高二数学圆的方程4
圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
本例也可以设成圆的
标准方程，请同学们
自己完成。
（三）典型例题
【变式探究】
若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，
且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【类题通法】用待定系数法求圆的方
≤
，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤
.
7
7
7
（三）典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系，一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D，E，F.
（三）典型例题
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径
为 2，求圆的一般方程．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
1
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝2|MB|，
1
4
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(x－2)2＋y2＝ [(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解4--- 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解04 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 圆与方程知识点2 直线与圆的位置关系 知识点3 圆的切线知识点4 圆与圆的位置关系 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 圆与方程例1．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C 经过点()20M -，，()02N ，两点，且圆心在直线0x y -=上．求圆C 的方程； 【答案】224x y +=根据题意，点()20M -，，()02N ，，则线段MN 的中垂线方程为0x y +=， 圆心为直线0x y -=和0x y +=的交点，则有00x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得0x y ==，所以圆C 的圆心坐标为()00，；半径2r ==， 所以圆C 的方程为224x y +=.练习1-1．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆D 经过点()1,0A -，()3,0B ，()1,2C ．求圆D 的标准方程； 【答案】()2214x y -+=设圆D 的标准方程()()222x a y b r -+-=， 由题意可得()()()()()()222222222103012a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆D 的标准方程为()2214x y -+=. 名师点评：圆的方程两种形式：(1)标准式：222()()(0)x a y b r r -+-=>，圆心为(,)a b ，半径为r .(2)一般式：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）,圆心为(,)22D E--,半径r =.本例中采用两种方法即几何法和代数法.(1)代数法是利用圆的一般方程,根据条件列出关于D ,E ,F 的方程组,然后解出D ,E ,F .所以设圆的方程为一般式,代入坐标即可求解,如本例练习1-1.(2)几何法是利用圆的标准方程,结合圆的性质,找出圆心和半径,然后得到圆的标准方程.常用的性质是圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，如本例1.例2．（2021·江苏·高二专题练习）已知两个定点()()0401A B ，，，，动点P 满足2.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．求曲线E 的轨迹方程；【答案】224x y += 设点P 的坐标为()x y ，，由2PA PB =整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=；练习2-1．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知圆O ：224x y +=，点A 是圆上一动点，点(4,0)B ，点C 是线段AB 的中点. （1）求点C 的轨迹方程；（2）求点C 到直线290x y --=的距离的最小值. 【答案】()2221x y -+=设点()00,A x y ，∵点C （x ，y ）是AB 的中点， 00422x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即00242x x y y =-⎧⎨=⎩，又2222004,(24)(2)4x y x y +=∴-+=，即()2221x y -+=，∴点C 的轨迹方程为()2221x y -+=练习2-2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知动点P 到定点()2,0A -的距离与它到定点()2,0BP 的轨迹E 的方程； 【答案】()22412x y -+=设(),P x y ，由题意得=化简得：()22412x y -+=.名师点评：轨迹方程常用求解方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
高二数学圆的方程知识点
高二数学圆的方程知识点圆是几何中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。
在高二数学中，我们需要掌握圆的方程及相关的知识点。
本文将介绍高二数学圆的方程知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的基本概念圆是由平面上距离一个固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的一般方程圆的一般方程形式为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
三、圆的标准方程圆的标准方程形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为常数，表示圆心及半径的信息。
四、圆的参数方程圆的参数方程形式为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度，θ为参数。
五、圆的切线方程圆的切线方程与切点的坐标有关，一般可以通过求导数来得到。
切线方程的一般形式为：y - y₀ = k(x - x₀)其中，(x₀, y₀)为切点的坐标，k为切线的斜率。
六、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆外切：直线与圆相切，且切点位于圆的外部。
3. 直线与圆内切：直线与圆相切，且切点位于圆的内部。
4. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
七、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆没有交点，且它们的圆心间的距离大于两个圆的半径之和。
2. 外切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之和。
3. 相交：两个圆有两个交点，且它们的圆心间的距离小于两个圆的半径之和。
4. 内切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之差。
5. 内含：一个圆完全包含在另一个圆的内部。
八、圆的相关性质1. 直径垂直于弦：如果一条弦的两个端点都在圆的直径上，那么这条弦垂直于直径。
2. 弦的性质：如果两条弦相交于圆上的一个点，那么这两条弦的交点到各自弦上任意一点的线段长度相等。
高二数学圆的方程总结
高二数学圆的方程总结一、概述圆是数学中的基础几何图形之一，它具有许多重要的性质和特点。
圆的方程是描述圆的数学表达式，可以通过方程推导出圆的各种性质和关系。
本文将以高二数学的学习内容为基础，总结圆的方程及其相关知识。
二、圆的定义圆是由平面上到一个固定点的距离等于一个常数的所有点组成的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
三、圆的标准方程1. 中心在原点的圆的方程：x² + y² =r²。
此时，圆心坐标为(0, 0)。
2. 中心不在原点的圆的方程：(x-a)² + (y-b)² = r²。
