数学物理方法-分离变量法

•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
0,
u ( x,0)
(x),
u ( x,0) t
(
x),
0 x l,t 0 t0 0 xl
▪分离变量 u(x,t) X (x)T (t) X X 0 T a2T 0
▪求特征值和特征函数
n n / l2
X n (x)
Bn
X
(0)
0,
X (l) 0
2 0
X 2 X 0
X (x) Ae x Be x
X (0) A B 0 X (l) A el B el 0
AB0
0
X 0
AB0 2 0 X 2 X 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
X (x) Acosx Bsin x
t
令 u(x,t) X (x)T (t)
带入方程： X (x)T ''(t) a2 X ''(x)T (t)
令
X ''(x) X (x)
T ''(t) a2T (t)
X ''(x) X (x) 0 T ''(t) a2T (t) 0
带入边界条件 X (0)T (t) 0, X (l)T (t) 0
2u u(t02,
t)
104
2u x2
,
u(10,t)
0,
0 x 10,t 0 t 0
u ( x,0)
x(10 x) 1000
,
u ( x,0) t
0,
0 x 10
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT 104 X T
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
•基本思想：
首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后
由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件
确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
2 0
X 2 X 0
X (x) Ae x Be x
X (0) A B 0 X (l) Ae10 Be10 0
AB0
0
X 0 AB0
2 0 X 2 X 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
X (x) Acosx Bsin x
X X
1 104
T
T
X X 0
u(10,t) X (10)T (t) 0 X (10) 0
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
T 104T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0, 0 x 10
X
(0)
0,
X (10) 0
,
u(10,t)
0,
ห้องสมุดไป่ตู้
0 x 10,t 0 t 0
uu(xn,u01)((xC,0nx)c(11o00sn01010Cxn)n,tsinuD(1x0tn,ns0i)nx100n,x(11t0)00s0i0nxxn1)01x0
Cn
2 10
10 x(10 x) n
sin
0 1000
10
xdx 1 5000
cos (2n 1) a
2l
t sin
(2n 1)
2l
x
2u
t
2
a2
2u x2
,
u(0, t )
0,
u(l , t ) x
0,
u(x, 0)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
若l=1,a=10时 的震动。
l
Dn sin
na t) sin
l
n
l
x
u( x, t ) t0
u(x, 0)
Cn
n1
sin
n
l
x
(x)
u ( x, t )
t
t0
Dn
n1
n a sin
l
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
l 1 cos 2n / l l
dx
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
n
n2 2
l2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
X X 0, 0 x 10
X
(0)
0,
X (l) 0
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0, 0 x l
u ( x,
0)
x2
2lx,
u ( x, t
0)
0,
0 x l,t 0 X X 0
T a2T 0
t0 0 xl
n (2n 1)2 2 / 4l 2
Xn (x)
Bn sin
(2n 1)
2l
x
T a2T 0
Tn
(2n
1)2
4l 2
2a2
Tn
0
Tn
Cn
cos
(2n
1) a
2l
t
Dn
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
X ''(x) X (x) 0
T ''(t) a2T (t) 0
n
Xn
n2
l2
2
(x) Bn
(n 1, 2,
sin n x
l
3,L )
(n 1,
2,
3,L
n at
n at
Tn (t) C 'n cos l D 'n sin l (n 1, 2,3,L )
0
2l
xdx
32l 2
(2n 1)3 3
u(x, 0)
t
n1
Dn
(2n 1) a
2l
sin
(2n 1)
2l
x
0
Dn 0
32l2 1
(2n 1) a (2n 1)
u 3 n1 (2n 1)3 cos
2l
t sin
x
2l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
32l
3
2
n1
1 (2n 1)3
第2章分离变量法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例2求下列定解问题
2u
t
2
a2
2u x2
,
u(0, t )
0,
u(l , t ) x
0,
u(x, 0)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
un (x,t0 )
An
cos(nt0
n )sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
sin n x
l
n
2 n
