三角函数的正交性
274-谐波分析 三角函数系的正交性
第六节 傅里叶(Fourier)级数
一、谐波分析 三角函数系的正交性 二、傅里叶级数 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正
弦级数与余弦级数
一、谐波分析 三角函数系的正交性
由
1 , cos x , sin x , cos 2x , sin2xcos nx ,
1
10
1
a0
f ( x) dx
() dx
x dx
0
. 2
1
bn
f ( x)sinnx dx
10
1
() sinnx dx x sinnx dx
0
[1 n
cos
nx]0
1 n
[x
cos nx]0
(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，级数收敛于 f(x) ; (2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，级数收敛于
f ( x 0) f ( x 0) . 2
其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，
f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .
例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函
0
bn 0 (n 1 , 2, 3 ,) .
三角函数正交积分
三角函数正交积分
三角函数正交积分是指在区间$[-\pi,\pi]$上，对于任意的整数$n$和$m$，定义下列积分：
$$
\begin{aligned}
\alpha_n=\frac{1}{\pi}\int_{-
\pi}^{\pi}\cos(nx)\mathrm{d}x,\qquad
\beta_n=\frac{1}{\pi}\int_{-
\pi}^{\pi}\sin(nx)\mathrm{d}x\nonumber\\
\gamma_m=\frac{1}{\pi}\int_{-
\pi}^{\pi}\cos(mx)\mathrm{d}x,\qquad
\delta_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\mathrm{d}x \end{aligned}
$$
若$m\neq n$，则$\alpha_n,\beta_n,\gamma_m,\delta_m$均为$0$。若$m=n$，则
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\mathrm{d}x=\begin{cases} \pi & m=n \\
0 & m\neq n
\end{cases}
$$
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\mathrm{d}x=\begin{cases} \pi & m=n \\
0 & m\neq n
\end{cases}
$$
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\sin(nx)\mathrm{d}x=0 $$
高等数学第六节 傅里叶 级数
f(x) , x,
≤ x0 ,
0 ≤ x .
试将其展开成傅里叶级数.
f(x)
O
2
x
解 计算傅里叶系数
1
anf(x)consd xx
10
1
( )cn od x s xco nd sx
0
n 1 [s n i]0 n x [n 1 x sn in ]0 x n 1 0 sn in d x x
周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系
数公式为
bann0 2
(n1,2,)
(x)consd xx2
0
f(x)consd xx
0
(n1, 2),
例 4 试将函f数 (x)x2x在 区 [0,间 42
上 展 开 成 余 弦 级 数
解 按公式计算傅里叶级数，
2 x2
an0(4x)co nd sxx n2[(x42 x)sinnx]0 n22[(2 x )consx]0
3
2 n 1
当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，级数收敛于
f(x0)f(x0)0. 2
所求傅里叶级பைடு நூலகம்和函数的图形如图所示 . 图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与前图不同.
f(x)
2
O
2
x
例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 它在 [ , ) 上的表达式为
三角函数之正交性
sin k x sin nx dx 0 cos k x sin nx d x 0
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0
(k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
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例4. 设
是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an 0
bn
(n 0 , 1 , 2 , )
0
2
2
o
x
f ( x) sin nx d x
2
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x cos nx sin nx 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n (1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n
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1
f ( x) sin nx d x
三角函数之正交性证明pdf
三角函数之正交性证明.pdf 三角函数的正交性是指在一定条件下，不同的三角函数之间的内积为零。具体来说，对于在区间[a,
b]上的连续函数f(x)和g(x)，如果满足以下条件之一，则称f(x)和g(x)在[a,
b]上正交：
1. 当f(x)和g(x)为周期函数时，周期为T，且满足∫[a, a+T] f(x)g(x)dx = 0。
2. 当f(x)和g(x)为非周期函数时，且满足∫[a, b] f(x)g(x)dx = 0。
我们以周期为2π的三角函数为例，来证明正弦函数和余弦函数的正交性。
设f(x) = sin(nx)，g(x) = cos(mx)，其中n和m为正整数。
根据三角函数的周期性质，我们只需要证明∫[0,2π] sin(nx)cos(mx)dx = 0即可。
利用三角恒等式sin(nx)cos(mx) = 1/2 [sin((n+m)x) + sin((n-
m)x)]，将∫[0,2π] sin(nx)cos(mx)dx拆分为两部分。
首先，考虑∫[0,2π]
sin((n+m)x)dx，根据三角函数的性质，我们可以知道∫[0,2π] sin((n+m)x)dx = 0，因为sin((n+m)x)在周期为2π的区间上的积分为零。
接下来，考虑∫[0,2π] sin((n-
m)x)dx，同样根据三角函数的性质，我们可以知道∫[0,2π] sin((n-m)x)dx = 0，因为sin((n-m)x)在周期为2π的区间上的积分为零。
综上所述，∫[0,2π] sin(nx)cos(mx)dx = 1/2 [∫[0,2π]
三角函数正交积分
三角函数正交积分
三角函数正交积分指的是某个区间上的三角函数$sin(nx)$和$cos(nx)$在一定条件下的内积（积分）。如果$n$和$m$不同，则
$\int_{- \pi}^{\pi}sin(nx)cos(mx)dx=0$；如果$n=m$，则$\int_{- \pi}^{\pi}sin^2(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}cos^2(nx)dx=\pi$。这些正交性质经常出现在傅里叶级数中，从而在求解周期函数的系数时起到了重要的作用。
三角函数之正交性
2
n1
2(sin
(1)n1 sin nx n
x 1 sin 2x
1
sin
3x
)
y
o
x
2
3
级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图.
