数学---江苏省南通市启东市2016-2017学年高一(上)期末试卷(解析版)

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2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)14

高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共12题）1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=3，则点N的坐标为（）A．（2，0） B．（﹣3，6）C．（6，2） D．（﹣2，0）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=4．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣）+f（）=（）A．3 B．5 C．D．5．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A．B．C．5 D．6．（5分）用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．（0，0.5）f（0.125）B．（0.5，1）f（0.25）C．（0.5，1）f（0.75）D．（0，0.5）f（0.25）7．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）8．（5分）若a=log0.50.2，b=log20.2，c=20.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：411．（5分）若xlog32≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．D．012．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x ∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共4题）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（4）=．14．（5分）将函数y=cosx的图象向右移个单位，可以得到y=sin（x+）的图象．15．（5分）已知函数=．16．（5分）已知平面内有三个向量，其中∠AOB=60°，∠AOC=30°，且，，，若，则λ+μ=．三、解答题17．（10分）计算下列各式：（1）；（2）．18．（10分）B是单位圆O上的点，点A（1，0），点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．19．（12分）已知全集U=R，集合A=，B={y|y=log2x，4＜x＜16}，（1）求图中阴影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．20．（12分）（1）利用“五点法”画出函数在内的简图x+（2）若对任意x∈[0，2π]，都有f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范围．21．（12分）某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？22．（14分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a和b的值．（2）说明函数g（x）的单调性；若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12题）1．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知集合M={x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=3，则点N 的坐标为（）A．（2，0） B．（﹣3，6）C．（6，2） D．（﹣2，0）【分析】设点N的坐标为（x，y），根据平面向量的坐标表示，利用向量相等列方程组，即可求出x、y的值．【解答】解：设点N的坐标为（x，y），由点M（5，﹣6）得=（5﹣x，﹣6﹣y），又向量=（1，﹣2），且=3，所以，解得；所以点N的坐标为（2，0）．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与向量相等的应用问题，是基础题目．3．（5分）（2016秋•宜昌期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=【分析】根据函数奇偶性和函数零点的定义和性质进行判断即可．【解答】解：y=cosx是偶函数，不满足条件．y=sinx既是奇函数又存在零点，满足条件．y=lnx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y=是奇函数，但没有零点，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和函数零点的性质，比较基础．4．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知函数f（x）=，则f（﹣）+f（）=（）A．3 B．5 C．D．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣）=f（）﹣1=﹣1=1，f（）==2，∴f（﹣）+f（）=1+2=3．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．5．（5分）（2016秋•黄山期末）已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）【分析】利用共线向量的关系，求出正弦函数与余弦函数的关系，代入所求表达式求解即可．【解答】解：向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，可得：sinθ=﹣2cosθ．==5．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，向量共线定理的应用，考查计算能力．6．（5分）（2016秋•宜昌期末）用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．（0，0.5）f（0.125）B．（0.5，1）f（0.25）C．（0.5，1）f（0.75）D．（0，0.5）f（0.25）【分析】根据零点定理f（a）f（b）＜0，说明f（x）在（a，b）上有零点，已知第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈（0，0.5），根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f（0.25）．【解答】解：令f（x）=x5+8x3﹣1，则f（0）＜0，f（0.5）＞0，∴f（0）•f（0.5）＜0，∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5），第二次应计算的函数值应该为f（0.25）故选：D．【点评】本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．7．（5分）（2012•湛江一模）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+ϕ）的解析式．【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A【点评】本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值﹣最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．8．（5分）（2016秋•宜昌期末）若a=log0.50.2，b=log20.2，c=20.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根据对数函数，指数函数的单调性进行比较．【解答】解：a=log0.50.2＞log0.50.25=2，b=log20.2＜log21=0，c=20.2＜21=2．又∵c=20.2＞0，∴b＜c＜a，故选B．【点评】本题考查了对数函数，指数函数的单调性，属于基础题．9．（5分）（2016秋•宜昌期末）函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据指数函数，对数函数和一次函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A：由指数函数和对数函数的单调性可知a＞1，此时直线y=x+a的截距不满足条件．对于B：指数函数和对数函数的单调性不相同，不满足条件．对于C：由指数函数和对数函数的单调性可知0＜a＜1，此时直线y=x+a的截距满足条件．对于D：由指数函数和对数函数的单调性可知0＜a＜1，此时直线y=x+a的截距a＞1不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要求熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，比较基础．10．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．【解答】解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【点评】本题考查了向量的三角形法则、三角形面积计算公式，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．11．（5分）（2016秋•宜昌期末）若xlog32≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．D．0【分析】设，换元得到g（t）=，求出g（t）的最小值即f（x）的最小值即可．【解答】解：∵xlog32≥﹣1，∴，∴，设，则f（x）=4x﹣2x+1﹣3，则g（t）=，当t=1时，g（t）有最小值g（1）=﹣4，即函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为﹣4，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．12．（5分）（2016•抚顺一模）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；【解答】解：因为f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1 所以f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）即f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴可得log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故选A；【点评】此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题；二、填空题（每小题5分，共4题）13．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（4）=．【分析】设出幂函数f（x）的解析式，把点的坐标代入求出解析式，再计算f（4）的值．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，其图象过点（3，），则3a=a=﹣2∴f（x）=x﹣2∴f（4）=4﹣2=．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目．14．（5分）（2016秋•宜昌期末）将函数y=cosx的图象向右移个单位，可以得到y=sin （x+）的图象．【分析】y=cosx=sin（+x），其图象向右平移个单位得到y=sin（x+）的图象【解答】解：∵y=cosx=sin（+x），其图象向右平移个单位得到y=sin（x+）的图象．故答案为：【点评】本题考查了三角函数图象的平移，变形函数表达式是关键，属于基础题．15．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知函数=4．【分析】由题意得a+lg=1，从而代入﹣a再整体代入即可．【解答】解：∵f（a）=a+lg+5=6，∴a+lg=1，f（﹣a）=﹣a+lg+5=﹣（a+lg）+5=﹣1+5=4，故答案为：4．【点评】本题考查了函数及整体思想的应用，属于基础题．16．（5分）（2016秋•宜昌期末）已知平面内有三个向量，其中∠AOB=60°，∠AOC=30°，且，，，若，则λ+μ=4或2．【分析】以OC为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形，求出平行四边形OA方向上的边长即可得出答案【解答】解：①当OB，OC在OA同侧时，过点C作CE∥OB交OA的延长线于点E，过点C作CF∥OA交OB的延长线于点F，则=+．∵∠AOB=60°，∠AOC=30°，∴∠OCE=∠COF=∠COE=30°，，∴||=||=4，∵，，∴λ=μ=2，∴λ+μ=4．②当OB，OC在OA同侧时，过点C作CE∥OB交OA的延长线于点E，过点C作CF∥OA交OB的延长线于点F，则=+．∵∠AOB=60°，∠AOC=30°，∴∠OCE=∠COF=90°，∠COE=30°，，∴||=4，||=8，∵，，∴λ=4，μ=﹣2，∴λ+μ=2．故答案为：4或2【点评】本题考查了向量在几何中的应用，平面向量的基本定理，向量运算的几何意义，属于中档题三、解答题17．（10分）（2016秋•宜昌期末）计算下列各式：（1）；（2）．【分析】分别根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）=1+×（）﹣=﹣，（2）原式==lg2+lg5﹣3×（﹣3）=1+9=10．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．18．（10分）（2016秋•宜昌期末）B是单位圆O上的点，点A（1，0），点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．【分析】（1）由已知条件设出B点坐标为（x，y），即可求出y和x的值，则B点坐标可求；（2）利用三角函数的诱导公式化简代值计算即可得答案．【解答】解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sinθ=．，即B点坐标为：；（2）．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．19．（12分）（2016秋•宜昌期末）已知全集U=R，集合A=，B={y|y=log2x，4＜x＜16}，（1）求图中阴影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【分析】（1）由图知：C=A∩（C U B），分别求出函数的定义域和值域得到A，B，再根据补集的定义和交集的定义即可求出，（2）先根据并集的定义和集合与集合之间的关系，即可求出a的范围．【解答】解：（1）由图知：C=A∩（C U B），由x2﹣4x+3≥0，解得x≥3或x≤1，则A=（﹣∞，1]∪[3，+∞）由y=log2x，4＜x＜16，则B=（2，4），∴C U B=（﹣∞，2]∪[4，+∞），∴C=A∩（C U B）=（﹣∞，1]∪[4，+∞），（2）∵A∪B=（﹣∞，2）∪[3，+∞），由非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），∴或，解得a为空集，∴a∈∅【点评】本题考查了集合的运算和集合与集合之间的关系，属于基础题．20．（12分）（2016秋•宜昌期末）（1）利用“五点法”画出函数在内的简图x+（2）若对任意x∈[0，2π]，都有f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期在的大致图象即可．（2）根据x∈[0，2π]，求解f（x）的值域，要使f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，转化为最小和最大值问题．【解答】解：（1）根据题意，函数在内的列表如下：在平面直角坐标系内可得图象如下：（2）通过图象可知：当x∈[0，2π]时，函f（x）值域为，要使f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，即：解得：，∴m的取值范围是．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．21．（12分）（2016秋•宜昌期末）某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？【分析】（1）根据x的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．【解答】解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，∴x＞5.75，∴票价最低为6元，票价不超过10元时：y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），票价高于10元时：y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750，∵，解得：5＜x＜38，∴y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），x=10时：y最大为4250元，对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；当x=﹣≈21.6时，y最大，∴票价定为22元时：净收人最多为8830元．【点评】本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据x的范围得到函数的解析式是解题的关键．22．（14分）（2016秋•宜昌期末）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a和b的值．（2）说明函数g（x）的单调性；若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数，可得g（0）=0，f（﹣1）=f（1），进而可得a和b的值．（2）g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．若g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，则3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t2﹣2t，求其最值，可得答案；（3）h（x）=lg（10x+1），若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，则，解得答案．【解答】解：（1）由g（0）=0得，a=1，则，经检验g（x）是奇函数，故a=1，由f（﹣1）=f（1）得，则，故，经检验f（x）是偶函数∴a=1，…（4分）（2）∵，且g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值为∴…（9分）（3）h（x）=lg（10x+1），h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10）则由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，而g（x）在（﹣∞，1]单增，∴∴∴又又∵∴∴…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，对数函数的图象和性质，难度中档．。

