解直角三角形在实际问题中的运用易错点剖析

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《解直角三角形的应用》教学反思[推荐]

《解直角三角形的应用》教学反思[推荐]第一篇：《解直角三角形的应用》教学反思[推荐]《解直角三角形的应用》教学反思嵩县纸房镇初级中学陈武杰今天，我上了一节初三数学校级公开课：《解直角三角形的应用》第二课时，以下先将教学过程作简要回述：一、创设问题情景导入问：同学们：每周一的早晨，在庄严的国歌声中，五星红旗冉冉升起。

当你仰头望着旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你想没想过：旗杆有多高呢？如何求旗杆的高度呢？引导学生利用已经学习过的相似三角形的知识解决。

思考：如果就你一个人，又遇上阴天，那么怎样测量出旗杆的高度呢？（导入新课）二、自主学习自主学习学课本113—114页的内容，并解决以下问题：1.什么是仰角、俯角？在练习本上画一画。

弄清这两个概念需强调什么?2.解直角三角形时常用的关系有哪些？三、合作研讨通过三道典型例题讲解，并解决情境导入时提的问题四、交流展示学生展示合作研讨内容五、拓展延伸本节课比较成功之处：1、从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.强调数学来源于生活又服务于生活；2、仰角、俯角是两个容易混淆的概念，在教学时组织学生讨论这两个概念的异同点很有必要；3、由浅入深的题组设计以变式训练呈现，解决了一系列问题有利于学生思维能力的发展，起到触类旁通的作用；4、渗透化归、图形分解组合、数形结合、方程等数学思想方法.本节课，虽然我花费了很多的心思合理设计了本课，但在实际教学的环节中，还是出现了一些问题：1、教学时组织学生讨论仰角、俯角这两个概念的异同点时未能深入：如何在实际问题中确定仰角、俯角，如何画水平线；2、教学中不能把学生的大脑看做“空瓶子”。

我发现按照自己的意愿在往这些“空瓶子”里“灌输数学”，结果肯定会导致陷入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的，所以是不是应该在教学过程中尽可能多的把学生的思维过程暴露出来，头脑中的问题“挤”出来，在碰撞中产生智慧的火花，这样才能找出症结所在，让学生理解的更加到位。

华东师大版九年级数学上册专题训练解直角三角形易错问题归纳-精选学习文档

专题训练(五) 解直角三角形易错问题归纳► 易错点一没有找准边、角的对应关系，生搬硬套1．在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝5，求AC 与BC 的长．► 易错点二没有说明在直角三角形中，缺少推理依据2．如图Z －5－1，△ABC 是一块绿地，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝20，求△ABC 的面积．图Z －5－1► 易错点三忽略锐角三角函数的取值范围3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若sin A 是方程2x 2－3x ＋1＝0的根，求BC 的长． ► 易错点四对坡度的概念理解不准确4．［2019·营口］某居民楼紧挨一座山坡AB ，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．如图Z －5－2所示，已知AE ∥BD ，斜坡AB 的坡角∠ABD ＝60°.为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC 与地面BD 成45°角，AC ＝20米．求斜坡BC 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图Z －5－2► 易错点五忘记分类讨论5．在△ABC 中，AB ＝12 2，AC ＝13，cos B ＝22，则边BC 的长为( ) A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或176．在△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝40 cm ，BC ＝25 cm ，求△ABC 的面积．1．解：∵tan60°＝AC 5， ∴AC ＝5tan60°＝5 3.由勾股定理，得BC ＝（5 3）2＋52＝10.2．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝20cos30°＝10 3， CD ＝12×20＝10， ∴tan45°＝10BD， ∴BD ＝10，∴AB ＝10＋10 3，∴S △ABC ＝12×(10＋10 3)×10＝50＋50 3. 3．解：因为方程2x 2－3x ＋1＝0的根为x ＝12或x ＝1，所以sin A ＝12或sin A ＝1. 由题意知∠A 为锐角，所以0<sin A <1，所以sin A ＝12.因为sin A ＝BC 10＝12，所以BC ＝5.4．解：如图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点C 作CN ⊥BD 于点N ，则四边形ACNM 为矩形，∴MN ＝AC ，CN ＝AM .∵∠ABD ＝60°，∠CBD ＝45°，∴BN ＝CN tan45°＝CN ，BM ＝AM tan60°＝33CN ，BC ＝CN sin45°＝2CN . ∵AC ＝BN －BM ，AC ＝20米，∴20＝CN －33CN ， ∴CN ＝30＋10 3≈47.30(米)，∴BC ＝2CN ≈1.41×47.30≈66.7(米)．答：斜坡BC 的长约是66.7米．5．D6．解：分两种情况讨论：(1)如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝40cos30°＝20 3，CD ＝12×40＝20， ∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3＋15)＝(200 3＋150)cm 2. (2)如图②，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝40cos30°＝20 3，CD ＝12×40＝20， ∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3－15)＝(200 3－150)cm 2. 答：△ABC 的面积为(200 3＋150)cm 2或(200 3－150)cm 2.。

解直角三角形易错剖析

（２）在ＡＡＢＣ中，ｔａｎＡ一的前提是ｃ
Ｃ，
＝９Ｏ。．
（３）ｔａｎ７５。：ｔａｎ（４５。＋３０。）≠ ｔａｎ４５。４－
ｔａｎ３０。正确答案是：ｔａｎ７５。一２＋√３．．（４）同角与互为余角的正、余切关系的混
淆而出现错误．正确答案为：ａ一３５。．正解选（Ｄ）．三、边角关系理解不透致错
角形相似的等边三角形，且对应边分别平行．
由题设ＥＦ／／ＢＣ，所以它的位似三角形有
一边应平行于ＢＣ，不妨就用ＢＣ作一条边，在
Ａ点的异侧作等边三角形ＯＢＣ，Ａ点就是位
似中心，连结（）Ａ与ＢＣ交于Ｄ点，再过Ｄ点
一旦．
４ ’
（３）ｔａｎ７５。一ｔａｎ（４５。＋３０。）＝ｔａｎ４５。＋
－
ｔａｎ３Ｏ。ｌｑＶ￣一
旦
；
．．
（Ｃ）４个
（Ｄ）都不对
错解选（Ｄ）．
分析（１）因受０≤ ｓｉｎａ￣１的影响，而错
误认为Ｏ＜ｔａｎａ＜１，正确答案为ｔａｎａ≥ ０．
作出等边三角形ＯＥＦ．
作法（１）以ＢＣ为一边，在点Ａ的异侧
作等边三角形ＯＢＣ．
（２）连结Ａ０，交ＢＣ于点Ｄ．
（３）经过Ｄ作ＤＥ／／ＯＢ交ＡＢ于Ｅ，作
ＤＦ／／ｏＣ交ＡＣ于点Ｆ．