此时，圆心坐标为(a, b)。
四、圆的一般方程当圆的方程不满足标准方程形式时，我们可以通过变换将其转化为一般方程。
一般方程的形式为：Ax² + Ay² + Bx + Cy + D = 0。
五、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上任意两点的距离都等于半径的长度。
2. 圆的直径：通过圆心的两个点组成的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
3. 圆的弦：圆上任意两点组成的线段称为弦。
4. 圆的切线：与圆只有一个交点的直线称为切线，切线与半径垂直。
5. 圆与直线的位置关系：直线与圆相交、外切、内切或不相交。
6. 圆的面积：圆的面积公式为πr²，其中π是一个无理数，约等于3.14。
7. 圆的周长：圆的周长公式为2πr。
六、圆的方程的应用1. 圆的方程可以用于求解与圆相关的几何问题，如求圆与直线的交点坐标、判断点是否在圆内等。
2. 圆的方程在物理学、工程学等领域也有广泛应用，如计算圆形物体的面积、设计圆形的轮胎等。
七、总结圆的方程是描述圆的数学表达式，可以通过方程推导出圆的性质和关系。
本文简要总结了圆的方程的标准形式和一般形式，以及圆的性质和应用。
高二数学必修2圆的参数方程知识点
即为点M的轨迹参数方程，消去参数得
即为点M的轨迹普通方程。
(1)参数方程
是椭圆的参数方程; (2)在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b,
称为离心角，规定参数
的取值范围是[0，2π); (3)焦点在y轴的参数方程为
高二数学必修2曲线的参数方程知识点
曲线的参数方程的定义：
高二数学必修2圆的参数方程知识点
圆的参数方程：
(θ∈[0，2π))，(a，b)为圆心坐标，r为圆的半径，θ为参数(x，y)为经过点的坐标。
圆心为原点，半径为r的圆的参数方程：
如图，如果点P的坐标为(x，y)，圆半径为r，
根据三角函数定义，点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数，即
高二数学必修2椭圆的参数方程知识点
椭圆的参数方程：
椭圆
的参数方程是，
θ∈[0，2π)。椭圆
>b>0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设
(2)参数的取值范围：在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围;取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。
(3)参数方程与普通方程的统一性：普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数
高二上数学圆周曲线知识点
高二上数学圆周曲线知识点圆周曲线是高中数学中一个重要的概念，我们在学习数学的过程中会接触到各种各样的曲线，而圆周曲线是其中之一。
本文将介绍高二上数学课程中关于圆周曲线的知识点。
1. 圆的方程圆的方程是我们研究圆周曲线的基础。
一般来说，圆的方程可以通过圆心坐标和半径来确定。
对于圆心坐标为(x0, y0)、半径为r 的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 圆的标准方程当圆的圆心位于原点(O, O)时，我们可以得到圆的标准方程：x² + y² = r²这是圆的最简单的形式，我们可以通过它来研究圆周曲线的性质。
3. 圆的参数方程除了标准方程之外，我们还可以利用参数来表示圆周曲线。
圆的参数方程可以表示为：x = x0 + r * cosθy = y0 + r * sinθ其中，θ为参数，范围在[0, 2π]之间。
4. 圆的一般方程当圆的圆心不在原点时，我们可以得到圆的一般方程。
一般方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为常数。
5. 圆的切线和法线圆周曲线上的任意一点都有一个切线和一个法线。
切线是过曲线上某一点的直线，与曲线相切于该点；法线则垂直于切线，并通过曲线上的该点。
6. 圆的圆心角圆周曲线上两个相邻弧之间的夹角称为圆心角。
圆心角与对应的弧长有一定的关系，当我们知道圆心角的大小时，可以通过圆的半径来计算对应的弧长。
7. 圆的切线与圆心角当一条直线与圆相切时，我们可以用圆的半径和切线与该直线的交角来计算该直线与圆的切点的坐标。
总结：以上是高二上数学圆周曲线的知识点的介绍。
圆周曲线是数学中重要的一部分，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、计算机图形学等领域也扮演着重要的角色。
通过深入学习和理解这些知识点，我们能够更好地理解和应用圆周曲线相关的问题。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程(思维导图+4知识点+4考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征；2．能根据所给条件求圆的标准方程；3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.知识点1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，⊙A 就是集合{}P M MA r ==．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．知识点2圆的标准方程1、圆的标准方程：我们把()()222-+-=x a y b r 称为圆心为(),A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径．（2）圆的标准方程的右端20r >，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．2、圆的标准方程的推导过程（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设(),A a b ，半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为(,)x y ．（2）写点集：根据定义，圆就是集合{}P M MA r ==．（3r =．（4）化简方程：将上式两边平方得222()()x a y b r -+-=．3、几种特殊位置的圆的标准方程知识点3点与圆的位置关系1、几何法：点()00,M x y ，圆心(),A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA d =，d r >⇔点M 在圆A 外；d r <⇔点M 在圆A 内；d r =⇔点M 在圆A 上．2、代数法：将点()00,M x y 直接代入圆的标准方程()()222-+-=x a y b r 进行判断，即若点()00,M x y 在圆外，则()()22200->+-x a y b r ；若点()00,M x y 在圆内，则()()22200x a y b r +-<-；若点()00,M x y 在圆上，则()()22200x a y b r +-=-．知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．（1）若点C 在圆外时，max PC d r =+，min PC d r =-；（2）若点C 在圆上时，max 2PC r =，min 0PC =；（2）若点C 在圆内时，max PC d r =+，min PC r d =-．综上：max PC d r =+，min PC d r =-．考点一：求圆的标准方程例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在(3,4)-，半径为5，则它的方程为（）A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．22(3)(4)25x y ++-=D ．()()22345x y ++-=【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是.【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点(2,0),(2,2)--且圆心在直线:0l x y +=上的圆的标准方程为.【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点()()()120,01,33,1O M M ---､､的圆的标准方程是.考点二：点与圆的位置关系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知()14,9P ，()26,3P 两点，以线段12PP为直径的圆为圆P ，则（）A ．()6,9M 在圆P 上B ．()3,3N 在圆P 内C ．()5,3Q 在圆P 内D ．()2,7R 在圆P 外【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点(,10)P a ，圆的标准方程为()()221112x y -+-=，则点P （）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．