nn＝＝51432
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例5. 将周期函数
中E 为正常数 .
解:
是周期为2 的
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
1
f (x)sin nx d x
2
cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5
x
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
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时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
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y
1
o
x
1
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例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
三角函数的正交性
三角函数的正交性
三角函数在数学和物理中发挥着重要的作用。它们不仅用于描述周期性现象，还广泛应用于信号处理、图像处理、电子工程等领域。在研究三角函数时，人们发现了它们之间的正交性质，这个性质在数学推导和实际应用中都具有重要意义。
1. 正交函数的定义
在数学中，两个函数f(x)和g(x)被称为正交函数，当且仅当它们的内积为零，即∫f(x)g(x)dx=0。在三角函数中，我们常用的正交函数有正弦函数和余弦函数。
2. 正交性质的推导
考虑正弦函数和余弦函数在一个周期内的内积。设f(x)=sin(nx)，g(x)=cos(mx)，其中n和m是任意整数。
由三角函数的定义可知，正弦函数和余弦函数满足以下关系：
sin(nx) = (e^(i*n*x) - e^(-i*n*x)) / (2i)
cos(mx) = (e^(i*m*x) + e^(-i*m*x)) / 2
其中i是虚数单位。将上述表达式代入内积的定义，得到：
∫sin(nx)cos(mx)dx = (1/2i)∫(e^(i*n*x) - e^(-i*n*x))(e^(i*m*x) + e^(-
i*m*x))dx
将e的指数部分展开并简化，得到：
(1/2i)∫[e^((i*n+m)*x) + e^((i*n-m)*x) - e^((-i*n+m)*x) - e^((-i*n-
m)*x)]dx
根据e的指数幂和的公式可知，上述各项的积分结果为零，因为它
们都是不同频率正弦函数的积分。因此，我们有：
∫sin(nx)cos(mx)dx = 0
3. 正交性质的意义与应用
三角函数之正交性
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f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
①
an
1
f (x) cos nx d x
(n 0, 1, )
②
bn
1
f (x)sin nx d x
(n 1, 2, )
由公式 ② 确定的
(an
k 1
cos nx
bn
sin
nx)
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1
cos
nx
d
x
1
sin
nx
d
x
二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)
a0 2
(an
n1
三角函数的概念与基本性质
三角函数的概念与基本性质三角函数是数学中重要的工具，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。它们描述了角度和直角三角形之间的关系。本文将介绍三角函数的概念及其基本性质，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
一、三角函数的概念
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是最为常用的两个三角函数。
1. 正弦函数（sin）：
正弦函数表示一个角的反比例关系。在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边长度之比。正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
2. 余弦函数（cos）：
余弦函数表示一个角的邻比例关系。在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边长度之比。余弦函数的定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。
二、三角函数的基本性质
1. 周期性：
正弦函数和余弦函数具有周期性，周期为360度（或2π）。即在每一个周期内，正弦函数和余弦函数的值都会重复出现。
2. 正交性：
正弦函数和余弦函数具有正交性质。即在任意一段完整的周期内，两者的积分等于零。这个性质在信号处理和傅里叶级数展开中具有重要应用。
3. 互余性：
正弦函数与余弦函数是互为余弦的关系，即sin(x) = cos(90° - x)。这个关系在数学和物理中常常用于简化问题的求解。
4. 初等周期：
正弦函数和余弦函数在一个周期内具有相同的最大值和最小值，分别为1和-1。它们的图像是周期性重复的波形，可以用于描述周期性的现象。
5. 正切函数和余切函数：
正切函数（tan）表示角的正比例关系，余切函数（cot）表示角的邻比例关系。它们的定义域是实数集，值域为整个实数集。
三角正交函数系
三角正交函数系
三角正交函数系是数学中的一种重要的函数系，它是由三角函数组成的一组正交函数。这个函数系在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三角正交函数系的定义是：在区间[-π,π]上，对于任意的整数n和m，有以下的正交性质：
