高考数学课程标准卷选做题汇编(文)
高中数学新课程标准的标准测试题目(附解答)
高中数学新课程标准的标准测试题目(附解答)第一部分：选择题1. 以下哪个不是三角函数的基本关系式？- A. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$- B. $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$- C. $\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$- D. $\sec x = \frac{1}{{\cos x}}$解答：C2. 函数 $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ 的导数是什么？解答：$y' = 6x^2 - 6x - 12$3. 若 $\sin x = \frac{1}{2}$，则 $\cos x$ 的值为多少？解答：$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$第二部分：填空题1. 设直线 $y = 3x + 2$ 和直线 $y = -\frac{1}{3}x + 4$ 的交点为$A$，则 $A$ 的坐标是（，）。
解答：(-1, 1)2. 已知等差数列的首项为 5，公差为 3，若要使第10项为 32，则通项公式为 $a_n = $ 。
解答：$a_n = 5 + 3(n-1)$第三部分：解答题1. 求函数 $y = x^3 - 2x^2 + x$ 的极值点及极值。
解答：极值点为 $x = \frac{1}{3}$，极值为 $y = -\frac{4}{27}$。
2. 某商店有两种型号的电脑，价格分别为 $x$ 元和 $y$ 元。
已知该商店上个月销售了 $a$ 台电脑，总销售额为 $b$ 元，其中型号为第一种的电脑销售了 $c$ 台。
根据以上信息，列出一个方程。
解答：$ax + (c-a)y = b$以上是高中数学新课程标准的标准测试题目及其解答。
希望对您有所帮助！。
普通高中新数学课程标准题库(含答案)
普通高中新数学课程标准题库(含答案)
普通高中新数学课程标准题库（含答案）
为了更好地适应新时代我国教育改革的发展，提高普通高中数
学教育的质量，我们依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，编写了这份题库。
题库内容涵盖了高中数学的主要知识点，旨在帮助学生巩固课堂所学，提高解决问题的能力。
一、选择题
1. 下列选项中，既是奇函数，又是单调递增函数的是：
A. y = x^3
B. y = x^2
C. y = |x|
D. y = 2x
答案：A
二、填空题
2. 若矩阵 A 的行列式值为 3，则 A 的逆矩阵的元素 a_{ij} 等于______。
答案：3/a_{ji}
三、解答题
3. 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求 f(x) 的最大值和最小值。
答案：
（1）将 f(x) 写成顶点式：f(x) = (x - 2)^2 - 1
（2）当 x = 2 时，f(x) 取得最小值 -1
（3）函数 f(x) 为开口向上的抛物线，无最大值
四、应用题
4. 一辆汽车从 A 地出发，以 60 km/h 的速度向 B 地行驶，行驶3 小时后，离 A 地还有 120 km。
求 A、B 两地之间的距离。
答案：240 km
解题过程：
（1）设 A、B 两地之间的距离为 x km
（2）根据题意，汽车行驶 3 小时后的路程为 3 × 60 = 180 km （3）所以，x - 180 = 120
（4）解得 x = 240
这份题库仅供参考，如有任何疑问，请随时与我们联系。
祝您学习进步！。
普通高中新数学课程标准的测试题(包括答案)
普通高中新数学课程标准的测试题(包括答案)第一题已知直线AB与直线CD垂直交于点E，且AE=8cm，BE=6cm，CE=12cm，求ED的长度是多少？答案：根据直角三角形的勾股定理可得，ED的长度为10cm。
第二题已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(x)的最小值点的横坐标是多少？答案：首先，可以通过求导数的方法找到f(x)的最小值点。
对f(x)求导得到f'(x) = 4x + 3。
令f'(x) = 0，解得x = -3/4。
所以，f(x)的最小值点的横坐标为-3/4。
第三题已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A与B的交集和并集分别是哪些元素？答案：A与B的交集是{3, 4, 5}，并集是{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
第四题已知三角形ABC的三个内角分别为30°，60°，90°，求三角形ABC的周长。
答案：根据三角形的性质可知，三角形ABC是一个特殊的30°-60°-90°三角形。
设BC = x，则AC = x√3，AB = 2x。
所以，三角形ABC的周长为x + x√3 + 2x = (3 + √3)x。
第五题已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 4，求f(x)的对称轴方程。
答案：对称轴方程可以通过求函数f(x)的一阶导数的零点得到。
对f(x)求导得到f'(x) = 6x - 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
所以，f(x)的对称轴方程为x = 1/3。
第六题已知等差数列的首项是2，公差是5，求该等差数列的前10项之和。
答案：等差数列的前n项和可以通过公式Sn = (n/2)(a + l)得到，其中Sn表示前n项和，a表示首项，l表示末项。
根据已知条件，首项a = 2，公差d = 5，所以末项l = a + (n-1)d = 2 + 9*5 = 47。
高考数学真题2011年—2018年新课标全国卷(1、2、3卷)文科数学试题分类汇编—11.解析几何
2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编11．解析几何一、选择题(2018·新课标Ⅰ，文4)已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．22D ．223(2018·新课标Ⅱ，文6)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =(2018·新课标Ⅱ，文11)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．312-B ．2C ．312D 1-(2018·新课标Ⅲ，文8)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣(2018·新课标Ⅲ，文10)已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，，则点()40，到C 的渐近线的距离为（）A B ．2C ．322D ．(2017·新课标Ⅰ，文5)已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（）A ．13B ．12C ．23D ．32(2017·新课标Ⅰ，文12)设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是()A ．(0,1][9,)+∞ B ．[9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞ D ．[4,)+∞ （2017·新课标Ⅱ，文5）若a ＞1，则双曲线2221-=x y a的离心率的取值范围是（）A.+∞）B.2）C. D.12（，）（2017·新课标Ⅱ，文12）过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为N 在MN ⊥l,则M NF ）A. B. C. D.(2017·新课标Ⅲ，文11)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A ．3B ．3C ．3D ．13(2016·新课标Ⅰ，文5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34（2016·新课标Ⅱ，文5）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =A ．12B ．1C ．32D ．2（2016·新课标Ⅱ，文6）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C D ．2(2016·新课标Ⅲ，文12)已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()．A ．13B ．12C ．23D ．34(2015·新课标Ⅰ，文5)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=()A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·新课标Ⅱ，文7）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A.53B.C.D.43(2014·新课标Ⅰ，文10)已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=()A ．1B ．2C ．4D ．8(2014·新课标Ⅰ，文4)已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=()A ．2B ．26C ．25D ．1（2014·新课标Ⅱ，文10）设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A 、B 两点，则|AB |=（）A B ．6C ．12D ．（2014·新课标Ⅱ，文12）设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45°，则x 0的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．11[]22-，C ．[D ．[(2013·新课标Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为()A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ±D ．