§3 指数扩充及其运算性质2
高中数学3-2指数扩充及其运算性质北师大版必修-2022年学习资料
重点难点点拨-重点：有理指数幂的概念及运算法则-难点：根式概念与分数指数幂的概念理解，实数指数幂的-意义. 粥
本节公式多，但应注意其联系，同时要在理解的基础上-认识并掌握基本概念.-一、分数指数幂-1.概念：给定正实 a,-对于任意给定的正整数m,n,-存在唯一的正实数b,使得b=4”,我们把b叫作a的次幂，-记作b=a” 它就是分数指数幂-a为正数，m,n为正整数，那么a"
命题方向-整数指数幂的运算-「例1]-北g今+。-ab-a b-I-[分析]●化简这类式子，一般有两种方法 一是首先用负-指数幂的定义把负指数化为正整数指数；二是运用整数指数-幂的性质把负指数化为正整数指数.-※
[解析]解法一：原式=-dbilgitbi-a2-b-a2b2a2b2-a2b2-aba-a"b-b--a ab a b-ab2+ab-B-ad2g2-162-1-ab4-1-a2b2+1-a2b2a2+b-a2+ .d2b2-2-b2+l-a2b4-1-a2+b2a2b2-1,a2b2-a2-b2+1-db2+1a2b 1a2b2+1
粥-器-变式训练1-化简下列各式.-122³3³42;-2ab1分：-8623b-9a2b3-幽
解折022³3X平=³1³16=4-②abg-a'a'uby-2xaxg-g--8原式多1-9-a2b34-12b33=--3.-器-幽
命题方向-分数指数幂的运算-[例2]-求下列各式的值-2）+a.1+20-0.5-23-3m°+3-8-2 .064专--日+[-2]号+165+-1-0.01-8总+002+-105-2+E-5°.-[分析]负化 、大化小，根式化分数指数幂，小数化-分数，是化简运算常用技巧：
精 品 教 学 设 计3.2.2指数扩充及其运算性质第二课时
精 品 教 学 设 计§2指数扩充及其运算性质教学过程：（第二课时） 一、复习引入：正整数指数幂运算性质(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅ (4)mm n n a a a-=(5)nnn a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、讲解新课：实数指数幂运算性质当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.并且可归纳为三条：(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅三、讲解例题：例1 化简（式中字母均为正实数）：1(1)3);(2)()(4).x x y y ααα- 解：(1)3)(32)6;x yz ⨯=＝11(2)()(4)444.x y y xy y xy x ααααααααα⋅---=⋅⋅==22103,10 4.(1)10;(2)10αββα-==已知求的值的例2.幂的形式.112222221042(1)101039ββαα-===（解：；（）()11221122422411222(10)1043)1010210.10410βαβααβββ-⎡⎤⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦====（（例3．化简41332233814a a bb a⎛-÷-⎝+()413322331111333321121333338148242a a bb aa ab a bab a b a a⎛-÷-⎝+--=÷⨯++解：3311133311332112113333332422a a baab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⋅⋅++-111211233333331133211211333333242422a ab b a b aaab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++-111333.a a a a=⋅⋅=四、练习：1. 化简与计算：())211323(2)30.002102.8---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1671;(2).9xy -解：（） 1. 已知11223,a a-+=求下列各式的值：1133224422(1);(2);(3).a a a a a a ---+-+ ()21111222221(1)2,7.247.a a a a a a a a a a -----⎛⎫+=++∴+= ⎪⎝⎭∴+=+-=解： 2111111442244(2)21, 1.a a a a a a ---⎛⎫-=+-=∴-=± ⎪⎝⎭ ()331112222(3)118.a aa a a a ---⎛⎫+=+-+= ⎪⎝⎭2. 对于正整数a, b ,c (a ≤b ≤c )和非零实数x ,y ,z, w.若1111701,,x y z w a b c w x y z===≠=++且求a,b,c 的值. ()11111111170,70.70,70.111170,,70257,2,5,7.x wyw xwzx y zwa a c abc w x y zabc a b c ++=∴===∴==++∴==⨯⨯===1w解： 同理b 又 故五、小结：本节课学习了以下内容： 1.指数幂运算性质；2.指数式及根式的化简和计算. 六、课后作业：。
