三角函数的正交性
第十二章 傅氏级数 三角函数系及其正交性
x
)
,
x为f ( x)的连续点, x为f ( x)的间断点.
Remark
一个分段连续且分段单调的函数, 在其连续点处,其傅氏级数就收敛 到该点的函数值,此时称函数 在该点可以展成傅氏级数.
仅在连续点处可 展成傅氏级数.
定理2:
设函数 f ( x)以2 为周期,且在区间 ,
上分段可微,则 f ( x)的傅氏级数在任意 一点 x 处均收敛到和函数
S( x) 1 f ( x ) f ( x ) , x . 2
例1
设函数 f ( x)以2 为周期,它在 , 上
的表达式为
f
(
x)
1,
1,
x0 0 x.
求 f ( x)的傅氏级数及其和函数.
1
1
3.奇,偶周期函数的傅氏级数
❖当 f ( x)是偶函数时,其傅氏系数为
an
f
(x)
~
a0 2
n
(an cos
n1
l
x
n
bn sin l
x)
其中, an
1 l
l l
f ( x)cos n
l
xdx,
n 0,1,2,
bn
1 l
l l
f ( x)sin n
l
xdx,
n 1,2,.
情况三:
函数 y f ( x)在 0,l上有定义.
首先延拓到 l,l上.
(1)偶延拓:
F1
f ( x)cos nxdx,
n 0,1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx,
n 1,2,.
定义
❖ 设 f ( x)是一个以2为周期的函数,且在
初中三角函数公式及其定理
初中三角函数公式及其定理三角函数是数学中的一个分支，它研究的是一个角与其对边、邻边及斜边之间的关系。
在初中数学中，学生往往会接触到一些基本的三角函数公式及定理。
下面将介绍一些常用的三角函数公式及定理。
一、基本三角函数公式及定义1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值叫做这个锐角的正弦。
在三角形ABC中，锐角A的正弦定义为sinA = BC/AC。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值叫做这个锐角的余弦。
在三角形ABC中，锐角A的余弦定义为cosA = AB/AC。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫做这个锐角的正切。
在三角形ABC中，锐角A的正切定义为tanA = BC/AB。
4.相关公式：（1）余角公式：sin(90°-A) = cosA，cos(90°-A) = sinA，tan(90°-A) = 1/tanA。
（2）同角互余：sinA = 1/cscA，cosA = 1/secA，tanA = 1/cotA。
（3）倒数关系：cscA = 1/sinA，secA = 1/cosA，cotA = 1/tanA。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx。
3. 正交性：正弦函数和余弦函数在一个周期内的积分为0，即∫[0, 2π] sinx cosx dx = 0。
4.正负关系：在第一象限和第二象限，正弦函数的值大于0，余弦函数的值大于等于0；在第三象限和第四象限，正弦函数的值小于0，余弦函数的值小于等于0。
三、三角函数的诱导公式1.加法公式：（1）sin(A±B) = sinA cosB ± cosA sinB（2）cos(A±B) = cosA cosB ∓ sinA sinB（3）tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)2.减法公式：（1）sin(A-B) = sinA cosB - cosA sinB（2）cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB（3）tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB)3.二倍角公式：（1）sin2A = 2sinA cosA（2）cos2A = cos²A - sin²A = 1 - 2sin²A = 2cos²A - 1（3）tan2A = 2tanA / (1 - tan²A)4.三倍角公式：（1）sin3A = 3sinA - 4sin³A（2）cos3A = 4cos³A - 3cosA5.半角公式：（1）sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]（2）cos(A/2) = ±√[(1+cosA)/2]（3）tan(A/2) = ±√[(1-cosA)/(1+cosA)]四、三角函数的定理1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为边BC、AC、AB的长度，A、B、C分别为角A、B、C的度数。
初中数学三角函数知识点归纳总结
初中数学三角函数知识点归纳总结三角函数是数学中重要的概念之一，它在初中数学中也占据着重要的地位。
通过学习和理解三角函数，我们可以解决许多与角度有关的问题。
本文将对初中数学中涉及的三角函数知识点进行归纳总结。
一、角度的概念角度是指由两条射线共同起点所形成的空间图形，常用度（°）来表示。
在数学中，我们常常需要将角度转换为弧度（rad）进行计算。
二、弧度与角度的互换在数学中，角度可以与弧度进行互换。
通过以下公式可以实现角度与弧度的转换：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度 × 180 / π三、基本三角函数初中数学中的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan），它们是与角度有关的函数。
1. 正弦函数（sin）对于一个角度 A，其正弦函数值（sin(A)）等于对边与斜边之比。
数学公式表示为：sin(A) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）对于一个角度 A，其余弦函数值（cos(A)）等于邻边与斜边之比。
