AB OBAE OA第 8题答图9. ( 导学号 5892921) 有 3 个正方形如下图搁置，暗影部分的面积挨次记为S 1， S 2，则S 1∶ S 2 等于 (D)第9题图A.1∶ 2B. 1 ∶2C. 2∶ 3 D. 4 ∶ 91 1 EF31AC 2【分析】 如答图．由题意，得 EF ＝ AC ，CG ＝ AC . ∴＝＝ . 易证△ DEF ∽△ HCG .∴ S 1∶3 2 GC 132ACS 2＝4∶9.第 9题答图二、 填空题10. 如图，在矩形 ABCD 中， BC ＝ 20 cm ，点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 出发，按逆时针方向沿矩形 ABCD 的边运动．点 P 和点 Q 的速度分别为 3 cm/s 和 2 cm/s ，则最快 4 s 后，四边形ABPQ 成为矩形．第10题图【分析】设最快x s 后，四边形成为矩形．由＝，得 3 x＝ 20－2 . 解得x ＝ 4.ABPQBPAQx11. ( 导学号 5892921) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在 第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，∠ ＝ 60° . 若将菱形 绕点O 顺时针旋转 75°，获得AOC OABC菱形 OA ′ B ′ C ′，则点 B 的对应点 B ′的坐标为 ( 6，－ 6) ．第11题图3【分析】如答图，作′ ⊥轴于点，连结，′. ∵四边形为菱形，∴平B H x H OB OB OABC OB分∠ AOC.∵∠ AOC＝60°，∴∠ AOB＝∠ BOC＝30°.∵菱形 OA′ B′ C′由菱形 OABC绕原点 O顺时针旋转 75°获得，∴∠BOB′＝ 75°，OB′＝OB. ∴∠COB′＝∠BOB′－∠BOC＝45° .∴△ OB′ H为等腰直角三角形．易得OB′＝ OB＝23，∴OH＝B′H＝2OB′＝ 6.∴点 B′的2坐标为 ( 6，－6) ．第 11 题答图12. (导学号5892921)如图，把矩形卡片ABCD放在每格宽度都为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．若α ＝37° ，则矩形卡片ABCD的周长约为20034mm. 注： sin 37°＝5，cos 37°＝5第12题图【分析】如答图，过点 B 作 BE⊥ l 于点 E，过点 D作∠ADF＋∠ DAF＝90°，∴∠ ADF＝α＝37°.依据题意，得DF⊥l 于点 F.∵ α＋∠ DAF＝90°，BE＝24 mm， DF＝48 mm.在Rt △ABE中，sinα ＝BE BE≈24DF ，∴ AB＝sin 37°＝ 40(mm)．在 Rt △ADF中， cos ∠ADF＝，∴AB3AD5DF48AD＝cos 37°≈4＝ 60(mm)．∴矩形卡片ABCD的周长约为2×(40 ＋ 60) ＝200(mm)．5第 12 题答图三、解答题13.(2018 ，唐山古冶区三模 ) 如图，在△ABC中，直线EF垂直均分AC，与边AB交于点E，连结 CE，过点 C作 CF∥ BA交 EF于点 F，连结 AF.(1) 求证：△AED≌△CFD；4(2)求证：四边形 AECF是菱形；(3)若 ED＝6， AE＝10，则菱形 AECF的面积是多少？第 13题图【思路剖析】 (1)由EF为线段AC的垂直均分线获得AD＝ CD，而后依据 CF∥ AB获得∠ EAC＝∠ FCA，∠ CFD＝∠ AED，利用AAS证得两个三角形全等．(2) 依据全等获得AE＝CF，而后根据 EF为线段 AC的垂直均分线，获得EC＝ EA， FC＝ FA，从而获得EC＝ EA＝ FC＝ FA，利用四边相等的四边形是菱形判断四边形AECF为菱形．(3)由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出 AC的长，从而求得菱形的面积．(1)证明：∵ EF为线段 AC的垂直均分线，∴ AD＝ CD.∵CF∥ AB，∴∠ EAC＝∠ FCA，∠ CFD＝∠ AED.∴△ AED≌△ CFD(AAS)．(2)证明：∵△ AED≌△ CFD，∴AE＝ CF.∵EF为线段 AC的垂直均分线，∴EC＝ EA，FC＝ FA.∴EC＝ EA＝ FC＝ FA.∴四边形 AECF为菱形．(3)解：∵四边形 AECF是菱形，∴ AC⊥ EF.∵ED＝6， AE＝10，∴AD＝102－62＝ 8. ∴AC＝ 2AD＝ 16.11∴菱形 AECF的面积为2×2· AC· DE＝2×2×16×6＝96.14.如图，在矩形ABCD中，∠ DAB的均分线交BC于点 E，交 DC的延伸线于点F，连结BD.(1)求∠ AEC的度数；(2)求证： BE＝ DC；(3) P是线段EF上一动点 ( 不与点E，F重合 ) ，在点P运动过程中，可否使△BDP成为等腰直角三角形？若能，写出点 P 知足的条件并证明；若不可以，请说明原因．第14题图【思路剖析】 (1) 由矩形的性质与三角形外角的性质即可得出结果．(2)由矩形的性质得出 AB＝ DC， AD∥ BC，再由平行线的性质得出∠AEB＝∠ EAD＝45°，即可得出结论．(3) 连结，证出△为等腰直角三角形，再由P 是线段EF的中点得出＝，∠＝45°，∠EPCCP CEF EP CP ECP＝90°，由 SAS证得△BEP≌△DCP，即可得出结论．(1)解：∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ DAB＝∠ ABC＝90°.5∵∠ DAB的均分线交BC于点 E，∴∠ BAE＝∠ EAD＝45°.∴∠ AEC＝∠ ABC＋∠ BAE＝90°＋45°＝135°.(2)证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AB＝ DC，AD∥ BC.∴∠ AEB＝∠ EAD＝45°.∴∠ BAE＝∠ AEB＝45°.∴AB＝ BE.∴BE＝ DC.(3)解：在点 P 运动过程中，能使△ BDP成为等腰直角三角形，此时 P 是线段 EF的中点．证明：如答图，连结 CP.∵四边形 ABCD是矩形， DC的延伸线交∠ DAB的均分线于点F，∴∠ ECF＝90°， AB∥DF.∴∠ F＝∠ BAE＝45°.∵∠ FEC＝∠ AEB＝45°，∴∠ F＝∠ FEC.∴CE＝ CF.∵P 是线段 EF的中点，∴EP＝ CP，∠ ECP＝45°，∠ EPC＝90°.∴∠ DCP＝∠ DCB＋∠ ECP＝90°＋45°＝135°.∵∠ BEP＝∠ AEC＝135°，∴∠ BEP＝∠ DCP.BE＝ DC，在△ BEP和△ DCP中，∠ BEP＝∠ DCP，EP＝ CP，∴△ BEP≌△ DCP(SAS)．∴BP＝ DP，∠ BPE＝∠ DPC.∴∠ BPD＝∠ BPE＋∠ DPE＝∠ DPC＋∠ DPE＝∠ EPC＝90°.∴△ BDP为等腰直角三角形．第 14 题答图6。

初三三角形含四边形中考真题200题

初三三角形含四边形中考真题200题

三角形和四边形经典真题200 题一、选择题1. 如图，已知中，，，则以下结论中错误的选项是A. B.C. D.2. 工人师傅常用角尺均分一个随意角．做法以下：如图，是一个随意角，在边，上分别取，挪动角尺，使角尺两边同样的刻度分别与点，重合，过角尺极点作射线．由此作法即可得，其依照是()A. B. C. D.3.两条对角线相等的平行四边形必定是A. 矩形B. 菱形C. 矩形或正方形D. 正方形4.已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，点，，动点在轴上，若以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数为A. B. C. D.6.直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的倍，这个三角形有一个锐角是A. B. C. D.7.点，，是平面内不在同一条直线上的三点，点是平面内随意一点，若，，，四点恰能组成一个平行四边形，则在平面内切合这样条件的点有A.个B.个C. 个D.个8.把长的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三边长均为整数，那么()A. 只有一种截法B. 有两种截法C. 有三种截法D. 有四种截法A. B. C. D.10. 如图，直线过正方形的极点，点，到直线的距离分别为和，则此正方形的面积为A. B. C. D.11. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，若点的坐标为，则点的坐标为A. B. C. D.12. 如图，在中，，分别是和的均分线，过点作交于，交于，若，，则周长为()A. B. C. D.13. 已知菱形的周长为，它的一条对角线长为，则菱形的面积是A. B. C. D.14. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃爽口的食品，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短行程是．A. B. C. D.15. 如图，每个小正方形边长均为，则以下图中的三角形（暗影部分）与左图中相像的是( )．A. B.C. D.16. 如图，在中，，，，垂足为，延长至，取．若的周长为，，则的周长为A. B. C. D.17.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是A. 点B. 点C. 点D. 点18. 已知平行四边形的周长为，，则的长为A. B. C. D.19. 某地需要开拓一条地道，地道的长度没法直接丈量．以下图，在地面上取一点，使到，两点均可直接抵达，丈量找到和的中点，，测得的长为，则地道的长度为A. B. C. D.20. 平行四边形中，若，则的度数为A. B. C. D.21. 如图，为等腰三角形，假如把它沿底边翻折后，获得，那么四边形为 ()A. 一般平行四边形B. 正方形C. 矩形D. 菱形22. 如图，矩形的对角线，交于点，，，则的长为A. B. C. D.23. 如图，在中，，分别交，于点，，若，则与的面积之比是A. B. C. D.24. 如图，，为的中点，有结论①，②，③均分，④是等边三角形，此中正确的有()个．A. B. C. D.25.已知，那么A. B. C. D.26.以下图，中，于，若，，，则的长为A. B. C. D.27. 如图，点、在直角坐标系内．以原点为位似中心，相像比为，在第一象限内把线段减小后获得线段，那么点的坐标为A. B. C. D.28. 