y ＝±x(2013·新课标Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为()A ．2B ．C ．D ．4（2013·新课标Ⅱ，文5）设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（）A ．6B ．13C ．12D ．3（2013·新课标Ⅱ，文10）设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点.若|AF |=3|BF |，则l 的方程为（）A ．1y x =-或1yx =-+B ．(1)3y x =-或(1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或(1)2y x =--(2012·新课标Ⅰ，文4)设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12B ．23C ．34D ．45(2012·新课标Ⅰ，文10)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（）A B ．C ．4D ．8(2011·新课标Ⅰ，文4)椭圆221168x y +=的离心率为（）A ．13B ．12C ．3D ．2(2011·新课标Ⅰ，文9)已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（）．A ．18B ．24C ．36D ．48二、填空题(2018·新课标Ⅰ，文15)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =.(2016·新课标Ⅰ，文15)设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若AB =，则圆C 的面积为．(2016·新课标Ⅲ，文15)已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则CD =_________．(2015·新课标Ⅰ，文16)已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．（2015·新课标Ⅱ，文15）已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为.三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文20)设抛物线2:2C y x =，点()2,0A ，()2,0B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N两点.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠.(2018·新课标Ⅱ，文20)设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．(2018·新课标Ⅲ，文20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++= ．证明:2FP FA FB =+ ．(2017·新课标Ⅰ，文20)设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．（2017·新课标Ⅱ，文20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.(2017·新课标Ⅲ，文20)在直角坐标系xOy 中，曲线2–2y x mx =+与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为()01，．当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．(2016·新课标Ⅰ，文20)在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．（2016·新课标Ⅱ，文21）已知A 是椭圆E :22143x y +=的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当|AM|=|AN|2k <<.(2016·新课标Ⅲ，文20)已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(2015·新课标Ⅰ，文20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |.（2015·新课标Ⅱ，文20）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0）的离心率为2，点（2）在C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.(2014·新课标Ⅰ，文20)已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积.（2014·新课标Ⅱ，文20）设F 1，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .(2013·新课标Ⅰ，文21)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.（2013·新课标Ⅱ，文20）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若P 点到直线y x =的距离为22，求圆P 的方程.(2012·新课标Ⅰ，文20)设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
高中数学新课程标准的标准测试题目(附解答)
高中数学新课程标准的标准测试题目(附解答)一、选择题1. 已知函数 $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，则 $f(2)$ 的值为多少？- A. $1$- B. $3$- C. $5$- D. $7$解答：将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 9$，所以答案是 D. $7$。
2. 若 $a$、$b$、$c$ 是等差数列的前三项，且 $a + c = 12$，则$b$ 的值为多少？- A. $3$- B. $4$- C. $6$- D. $8$解答：由等差数列性质可知，$b = \frac{a + c}{2} = \frac{12}{2} = 6$，所以答案是 C. $6$。
二、填空题1. 已知函数 $f(x) = |2x - 1|$，则 $f(x)$ 的最小值为$\underline{\quad\quad}$。
解答：对于任意实数 $x$，$2x - 1$ 的绝对值最小值为 $0$，所以 $f(x)$ 的最小值为 $0$。
2. 若 $\log_2(x+1) = 3$，则 $x$ 的值为$\underline{\quad\quad}$。
解答：根据对数的定义可得 $2^3 = x + 1$，解方程得 $x = 5$。
三、解答题1. 写出方程 $x^2 + 4x + 4 = 0$ 的解。
解答：将方程变形为 $(x + 2)^2 = 0$，解得 $x = -2$。
所以方程$x^2 + 4x + 4 = 0$ 的解为 $x = -2$。
2. 已知等差数列的前两项之和为 $10$，公差为 $3$，求这个数列的前 $5$ 项。
解答：设等差数列的首项为 $a$，则第二项为 $a + d$，其中$d$ 为公差。
根据已知条件得到方程 $a + a + d = 10$，$d = 3$。
解得 $a = 3$。
所以这个数列的前 $5$ 项依次为 $3, 6, 9, 12, 15$。
普高数学新课程标准的练习题(包含答案)
普高数学新课程标准的练习题(包含答案)题目一已知函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$，求函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处的导数值。
解答：函数 $f(x)$ 的导数表示为 $f'(x)$，通过求导公式可以求得：$$f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$$将 $x = 1$ 代入上式，得到导数值：$$f'(1) = 6 - 10 + 3 = -1$$所以函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处的导数值为 $-1$。
题目二已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d = 3$，且 $a_5 = 10$，求$a_1$。
解答：对于等差数列 $\{a_n\}$，通项公式可以表示为 $a_n = a_1 + (n-1)d$。
已知 $d = 3$，$a_5 = 10$，代入通项公式得：$$a_5 = a_1 + (5-1) \cdot 3$$解方程得：$$10 = a_1 + 12$$$$a_1 = -2$$所以等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 为 $-2$。
题目三已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = 2n^2 + 3n$，求公差 $d$。
解答：对于等差数列 $\{a_n\}$，前 $n$ 项和可以表示为 $S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
已知 $S_n = 2n^2 + 3n$，代入前 $n$ 项和公式得：$$2n^2 + 3n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$化简方程得：$$2n^2 + 3n = n(a_1 + (n-1)d)$$$$2n + 3 = a_1 + (n-1)d$$由于等差数列的前 $n$ 项和为二次函数，所以公差 $d$ 的系数为 $1$。
所以公差 $d$ 等于 $1$。
题目四已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = 4n^2 - 3n$，求首项 $a_1$。
2024年高考真题汇编(数学)(新课标卷+全国卷)PDF版含答案