数学公式表示为：cos(A) = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）对于一个角度 A，其正切函数值（tan(A)）等于对边与邻边之比。
数学公式表示为：tan(A) = 对边 / 邻边四、特殊角的三角函数值特殊角是指在三角函数中具有特殊取值的角度。
在初中数学中，我们常常需要记住以下特殊角的三角函数值：1. 0°角：sin(0°) = 0，cos(0°) = 1，tan(0°) = 02. 30°角：sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2，tan(30°) = 1/√33. 45°角：sin(45°) = √2/2，cos(45°) = √2/2，tan(45°) = 14. 60°角：sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2，tan(60°) = √35. 90°角：sin(90°) = 1，cos(90°) = 0，tan(90°) = 无定义五、三角函数的基本性质三角函数具有一些基本性质，对于初中数学的学习非常重要。
三角函数之正交性证明pdf
三角函数之正交性证明.pdf 三角函数的正交性是指在一定条件下，不同的三角函数之间的内积为零。
具体来说，对于在区间[a,b]上的连续函数f(x)和g(x)，如果满足以下条件之一，则称f(x)和g(x)在[a,b]上正交：1. 当f(x)和g(x)为周期函数时，周期为T，且满足∫[a, a+T] f(x)g(x)dx = 0。
2. 当f(x)和g(x)为非周期函数时，且满足∫[a, b] f(x)g(x)dx = 0。
我们以周期为2π的三角函数为例，来证明正弦函数和余弦函数的正交性。
设f(x) = sin(nx)，g(x) = cos(mx)，其中n和m为正整数。
根据三角函数的周期性质，我们只需要证明∫[0,2π] sin(nx)cos(mx)dx = 0即可。
利用三角恒等式sin(nx)cos(mx) = 1/2 [sin((n+m)x) + sin((n-m)x)]，将∫[0,2π] sin(nx)cos(mx)dx拆分为两部分。
首先，考虑∫[0,2π]sin((n+m)x)dx，根据三角函数的性质，我们可以知道∫[0,2π] sin((n+m)x)dx = 0，因为sin((n+m)x)在周期为2π的区间上的积分为零。
接下来，考虑∫[0,2π] sin((n-m)x)dx，同样根据三角函数的性质，我们可以知道∫[0,2π] sin((n-m)x)dx = 0，因为sin((n-m)x)在周期为2π的区间上的积分为零。
综上所述，∫[0,2π] sin(nx)cos(mx)dx = 1/2 [∫[0,2π]sin((n+m)x)dx + ∫[0,2π] sin((n-m)x)dx] = 0 + 0 = 0。
因此，正弦函数和余弦函数在周期为2π的区间上是正交的。
类似地，我们可以证明不同频率的正弦函数和余弦函数在周期为2π的区间上都是正交的。
综上所述，我们证明了正弦函数和余弦函数的正交性。
三角函数的正交性
n
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an
1 cos n n2
2
(
2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 ,)
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1
0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1
1,n2, )
4
2
2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数
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例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
2
0
(
x
1)
sin
nx
d
x
2
x cos nx n
sin nx n2
cos nx n
0
2 1 cos n cos n
(利用正交性)
ak
1
f (x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1
f
(x)sin k x dx
(k 1, 2, )
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f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
①
an
1
f (x) cos nx d x
1 三角函数之正交性PPT课件
7
9
( x ,x 0 , , 2 , )
说明:
y
1
1) 根据收敛定理可知,
o
当 x k(k 0 , 1 , 2 , )
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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第七节 傅里叶级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : yAcost()(谐波函数)
( A为振幅,为角频率, φ为初相 )
称上述形式的级数为三角级数.
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不同振幅的 波叠加在一
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定理 1. 组成三角级数的函数系
1 , coxs,sinx , cos2x, sin2x, ,co n,sxsinnx,
在[,]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
[,]上的积分等于 0 .