∫[-π,π]sin(nx)sin(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]cos(nx)cos(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]sin(nx)cos(mx)dx=0，对于任意的n和m
其中，sin(nx)和cos(nx)分别是正弦函数和余弦函数，它们是三角函数的两种基本形式。
三角正交函数系的一个重要性质是它是完备的，也就是说，任何一个在[-π,π]上的周期函数都可以用三角正交函数系展开成一个无限级数。这个级数称为傅里叶级数，它的形式为：
f(x)=a0/2+∑(n=1)∞[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]
其中，a0、an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：
a0=1/π∫[-π,π]f(x)dx
an=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
bn=1/π∫[-π,π]f(x)sin(nx)dx
三角正交函数系的应用非常广泛，它可以用来解决各种数学问题，如微分方程、偏微分方程、边值问题等。在物理学中，三角正交函数系也有很多应用，如电磁场的分析、声波的传播等。在工程领域中，三角正交函数系也被广泛应用于信号处理、图像处理等方面。
三角正交函数系是一种非常重要的函数系，它的应用范围非常广泛。对于学习数学、物理、工程等领域的人来说，掌握三角正交函数系的基本概念和性质是非常重要的。
三角函数的正交性
an
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
dt
0,
n 2k 1
a1
E
0
sin
2t
dt
0
u(t)
2E
4E
k 1
4k
1
2
1
cos
2k
x
4E
1 2
1 cos 2t 3
1 cos 4t 15
1 cos 6t 35
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2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
奇延拓 f (x), x [0, ] 偶延拓
y
y
o x
o x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ] 上展成 正弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数
1
( k 1, 2, )
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x 1
2
1 4
1
k 1(2k 1)2
cos(2k
1)x
三角函数正交性
三角函数正交性
1 三角函数正交性
三角函数正交性是数学中一个重要的性质，它指的是三角函数的正切值，余弦值和正弦值的正交的特性。由于三角函数的正切值、余弦值、正弦值与它们的对角线有着特定的函数关系，它们可以用极坐标形式来描述，这就是圆周三角学》中提出的结论。
三角函数正交性的具体内容可以概述如下：
三角函数相互垂直，即在同一坐标轴上，一个函数的正切值、余弦值和正弦值的正交的性质，即
tanθ*cosθ+sinθ=0
这表示在极坐标系中，任意给定的极坐标(θ, r)，它们在同一个圆内的正切、余弦、正弦的值相互垂直，即正交的性质。也就是说，无论是对极坐标系中给定圆的弦、圆半径以及它们之间的角，还是对极切线，均认为它们夹着的三个角是正相互垂直的。
2 平面角度
三角函数正交性在平面几何中也有重要的应用。它用一个简单的数学方程来描述两个向量夹着的夹角。如果给定条件，前述等式可以求出由两个向量所构成的弧周理论上夹着的角度是多少，这就是三角函数正交性的应用。
三角函数正交性可以用来求解平面角度的问题，它的计算公式如下：
角度α=α（cosα，sinα）=arctan（sinα/cosα）
其中，α为所求的角度，cosα、sinα是向量的坐标值。
3 三角函数的数学应用
三角函数的正交性在数学上应用甚广，它可以用来解决很多相关问题，如圆心角、夹角、椭圆轨迹以及坐标变换等。
例如，当求解圆心角时，可以记录内切线或端点的极坐标，根据三角函数的正交性，可以求出内切线的夹角和端点的夹角；在求解夹角的问题中，可以用三角函数的正切值来求出夹角，从而得出结论；另外，这种技术也可以应用在坐标变换测量中，用来解决从一种坐标系变换成另一种坐标系的问题。
274-谐波分析 三角函数系的正交性
所以
1
a0
f ( x) dx .
为了求出系数 an ，我们用 cos kx 乘级数 ， 然后在逐项积分
f ( x)cos kx dx a0 cos kx dx
2
[ an cos kx cos nx dx n1
bn cos kx sinnx dx] ,
(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，级数收敛于 f(x) ; (2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，级数收敛于
f ( x 0) f ( x 0) . 2
其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，
f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .
例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函
sinnx , .
组成的函数序列叫做三角函数系，三角函数系
的正交性是指 : 如果从三角函数系中任取两个不同 的函数相乘， 在区间 [, ] 上的定积分，其值都 为零 . 这实际上只需证明以下五个等式成立 :
cos nx dx 0 ;
sinnx dx 0 ;
cos mx cos nx dx 0 (m 1 , 2 , 3,, n 1 , 2 , 3 , m n) ;
1
一、谐波分析三角函数系的正交性解读
以上结果，这里就不证明了 .
二、傅里叶级数
如下形式的函数项级数
a0 (an cos nx bn sinnx ) 2 n1
称为三角级数 . a0 , an , bn (n 1 , 2 , ) 为常数.