2024年高考真题汇编数学（新课标卷+全国卷）目录2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i -- B.1i -+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f > B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--，则z =（）A.0B.1C.D.22.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A.221164x y +=（0y >）B.221168x y +=（0y >）C.221164y x +=（0y >）D.221168y x +=（0y >）6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A.1- B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当1a >时，()f x 有三个零点B.当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =，sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16.已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A.10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间262450乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C.D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.A 【解析】【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.【答案】2.C 【解析】【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.【答案】3.D 【解析】【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.【答案】4.A 【解析】【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.【答案】5.B 【解析】【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.【答案】6.B【解析】【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.【答案】7.C【解析】【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C【答案】8.B【解析】【详解】因为当3x<时()f x x=，所以(1)1,(2)2f f==，又因为()(1)(2)f x f x f x>-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f>+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f>+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.二、多项选择题【答案】9.BC 【解析】【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．【答案】10.ACD 【解析】【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.【答案】11.ABD 【解析】【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.三、填空题【答案】12.32【解析】【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：32【答案】13.ln 2【解析】【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 2【答案】14.12【解析】【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.四、解答题【答案】15.（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ==，又因为sin C B =，即cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a c b c +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得2338c =，所以c =【答案】16.（1）由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，352AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d ，则1255352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，1255=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k ----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.【答案】17.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，2DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．【答案】18.（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【答案】19.（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.C 【解析】【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.【答案】2.B 【解析】【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.【答案】3.B 【解析】【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.【答案】4.C 【解析】【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.【答案】5.A 【解析】【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 【答案】6.D 【解析】【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=++=，解得433h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，。
高中数学新课标测试题及答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版新课程标准考试数学试题一、填空题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1、数学是研究（空间形式和数量关系）的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（基本技能）、基本思想。
3、高中数学课程应具有多样性和（选择性），使不同的学生在数学上得到不同的发展。
4、高中数学课程应注重提高学生的数学（思维）能力。
5、高中数学选修2-2的内容包括：导数及其应用、（推理与证明）、数系的扩充与复数的引入。
6、高中数学课程要求把数学探究、（数学建模）的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。
7、选修课程系列1是为希望在（人文、社会科学）等方面发展的学生设置的，系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。
8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（情感、态度、价值观）。
9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与（三角函数）的一种工具。
10、数学探究即数学（探究性课题）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。
二、判断题（本大题共5道小题，每小题2分，共10分）1、高中数学课程每个模块1学分，每个专题2学分。
（错，改：高中数学课程每个模块2学分，每个专题1学分。
）2、函数关系和相关关系都是确定性关系。
（错，改：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。
）3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
（对）4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。
（对）5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。
（错，改：教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者和合作者。
）三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分）1、高中数学课程的总目标是什么？答：使学生在九年制义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
高考数学选做题.pdf
13．已知曲线
C1
的参数方程是
x y
= =
2 3
cos极点，
x
轴的正半轴为极轴建
学海无涯
立极坐标系，曲线 C2 :的极坐标方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A,B,C,D 依逆时针次
序排列，点 A 的极坐标为（2， ）. 3
(Ⅰ)求点 A,B,C,D 的直角坐标；
的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
=
3
与曲线 C1 ， C2
交于不同于原点的点
A,B
求
AB
16．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C1
:
x y
= =
t t
cos sin
, ,
（t 为参数,且 t 0
）,其中 0 ,在以 O 为极点,x
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : = 2sin,C3 : = 2 3 cos.
