2014年新人教A版选修4-6 1

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高中数学第一讲四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4

四角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.射影定理的有关计算如图，在Rt，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x . 因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ，所以BC ＝12m .又因为CD ⊥AB ，所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m .所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316 m 2，得CD ＝34m . 因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m .2．已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长．解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).利用射影定理证明如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H . 则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC .而DE ＝GF ＝EF ，∴EF 2＝BE ·FC .4.如图，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形，求证：DE ⊥DF . 证明：在Rt △ABC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，AD 2＝CD ·BD . 所以AC AB＝CD BD＝ CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. 因为AC ＝AE ，AB ＝BF ，所以AE BF ＝ADBD.又∠FBD ＝60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ，所以∠FBD ＝∠EAD ，所以△EAD ∽△FBD . 所以∠BDF ＝∠ADE .所以∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. 所以DE ⊥DF .课时跟踪检测(五)一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图，∵∠A ＝∠A ， ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的长是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：选B ∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠AEB ＋∠DEF ＝90°.因为∠DEF ＋∠DFE ＝90°，所以∠AEB ＝∠DFE . 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝________.解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD.∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝6262－3.623.62＝64. ∴BC ＝8. 答案：8 三、解答题8．如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.9.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF . 证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF，所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ，所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F ， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理，BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.。

人教版高中历史选修4第6单元第1课_杰出的中医药学家李时珍(2022年(有答案))

人教版高中历史选修4第6单元第1课杰出的中医药学家李时珍（2022年（有答案））选择题1. 父亲希望李时珍走科举之路的主要原因是A.受中国传统观念的影响B.民间医生的社会地位卑微C.通过科举考试可以出人头地D.李时珍聪明好学，14岁就考取了秀才2. 李时珍曾经对父言诗明志：“身如逆流船，心比铁石坚。

望父全儿志，至死不怕难。

”诗中表达的李时珍的志向是A.科考做官B.读书应试C.编修本草D.终生行医3. 李时珍在太医院担任院判不到一年便托病辞职回乡，主要是由于他A.打算编纂《本草纲目》B.淡泊功名C.打算闭门读书，潜心研究D.心系民间4. 中国古代药物学的最高成就是明代李时珍的A.《伤寒杂病论》B.《黄帝内经》C.《本草纲目》D.《齐民要术》5. 对于明代李时珍的《本草纲目》，不正确的是A.体现了生物进化的观点B.是古代药物学的最高成就C.吸收了西方农学的思想和方法D.创立了当时世界上最先进的分类法6. 在李时珍之前，我国已存在《神农本草经》《唐本草》等药物学著作。

李时珍编写《本草纲目》的主要目的是什么A.帮助父亲更好地行医B.名扬天下C.纠正过去医书的错误D.入朝为官7. 在编写《本草纲目》的过程中，李时珍曾亲自去江河湖泽，终于弄清了、莼、杏三种水生植物的区别。

为了弄清曼陀罗花的麻醉作用，他不顾危险，亲口尝服曼陀罗酒，亲笔记下感受。

这说明李时珍A.性格比较执拗B.只信自身所见C.治学态度严谨D.轻视前人经验8. 李时珍写《本草纲目》用了27年，达尔文写《物种起源》用了27年，马克思写《资本论》用了40年。

这一切说明A.善于抓住时机是取得成功的关键B.善于写书能促使人取得卓越成就C.坚持不懈是人们通向成功的阶梯D.只要克服重重困难，就能使人达到预期目的9. 王世贞称《本草纲目》“如入金谷之园，种色夺目；如登龙君之宫，宝藏悉陈”。

主要是指A.李时珍医术高超B.《本草纲目》被人们视为宝物C.《本草纲目》内容详细、全面D.《本草纲目》插图精美10. 达尔文称《本草纲目》是“中国的百科全书”，主要是因为它A.涉及的学科领域广B.记载的药物种类多C.分类方法先进D.对世界影响巨大11. 《本草纲目》运用了先进的药物分类法，其首创的逐级分类的依据是A.药物的名称B.药物的产地C.药物的价格高低D.药物的自然属性12. 《本草纲目》附有大量的药物形态图（如下图），李时珍这样做主要是为了A.使自己的著作图文并茂B.介绍用文字无法表述的药物C.使药物分类更直观清晰D.增加人们对药物的感性认识13. 以下说法中不正确的是A.因为医术精湛，李时珍被皇族楚王聘用。