2018年中考数学专题复习易错疑难解析第十一章解直角三角形

2018年中考数学专题复习易错疑难解析第十一章解直角三角形【易错点拨】1．锐角三角函数值与边的长度无关，与边的比值和角的大小有关．2．记忆特殊三角函数值不准确，造成计算错误．3．解直角三角形，不会准确选用三角函数，或者三角函数的定义不准确，导致线段比错误．4. 在解直角三角形的应用时，要注意以下几点：(1)要弄清仰角、俯角、坡角、方向角等概念的意义；(2)分析题意，画图并找出要求解的直角三角形，有些图形如果不是直角三角形，可以通过适当作辅助线构造直角三角形；(3)选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；(4)按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求确定答案，注明单位．5．解直角三角形应用的基本图形在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：（1）如图，不同地点看同一点：（2）如图同一地点看不同点：（3）如图利用反射构造相似：6．数形结合思想数形结合是重要的数学思想，解直角三角形的应用问题，需要充分运用数形结合思想．此类题型是中考的热点考题．【易错警示】易错点一：特殊三角函数值记忆模糊【例题1】(南昌中考)计算：sin30°＋cos30°·tan60°.【错解】原式＝32＋12×33＝233.【错因】特殊三角函数记忆不准确．sin30°＝1 2，cos30°＝32，tan60°＝ 3.【正解】原式＝12＋32×3＝12＋32＝2.【案例跟踪】（2016·山东潍坊·3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0，解得：sin α=，∵α为锐角，∴α=30°．故选B ．易错点二：坡比的概念模糊【例题2】(广安中考)如图35－17，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤坝高BC ＝50 m ，则迎水坡面AB 的长度是 ( )A ．100 mB ．100 3 mC ．150 mD ．50 3 m【错解】根据题意可得BC AB ＝13，把BC ＝50 m ，代入即可算出AB 的长，AB ＝3BC ＝503，故选择D.【错因】坡比是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比．错解中把坡比的概念弄成为铅直高度h 和斜坡长度的比．正确的是：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，∴BC AC ＝33，∵BC ＝50 m ， ∴AC ＝50 3 m ，∴AB ＝AC 2＋CB 2＝100 m ，故选A.【正解】A【案例跟踪】（2015•湖北十堰，第15题3分）.如图，小华站在河岸上的G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为8﹣5.5米．（结果保留根号）【解析】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH 即为AC长度．【解答：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．∵i==，AB=8米，∴BE=，AE=．∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+=8，AH=AE+EH=+0.7=5.5．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=8，tan30°==，∴CH=8．又∵CH=CA+5.5，即8=CA+5.5，∴CA=8﹣5.5（米）．答：CA的长约是（8﹣5.5）米．【点评】题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．【疑难解析】疑难类型之一：解直角三角形【例题】[2015·襄阳]如图34－10，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝ 2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．【解析】(1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cos C＝22，求出∠C＝45°，求出AE＝CE＝1，根据tan B＝13，求BE；(2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长．解：如答图，过点A作AE⊥BC于点E，∵cos C＝22，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tan B＝13，即AEBE＝13，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4；(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝12BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝2 2.【点悟】(1)利用三角函数解直角三角形的常见问题：已知斜边和一个锐角；已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一条直角边；已知两条直角边．(2)作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是常用的解题方法．【真题链接】链接1：（2016·湖北荆州·3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为58 米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′===4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）．故答案为：58．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．疑难类型之二：利用解直角三角形测量物体的高度(或宽度)【例题】（2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A 与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得到∠B=α=43°，然后利用∠B的正弦计算AB的长．【解答】解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．【真题链接】链接2：（2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan ∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF ，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB 的高度为95尺．疑难类型之三：利用解直角三角形解决航海问题【例题】（2016·四川内江）(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

解直角三角形在实际生活中应用

解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。

直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。

本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。

一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。

通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。

例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。

二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。

在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。

直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。

通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。

三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。

然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。

通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。

四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。

例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。

通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。

五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。

例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。

通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。

六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。

通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。

这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。

【二轮复习材料】解三角形中常见错误错因之浅析

解三角形中常见易错点分析先研究下面的问题.已知:在ABC ∆中,,150,8,4===A b a 解ABC ∆. 根据正弦定理,14150sin 8sin sin ===a Ab B , 因为 1800<<B ,所以 90=B ,于是60)(180-=+-=B A C ,解到这里,让我们惊讶的是所计算出来的角C 竟然是负角.问题出在何处呢?是我们利用正弦定理出现错误?分析已知条件,我们注意到8,4==b a ,这里150,=<A b a ,由三角形的性质,应该有,B A <因而B 也应该是一个钝角,而在一个三角形中是不可能有两个钝角的.这说明满足已知条件的三角形是不存在的.从上面的分析我们发现,在利用正弦定理和余弦定理解三角形时，要正确理解题设条件，不能简单的套用公式，否则解题时将出现严重失误.下面就解三角形时，容易出现的错误做一归纳，并就错因做一分析，以引起同学们关注.易错点1:不能挖掘隐含条件，进一步缩小角的范围例1 在ABC ∆中，已知53sin ,135cos ==B A ，求C cos 的值. 【错解】因为1312A sin ,135cos ==所以A .又54cos 53sin ±==B B ，所以 ①当.6516)sin sin cos (cos )A cos(cos ,54cos =--=+-==B A B A B C B 时 ②当.6556)sin sin cos (cos )A cos(cos ,54cos =--=+-=-=B A B A B C B 时【分析1】在ABC ∆中，因为1312A sin A ,0135cos =>=为锐角，所以则A .又，53sin =B 所以B A sin sin >,由正弦定理知b a >,由三角形的性质有B A >,所以B 角不可能为钝角，因此54cos -≠B . 【分析2】忽略对题中隐含条件的挖掘,事实上当时54cos -=B ,22135cos ,2254cos -=︒-<-=B 所以︒<<︒180135B又2160cos ,21135cos ,135cos =︒<==A A ,所以,180B A ,9060︒>+︒<<︒即A 矛盾,应舍去. 【正解】由错解和分析知:6516cos =C . 例2 已知角A,B,C 为ABC ∆的三个内角，其对应边分别为c b a ,,.若m =)2sin ,2cos(A A -，n =)2sin ,2(cos A A ,32=a ，m ·n 21= ,求b+c 的取值范围. 【错解】由正弦定理得432sin 32sin sin sin ====πA a C cB b 又3ππ=-=+A C B ，所以4)3sin(4)3sin(4sin 4sin 4sin 4≤+=-+=+=+ππB B BC B c b【分析】在求c b +的范围时，没有注意到角B 的范围.【正解】接上最后一步。