l
l
fn
n 2
na 2l
v
fnn
na 2l 2l n
a
T
驻波法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为 (x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
un (x,t)
(Cn
cos
n a t
l
Dn
sin
n a
l
t ) sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
u(x,t) un (x,t) n1
(Cn
n1
cos
n a
l
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
(Cn
n1
cos na t
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
sin
(2n
1) a
2l
t
n 1, 2,3,L
un X nTn
(Cn
cos
(2n 1) a t
2l
Dn
sin
(2n 1) a t)sin
2l
(2n 1)
2l
x
u
un
n1
(Cn
n1
cos (2n 1) a t
2l
Dn sin
(2n 1) a t) sin
2l
(2n 1)
2l
x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
(Cn
n1
cos
(2n
1)
2l
a
t
Dn
sin
(2n 1) a t) sin
2l
(2n 1)
2l
x
初始条件
u(x, 0) x2 2lx, u(x, 0) 0 t
u(x, 0)
Cn sin
n1
(2n 1)
2l
x
x2
2lx
Cn
2 l
l (x2 2lx)sin (2n 1)
X (0) A 0
X (10) B sin10 0
n n /10, n 1,2,3,
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
n n 2 2 /100
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
104 u
2u x2
,
(10, t )
0,
u ( x,0)
x(10 x) 1000
10
n
x(10 x)sin
0
10
xdx
2
5n3
3
(1
cosn
)
0， 4
5n3 3
，
n为偶数 n为奇数
u(x,0)
t
n1
Dn
na sin
l
n
l
x
0
Dn 0
u
4
cos10(2n 1)t sin (2n 1) x
n1 5(2n 1)3 3
10
数学物理方程与特殊函数
弦的振动
振幅放大 100倍，红 色、蓝色、 绿色分别为 n=1,2,3时 的驻波。
sin
n
l
x
▪求另一个函数
▪求通解 u un
n 1
Tn Cn
X nTn
n 1
cos
na
l
t
Dn
sin
na
l
t
na
(Cn cos
n1
l
t Dn sin
na t) sin
l
n
l
x
▪确定常数
Cn
2 l
l (x) sin n
0
l
xdx
2
Dn na
l
(x)
sin
n
0
l
xdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
X (0) 0, X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ''(x) X (x) 0 X (0) 0, X (l) 0 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条
件下的求解问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值
特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解
分情况讨论：
un
X nTn
Bn
sin
n
10
x(Cn
(Cn cos10nt
cos10nt Dn sin10nt)
Dn
sin 10nt ) sin
n
10
x
u
un
n 1
(Cn
n 1
cos10 nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
104
2u x2
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
x=x0时：
un (x0,t)
An
sin
n
l
x0
cos(nt
n )
t=t0时：
1） 0
X (x) Ae x Be x
AB 0
AB0
Ae l Be l 0
X 0
2） 0 X (x) Ax B
AB0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x) Acos x Bsin x
A0
B sin l 0
n (n 1, 2,3,L )
l
n2 2
l2
X (0) A 0
X (l) B cos l 0
n (2n 1) / 2l, n 1, 2,3,L
n (2n 1)2 2 / 4l 2
Xn (x)
Bn
sin
(2n 1)
2l
x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u
t
2
a2
2u x2
,
u(0,
t)
0,
u(l , t ) x
0,
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
xdx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l
n
0 Cn sin n1
l
x sin m
l
xdx
l 2
Cm
Cm
2 l
l (x)sin m
0
l
xdx
2
Cn l
l (x) sin n
0
l
xdx
Dn
2
na
l
(x)
sin
n
0
l
xdx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
,
u ( x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t 0 0 x 10
n
X X 0 T 104T 0
n n2 2 /100 , n 1,2,3,
X n (x) Bn sin 10 x
T 104T 0
Tn 100 n2 2Tn 0
Tn Cn cos10nt Dn sin10nt