a + b c + d .（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来
证明. 试题解析：
( ) ( ) 2
2
解：（Ⅰ）因为 a + b = a + b + 2 ab, c + d = c + d + 2 cd ,
( ) ( ) 2
2
由题设 a + b = c + d , ab cd ,得 a + b c + d ,因此 a + b c + d .
学海无涯
高考数学选做题 1．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
新课程标准下的普通高中数学试题(答案附带)
新课程标准下的普通高中数学试题(答案附带)新课程标准下的普通高中数学试题（答案附带）一、选择题1.1 选择题（每题4分，共20分）请从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。
1. 下列函数中，奇函数是：A. `f(x) = x^3`B. `f(x) = x^2`C. `f(x) = |x|`D. `f(x) = x`2. 若矩阵A的行列式值为0，则A一定是：A. 非方阵B. 方阵C. 对角矩阵D. 单位矩阵3. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x)在区间[a, b]上：A. 单调递增B. 单调递减C. 恒为0D. 无法确定4. 下列四个命题中，真命题是：A. 对于任意正整数n，命题“n^2 > n”成立B. 对于任意实数x，命题“x^2 > 0”成立C. 对于任意实数x，命题“x^2 ≤ 0”成立D. 对于任意正整数n，命题“n^2 < n”成立5. 若向量a和向量b满足|a + b| = |a| + |b|，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. 0° ≤ θ ≤ 90°B. 90° ≤ θ ≤ 180°C. 0° ≤ θ < 90°D. 90° < θ ≤ 180°1.2 答案1. A2. B3. A4. B5. A二、填空题2.1 填空题（每题4分，共20分）请将正确答案填入空白处。
1. 若函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = ______。
2. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix}a &b \\c & d\end{bmatrix}\)，则|A| = ______。
3. 函数y = ln(x)的定义域是：_______。
4. 若向量a = (1, 2)，向量b = (-2, 3)，则a与b的点积为：_______。
(新课标I版)高考数学分项汇编专题15选修部分(含解析)文
专题15 选修部分一．基础题组1. 【2014全国1，文22】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠； （II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.2. 【2014全国1，文23】已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.3. 【2014全国1，文24】若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.4. 【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I）若D为AC中点，求证：DE是O切线；∠的大小.（II）若OA=，求ACB【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅰ，文22】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．2. 【2013课标全国Ⅰ，文23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．3. 【2013课标全国Ⅰ，文24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．4. 【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系5. 【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法三．拔高题组1. 【2011新课标，文22】2. 【2011新课标，文23】3. 【2011新课标，文24】。
【备战2019】(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题15 选修部分(含解析)文科
专题15 选修部分一．基础题组1. 【2018课标全国Ⅱ，文22】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.2. 【2018课标全国Ⅱ，文23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．3. 【2018全国新课标，文24】选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2］，求a的取值范围．由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．4. 【2018全国新课标，文22】选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.5. 【2018全国新课标，文23】选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解析】：(1)当α＝3π时，C 1的普通方程为y－1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221),1,y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩－解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－2)． (2)C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)． P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 6. 【2018全国新课标，文24】选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|2x －4|＋1.(1) 画出函数y ＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．二．能力题组（22）1. 【2018全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明： （Ⅰ）BE EC =；（Ⅱ）22AD DE PB ⋅=PP2. 【2018全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈. （Ⅰ）求C得参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2ly =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.3. 【2018全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围.三．拔高题组1. 【2018课标全国Ⅱ，文24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)222a b cb c a++≥1.【解析】：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为22ab ab+≥，22bc bc+≥，22ca ca+≥，故222()a b ca b cb c a+++++≥2(a＋b＋c)，即222a b cb c a++≥a＋b＋c.所以222a b cb c a++≥1.2. 【2018全国新课标，文22】选修4—1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD．(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD．而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD．3. 【2018全国新课标，文23】选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3 )．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．。