如图，把矩形纸片折叠，使点恰巧落在边的中点处，折痕为．若，则等于A. B. C. D.29. 在等腰三角形中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为A. B.或 C. D. 或30. 如图，在平行四边形中，的均分线交于点，的均分线交于点，若，，则的长为A. B. C. D.31. 以下图，已知，则和的大小关系是A. B.C. D. 不可以确立32. 如图，一副三角板按以下图搁置，则的度数为33.菱形拥有而矩形不必定拥有的性质是A. 对边平行B. 对角相等C. 对角线相互均分D. 对角线相互垂直34. 在四边形中，假如，那么的度数为A. B. C. D.35. 如图，在和中，若，，，则以下结论中不正确的选项是A. B. 为中点C. D.36. 如图，的和为A. B. C. D.37. 如图，均分，，若，则等于A. B. C. D.38. 如图，矩形的对角线，订交于点，，，若，则四边形的周长为A. B. C. D.39. 已知，且相像比为，则与的面积比为A. B. C. D.40.以下各组线段的长度成比率的是A.，；，B.，；，C.，；，D.，；，41. 如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是A. B. C. D.42.在四边形中，是对角线的交点，能判断这个四边形是正方形的条件是A.，，B.，C.，D.，，43.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点．以原点为位似中心，将放大为本来的倍，获得，且点在第二象限，则点的坐标为A. B. C. D.44. 如图，中，，，，则的周长为A. B. C. D.45. 在中，，则为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 含的随意三角形D. 是顶角为钝角的等腰三角形46.以下各组数中能作为直角三角形的三边长的是A.，，B. ，，C. ，，D.，，47.在中，，，，则A. B. C. D.48.如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是A. B. C. D.49. 如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短行程（取）是A. B. C. D. 没法确立50. 如图，在中，，，，，则以下结论正确的选项是A. B. C. D.51. 如图，已知，，，，，若，则的度数为A. B. C. D.52. 如图，在中，，，是的角均分线，若在边上截取，连结，则图中等腰三角形共有()A.个B.个C.个D.个53. 如图，在楼极点处察看旗杆测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为．已知楼高，则旗杆的高度为A. B. C. D.54. 如图，在的正方形方格网中，小正方形的极点称为格点，的极点都在格点上，则图中的余弦值是A. B. C. D.55. 如图，，，分别是等腰三角形边，，上的点，假如，，，，，，那么的长为A. B. C. D.56.平面直角坐标系中，已知，．若在座标轴上取点，使为等腰三角形，则知足条件的点的个数是A. B. C. D.57.若三边分别是，，，且知足，则是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形58.如图，在正方形外作等腰直角，，连结，则A. B. C. D.59. 在正方形的边，，，上分别随意取点，，，．这样获得的四边形中，是正方形的有A.个B.个C.个D. 无量多个60. 如图，中，，，，若，则的度数是A. B. C. D.二、填空题61. 如图，，，，那么的长为．62. 以下各组图形中，是位似图形的有．（只填序号）63.两地的实质距离是，在绘制的地图上量得这两地的距离是，那么这幅地图的比率尺为．64.如图，矩形中，点是边的中点，交对角线于点，则与的面积比等于．65. 已知，，是的三边长，知足，且是等腰三角形，则．66.给出以下四组四边形：①有一个对应角相等的两个菱形；②对应边长比为的两个矩形；③边长比为的两个正方形；④对应边长比为的两个平行四边形．此中每组中的两个四边形不相像的是（填序号）．67.已知，在中，，，则．68.以下图，请将，，按从大到小的次序摆列．69. 如图，已知直线，将等边三角形如图搁置，若，则等于．70. 如图，如果，周长是，，，则．71. 有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢．问小鸟起码飞翔米．72. 如图，中，，，，，则的度数为．73. 如图，，要使，应增添的条件是（增添一个条件即可）．74.以下图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积分别是，，，则正方形的面积是．75. 在中，，若，，．76.两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的房屋里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面光景的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用以下装置来考证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为．77. 如图，在中，为边上一点，交于点，假如，，那么的长为．78. 已知，则．79.用平行四边形的定义和课本上的三个定理能够判断一个四边形是平行四边形．请研究并写出一个与它们不一样的平行四边形的判断方法：．80. 如图，，，，在同一条直线上，且，若，则．81. 如图，、是两个乡村分别位于一个湖的南、北两头和的正东方向上，且位于的北偏东方向上，，则．82.四边形中，已知，再增添一个条件，使得四边形为正方形，可增添的条件是（答案不独一，只增添一个即可）．83.如图，将一副三角板按图中方式叠放，，那么．84.假如两个相像三角形的周长分别是、，小三角形的面积是，那么大三角形的面积是．85.如图，正方形内接于，点，，分别在边，和上，当，时，正方形的面积是．86.在中，，有一个锐角为，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为．87.边长为的正方形ABCD 中，为边的中点，连结线段交于点，点为线段延长线上一点，且为直角，则的长为．88. 如图，中，若交于，且，，则．89.平行四边形中，的均分线将边分红长度为和的两部分，则平行四边形的周长为．90.如图，在菱形中，，的垂直均分线交对角线于点，为垂足，连结，则的度数度．91.已知，要使四边形为平行四边形，需要增添的条件是（只要填一个）．92.以下图，在中，的对边是，在中，的对边是．93. 以下图多边形中，是凸多边形的有．94.在数学课上，老师提出以下问题：已知：如图，线段，，求作：平行四边形．小明的作法以下：如图：（）以点为圆心，长为半径画弧；（）以点为圆心，长为半径画弧；（）两弧在上方交于点，连结，，四边形为所求作平行四边形．老师说：“小明的作法正确．”请回答：四边形是平行四边形的依照是．95. 以下图，菱形中，对角线，订交于点，若再增补一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是．96. 如图，数轴上点表示的实数是．97.年月，在北京召开国际数学家大会，大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》．此中的“弦图”是由四个同样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．假如直角三角形的直角边分别为，，斜边为，那么小正方形的面积能够表示为．98. 如图，把一个等边三角形纸片，剪掉一个角后，所获得一个四边形，则图形中的度数是．99. 以下图，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下边三个步骤进行：（）先截出两对切合规格的铝合金窗料（如图①所示），使，．（）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依照是．（）将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框100. 在研究了平行四边形的有关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形中，，请增添一个条件，使得四边形”“”是平行四边形．经过思虑，小明说增添，小红说“增添”，你赞同的看法，原因是．101. 已知，，为的三边，且满足，则为三角形．102. 如图，与是位似图形，且极点都在格点上，则位似中心的坐标是．103. 如图，正方形的边长为，则图中暗影部分的面积为．104. 已知在四边形中，均分，，，当时，．105.已知，若与的面积比为，则与对应角的角平分线之比为．106.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为点，若，则．107. 如图，在中，，于点，若，，则的周长是．108. 如图，线段，，是的三条中线，则，，．109. 如图，在正方形网格上有个三角形（三角形的极点均在格点上）：①，②，③，④，⑤，⑥．在②⑥ 中，与① 相似的三角形的个数是个．110. 如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连结，则的长为．111. 如图，菱形中，，点，是，边上的动点，且，则长的最小值为．1112. 如图，已知四边形是边长为的菱形，，对角线与交于点，过点的直线交于点，交于点，当时，的长是．113. 如图，已知在中，，，均分，若，，则．114. 如图，是一块锐角三角形资料，边，高，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在上，其他两个极点分别在，上，这个正方形部件的边长是．115. 如图，在平行四边形中，已知，，均分，交边于点，则．116. 如图，在矩形中，对角线，订交于点，点，分别是，的中点，若，，则．117. 如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角极点放在点处，一直保持该直角三角板的两直角边分别与，订交，交点分别为，，则．118. 如图，同一平面内的四条平行直线，，，分别过正方形的四个极点，，，，且每相邻的两条平行直线间的距离都为，则该正方形的面积是．119.四边形的对角线，相交于点，且平分，若，，，则四边形的面积为．