高中数学同步课堂名师章节精讲：3.2指数扩充及其运算性质(北师大)Word
［读教材·填要点]1．分数指数幂(1）定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n（m，n互素），存在唯一的正实数b,使得b n＝a m,把b叫作a的错误!次幂，记作b＝a错误!，它就是分数指数幂．(2)几个结论：①正分数指数幂的根式形式:a错误!＝错误!(a>0）．②负分数指数幂的意义:a－mn＝错误!(a〉0，m，n∈N＋，且n〉1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．2．指数幂的运算性质若a〉0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：（1)a m·a n＝a m＋n;（2)(a m)n＝a m·n；（3)(ab)m＝a m b m．［小问题·大思维］1．若b2＝53，则b＝5错误!,b叫作5的错误!次幂吗？提示：不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的错误!次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数m,n互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a错误!中，底数a∈R,当a＜0时,a错误!＜0，而如果把a错误!写成a错误!，有两种运算：一是a错误!＝(a错误!)2就必须a≥0；二是a错误!＝（a2)错误!，在a＜0时，a错误!的结果大于0，与a错误!＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．3．分数指数幂a错误!可以理解为错误!个a相乘,对吗？提示：分数指数幂a错误!不可理解为错误!个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a错误!＝(错误!)m＝错误!（a>0，n、m∈N＋，且错误!为既约分数）,a－错误!＝错误!＝错误!＝错误!(a>0，n、m∈N＋，且错误!为既约分数)．[研一题][例1] 用分数指数幂表示下列各式．（1）错误!（a＞0）；(2）错误!；（3）(错误!)－错误!(b＞0)．［自主解答］（1）原式＝错误!＝错误!＝（a错误!)错误!＝a错误!；（2)原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝x－错误!；（3)原式＝[(b－错误!）错误!］－错误!＝b（－错误!）×错误!×（－错误!）＝b错误!。
指数扩充及其运算性质PPT.
[解析]
根式的化简与求值
[例 3] 化简下列各式的值：
5 (1)
－25；(2)4
3－π4；
3 (3)
a3；(答本题可根据
n an＝|aa|n为n为大大于于1的1的偶奇数数 化简．
[分析] 从已知条件中解出 a 值代入后进行求值，显然 很繁琐，我们设法利用整体之间联系去求解．
化简下列各式．
(1)2－2×30×42；
(2)(ab)－1·(ab)3；
a－3·b－2·－3a2b－1
(3)
9a－2b－3
分数指数幂的运算
[例 2] 求下列各式的值
中毒程度及预后的估计：与蛇毒性和注入机体的毒量有密切关系。分为轻度、中度、重度、危型。预后关键取决于人体内因。 小提示85：为每一个应聘者建立一份单独的档案。 （1）不接触高于36伏的低压带电体，不靠近高压带电体。 2．冰山理论——显性和隐性 两种类型的触电： 1、 让学生了解良好饮食卫生习惯的意义； 1.3.6刊登广告需要注意的法律问题 同学们，今天我们一起来学习了什么是食物中毒以及食物中毒后怎么办.希望同学们能学以致用，防止食物中毒。 决定是否面试一位应聘者之前，首先要看其工作经历是否符合要求。 你喜欢团队工作还是独立工作？ 因为你招聘的是胜任某一特定工作的人，所以你需要将应聘者的能力与工作的具体要求进行对比。如果需要测试应聘者，应仔细考虑 测试的方面，而且测试与实际工作越接越好。 四、教师总结：提高警惕，注意安全
二、分数指数幂与根式的互化
m
1．正分数指数幂 an (a>0，m、n∈N＋，n>1)也可写成根
式形式n am，它们的含义是一样的．
2．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相
m
指数扩充及运算性质
指数扩充及运算性质
【必修1】第三指数函数和对数函数
第二节指数扩充及运算性质
学时：1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读本．
2.回答问题
（1）本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？
（2）层次间的联系是什么？
（3）分数指数幂的意义是什么？实数指数幂的运算性质有哪些？
3.，练习
4.小结.
