3.2直线的方程(三课时)

Ax By C 0
（其中A，B不同时为0）
直线的一般式方程
此方程叫做直线的一般式方程
例 1：
求直线3x+5y-15=0的斜率以及它在 坐标轴上的截距，并作图。
例 2：
在方程 Ax By C 0 中，A,B,C为何 值时， 方程表示的直线 1）垂直于x轴 2）垂直于y 轴 3）过原点
两点式方程
根据两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
斜率
y2 y1 k x2 x1
y
l
P1(x1，y1)
代入y y0 k ( x x0 )得
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
P2(x2，y2)
x
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
3. 已知直线mx+ny+12=0在x,
y轴上的截距分别是-3和4, 求m,n的值
m 4, n 3
中点坐标公式
已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中 点P0(x,y)的坐标是什么？
A(x1，y1)
y
B(x2，y2)
中点
x
x1 x2 x 2 y y1 y 2 2
上述两条都成立，所以这个方程
（2）坐标满足方程 y y0 k x x0 的点都
y y0 k x x0 就是过点 P0 x0 , y0 斜率为 k 的直线 l 的方程．
局限性：只适用于斜率存在的情形。
（1）x 轴所在直线的方程是什么？ 当直线 l的倾斜角为 0 时，即 tan 0 0．
x y 1 , 4 5
y x 2 6 4
2.根据下列条件求直线方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
x y 1 整理得： 3x 2 y 6 0 由截距式得： 2 3
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
x y 由截距式得： 1 整理得： 6 x 5 y 30 0 5 6
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情 形。
练习2：根据下列条件，分别写出方程；
（1）
在Y轴上的截距为-2，斜率为3； ，斜率为1/2；
（2）在Y轴上的截距为5
0 0 （3）在Y轴上的截距为1，倾斜角为
；
（4）
斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
典型例题
例2 已知直线 l1 : y k1 x b1，l2 : y k2 x b2 ， 试讨论：（1）l1 // l2 的条件是什么？（2）l1 l2的条件 是什么？ 解：（1）若 l1 // l2 ，则 k1 k 2 ，此时 l1，l2与 y 轴的交点不同，即 b1 b2 ；反之， k1 k，且 b1 b2 2 时， l1 // l2． （2）若 l1 l2，则 k1k 2 1；反之，k1k 2 1 时， l1 l2 ．
在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 l 经 过的一个点 P x , y 和斜率 k ，能否将直线上所
有的点的坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？
y
0
0
0
l
P0
O x
点斜式方程
直线 l 经过点 P0 x0 , y0 ，且斜率为 k ,设点 Px, y 是直线上不同于点 P 的任意一点，因为直线 l 的斜率
x1 x2 y1 y 2 , P0的坐标为 2 2
五、直线方程的应用
例1:已知角形的三个顶点是A(－5，0) B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程。
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 32 30
注意：
1、截距不是距离， 2、截距可能是正数,负数和零
l
A(a，0)
截距式方程：
注 意：
x y 1 a b
1、等式的右边是常数 1，
2、等式的左边x、y前的系数都为 1，
此时的a和b才是横截距和纵截距
说出在坐标轴上的截距
y x 1 10 3
x轴上的截距是3 y轴上的截距是10 x轴上的截距是4 y轴上的截距是-5 x轴上的截距是8 y轴上的截距是12
直线的方程
主要内容
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程
3.2.1
直线的点斜式方程
问题一
我们知道给出直线的两个因素，直线就能够确 定，即将直线放在直角坐标系中就能够确定其 方程。在直角坐标系中如果给出直线上一点和 斜率，我们已经研究了其方程表示。如果给出 , y2 ) 那么直线 P 两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 ， 1P 2 也就确 定了，那么如何表示其方程呢？
y0 x0 5 0 4 0
y 2x 3
(2)A(0，5)，B(5，0)
(3)C(-4，-5)，D(0，0)
y x 5
5 y x 4
截距式方程
已知直线经过点A（a，0），B（0，b），a0， b0，求直线方程 y 解：代入两点式方程得
B(0，b)
l
A(a，0)
3.2.3
直线的一般式方程
直线方程
两点式
两点坐标
点斜式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
y y0 k ( x x0 )
y=kx+b
x y 1 a b
斜截式方程 两个截距
截距式
以上我们介绍了直线方程的几种特 殊形式，它们都是关于x和y的二元一 次方程，那么，关于x和y的二元一次 方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示 直线吗？
所以它的方程就是 y l
x x0 0 ，或 x x0
O
P0
x
例1 直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角为600, 求直线l的方程。
练习1：根据下列条件，分别写出直线方程；
（1） （2） （3） （4） （5）
经过点（4，-2），斜率为3； 经过点（3，1），斜率为1/2； 经过点（2，3），倾斜角为 经过点（2，5），倾斜角为
3.对于二元一次方程
1）当B0时可化为
Ax+By+C=0（A,B不全为零）
A C y x B B

的直线.
2)
C 表示经过点（0， B
），斜率k为

A B
C 当B=0时，A0，方程可化为 x A
表示垂直于x轴的直线.
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
2. 所有二元一次方程都表示直线
例3 求下列直线的方程: （1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1 垂直； （2）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1 平行；
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1x2 ,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
经过一点，且已知斜率的直线，可以写出 它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜 式方程.
直线的斜截式方程
如果直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 0, b 得直线的点斜式方程， y b k x 0 也就是：
y kx b
y
l
b
我们把直线与 y 轴交点的纵坐标 叫做直线在y轴上的截距。
P0
O
x
截距的值是实数，它是坐标值，不是距离 该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定， 所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
1. 平面直角坐标系中的每一条直线 都可以用一个关于x，y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x，y的二元一次方程都 表示一条直线吗？
讨论
1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、 截距式都是关于X，y的二元一次方程 2. 经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直 线的方程：
x-x0=0
可以看成y的系数为0的二元一次方程.
y0 x5 1 3 0 5 2 2
整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。
例 2: 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条? 解: ⑴ 两条
x 设 直线的方程为: a 1 把(1,2)代入得： a
y 1(a 0) a 2 a=3 1 a
所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
变式： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的 截距的绝对值相等的直线有几条?
三条
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
例2、求过点 2， 6 和 4， 3的直线，截坐标轴所 成三角形的面积为多少？
y
a
y6 x2 解：直线方程为 3 6 4 2 即：2y-12=3x-6 即：3x-2y=-6
b
0
x
x y 即： 1 2 3 1 S 2 3 3 2
练习： 1、已知直线的斜率为1/6，且和坐标轴围成面积为 3的三角形，求该直线的方程。 2、一条直线经过A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所 围成的三角形面积是4，求这条直线的方程。
0
为 k ，由斜率公式得：
y y0 k ， x x0
即： 点斜式方程
y
P
l
P0
O x
y y0 k x x0
点斜式方程
（1）过点 P0 x0 , y0 ，斜率是 k 的直线 l 上的 点，其坐标都满足方程 y y0 k x x0 吗？