2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷_Word版含答案

2016-2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|(1)0}M x x x =-=，那么A.0M ∈B.1M ∉C.1M -∈D. 0M ∉ 2．角90o化为弧度等于 A.3π B. 2π C. 4π D. 6π3．函数y =A.(0,)+∞B. ),1(+∞C. [0,)+∞D. ),1[+∞4.下列函数中，在区间(,)2ππ上为增函数的是A. sin y x =B. cos y x =C. tan y x =D. tan y x =-5．已知函数0x f (x )cos x,x ≥=<⎪⎩，则[()]=3f f π-A.12cos B. 12cos -C. 2D. 2±6．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度7．设12log 3a =，0.21()3b =，132c =，则A.c b a << .B.a b c << .C.c a b <<D.b a c <<8．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A 的坐标是1(,)22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A. []0,1B. []1,7C. []7,12D. []0,1和[]7,12第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若00<>ααcos ,sin ，则角α在第____________象限． 10．函数2()2f x x x =--的零点是____________． 11．sin11cos19cos11sin19+oooo的值是____________． 12．函数()21f x x =-在[0,2]x ∈上的值域为____________．13．已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 的最大值是1，其图象经过点1(,)32M π，则3()4f π= ____________．14．已知函数()f x 是定义在[3,0)(0,3]-U 上的奇函数，当(0,3]x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()21x f x ≥- 的x 的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =．（Ⅰ）求A B I ；（Ⅱ）求()U C A B U ．16．（本小题满分13分）求下列各式的值．（Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-．（Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 23tan αα+的值．已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．（Ⅰ）若{2,2}S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9. 二； 10. 1,2-； 11. 12； 12. [1,3]-；13. 14. [3,2](0,1]--U ． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =．（Ⅰ）求A B I ；（Ⅱ）求()U C A B U ．解：(Ⅰ) {3,5}A B =I ． ---------------------------------------------------5分（Ⅱ）{4,6}U C A =，(){3,4,5,6}U C A B =U ．----------------------------------------------------13分求下列各式的值．（Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．（Ⅰ）解：原式=3+2-2 ------------------------------------------3分（每式1分）=3. ------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：原式=653121612132)]3()6(2[-+-+-÷-⨯ba--------------------11分（每式2分）=4a. -----------------------------------------------------------13分 17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-．（Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 23tan αα+的值．解：(Ⅰ)因为2α3ππ<<，4sin 5α=-，故3cos 5α=-. -------------------------------------------------6分（Ⅱ）sin sin 23tan 2sin cos 3cos αααααα+=+⨯. 4()4352()()3355()5-=⨯-⨯-+⨯-24425=-------------------------------------13分 18．（本小题满分14分）已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．解：(Ⅰ)Q 二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -.∴31)1(2=+-a 即2=a∴函数的解析式为2()21()f x x x R =+∈-----------------------------------------6分（Ⅱ）证明：设x 1,x 2是)0,(-∞上的任意两个不相等的实数, 且x 1<x 2则210x x x ∆=->222121()()21(21)y f x f x x x ∆=-=+-+=22212()x x -=21212()()x x x x -+Q )0,(,21-∞∈x x0,021<<∴x x 021<+∴x x又210x x x ∆=->0))((22112<+-∴x x x x即0<∆y∴函数f(x)在)0,(-∞上是减函数.--------- -----------14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间解：（Ⅰ）因为2()cos cos f x x x x=+1cos 2222x x +=+112cos 2222x x =++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数的周期为22T π==π．由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得33k x k πππ-≤≤π+．所以()f x 的单调递增区间为()[,]33k k k πππ-π+∈Z ．------------- 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为63x ππ-≤≤，所以2666x ππ5π-≤+≤．所以1111sin 2122622x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭．即()302f x ≤≤．故()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值为32，最小值为0．---------------14分 20．（本小题满分13分）已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①1，0S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．（Ⅰ）若{}2,2S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．解：（(Ⅰ)()111121211211212S S S S ∈⇒=-∈⇒=∈⇒=∈----；()11131221312321132S S S S -∈⇒=∈⇒=∈⇒=-∈----，∴使{}2,2S -⊂的元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．-------------5分（Ⅱ）非空有限集S 的元素个数是3的倍数．证明如下：⑴设,a S ∈则0,1a ≠且1111111111a a S S S a S a a a a a-∈⇒∈⇒=∈⇒=∈----- ()*假设11a a =-，则()2101a a a -+=≠。

2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax 2﹣2x ﹣1=0}只有一个元素则a 的值是（） A ．0B ．0或1C ．﹣1D ．0或﹣12．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（）A ．B ．C ．D ．3．若tan α=2，tan β=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A ．B ．C ．D ．4．已知sin α+cos α=（0＜α＜π），则tan α=（）A ．B ．C ．D ．或5．设a=sin ，b=cos，c=tan，则（）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知x ∈[0，1]，则函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．7．若，则=（）A ．B ．C ．﹣D ．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）成中心对称，，则x 0=（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的范围是（）A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）10．将函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．在区间（，）上单调递减 B ．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= ．14． = ．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．二、解答题17．若，，，则= ．18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f （x ）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．19．已知函数f （x ）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g （x ）=f （3x ）在上是增函数，求ω的最大值．20．已知函数f （x ）=2x 2﹣3x+1，，（A ≠0）（1）当0≤x ≤时，求y=f （sinx ）的最大值；（2）若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[0，3]，使f （x 1）=g （x 2）成立，求实数A 的取值范围；（3）问a 取何值时，方程f （sinx ）=a ﹣sinx 在[0，2π）上有两解？[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（）A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可．【解答】解：根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，①a=0，，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0解得a=﹣1．所以a=0或a=﹣1．故选：D．2．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式与两角差的正弦即可求得答案．【解答】解：∵36°+54°=90°，6°+84°=90°，∴sin36°cos6°﹣sin54°cos84°=sin36°cos6°﹣cos36°sin6°=sin（36°﹣6°）=sin30°=，故选A．3．若tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件求得α+β的范围，再结合tan（α+β）=的值，可得α+β的值．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β∈（0，π），再根据tan（α+β）===﹣1，∴α+β=．故选：C．4．已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）A．B．C．D．或【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinαcosα的值小于0，得到sinα＞0，cosα＜0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：将已知等式sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∴sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣．故选B5．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】三角函数线．【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【解答】解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，则1＞cos＞cos＞0，即0＜b＜a＜1，tan＞tan=1，即b＜a＜c，故选：A6．已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【分析】根据幂函数和复合函数的单调性的判定方法可知该函数是增函数，根据函数的单调性可以求得函数的值域．【解答】解：∵函数y=在[0，1]单调递增（幂函数的单调性），y=﹣在[0，1]单调递增，（复合函数单调性，同增异减）∴函数y=﹣在[0，1]单调递增，∴≤y≤，函数的值域为[，]．故选C．7．若，则=（）A．B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵=cos（﹣α），则=2﹣1=2×﹣1=﹣，故选：C．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x，0）成中心对称，，则x=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=kπ﹣，故该函数的图象的对称中心为（kπ﹣，0 ），k∈Z．根据该函数图象关于点（x，0）成中心对称，结合，则x=，故选：B．9．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】分段函数的应用．【分析】利用函数的单调性，函数的值域列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=，当x≥3时，函数是增函数，所以x＜3时，函数也是增函数，可得：，解得a＞﹣1．故选：C．10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间（，）上单调递减B．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式：y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．令2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，可得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin（2x﹣）的单调递增区间为：（，）．故选：B．11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【分析】先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．【解答】解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是锐角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ， +θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故选：D．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]（x+2）=0（a＞1）时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，且是偶函数，当x（x+2）∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，可以做出在区间（﹣2，6]的图象，方程f（x）﹣loga（x+2）的图象恰有3个不同的=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即f（x）的图象与y=loga交点．可得答案．【解答】解：由题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴可得（﹣2，6]的图象如下：从图可看出，要使f（x）的图象与y=log（x+2）的图象恰有3个不同的交点，a则需满足，解得：．故选C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= 0 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】因为，所以可以直接求出：，对于，用表达式的定义得，从而得出要求的答案．【解答】解：∵∴而=∴故答案为：014． = ﹣4．【考点】三角函数的化简求值．【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域[1，13] ．【考点】函数的值域．【分析】根据，求出y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，利用换元法求解值域．【解答】解：由题意，，则f（x2）的定义域为[，2]，故得函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[，2]．∴y=（2+log2x）2+2+2log2x．令log2x=t，（﹣1≤t≤1）．则y=（2+t）2+2t+2=t2+6t+6．开口向上，对称轴t=﹣3．∴当t=﹣1时，y取得最小值为1．当t=1时，y取得最大值为13，故得函数y的值域为[1，13]．故答案为[1，13]．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是①②④（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化简f（x），根据f（x）≤|f（）|可得，a，b的值．然后对个结论依次判断即可．【解答】解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ）．∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立∴当x=时，函数取得最大值，即2×+φ=，解得：φ=．故得f（x）=sin（2x+）．则f（）=sin（2×+）=0，∴①对．②f（）=sin（2×+）=f（）=sin（2×+）=，∴|≥|，∴②对．由2x+，（k∈Z）解得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间是（kπ，kπ+）（k∈Z）；∴③不对f（x）的对称轴2x+=+kπ，（k∈Z）；∴③解得：x=kπ+，不是偶函数，当x=0时，f（0）=，不关于（0，0）对称，∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．故答案为①②④．二、解答题17．若，，，则=．【考点】角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由，，，从而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函数在（﹣1，+∞）单调递增．从而有f（x1）﹣f（x2）=，进而，故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．19．已知函数f（x）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式ω，根据偶函数的性质，求θ的值．（2）根据g（x）=f（3x）求出g（x）的解析式，g（x）在上是增函数，可得，即可求解ω的最大值．【解答】解：（1）由=2（ω＞0）∵又∵y=f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，∴，即ω=2，且，解得：∵，∴当l=0时，．故得为所求；（2）g（x）=f（3x），即g（x）=2（ω＞0）∵g（x）在上是增函数，∴，∵ω＞0，∴，故得，于是k=0，∴，即ω的最大值为，此时．故得ω的最大值为．20．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，，（A≠0）（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数A的取值范围；（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？【考点】三角函数的最值；二次函数的性质；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，由x可得0≤t≤1，从而可得关于 t的函数，结合二次函数的性质可求（2）依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范围，可先求f（x1）值域，然后分①当A＞0时，g（x2）值域②当A＜0时，g（x2）值域，建立关于 A的不等式可求A的范围．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论．【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，x，则0≤t≤1∴∴当t=0时，y max =1（2）当x 1∈[0，3]∴f （x 1）值域为当x 2∈[0，3]时，则有①当A ＞0时，g （x 2）值域为②当A ＜0时，g （x 2）值域为而依据题意有f （x 1）的值域是g （x 2）值域的子集则或∴A ≥10或A ≤﹣20（3）2sin 2x ﹣3sinx+1=a ﹣sinx 化为2sin 2x ﹣2sinx+1=a 在[0，2π]上有两解换t=sinx 则2t 2﹣2t+1=a 在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x 有两解（5﹣a ）（1﹣a ）≤0或△=0∴a ∈[1，5]或②当t=﹣1时，x 有惟一解③当t=1时，x 有惟一解故a ∈（1，5）∪{}．[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为|log 2t|＜2，解得f （t ）的取值范围．【解答】解：（1）当x ＜0时，解得：x=ln =﹣ln3，当x ≥0时，解得：x=ln3，故函数f （x ）的零点为±ln3；（2）当x ＞0时，﹣x ＜0，此时f （﹣x ）﹣f （x ）===0，故函数f （x ）为偶函数，又∵x ≥0时，f （x ）=为增函数，∴f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2）时，2f （log 2t ）＜2f （2），即|log 2t|＜2， ﹣2＜log 2t ＜2，∴t ∈（，4）故f （t ）∈（，）。