二、方法指导
1．阅读本节内容时，同学们应先回忆初中所学的整数指数幂的运算法则，从而将整数指数幂扩充到分数指数幂，得到分数指数幂的运算法则.
2．阅读本节内容时，同学们应注意分数指数幂与根式指数幂只是形式不同，二者可以互化.
【思考引导】
一、提问题
1.在上节中，臭氧含量Q与时间存在指数关系，而本只讨论了指数为正整数的情况，如果当时间是半年或5年零3个月，即指数是分数时情况又怎么样？
1．你能说说正分数指数幂和负分数指数幂之间如何联系吗，负分数指数幂又如何化成根式指数幂的形式呢？
2．试说说的结果是什么？
二、变题目
1．求值（1）（2）
（3）（4）
2．设，则
3.设，化简式子的结果是（）．
A．B．C．D．
4．当1x3时，化简的结果是
5．已知求的值．
【总结引导】
1.实数指数幂的3条运算性质：
2.分数指数幂与根式指数幂互化的步骤：
【拓展引导】
1.外作业：习题3-2A组3，4B组2，4
2.外思考：
1．化简
2．若=25，则
参考答案
【思考引导】
二、变题目
1．（1）4（2）（3）（4）；2．8；
3．A；
4．2；
5．
【拓展引导】
1.
2.。
3.2.1 指数概念的扩充
§3.2指数扩充及其运算性质教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时§3.2.1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．新知探究提出问题学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝1a n(a≠0)；a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a mn；(a n)m＝a mn；(ab)n＝a n b n.其中n，m∈N＋. (2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2105a =，②a 8＝82a，③124a，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)． 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-==a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即m na =a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m na=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？如13(1)-=1，26(1)-＝6－2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质：(1)a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )，(3)(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1 求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式的b .(1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b －5n ＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)． 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3 计算下列各式：(1)1327； (2)324.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4 计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==课堂练习：P66课堂小结：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1mnmnaa-=＝1na m(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．课后作业：P68习题3—2 A组1,2,3,4.。
必修一：3.2指数扩充及其运算性质
无理数)是一个确定的实数．
栏目 导引
第三章 指数函数和对数函数
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无 理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实 数了． 做一做
3.化简：① 4 3 × 5 3 ＝________.
5
② 3 5 5 ＝________.
栏目 导引
第三章 指数函数和对数函数
解析：① 4 3 × 5 3 ＝(4×5) 3 ＝20 3 ；
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (2 －
3)0.
栏目 导引
第三章 指数函数和对数函数
解：(1)3 a3＝a.
4 (2)
3－π4＝|3－π|＝π－3.
(3)原式＝(－1)－23(338)－23＋(5100)－12－ 51－0 2＋1
＝(287)－23＋50012－10( 5＋2)＋1
＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
栏目 导引
第三章 指数函数和对数函数
【解】
(1)原 式 ＝ (34×3
41 32
)
1 4
4 2
＝(3 3
)
1 4
＝
14 1
7
3 3 4 ＝3 6 .
(2)原式＝2×312×(32)13×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16
＝2×3＝6.
3
1
7
31 7 7
(3)原式＝(52×55)÷(52×510)＝52＋5－2－10＝55.