人教版A版高中数学选修4-6同余的性质

同余的基本性质
例6 证明: 若n是正整数, 则1342n + 1 3 n + 2. 证明由 42n + 1 3 n + 2 = 442n 93 n = 416n 93 n 43n 93 n = 133 n 0 (mod 13) 得证。
同余的基本性质
例7 证明：若2 | a，n是正整数，则
因此
(mod 641)。
225 1 0 (mod 641)，
即641 225 1。
同余的基本性质
注: 一般地，计算ab (mod m)常是一件比较繁复的工作。但是，如果利用 Euler 定理或 Fermat定理（见第四节）就可以适当简化。
同余的基本性质
例4 求(25733 46)26被50除的余数。解 (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 21 29 (mod 50)，即所求的余数是29。
定理2 同余具有下面的性质： (ⅰ) (自反性) a a (mod m)； (ⅱ) (对称性) a b (mod m) b a (mod m);
(ⅲ) (传递性) a b，b c (mod m) a c (mod m)。
证明留作习题。
同余的基本性质
定理3 设a，b，c，d是整数，并且
证明由 a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
所以必是 pa 1或pa 1，
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。

人教A版高中数学选修4-1全册课件

● 在三角形ABF中， ● ∵AF∥ME，且M为AB的中点， ● ∴E为BF的中点，故BE＝EF. ● 同理，在三角形CDE中， ● ∵CE∥NF，且N为CD的中点， ● ∴F为DE的中点，故DF＝EF. ● ∴BE＝EF＝FD．
●
平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有
线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题．
● A．AE＝CE ● B．BE＝DE ● C．CE＝DE ● D．CE >DE ● 【答案】C
● 4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于( )
● A．9
B．10
● C．11
D．12
● 【答案】A
•平行线等分线段定理
● 【例1】如图所示，已知M，N分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，CM 交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线段BE，EF，FD之间的关系，并给出证明．
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●第2课时平行线分线段成比例定理
● 1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
________．
成比例
● 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对
应线段________．
成比例
3．比例的性质：
(1)比例的基本性质：若 bd≠0，则ab＝dc⇔_a_d_＝__bc___.特殊
1．如图所示，a∥b∥c，那么下列结论中错误的是( ) A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC D．由 GH＝12FH 可得 CD＝DE 【答案】B
•经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

2014年人教A版选修4-1课件 1.平行线等分线段定理

又∵A1A2=A2A3, ∴B1B2=B2B3.
思想: 借助平行四边形对边相等.
已知: A1, A2, A3 是直线 l 上的点, A1A2=A2A3, 直线 l1//l1//l3. 直线 l 分别交 l1, l2, l3 于 B1, B2, B3. 求证: B1B2=B2B3.
证明: (2) 当 l//l 时 (如图), 作 B1C1//l, 交 l2于C1; B2C2//l, 交 l3于C2. ∵l1//l2//l3, ∴ A1A2C1B1, A2A3C2B2 是平行四边形, 则 A1A2=B1C1, A2A3=B2C2, 又∵A1A2=A2A3, ∴B1C1=B2C2. ① l A1 A2 A3
3
在什么条件下, 可能得什么结论, 请写出你的猜想.
问题 1. 请同学们画一直线 l, 并在 l 上取线段 A1A2=A2A3, 然后分别经过点 A1, A2, A3 画三条互相平行的直线 l1, l2, l3. (1) 画直线 l//l, 依次交三条平行线于 B1, B2, B3. 量一量, B1B2 与 B2B3 相等吗? (2) 画直线 l 不平行 l, 依次交三平行线于 C1, C2, C3. 量一量, C1C2 与 C2C3 相等吗? l l l 猜想: A1 B1 C1 l 1 如果一条直线被三条 A2 B2 平行直线截得的线段相等, C2 l2 那么这三条平行线截其他 B3 A3 C3 l 直线所得的线段也相等. 3 猜想是否正确?
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
推广: 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线段也相等. l l l 问题3. 将 l 平移使 B1 与 A1B1 B1 l1 A1 重合, 类比推论 2, 你将又 A2 B2 B2 l2 得到什么结论? C1 C1 B3 B3 A3 l3 C2 C2