(完整版)新课标高三数学文科综合测试题与参考答案(三)
新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案试题（三）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则 （ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2. 复数 22121,2,1z z i z i z 则 （ ）A ．i 5452 B ．i 5452 C ．i 5452 D ．i 5452 3．函数2()ln f x x x的零点所在的大致区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,) 4．函数)4(2cosx y 是（ ）.A ．周期为 的奇函数B ．周期为 的偶函数C ．周期为2 的奇函数D ．周期为2 的偶函数5． 抛物线)0(42a ax y 的焦点坐标是( )．A ．（a , 0）B ．(-a, 0)C ．（0, a ）D ．（0, - a ）6． 不等式10x x成立的充分不必要条件是( ) A ．10x 或1x B ．1x 或01x C ．1xD ． 1x7．已知直线l 、m ,平面 、，则下列命题中假命题是 （ ） A ．若 //， l ,则 //l B ．若 //， l ,则 lC ．若 //l ， m ,则m l //D ．若 ，l , m ,l m ,则 m 8．动点在圆122y x 上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．4)3(22y xB ．1)3(22y xC ．14)32(22y xD ．21)23(22y x 9．已知21,x x 是方程)(0)53()2(22R k k k x k x 的两个实根，则2221x x 的最大值为（ ）A 、18B 、19C 、955D 、不存在10.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，14－15题只需选做2小题．共20分．）11．已知函数|3|)( x x f ，以下程序框图表示的是给定x 值，求其相应函数值的算法，请将该程度框图补充完整。
高考数学全国卷1选做题汇编(2011~2019)
在直角坐标系 中，直线 : 圆 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求 , 的极坐标方程。
（2）若直线C3的极坐标为 = （ ）,设 与 的交点为 ,求 的面积.
（24）（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲
已知函数 ，且
高考选做题汇编
2019年
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为 的边AB，AC上的点，且不与 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程 的两个根．
（I）证明：C，B，D，E四点共圆；
（II）若 ，且 求C，B，D，E所在圆的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， 分别为 边 的中点，直线 交
的外接圆于 两点，若 ，证明：
（1） ；
（2）
（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，
且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围。
【备战2019】(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题15 选修部分(含解析)文科
专题15 选修部分一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，文22】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2 .2. 【2013课标全国Ⅱ，文23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．3. 【2012全国新课标，文24】选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2］，求a的取值范围．由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．4. 【2010全国新课标，文22】选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2＝BE×CD.5. 【2010全国新课标，文23】选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．(1)当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 【解析】：(1)当α＝3π时，C 1的普通方程为yx －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221),1,y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩－解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－2)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)．P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．6. 【2010全国新课标，文24】选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －4|＋1. (1) 画出函数y ＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．二．能力题组（22）1. 【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（Ⅰ）BEEC =；（Ⅱ）22AD DEPB ⋅=PP2. 【2014全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（Ⅰ）求C 得参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.3. 【2014全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0) f x x x a aa=++->（Ⅰ）证明：()2f x≥；（Ⅱ）若(3)5f<，求a的取值范围.三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅱ，文24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)222a b cb c a++≥1.【解析】：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为22ab ab+≥，22bc bc+≥，22ca ca+≥，故222()a b ca b cb c a+++++≥2(a＋b＋c)，即222a b cb c a++≥a＋b＋c.所以222a b cb c a++≥1.2. 【2012全国新课标，文22】选修4—1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD．(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD．而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD．3. 【2012全国新课标，文23】选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3 )．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．。
—年新课标全国卷1文科数学分类汇编—7.不等式、推理与证明
