富阳场口中学2011届高三期中联考数学(理)试题及答案

2011学年第一学期联谊学校期中考试
数学学科（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设集合{}
08U x x =∈<≤N ，{}1
245S =，，，，{}357T =，，，则=)(T C S U A ．{}1
24568，，，，， B ．{}123457，，，，， C ．{}12， D ．{}1
24，， 2．设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p 是q 的什么条件
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分且必要条件
D ．非充分非必要条件 3. 函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的区间是 A ．)1,2
1(
B ．)1,1(-e
C ．)2,1(-e
D ．),2(e
4. 下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是
A ．13
()f x x = B ．2()ln 2x
f x x -=+
C ．()1f x x =-+
D ．()1()2
x
x f x a a -=
+ 5
．已知
cos(2)
sin()
4
παπ
α-=-，则cos sin αα+等于
A
． B
C ．12
D ．12-
6．如图，函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ． 7．已知()cos(),(0)3
f x x π
ωω=+
>的图像与1y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要
得到()y f x = 的图像，只须把sin y x ω=的图像 A.向左平移
512π个单位 B. 向右平移5
12
π个单位
C. 向左平移
712π个单位 D. 向右平移7
12
π个单位 8．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，
则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()
()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，
则称()f x 在D 上为凸函数。

以下四个函数在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上不是凸函数的是 A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =-
C ．3()21f x x x =-+-
D ．()x f x xe -=-
9．已知向量,a b 的夹角为60
，1a b == ， c 与a b + 共线，则a c + 的最小值为 A
．
2 B
C ．12
D ．1
10．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函
数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．函数)13lg(13)(2
++-=
x x x x f 的定义域是
12．已知5
3
)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=
13．如图，已知C 为OAB ∆边AB 上一点，且
),(,2R n m n m ∈+==,
则mn =
14．已知平面向量(1,3),(4,2),a b a b λ=-=-+ 与a
垂直，则λ等于
15．命题p ：]1,1[0-∈∃x ，满足a x x >++102
0，使命题p 为真的实数a 的取值范围为
____ ___
16．已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间)1,1(-上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是___ ___ 17.下列说法中：
①函数2
l g ()
y x a x a =--的值域为R , 则()0,4-∈a ； ②O 是ABC ∆所在平面上一定点, 动点P 满足(
)
O P O A
A B A C
λ=++
且[)+∞∈,0λ，则P 的轨迹一定经过ABC ∆的重心；
③ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形；
④若函数()()
1log 22
+++=x x x x f ，则“0≥+n m ”是“()()0≥+n f m f
”的充第13题
要条件.其中所有正确命题的序号是 ．
三．解答题（本大题共5小题．共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分14分）
设命题p ：m
x x f -=2
)(在区间),1(+∞上是减函数；
命题q ：21,x x 是方程022=--ax x 的两个实根,不等式2
1253||m m x x +-≥-对任意实数]1,1[-∈a 恒成立；若p q ⌝∧为真，试求实数m 的取值范围.
19.（本小题满分14分）
在ABC ∆，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()AB AC CA CB k k R ==∈。

(Ⅰ)判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若1,k b =求的值。

20．(本小题满分14分)
若函数2()2cos 2f x x x a =+（a R ∈）在区间[0,
]2
π
上有最小值5，(Ⅰ)
求a 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调增区间。

21、（本小题满分15分）
对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数c ，使得对任意1[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意2x ∈D ，当2[,]x a b ∉时，2()f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数．
（1）判断函数1()|1||2|f x x x =-+-和2()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式
||||||()t k t k k f x -++≥⋅ 对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；
（3）若函数()g x mx =是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，求m 和n
的值。

22.（本小题满分15分）
已知函数2
()ln f x x ax x =-+-（a ∈R ）．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
单调时，求a 的取值范围； （3）求函数()f x 既有极大值又有极小值的充要条件。

2010学年第一学期联谊学校期中考试
数学学科（理科）参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
答案 D A C B D C A D C A
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中的横线上
11．1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 12．725 . 13．29 . 14．1-. 15．3a < 16．[)1,7- 17．②④.
三．解答题（本大题共5小题．共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分14分）
设命题p ：m
x x f -=2
)(在区间),1(+∞上是减函数；
命题q ：21,x x 是方程022=--ax x 的两个实根,不等式2
1253||m m x x +-≥-对任意实数]1,1[-∈a 恒成立；若p q ⌝∧为真，试求实数m 的取值范围. 解：命题p ：1≤m ……4分
命题q ：1
2
||3x x -==≤……6分
2533m m +-≥，2560m m +-≥，1m ≥ 或6m ≤-……10分
若p q ⌝∧为真，则p 假q 真,∴16
11>⇒⎩⎨
⎧
-≤≥>m m m m 或.……14分 19.（本小题满分14分）
在ABC ∆，角A ， B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()AB AC CA CB k k R ==∈。