【人教版】高中化学选修4知识点总结：第二章化学反应速率和化学平衡

第二章化学反应速率和化学平衡一、化学反应速率课标要求1、掌握化学反应速率的含义及其计算2、了解测定化学反应速率的实验方法要点精讲1、化学反应速率（1）化学反应速率的概念化学反应速率是用来衡量化学反应进行的快慢程度的物理量。

（2）化学反应速率的表示方法对于反应体系体积不变的化学反应，通常用单位时间内反应物或生成物的物质的量浓度的变化值表示。

某一物质A的化学反应速率的表达式为：式中——某物质A的浓度变化，常用单位为mol·L-1。

——某段时间间隔，常用单位为s,min,h。

υ——物质A的反应速率，常用单位是mol·L-1·s-1，mol·L-1·s-1等。

（3）化学反应速率的计算规律①同一反应中不同物质的化学反应速率间的关系同一时间内，用不同的物质表示的同一反应的反应速率数值之比等于化学方程式中各物质的化学计量数之比。

②化学反应速率的计算规律同一化学反应，用不同物质的浓度变化表示的化学反应速率之比等于反应方程式中相应的物质的化学计量数之比，这是有关化学反应速率的计算或换算的依据。

（4）化学反应速率的特点①反应速率不取负值，用任何一种物质的变化来表示反应速率都不取负值。

②同一化学反应选用不同物质表示反应速率时，可能有不同的速率数值，但速率之比等于化学方程式中各物质的化学计量数之比。

③化学反应速率是指时间内的“平均”反应速率。

小贴士：①化学反应速率通常指的是某物质在某一段时间内化学反应的平均速率，而不是在某一时刻的瞬时速率。

②由于在反应中纯固体和纯液体的浓度是恒定不变的，因此对于有纯液体或纯固体参加的反应一般不用纯液体或纯固体来表示化学反应速率。

其化学反应速率与其表面积大小有关，而与其物质的量的多少无关。

通常是通过增大该物质的表面积（如粉碎成细小颗粒、充分搅拌、振荡等）来加快反应速率。

③对于同一化学反应，在相同的反应时间内，用不同的物质来表示其反应速率，其数值可能不同，但这些不同的数值表示的都是同一个反应的速率。

人教版A版高中数学选修4-6整除的概念和性质

(2)已知两个三位数abc与def的和abc+def 能被37整除，证明：六位数也能被3 7整除
思路点拨 (1)x-a，x-b,x-c，x-d是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9 分解为4个互不相等的因数的积； (2)因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数abcdef用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系。
断有( A )．．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例题求解
【例3】已知7位数1287xy6是7 2的倍数，求出所有的符合条件的7位数。
思路点拨 7位数1287xy6能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质求出x，y的值。
例题求解
【例4】 (1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)9=0,求证：4|(a+b+c+d)．
知识纵横
整除有以下基本性质：
1．若a|b，a|c，则a|(b±c)；
2．若a|b，b|c，则a|c；
3．若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c；
4．若b|a，c|a，且(b，c)=1，则 bc|a
解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：
1．被2整除的数：个位数字是偶数；
2．被5整除的数：个位数字是0或5；
3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被2 5整除的数，末两位组成的被2 5整除；
4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的被125整除；
5．被3整除的数：数字和被3整除；
6．被9整除的数：数字和被9整除；
学力训练

2014年人教A版选修4-1课件选修4-1复习与小结

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
7. 圆周角定理的推论推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2 半圆的弦是直径. 推论 3 在同圆中, 两平行弦所夹的弧相等.
8. 圆内接四边形的性质定理1 圆的内接四边形的对角互补. 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内对角.
11. 圆的切线的判定
判定定理: 经过圆的半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用距离判定: 如果圆心到一直线的距离等于圆的半径, 则圆与这条直线相切.
12. 相交弦定理与割线定理相交弦定理: 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的积相等.
割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. B
5. 直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项. CD2=AD· DB. AC2=AD· AB. BC2=BD· BA.
A D B C
6. 圆周角、圆心角及弦切角定理
圆周角定理: 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆心角定理: 圆心角的弧度数等于它所对弧的度数. 弦切角定理:
知识要点例题选讲补充练习自我检测
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1. 平行线等分线段定理及推论平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论 2 经过梯形一腰的中点, 且与底边平行的直线平分另一腰.
解: ∵ PB 与圆 O 相切于点 B,
则∠PBA=∠BCA. 而∠PBA=∠DBA, ∠BCA=∠DBA. 又∠A=∠A. △ABD∽△ACB.