0 (n 0 ,1 ,2 , )
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bn1 f(x)sinnd xx
1 0 ( 1 )sn id n x 1 0 1 sn id n x x
1
cosnx n
0
1
consnx0
21cons
n
n21(1)n
4 n 0
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 [,)
三角函数的正交性
三角函数的正交性三角函数在数学和物理中发挥着重要的作用。
它们不仅用于描述周期性现象，还广泛应用于信号处理、图像处理、电子工程等领域。
在研究三角函数时，人们发现了它们之间的正交性质，这个性质在数学推导和实际应用中都具有重要意义。
1. 正交函数的定义在数学中，两个函数f(x)和g(x)被称为正交函数，当且仅当它们的内积为零，即∫f(x)g(x)dx=0。
在三角函数中，我们常用的正交函数有正弦函数和余弦函数。
2. 正交性质的推导考虑正弦函数和余弦函数在一个周期内的内积。
设f(x)=sin(nx)，g(x)=cos(mx)，其中n和m是任意整数。
由三角函数的定义可知，正弦函数和余弦函数满足以下关系：sin(nx) = (e^(i*n*x) - e^(-i*n*x)) / (2i)cos(mx) = (e^(i*m*x) + e^(-i*m*x)) / 2其中i是虚数单位。
将上述表达式代入内积的定义，得到：∫sin(nx)cos(mx)dx = (1/2i)∫(e^(i*n*x) - e^(-i*n*x))(e^(i*m*x) + e^(-i*m*x))dx将e的指数部分展开并简化，得到：(1/2i)∫[e^((i*n+m)*x) + e^((i*n-m)*x) - e^((-i*n+m)*x) - e^((-i*n-m)*x)]dx根据e的指数幂和的公式可知，上述各项的积分结果为零，因为它们都是不同频率正弦函数的积分。
因此，我们有：∫sin(nx)cos(mx)dx = 03. 正交性质的意义与应用正交性质的意义在于可以简化三角函数的计算和处理。
由于正交函数的内积为零，我们可以将一个周期内的函数表示为不同频率正弦函数和余弦函数的线性组合。
这样可以方便地对信号进行分解和重构。
在信号处理和图像处理中，正交性质广泛应用于傅里叶变换、滤波、压缩等算法中，提高了计算效率和信号质量。
4. 正交函数的举例除了正弦函数和余弦函数之外，还存在其他一些正交函数。
三角正交函数系
三角正交函数系
三角正交函数系是数学中的一种重要的函数系，它是由三角函数组成的一组正交函数。
这个函数系在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三角正交函数系的定义是：在区间[-π,π]上，对于任意的整数n和m，有以下的正交性质：
∫[-π,π]sin(nx)sin(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]cos(nx)cos(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]sin(nx)cos(mx)dx=0，对于任意的n和m
其中，sin(nx)和cos(nx)分别是正弦函数和余弦函数，它们是三角函数的两种基本形式。
三角正交函数系的一个重要性质是它是完备的，也就是说，任何一个在[-π,π]上的周期函数都可以用三角正交函数系展开成一个无限级数。
这个级数称为傅里叶级数，它的形式为：
f(x)=a0/2+∑(n=1)∞[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]
其中，a0、an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：
a0=1/π∫[-π,π]f(x)dx
an=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
bn=1/π∫[-π,π]f(x)sin(nx)dx
三角正交函数系的应用非常广泛，它可以用来解决各种数学问题，如微分方程、偏微分方程、边值问题等。
在物理学中，三角正交函数系也有很多应用，如电磁场的分析、声波的传播等。
在工程领域中，三角正交函数系也被广泛应用于信号处理、图像处理等方面。
三角正交函数系是一种非常重要的函数系，它的应用范围非常广泛。
对于学习数学、物理、工程等领域的人来说，掌握三角正交函数系的基本概念和性质是非常重要的。
三角级数与三角函数系的正交性
傅里叶级数三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数正弦级数与余弦级数三角级数及三角函数系的正交性1. 三角级数周期运动是自然界中广泛存在的一种运动形态,例如描述简谐 对周期运动可用周期函数来近似描述.)sin(ϕω+=t A y 就是一个以2πω为周振动的函数 期的正弦函数.例如周期为T 的矩形波：值得注意的是:并非所有的周期过程都能用简单的正弦函数来表示. 2Txu O E2T想法： 将周期函数展开成由简单的周期函数(例如三角函数)组成的级数.即: 若()f t 是周期为2πT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭的周期函数,则 sin()n n A n t ωϕ+01()n f t A ∞==+∑ 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数.将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+变形成为sin()n n A n t ωϕ+sin cos cos sin n n n n A n t A n t ϕωϕω=+, 令00,sin ,cos ,2n n n n n n a A a A b A t x ϕϕω====， 则级数01sin()n n n A A n t ωϕ∞=++∑就可以改写为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 三角级数2. 