江苏省南通市启东中学2016-2017学年高一上学期9月段考数学试卷(创新班) 含解析

2016—2017学年江苏省南通市启东中学高一（上）9月段考数学试卷（创新班）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．不等式x2+2x＜3的解集为（答案要求用集合形式表达）2．在△ABC中，已知AB=3,BC=2，∠B=60°，则AC=．3．已知等比数列{a n｝的各项都是正数,且a4a10=16，则a7=．4．设△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为．5．方程3sinx=1+cos2x在区间［0，2π]上的解为．6．在数列｛a n}中，a1=2，a n+1=1﹣a n（n∈N＊），S n为数列的前n项和，则S2015﹣2S2016+S2017的值为．7．函数f(x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是．8．若x，y满足,则2x+y的最大值为．9．已知正数a，b满足ab=a+b+3,则a+b的最小值为．10．已知数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列｛S n｝中的唯一最小项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．12．各项均为正数的等比数列｛a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．13．已知函数f（x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是．14．无穷数列｛a n｝由k个不同的数组成，S n为｛a n｝的前n项和,若对任意n∈N*,S n∈｛2，3｝，则k的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．(Ⅰ）求∠B的大小；(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值．16．（14分)在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b,c,已知2（tanA+tanB)=+．(Ⅰ）证明:a+b=2c；（Ⅱ)求cosC的最小值．17．（14分）对于实数x∈（0,），f（x）=+．（1）若f（x）≥t恒成立，求t的最大值M;（2）在(1）的条件下，求不等式x2+｜x﹣2｜+M≥3的解集．18．（16分）已知数列｛a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n｝是等差数列,且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列｛b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列｛c n}的前n项和T n．19．（16分)请用多种方法证明不等式：（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）已知a，b∈（0,+∞），证明：+≥+．20．（16分）设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足:①B∩C=∅；②B∪C=A；③B的元素之和等于C的元素之和,则称集合A“可均分"．（1）证明：集合A={1,2，3,4，5，6，7，8}“可均分”;(2)证明：集合A={2015+1,2015+2，…,2015+93｝“可均分”;（3）求出所有的正整数k，使得A=｛2015+1，2015+2，…，2015+k｝“可均分”．2016—2017学年江苏省南通市启东中学高一（上)9月段考数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一、填空题(共14小题，每小题5分，满分70分)1．不等式x2+2x＜3的解集为（﹣3，1）（答案要求用集合形式表达）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；分析法;不等式的解法及应用．【分析】构造函数y=x2+2x﹣3，根据二次函数的图象和性质，分别函数y=x2+2x﹣3的图象的开口方向及与x轴的交点坐标，进而得到不等式x2+2x＜3的解集．【解答】解：令y=x2+2x﹣3，函数y=x2+3x+2的图象是开口方向朝上的抛物线且函数的图象与x轴交于（﹣3，0）,（1，0）点故当x∈（﹣3，1）时,y=x2+2x﹣3＜0，故不等式x2+2x＜3的解集为（﹣3，﹣1)，故答案为：(﹣3,1）【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，其中熟练掌握二次函数与对应二次不等式解集之间的关系,将将不等式问题转化为分析函数图象问题，是解答本题的关键．2．在△ABC中,已知AB=3，BC=2,∠B=60°,则AC=．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想;综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理即可计算求值得解．【解答】解：∵在△ABC中，已知AB=3，BC=2，∠B=60°，∴由余弦定理可得：AC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题．3．已知等比数列｛a n｝的各项都是正数，且a4a10=16，则a7=4．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题;转化思想;定义法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质得a4a10==16，由此能求出a7．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项都是正数,a4a10==16，a7=4，或a7=﹣4．(舍）故答案为：4．【点评】本题考查等比数列的第7项的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．设△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为直角三角形．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A,∵sinA≠0,∴sinA=1，A=,故三角形为直角三角形，故答案为：直角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．5．方程3sinx=1+cos2x在区间［0,2π］上的解为或．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；规律型;转化思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解:方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2,（舍去）sinx=，x∈[0,2π］解得x=或．故答案为:或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．6．在数列｛a n}中,a1=2,a n+1=1﹣a n（n∈N*），S n为数列的前n项和，则S2015﹣2S2016+S2017的值为3．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=2，a n+1=1﹣a n（n∈N*)，a2=﹣1，a3=2，a4=﹣1,数列的奇数项为2，偶数项为﹣1，S2015﹣2S2016+S2017=﹣a2016+a2017=2﹣（﹣1)=3．【解答】解：由题意可知：a1=2，a n+1=1﹣a n(n∈N＊）,∴a2=﹣1，a3=2，a4=﹣1∴数列的奇数项为2,偶数项为﹣1，S2015﹣2S2016+S2017=﹣a2016+a2017=2﹣(﹣1）=3，故答案选:3．【点评】本题考查利用数列的递推公式求解数列的项,考查数列的周期性,考查计算能力，属于基础题．7．函数f(x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：f（x）=（sinx+cosx)(cosx﹣sinx)=2sin（x+）×2cos（x+）=2sin （2x+)，则函数的周期T==π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数周期的计算，根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．8．若x，y满足，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解,求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得,即A(1,2）,代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知正数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的最小值为6．【考点】基本不等式．【专题】计算题;转化思想；综合法；不等式．【分析】本题从形式上看可以利用基本不等式把所给的等式转化为关于a+b不等式，解出其范围,即可得到所求的最小值．【解答】解：∵a、b都为正数且满足ab=a+b+3，∴（)2≥ab=a+b+3等号当a=b时成立．∴(a+b)2﹣4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥6或a+b≤﹣2（舍）a+b的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查基本不等式,求解本题的关键是利用基本不等式的特点将方程变为不等式，从而解不等式得出所求的范围，由于基本不等式有几种形式，故解题时要根据题设中的条件选择恰当的形式进行变换．10．已知数列{a n｝是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列｛S n}中的唯一最小项,则数列｛a n｝的首项a1的取值范围是（﹣30，﹣27）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据其为等差数列得到其前n项和的表达式，再结合开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小得到关于首项a1的不等式，解不等式即可求出首项a1的取值范围【解答】解：因为数列{a n｝是以3为公差的等差数列；所以：=n=+(）n．对称轴n==．∵若S10是数列｛S n}中的唯一最小项，∴9＜n＜10，即⇒﹣30＜a1＜﹣27．故答案为：(﹣30，﹣27）．【点评】本题主要考查等差数列的基本性质以及二次函数的性质应用，是对基础知识的综合考查，考查计算能力以及分析能力．11．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a,再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解:将sinC=2sinB利用正弦定理化简得:c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2,∴由余弦定理得：cosA===,∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．12．各项均为正数的等比数列｛a n｝中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．【考点】简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此,将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元:令lga1=x，lgq=y，lga4=t,得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为:,作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A(0，lg2），B(2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时,t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2],即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：【点评】本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．已知函数f（x)=,a∈R．若对于任意的x∈N*，f (x）≥4恒成立,则a的取值范围是［，+∞）．【考点】基本不等式；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数f （x）=,a∈R．若对于任意的x∈N＊，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥恒成立，进而将其转化为a≥g(x）max=，解不等式可得a的取值范围．【解答】解：∵函数f （x）=,且f （x)≥4，对于任意的x∈N＊恒成立即a≥==令g(x）=，则g（x)≤6﹣4，当且仅当x=2﹣1时g（x)取最大值又∵x∈N＊，∴当x=2时，g（x）取最大值故a≥即a的取值范围是［,+∞）故答案为：［，+∞）【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．14．无穷数列｛a n｝由k个不同的数组成，S n为｛a n}的前n项和，若对任意n∈N*,S n∈｛2，3｝，则k的最大值为4．【考点】数列与函数的综合．【专题】分类讨论；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N＊，S n∈｛2，3},可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2,由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2,0;或2,1；或3，0；或3,﹣1；若n=3，由S3∈{2，3｝，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1;或2,1,0;或2，1，﹣1；或3，0,0;或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1,﹣1;若n=4，由S3∈{2，3｝，可得数列的前四项为2,0，0，0；或2，0,0，1；或2,0，1，0;或2，0,1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0,﹣1；或2，1，﹣1,0;或2，1,﹣1，1;或3，0，0，0；或3，0,0，﹣1；或3，0,﹣1，0；或3，0，﹣1,1;或3,﹣1,0，0；或3，﹣1，0，1；或3,﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分,请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）(2016•北京)在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小;（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案;（Ⅱ）由（I)得:C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质,可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=(Ⅱ）由（I）得：C=﹣A,∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，)，∴A+∈（，π)，故当A+=时,sin（A+)取最大值1,即cosA+cosC的最大值为1．【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．16．（14分)(2016•山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ)证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理;余弦定理．【专题】计算题；证明题;综合法；解三角形．【分析】(Ⅰ）由切化弦公式,带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC,从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；(Ⅱ)根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出,从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．【解答】解：(Ⅰ)证明:由得:；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin(A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1)；根据正弦定理，；∴，带入(1）得:；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2;∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号;又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=;∴cosC的最小值为．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理,不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．17．（14分）对于实数x∈（0，），f（x)=+．(1）若f（x)≥t恒成立，求t的最大值M；（2）在(1)的条件下，求不等式x2+|x﹣2｜+M≥3的解集．【考点】函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）利用“1"的代换，结合基本不等式，求出t的最大值M；(2）在（1）的条件下，不等式x2+|x﹣2|+M≥3，即不等式x2+｜x﹣2｜﹣2≥0，分类讨论，可得解．【解答】解：（1)f（x）=+=（sin2x+cos2x)（+）=++≥1，当且仅当=时取等号．∵f（x）≥t恒成立，∴t≤1，∴t的最大值M=1；（2)不等式x2+｜x﹣2｜+M≥3,即不等式x2+｜x﹣2｜﹣2≥0．x≥2时,x2+x﹣4≥0，∴x≥2；x＜2时，x2﹣x≥0，∴x≤0或1≤x＜2；综上所述x≤0或x≥1,∴不等式x2+|x﹣2|+M≥3的解集为{x｜x≤0或x≥1｝．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．18．(16分）（2016•山东）已知数列｛a n｝的前n项和S n=3n2+8n，｛b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．(Ⅰ）求数列{b n｝的通项公式;（Ⅱ)令c n=，求数列｛c n｝的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想;综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ)求出数列｛a n}的通项公式,再求数列｛b n}的通项公式;（Ⅱ）求出数列{c n｝的通项，利用错位相减法求数列｛c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1,∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6,∴d=3,∵a1=b1+b2,∴11=2b1+3，∴b1=4,∴b n=4+3(n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6(n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n］①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1)•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1］=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【点评】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．19．（16分）请用多种方法证明不等式:（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）已知a，b∈（0,+∞），证明：+≥+．【考点】不等式的证明．【专题】证明题;转化思想；演绎法；不等式．【分析】方法一：利用基本不等式，即可证明结论．方法二：利用分析法,即可证明结论．方法三:利用作差法，即可证明结论．【解答】证明：方法一：+≥2，+≥2，∴+++≥2+，∴+≥+．方法二：要证明+≥+，只要证明+++≥2+，只要证明+≥2，+≥2，显然成立，∴+≥+．方法三：+﹣﹣=+=≥0，∴+≥+．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，比较基础．20．（16分）设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足：①B∩C=∅；②B∪C=A；③B的元素之和等于C的元素之和,则称集合A“可均分"．（1）证明：集合A=｛1，2，3，4，5，6，7,8｝“可均分”；（2）证明：集合A=｛2015+1,2015+2，…,2015+93}“可均分”；（3）求出所有的正整数k，使得A={2015+1，2015+2，…,2015+k}“可均分”．【考点】集合的表示法．【专题】新定义；集合思想；集合．【分析】（1）根据“可均分”的定义进行判断即可；（2）结合可均分的定义进行证明；(3)根据“可均分”的定义进行求解．【解答】（1)证明：设B1={2，3，6,7｝，C1=｛1，4，5,8｝，则得到的B，C满足条件①②③，则A=｛1，2,3，4，5,6，7，8｝“可均分”；（2）证明：设B1={2015+1，2015+2，…，2015+47｝,C1={2015+48,2015+49，…，2015+93}，考虑到［（2015+48）+(2015+49)+…+（2015+93）］﹣[（2015+1）+（2015+2)+…+（2015+47)］=46×46﹣（2015+1）=100．将B1中的2015+1与C1中的2015+51交换，得到集合B，C，则得到的B，C满足条件①②③，则集合A=｛2015+1,2015+2,…,2015+93｝“可均分”；(3）解:一方面,假设A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”，则存在B，C满足条件①②③，∴(2015+1）+（2015+2）+…+(2015+k)=2016k+为偶数，∴k=4a或k=4a+1（a∈N*）．设k=4a+1，不妨设B中的元素个数大于等于2a+1，C中的元素个数小于等于2a，于是B的元素之和S B≥（2015+1）+（2015+2)+…+［2015+（2a+1)]，C的元素之和S C≤[2015+(2a+2）]+[2015+(2a+3）]+…+［2015+（4a+1)］，整理得：（2015+1）+（2015+2）+…+[2015+(2a+1)]≤[2015+(2a+2）］+［2015+（2a+3）］+…+［2015+(4a+1）］，即2016(2a+1）+≤2a（2017+2a）+，即4032a+2016+4a2+a≤4034a+4a2+2a2﹣a，解得：a2≥504，即a≥23，∴k=4a(a∈N＊）或k=4a+1（a≥23，a∈N＊）;另一方面，当k=4a（a∈N＊）时，A=｛2015+1，2015+2,…,2015+k｝中的连续四个必可分成两两一组，其和相等；∴A={2015+1,2015+2,…，2015+k}“可均分”；当k=4a+1(a≥23，a∈N＊)时，由（Ⅱ）问可知A=｛2015+1，2015+2，…,2015+k｝的前93个数组成的集合“可均分", 由前面的讨论知可将剩下的4p个元素分成和相等的两个不相交的子集，即此时A=｛2015+1，2015+2，…，2015+k｝“可均分”．综上，k=4a（a∈N*)或k=4a+1（a≥23，a∈N＊）．【点评】本题主要考查与集合有关的新定义的应用，综合性较强，难度较大．。