2021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7．不等式、推理与证明一、选择题x3 y 3,【 2021， 7】设 x ， y 满足约束条件xy 1, 那么 z=x+y 的最大值为〔〕y 0,A ． 0B ．1C ．2D ．3【 2021， 11】11．设 x ， y 满足约束条件x y a, ) xy且 z=x+ay 的最小值为 7，那么 a= (1,A ．-5B ． 3C ．-5 或 3D ．5 或 -3【 2021，5】 5．正三角形ABC 的顶点 A 〔 1， 1〕， B 〔 1， 3〕，顶点 C 在第一象限，假设点〔x ， y 〕在△ ABC 内部，那么zx y 的取值范围是〔〕A ．〔 13 ， 2〕B ．〔 0，2〕C ．〔 3 1 ， 2〕D ．〔0， 1 3 〕二、填空题【 2021， 16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料产一件产品 A 1kg ，用的利润为 5 个工时； 生产一件产品2100 元，生产一件产品B 需要甲材料 0．5kg ，乙材料 0．3kg ，用 3 个工时． 生B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，那么在不超过600 个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．x y 2 0【 2021,15】 15．假设 x,y 满足约束条件x 2 y 1 0 ，那么 z=3x+y 的最大值为 ．2x y 2 0【 2021， 14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ________．1 x 3,那么 z ＝ 2x － y 的最大值为 ______．【 2021， 14】设 x ， y 满足约束条件1 x y0,【 ， 14】假设变量 x ， y 满足约束条件3 2x y 9 ，那么zx 2y的最小值为 ．20216 x y92021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7．不等式、推理与证明〔解析版〕一、选择题x 3 y3,【 2021， 7】设 x ， y 满足约束条件x y 1, 那么 z=x+y 的最大值为〔〕y 0,A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【考点 】线性规划求目标函数最值问题【答案】 D【解法】如图，目标函数 z xy 经过 A(3,0) 时最大，故 z max 3 0 3 ，应选 D ．x y a,7，那么 a= ()B【 2021， 11】11．设 x ， y 满足约束条件y且 z=x+ay 的最小值为x1,A ．-5B ． 3C ．-5 或 3D ．5 或 -3解：联立 x+y=a 与x-y =-1解得交点 M (a1 , a 1) ，z 取得最值a 1aa17，解之得 a=-5或a=3． 但2222a=-5 时， z 取得最大值，舍去，所以 a=3，应选 B ．【 2021，5】 5．正三角形 ABC 的顶点 A 〔 1， 1〕， B 〔 1， 3〕，顶点 C 在第一象限，假设点〔x ， y 〕在△ ABC 内部，那么zx y 的取值范围是〔〕A ．〔 13 ， 2〕B ．〔 0，2〕C ．〔 3 1 ， 2〕D ．〔0， 13 〕【解析】正△ ABC 内部如下图，A 〔 1， 1〕，B 〔 1， 3〕，C 〔 13 ， 2〕．将目标函数 z x y 化为 yx z ，显然在 B 〔 1， 3〕处， z max1 32 ；在 C 〔 13 ， 2〕处，z min(13)2 13 ．因为区域不包括端点，所以1 3 z2 ，应选择 A ．二、填空题【 2021， 16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料1．5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时； 生产一件产品 B 需要甲材料 0．5kg ，乙材料 0．3kg ，用 3 个工时． 生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料90kg ，那么在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元．解析： 216000 ．设生产产品 A ， B 的件数分别为x, y ，获得利润为 z 元，x, y N0.5y, 150那么 x, y 满足约束条件为：90 ，,5x3y600,目标函数为 z2100x 900 y300 7x3 y ，画出满足不等式组的可行域，如下图．y 300200(60,100 )O100 x联立5x3y600 ，得 x 60，即 A 60,100 ．移动目标函数 y7 x z ， x 0.3 y90y 1003900可得到当其经过点A 60,100 时， z 有最大值 216000 ．故填 216000 ．x y 20【 2021,15】 15．假设 x,y 满足约束条件x 2 y 1 0 ，那么2x y 20解：作出可行域四边形ABC，如图．画出直线 l0： 3x+y =0，平移 l0到 l ，当l 经过点 A 时 z 最大，联立 x+y -2= 0 与 x-2y+2= 0解得交点 A(1,1)，所以 z max= 4．z=3x+y 的最大值为． 4y③2BA②-12CO xl0①【 2021， 14】 14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、 B、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ________． A解：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过 B 城市，乙说：我没去过 C 城市，∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，假设乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为 A ．1x3,那么 z＝ 2x－ y 的最大值为 ______．【 2021， 14】设 x， y 满足约束条件x y10,答案： 3解析：画出可行域如下图．画出直线2x－ y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时， z 取最大值，且最大值为z＝ 2×3－ 3＝3．3 2x y9【 2021， 14】假设变量x，y满足约束条件，那么z x 2y 的最小值为．6 x y9y【解析】在坐标系中画出可行域，如下列图．9可知当直线过点 A 时取得最小值，2x y 30A(4, 5) ，36x y 9 0由x y90O9x 可得 A 的坐标为(4,5) ，故 z x 2 y 的最小值为 6 ．A故答案为 6 ．2x y 30。
普通高级中学数学新课程标准练习题(含答案)
普通高级中学数学新课程标准练习题(含答案)一、选择题1. 若函数 $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，则 $f(-1)$ 的值为多少？- A) -4- B) -2- C) 0- D) 2答案：A) -42. 已知函数 $g(x) = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - 2x$，则$g'(x)$ 等于下列哪个？- A) $x^2 + \frac{1}{2}x - 2$- B) $x^2 + \frac{1}{2}x + 1$- C) $3x^2 + \frac{1}{2}x - 2$- D) $3x^2 + \frac{1}{4}x - 2$答案：C) $3x^2 + \frac{1}{2}x - 2$3. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前五项分别是 $1, 3, 5, 7, 9$，则$a_{10}$ 的值是多少？- A) 17- B) 18- C) 19- D) 20答案：C) 194. 若 $x+y=5$，且 $x^2+y^2=17$，则 $xy$ 的值是多少？- A) 4- B) 5- C) 6- D) 7答案：A) 4二、填空题1. 设 $a=3$，则方程 $2x^2 - ax + 5 = 0$ 的解为$\underline{\quad\quad}$ 和 $\underline{\quad\quad}$。