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂 a n
不是m个 n
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
数学高一-(教案1)3.2指数扩充及其运算性质
m n n ma ,m n 1,m n 1m n a --⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪<⎩当 时 当时当 时3.2指数扩充及其运算性质一、教学目标：1、知识与技能：（1） 在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2） 能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、 过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。
教学难点：整数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程 （一）新课导入[互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果： na =0a = 1（a ≠0）n a -= （a ≠0,n ∈N+）[互动过程2]你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：m,n N +∈（1）．m n a a = ；m n a + （2）．m n (a )= ；mn a （3）．n (ab)= ；n n a b （4）．当a 0≠时,有mn a a =（5）．n a ()b = nn a b (b 0)≠ (二)、例题探析与巩固训练例1．（1）求值3583321025⨯⨯ （2）化简3222m n 1()mn m n ⨯ 解：（1）225522558383832323225325922510(25)25252524⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===⨯ （2）3264262242122222m n 1m n 1()m n m nmn m n m n m n ----⨯=⨯==练习1：化简（1）2423(ab )(a b) （2）()232324x y x y x y[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？个naa a a⋅⋅⋅例2．计算：5733-⨯和5(7)3+-,并判断两者之间的关系解：55777523111333339--⨯====5(7)22113339+--===由此看出5733-⨯=5(7)3+- 练习2．（1）计算：23(2)- 和 62- （2）化简2431(m n)(m n)(m n)(m n)--+-⨯-+看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有m n a a =m na +（m,n N ∈）n 1n n na ()(ab )a b b--=⋅=⋅=n n a b ,这样就可以把（5）n a ()b =n na b 就可以统一到性质（1）m n a a =m n a +（m,n N ∈）了,（4）中的三种情况也可以统一为mn a a=m na -与（1）合并． 这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：a 0,b 0,m,n Z ≠≠∈（1）．m n a a =m n a + （2）．m n (a )=mn a （3）．n (ab)=n n a b [互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若a 0>,那么na 0 (n Z)∈．2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若a 1>,则na 1；（2）若0a 1<<,则n a 的范围为 (n N )+∈．3．在a 0>的情况下,（1）如果()n a 1n N +>∈,那么a 1>成立吗？（2）如果()n a 1n N +<∈,那么a 1<成立吗？练习3．（1）比较23-与1的大小．（2）比较3(m n)--与0的大小（其中m n >）例3．计算：（1）302[()]3；（2）11(7)--；（3）3411()()33-⨯ 解：（1）302[()]13=；（2）11(1)(1)(7)77---⨯-==；（3）343411111()()()()33333---⨯===例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(a,b 均不为零）：（1）3213a b (2ab )-；（2）322123a b (3a b )9a b ------；（3）34320(a b)(a b)[](a b)(a b)--+--+(a b 0,a b 0)+≠-≠解：（1）632133233(1)33323618a a b (2ab )a b (2a b)8ab8a b b --⨯+--====；（2）322132(2)2(1)(3)023a b (3a b )31aa b ab 9a b 933----+---+------=-=-=-； （3）34334(2)336320(a b)(a b)[][(a b)(a b)][(a b)(a b)](a b)(a b)------+-=+-=+--+ 189189(a b)(a b)(a b)(a b)--=+-=+练习4：（1）化简(21)(21)2222k k k -+----+（2）．求61()2-（3）．化简：122121(2)()248n n n ++-⋅解：（1）(21)(21)2(21)1(21)2(21)(21)(21)222222222k k k k k k k -+-++-++-+-+-+-+-+=-⋅+⋅=-（2）6161(6)1()(2)2642----⨯-===（3）122122(21)1(26)72226261(2)()22222248222+++-+------⋅⋅====⨯n n n n n n n n n（三）、小结:本课在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算，要求：（1）理解和掌握负整数指数的概念及运算；（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． （四）、五、教学反思：。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.1 指数扩充素材 北师大版必修1