启东期末考试题及答案高一

启东期末考试题及答案高一一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据题目所给的函数表达式，求该函数的值域。

A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)2. 下列哪个选项是正确的不等式？A. \( a + b > a - b \) 当 \( a > b \)B. \( a^2 \geq 0 \) 对所有实数 \( a \) 成立C. \( \frac{1}{a} < a \) 当 \( a > 1 \)D. \( \sqrt{a} > a \) 当 \( a > 1 \)3. 根据题目所给的几何图形，判断下列哪个选项是正确的几何定理。

A. 勾股定理B. 相似三角形定理C. 圆周角定理D. 三角形内角和定理4. 根据题目所给的化学反应方程式，判断下列哪个选项是正确的化学平衡常数表达式。

A. \( K = \frac{[A][B]}{[C]^2} \)B. \( K = \frac{[C]^2}{[A][B]} \)C. \( K = \frac{[A]}{[C][B]} \)D. \( K = \frac{[C][B]}{[A]} \)5. 根据题目所给的物理现象，判断下列哪个选项是正确的物理定律。

A. 牛顿第一定律B. 牛顿第二定律C. 牛顿第三定律D. 欧姆定律6. 下列哪个选项是正确的历史事件时间？A. 鸦片战争发生在1840年B. 辛亥革命发生在1911年C. 五四运动发生在1919年D. 抗日战争胜利发生在1945年7. 根据题目所给的英语句子，判断下列哪个选项是正确的英语语法规则。