三角函数系的正交性三角函数系1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,x x x x nx nx 在区间[]π,π-上是正交函数系, 即π-πcos d 0 (1,2,3,)nx x n ==⎰,π-πsin cos d 0 (,1,2,3,)kx nx x k n ==⎰, π-πcos cos d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰, π-πsin sin d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰. π-πsin d 0(1,2,3,)nx x n ==⎰,0(,1,2,3,,)k n k n ==≠. 例如当k n ≠时,有ππππ1cos cos d [cos ()cos ()]d 2kx nx x k n x k n x x --=++-⎰⎰ ππ1sin ()sin ()2k n x k n x k n k n -+-⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦在三角函数系中, 两个相同函数的乘积在区间[]π,π- 上的积分不等于零, 且有 π2π1d 2πx -=⎰, π2πsin d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =,π2πcos d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =.。
三角函数正交性
三角函数正交性1 三角函数正交性三角函数正交性是数学中一个重要的性质，它指的是三角函数的正切值，余弦值和正弦值的正交的特性。
由于三角函数的正切值、余弦值、正弦值与它们的对角线有着特定的函数关系，它们可以用极坐标形式来描述，这就是圆周三角学》中提出的结论。
三角函数正交性的具体内容可以概述如下：三角函数相互垂直，即在同一坐标轴上，一个函数的正切值、余弦值和正弦值的正交的性质，即tanθ*cosθ+sinθ=0这表示在极坐标系中，任意给定的极坐标(θ, r)，它们在同一个圆内的正切、余弦、正弦的值相互垂直，即正交的性质。
也就是说，无论是对极坐标系中给定圆的弦、圆半径以及它们之间的角，还是对极切线，均认为它们夹着的三个角是正相互垂直的。
2 平面角度三角函数正交性在平面几何中也有重要的应用。
它用一个简单的数学方程来描述两个向量夹着的夹角。
如果给定条件，前述等式可以求出由两个向量所构成的弧周理论上夹着的角度是多少，这就是三角函数正交性的应用。
三角函数正交性可以用来求解平面角度的问题，它的计算公式如下：角度α=α（cosα，sinα）=arctan（sinα/cosα）其中，α为所求的角度，cosα、sinα是向量的坐标值。
3 三角函数的数学应用三角函数的正交性在数学上应用甚广，它可以用来解决很多相关问题，如圆心角、夹角、椭圆轨迹以及坐标变换等。
例如，当求解圆心角时，可以记录内切线或端点的极坐标，根据三角函数的正交性，可以求出内切线的夹角和端点的夹角；在求解夹角的问题中，可以用三角函数的正切值来求出夹角，从而得出结论；另外，这种技术也可以应用在坐标变换测量中，用来解决从一种坐标系变换成另一种坐标系的问题。
总而言之，三角函数的正交性在数学上有着重要的应用，它是数学里应用最为广泛的一个性质。
三角函数的正交性
②
bn
1
f
(x)sin nx d x
(n 1, 2, )
由公式 ② 确定的
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1
0
x cos nx d x
1
x
sin n
nx
cos nx n2
0
1
cos
n2
n
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an
1 cos n n2
2
(
2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 ,)
bn
1
cos
nx
d
x
0 ( n 0 ,1, 2 ,)
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1
0
(1)
sin
nx
d
x
1
0
1
sin
nxdx
1
cos nx n
0
1
cos nx n
0
2
n
1
cos
n
三角函数之正交性 证明
cos a cos b = sin a sin b = sin a cos b =
1 [cos(a + b ) + cos(a − b )] 2 1 [cos(a − b ) − cos(a + b )] 2 1 [sin (a + b ) + sin (a − b )] 2
(2a) (2b) (2c)
式(2a)-(2c)中之符號 a 改寫為 mx 、b 改寫為 nx，再分別對變數 x 進行 − π 到 π 之線積分， 可得：
π π
1 {cos[(m − n )x] + cos[(m + n )x]}dx cos mx cos nxdx = 2 −π −π
∫
∫
(3a)
−π
∫
π
sin mx sin nxdx =
提要 259：三角函數之正交性(Orthogonality)
在探討 Fourier 級數問題時，常需面對許多牽涉三角函數中之「正弦函數」和「餘 弦函數」的定積分，解決此類常見問題時，前人發現，可利用以下三個簡單關係式推求 出問題之積分值，這三個簡單積分式的關係稱為三角函數之正交性(Orthogonality)，說 明如下。 三角函數之正交性(Orthogonality) 1.