3.2.1 指数扩充简单的指数方程1.指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.2.类型与解法：例1.解方程：2142x x -= ⇒ 13x =-.例2.解方程462160x x -⋅-=⇒3x =.要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 含量的衰变经过5570年（14C 的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.若14C 的原始量为a ，则经过x 年后的残余量'a 与a 之间满足'kx a a e-=⋅. 测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C 的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）.解由'kx a a e -=⋅，得'kx a e a-=. 两边取对数，得'lna kx a =- . ① 又知14C 得半衰期试5570年，即5570x =时，'12a a =， 所以 1ln 55702k =-则 557012k e -⋅=⇒1lnln 2255705570k =-= 又'5570ln 5570ln 0.7672132ln 2ln 2a a x ⨯=-=-≈ 由此可知马王堆古墓约是2100多年的遗址.小结类型与方法：1. 化为同底的幂：()0,1a a a a αβ=>≠的指数方程⇔αβ=；2. 换元法：()()()()()22000f x f x A a B a C At Bt C t ++=⇒++=>注意()f x a 0>对最后根的取舍. 3. 取对数法：()f x a b =()()log 0,1a f x b a a ⇒=>≠。
【高中课件】北师版高中数学必修一3.2.2指数扩充及其运算性质课件ppt.ppt
5
10 a2
10 5
a a a 2 3
12
4
12 3
ÙÔ ´¿ ÂÏ æà ¸¼ ö¸ ± ä ÎÐ º£
(25 )2 210
210 25 ȣ 5 10
10
210 2 2 £¡
2
12
15
3 312 3 3 £ 3 315 3 3 £
x 1
（2） 7 x 3
=
3 (x>0)
7
ab
(3)
4 (a b)3
=
1
3
(a b) 2 (a b) 4
条件求值证明问题
例2
已知
1
a2
1
a 2
4
，求下列各式的值
（1） a a 1
3
3
a2 a 2
（2） 1
1
a2 a 2
练习（变式）设 x3 x3 2求x x1 的值。
例(13)8求32值：(82323、) 32 1002312、32 (2142)
3、
=4
(16 81
)
3 4
.
1
(2)100 2 =
1 1 1
1
100 2
1
(10 2 ) 2
10
(3)
(
1 4
= )3
(2-2)-3
=
2(-2)(-3)
=
26
=
64
(4)(16 81
)
3 4
根指数
na
被开方数
a＞0
根式
4） n an 的运算结果如何？
当 n 为奇数时，n an = a ； ( a ∈ R )
人教版高中数学必修第一册3.2指数扩充及其运算性质
答案 因为指数已扩充为实数，故有aamn＝am·a－n＝am－n. 既不必再区分 m、n 的大小，也不必区分 am·an 和aamn了.
一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn.其中m，n∈R.
答案
知识点二 实数指数幂的化简
思考
第三章 指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算性质
学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 2.理解实数指数幂的运算性质； 3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 实数指数幂的运算性质
思考1 在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
方法二 因为ab＝ba，b＝9a， 所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a， 所以 a9＝9a，a8＝9，a＝4 3.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 3 已知 67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值.
3
4
解 由67x＝33，得 67 3x , 603y＝81得 603 3 y ,
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：
(1)a2· a；
解
a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2;
(2)a3·3 a2；
解
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3;
(3) a a；
高中数学课件-第三章 指数扩充及其运算性质2
b－4 a－2；
(2)14－2＋61 6－13＋
3＋ 3－
22＋4·－ 263.
12
11
【解】 (1)原式＝(a2·b3)－3÷[b－4(a－2)2]2
3
1
＝a－2·b－2÷(b－2·a－2)
31
＝a－2＋2·b－2＋2
＝a－1·b0＝1a.
(2)
原
式
＝
(2－
2)
－
2＋
(6－3 2)ຫໍສະໝຸດ －1 3＋
1
(32
(3)aa3212－－aa－－3212.