答案：$x=1$ 和 $x=\frac{5}{2}$2. 已知 $a$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前项，$d$ 是公差，若$a_5 = 10$，$a_{12} = 22$，则 $d$ 的值为 $\underline{\quad\quad}$。
答案：$d=2$3. 函数 $f(x) = \sqrt{x+3}$ 的定义域为 $\underline{\quad\quad}$。
答案：$[-3, +\infty)$4. 若 $A$ 是一个 $3\times3$ 的矩阵，且 $|A| = 4$，则 $|2A|$ 的值为 $\underline{\quad\quad}$。
普高数学新课程标准的练习题(包含答案)
普高数学新课程标准的练习题(包含答案)一、整式的加减1. 化简下列整式，并写出结果的最高次项的系数：a) $3x^2 + 5x - 2x^2 + 4$b) $(4x^3 - 2x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 2x^2 - 5x + 2)$2. 计算下列整式的值：a) $2x^2 - 3x + 4$，当$x=2$时；b) $3x^3 - 4x^2 + 2x - 5$，当$x=-1$时。
二、一次函数1. 已知函数$y=3x-2$，求：a) 函数的斜率；b) 函数在点$(2, 4)$处的值；c) 函数与$x$轴的交点。
2. 函数$f(x)$的图象经过点$A(1, -3)$和点$B(3, 1)$，求函数$f(x)$的解析式。
三、平面向量1. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求：a) $\vec{a} + \vec{b}$；b) $\vec{a} - \vec{b}$；c) $2\vec{a} - 3\vec{b}$。
2. 已知向量$\vec{a} = (3, -2)$，$\vec{b} = (-1, 5)$，求向量$\vec{c}$使得$3\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$。
四、三角函数1. 化简下列三角函数的值：a) $\cos^2x - \sin^2x$；b) $\sin^2x + \cos^2x - 2\sin^2x$。
2. 已知$\sin\alpha = \frac{1}{2}$，$\cos\beta = -\frac{3}{5}$，$\alpha$和$\beta$都是锐角，求$\sin(\alpha + \beta)$的值。
五、平面几何1. 已知$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^\circ$，$AB = 5$，$BC = 12$，求$\sin\angle BAC$的值。
高考数学真题汇编16 选考内容 文解析 试题
2021高考试题分类汇编：16：选考内容创 作人：荧多莘 日 期： 二O 二二 年1月17日1.【2021高考文15】〔不等式选做题〕假设存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，那么实数a 的取值范围是 .【答案】42≤≤-a .【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的间隔 之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的间隔 之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时间隔 和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，那么3|1|≤-a ，解得42≤≤-a .2.【2021高考文15】〔几何证明选做题〕如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，假设6AB =，1AE =，那么DF DB ⋅= .【答案】5.【解析】5,1,6=∴==EB AE AB .连接AD ，那么AED ∆∽DEB ∆，BE DE DE AE =∴, 5=∴DE , 又DFE ∆∽DEB ∆,DBDE DE DF =∴,即52==⋅DE DB DF . 3.【2021高考文15】〔坐标系与参数方程〕直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的间隔 为21211=-，所以弦长为3)21(122=-. 4.【2021高考文科13】如图，AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,那么线段CD 的长为 .【答案】34 【解析】如图连结BC ，BE ，那么∠1=∠2，∠2=∠A1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ∆∴∽AB C ∆，AC CF AB CB BC BF ABCB ==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 5.【2021高考文11】某制药企业为了对某种药用液体进展生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.准确度要求±1℃.用分数法进展优选时，能保证找到最正确培养温度需要最少实验次数为_______.【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】此题考察优选法中的分数法，考察根本运算才能.6.【2021高考文10】在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，那么a =_______.【答案】2【解析】曲线1C1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程 222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a值相等，由0,2y x ==，知a＝2. 【点评】此题考察直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考察转化的思想、方程的思想，考察运算才能；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.7.【2021高考文14】〔坐标系与参数方程选做题〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数，02πθ≤≤〕和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩〔t 为参数〕，那么曲线1C 和2C 的交点坐标为 .【答案】(2,1)【解析】曲线1C 的方程为225x y +=〔0x ≤≤，曲线2C 的方程为1y x =-， 由2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或者1x =-〔舍去〕，那么曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1). .8【2021高考文15】〔几何证明选讲选做题〕如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ， D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 假设AD m =，AC n =，那么AB = .【答案】mn 【解析】由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，那么△ABD ∽△ACB ，AB AD AC AB=，那么2AB AC AD mn =⋅=，即AB mn =. 9.【2021高考文24】(本小题满分是10分)选修4-5：不等式选讲()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤的解集为{|2x -≤1x ≤｝。
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C. 选修 4 - 4：坐标系与参数方程
1 x t t 已知曲线 C 的参数方程为 , （t 为参数， t 0 ）.求曲线 C 的普通方程. 1 y 3(t ) t
D. 选修 4 - 5：不等式选讲 设 a≥ b ＞0,求证： 3a 3 2b 3 ≥ 3a 2b 2 ab 2 . 模式六（天津卷） 2009 年天津卷 11（5 分）如图， AA1 与 BB1 相交于点 O， AB // A1B1 ，
且 AB A1B1 ，若 AOB 的外接圆的直径为 1，则 A1OB1 的外接圆的直径为
1 2
.