∫
π
π
π
−π
sin[(m + n )x ] ∫ cos[(m + n)x]dx = m+n
π
=
−π
sin[(m + n )π ] sin[− (m + n )π ] 2 sin[(m + n )π ] − = m+n m+n m+n
cos[(m − n )x ] cos[(m − n )π ] cos[− (m − n )π ] =− + sin[(m − n )x ]dx = − =0 − − − m n m n m n − π −π
三角函数高一知识点归纳总结
三角函数高一知识点归纳总结三角函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将对高一阶段学习的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和公式。
一、基本概念1. 角度和弧度：角度是常用的角度单位，以度（°）为表示；弧度是角度的另一种单位，以弧长与半径的比值定义。
弧度的换算公式为π 弧度 = 180°。
2. 常用三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们的定义如下：- 正弦函数：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数：tanθ = 对边/邻边- 余切函数：cotθ = 邻边/对边- 正割函数：secθ = 斜边/邻边- 余割函数：cscθ = 斜边/对边二、特殊角的三角函数值1. 0°、30°、45°、60°、90°角的三角函数值。
通过特殊角的三角函数值的记忆，可以简化计算过程，快速得出结果。
- sin0° = 0，sin30° = 1/2，sin45° = 1/√2，sin60° = √3/2，sin90°= 1- cos0° = 1，cos30° = √3/2，cos45° = 1/√2，cos60° = 1/2，cos90° = 0- tan0° = 0，tan30° = 1/√3，tan45° = 1，tan60° = √3，tan90° = undefined三、三角函数的基本性质1. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。
2. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，即 sin(-x) = -sinx，cos(-x) = cosx。
高等数学第七节傅里叶级数
例3. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) = x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an = 0 (n = 0 ,1, 2 , )
bn
=2
0
nx
d
x
=
1 xsin π n
nx
+
cos nx n2
0 −π
=
1− cos nπ n2 π
1− (−1)n
= n2 π
an
=
1
−
cos n n2 π
π
=
2 (2k −1)2 π
0,
,
n = 2k −1 n = 2k
( k = 1, 2 , )
bn
=
1 π
π
f (x)sin nx d x
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例4. 将函数
解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则
展成傅里叶级数.
y
−π O π
x
a0
=
1 π
π
F(x)d x =
−π
1 π
π −π
f (x)d x
=π
an
=
1 π
π
−π
F (x)cos nx d
x
=
1 π
π
−π
f
(x)cos nx dx
=
2 π
n=1
cos
n
x
+ bn
sin
n
三角函数的正交完备性研究
三角函数的正交完备性研究
三角函数的正交完备性一直是数学研究者们关注并高度重视的研究课题，尤其是英国数学家巴贝奇在17世纪早期提出了对正交完备性的三角函数探讨后，更添了人们对此类研究的热情。
三角函数的正交完备性的研究和开发，主要是为了理解和推导出三角函数的表达形式，其中涉及到许多相互联系的概念，比如它的函数、几何关系、微分凄现象等。
它是一种完美的数学模型，可以用来描述宇宙中最复杂的运动规律。
巴贝奇在其“绝对完备几何图形”中提出，三角函数具有完美的正交完备性，即可以使用比较少的参数就能满足所有形状的曲线，这一理论，为数学家们在研究三角函数的参数形式的时候提供了非常重要的参考和借鉴。
巴贝奇曾宣称：“三角函数具有令人惊叹的正交完备性，它们之间相互补充，如此纯粹且完美，让人不得不怀疑，如此完美的函数是如何产生的？”他这句话令人深思，后来也被数学家们看做是未解之谜。
至今为止，虽然不少研究成果已经出台，但三角函数的正交完备性的研究仍耉贸不舍，历来都激发着广大数学家们对它的探索热情。
三角函数的广义定义与性质
三角函数的广义定义与性质三角函数是数学中一类重要的特殊函数，在数学、物理、工程等学科中有着广泛的应用。
它们的广义定义和性质对于深入理解和应用三角函数是至关重要的。
本文将对三角函数的广义定义和性质进行讨论。