（结果保存根号）120.在矩形纸片中，，，点在边上，若将沿折叠，使点恰好落在矩形对角线上的点处，则的长为．三、解答题121.假如一个边形共有条对角线，求这个多边形的边数．122. 如图，已知与全等，，，指出全等三角形中的对应边和对应角．123. 如图，在平面直角坐标系中，的极点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴的右边将放大为本来的两倍获得．（ 1）画出；（ 2）分别写出，两点的对应点，的坐标．124. 如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，求证：．125. 在数轴上作出表示的点（保存作图印迹，不写作法）．126. 如图，中，，，的垂直均分线交于，为垂足，连结．（ 1）求的度数；（ 2）若，求长．127.阅读下边的资料勾股定理神奇而美好，它的证法多种多样，下边是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为，，斜边为，而后按图 1 的方法将它们摆成正方形．由图 1 能够获得，整理，得．所以．假如把图 1 中的四个全等的直角三角形摆成图 2 所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，达成下边的填空：由图 2 能够获得，整理，得，所以．128.现将三张形状、大小完整同样的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为，而且平行四边形纸片的每个极点与小正方形的极点重合（如图1、图 2、图3）．分别在图 1、图 2、图 3 中，经过平行四边形纸片的随意一个极点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分从头拼成切合以下要求的几何图形．要求：（1）在左侧的平行四边形纸片中画一条裁剪线，而后在右边相对应的方格纸中，按实质大小画出所拼成的切合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留缝隙；（3）所画出的几何图形的各极点一定与小正方形的极点重合．129. 如图，点为线段上一点，，且于点，若，，，求的长．130. 如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．131. 已知：如图，是上一点，，求证：．132. 如图，过平行四边形的顶点作直线与直线，分别交于点，，且，试猜想与的和与平行四边形的周长有何关系，并说明原因．133. 如图，在中，，是边上两点，，．求证：．134. 如图，四边形是菱形，对角线与订交于，，，求证：的长．135.试说明正八边形不可以铺满平面的原因．136. 如图，在中，，，求和的度数．137. 图 1 、图 2 分别是的正方形网络，小方格的极点叫格点，点，在格点上．（ 1）在图 1中，以为腰，作等腰（点在格点上），使其底为整数；（ 2）在图 2 中，以为底，作等腰（点在格点上），使其腰为整数．138. 如图，在中，，，是边上的高，求和的度数．139. 如图，已知，请你从以下三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只要写出一种状况）①，②，③．140. 直角中，，点，分别是边，上的点，点是一动点．令，，．（ 1）如图，若点在线段上，且，则；（ 2）如图，若点在边上运动，则，，之间有何关系?猜想并说明原因；（ 3）如图，若点运动到边的延长线上，则，，之间的关系为：；（ 4）如图，若点运动到外，则，，之间的关系为：．141. 如图，四边形中，均分；，为的中点，连结、．（ 1）求证：；（ 2）若，，求的值．142. 在中，均分，，垂足为，过作，交于，若，求线段的长．143.问题背景：在中，，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先成立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个极点都在小正方形的极点处），如图 1 所示．这样不需要求出的高，借用网格就能计算出它的面积．（ 1）请你直接写出的面积；（ 2）思想拓展：假如三边的长分别为，，，请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的格点，并直接写出的面积．144. 如图，在中，，是的均分线，，求的值．145. 已知：如图，在中，，．请用直尺和圆规找到一条直线，把恰巧切割成两个等腰三角形（不写做法，但需保存作图印迹）．146. 以下图，求的度数．147. 已知（为锐角），求一个一元二次方程，使其两根分别为和．148. 如图，四边形是平行四边形，均分，交的延长线于点，，，．求的长．149. 如图，正方形中，是上一点，，，交于点，，求正方150. 如图，已知点在同向来线上，，，．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（ 1）中任选一组进行证明．151. 已知：如图，有一块四边形土地，，，，，，求这块土地的面积．152. 如图，等边三角形的边长是，，分别为，的中点，点在延长线上，且，求四边形的面积．153. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角，坡长，为增强水坝强度，将坝底从处向后水平延长到处，使新的背水坡的坡角，求的长度（结果精准到米，参照数据：，）．154. 如图，已知和均为等边三角形，连结、，作于点，于点，求证：为等边三角形．155. 如图，在中，，分别是，的中点，过点作，交于点．试问当知足什么条件时，四边形是菱形 ?为何 ?156. 已知：如图，在四边形中，，，，，．求四边形的周长．157. 探访“勾股数”：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”，勾股数有多少?勾股数有规律吗?（1）请你写出两组勾股数．（ 2）试结构勾股数．结构勾股数就是要找寻个正整数，使他们知足“两个数的平方和（或差）”或②等于第三个数的平方，即满足以下形式：①，要知足以上①，②的形式，不如从乘法公式下手．我们已经知道③．假如等式③右边也能写成的形式，就能切合②的形式．所以不如设，（，为随意正整数，），请你写出含，的一组勾股数并证明它们是勾股数．158. 如图 1，在四边形中，，，分别是，的中点，连结并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不需证明）．（温馨提示：在图 1 中，连结，取的中点，连结，，依据三角形中位线定理，证明，进而，再利用平行线性质，可证得．）（ 1）问题一：如图2，在四边形中，与订交于点，，，分别是，的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论．（ 2）问题二：如图 3 ，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．159. 如图，在中，，点为的边上一点，且，过作于，作于，连结，假如，，求线段和的长度．160. 在正方形和正方形中，极点，，在同向来线上，是的中点．（ 1）如图，若，，求的长；（ 2）如图，连结，．小宇察看图，提出猜想：，．小宇把这个猜想与同学们进行沟通，经过议论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：延长交于点，连结，，要证明结论成立只要证是等腰直角三角形；想法：连结，分别交于点，，要证明结论成立只要证．请你参照上边的想法，帮助小宇证明，．（一种方法即可）161. 如图，在中，是边上一点，连结．图中有几个三角形?它们分别是．162.指出以下图的图形中哪些是相像图形．163. 以下图，在中，，，，求的正弦、余弦和正切．164. 如图，四边形是平行四边形，在它的对角线上有七个点，，，，，，，恰巧将分红八等份，且点是与的交点，你能否能够从这七个点中选用两点，使以这两点和点，为极点的四边形是平行四边形 ?假如能够，请你写出一个这样的平行四边形，并说明原因．165. 若的三边知足，求的面积．166. 如图，是等边三角形，是外角均分线，点在上，连结并延长与交于点．求证：．167. 如图，在中，，分别是，的中点，，，求证：．168. 如图，在中，，点是延长线上一点，于，交于，求证：是等腰三角形．169. 如图，，求边，的长度和角的大小．170. 如图，在中，，，分别是，的中点，连结并延长至点，使，连结，，，求证：四边形是菱形．171. 如图，已知均分，且，求证：．证明：（已知）．（），（），均分（已知），（角均分线的定义），．．172. 有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长为和．（1）请写出此中一个三角形第三边的长；（2）设组中最多有个三角形，求的值．173. 如图，与相像，，是的高，，是的高．求证：．174. 如图，，，．（ 1）求的度数；（ 2）求的长．175. 如图，的三条高，，订交于点．（ 1）的三条高是，，，这三条高所在直线交于点；（ 2）的三条高是，，，这三条高所在直线交于点；（ 3）的三条高是，，，这三条高所在直线交于点．176. 以下图，已知在平行四边形中，．求证：．177. 如图，点，，，在同向来线上，，，．求证：．178. 如图，已知四边形中，对角线，订交于点，．求证．179. 如图，已知．求证．180. 如图，，请增添一个条件（不得增添协助线），使得，并说明原因．181. 已知如图，是等边三角形，，交，于，，试说明是等边三角形．182.已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．183.如图，，，分别是，的均分线，且交于点，交于点，连结．求证：四边形是菱形．184. 已知：四边形是平行四边形，点是上的一点，且．求证：是等腰三角形．185. 如图，在中，，分别交，于点，，若，，，求的长．186. 已知如图，中，交于点，，，，，求的长．187. 如图，在中，，点，是边上的两个点，且，过点作交延长线于点，连结并延长与交于点；（ 1）求证：；（ 2）连结，假如，求证：．188. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．189. 感知：如图，点在正方形的边上，于点，于点．可知．（不要求证明）（ 1）拓展：如图，点，在的边，上，点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，．求证：．（ 2）应用：如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．