A. 主语+谓语+宾语B. 主语+系动词+表语C. 主语+谓语+间接宾语+直接宾语D. 主语+谓语+状语8. 根据题目所给的生物现象，判断下列哪个选项是正确的生物学概念。

A. 细胞分裂B. 基因突变C. 遗传D. 进化9. 根据题目所给的政治理论，判断下列哪个选项是正确的政治原则。

2016-2017学年江苏省高一上学期期末考试数学试题word版含答案

2016-2017学年江苏省高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1.函数y =的定义域为．2.函数cos 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为． 3.已知函数()2,0,0x x f x x x ⎧>=⎨≤⎩ ，()()11f f +- ．4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f = ． 5.把函数sin y x =的图象向左平移6π个单位长度，所得到的图象的函数表达式为． 6.1234log 9+= ．7.函数sin cos y x x =+的单调递增区间为． 8.若函数()sin y x πϕ=+过点1,16⎛⎫⎪⎝⎭，则()0f = ．9.若,a b r r 的夹角为060，1a =r ，2b =r ，则a b +=r r ． 10.在ABC ∆ 中，D 为边BC 上一点，且AD BC ⊥，若1AD =，2BD =，3CD =，则BAC ∠的度数为．11.若1tan tan θθ+=，则sin 2θ= ． 12.若锐角,αβ满足22cos cos 1αβ+=，则cos 2αβ+= ． 13.若方程20x a a --=有四个不同的实根，则实数a 的取值范围为．14.已知函数()31f x x x =++，若对任意的x ，都有()()22f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知集合{}216x A x =≥，{}2log B x x a =≥ .（1）当1a =时，求A B I ；（2）若A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.16.已知向量()1,2a x =-r ，()1,2b x =+r .（1）若//a b r r ，求x 的值；（2）当[]0,2x ∈时，求()a a b ⋅-r r r 的取值范围.17.如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO 为滑道，OBA ∠为直角，20OB =米，设AOB rad θ∠=，一个小朋友从点A 沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t 秒，已知小朋友下滑的长度s 与2t 和sin θ的积成正比，当6πθ=时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.（1）求s 关于时间t 的函数的表达式；（2）请确定θ的值，使小朋友从点A 滑到O 所需的时间最短.18.已知函数()()cos 3sin cos f x x x x =+，x R ∈. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若324f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，R θ∈，求3f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19.如图，在ABC ∆中，2BF FC =u u u r u u u r ，AM MF FN ==u u u u r u u u r u u u r .（1）用AB u u u r ，AC u u u r 表示AF u u u r ；（2）若AB AC ⊥u u u r u u u r ，2AB AC =u u u r u u u r ，求证：AN BC ⊥u u u r u u u r ；（3）若1BM BC MF ⋅==u u u u r u u u r u u u r ，求BA BN ⋅u u u r u u u r 的值.20.已知函数()22f x x x a =-+-，x R ∈. （1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（2）当1x =-时，函数()f x 在取得最大值，求实数a 的取值范围.（3）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.2016-2017学年江苏省高一上学期期末考试数学试题答案一、填空题1.[)1,+∞2.2π 3.1 4.18 5.sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 6. 4 7.()32,24k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦013513.()1,+∞ 14.04a <<二、解答题15.解：（1）当1a =时，由216x ≥得4x ≥，所以{}4A x x =≥，由2log 1x ≥得2x ≥，所以{}2A x x =≥，所以{}4A B x x =≥I ；（2）{}{}2log 2a B x x a x x =≥=≥，因为A 是B 的子集，所以24a ≤，所以实数a 的取值范围2a ≤.16.解：（1）因为//a b r r ，所以()()2112x x -+=⨯，解得0x =或1x =，（2）因为()1,2a x =-r ，()1,2b x =+r ，所以(),a b x x -=--r r ，所以()()()22392324a a b x x x x x x ⎛⎫⋅-=-+--=-=-- ⎪⎝⎭r r r ，因为[]0,2x ∈，所以()a a b ⋅-r r r 的取值范围9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.解：（1）由题意，设2sin ,0s kt t θ=>，2102sin 6k π∴=⨯ ，5k ∴= ，25sin ,0s t t θ∴=> ；（2）20cos OA θ=Q ， 2205sin cos t θθ∴= ，t ∴== ， ∴当4πθ=时，时间t 最短.18.解：（1）())21cos 2cos cos cos cos 22x f x x x x x x x x +=+=+=+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ， ∴当()6x k k Z ππ=+∈时，()max 13122f x =+=；（2）324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，13sin 624πθ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，即1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ， 25sin 2sin 212sin 36326f πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭. 19.因为2BF FC =u u u r u u u r ,所以()2AF AB AC AF -=-u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以1233AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r , （2）因为AB AC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，即()()0AF FB AF FC +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2220AF AF FC FC -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,又因为AB =u u u r 所以()()222AF FB AF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22280AF FC AF FC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r . 所以0AF FC ⋅=u u u r u u u r ，所以AN BC ⊥u u u r u u u r ,（3）因为AM MF FN ==u u u u r u u u r u u u r ,所以2AM MN =u u u u r u u u u r ,即()2BM BA BN BM -=-u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，因此2133BM BA BN =+u u u u r u u u r u u u r , 同理1233BF BA BN =+u u u r u u u r u u u r ,又2BF FC =u u u r u u u r ,所以31212332BC BA BN BA BN ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 因为1BM BC ⋅=u u u u r u u u r ,所以2111332BA BN BA BN ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r , 即()22256BA BN BA BN ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ① 又因为1MF =u u u r ,AM MF FN ==u u u u r u u u r u u u r ，所以3AN =u u u r ，所以()29BN BA -=u u u r u u u r ,即2229BN BA BN BA +-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ② 由①②得43BA BN ⋅=-u u u r u u u r . 20.解：（1）任取x R ∈，则()()f x f x -=恒成立，即()2222x x a x x a --+--=-+-恒成立， x a x a ∴-=+恒成立，两边平方得：222222x ax a x ax a -+=++，0a ∴= ；（2）()2222,22,x x a x a f x x x a x a⎧-+-≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ，因为函数()y f x =在1x =-时取得最大值，当1a ≥时，必须()()1f f a -≥，即21222a a a a +≥-+-，即()210a +≥，所以1a ≥适合题意；当11a -<<时，必须()()11f f -≥，即1212a a +≥-，即0a ≥，所以01a ≤<适合题意；当1a ≤-时，因为()()11f f -<，不合题意，综上，实数a 的取值范围是[)0,+∞.（3）()2222,22,x x a x a f x x x a x a⎧-+-≥⎪=⎨--+<⎪⎩， ()()21241248a a ∆=---=- ，()()()22241248a a ∆=---=+，当10∆=时，12a =，此时函数()22121,2121,2x x x f x x x x ⎧-+->⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ 有三个零点1，1-±当20∆=时，12a =-，此时函数()22121,2121,2x x x f x x x x ⎧-++≥-⎪⎪=⎨⎪---<-⎪⎩有三个零点1,1-± ；当120,0∆>∆>时，即1122a -<<时，方程2220x x a -+-=的两根为1x =±，方程2220x x a --+=的两根为1x =-，因为11a -<-<，所以1a ≥且1a -+≥，解得0a = ，或者1a <且1a -+<，此时无解，综上得12a =±或0.。

2016—2017学年第一学期高一级数学期末考试答案

2016-2017学年度第一学期高一级数学科期末试题答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）13. 2 14. 15.或 16.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

）17．（本题满分10分）【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18.（本题满分12分）【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE +VB﹣ADE=．…（12分）19.（本题满分12分）解：1）、……………….3分2)、，……………….5分……………….7分……………….8分（3）在上单调递减，…………….9分…………….10分…………….11分（1）当时，不等式的解集是（2）当时，不等式的解集是（3）当时，不等式的解集是…………….14分 20．解：（1）由题意，又由图知f （1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得 ………….2分 ∴ ……….3分 (不写定义域扣1分）（2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10-x ）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， ……….4分则 ……….6分设，则， ……….8分∴ ……….10分当也即时，y 取最大值 ……….11分答：对股票等风险型产品B 投资万元，对债券等稳键型产品A 投资万元时，可获最大收益万元. ……….12分 21．解：(1)连接CN .因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1.因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.(3)线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ.证明如下：连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1.又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1.所以A1B⊥QN.同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ.故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.22．解：（I）抛物线的对称轴为，①当时，即时，当时，，，∴，∴.②当时，即时，在上为增函数，与矛盾，无解，综合得：.（II）对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，∵，∴，（ⅰ），即时，在单调递减，此时，即，得，此时，∴∴.（ⅱ），即时，在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，.综上得：①时，；②时，；③时，.。

江苏省南通市启东市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

江苏省南通市启东市 2019-2020 学年高一数学上学期期末考试试题
一、单项选择题：
1.
sin
3
的值是（
）
（含解析）
1 A. 2
3 B. 2
1 C. 2
3 D. 2
【答案】D 【解析】【分析】
利用诱导公式可求出
sin
3
的值.
【详解】根据诱导公式可得
sin
3
sin
3
3 2.
故选：D.
，
n
0,1
，Байду номын сангаас
p
3,
4
，若
R
，
m n
// p ，则（
）
3 A. 5
-3 B. 5
5 C. 3
5 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出向量 m n 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数的等式，解出即
可.
【详解】向量 m 2,1， n 0,1，m n 2, 1，
1.72 ，即 b
c.
因此， c b a .
故选：B.
【点睛】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合
指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.
8.在平面直角坐标系中，设角
的终边上任意一点
P
的坐标是
x,
y
，它与原点的距离是
r r
【详解】如下图所示：
DE
2
DC
2
1
AB
1
a
由题意可得
3
32
3，
BE
BA

2016-2017学年南通市启东市高一上期末数学试卷(含答案解析)

2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=．2．（5分）计算10lg3+log525=．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则t anα=．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=0．【解答】解：sin1440°=sin（4×360°）=sin0°=0．故答案为：0．2．（5分）计算10lg3+log525=5．【解答】解：原式=3+2=5．故答案为：5．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为﹣2．【解答】解：∵∥，∴﹣k﹣2=0，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为7．【解答】解：若{1}⊊A⊆{1，2，3，4}，则A={1，2}或{1，3}或{1，4}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，3，4}或{1，2，3，4}显然这样的集合A有7个，故答案为：7．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣22+2=﹣2，f（f（2））=f（﹣2）=（）﹣2﹣1=3．故答案为：3．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由函数y=3x+b的图象不经过第二象限，可得1+b≤0，求得b≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．【解答】解：∵sinθ=，θ∈（0，），∴cosθ=，∴sin（2θ﹣）=====．故答案为：．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=4．【解答】解：∵⊥，且||=2，∴=0，则．故答案为：4．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=﹣1008．【解答】解：∵函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），∴令x=0，y=0 得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，令y=﹣x 代入得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0 所以原函数是奇函数，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），∴f（n）=nf（1），∵f（1）=，∴f（﹣2016）=﹣f（2016）=﹣2016×f（1）=﹣2016×=﹣1008．故答案为：﹣1008．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．【解答】解：∵α∈（，2π），∴∈（），∴+==．故答案为：．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是[0，1）．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x﹣2a，a=0时，g（x）=﹣x，在（﹣∞，﹣1）递减，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，符合题意，a≠0时，则a＞0，g（x）的对称轴x=＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，只需g（﹣1）=a+1﹣2a＞0即a＜1即可，综上：0≤a＜1，故答案为：[0，1）．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．【解答】解：∵，是单位向量，且•=，不妨设=（1，0），=．设=（x，y）．∵•=•=2，∴x=2，y=2，解得y=．∴=（2，）．则||==．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，令f（x）=0，即2sin（2x﹣）﹣1，sin（2x﹣）=，解得：x=或x=，（k∈Z）．故相邻的零点之间的间隔依次为，．y=f（x）在[a，b]上至少含有10个零点，等价于b﹣a的最小值为4×+5×=．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+的定义域是A，∴定义域A={x|}={x|1≤x≤4}．（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，m＞m+2，无解；当B≠∅时，，解得1≤m≤2．∴m的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，∴•=•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=5，||2=2=（+）2=2+2•+2=22+2×2×1×cos60°+1=7，∴||=，cos∠BAC===；（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．∴=+，=﹣，∵=λ+，∴+=λ（+）+μ（﹣），∴，解得：，∴λ+μ=17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2；（2）令x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=（1+x）﹣x=f（x），故x＞0时，f（x）=（1+x）﹣x，故f（x）=；故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，故lga＞1或lga＜﹣1，解得：a＞10或0＜a＜．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立，故a≥且a≤在x∈[，]恒成立，令g（x）=，x∈[，]，则g′（x）=﹣，令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤，故g（x）在[，）递增，在（，]递减，故g（x）max=g（）=，令h（x）=，x∈[，]，h′（x）=＜0，故h（x）在x∈[，]递减，h（x）min=h（）=7，综上：≤a≤7．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=，∴PB=100tanα，DQ=100tan（﹣α﹣）=100tan（﹣α），∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ==100×100tanα+100tan（﹣α）==，其中α∈[0，]，∴当sin（2α+）=1时，即θ=时，S取得最小值为5000（2﹣）．…（8分）（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y，在△ABP中，tanα=，在△ADQ中，tanβ=，∴tan（α+β）==，∵PB+DQ=PQ，∴100﹣x+100﹣y=，整理可得：x+y=100+，∴tan（α+β）===1，∴α+β=，∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）f（x）的最小正周期T=，由2x﹣=，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=，（k∈Z）．（2）由函数g（x）=f（+）=sin（ωx+φ），（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+）﹣4λsin（2x﹣）=cos（4x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=1﹣2sin2（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2．∵x∈[，]上，则2x﹣∈[0，]．故sin（2x﹣）∈[0，1]．当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ=；当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ=，解得：λ=﹣，不在其范围内，故舍去．故得满足题意的λ的值为．（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），则有==3π，解得：T=4π，∴ω==．点（，1）在图象上，可得：+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴φ=﹣不符合题意．舍去．当==3π，解得：T=．∴ω=．点（，0）在图象上，+φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜．∴φ=，∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）点（，1）在图象上，验证：sin（）=sin=1符合题意．故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）．。