一、正弦函数和余弦函数的广义定义在直角三角形中，正弦函数和余弦函数是首先被引入并定义的。
对于任意给定角度θ，我们定义正弦函数sinθ和余弦函数cosθ如下：sinθ = 垂直边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边其中，斜边表示直角三角形的斜边长度，垂直边和邻边分别表示与给定角度θ相关的直角三角形中垂直于θ的边和与θ相邻的边的长度。
二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即在每个2π的区间内，函数的值重复。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 介于-1和1之间：对于任意角度θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1，-1 ≤ cosθ ≤ 1。
4. 正交性：正弦函数和余弦函数在不同角度上是正交的，即∫[0, 2π] sinθcosθ dθ = 0。
三、正切函数和余切函数的广义定义基于正弦函数和余弦函数的广义定义，我们可以引入正切函数和余切函数，它们分别定义如下：tanθ = sinθ / cosθ = 垂直边 / 邻边cotθ = cosθ / sinθ = 邻边 / 垂直边其中，正切函数tanθ等于正弦函数sinθ与余弦函数cosθ的比值，余切函数cotθ等于余弦函数cosθ与正弦函数sinθ的比值。
四、正切函数和余切函数的性质1. 周期性：正切函数和余切函数的周期均为π，即在每个π的区间内，函数的值重复。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ；余切函数也是奇函数，即cot(-θ) = -cotθ。
3. 无定义点：正切函数在所有使得余弦函数为零的点上无定义，即在θ = (2n+1)π/2处，n为整数；余切函数在所有使得正弦函数为零的点上无定义，即在θ = nπ处，n为整数。
基本三角函数初步
基本三角函数初步三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的定义、性质及其初步应用。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin表示。
在一个单位圆中，对于任意角度θ，将θ角的终边与单位圆切点的纵坐标即为该角的正弦值。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个基本的三角函数，用cos表示。
在一个单位圆中，对于任意角度θ，将θ角的终边与单位圆切点的横坐标即为该角的余弦值。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，用tan表示。
在一个单位圆中，对于任意角度θ，将θ角的终边与单位圆切点的纵坐标除以横坐标即为该角的正切值。
四、三角函数的性质1. 周期性：三角函数的周期为2π（弧度制）或360°（角度制）。
2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数。
3. 正交性：正弦和余弦函数是正交函数，即它们的乘积在一个周期内的积分等于0。
4. 反函数：每个三角函数都有其反函数，分别为反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）。
五、三角函数的应用1. 几何应用：三角函数广泛应用于解决几何问题，如计算三角形的边长、角度等。
2. 物理应用：三角函数在物理学中也有重要应用，如分析周期性现象、波的传播等。
3. 工程应用：在工程领域，三角函数用于解决测量、建筑、力学等问题，如计算棱锥的表面积、测量建筑物的高度等。
六、常用三角恒等式1. 基本三角恒等式：a. sin²θ + cos²θ = 1b. 1 + tan²θ = sec²θc. 1 + cot²θ = csc²θ2. 和差角公式：a. sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBb. cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBc. tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)七、总结本文介绍了基本三角函数的定义、性质及其初步应用。
傅里叶级数
至多只有有限个极值点, 则 f ( x)的傅里叶级数收敛,
并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x);
(2)当 x是 f ( x)的间断点时,收敛于 f (x 0) f (x 0) ; 2
特别地，
当x为端点 x
±时
,收敛于 f ( 0) 2
叶级数，就是寻找一个三角级数
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx )
使得该级数以 f (x) 为和函数，即
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx )
需解决的问题是：
（1）若能展开, ai , bi 是什么?
（2）展开的条件是什么?