190. 如图，在中，，点是边上一点，于点．若，，，求的长．191. 如图，在中，，点是的中点，过点作于点，延长到点，使得，连结，．（ 1）依据题意，补全图形；（ 2）求证：四边形是菱形；（ 3）若，，求菱形的面积．192. 如图，，，，分别为正方形四边的中点．（ 1）四边形的形状为．（ 2）证明（）中的结论．193. 已知：如图，在等边的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证：．194. 一个用钢筋焊接的三角形的三边长分别是，，，现要做一个与其相像的钢筋三角形．由于只有长为和的两根钢筋，所以要求以此中一根为一边，从另一根上截下两段（赞同有余料）作为此外两面边，问：有几种截法?请指出用余料最少的截法截出的三边长分别为多少．195. 如图，在中，，，点在边上，且，，垂足为点，连结．求：（ 1）线段的长；（ 2）的值．196. 图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为和，此中，，，，，．将的斜边与的斜边重合在一同，并将沿方向挪动．在挪动过程中，，两点一直在边上（挪动开始时点与点重合）．（ 1）请回答李晨的问题：若，则；（ 2）如图 2，李晨同学又连结了，编制了以下问题，请你回答：（ i ）的最大度数为；（ ii ）当时，；（ iii ）当以线段，，的长度为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边时，；（ iv ）的面积的取值范围是．197. 如图，在四边形中，，分别是对角线，的中点，又，的延长线交于，求证：．198. 在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一察看站．某时辰测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距[LatexErr]的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处．（ 1）求该轮船航行的速度（保存精准结果）；（ 2）假如该轮船不改变航向持续航行，那么轮船可否正好行至码头靠岸?请说明原因．199. （ 1）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴正半轴和轴正半轴上的两个定点，点为轴上的一个动点（与点，不重合），分别作和的角均分线，两角均分线所在直线交于点，直接回答的度数及点所在的相应地点．（ 2）如图，在平面直角坐标系中，的一个极点在轴的负半轴上，射线均分，过点的直线交轴于点，知足，过点作交轴于点，请研究与的数目关系，并写出简要证明思路．200. 如图 1，在中，，线段，是的两条角均分线，与订交于点．（ 1）求证：；（ 2）如图 2，过点作，分别与线段，订交于点，，试判断与的数量关系，并说明原因；（ 3 ）如图 3 ，连结，点是线段的中点，连结，并延长与订交于点，若，且的面积为，求线段的长．。

中考数学考点集训分类训练阶段测评4 三角形、四边形和圆(含答案)

中考数学考点集训分类训练阶段测评4 三角形、四边形和圆(含答案)

阶段测评四三角形、四边形和圆一、选择题(本题有9小题,每小题3分,共27分)1(2022无锡)下列命题中,是真命题的是( )①对角线相等且互相平分的四边形是矩形　②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形　④四边相等的四边形是菱形A.①②B.①④C.②③D.③④2(2022荆州)如图,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°3(2022河南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( ) A.6B.12 C.24 D.48(第3题) (第4题)4(2022宜宾)如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF ∥AC交AB于点F,那么四边形AEDF的周长是( ) A.5B.10 C.15 D.205(2022包头)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为( ) A.1∶4 B.4∶1C.1∶2D.2∶1(第5题) (第6题)6(2022丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为23m,则改建后门洞的圆弧长是( )A.5π3m B.8π3mC.10π3m D.(5π3+2)m7(2022宜宾)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED 的位置,DE交AB于点F,则cos∠ADF的值为( )A.817B.715C.1517D.815(第7题) (第8题)8(2022泰州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为( ) A.2 B.2C.22 D.49(2022恩施州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10 cm,BC=8 cm,点P 从点D出发,以1 cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是( )A.当t=4 s时,四边形ABMP为矩形B.当t=5 s 时,四边形CDPM 为平行四边形C.当CD=PM 时,t=4 sD.当CD=PM 时,t=4 s 或6 s二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)10(2022苏州)如图,AB 是☉O 的直径,弦CD 交AB 于点E ,连接AC ,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.(第10题)(第11题)11(2022常德)如图,已知F 是△ABC 内的一点,FD ∥BC ,FE ∥AB ,若▱BDFE 的面积为2,BD=13BA ,BE=14BC ,则△ABC 的面积是 .12(2022成都)如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点B ,C 为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧相交于点M ,N ;②作直线MN 交边AB 于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB 的长为 .13(2022泰安)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP 的长度为 m(结果精确到0.1 m).14(2022河南)如图,将扇形AOB 沿OB 方向平移,使点O 移到OB 的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .(第14题) (第15题)15(2022绍兴)如图,AB=10,点C是射线BQ上的动点,连接AC,作CD⊥AC,CD=AC,动点E在AB延长线上,tan∠QBE=3,连接CE,DE,当CE=DE,CE⊥DE 时,BE的长是 .三、解答题(本题有9小题,共86分)16(8分)(2022福建)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC, AB=DE,∠B=∠E.求证:∠A=∠D.17(8分)(2022鄂州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.(1)求证:DF=CF;(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.18(8分)(2022十堰)如图,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.(1)求证:BE=DF;=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.(2)设ACBD19(8分)(2022达州)某老年活动中心欲在一房前3 m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC,使正午时刻房前能有2 m宽的阴影处(AD)以供纳凉.假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为63.4°,遮阳篷BC与水平面的夹角为10°,如图为侧面示意图,请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1 m).(参考数据:sin10°≈0.17,cos 10°≈0.98,tan 10°≈0.18;sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00)20(8分)(2022陕西)如图,AB是☉O的直径,AM是☉O的切线,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长,交AM于点P.(1)求证:∠CAB=∠APB;(2)若☉O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长.21(10分)(2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB 楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A,B,C,D,P在同一平面内).(1)填空:∠APD= 度,∠ADC= 度;(2)求楼CD的高度(结果保留根号);(3)求此时无人机距离地面BC的高度.22(12分)(2022安徽)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.(1)如图(1),若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形.(2)如图(2),连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.(i)求∠CED的大小;(ii)若AF=AE,求证:BE=CF. 图(1) 图(2)23(12分)(2022荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设OA=x.