(Ⅰ)判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若1,k b =求的值。

解：(Ⅰ),cos ,cos ,AB AC CA AB AC cb A CA CB ba C ⋅=⋅=⋅=
cos cos bc A ab C ∴=，根据正弦正理，得sin cos sin cos C A A C = 即sin cos cos sin 0,sin()0A C A C A C -=∴-=，
A C =，所以ABC ∆是等腰三角形。

…….……7分
（Ⅱ）由（1）知a c =
∴由余弦定理得2222
cos 22
b c a b AB AC bc A bc bc +-⋅==⋅=
1AB AC k ⋅== 2
1,.2
b b ∴
=得…………14分
20．(本小题满分14分)
21
、（本小题满分15分）
对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数c ，使得对任意1[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意2x ∈D ，当2[,]x a b ∉时，2()f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数．
（1）判断函数1()|1||2|f x x x =-+-和2()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式
||||||()t k t k k f x -++≥⋅ 对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；
（3）若函数()g x mx =是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，求m 和n
的值。

解：（1）对于函数1()|1||2|f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时，1()1f x =．
当1x <或2x >时，1()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立， 故1()f x 是“平底型”函数． ………2分
对于函数2()|2|f x x x =+-，当(,2]x ∈-∞时，2()2f x =；当(2,)x ∈+∞时，2()222
f x x =->． 所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ∉时，()2f x >恒成立． 故2()f x 不是“平底型”函数．………4分
（Ⅱ）若||||||()t k t k k f x -++≥⋅对一切t ∈R 恒成立，
则min (||||)||()t k t k k f x -++≥⋅．所以2||||()k k f x ≥⋅．又0≠k ，则()2f x ≤．
则|1||2|2x x -+-≤，解得1522x ≤≤．故实数x 的范围是15
[,]22．……9分
（Ⅲ）因为函数()g x mx =+是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，则存
在区间[,]a b [2,)⊆-+∞和常数c ，
使得mx c =恒成立． 所以222()x x n mx c ++=-恒成立，
即22122m mc c n
⎧=⎪
-=⎨⎪=⎩
．解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩． 当1
11m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时，()|1|g x x x =++．
当[2,1]x ∈--时，()1g x =-，当(1,)x ∈-+∞时，()211g x x =+>-恒成立． 此时，()g x 是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数． 当111m c n =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
时，()|1|g x x x =-++． 当[2,1]x ∈--时，()211g x x =--≥，当(1,)x ∈-+∞时，()1g x =． 此时，()g x 不是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数． 综上分析，m ＝1，n ＝1为所求．………15分
22.（本小题满分15分）
已知函数2()ln f x x ax x =-+-（a ∈R ）．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
单调时，求a 的取值范围；
（3）求函数()f x 既有极大值又有极小值的充要条件。

解：（1）3a =时，21231(21)(1)
'()23x x x x f x x x x x
-+--=-+-=-=-，
函数()f x 在区间1,22⎛⎫
⎪⎝⎭仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，
故函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
最大值是(1)2f =，
又153(2)(2ln 2)(ln 2)2ln 20244f f ⎛⎫
-=--+=-< ⎪⎝⎭
，故1(2)()2f f <，
故函数在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为(2)2ln 2f =-…………5分
（2）1'()2f x x a x =-+-，令1()2g x x x =+，则21
'()2g x x
=-，
则函数在1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
递减，在22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递增，由132g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，9(2)2g =，
g =()g x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值域为92⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭。

若'()0f x ≤在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
恒成立，即12a x x ≤+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，
只要a ≤'()0f x ≥在在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭恒成立，即12a x x ≥+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，
只要92a ≥。

即a
的取值范围是(
9,4⎡⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭
…………10分
（3）若)(x f 既有极大值又有极小值，则首先必须()0f x '=有两个不同正根21,x x ，即
0122=+-ax x 有两个不同正根。

故a
应满足20
80002
a a a
a ∆>⎧⎧->⎪
⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎪⎩
，∴当a > ()0f x '=有两个不等的正根，不妨设21x x <，
由()f x '=()2
121x ax x --+=2x
-))((21x x x x --知：10x x <<时()0f x '<，
21x x x <<时()0f x '>，2x x >时()0f x '<，
∴当a >)(x f 既有极大值)(2x f 又有极小值)(1x f ．
反之，当a >0122
=+-ax x
故函数()f x 既有极大值又有极小值的充要条件a > …………15分。