24.2.2直线和圆的位置关系2

r·
●
O d l
方法2：直线到圆心的距离等于半径
A
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方 法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。
在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA。思考： 1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? 2. 二者位置有什么关系？为什么？ 3. 由此你发现了什么？
分析：由于AB过⊙O上的点C，所
O
以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
A
C
B
辅助线：有点连半径，证垂直
2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB 于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
D B O
A
E
C
辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.
归纳分析
例1与例2的证法有何不同?
B
O
T
A
1、定义法：
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、数量法（d=r）： 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 3、判定定理：
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
连半径,证垂直 作垂直,证半径
3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上， BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线.
判定定理：
①过半径外端 ②垂直于这条半径。
切线
性质定理：
①圆的切线 ②过切点的半径。
切线垂直于 半径
4、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C， 若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点， 则∠BPC的度数是（ ） A、600 B、1200 C、600或1200 D、1400或600
B O
C
P
A
C A O B D
将上页思考中的问题 反过来,如果L是⊙O的切线, 切点为A,那么半径OA与直 线L是不是一定垂直呢?
.O
l A
一定垂直
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
公共点名称
直线名称
图形
O · r d
l
r· d
l
O
O · r d l
d与r的关系
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水着砂轮的 什么方向飞出去的?
图中直线 l 满足什么条件时是⊙O的切线？ 方法1：直线与圆有唯一公共点
O
l
A
发现：
(1)直线 l 经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A． 则直线l与⊙O相切
l
O
A
这样我们就得到了从位置上来判定直 线是圆的切线的方法．
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直这条半 径的直线是圆的切线。
几何语言：
∵ OA是半径， l ⊥ OA于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
5、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O， OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证：AB是⊙O的切线
A
F
B O
E
C
课堂小结
• • • • 1、切线的判定方法； 2、切线的作法； 3、常见辅助线； 4、切线的性质。
D O B
A A
B E
O
C
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长。简记为：作垂直,证半径。
1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB, 求证:AT是⊙O的切线.
l
A
切线必须同时满足两条： ①经过半径外端；②垂直于这条半径．
定理中的两个条件缺少一个行不行?
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（
O
l r A
）
O r l A
O l
r
A
两个条件,缺一不可
1.已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。