(1)求证:DE是半圆O的切线;(2)当点E落在BD上时,求x的值;(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式;(4)直接写出:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.24(12分)(2022陕西)问题提出(1)如图(1),AD是等边三角形ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为 .问题探究(2)如图(2),在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P 作直线l⊥BC,分别交AB,BC于点O,E,求四边形OECA的面积.问题解决(3)如图(3),现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP,BP,得△ABP.请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.　图(1) 图(2) 图(3)阶段测评四　三角形、四边形和圆1.B2.B　【解析】　如图,过点C作CD∥l1,∵l1∥l2,∴l1∥l2∥CD,∴∠1=∠BCD,∠2=∠ACD,∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ACB= 12(180°-∠BAC)=70°,∴∠1+∠2=70°.3.C　【解析】　∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,OB=OD.又∵EC=ED,∴BC=2OE=6,∴C菱形ABCD=4×6=24,故选C.4.B　【解析】　∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∠B=∠EDC,∠FDB=∠C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠FDB,∠C=∠EDC,∴BF=FD,DE=EC,∴AF+FD=AF+BF=AB,AE+DE=AE+EC=AC,∴▱AEDF的周长=AB+AC=5+5=10.5.D　【解析】　如图,∵AMDN =BMCN=2,∠AMB=∠DNC=90°,∴△ABM∽△DCN,∴∠ABC=∠DCN,ABCD =AMDN=2,∴AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴△ABE与△CDE的周长比为2∶1.6.C 【解析】　如图,连接AD ,BC ,交于点O ,则点O 为矩形外接圆的圆心.∵CD=2,BD=23,∴BC=CD 2+BD 2=4,∴OC=OD=2=CD ,∴△COD 是等边三角形,∴∠COD=60°,∴改建后门洞的圆弧所对的圆心角为360°-60°=300°,∴改建后门洞的圆弧长是300π×2180=103π(m).7.C 【解析】　∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=90°,AB ∥CD ,AD=BC=3,CD=AB=5,∴∠BDC=∠DBF.由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF ,∴∠BDF=∠DBF ,∴BF=DF.设BF=x ,则DF=x ,AF=5-x ,在Rt △ADF 中,由勾股定理可得AD 2+AF 2=DF 2,即32+(5-x )2=x 2,∴x=175,∴cos ∠ADF=AD DF =3175=1517.8.C 【解析】　如图,连接AC ,AE ,CF ,CG.易证△ADE ≌△CDG ,∴AE=CG ,∴d 1+d 2+d 3=DE+CF+CG=EF+CF+AE.易知当点A ,E ,F ,C 共线时,d 1+d 2+d 3的值最小,最小值为AC 的长.∵AC=2AB=22,∴d 1+d 2+d 3的最小值为22.9.D 【解析】　根据题意,得DP=t ,BM=t ,∴AP=10-t ,CM=8-t.当四边形ABMP 为矩形时,AP=BM ,即10-t=t ,解得t=5,故选项A 中的结论不正确.当四边形CDPM 为平行四边形时,DP=CM ,即t=8-t ,解得t=4,故选项B 中的结论不正确.当CD=PM 时,分两种情况:①四边形CDPM 是平行四边形,此时t=4;②四边形CDPM 是等腰梯形,如图,过点M 作MG ⊥AD 于点G ,过点C 作CH ⊥AD 于点H ,则四边形ABMG 、ABCH 为矩形,Rt △MGP ≌Rt △CHD ,∴AG=BM=t ,AH=BC=8,PG=DH ,∴DH=AD-AH=2,PG=AG-AP=2t-10,∴2=2t-10,解得t=6,故选项C 中的结论不正确,选项D 中的结论正确.10.62　【解析】　连接BC ,∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BAC=28°,∴∠B=62°,∴∠D=62°.11.12　【解析】　如图,连接DE ,CD.∵▱BDFE 的面积为2,∴S △BDE =12S ▱BDFE =1.∵BE=14BC ,∴S △BDC =4S △BDE =4.∵BD=13BA ,∴S △ABC =3S △BDC =12.12.7　【解析】　如图,连接EC ,由题意知,MN 是线段BC 的垂直平分线,∴CE=BE=4,∴∠ECB=∠B=45°,∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt △ACE 中,AE=A C 2-C E 2=　52-42=3,∴AB=AE+BE=3+4=7.13.4.4　【解析】　由题意可知AD ∥CP.∵∠DPC=30°,∴∠ADB=30°,∴AB=AD×tan ∠ADB=0.8×33=4315(m).∵AC=AF+CF=3 m,∴BC=AC-AB=(3-4315)(m).在Rt △BCP 中,∠BPC=30°,∴CP=BCtan∠BPC =3BC=33-45≈4.4(m).14.13π+32　【解析】　如图,设O'A'与AB 相交于点C ,连接OC ,CB ,∵点O'为OB 的中点,CO'⊥OB ,∴CO=CB ,∴CB=OC=OB=2,∴△COB 为等边三角形,∴∠COB=60°,∴S 弓形CB =S 扇形COB -S △COB =60π×22360-34×22=23π-3,S △CO'B =12×1×2×32=32,∴S 阴影部分=90π×22360-(23π-3)-32=13π+32.图(1) 　图(3) 通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计图(5)15.5或354　【解析】　如图,过点C 作AE 的垂线,垂足为F ,过点D 作CF 的垂线,垂足为点G ,连接EG.由题意可知tan ∠QBE=3=CFBF ,故可设BF=k ,CF=3k.∵∠CAF+∠ACF=90°,∠ACF+∠DCG=90°,∴∠CAF=∠DCG.又∠AFC=∠CGD=90°,AC=CD ,∴△AFC ≌△CGD (AAS),∴DG=CF=3k ,CG=AF=10+k.∵∠CGD=∠CED=90°,∴C ,E ,D ,G 四点共圆.∵CE=DE ,CE ⊥DE ,∴∠EDC=45°,∴∠CGE=45°,∴EF=FG=CG-CF=10-2k.∵CF 2+EF 2=CE 2=(22CD )2=12(DG 2+CG 2),∴(3k )2+(10-2k )2=12[(3k )2+(10+k )2],整理得4k 2-25k+25=0,解得k=5或k=54,∴BE=BF+EF=k+10-2k=10-k=5或354.16.【参考答案】　证明:∵BF=EC ,∴BF+CF=EC+CF ,即BC=EF.(2分)在△ABC 和△DEF 中,AB =DE ,∠B =∠E ,BC =EF ,∴△ABC ≌△DEF ,∴∠A=∠D.(8分)17.【参考答案】　(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴OC=12AC ,OD=12BD ,AC=BD ,∴OC=OD ,∴∠ACD=∠BDC.∵∠CDF=∠BDC ,∠DCF=∠ACD ,∴∠CDF=∠DCF ,∴DF=CF.(4分)(2)由(1)可知,DF=CF.又∠CDF=60°,∴△CDF 是等边三角形,∴CD=DF=6.∵∠BDC=∠CDF=60°,OC=OD ,∴△OCD 是等边三角形,∴OD=CD=6,∴BD=2OD=12,∴BC=B D 2-C D 2=122-62=63,∴S 矩形ABCD =BC ·CD=63×6=363.(8分)18.【参考答案】　(1)证明:连接DE ,BF.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BO=OD ,AO=OC.又E ,F 分别为AO ,OC 的中点,∴EO=12OA ,OF=12OC ,∴EO=FO ,∴四边形DEBF 是平行四边形,∴BE=DF.(4分)(2)当k=2时,四边形DEBF 是矩形. 理由:由(1)得四边形DEBF 是平行四边形,∴当BD=EF 时,四边形DEBF 是矩形,即当OD=OE 时,四边形DEBF 是矩形.∵AE=OE ,∴k=ACBD =AC2OD =AC2OE =ACOA =2,即当k=2时,四边形DEBF 是矩形.(8分)19.【参考答案】　如图,过点C 作CF ⊥AD 于点F ,则四边形AFCE 是矩形.(1分)设CF=2x m,则AE=CF=2x m,BE=(3-2x )m .在Rt △CDF 中,tan ∠CDF=CFDF =tan 63.4°≈2,∴DF=x m,∴EC=AF=AD+DF=(2+x )m .在Rt △BEC 中,tan ∠BCE=BEEC =tan 10°≈0.18,即3―2x2+x =0.18,解得x ≈1.21,经检验,x=1.21是方程的解,且符合题意,∴BE=3-2x=0.58(m).∵sin ∠BCE=BEBC ≈0.17,∴BC=0.580.17≈3.4(m).答:遮阳篷BC 的长度约为3.4 m .(8分)20.【参考答案】　(1)证明:∵AM 是☉O 的切线,∴∠BAM=90°.(1分)又∵∠CEA=90°,∴AM ∥CD ,∴∠CDB=∠APB.(2分)又∵∠CAB=∠CDB ,∴∠CAB=∠APB.(3分)(2)如图,连接AD.∵AB 为☉O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°,∠CDB=∠CAB ,∴∠ADC=∠C ,∴AD=AC=8.(5分)又∵AB=10,∴BD=6.(6分)易证△ADB ∽△PAB ,∴AB PB =BDAB ,∴PB=AB 2BD =1006=503,∴DP=503-6=323.