1、一次同余方程-人教A版选修4-6初等数论初步教案

一次同余方程-人教A版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1、学习同余方程的定义并理解同余方程的性质；2、掌握求解一次同余方程的方法和技巧；3、了解一次同余方程在密码学中的应用。

二、教学重点1、同余方程的定义和性质；2、确定一次同余方程的解的方法。

三、教学难点1、一次同余方程求解时的技巧和方法；2、同余方程在密码学中的应用。

四、教学内容及方法1、同余方程的定义和性质同余方程的定义：如果a、b、n都是整数且n>0，则称a与b对于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。

同余方程的性质：•同余方程若成立，则其左右两边都可以加上或减去n的任意倍而仍成立；•同余方程若成立，则其左右两边都可以同乘或同除一个不等于0的整数m，而仍成立。

2、确定一次同余方程的解的方法求解一次同余方程ax≡b(mod n)的步骤如下：1、求出a关于模n的逆元a’；2、解出方程xa’b≡b’a(mod n)的解x0；3、得到原方程的最小非负整数解x。

步骤1：求出a关于模n的逆元a’。

如果a与n互质，则a’可以用扩展欧几里得算法求出。

如果a与n不互质，则方程ax≡b(mod n)可能无解，或者有解但无法通过常规方法求解。

步骤2：解出方程xa’b≡b’a(mod n)的解x0。

这个步骤可以用扩展欧几里得算法来实现。

步骤3：得到原方程的最小非负整数解x。

设x0是方程xa’b≡b’a(mod n)的一个解，则原方程的解可以表示为x ≡ x0(mod n/d)，其中d=gcd(a,n)，即a和n的最大公约数。

3、同余方程在密码学中的应用同余方程在密码学中的应用非常广泛，如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥交换算法等。

RSA加密算法利用了同余方程的一个重要特性：能够方便地求出解的模运算。

具体而言，假设p、q是两个不同的质数，n=pq，则RSA加密算法的公钥为(n,e)，私钥为(n,d)，其中e和d满足下列条件：•ed≡1(mod φ(n))，其中φ(n)=(p-1)(q-1)；•e和φ(n)互质。

人教版A版高中数学选修4-6同余的概念

推论2 a ≡ b (mod m) 的必要且充分条件是存在整数k，使得a ＝ b+km (mod m) ．(这里是等号不是同余号)
定理3. 1及推论2都是同余的必要且充分条件，因此也可以把它们作为同余的定义: 如果a－b 能被m整除，我们就说a与b对于模m同余。
同余的这个定义与前一个定义是等价的，也就是说，既能从前面一个定义推出这个定义，也能从这个定义推出前一个定义 (读者可自行证明)。今后讨论与同余定义有关的问题时，灵活选用其中一个，可以使讨论简便。
因此
m | [(a－b) － km] ，
即
m | [a － (b＋ km )] ，
所以
a≡b + km (modm) ．
例3与例4的启示
在同余式的左右两边中，把一个数换成与这个数同余的数(a换成a+km, b换成b+km),同余式仍成立.
也就是说,在同余式的左边或右边,可以加上模的任意整数倍km, 就象加零一样,即它与等式性质”在等式的左边或右边加上零,等式不变”是类似的。
同余的概念
在日常生活中,有时我们注意的常常不是某些整数,而是这些整数用某一个固定的整数去除所得到的余数。例如本月2日是星期3,那么9 日,16日…都是星期3,这是因为它们用7除后得到的余数都是2。在我国古代的干支纪年也是这样的,它是以60作为除数的纪年法.这样,在数学中就产生了同余的概念。同余概念是Gauss 在1800年前后创立的。
定理3.2 a ≡ a (modm) (自反律)。定理3.3 若 a ≡ b (modm) , 则b ≡ a (modm) (对称律)。定理3.4 如果 a ≡ b (modm) , b ≡ c (modm) ,那么 a ≡ c (modm) (传递律)。证明先证自反律, ∵ m | (a－a), ∴ a ≡ a (modm) . 我们再证明传递律。由题可知 m | (a－b), m | (b－c), 所以由同余的定义,得到 m | [(a－b) ＋(b－c)], 因此 m|(a－c), 即 a ≡ c (modm) .