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一(下)期初数学试卷

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）若log2（a+3）+log2（a﹣1）=5，则a=．3．（5分）已知f（x）为奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=．4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．5．（5分）在△ABC中，若A=120°，a=2，b=，则B=．6．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．7．（5分）若，则cos（2x+2y）=．8．（5分）在△ABC中，cos2=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为．9．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．10．（5分）已知α是第二象限角，，则sin2α=．11．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（|θ|＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x）、g（x）的图象都经过点P（0，），则φ=．12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．13．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为．14．（5分）已知函数和g（x）=3sinxπ，若，则两函数图象交点的横坐标之和等于．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．16．（14分）已知函数．（1）求函数的值域和最小正周期；（2）求函数的单调增区间．17．（14分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．（16分）函数f（θ）=•，向量=（sinθ，cosθ），=，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（2）若点P（x，y）满足y=1，|x|≤1，试确定θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值．19．（16分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2017春•启东市校级月考）已知集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={0，1，2} ．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（5分）（2017春•启东市校级月考）若log2（a+3）+log2（a﹣1）=5，则a=5．【解答】解：log2（a+3）+log2（a﹣1）=5=log232∴，解得a=5，故答案为：5．3．（5分）（2017春•启东市校级月考）已知f（x）为奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=3．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）+g（1）=2可化为﹣f（1）+g（1）=2①，∵g（x）为偶函数，∴f（1）+g（﹣1）=4可化为f（1）+g（1）=4②，①+②得，2g（1）=6，解得g（1）=3，故答案为：3．4．（5分）（2015•新课标Ⅰ）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：65．（5分）（2017春•启东市校级月考）在△ABC中，若A=120°，a=2，b=，则B=30°．【解答】解：由题意A=120°，a=2，b=，正弦定理，可得：，解得：sinB=．∵A=120°，∴B＜60°．∴B=30°．故答案为30°6．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．7．（5分）（2017春•启东市校级月考）若，则cos（2x+2y）=﹣．【解答】解：∵cosxcosy﹣sinxsiny=cos（x+y）=，∴cos（2x+2y）=cos2（x+y）=2cos2（x+y）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．8．（5分）（2013秋•东胜区校级期中）在△ABC中，cos2=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故答案为：直角三角形．9．（5分）（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 8时，{a n}的前n项和最大．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．10．（5分）（2017春•启东市校级月考）已知α是第二象限角，，则sin2α=﹣．【解答】解：∵α是第二象限角，，∴cosα=﹣=﹣=﹣，可得：sinα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣．故答案为：﹣．11．（5分）（2017春•启东市校级月考）将函数f（x）=sin（2x+θ）（|θ|＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x）、g（x）的图象都经过点P（0，），则φ=．【解答】解：将函数的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数y=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，∵f（x）、g（x）的图象都经过点，则sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，sin（﹣2φ+θ）=sin（﹣2φ+）=．由于﹣2φ∈﹣2π，0），∴﹣2φ+∈（﹣，），∴﹣2φ+=﹣，∴φ=．故答案为：．12．（5分）（2017春•启东市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．【解答】解：∵AD∥BC，F是BC边的中点，∴==，∴=，∵，∴λ=，故答案为：13．（5分）（2017春•启东市校级月考）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为﹣．【解答】解：∵2sinxcosy﹣sinx+cosy=，∴2sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴（sinx+）（cosy﹣）=0，∴sinx=﹣或cosy=，∵x，y∈[0，2π]∴x=或，y=或，当x=，y=时，x﹣y取得最小值，最小值为﹣=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）（2017春•启东市校级月考）已知函数和g（x）=3sinxπ，若，则两函数图象交点的横坐标之和等于﹣4．【解答】解：在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：两图象都关于直线x=﹣对称，，共有4组对称点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为﹣4，故答案为：﹣4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．16．（14分）（2017春•启东市校级月考）已知函数．（1）求函数的值域和最小正周期；（2）求函数的单调增区间．【解答】解：（1）∵=cos sinx﹣sin cosx=sin（x﹣），即f（x）=sin（x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T==2π，又∵x∈R，∴﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴函数f（x）的值域为{y|﹣1≤y≤1}．（2）由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．17．（14分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．18．（16分）（2017春•启东市校级月考）函数f（θ）=•，向量=（sinθ，cosθ），=，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（2）若点P（x，y）满足y=1，|x|≤1，试确定θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值．【解答】解：（1）由P，且0≤θ≤π得θ=；f（θ）=•=====．∴f（θ）=f（）==2；（2）如图，作出平面区域Ω为线段AB．则得θ∈[]，f（θ）=sin（2θ+）+，∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，]，∴f（θ）的最小值=f（）=．19．（16分）（2017春•红旗区校级期中）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sin θ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）20．（16分）（2013•长宁区一模）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．参与本试卷答题和审题的老师有：742048；whgcn；wyz123；吕静；左杰；刘长柏；w3239003；wfy814；lincy；caoqz；lcb001；沂蒙松；海燕；sxs123；qiss（排名不分先后）菁优网2017年5月25日。

2016-2017学年江苏省南通市启东市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)

江苏省南通市启东市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（5分）若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．（5分）一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．（5分）一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．（5分）给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．（5分）已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．（5分）在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1=．7．（5分）在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．（5分）已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．（5分）已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．（5分）已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．（5分）已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A=a sin B．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．（14分）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．17．（14分）已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．（16分）已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．（16分）如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB 上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．（16分）已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m 的最小值．【参考答案】一、填空题（每题5分，共70分）1．【解析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为．2．[﹣2，]【解析】不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为[﹣2，]．3．4【解析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得x=，故答案为．4．①③【解析】直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为①③5．3x+2y﹣12=0【解析】设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为3x+2y﹣12=0．6．﹣4【解析】∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为﹣4．7．【解析】∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cos A==，∵A∈（0，π），∴sin A==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bc sin A=×5×4×=，故答案为．8．【解析】如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为9．（1，）【解析】设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为（1，）．【解析】直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为．11．【解析】∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为．【解析】根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为3+．13．或﹣3【解析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为或﹣314．【解析】∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为．二、解答题15．解：（1）在△ABC中，∵a sin B=b cos A．由正弦定理，得：sin A sin B=sin B cos A，∵0＜B＜π，sin B≠0．∴sin A=cos A，即tan A=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bc sin A≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．（1）证明：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）解：∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．17．解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）解：根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BC sin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．。