(8分)21.【参考答案】　(1)75　60 (4分)(2)如图(1),过点A 作AE ⊥DC 于点E ,图(1)则AE=BC=100 米,EC=AB=10 米.在Rt △AED 中,∠DAE=30°,∴DE=AE ·tan 30°=100×33=10033(米),∴CD=DE+EC=(10033+10)米,∴楼CD 的高度为(10033+10)米.(7分)(3)如图(2),过点P 作PG ⊥BC 于点G ,交AE 于点F ,图(2)则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10 米.∵MN ∥AE ,∴∠PAF=∠MPA=60°.∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE.∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°.又∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°,∴∠ADP=∠APD ,∴AP=AD ,∴△APF ≌△DAE ,∴PF=AE=100 米,∴PG=PF+FG=100+10=110(米),∴无人机距离地面BC 的高度为110米.(10分)22.【参考答案】　(1)证明:设CE 与BD 交于点O.∵BC=CD ,CE ⊥BD ,∴DO=BO ,∠DCO=∠BCO ,∴CE 垂直平分线段BD ,∴DE=BE.∵DE ∥BC ,∴∠DEC=∠BCO ,∴∠DEC=∠DCO ,∴BC=CD=DE=BE,∴四边形BCDE是菱形.(4分) (2)(i)∵DE垂直平分线段AC,∴AE=CE,∴∠AED=∠CED.由(1)知CE垂直平分线段DB,∴DE=BE,∴∠DEC=∠BEC,∴∠AED=∠CED=∠BEC.又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,∴∠CED=1×180°=60°.(8分)3(ii)证明:∵AE=EC,∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,∴∠ACE=30°.同理可得,∠EBD=30°,∴∠ACE=∠ABF.在△ACE和△ABF中,∠ACE=∠ABF,∠CAE=∠BAF,AE=AF,∴△ACE≌△ABF(AAS),∴AC=AB.又∵AE=AF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.(12分) 23.【参考答案】　(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAO=90°.由折叠的性质知∠DEO=∠DAO=90°,∴OE⊥DE.又∵OE是半径,∴DE是☉O的切线.(3分) (2)当点E落在BD上时,如图(1),在Rt△ADB中,∠DAB=90°,AD=3,AB=4,∴BD=AD 2+AB 2=32+42=5.∵S △ADB =S △ADO +S △BDO ,∴12×3×4=12×3×x+12×5×x ,解得x=32.(6分)(3)设AE ,OD 交于点J ,易知OD 垂直平分线段AE.由勾股定理,得OD 2=OA 2+AD 2=x 2+9.∵S △OAD =12OA ·AD=12OD ·AJ ,∴AJ 2=(OA ·AD OD )2=9x 2x 2+9,∴AE 2=4AJ 2=36x 2x 2+9.∵AG 是半圆O 的直径,∴∠AEG=90°=∠ABF.又∵∠EAG=∠BAF ,∴△AEG ∽△ABF ,∴y=S △AEG S △ABF =(AE AB )2=36x 2x 2+916=9x 24x 2+36.(10分)(4)32<x<3或258<x ≤4.(12分)解法提示:当半圆O 与CD 切于点H 时,如图(2),连接OH ,则OH ⊥CD ,易知四边形OADH 是正方形,∴x=OA=AD=3.当半圆O 经过点C 时,如图(3),连接OC ,则OC=OA=x ,OB=4-x.根据勾股定理,得OC 2=OB 2+BC 2,∴x 2=(4-x )2+32,解得x=258.分析可知,当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时,x 的取值范围为32<x<3或258<x ≤4.24.【参考答案】　(1)75°(2分)(2)如图(1),连接BP.图(1)∵AP ∥BC ,AP=BC=AC ,∴四边形ACBP 是菱形,(3分)∴BP=AC=6.∵∠ACB=120°,∴∠PBE=60°.∵l ⊥BC ,∴BE=PB ·cos 60°=3, PE=PB ·sin 60°=33,∴S △ABC =12BC ·PE=93.(4分)∵∠ABC=12×(180°-120°)=30°,∴OE=BE ·tan 30°=3,∴S △OBE =12BE ·OE=332,∴S 四边形OECA =S △ABC -S △OBE =1532.(6分)(3)符合要求.(7分)由作法,知AP=AC.∵CD=CA ,∠CAB=45°,∴∠ACD=90°.如图(2),以AC ,CD 为边,作正方形ACDF ,连接PF.图(2)∴AF=AC=AP.(9分)∵l 是CD 的垂直平分线,∴l 是AF 的垂直平分线,∴PF=PA ,∴△AFP 为等边三角形,(10分)∴∠FAP=60°,∴∠PAC=30°,∴∠BAP=15°,∴裁得的△ABP型部件符合要求.(12分)。

中考数学 几何基础：三角形和四边形(含答案)

中考数学 几何基础：三角形和四边形(含答案)

2020中考数学 几何基础：三角形和四边形（含答案）1. 已知：直线l 1∥l 2，一块含30︒角的直角三角板如图1-2所示放置，125∠=︒，则2∠等于（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒2. 如图1-1，在ABC △中，D ，E 分别是边AC 、BC 的中点，若4DE =，则AB =______．3. 若三角形的三边长分别为8、19、a ，则最长的边a 的取值范围是__________．CDE211l 2l图1-1 图1-24. 如图1-3，在ABC △中，B ∠与C ∠的平分线交于点O ．过O 点作DE//BC ，分别交AB 、AC 于D 、E ．若5AB =，4AC =，则ADE △的周长是__________．5. 如图1-4，15AOE BOE ∠=∠=︒，EF//OB ，EC OB ⊥，若1EC =，则EF = ________．6. 如图1-5，在ABC △中，47B ∠=︒，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=__________．BAD EOCOB CEABC F EAD图1-3 图1-4 图1-5（1）B ；（2）8；（3 ）1927a ≤<；（4）9；（5）2；（6）66.5︒．7. 如图3-1，在ABC △中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ．则EF 的最小值为__________．8. 如图3-2，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 边的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．若12AB =，5BC =，则四边形BDFG 的周长为__________．9. 已知如图3-3，正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 边上，且1EC =，P 是BD 上一动点，则PE PC +的最小值为__________．ABC P E FC D A B EG F图3-1 图3-2 图3-3（7）245；（8）26；（910. 如图，在ABC △中，AD 是ABC △的中线，1tan 2B =，cosC =AC =，则sin ADC ∠的值___________．11. 在ABC △中，3tan 4B =，10AB =，AC =，则线段BC 的长为__________．（10；（11）5或11．P E DC B AB A12. 如图5-1，五边形ABCDE 中，120A ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，1AB BC ==，2AE DE ==，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，使AMN △的周长最小，则AMN △的周长最小值为________．13. 如图5-2，在锐角ABC △中，AB =，45BAC =︒∠，BAC ∠的平分线交BC 于点D 、M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是________．ABMCD NECAN B MD图5-1 图5-2（12）（13）4．14. 如图6-1，在ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A．2B．C．D ．615. 如图6-2，在ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最小距离是__________．16. 如图6-3，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连接CF 交BD于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______．图6-1 图6-2 图6-3（14）A ；（152；（161．图1 图2 图3（1）∵点(0,2)C -，(3,2)D --，∴3CD =，且CD//x 轴，∴BCD △的面积13232=⨯⨯=；（2）∵BQ 平分CBA ∠，∴ABQ CBQ ∠=∠， ∵AC BC ⊥，∴90CBQ CQP ∠+∠=︒，又∵90ABQ CPQ ∠+∠=︒，∴CQP CPQ ∠=∠； （3）在ACE △中，E DAC ACE αβ∠=∠-∠=-； （4）在AOE △和BOC △中，180E EAO AOE ∠+∠+∠=︒， 180ABC BCO BOC ∠+∠+∠=︒， ∵CD//x 轴，∴EAO ADC α∠=∠=， 又∵AOE BOC ∠=∠（对顶角相等），∴E EAO ABC BCO ∠+∠=∠+∠，即ABC αβαβ-+=∠+，∴2()ABC αβ∠=-，HGFE D C BA∴12E ABC ∠=∠，（是定值，不变）．。