三角函数的应用(1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册

专题04三角函数的应用（1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.方向角问题题型2.坡度、坡角问题题型3.方案决策问题题型4.一题多解——求建筑物的高【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题【方法四】成果评定法【学习目标】1.进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。

2.能够把实际问题转化数学问题，能够借助计算器进行有关s'j函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，提高解决实际问题的能力。

3.能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。

重难点：把实际问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形形达到求解的目的。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:h i tan lα==.知识延伸※1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .【例1】．（2023秋•成都期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A ，其正下方水平面上的点记作点)B ，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点)C 出发向右上方（与地面成45︒，点A ，B ，C ，O 在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O 点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，75AOC ∠=︒，（求小李到古塔的水平距离即BC 的长．（结果精确到1m 1.41≈ 1.73)≈【分析】过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，根据题意可得：40AO=米，20OC=米，OE BD=，//OE BD，从而可得45EOC OCD∠=∠=︒，进而可得30AOE∠=︒，然后在Rt OCD∆中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt AOE∆中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，由题意得：8540AO=⨯=（米)，4520OC=⨯=（米)，OE BD=，//OE BD，45EOC OCD∴∠=∠=︒，75AOC∠=︒，30AOE AOC EOC∴∠=∠-∠=︒，在Rt OCD∆中，2cos452022CD OC=⋅︒=⨯=)，在Rt AOE∆中，3cos304032OE AO=⋅︒=⨯=（米)，3OE BD∴==)，310221BC BD CD∴=-=-≈（米)，∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【例2】．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡(D在直线BC上），坡角ADC∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1)m【参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93︒=；sin310.52︒=，cos310.86︒=，tan310.60︒=】【分析】首先在Rt ABC∆中，求出AC的长，再在Rt ADC∆，由tanACADCCD∠=，即可求出CD的长．【解答】解：在Rt ABC∆中，sinAC ABCAB∠=，sin4320.68 1.36() AC AB m∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC∆中，tanAC ADCCD ∠=，∴1.362.3()tan310.60ACCD m ==≈︒，∴斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.3m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，海岸边上有三个观测站A，B，C，观测站B在观测站A的东北方向，观测站C在观测站B的正东方向，观测站B，C之间的距离为30海里．某天，观测站A，B，C同时收到一艘轮船在D处发出的求救信号，经分析，D在观测站C的南偏东15︒方向，在观测站B的东南方向，在观测站A的正东方向．（1）求CD的长度．（结果精确到个位）（2）目前只有观测站A与B配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C处，才能再去D处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 1.414≈ 1.732)≈【分析】（1）过点C 作CE BD ⊥于点E ，利用方向角的意义，等腰直角三角形的性质和含30︒角的直角三角形的性质解答即可；（2）过点B 作BF AD ⊥于点F ，利用（1）的结论和等腰直角三角形的判定与性质求得AD 的长度，通过比较两个搜救艇到达D 处所需的时间解答即可．【解答】解：（1）由题意得：//AD BC ，45CBD ∠=︒，9015105BCD ∠=︒+︒=︒，30BC =海里．过点C 作CE BD ⊥于点E ，如图，则CBE ∆为等腰直角三角形，45BCE ∴∠=︒，21522BE CE ===（海里），60DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒，30CDE ∴∠=︒，2242CD CE ∴==≈（海里）；（2）观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．理由：由（1）知：152BE =海里，22156DE CD CE =-=（海里），(152156)BD BE DE ∴=+=海里．过点B 作BF AD ⊥于点F ，由题意得：45NAB BAD ∠=∠=︒，//BF AN ，45ABF ∴∠=︒，45DAF ∠=︒ ，90ABD ∴∠=︒，ABD ∴∆为等腰直角三角形，23030382AD BD ∴==+≈（海里）．∴观测站A 的搜救艇到达D 处需要8230 2.73÷=（小时）．观测站B 的搜救艇到达D 处需要：1(3042)300.5 2.4 2.92++÷=+=（小时），∴观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用已知条件恰当的添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.方向角问题1．（2023•高碑店市模拟）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55︒方向上，则河宽AB 的长为()A ．tan 55a ︒米B ．cos55a ︒米C ．tan 35a ︒米D ．tan 55a ︒米【分析】连接AB ，BC ，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：连接AB ，BC ，由题意得，90BAC ∠=︒，55ABC ∠=︒，AC a =米，tan tan 55AC ABC AB ∴∠=︒=，tan 55tan 55AC a AB ∴==︒︒，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•金东区二模）如图，小明在C 处看到西北方向上有一凉亭A ，北偏东35︒的方向上有一棵大树B ，已知凉亭A 在大树B 的正西方向，若50BC =米，则AB 的长等于()米．A ．5050sin 35cos35-︒︒B ．5050sin 35cos35+︒︒C ．50(cos35sin 35)︒-︒D ．50(cos35sin 35)︒+︒【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，先在Rt BCD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，CD 的长，然后在Rt ADC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt BCD ∆中，35BCD ∠=︒，50BC =米，sin 3550sin 35BD BC ∴=⋅︒≈︒（米)，cos 4550cos 35CD BC =⋅︒=︒（米)，在Rt ADC ∆中，45ACD ∠=︒，tan 4550cos 35AD CD CD ∴=⋅︒==︒（米)，50cos3550sin 3550(cos35sin 35)AB AD BD ∴=+=︒+︒=︒+︒米，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60︒方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米（结果保留根号）．【分析】过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，证PAN ∆是等腰直角三角形，得NA PA x ==米，再由锐角三角函数定义得MA =米，然后由MA NA MN +=，求出250x =-，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，由题意可知，60MPA ∠=︒，45NPA ∠=︒，PAN ∴∆是等腰直角三角形，NA PA x ∴==米，tan tan 60MAMPA PA∠==︒= ，MA ∴==（米)，500MA NA MN +== ，∴500x +=，解得：250x =-，即监测点P 到限速公路MN 的距离是250)-米，故答案为：250)-．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023春•沙坪坝区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D 、E 均在点C 的正北方向且600CE =米，点B 在点C 的正西方向，且BC =点B 在点A 的南偏东60︒方向且400AB =米，点D 在点A 1.414≈， 1.732≈ 2.449)≈．（1）求道路AD 的长度（精确到个位）；（2）若甲从A 点出发沿A —D —E 的路径去点E ，与此同时乙从点B 出发，沿B —A —E 的路径去点E ，其速度为40米/分钟．若两人同时到达点E ，请比较谁的速度更快？快多少？（精确到十分位）【分析】（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据题意可得：AF CG =，AG CF =，然后在Rt AFB ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AF ，BF 的长，从而求出CF 的长，再在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，即可解答；（2）利用（1）的结论可求出EG 的长，再在Rt AGE ∆中，利用勾股定理可求出AE 的长，然后在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DG 的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，由题意得：AF CG =，AG CF =，在Rt AFB ∆中，60BAF ∠=︒，400AB =米，∴1cos604002002AF AB=⋅︒=⨯=（米)，sin60400BF AB=⋅︒=⨯（米)，200CG AF∴==米，BC=∴CF BF BC=+=+=（米)，∴AG CF==米，在Rt ADG∆中，904545DAG∠=︒-︒=︒，∴980cos45AGAD==︒（米)，∴道路AD的长度约为980米；（2）600CE=米，200CG=米，400EG CE CG∴=-=（米)，在Rt AGE∆中，AG=米，∴800AE=（米)，在Rt ADG∆中，45DAG∠=︒，∴tan45DG AG=⋅︒=)，∴甲的路程400)AD DE AD DG EG=+=+-=米，乙的路程4008001200AB AE=+=+=（米)，乙的速度为40米/分钟，∴乙所用的时间12003040==（分钟），∴甲所用的时间也是30分钟，∴甲的速度42.4=≈（米/分钟），42.440 2.4∴-=（米/分钟），∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，五边形ABCDE 是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道AC ．