江苏省南通市启东2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。

江苏省南通市启东中学2016-2017学年高一上学期第一次月考数学试卷含解析

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：1．由实数x，﹣x,｜x|，，所组成的集合，最多含有个元素．2．若集合M={｛x|≤0｝｝，N={x|≥0｝，则M∩N=．3．若A=｛x|a﹣1≤x≤a+2｝，B={x｜3＜x＜5}，则A⊇B成立的实数a的取值范围是．4．使集合Y=｛1,3}且X∪Y={1，2,3,4},同时成立的集合X有．5．设f(x）的定义域为(1，3）,则函数f(x2）的定义域是．6．已知f（x）=，则f（8）=．7．对于定义在R上的函数，下列命题：（1)若f（﹣2）=f（2），则f（x）为偶函数;(2）若f（﹣2)≠f（2），则f（x）不是偶函数；（3）若f（﹣2）=f（2），则f（x）一定不是奇函数．其中正确的命题是（把所有正确命题的序号都填上）．8．已知函数f(x）是R上的增函数,A（0，﹣1），B（3，1)是其图象上的两点,那么｜f（x）｜＜1的解集是．9．函数f(x）=的单调递增区间是．10．函数y=2x﹣3+的值域为．11．函数f（x）=是函数（“奇”，“偶”，“非奇非偶”中选一合适的填空）．12．若函数y=x2﹣4x的定义域为［﹣4，a],值域为[﹣4,32］，则实数a的取值范围为．13．已知函数f(x）满足f（﹣x）=f(x），当a,b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．14．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数,且满足f（x﹣y）=f（x）g（y）﹣g（x）f （y），f（﹣2）=f（1)≠0，则g（1）+g（﹣1）=．二、解答题：15．已知集合A=｛x｜x2﹣6x+8＜0}，B=｛x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0};（1)若A⊊B，求a的取值范围；（2）若A∩B=｛x｜3＜x＜4},求a的取值范围．16．若函数f(x）=的值域是［﹣4,2）．(1）作出函数图象;(2）求f（x）的定义域．17．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D再回到A，设x表示P点的行程，f（x)表示PA的长，g（x）表示△ABP的面积．（1）求f（x）的表达式；(2)求g（x）的表达式并作出g(x）的简图．18．设函数f(x）=｜x2﹣4x﹣5｜．（1)在区间［﹣2，6]上画出函数f（x)的图象；（2）设集合A=｛x｜f（x）≥5}，B=（﹣∞，﹣2]∪［0，4］∪［6，+∞）．试判断集合A 和B之间的关系，并给出证明．19．若函数f（x）=是偶函数，且f(1）=2．(1）求a、b的值及f（x）；（2)判断函数f（x)在区间（0,+∞)上的单调性，并证明你的结论．20．已知二次函数f(x）=ax2+bx+c（a≠0）（a，b,c∈R）,且同时满足下列条件：①f（﹣1）=0；②对任意实数x,都有f（x）﹣x≥0；③当x∈（0，2）时,有f（x)≤(）2．(1）求f（1）;（2）求a，b，c的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，函数g（x）=f（x）﹣mx（m∈R)是单调函数，求m的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一(上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．由实数x，﹣x,|x｜,，所组成的集合，最多含有2个元素．【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】本题考查的是元素与集合的关系问题．在解答时首先要考虑好几何元素的特征特别是互异性，然后利用指数运算的法则对所给实数进行化简,即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：=｜x|，=x,并且|x｜=±x所以,以实数x，﹣x,|x｜，,所组成的集合最多含有x，﹣x两个元素．故答案是：2．2．若集合M={｛x｜≤0｝}，N=｛x|≥0}，则M∩N=M∩N=（﹣2，﹣1)∪{｝．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于M、N中x的范围,再取交集即可．【解答】解：M=｛｛x|≤0｝｝=｛x｜﹣2＜x≤｝，N=｛x｜≥0｝=｛x｜x或x＜﹣1｝，则M∩N=(﹣2，﹣1）∪{｝，故答案为:M∩N=（﹣2,﹣1）∪{｝．3．若A=｛x｜a﹣1≤x≤a+2｝，B={x｜3＜x＜5}，则A⊇B成立的实数a的取值范围是[3,4］．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】首先分析A，B两个集合，然后根据AB的关系构造不等式组,最后解出a的范围【解答】解：∵A=｛x|a﹣1≤x≤a+2}B={x｜3＜x＜5｝而A⊇B∴解得：3≤a≤4故答案为：[3，4］4．使集合Y=｛1，3}且X∪Y={1，2，3，4},同时成立的集合X有4．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意得到集合X必须包含元素2,4，所以一一列举求出集合X即为集合X的个数．【解答】解:因为Y={1，3}且X∪Y=｛1,2，3，4｝，∴X={2，4}，或{1，2,4｝，或｛3，2，4｝，或｛1，2，3，4}，所以集合X有4个．故答案为:45．设f(x）的定义域为(1，3）,则函数f（x2）的定义域是（，﹣1)∪（1，）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由x2大于1小于3,求解不等式即可得答案．【解答】解：由1＜x2＜3,得或，∴函数f（x2)的定义域是：（,﹣1）∪（1,）．故答案为：（,﹣1）∪（1，）．6．已知f（x）=，则f（8）=6．【考点】函数的值．【分析】由已知得f(8）=f（f（12））=f（9），由此能求出结果．【解答】解:∵f（x)=,∴f（8）=f(f（12））=f(9）=9﹣3=6．故答案为：6．7．对于定义在R上的函数，下列命题：（1）若f(﹣2）=f（2），则f（x）为偶函数；(2）若f（﹣2）≠f(2）,则f(x）不是偶函数;（3)若f（﹣2)=f（2），则f(x)一定不是奇函数．其中正确的命题是②（把所有正确命题的序号都填上）．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】对于①，利用偶函数的定义即可判断；对于②的逆否命题为真，原命题为真；对于③，列举反例即可．【解答】解：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意一个值都满足：f（﹣x）=f（x）对于①，仅满足f(﹣2）=f（2），不表明对于R上的其它值也成立，故①错误；对于②的逆否命题为：若f（x）是偶函数,则f(﹣2）=f（2)为真命题，故原命题为真；对于③,函数f(x）=0（x∈R）是奇函数，且满足f（﹣2)=f（2）,故③错误．故答案为：②．8．已知函数f(x)是R上的增函数，A（0,﹣1）,B（3，1）是其图象上的两点,那么｜f（x）｜＜1的解集是{x｜0＜x＜3｝．【考点】函数单调性的性质．【分析】由A、B为f(x)图象上的点,得f（0）=﹣1,f（3）=1，由|f（x)|＜1，得﹣1＜f（x)＜1，即f（0)＜f（x)＜f(3），再根据函数的单调性可解不等式．【解答】解:∵A、B为f（x)图象上的点，∴f（0）=﹣1，f（3）=1，由｜f(x）|＜1，得﹣1＜f（x）＜1，即f（0)＜f（x）＜f（3）,又f（x）为R上的增函数，所以0＜x＜3，即不等式的解集为｛x|0＜x＜3｝，故答案为:{x｜0＜x＜3}．9．函数f(x）=的单调递增区间是[0，1] ．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=2x﹣x2，则y=为增函数，由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2,即函数的定义域为［0,2］，函数t=2x﹣x2的对称轴为x=1,要求f（x）的单调递增区间，即求函数t=2x﹣x2的单调递增区间，∵t=2x﹣x2的单调递增区间为[0，1］，∴函数f（x）的单调递增区间为[0，1］,故答案为：[0,1］10．函数y=2x﹣3+的值域为[,+∞）．【考点】函数的值域．【分析】先进行换元，令t=,把已知函数可转化为关于t的二次函数，结合t的范围及二次函数的性质可求解【解答】解:令t=，则t≥0且x=∴y===根据二次函数的性质可知，函数在［0，+∞)上单调递增故当t=0即x=时函数有最小值，函数没有最大值故函数的值域为[）故答案为：[）11．函数f（x）=是奇函数（“奇"，“偶”,“非奇非偶"中选一合适的填空）．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】求出函数的定义域关于原点对称，再化简函数,利用奇函数的定义进行判断即可．【解答】解：由题意，，∴﹣1≤x≤1且x≠0，关于原点对称．∴f(x）==，∴f(﹣x)=﹣f（x），∴函数f（x）=是奇函数，故答案为:奇．12．若函数y=x2﹣4x的定义域为［﹣4，a］，值域为[﹣4，32]，则实数a的取值范围为2≤a≤8．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】先配方，再计算当x=2时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=（﹣4﹣2)2﹣4=32，利用定义域为［﹣4,a］，值域为[﹣4,32],即可确定实数a的取值范围．【解答】解:配方可得：y=（x﹣2)2﹣4当x=2时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=(﹣4﹣2）2﹣4=32；∵定义域为[﹣4，a]，值域为［﹣4,32]，∴2≤a≤8∴实数a的取值范围为2≤a≤8故答案为：2≤a≤813．已知函数f（x）满足f(﹣x）=f(x），当a，b∈（﹣∞,0）时总有，若f（m+1）＞f（2m),则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪(1，+∞）．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】先根据条件得到函数的奇偶性，再结合条件求出函数在（0，+∞)上的单调性，利用f（x）=f（|x｜)将f（m+1）＞f（2m）转化成f（|m+1|）＞f（｜2m|）进行求解，最后根据单调性建立关系式求解即可．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x)=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a,b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x)在（﹣∞,0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0,+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1｜）＞f（|2m|），即|m+1｜＜|2m｜，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣,解得:m∈（﹣∞，﹣）∪(1,+∞）故答案为：（﹣∞,﹣）∪（1，+∞）14．若f（x）和g(x）都是定义在R上的函数,且满足f（x﹣y）=f（x)g（y）﹣g(x）f（y)，f（﹣2)=f(1）≠0，则g（1）+g（﹣1)=﹣1．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】先主条件的变形得到函数是奇函数，再由f（﹣2）=f（1）提供的信息，利用主条件采用赋值的方法令x=1，y=﹣1来求解．【解答】解：∵f(x﹣y）=f（x）g（y）﹣g（x）f(y）=﹣［g（x）f（y）﹣f（x）g（y）］=﹣［f(y）g（x)﹣g（y）f（x）]=﹣f(y﹣x）∴f（x）是奇函数．﹣f（﹣2)=f（2）=f［1﹣（﹣1)]=f(1）g(﹣1)﹣f（﹣1）g（1）=f（1)g(﹣1）+f（1)g（1）=f（1）[g（﹣1)+g（1）］又∵f（﹣2)=f（1），∴g（﹣1)+g(1）=﹣1故答案为：﹣1二、解答题：15．已知集合A=｛x|x2﹣6x+8＜0｝，B=｛x｜（x﹣a）（x﹣3a）＜0｝；（1）若A⊊B，求a的取值范围；(2）若A∩B=｛x｜3＜x＜4}，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法．【分析】（1)集合A={x|x2﹣6x+8＜0｝为二次不等式的解集，直接解出，集合B为含有参数的二次不等式的解集,可按a与3a的大小进行分类讨论，再由条件A⊈B结合数轴即可解出a 的取值范围（2）由条件A∩B=｛x｜3＜x＜4｝可直接写出集合B，总而求出a的值．【解答】解:（1）根据题意，易得A=｛x|2＜x＜4｝a＞0时，B={x｜a＜x＜3a｝，∴应满足；a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，应满足无解;a=0时,B=∅，显然不符合条件；∴时,A⊆B（2)要满足A∩B={x|3＜x＜4｝，当a＞0，此时集合B={x|a＜x＜3a}a=3时,∵此时B=｛x|3＜x＜9}，成立，当a＜0时，此时集合B={x｜3a＜x＜a｝,不能满足A∩B=｛x｜3＜x＜4｝，故a=3．16．若函数f(x）=的值域是［﹣4，2)．（1）作出函数图象；（2）求f(x）的定义域．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】(1）对函数进行分离常数出来，在进行作图, （2）值域求定义域的问题可转化为不等式组来求解．【解答】解:（1)由f（x）=化简变形:f（x）==2+图象如图（2）由题意：∵f（x)的值域是［﹣4，2）．即：﹣4≤＜2，转化为不等式组：解得：．所以：f(x)的定义域(﹣∞，］．17．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D再回到A，设x 表示P点的行程，f（x）表示PA的长，g（x)表示△ABP的面积．（1）求f（x)的表达式；（2）求g(x)的表达式并作出g（x）的简图．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】(1）动点P各有不同位置，计算PA也有不同的方法,因此同样必须对P点的位置进行分类求解．（2）△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解．【解答】解：（1）如原题图，当P在AB上运动时，PA=x；当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA=当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=当P点在DA上运动时，PA=4﹣x，故f（x)的表达式为：f（x）=．（2)g（x)的简图：由于P点在折线ABCD上不同位置时，如原题图，当P在线段AB上时，即0≤x＜1时，S△ABP的面积S=0;=AB•BP=（x﹣1）;当P在线段BC上时，即1＜x≤2时，S△ABP=•1•1=当P在线段CD上时,即2＜x≤3时，S△ABP=（4﹣x）当P在线段DA上时，即3＜x≤4时，S△ABP故g(x)=．18．设函数f(x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间［﹣2，6]上画出函数f（x）的图象;（2）设集合A=｛x｜f（x)≥5}，B=（﹣∞,﹣2]∪［0，4]∪[6,+∞）．试判断集合A和B 之间的关系，并给出证明．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由f（﹣2）=7，f（﹣1）=f（5)=0，f(2）=9，f（6）=7，用描点法能作出区间[﹣2，6]上函数f（x)的图象（2)方程f（x）=5的解分别是和，由于f（x）在(﹣∞，﹣1］和［2，5]上单调递减,在[﹣1，2］和［5,+∞）上单调递增，因此．能判断判断集合A 和B之间的关系．【解答】解：（1)f（﹣2)=7，f（﹣1)=f(5）=0，f（2）=9，f（6）=7图象如下（2）方程f（x）=5的解分别是和，由于f（x）在(﹣∞，﹣1］和[2，5］上单调递减,在[﹣1，2]和［5，+∞）上单调递增，因此．由于，∴B⊂A．19．若函数f（x)=是偶函数，且f（1）=2．（1）求a、b的值及f（x)；（2)判断函数f（x)在区间（0,+∞）上的单调性,并证明你的结论．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由题意可得，f（﹣x）==f（x）=对任意x∈R恒成立，f（1）=2，从而求求a、b的值及f（x）；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞)上单调递减,再利用复合函数的单调性证明．【解答】解：（1）由题意可得，对任意x∈R，都有f（﹣x）==f（x)=，解得，a=0，又∵f（1）==2，∴b=4；故f（x)=；（2）函数f（x）在区间（0,+∞）上单调递减，证明如下，令u=x2+1，∵u=x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y=在（0,+∞）上单调递减，∴由复合函数的单调性可知，函数f（x)在区间(0，+∞)上单调递减．20．已知二次函数f（x)=ax2+bx+c（a≠0）（a,b,c∈R），且同时满足下列条件：①f（﹣1）=0；②对任意实数x，都有f（x）﹣x≥0；③当x∈(0，2）时，有f（x）≤(）2．(1）求f（1）；(2）求a，b，c的值；（3）当x∈[﹣1,1］时，函数g（x)=f（x）﹣mx（m∈R)是单调函数，求m的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】(1）令x=1，有f（1）﹣1≥0和f（1）≤（）2=1，求出f（1）；（2）由f(﹣1)=0,得a﹣b+c=0，①由f(1）=1得a+b+c=1②联立①②可得b=a+c=，再由f（x）﹣x≥0，即ax2+（a+c）x+c﹣x≥0，约束可得结果．（3)把第（1)、（2）问的结果代入g（x），得出对称轴方程，由二次函数的单调性可求．【解答】解:（1）由f（﹣1)=0，得a﹣b+c=0，①令x=1,有f（1）﹣1≥0和f（1）≤（）2=1，∴f(1）=1．（2)由f（1）=1得a+b+c=1②联立①②可得b=a+c=,由题意知，对任意实数x，都有f（x）﹣x≥0,即ax2+（a+c）x+c﹣x≥0，即ax2﹣x+c≥0对任意实数x恒成立，于是，即，∵，∴⇒，∴，∴∴，∴a=c=,b=．（3）由（2）得：g(x）=f（x）﹣mx=x2+x+﹣mx=［x2+(2﹣4m)x+1]此抛物线的对称轴方程为∵x∈[﹣1，1]时，g（x）是单调的,∴｜﹣｜≥1,解得m≤0或m≥1．∴m的取值范围是（﹣∞,0］∪［1,+∞）．2017年1月6日。