人教版高中选修4-6三费马小定理和欧拉定理课程设计

人教版高中选修4-6三费马小定理和欧拉定理课程设计一、引言在高中学习数学，需要掌握一些基本的数学工具和方法，这对于今后的学习和工作都有很大的帮助。

本文将介绍人教版高中选修4-6三费马小定理和欧拉定理的课程设计，希望能够帮助学生更好地掌握这些重要的数学定理。

二、课程设计目标本课程设计的主要目标是： 1. 理解三费马小定理和欧拉定理的定义和基本性质； 2. 掌握求解与三费马小定理和欧拉定理相关的数学问题的方法； 3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

三、课程设计内容3.1 三费马小定理3.1.1 定义及基本性质三费马小定理是数论中的一个重要定理，它给出了一个判定质数的方法。

三费马小定理的定义是：若p是一个质数，a是任意整数，且a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

三费马小定理的基本性质如下： - p是质数时才成立； - 不能用来判断整数是否为质数，只能用于判定在模p的意义下a是否为p的倍数。

3.1.2 练习题1.证明当a是正整数，p是大于2的质数时，a^p ≡ a (mod p)。

2.用三费马小定理证明素数的个数是无限的。

3.求出1000除以7所得的余数。

3.2 欧拉定理3.2.1 定义及基本性质欧拉定理是数论中的另一个重要定理，它给出了一种方法求解模幂运算。

欧拉定理的定义是：若a和n是互质的正整数，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)表示小于n的与n互质的数的个数。

欧拉定理的基本性质如下： - a和n必须是互质的； - φ(n)可以递归地求解；- 可以帮助我们解决一些与模幂运算相关的数学问题。

3.2.2 练习题1.计算113^149 mod 155。

2.证明当a和n是互质的正整数时，a^λ(n) ≡ 1 (mod n)也成立，其中λ(n)表示n的Carmichael函数。

四、教学方法在教学过程中，应该引导学生进行思考，避免纯粹地灌输知识。

可以采用以下教学方法： 1. 通过数学实例、练习题等方式激发学生学习的兴趣； 2. 以问题为导向，鼓励学生多方面思考，提高解决问题的能力； 3. 引导学生独立探索，帮助他们形成独立思考的能力。

高中数学人教A版选修(4-1)2.4 同步练习《弦切角的性质》(人教)

《弦切角的性质》同步练习一、选择题1．P在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．44．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D点，则CD ＝________.7．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.8.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．答案和解析一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA ＝∠B.2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析：选B 连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°.连接BC ，则∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C 连接BC ，则∠ACB ＝90°，又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°，即∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC， ∴AC2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A连接BC.∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P.∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P.∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC PA ＝PB PC. ∴PC2＝PB ·PA ，即AC2＝PB ·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O 半径为r ，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r ＝1.PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°.答案：80°6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2.∴PC ＝2 3.∵OC ·PC ＝OP ·CD ，∴CD ＝2×234＝ 3. 答案： 37．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC. 而PB ＝7，BC ＝5，故AB2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.答案：358.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.证明：连接AC ，BE ，在DC 延长线上取一点F ，因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点，所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°.又因为AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°.所以∠BCF ＝∠DAC.又因为直线l 是圆O 的切线，所以∠CEB ＝∠BCF ，又∠DAC ＝∠CBE ，所以∠CBE ＝∠CEB ，所以CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．解：(1)证明：因为XY 是⊙O 的切线，所以∠1＝∠2.因为BD ∥XY ，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ，所以△ABE ≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ，所以△BCE ∽△ACB ，所以BC AC ＝CE CB，即AC ·CE ＝BC2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，所以6·(6－AE)＝16.所以AE ＝103(cm)．。

人教A版高中数学选修4-6初等数论初步第一讲1.1.整除的概念和性质教学课件 (共17张PPT)

给定两组正整数：第一组6,18,21,54,81,96,108,243
探究
第二组5,17,43,80,85,98,121,212
第一组数有什么规律？它们能被什么整数整除？第二组数呢？计算每组数的各位数字之和，你能发现什么特征？
教学过程
一个正整数的各位数字之和能被3整除，那么这个正整数能被3整除。
教学过程【例题1】判断710316能否被9,11整除。
教学过程
牛刀小试
判断下列整数中那些能分别被3,7,9,11整除 98,120,189,1331,2178,21315,56382
课堂小结
概念性质
特征
课课后堂作小结业
课后作业：习题1.1，1.2
THANKS
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让，讨一分便宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚，言宜实，慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如得意不宜重往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界证明自己而努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产为零、诚实第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能！无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而是你遇错了人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落亦是如此。每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠诚的人，荣誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指望遇到一个谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好好努力。彩虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态，才铸就了他们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就好。雄鹰，不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。努力到无能为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去实现自我，喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没�

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (6)

第二课时椭圆的简单几何性质教学目标1、进一步掌握椭圆的几何性质2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。

3、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。

4、培养分析问题和解决问题的能力教学过程1、复习回顾前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下：⑴椭圆的几何性质的内容是什么？椭圆16x 2＋9y 2＝144中x 、y 的范围，长轴长，短轴长，离心率，顶点及焦点坐标。

－3≤x ≤3，－4≤y ≤4，长轴长2a ＝8，短轴长2b ＝6，离心率47=e ，顶点坐标(0,－4),(0,4),(－3,0),(3,0)，焦点坐标)7,0(),7,0(-注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。

⑵什么叫做椭圆的离心率？e ＝c/a离心率的几何意义是什么呢？我们先来看一个问题：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l ：x ＝a 2/c 的距离的比是常数e=c/a(a ＞c＞0)，求点M 的轨迹。

2、探索研究(按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写)解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合},|||{a c d MF M P == 由此得ac x c a y c x =-+-||)(222 将上式两边平方，并化简，得(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)设a 2－c 2＝b 2,就可化成x 2/a 2＋y 2/b 2＝1，这是椭圆方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，长轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆。

小结：⑴椭圆的第二定义：当点M 与定点F 的距离和它到定直线l 的距离的比是常数e=c/a(0＜e ＜1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

⑵对于椭圆x 2/a 2＋y 2/b 2＝1，相应于焦点F 2(c,0)的准线方程是l ：x ＝a 2/c ，根据椭圆对称性，相应于焦点F 1(－c,0)的准线方程是l ：x ＝－a 2/c ；对于椭圆x 2/ b 2＋y 2/ a2＝1，相应于焦点F 2(0,c)的准线方程是l ：y ＝a 2/c ，根据椭圆对称性，相应于焦点F 1(0,－c)的准线方程是l ：y ＝－a 2/c 。

高中数学第1课极坐标系学案新人教A版选修4_6

学习资料专题第1课极坐标系一、学习要求1.在问题情境中了解可用距离与角度刻划平面上点的位置；2.了解极坐标系、点的极坐标的概念；3.能写出建立了极坐标系的平面内的点的极坐标。

二、先学后讲1．日常生活中刻划平面上点的位置的方法（1）用点的直角坐标；（2）经纬度；（3）用距离与角度。

2．极坐标系在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

3．点的极坐标设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为。

有序数对叫做点的极坐标，记为。

一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数。

如：写出图中，，，，，，各点的极坐标（4．点的极坐标的唯一性思考：在极坐标系中，极坐标、、、、xOxπ唐玲唐玲表示的点有什么关系？一个极坐标只表示一个点，但一个点的极坐标有无数种表示。

极坐标与（）表示同一个点；极点的坐标为（）。

如果规定：，那么除原点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时极坐标表示的点也是唯一确定的。

5.时极坐标的意义若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一个点。

如：点与点点。

即当时，点位于极角终边的反向延长线上。

三、问题探究 ■合作探究例1．以下各点坐标与点不同的是（）。

．．．．解：点的坐标为，∵与的终边相同， ∴点可以表示为，故相同。

∵与或是终边在反向延长线上的角，∴点可以表示为，，故，相同。

∴选。

xNM.33,(-5π)(-2π3)xπ四、总结提升本节课你主要学习了。

五、问题过关1.在极坐标系中，点到极点的距离为3，（逆时针方向），则点的极坐标为。

（答案：）2.在极坐标系中，与点重合的点是（）。

解：极坐标与（）表示同一个点。

，固选。

3.在极坐标系中，与点关于极轴对称点是（）。

解：关于极轴对称的点，极径没有发生变化，极角应为（）。

1.同余的概念-人教A版选修4-6初等数论初步教案

同余的概念-人教A版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解同余的定义和性质；2.掌握同余的运算规则和推论方法；3.运用同余理论解决实际问题。