经勘测，90BAE ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，且在景点B 的南偏东60︒方向的800米处，景点D 在景点C 的正南方向500米处，150AED ∠=︒ 1.414≈ 1.732)≈（1）求景点A 与景点E 的距离；（结果精确到1米）（2）甲、乙两人同时从景点A 出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点A ，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是A B C D E A →→→→→，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点C ？【分析】（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可；（2）利用（1）的结论分别计算出甲，乙两人的走的路程，再计算出到达点C 的时间即可．【解答】解：（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图，由题意得：800BC =米，500CD =米，60ABC ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，45BAC CAG ∴∠=∠=︒．在Rt BFC ∆中，60B ∠=︒ ，30BCF ∴∠=︒，400BF ∴=（米)，CF ==（米)．90AFC ∠=︒ ，45BAC ∠=︒，AF FC ∴==)，AC ∴==)，45CAG ∠=︒ ，90G ∠=︒，2AG GC AC ∴===（米)，500)DG CG CD ∴=-=米，150AED ∠=︒ ，30DEG ∴∠=︒，21000)DE DG ∴==米，(1200EG ∴==-米，1200359AE AG EG ∴=-=-≈（米)．答：景点A 与景点E 的距离359米．（2）乙先到达景点C ，理由：由（1）知：4008001893AB AF BF =+=++≈（米)，35910005001245AE DE CD ++=++=（米)，∴甲到达点C 所有的时间为189310018.93÷=（分)，乙到达点C 所有的时间为12458015.56÷≈（分)，18.9315.56> ，∴乙先到达景点C ．【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，方向角，近似数和有效数字，恰当的构造直角三角形是解题的关键．6．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，五边形ABCDE 是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD 是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B 在点A 的正北方935米处，点E 在点A 的正东方，点D 在点B 的北偏东74︒，且在点E 的正北方，90C ∠=︒，800BC =米，600CD =米．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.27︒≈，tan 74 3.55)︒≈（1）求AE 的长度（结果精确到1米）；（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A 点？请说明理由．【分析】（1）过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，根据垂直定义可得90BFE BFD ∠=∠=︒，再根据题意可得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，从而可得四边形ABFE 是矩形，进而可得AB FE =，AE BF =，//AB EF ，然后利用平行线的性质可得74GBD BDF ∠=∠=︒，在Rt BCD ∆中，利用勾股定理求出BD 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，即可解答；（2）在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 的长，从而求出DE 的长，然后进行计算，比较即可解答，【解答】解：（1）如图：过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，90BFE BFD ∴∠=∠=︒，由题意得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形，935AB FE ∴==米，AE BF =，//AB EF ，74GBD BDF ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒ ，800BC =米，600CD =米1000BD ∴===（米)，在Rt BFD ∆中，sin 7410000.96960BF BD =⋅︒≈⨯=（米)，960BF AE ∴==米，AE ∴的长度约为960米；（2）爸爸先到达A 点，理由：在Rt BFD ∆中，74BDF ∠=︒，1000BD =米，cos 7410000.27270DF BD ∴=⋅︒≈⨯=（米)，935EF = 米，9352701205DE DF EF ∴=+=+=（米)，∴小明从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行需要的时间450022.5200200AB BC CD DE AE ++++===（分钟），爸爸从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行需要的时间316521.1150150BD DE EA ++===（分钟），21.1 分钟22.5<分钟，∴爸爸先到达A 点．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，小明家A 和商店C 都在地铁站D 的正西方向，小亮家B 在地铁站的西北方，且在小明家北偏东15︒方向．一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米的商店C 时，小亮家B 恰在商店C 的北偏西30︒方向． 1.41≈， 2.45)≈（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿BD 方向前往地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁先到达地铁站呢？请说明理由．【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：75BAC ∠=︒，60BCA ∠=︒，从而利用三角形内角和定理可得45ABC ∠=︒，然后在Rt AEC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和CE 的长，再在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，即可解答；（2）过点B 作BF AC ⊥，垂足为F ，在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，从而求出BC 的长，然后在Rt BCF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 和CF 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 和BD 的长，从而求出CD 的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E，由题意得：901575BAC ∠=︒-︒=︒，903060BCA ∠=︒-︒=︒，18045ABC BAC BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt AEC ∆中，4AC =千米，1cos 60422CE AC ∴=⋅︒=⨯=（千米），3sin 60432AE AC =⋅︒=⨯=（千米），在Rt ABE ∆中，2326sin 4522AE AB ===︒，∴小明和小亮家的距离为26千米；（2）小明先到达地铁站，理由：过点B 作BF AC ⊥，垂足为F，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，AE =千米，tan 45AE BE ∴==︒，2CE =千米，(2BC BE CE ∴=+=+千米，在Rt BCF ∆中，60BCF ∠=︒，sin 60(2(32BF BC ∴=⋅︒=+⨯=+千米，1cos 60(2(12CF BC =⋅︒=+⨯=千米，在Rt BFD ∆中，904545BDF ∠=︒-︒=︒，(3tan 45BF DF ∴==︒千米，sin 45BF BD ==︒千米，3(12CD DF CF ∴=-=++=（千米），小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，∴小明到达地铁站需要的时间210.2584===（小时），小亮到达地铁站需要的时间0.27=（小时），0.25 小时0.27<小时，∴小明先到达地铁站．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．题型 2.坡度、坡角问题8．（2023•秦都区校级模拟）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37︒减至30︒，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD 的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73)≈【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，8AB =米，37ABC ∠=︒，则sin 80.60 4.8AC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，cos 80.80 6.40BC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，在Rt ADC ∆中，30ADC ∠=︒，则 4.88.30tan tan 3033AC CD ADC ===≈∠︒（米)，8.30 6.40 1.9BD CD BC ∴=-=-≈（米)，答：BD 的长约为1.9米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．题型3.方案决策问题9．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1AB m =，0.6BC m =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7AO m =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈3 1.732)≈【分析】（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E '⊥'于点F ，根据题意求出60C B F ∠''=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【解答】解：（1）如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt △AB E '中，1AB AB m '==，27B AD ∠'=︒，sin B E B AE AB '∠'='，sin 1sin 270.454()B E AB B AE m ∴'='⋅∠'=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：0.454 1.7 2.154 2.15()m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E '⊥'于点F ，在Rt △AB E '中，27B AD ∠'=︒，则902763AB E ∠'=︒-︒=︒，123AB C ABC ∠'=∠=︒ ，60C B F ∴∠''=︒，0.6B C BC m ''== ，1cos 0.60.3()2B F BC C B F m ∴'=''⋅∠''=⨯=，∴点C '到地面l 的距离为：2.150.3 1.85()m -=，1.85 1.8> ，∴没有碰头的危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．题型4.一题多解——求建筑物的高10．（2023秋•长春期末）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E 、C 、A 在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 270.5︒=，3 1.7=】．