1 傅立叶系数
如果有
f
(x)
a0 2
(an
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
(n 1,2,3,) mn
, mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
以上都可以通过有关积分运算来验证。
二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数
设 f (x) 是以2π为周期的函数，所谓 f (x)的傅立
n1
cos nx
bn
sin
nx )
来求傅立叶系数 a0, an , bn , n 1, 2,3,
(1) 求a0
f ( x)dx
傅里叶级数
1
an
1
f ( x)cos nxdx
0
x
cos
nxdx
1
n2
2
(1
(1)n )
n 1, 2, 3, .... n0
1
bn f ( x)sin nxdx
1 0
(1)n1
x sin nxdx
n
(n 1, 2, 3, )
在 [ , )上应用收敛定理得：
当 x 时,
定义在[0, ]上的函数展开为Fourier级数： 设 f (x) 在[0, ]上有定义,
( 1 ) 要把 f ( x) 展成正弦级数 :
f ( x) x (0, ]
令 F ( x) 0
x0
---f ( x)的奇式延拓.
f ( x) x [ , 0)
则F( x)在[ , ]上为奇函数, F( x)的Fourier级数为
2
4x
例 6 把 f ( x) 2 x 在 (0, 2)内展成以4为周期的 2
正弦级数,并作出其和函数在[4, 4]上的图形.
解：把 f (x) 延拓成(2, 2)上的奇函数
an 0,
bn
2 l
l 0
f (x) sin n x dx
l
2
(1
x ) sin
n
x
dx
2
0
2
2
n
2 x 2 sin nx x (0, 2)
定理1 (Dirichlet(狄利克雷 )收敛定理)
设 f ( x)以2 为周期, 在[ , ]上满足：
1.连续或只有有限个第一类间断点, Dirichlet条件
2.只有有限个极值点,
则 f ( x) 的Fourier级数
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
11dx 2
cos 2 n x d x
2
sin 2 nx d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
f ( x) d x
1
ak
cos 2 k x d x
(利用正交性)
ak
1
f ( x) cos k x d x ( k 1, 2 , )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 1 bk f ( x) sin k x d x (k 1, 2 , )
0
2
2 sin nx d x
2
x cos nx sin nx 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n (1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n
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级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则 1 1 a0 F ( x ) d x f ( x ) d x
展成傅里叶
y
o
x
2 x2 2 0 1 1 an F ( x) cos nx d x f ( x) cos nx dx
a1
sin 2 t d t 0 0 2E
E
u (t )
4E
k 1
4k 2 1 cos 2k x
1
4E 1 1 1 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3 15 35
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上的积分等于 0 .
证:
1 cos nx d x 1 sin nx d x 0 cos k x cos nx dx
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0
an
1
f ( x) cos nxdx
x cos n x d x
1
0
1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2
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, n 2k 1 1 cos n an ( k 1 , 2 , ) 2 n 0, n 2k 1 1 0 (1) n 1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx n ( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于
第七节
第十一章
傅里叶级数
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
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例5. 将周期函数
中E 为正常数 . 解:
展成傅里叶级数, 其
y
是周期为2 的
2
o 2 x
周期偶函数 , 因此
a0
an
u (t ) d t E sin t d t 0 0 u (t ) cos n td t 0 E
2
2
简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
1
y
o
x
1
(1) cos nx d x 1 cos nx d x 0
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4
sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4
说明: 1) 根据收敛定理可知,
1
y
o
x
1 1 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
2 x sin nx cos nx 2 n n
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0
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4 , 2 2 n 2k 1 ( 2 k 1) 2 ( cos n 1) 0 , n n 2k ( k 1 , 2 , ) 1 f ( x) sin nx d x
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
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例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 y 上的表达式为 3 2 2 3 o
x
将 f (x) 展成傅里叶级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x ) d x x d x 2 2
由公式 ② 确定的
称为函数 的傅里
的傅里叶系数 ; 以
的傅里叶级数 .
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
傅里叶 目录
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定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2
E sin t cos nt d t 0
2
sin(n 1)t sin(n 1)t d t 0
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an
sin(n 1)t sin(n 1)t d t 0
0,
E
n 2k 1
2 2
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2 2 ( 2 k 1 )
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
F ( x)
f ( x) ,
x [ , )
f ( x 2k ) , 其它
傅里叶展开 上的傅里叶级数
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例3. 将函数
1
0
1
0
( n 0 , 1 , 2 , )
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(1) sin nx d x 1 sin nxdx 0
0
1
0
1
2 1 cos nx 1 cos nx 1 cos n n 0 n n 4 , 当n 1 , 3 , 5 , 2 1 (1) n n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , )
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:
(1) n 1 sin nx f ( x) 2 o n n 1 1 1 2(sin x sin 2 x sin 3x ) 2 3
y
x
级数的部分和
n n＝ ＝5 4 2 1 3
逼近 f (x) 的情况见右图.
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1
1
1
已知 1
2
2
又
4
8
1 2
4
, 2
1
3
1 2
2 2
8 8 24
2