二、教学重点1.同余的定义和性质；2.同余的运算规则；3.同余理论的应用。

三、教学难点1.同余的推论方法；2.同余理论在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入（10分钟）首先引入同余的概念，让学生思考两个数之间应该满足什么条件才能说它们是同余的。

然后与学生一起探讨同余的含义和性质。

2. 定义和性质（20分钟）讲解同余的定义和性质，包括同余关系的传递性、对称性、反身性等，以及同余意义下的等式和不等式的特性。

在讲解的过程中，可以通过一些例子来加强学生的理解。

3. 运算规则（30分钟）讲解同余的运算规则，包括同余的加、减、乘、除、幂次等运算法则，以及同余的推论方法和定理。

在讲解的过程中，可以通过一些练习题来巩固学生的运算能力。

4. 应用实例（30分钟）将同余理论的应用与学生生活中的日常问题联系起来，让学生通过实际例子来理解同余理论的应用。

例如，用同余理论来解决生日问题、购物折扣问题等。

5. 总结归纳（10分钟）对课程内容进行总结归纳，让学生能够理解同余概念的重要性和实际应用的意义。

同时，让学生通过课程总结，确认对同余理论的掌握程度，进一步提高学习兴趣。

五、教学评价通过对学生的课堂表现和作业完成情况的评价，反馈学生对同余概念的掌握和运用能力。

同时，让学生知道如何运用同余理论来解决实际问题的方法和技巧。

六、教学反思在教学中，要注意让学生能够理解同余的含义和性质，并掌握运算规则和应用方法。

在讲解过程中，可以采用一些具体的例子来加深学生的理解，同时也要注意运用不同的教学方式和方法，以便能够满足不同学生的学习需求。

人教版高中化学教材(选修4)实验(PDF版)

人教版高中化学选修4教材实验强酸与强碱中和反应的实质是H++OH－==H O，反应放出的热量会引起溶液温度的变化。

在一绝通过观察收集10mL H所用的时间或1分钟收集到的H的体积来比较反应速率的快慢。

在实验中，控制KMnO溶液的浓度及反应温度不变，探究草酸的浓度不同时对反应速率的影响。

已知在K 2Cr 2O 7溶液中存在着如下平衡：Cr 2O 2－7(橙色)+H 2O2CrO 2－4(黄色)+2H +（K 2Cr 2O 7固体是橙红色晶体）。

增大H +浓度，平衡向逆反应方向移动，溶液逐渐变为橙色；增大OH －浓度，平衡向正反应方向移动，溶液逐渐变为橙色。

0. 1mol/L K Cr O 溶液、浓硫酸、6mol/L NaOH 溶液；三支试管、胶头滴管、白纸。

3Fe3++3SCN－Fe(SCN)3(红色)0.005mol/L FeCl 溶液、饱和 FeCl 溶液、 0.01mol/LKSCN 溶液、 1mol/LKSCN 溶液、酸碱滴定曲线是以酸碱中和滴定过程中滴加酸（或碱）的量为横坐标，以溶液pH为纵坐标绘出的FeCl3（黄色）＋3H2O Fe(OH)3（红褐色）＋3HClFeCl溶液、FeCl晶体、HCl气体、NaHCO固体；pH试纸、试管、胶体滴管、酒精灯。

氢氧化镁难溶于水，但与酸反应，溶于酸性溶液。

NH C1水解显酸性，能溶解氢氧化镁。

Ag+ +Cl－=AgCl↓，AgCl+I－=AgI+Cl－，2AgI+S2－==Ag S+2I－Mg2++2OH－=Mg(OH)↓，3Mg(OH)+2Fe3+=3Mg2++2Fe(OH)单液锌铜原电池双液锌铜原电池铜片（正极）：Cu2++2e－=Cu（还原反应）；锌片（负极）：Zn－2e－=Zn2+（氧化反应）阴极：Cu2++2e－=Cu（还原反应）；阳极：2Cl－－2e－=Cl↑（氧化反应）；。

《相似三角形的判定》课件6(人教A版选修4-1)

（这可是今天新学的，要牢记噢！)
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
我们来试一试…
A D
A
D C B C
E
B
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
A
D
B
C
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 18 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 4 √2 12√2
A B D F B 图 1
E
G E C
O F D 图 2
C
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°， ∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
3.找出图中所有的相似三角形
例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AC、BD
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B ∴△PAC∽△PDB
C
A
D
O
P B
PA PC PD PB
即PA· PB=PC· PD
例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角相似形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．