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中考数学几何题一．选择题（共19小题）1．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）⑤S△CEFA．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④6．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接DF，分析下=S△ABF其中列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．411．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．514．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，③S=AB2，四边形CEDF④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．②③16．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A．105°B．110°C．100° D．120°17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④18．已知，等腰Rt△ABC中AC=BC，点D在BC上，且∠ADB=105°，ED⊥AB，G 是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE=2FG，连GE、GB．则下列结论：①AG⊥BE；②∠DGE=60°；③BF=2FG；④AD+DC=AB．其中正确的结论有（）A．①②B．①②④C．①③④D．②③④19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE=CF，BF交CE于P，连PD，下列结论：①AC=AE，②CD=BE，③PB=PF，④DP=BF，其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．①③二．填空题（共5小题）20．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：=S△AFG；⑤∠AGB+∠AED=145°．①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥GF；④S△ABG其中正确的个数有个．21．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②BG=EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB=1+，其中正确结论的序号为．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．23．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论，其中正确的有（填正确结论的序号）．=AB2．①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD24．如图，在正方形ABCD中，分别以AD，BC为斜边作Rt△ADE和Rt△CBF，=20，S△ADE=3，则EF=．且Rt△ADE≌Rt△CBF，连结EF，若S正方形ABCD三．解答题（共15小题）25．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．26．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．27．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．28．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．29．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．30．如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M 为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．（1）求证：MN=EN；（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系．①写出AN与EM：位置关系；数量关系；②请证明上述结论．31．已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB 延长线上的一点，且DE=EC．（1）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．32．如图，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．33．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．34．操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．35．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．36．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．37．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．38．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）39．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．2017年02月28日账号1的初中数学组卷三角形及四边形参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016•牡丹江）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD 于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，△ACF其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=⊂FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，cos∠FCE=，∴CG===1，∴DG=CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．2．（2016•黑龙江模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．（2016•南充模拟）如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAE+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵BE⊥DP，∴∠ABE+∠BPE=90°，又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF；故①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，在△ABM和△FBM中，，∴△ABM≌△FBM（SAS），∴AB=BF，故②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，在△BEF和△DFC中，，∴△BEF≌△DFC（SAS），∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，故④正确；∴CF⊥DEP，∵BE⊥DP，∴CF∥BE；故③正确．故选D．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．4．（2016秋•庐阳区期末）如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O 四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可；D、利用同角的三角函数计算．【解答】解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∴AF=FD=AD=BC=2，∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，∴四边形AGOF是矩形，∴OG=AF=2，=AE•OG=5，∵S△AEO∴AE===5，所以此选项的说法正确；B、∵OE⊥AC，∴∠EOC=90°∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BCE=∠BOE，所以此选项的说法正确；C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE==3，∴AB=3+5=8，∴AC===4，∴AO=AC=2，∴EO===，∴OE≠BE，∵E、B、C、O四点共圆，∵∠EOC=90°，∴EC是直径，∴EC与OB不垂直；此选项的说法不正确；D、sin∠BOE=sin∠BCE==，所以此选项的说法正确，因为本题选择说法错误的，故选C．【点评】本题考查了矩形的性质和判定、四点共圆的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的有关知识，较为麻烦，此类题相当于解决四个问题，尤其是第三问利用了圆中的性质进行证明，比较容易理解；本题还利用了同角的三角函数求一个角的正弦，这在解直角三角形中经常运用，要熟练掌握．5．（2016春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）=2S△CEF．①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BECA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【分析】①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；=S△CFM，根据MC＞BE，得到S△BEC＜2S△EFC．