江苏省启东中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题-Word版含答案

江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期第一次月考高三(理科)数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知{}20,1,x x ∈，则实数x 的值是 ▲ .2.命题“20x x ∀∈≥R ，”的否定是 ▲ .3.已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ▲ . 4.函数()f x =定义域 ▲ .5.将函数sin(2)16y x π=--的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为 ▲ .6.已知集合A={}5x x >,集合B={}x x a >，若命题“x A ∈ ”是命题“x B ∈ ”充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .7. 函数2()1f x x ax =+-，若对于[,1]x a a ∈+恒有()0f x <，则a 的取值范围 ▲ . 8.已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且22265tan acB a c b=+-，则sin B 的值是 ▲ ．9.设α为锐角，若10.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3， AD = 2，E 为BC 中点，若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ▲ ．11.已知函数)(xf 在定义域]3,2[a -上是偶函数，在]3,0[上单调递减，并且则m 的取值范围是 ▲ . 12.已知函数2()()2x f x kx k R x =-∈+有两个零点，则k 的取值范围 ▲ .13.若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则ts= ▲ . 14. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知命题{}|11x x x ∃∈-<<,使等式20x x m --=成立是真命题. （1）求实数m 的取值集合M .(2)设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）求角A 的值；（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sinB ．17. (本小题满分14分) 已知函数12()2x x mf x n+-+=+（其中,m n 为参数）.（1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.18. （本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.(1) 若CB →·CA →＝92，求c 的最小值；(2) 设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎫cos2B ，1－2sin 2B2，且x ∥y ，求sin(B －A)的值．19．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在弧MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．20. （本小题满分16分）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．PDQCNBAM（第19题）江苏省启东中学2017届高三第一次调研测试理科数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.答案：－12. 答案：2,0x R x ∃∈<3. 答案：8m =4. 答案：1(2,)(0,)2+∞ 5.答案：sin(2)3y x π=+也可cos(2)6y x π=-.6.答案：5a <7. 答案：0a < 8.答案：359.答案：242510.以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设CD =x ，则→AB =（3，0），→AC =（x ，2）由→AB ·→AC = 3解得x =1．所以→AE =（2），→BC =（-2，2），所以→AE ·→BC =-311.因为函数)(x f 在定义域]3,2[a -上是偶函数，所以032=+-a ，所以5=a .所以即)22()1(22-+->--m m f m f ，所以函数)(x f 在]0,3[-上单调递减，而01)1(22,01222<---=-+-<--m m m m ，所以由)22()1(22-+->--m m f m f 得，⎪⎩⎪⎨⎧-+-<--≤-+-≤-≤--≤-22102230132222m m m m m m ，解得2121≤≤-m 12.01a <<或0a <.13.对曲线lny a x=求导可得ayx'=，对曲线212y xe=求导可得xye'=，因为它们在公共点(),P s t处具有公共切线，所以a ss e=，即2s ea=，又21lns2t a se==，即22lnsea s=，将2s ea=代入，所以1a=.所以12t=，s=，即ts=.14.解析：设g(x)＝e x(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方．因为g′(x)＝e x(2x＋1)，所以当x＜－12时，g′(x)＜0，当x＞－12时，g′(x)＞0，所以当x＝－12时，[g(x)]min ＝－2e－12，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝3e＞0，直线y＝ax－a恒过(1，0)，且斜率为a，故－a＞g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得32e≤a＜1.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(1)1|24M m m⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭.................................................................................5分(2)分1a=………7分. 当1a<时得14a<-…………..9分.当1a>得94a>…..11分综上所述:94a>或14a<-……………………………..14分.16.解：.因为sin(A)2cosA6π+=1A cos A2cos A2+=，即sin A=，因为()A0,∈π，且cosA0≠，所以tan A=A3π=. …………4分（1）因为22sin C cos C1+=，cosC=()C0,∈π，所以sin C由正弦定理知a csin A sinC=，即32a sin Ac sinC===，即230a c-=.…………7分（2）因为(0,)3Bπ∈，所以033A B B,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin()cos()1A B A B-+-=，所以3sin()5A B-=，…………10分所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B=--=---=……14分17. 1）121()21xxf x+-+=+，∴2211(1)215f-+==-+，1112(1)24f-+-==，∵(1)(1)f f-≠-，∴()f x不是奇函数………………………………4分（2）∵()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=++对定义域内任意实数x 成立，化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0x x m n mn m n -⋅+-⋅+-=， ∴20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩………………………………8分（注：少一解扣1分）（3）由题意得1,2m n ==，∴12112()(1)22221x x x f x +-+==-+++，易判断()f x 在R 上递减，∵1(())()04f f x f +<，∴11(())()()44f f x f f <-=-，∴1()4f x >-，∴23x <，∴2log 3x <，即所求不等式的解集为2(,log 3)-∞………………………..14分18.解：(1) ∵ CB →·CA →＝92，∴ abcosC ＝92，∴ ab ＝15…………………..3分∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ≥2ab －2ab·310＝21(当且仅当a ＝b 时取等号)．∵ c ＞0，∴ c ≥21，…………………………………………………………..5分 ∴ c 的最小值为21…………………………………………………….7分 (2) ∵ x ∥y ，∴ 2sin B ⎝⎛⎭⎫1－2sin 2B2＋3cos2B ＝0， 2sinBcosB ＋3cos2B ＝0，即sin 2B ＋3cos2B ＝0，∴ tan2B ＝－3，∴ 2B ＝2π3或5π3，∴ B ＝π3或5π6……………………10分∵ cos C ＝310＜32，∴ C ＞π6，∴ B ＝5π6(舍去)，∴ B ＝π3……………………………………………..12分∴ sin(B －A)＝sin[B －(π－B －C)] ＝sin ⎝⎛⎭⎫C －π3＝sinCcos π3－cos Csin π3＝9110×12－310×32＝91－3320…………………………………………..16分19．连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<， 2π3MP θ=- …………………2分若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==，若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==，若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP2cos PQ θθ∴=- …………………………4分在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ===，，2DQ θ= …………………………6分所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f ……………………10分1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf ………………12分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………14分所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. ……16分 20.解：（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得a y x x '=-，由题意，13a -=，所以2a =-． ………………………………3分（2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，因为对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数．…6分所以()20a F x x x '=+-≥在()0,+∞上恒成立，即22a x x -≥在()0,+∞上恒成立，所以()2max21a x x -=≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．……………………………8分（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………10分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x --+--++'=--==．因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+． ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分 ② 当11e a <+≤，即0e 1a <-≤时，()m x 在1x a =+处取最小值．令()11ln(1)10m a a a a +=+-++<，即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)a a a ++<+．考查式子1ln 1t t t +<-，因为1e t <≤，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0ea m a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-． …………………………16分。