【分析】根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC ∆中，利用含30度角的直角三角形的性质得333CE DE m ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设AB h =m ，根据题意得：(33)DF EA h m ==，3DE FA m ==，则(3)BF h m =-，然后在Rt BDF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC ∆中，30DCE ∠=︒，90DEC ∠=︒，3DE m =，∴333CE DE m ==，BA EA ⊥ ，在Rt ABC ∆中，45BCA ∠=︒，AB h =m ，tan 45AB AC h m ∴==︒，∴)AE EC AC h m =+=，过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意得：3DE FA m ==，)DF EA h m ==，AB h = m ，(3)BF AB AF h m ∴=-=-，在Rt BDF ∆中，27BDF ∠=︒，tan 270.5(33)BF DF h m ∴=⋅︒=+，∴3)h h -=，∴611.1h =+=，11.1AB m ∴=，∴塔AB 的高度约为11.1m ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．11．（2023秋•闵行区月考）如图，AB ，CD 表示两栋建筑，小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度，首先他在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知1tan 3α=，1sin 3β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．试求建筑AB 的高度．【分析】延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (210)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，根据1sin 3β=求得2tan 4β=，于是得到210)4BM x =+，列方程解得30235x =+，于是得到1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m =⨯+++=+．【解答】解：延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (220)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，1sin 3β=，22cos 3β∴=，2tan 4β∴=，210)BM x ∴=+，∴12(220)10)34x x +=+，解得：30235x =，1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m ∴=⨯+++=+．答：建筑AB 的高度为(20231.5)m ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误12．（2023秋•诸城市期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 的高度．小亮站立在距离楼底部94米的D 点处，操控无人机从地面F 点，竖直起飞到正上方60米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 的俯角为30︒，小亮的眼睛点C 看无人机的仰角为45︒（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．求楼AB 的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米，3 1.7)≈【分析】过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，根据题意可得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，从而可得58.3EG =米，然后在Rt EGC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出CG 的长，从而求出IE 的长，再在Rt AIE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AI 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，由题意得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，60 1.758.3EG EF FG ∴=-=-=（米)，在Rt EGC ∆中，45ECG ∠=︒，58.3tan 45EG CG ∴==︒（米)，58.3CG DF ∴==米，9458.335.7IE BF BD DF ∴==-=-=（米)，在Rt AIE ∆中，30AEI ∠=︒，tan 3035.7AI IE ∴=⋅︒=⨯（米)，6039.77AB IB IA ∴=-=-≈（米)，∴楼AB 的高度约为39.77米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题1．（2023•淄博）如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625【分析】延长AD 交BF 于点H ，根据余弦的定义求出CH ，进而求出BH ，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，延长AD 交BF 于点H ，在Rt CDH ∆中，8.48CD =米，32DCH ∠=︒，cos CD DCH CH ∠=，8.4810cos 0.848CD CH DCH ∴=≈=∠（米)，10212BH CH BC ∴=+=+=（米)，90CDH ∠=︒ ，32DCH ∠=︒，903258DHC ∴∠=︒-︒=︒，AB BF ⊥ ，905832BAH ∴∠=︒-︒=︒，在Rt ABH ∆中，tan BH BAH AB ∠=，1219.2tan 0.625BH AB BAH ∴=≈=∠（米)，故答案为：19.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，45ACB ∠=︒，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使30D ∠=︒，则CD 的长度约为()（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．1.59米B ．2.07米C ．3.55米D ．3.66米【分析】由90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，得45ABC ACB ∠=∠=︒，则5AC AB ==米，由90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，得60ABD ∠=︒，则tan 603AD AB =︒=，所以3AD AB =，则3 3.66CD AD AC AB AC =-=-≈米，于是得到问题的答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，5AC AB ∴==米，在Rt ABD ∆中，90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，60ABD ∴∠=︒，∴tan tan 603AD ABD AB=∠=︒=，3AD AB ∴=，3 1.73255 3.66CD AD AC AB AC ∴=-=-≈⨯-≈（米)，CD ∴的长度约为3.66米，故选：D ．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出3AD AB =是解题的关键．3．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能(1.025cos )J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能()（参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈A ．58J B ．159J C ．1025J D ．1732J【分析】根据题意可得：他耗能1000(1.025cos30)=⨯-︒，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能1000(1.025cos30)1000(1.025159()J =⨯-︒=⨯-≈，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ，D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30/m min ，登山缆车的速度为60/m min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1)min ．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33)︒≈【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM ，进而求出DE 即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD 的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过点B 作BM AF ⊥于点M ，由题意可知，30A ∠=︒，53DBE ∠=︒，600DF m =，300AB m =，在Rt ABM ∆中，30A ∠=︒，300AB m =，11502BM AB m EF ∴===，600150450()DE DF EF m ∴=-=-=，答：登山缆车上升的高度DE 为450m ；（2）在Rt BDE ∆中，53DBE ∠=︒，450DE m =，sin DE BD DBE∴=∠4500.80≈562.5()m =，∴需要的时间t t t =+步行缆车300562.53060=+19.4()min ≈，答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4分钟．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．5．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268)︒≈【分析】过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：CD BE =，然后分别在Rt ABE ∆和Rt BDP ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 和DP 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，由题意得：CD BE =，在Rt ABE ∆中，15A ∠=︒，400AB =米，sin154000.259103.6BE AB ∴=⋅︒≈⨯=（米)，103.6CD BE ∴==米，在Rt BDP ∆中，30PBD ∠=︒，200BP =米，11002DP BP ∴==（米)，204PC PD DC ∴=+≈（米)，∴垂直高度PC 约为204米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题A ．10tan 40⋅︒米B 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，A ．170m【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点四边形ABED 是矩形，得到可求出答案．【详解】解：如图所示，过点由题意得AB CD AD ∥，∴AB AD ⊥，又∵BE CD ⊥，∴四边形ABED 是矩形，∴10m DE AB AD ==，在Rt EBC 中，tan α=∴105m CE =，∴115m CD DE CE =+=故选D ．4．（2023上·四川资阳则AC的长是（）A．53米B【答案】A【分析】本题考查了坡比计算，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】∵堤高5BC=米，迎水坡∴:5:1:==BC AC AC解得53AC=（米），故选A．5．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图∠脚AB的长为2米，BA．2tan70︒米B．2sin【答案】B【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出。