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分 数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数 幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说 明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采 用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
＋
1
22
)2
－
4×18
3
1
1
1
×62＝24＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
【名师点睛】 进行指数运算时，要化负 指数为正指数，化根式为分数指数幂，化 小数为分数运算，同时还要注意运算顺序 问题．
[研一题]
[例3] 已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
指数幂的运算性质
【提示】 (1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn； (3)(a·b)m＝am·bm；(4)aamn＝am－n( a0)
合作探究一 1. a3 (a>0)的值是( )
a·5 a4
【解析】
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.2 指数运算的性质教案3
高中数学第三章指数函数和对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.2 指数运算的性质教案3 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.2 指数运算的性质教案3 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章指数函数和对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.2 指数运算的性质教案3 北师大版必修1的全部内容。
3。
2.2 指数运算的性质教学目的：巩固根式和分数指数幂的概念和性质,并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算教学重点：利用指数运算性质进行化简,求值。
教学难点：指数运算性质的灵活运用课时安排:2课时教学过程：一、复习巩固:总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立，本节课我们一起来看看他们满足什么运算性质。
先回顾正整数指数幂的运算性质()()m n m nm n mnn n n a a a a a ab a b +⋅===⋅ 当(),01,,m n n n m a n a a a ---⎧〉⎪≠=⎨⎪〈⎩m 当m 时a 时，有当m=n 时当m n 时 ()nn n a a b b= 其中m ，n ∈N +实际上，当a ＞0，b ＞0时,对任意的m ，n 都满足上述性质，我们可以把上述五条归纳为三条:(1)(2)()(3)()m n m nm n mnn n n a a a a a ab a b +⋅===⋅二、新课讲授学生看书67页例1例2 化简(式中字母均为正实数）:（1）3)x (2）1()(4)x y y ααα-解 （1）3)x=326yz ⨯=（）（2)11()(4)444x y y x y y xy x ααααααααα⋅---=⋅⋅==学生练习68页练习 1例3 已知25103,104,101010βαβαβαβα--==+求10，，，解 1010103412αβαβ+=⨯=⨯=10310104ααββ-==222110(10)39αα---===1155510(10)4ββ==学生练习68练习 21．思考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2 指数扩充及其运算性质
【使用说明】
1.课前认真阅读并思考课本P66-69页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前用红笔做出标记。
2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。
【学习重点】 幂的运算性质
【学习难点】 幂的运算性质的运用
【学习目标】
1.识记幂的运算性质，具有灵活运用运算性质解决问题。
2.通过幂的运算性质的学习，让学生体会分类讨论、换元和归纳总结的数学思想。
3.我在五中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
一、问题导学
1．实数指数幂的运算性质
当a>0,b>0时，对于任意的R n m ∈, 实数指数幂满足下列运算法则：
（1）=∙m n a
a 。
（2）=n m a )( 。
（3）=n a
b )( 。
思考：
（1）=n ab )(n n b a ∙，若R n b a ∈,,对吗？
2．实数指数幂的运算性质的运算性质的运用
思考：
有关实数指数幂的求值问题，一般遵循什么原则？
二、导学自测
1.化简
（1）)2)(2(31213141y x y
x -- = 。
（2）=--))((41412
1
21
y x y x 。
（3）=÷-)31())(6(65
61313221
21b a b a b a 。
2.计算
（1） 210212131)8(144)641(216⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--++-π （2）2125.00)4
9(2)001.0()42(--⨯+--
三、合作探究
1.下列各式成立的是 。
①已知x>3，则0)3(96332=--+-x x x ②71
77)(m n m n = ③31245)5(-=
- ④ 43433)(y x y x +=+ ⑤100=⑥
3339=
2.计算下列各式：
（1）2433221
)(-----÷a b b a (2)
1⎛- ⎝
探讨：指数幂运算的一般步骤是什么？
3.已知71=+-a
a ，探索下列各式的值： （1）2121
-+a a （2）22-+a a （3）23222
323-+-+--a a a a
思考:若2x +2-x =5,如何求4x +4-x 与4x -4-x 的值。
4.22009200911n n x --=
（n 为正整数），求n 2)1(x x -+的值.
5. ★ 已知a a a )(x x +=
x f ，求)10
9()103()102()101(f f f f ⋅⋅⋅+++
四、课堂小结
五、巩固测评
1．若m m 3663-=-，则实数m 的取值范围是 。
2. 已知310,210==βα，则=-3231000
βα 。
3. 44等于（ ） A 16a B 8a C 4a D 2
a 4.对任意实数x ，下列等式正确的是（ ）
5. 已知b a ,是方程0422=--x x 得两根，求：
（1）b a 22∙ ，（2）b a )2(
6.★ （1）已知11)32(,)32(---=+
=b a ，求11)1b ()1(--+++a 的值。