x 1 பைடு நூலகம்t , （ t 为参数）与直线 4 x ky 1 垂直，则常数 y 2 3t
k=______.
15．(几何证明选讲）如图，点 A 、B、C 是圆 O 上的点，
AB=4,∠ACB=30°,则圆 O 的面积等于
模式三（江苏卷）
.
2008 年江苏卷：从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分． A．选修 4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于 点 E，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D．求证： ED 2 EB EC ． B．选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中， 设椭圆 4 x 2 y 2 1 在矩阵 A= 线 F，求 F 的方程． C．选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy 中，P (x , y ) 是椭圆 D．选修 4—5 不等式证明选讲 设 a，b，c 为正实数，求证：
B 60 ，F 在 AC 上，且 AE AF .
(1) 证明：B,D,H,E 四点共圆； (2) 证明： CE 平分 DEF . 23、 （满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 :
x 4 cos t y 3 sin t
（t 为参数） ，C 2 ：
高考数学课程标准卷（文科）选做题考什么？怎么考？
编者按 增设选做题是高考数学课程标准卷的一大特点，而且出现了 3 种不同的模式. 为了帮助吉林、 北京、 黑龙江、 陕西、 湖南等省市应对 2010 年的数学高考， 我们将 2007—2009 年高考数学课程标准卷的选做题汇编于下，供考生们参考. 模式一（宁夏、海南卷） 2007 年宁夏、海南卷：请考生在 A、B 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一 题记分. A.（满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，已知 AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于 B、C 两点，圆 心 O 在∠PAC 内部，点 M 是 BC 的中点. (1) 证明 A，P，O，M 四点共圆； (2) 求∠OAM+∠APM 的大小. B. （满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 4cos , 4sin . (1) 把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过⊙O1，⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 2008 年宁夏、海南卷：考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一 题记分. 22、 （满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 作直线 AP 垂直直线 OM，垂足为 P. (1) 证明：OM·OP = OA ； (2) N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点,过点 B 的切线交直线
2
ON 于 K.证明：∠OKM = 90°.
23、 （满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
2 t 2 x x cos 2 已知曲线 C1： ，曲线 C2： (t 为参数）. ( 为参数） 2 y sin y t 2
(1) 指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； (2) 若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C1 ' ，C2 ' .写出 C1 ' ，
1 1 1 + abc ≥ 2 3 a 3 b3 c 3
2 0
0 对应的变换作用下得到曲 1
x2 求 S x y 的最大值． y 2 1 上的一个动点， 3
2009 年江苏卷：在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ，每小题 10 分，共 20 分. ．．．．．． A. 选修 4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形 ABCD 中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD. B. 选修 4 - 2：矩阵与变换 求矩阵 A
C2 ' 的参数方程. C1 ' 与 C2 ' 公共点个数和
C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由.
2009 年宁夏、海南卷：考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所 做的第一题记分
22、 （满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已知△ ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H，
π 3 ，则点 2， 到直线 l 6
x 3 2t , ， Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3： 2 y 2 t
15． （几何证明选讲）如图所示，圆 O 的直径 AB 6 ，O 为圆周上一点，
BC 3 ．过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于
π
则曲线 C1 与 C 2 交点的极坐标为
．
14.（几何证明选讲）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A， PA 2 ． AC 是圆 O 的直径，
PC 与圆 O 交于点 B， PB=1，则圆 O 的半径 R=
．
2009 年广东卷：14~15 是选做题，每小题 5 分，考生只能选做一题 14． （坐标系与参数方程）若直线
x 8cos , （ 为参数）. y 3sin
(1) 化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= （t 为参数）距离的最小值. 24、 （满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原 点 的距离，y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1) 将 y 表示成 x 的函数； (2) 要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？ 模式二 （广东卷） 2007 年广东卷：14~15 是选做题，每小题 5 分，考生只能选做一题，二题全答的，只 计算前一题得分 14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 的距离为 ．
点 D, E，则 ∠DAC
．
2008 年广东卷：14~15 是选做题，每小题 5 分，考生只能选做一题 13 ． （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 ） 已 知 曲 线 C1， C 2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 cos 3 ，
4cos ≥ 0， 0 ≤ ， 2