三角形在数学解题中的常见错误与纠正方法

三角形在数学解题中的常见错误与纠正方法在数学解题中，三角形是一个常见的几何图形。

然而，由于其复杂的性质和多样的题型，学生们常常犯一些错误。

本文将讨论一些常见的三角形相关错误，并提供纠正方法，以帮助读者更好地理解和解决三角形相关问题。

首先，一个常见的错误是将三角形的边长和角度混淆。

在解决三角形问题时，我们常常需要知道三角形的边长和角度。

然而，学生们往往将边长和角度之间的关系混淆，导致计算错误。

例如，当给出一个三角形的边长，我们不能仅通过这些边长来确定三角形的角度。

相反，我们需要使用三角函数（如正弦、余弦和正切）来计算角度。

因此，正确的做法是将已知的边长代入三角函数公式，然后解方程求得角度。

另一个常见的错误是在计算三角形面积时使用错误的公式。

三角形的面积可以通过底和高的乘积除以2来计算。

然而，有些学生错误地使用了其他形状的面积公式，例如正方形或长方形的面积公式，导致计算结果错误。

因此，在解决三角形面积问题时，我们必须正确地应用三角形面积公式，确保选择正确的底和高。

此外，学生们在解决三角形相似性问题时经常犯错。

相似三角形是指具有相同形状但可能不相等的三角形。

学生们常常错误地假设两个三角形具有相等的角度，或者错误地使用相似三角形的比例关系。

为了正确地解决这些问题，我们必须确定三角形的对应角度是否相等，并使用相似三角形的比例关系来求解未知边长或角度。

此外，一些学生在解决三角形问题时容易遗漏一些关键信息。

例如，当给出三角形的一半边长时，学生们常常忘记将其乘以2，以获得三角形的完整边长。

同样地，当给出三角形的一个角度时，学生们有时忘记这个角度是指内角还是外角，从而导致错误答案的产生。

因此，我们必须仔细读题，确保不遗漏任何重要信息，并正确应用所学的三角形性质和公式。

在纠正这些常见错误的方法方面，首先，学生们应该加强对三角形性质和公式的理解。

只有深入理解这些基本概念，才能更好地解决和避免错误。

其次，学生们应该多加练习，通过解决大量的三角形题目来提高他们的解题能力。

中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用

专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。

三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。

人教版初中数学九年级下册解直角三角形在实际问题中的运用易错点剖析

三角函数的应用常见错误示例一、例1 在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值（）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化错解：选A.错解分析：该题选A 是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选D.可画出草图，结合图形分析.要明白三角函数的本质只是一个比值.正解：D.二、例2 在△ABC 中，若sin A=32,且a=4,能否求出b,c 的值？错解： ∵sin A=c a =32,∴c 4=32,∴c=6. 由勾股定理，得b=22a c -=1636-=20=25.错解分析：对锐角三角函数的适用条件没有认真思考，△ABC 并没有说是直角三角形，所以不能当作是直角三角形来求.正解：不能，因为△ABC 不一定是直角三角形.三、例3 在△ABC 中，∠B=90°，BC=3,AB=5，求tan A ，cos A 的值.错解：在Rt △ABC 中，AC=22BC AB -=2235-=4. tan A=AC BC =43,cos A=AB AC =54. 错解分析：题中已指出∠B=90°，所以AC 应为Rt △ABC 的斜边，而上述解法是从印象出发，误以为∠C 的对边AB 是斜边，因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边.正解：在Rt △ABC 中，∠B=90°，925+=34. tan A=AB BC =53, cos A=AC AB =345=34345. 四、例4 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sin A ，tan A 的值.错解：在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AC=21BC ， ∴∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°.∴sin A=sin 60°=23,tan A=tan 60°=3.错解分析：本题错误地认为，在直角三角形中，一条直角边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角就是30°，没有分清斜边和直角边.正解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AB=22BC AC +=2221+=5.∴sin A=AB BC =52=552， tan A=AC BC =12=2. 五、例5 如图，飞机于空中A 处，测得地面目标B 处的俯角为α，此时飞机高度AC 为a 米，则BC 的距离为（）米.A.a tan αB.a tan αC.a sin αD.a cos α错解：选A.在Rt △ABC 中，∠BAC=α,AC=a,∴AC BC =tan α, ∴BC=AC ·tan α=atan α.错解分析：本题的错误在于没弄清俯角的定义，俯角是从上往下看时，视线与水平线的夹角，所以∠DAB=α,而不是∠BAC=α.正解：选B. ∵飞机在A 处目测B 的俯角为α，∴∠ABC=α.又∵在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=a,∴tan ∠ABC=BC AC , ∴BC=a =tan ABC tan ∠AC α. 六、例6 已知0°＜α＜30°,则cos α的取值范围是（）A.0＜cos α＜21B. 21＜cos α＜22 C. 22＜cos α＜23 D. 23＜cos α＜1 错解：选A.A CB D α错解分析：误将余弦函数当成正弦函数来求解，余弦函数的函数值是随着锐角度数的增大而减小，而正弦函数的函数值才是随着锐角度数的增大而增大.