1-7-3第三讲 圆锥曲线的综合问题

一、选择题

1．已知椭圆x 225＋y 2

16＝1的焦点是F 1、F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，

则下面结论正确的是( )

A ．P 点有两个

B ．P 点有四个

C ．P 点不一定存在

D ．P 点一定不存在

解析：设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3<4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点，所以椭圆上一定不存在点P 满足PF 1⊥PF 2.故选D.

答案：D

2．在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1，3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )

A ．(－2，1)

B ．(1，2)

C ．(2，1)

D ．(－1，2)

解析：由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1，2)．

答案：B

3．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，0)

B ．(－∞，2]

C ．[0，2]

D ．(0，2)

解析：设点Q 的坐标为(y 204，y 0)，由|PQ |≥|a |，得y 20＋(y 204－a )2≥a 2，整理得y 20(y 2

0＋16－8a )≥0，

∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即

a ≤2＋y 20

8恒成立．

而2＋y 20

8的最小值为2，所以a ≤2.选B. 答案：B

4．(2012年临沂质检)已知P是双曲线x2

9－

y2

16＝1右支上的一点，M，N分别

是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为() A．6 B．7

C．8 D．9

解析：由题知双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)，F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，F1三点共线以及P，N，F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝9.

答案：D

5．(2012年海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()

A．圆B．椭圆

C．双曲线的一支D．直线

解析：如图1，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故|AM|＝|MP|，此时M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为AM，故A可能．

如图2，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在F1P上截|MP|＝|MA|，∵|PF1|＝r，∴|MF1|＋|PM|＝|MF1|＋|MA|＝r>|F1A|，由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的椭圆，故B可能．

如图3，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，延长F1P到点M，使得|MP|＝|MA|，则有|MF1|－|PM|＝r，∴|MF1|－|MA|＝r<|F A|，由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F1、A为焦点的双曲线的右支，故C可能．

如图4，定点A 在定圆F 上，则满足题意的点M 的轨迹是以F 为端点的一条射线，故D 不可能．

答案：D 二、填空题

6．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．

解析：设点M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1

x 0＋x 1

，

即k 1·k 2＝y 20－y 2

1

x 20－x 21

.

又x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21

b 2＝1，所以x 20－x 21a 2－y 20－y 21b 2＝0，即y 20－y 21x 20－x 21

＝b 2

a 2，所以k 1·k 2

＝b 2a 2.

又离心率为e ＝2，所以k 1·k 2＝c 2－a 2a 2＝e 2

－1＝3. 故填3. 答案：3

7．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1、F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．

解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2，22]．

答案：[2，22]

8．(2012年济南模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a ，0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．

解析：设M (y 202p ，y 0)，M 1(y 21，2p ，y 1)，M 2(y 22，2p ，y 2)由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 2

2p －a