④根据EF=FM，得到S△EFC【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②如图1，延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，故②正确；③设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；④∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误，故选：A．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF≌△DMF是解题关键．6．（2016春•镇江期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．20【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S=AE•BC=AF•CD，四边形ABCD∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=（9﹣x）2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．7．（2016春•重庆期中）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH 交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【解答】解：作EJ⊥BD于J，连接EF∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=BF；故③正确．故选B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．8．（2016春•张家港市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等；从而判断出①正确；②由①可得AB=BE=CD=HD，继而证得∠EDH=∠EDC，然后由角平分线的性质，证得②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；∴BE=DH，∴AB=BE=CD=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵∠C=90°，DH⊥AE，∴∠EDH=∠EDC，∴HE=CE；故②正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠OHE=∠AHB=67.5°，∴∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，即H是BF的中点；故③正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．9．（2016秋•邹城市校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE ⊥AC于点，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S=S△ABF其中正确的结论有（）四边形CDEFA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD，即可得到AEFS四边形CDEF=S△ABF，故④正确．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴==，=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S矩形ABCD，∴S△AEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF=S△ABF，故④正确；∴S四边形CDEF故选：A．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．10．（2015•常州模拟）已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2 C．D．4【分析】如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M坐标，要求CD 的最小值只需求出CM的最小值即可．【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，∵A（0，6），B（0，﹣4），∴M（0，1），∵点到直线的距离垂线段最短，∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，直线3x﹣4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=﹣4，即F（﹣4，0），E（0，3），∴OE=3，OF=4，EM=2，EF==5，∵△EOF∽△ECM，∴=，即=，解得：CM=，则CD的最小值为．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．11．（2015•泰安模拟）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM=∠NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故①正确；由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以==，故④正确．因为∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，DQ=UQ，即可得出结论，故③正确；【解答】解：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN=∠ABC=90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：，∴==，故④正确．故选D．【点评】本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．12．（2015春•和平区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4；④DG=2其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确．【解答】解：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，在△CBE和△CDG中，，∴△CBE≌△CDG，∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，∵∠BCD=90°，∴∠ECG=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，∴E、B、C、H四点共圆，∴∠CBH=∠GEC=45°，①正确；∵CE=CG，CH⊥EG，∴点H是EG的中点，②正确；∵∠HBF=45°，BH=8，∴FH=FB=4，又BC=6，∴FC=2，∴CH==2，∴EG=2CH=4，③正确；∵CH=2，∠HEC=45°，∴EC=4，∴BE==2，∴DG=2，④正确，故选：D．【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI⊥AD于I，过C 作CJ⊥AD于J，得出四边形BCJG是矩形，再判定△BAG≌△AEH，△CJD≌△DIF，最后根据四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积，进行计算即可．【解答】解：延长AD，过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI ⊥AD于I，过C作CJ⊥AD于J，则四边形BCJG是矩形∴∠EHA=∠G=90°∵△ABE是等腰直角三角形∴AE=BA，∠EAB=90°∴∠BAG+∠EAH=∠AEH+∠EAH=90°∴∠BAG=∠AEH在△BAG和△AEH中∴△BAG≌△AEH（AAS）∴AG=EH同理可得，△CJD≌△DIF∴DJ=FI∵四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积=×AD×EH+×AD×FI=×AD×（EH+FI）=×AD×（AG+DJ）=×AD×（JG﹣AD）=×AD×（BC﹣AD）=×2×（5﹣2）=3故选（B）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及全等三角形．解题时注意：四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①根据中点的定义以及三角形中位线定理，可得AG=AB=BC=GE；②根据AG＞AE，AM⊥GE，可得ME＜GE，进而得出ME＜BC；③根据菱形的性质，判定△BHF≌△AHC（ASA），即可得到FH=HC；④根据两角对应相等可判定△AEF∽△BEA，得出=，进而得到AE2=EF•EB；⑤根据AD∥BH，得出△ADF∽△HBF，进而得到=，即AF•BH=FH•AD，再根据AD=BC，得到AF•BH=FH•BC即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∴E是AC的中点，又∵G是AB中点，∴GE是△ABC的中位线，AG=AB，∴GE=BC，GE∥BC，∴AG=AB=BC=GE，即△AEG是等腰三角形，故①正确；∵菱形ABCD中，∠BAD=135°，∴∠DAC=67.5°=∠ACB，∠ABC=45°，∵GE∥BC，∴∠AGE=45°，∠AEG=67.5°，又∵AH⊥BC，∴AH⊥GE，∴ME＜GE=BC，故②错误；∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∠BHF=∠AHC=90°，∴AH=BH，∵∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE，∴∠HBF=∠HAC，∴△BHF≌△AHC（ASA），∴FH=HC，故③正确；∵菱形ABCD中，∠ABE=∠CBE，而∠HBF=∠HAC，∴∠ABE=∠FAE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，。

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