另外容易记错特殊角度的三角函数值也是这种题型的易错点之一，大家在解题过程中要注意多加体会！正解：选D.七、概念不清出错例7 如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm,且A,B,O 三点在一条直线上，测得点A 的俯角为α,点B 的俯角为β，求长江大桥AB 的长度.错解：在Rt △AOP 中，tan ∠APO=OPOA ，∠APO=α, ∴ OA=OP ×tan α.在Rt △BPO 中，∠BPO=β.∵tan ∠BPO=OP OB ,∴OB=OP ·tan ∠BPO.∴AB=OA-OB=OP(tan α-tan β)=a(tan α-tan β).错解分析：把从P 点观测A 点的俯角误认为∠APO ，从P 点观测B 点的俯角误认为∠BPO ，只有弄清俯角的概念才能避免该错误.正解：根据题意，得 ∠CPA=α，∠BPC=β,∴∠PAO=α，∠PBO=β.在Rt △POA 中，∵tan ∠PAO=OA OP ，∴OA=αtan OP . 在Rt △POB 中，∵tan ∠PBO=OB OP ，∴OB=βtan OP . ∴AB=OA-OB=αtan OP -βtan OP =OP(αtan 1-βtan 1)=a(αtan 1-βtan 1). 八、忽略直角三角形出错例8 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 的对边为a,b,c,且a:b:c=3:4:5,求证sinA+sinB=57. 错解：设a=3k,b=4k,c=5k,则sinA=c a =k k 53=53, sinB=c b =k k 54=54, ∴sinA+sinB=53+54=57. 错解分析：本题中没有说明∠C=90°，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明△ABC 为直角三角形，且∠C=90°后才能用定义.正解：设a=3k,b=4k,c=5k(k ＞0).∵a 2+b 2=(3k)2+(4k)2=25k 2=c 2,A B C P O a∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形. ∴∠C=90°.∴sin A=c a =k k 53=53, sin B=c b =k k 54=54, ∴sin A+sin B=53+54=57.。

直角三角形教案的常见错误及其纠正方法

直角三角形教案的常见错误及其纠正方法直角三角形教学是中学数学中至关重要的知识点。

但是，在学生学习过程中总存在一些常见错误和问题，如不理解基本概念和公式、计算错误、应用不当等，这些错误都可能影响学生的课堂成绩和终身学习。

本文将分析直角三角形教学中常见的错误及其纠正方法，以期帮助教师和学生更好地理解并解决这些问题。

一、基本概念与公式的错误1. 没有正确掌握勾股定理的含义勾股定理是直角三角形理论中最基本的定理，但有些学生并不理解它的含义，认为它只是一种求斜边长的方法。

实际上，勾股定理是指在一直角三角形中，直角边上的两个正方形面积和等于斜边上的正方形面积，即a²+b²=c²。

纠正方法：在教学过程中，应加强勾股定理的模型解释，让学生了解它与平面几何的联系，如直角三角形的特殊性质，以及勾股定理在随机模拟、三维视图等领域的应用。

2. 不熟悉三角函数的定义三角函数是直角三角形中最常用的概念，但有学生常常混淆正弦、余弦、正切等三角函数的定义。

正弦函数被定义为对于直角三角形中的某个角度，对边与斜边的比值。

余弦函数被定义为直角三角形中一角的邻边与斜边的比值，正切函数被定义为对边与邻边的比值。

纠正方法：引导学生了解三角函数的定义，通过实例练习，巩固相关知识点，以及通过三角形的应用题目，加深学生对三角函数的理解。

3. 缺乏解析式的计算能力在求解直角三角形的问题中，解析式是一种常用的计算方法，但是，一些学生没有掌握解析式的正确使用方式，并且无法依靠解析式进行计算，从而导致错误的答案。

纠正方法：通过练习来提高学生的解析式计算能力，点睛法和同分比法等实用工具揭示解析式的本质而不是记忆，从而让学生更好地理解解析式的意义。

二、计算错误1. 精度误差在进行距离比较时，误差和精度对结果的计算有决定性的影响。

如果学生在计算过程中没有注意到精度问题，那么，结果将会造成误导。

纠正方法：在解决问题时要注意精度问题。

八年级上册数学三角形最容易错的点

在八年级数学教科书上，三角形是一个非常重要的内容，也是学生们经常会遇到的内容。

然而，在学习三角形的过程中，很多学生容易犯一些错误。

本文将根据提供的主题，深入分析八年级上册数学中，最容易犯错的三角形知识点，并从浅入深地探讨这些容易犯错的点，帮助你更深入地理解这些知识。

1. 直角三角形的边长关系在学习直角三角形时，很多学生容易混淆直角三角形的边长关系。

在直角三角形中，对于三条边a、b和c，我们知道a、b是直角边，c是斜边。

而很多学生在计算直角三角形的边长关系时，经常容易混淆a、b和c的关系，导致计算错误。

2. 角平分线的性质另一个容易出错的地方是角平分线的性质。

在许多三角形题中，角平分线经常会出现，但很多学生对于角平分线的性质理解不够深入，导致在解题时出现错误。

角平分线的性质是一项非常重要的三角形知识点，需要认真对待。

3. 不等边三角形的边角关系不等边三角形是另一个容易出错的知识点。

在解题时，学生们经常会把等边三角形和不等边三角形的性质混淆，导致在计算边长和角度时出现错误。

需要重点理解不等边三角形的性质，并加以区分。

4. 外角与内角的关系在学习三角形的过程中，外角与内角的关系也是一个容易混淆的知识点。

许多学生在计算三角形的外角和内角时，往往会出现混淆或计算错误，因此需要详细了解外角与内角的关系，避免犯错。

八年级上册数学中，三角形是一个容易出错的知识点，学生们在学习这部分知识时需要格外小心。

要避免犯错，首先要对直角三角形的边长关系、角平分线的性质、不等边三角形的边角关系和外角与内角的关系有深入的理解。

在解题过程中要仔细核对每一步的计算，确保不出现错误。

通过认真学习和练习，相信你一定能够掌握这些知识，避免犯同样的错误。

希望我的观点和理解能够帮助你更好地掌握这些知识，祝你学习进步！八年级数学教科书中关于三角形的知识点确实是一个容易出错的地方，但只要我们认真学习和练习，相信我们一定能够掌握这些知识，避免犯同样的错误。