假定
a0 f ( x ) (an cos nx bn sinnx ) . 2 n1
又
1 bn f ( x)sinnx dx 1 0 1 (1) sinnx dx sinnx dx 0
11 1 1 0 cos nx [ cos nx ] n n 0
4 , n 1 , 3 , 5 ,, 2 n [1 ( 1) ] n n 0 , n 2 , 4 , 6 , .
展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为
正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数. 假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 [ , ]内
那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即 是奇函数，
b
n 1
n
sinnx .
此时傅氏系数
an 0
2 bn
(n 0 , 1 , 2,) .
2 2 a0 f ( x ) dx ( x ) dx , 0 0
bn 0
(n 1 , 2, 3 ,) .
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第十一章
傅里叶级数
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
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例4. 设
是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an 0
bn
(n 0 , 1 , 2 , )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
1
y
o
x
1
(1) cos nx d x 1 cos nx d x 0
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 则有 ①
② 证: 由定理条件, 对①在 逐项积分, 得 a0 a cos n x d x b sin n x d x f ( x ) dx d x n n 2 n 1
1
1
1
已知 1
2
2
又
4
8
1 2
4
, 2
1
3
1 2
2 2
8 8 24
2
6
3 1 2
2 2
源自文库24
2
12
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三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
2 2
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2 2 ( 2 k 1 )
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
F ( x)
f ( x) ,
x [ , )
f ( x 2k ) , 其它
傅里叶展开 上的傅里叶级数
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例3. 将函数
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a0
a0 f ( x) cos k x d x cos k x d x 2 an cos k x cosn x d x bn cos k x sin n x d x n 1
由公式 ② 确定的
称为函数 的傅里
的傅里叶系数 ; 以
的傅里叶级数 .
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
傅里叶 目录
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定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
1
0
1
0
( n 0 , 1 , 2 , )
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(1) sin nx d x 1 sin nxdx 0
0
1
0
1
2 1 cos nx 1 cos nx 1 cos n n 0 n n 4 , 当n 1 , 3 , 5 , 2 1 (1) n n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , )
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4
sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4
说明: 1) 根据收敛定理可知,
1
y
o
x
1 1 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数 奇延拓 f ( x), x [0 , ] 偶延拓
2
E sin t cos nt d t 0
2
sin(n 1)t sin(n 1)t d t 0
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an
sin(n 1)t sin(n 1)t d t 0
0,
E
n 2k 1
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则 1 1 a0 F ( x ) d x f ( x ) d x
展成傅里叶
y
o
x
2 x2 2 0 1 1 an F ( x) cos nx d x f ( x) cos nx dx
根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:
(1) n 1 sin nx f ( x) 2 o n n 1 1 1 2(sin x sin 2 x sin 3x ) 2 3
y
x
级数的部分和
n n＝ ＝5 4 2 1 3
逼近 f (x) 的情况见右图.
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f ( x) d x
1
ak
cos 2 k x d x
(利用正交性)
ak
1
f ( x) cos k x d x ( k 1, 2 , )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 1 bk f ( x) sin k x d x (k 1, 2 , )
a1
sin 2 t d t 0 0 2E
E
u (t )
4E
k 1
4k 2 1 cos 2k x
1
4E 1 1 1 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3 15 35
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
11dx 2
cos 2 n x d x
2
sin 2 nx d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
2 x sin nx cos nx 2 n n
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0
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4 , 2 2 n 2k 1 ( 2 k 1) 2 ( cos n 1) 0 , n n 2k ( k 1 , 2 , ) 1 f ( x) sin nx d x
an
1
f ( x) cos nxdx
x cos n x d x
1
0
1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2
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, n 2k 1 1 cos n an ( k 1 , 2 , ) 2 n 0, n 2k 1 1 0 (1) n 1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx n ( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1 cos nx d x 1 sin nx d x 0 cos k x cos nx dx
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0
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例5. 将周期函数
中E 为正常数 . 解:
展成傅里叶级数, 其
y
是周期为2 的
2
o 2 x
周期偶函数 , 因此
a0
an
u (t ) d t E sin t d t 0 0 u (t ) cos n td t 0 E
2
2
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
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a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1 1 an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, )
①
bn
1
②
f ( x) sin nx d x
( n 1, 2 , )
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1
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例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 y 上的表达式为 3 2 2 3 o
x
将 f (x) 展成傅里叶级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x ) d x x d x 2 2
0
2
2
o
x
f ( x) sin nx d x
2
x cos nx sin nx 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n (1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n
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2
1 1 cos x 2 cos 3x 2 cos 5 x 3 5
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和.
当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
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设
1 1 1 1 1 2 2 2 3 5 7
2
, 22 42 62