九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用错解剖析素材新人教版(new)

解直角三角形错解剖析一、忽视直角三角形致错例1：在ABC △中A B C ∠∠∠，，的对边为a b c ，，，且a ：b :c =3：4：5,求证：57sin sin =+B A ．错解证明：设345a k b k c k ===，，，则5353sin ===k k c a A ，5454sin ===k k c b B ． ∴575453sin sin ===+B A ．分析本题中没有说明︒=∠90C ，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的,应先证明ABC △为直角三角形，且︒=∠90C 后才能用定义．正解证明:设345(0)a k b k c k k ===>，，，∵22222225)4()3(c k k k b a ==+=+，∴ABC △是以c 为斜边的直角三角形．∴︒=∠90C ．则5353sin ===k k c a A ，5454sin ===k k c b B ． ∴575453sin sin ===+B A ．二、混淆规律、特殊函数值致错例2 下列说法：（1）若α为锐角,则0tan 1a <<；(2）在ABC ∆中，已知34a b ==，,则43tan =a ；（3）33333130tan 45tan )3045tan(75tan +=+=︒+︒=︒+︒=︒； (4）若α为锐角，且a cot 35tan 1=︒，则︒=55α．其中正确的说法是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．都不对错解选D分析（1）因受0tan 1a <<的影响,而错误认为0tan 1a <<，正确答案为tan 0a >．（2）在ABC △中，ba A =tan 的前提是︒=∠90C ．(3)︒75tan 不是tan 与︒75的积，而是一个整体，︒75tan 表示︒75的正切．正确答案是：3275tan +=︒．（4）同角与互为余角的正、余切关系的混淆而出现错误．正确答案为：︒=35α．正解选D ．三、边角关系理解不透致错例3 在Rt ABC △中，︒=∠90C ，AC=1cm ，BC=2cm ，求sinA,tanA ．错解在Rt ABC △中，∵︒=∠90C ，AC=1，BC=2, ∴BC AC 21=． ∴︒=∠90B ． ∴︒=∠60A ．∴sin tan A A == 分析错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为︒30”,没有分清斜边和直角边,避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答．正解在Rt ABC △中，∵︒=∠90C ，∴5212222=+=+=BC AC AB ． ∴55252sin ===AB BC A , 212tan ===AC BC A ．四、概念不清致错例4 如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm ，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得点A 俯角为α，点B 的俯角为β，求长江大桥AB 的长度．aO PC B A错解在Rt AOP △中tan OA APO APO OPα∠=∠=， ∴OA=OP×tan a ．在Rt BPO △中，BPO β∠=．∵tan OB BPO OP∠=,∴BPO OP OB ∠•=tan ． ∴AB=OA—OB=OP （βαtan tan -）=a (βαtan tan -）．分析把从P 点观测A 点的俯角误认为APO ∠,从P 点观测B 点的俯角误认为BPO ∠，只有弄清俯角才能避免该错误．正解根据题意,得CPA BPC αβ∠=∠=，,∴PAO PBO αβ∠=∠=，．在Rt POA △中，cot cot OA PAO OA OP OPα∠=∴=•，．在Rt POA △中,cot cot OA PAO OA OP OP β∠=∴=•，． ∴AB=OA—OB=βαcot cot •-•OP OP=OP （βαcot cot -）=a （βαcot cot -）．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

秋九年级数学上册专题训练解直角三角形易错问题归纳 (新版)华东师大版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————专题训练(五) 解直角三角形易错问题归纳►易错点一没有找准边、角的对应关系，生搬硬套1．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝5，求AC与BC的长．►易错点二没有说明在直角三角形中，缺少推理依据2．如图Z－5－1，△ABC是一块绿地，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝20，求△ABC的面积．图Z－5－1►易错点三忽略锐角三角函数的取值范围3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10.若sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，求BC的长．►易错点四对坡度的概念理解不准确4．［2016·营口］某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．如图Z－5－2所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°.为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝20米．求斜坡BC 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图Z－5－2►易错点五忘记分类讨论5．在△ABC中，AB＝12 2，AC＝13，cos B＝22，则边BC的长为( )A．7 B．8 C．8或17 D．7或176．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝40 cm，BC＝25 cm，求△ABC的面积．1．解：∵tan60°＝AC 5， ∴AC ＝5tan60°＝5 3.由勾股定理，得BC ＝（5 3）2＋52＝10.2．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝20cos30°＝10 3， CD ＝12×20＝10， ∴tan45°＝10BD， ∴BD ＝10，∴AB ＝10＋10 3，∴S △ABC ＝12×(10＋10 3)×10＝50＋50 3.3．解：因为方程2x 2－3x ＋1＝0的根为x ＝12或x ＝1，所以sin A ＝12或sin A ＝1. 由题意知∠A 为锐角，所以0<sin A <1，所以sin A ＝12. 因为sin A ＝BC 10＝12，所以BC ＝5.4．解：如图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点C 作CN ⊥BD 于点N ，则四边形ACNM 为矩形，∴MN ＝AC ，CN ＝AM .∵∠ABD ＝60°，∠CBD ＝45°，∴BN ＝CNtan 45°＝CN ，BM ＝AM tan60°＝33CN ，BC ＝CN sin45°＝2CN . ∵AC ＝BN －BM ，AC ＝20米， ∴20＝CN －33CN ， ∴CN ＝30＋10 3≈47.30(米)，∴BC ＝2CN ≈1.41×47.30≈66.7(米)．答：斜坡BC 的长约是66.7米．5．D6．解：分两种情况讨论：(1)如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝40cos30°＝203，CD ＝12×40＝20， ∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3＋15)＝(200 3＋150)cm 2.(2)如图②，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则 AD ＝40cos30°＝20 3，CD ＝12×40＝20，∴DB ＝252－202＝15，∴△ABC 的面积为12×20×(20 3－15)＝(200 3－150)cm 2. 答：△ABC 的面积为(200 3＋150)cm 2或(200 3－150)cm 2.。

解直角三角形问题常见错解剖析

解直角三角形问题常见错解剖析
熊志新;唐志凌
【期刊名称】《初中数语外辅导：初中版》
【年(卷),期】2005(000)006
【摘要】一、忽视直角三角形致错例1 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a,b,c,且a:b:c=3:4:5，求证：sinA+sinB=7/5。

【总页数】2页(P13-14)
【作者】熊志新;唐志凌
【作者单位】湖北
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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