与a 的取值有关【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点(),3A a 在圆()22:15C x y +-=外，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1-【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线2y x k =+与y x =-的交点在圆228x y +=的内部，则实数k 的取值范围是（）A ．11k -<<B ．2<<2k -C ．33k -<<D ．k <考点三：与圆有关的最值问题例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数x y ，满足221x y +=，则()()2234x y -+-的最大值是（）A ．5B ．6C ．25D ．36【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知P 为圆22(3)(4)4x y -+-=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值为.【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆C :()()22124x y ++-=，点()2,0A -，()2,0B .设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．考点四：与圆有关的对称问题例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线()()22124x y -+-=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y --=对称，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆M ：()2211x y ++=与圆N ：()()22231x y -+-=关于直线l 对称，则l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆()()22:112C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的方程为（）A ．()2222x y -+=B ．()2222x y ++=C ．()2222x y +-=D ．()2212x y ++=一、单选题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为()1,0，半径为2的圆的方程是（）A ．()2212x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y ++=2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆M 经过点()()0,20,4,，且圆心M 在直线210x y --=上，则圆M 的面积为（）A ．2πB 5πC ．4πD ．5π3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆22:(2)(1)1M x y -+-=与圆N 关于直线0x y -=对称，则圆N 的方程为（）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(1)(2)1x y -+-=4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点(,3)P m 与圆()()22212x y -+-=的位置关系为（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值无关5．（2023高二上·全国·专题练习）点(1,1)--在圆22()()4x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a <-或1a >D ．1a =±6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆C 经过点()0,0A 、()2,0B ，ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为（）A ．()()22114x y -+-=B ．()()22112x y -++=C ．()()22112x y -+-=D ．()()22125x y -+-=8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆k C ：()()()224R x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．所有圆k C 的半径均为2B ．所有的圆kC 的圆心恒在直线y x =上C ．当2k =时，点()3,0在圆k C 上D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个三、填空题9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆222430x y x y +-++=有相同圆心，且过点()4,2-的圆的标准方程是.10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆221:(1)9C x y -+=和圆222:(3)(2)9C x y +++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知,x y 满足22(1)(2)16x y -+-=，则22x y +的取值范围是.四、解答题12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知A 关于直线y x =对称，点()0,0O ，()4,0N 都在A 上.(1)求线段ON 垂直平分线的方程；(2)求A 的标准方程13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C 的圆经过()0,0O ，(0,A 两点，且圆心C 在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA +的取值范围．。
2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程4
圆的标准方程基础过关练题组一圆的标准方程的认识1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是()A.(-2,3),1B.(2,-3),3C.(-2,3),√2D.(2,−3),√22.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)3.方程|x-1|=√1-(y-1)2表示的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆4.方程x=√1-y2表示的图形是()A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆题组二求圆的标准方程5.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是 ()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=3C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=96.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=17.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=528.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.9.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆C的标准方程.题组三点与圆的位置关系10.点(sin30°,cos30°)与圆x2+y2=1的位置关系是()2A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定11.(2020湖北宜昌高二上期末)若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是 ()A.m>25B.m>5C.0<m<25D.0<m<512.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.13.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C 的位置关系.能力提升练题组一圆的标准方程的求法及应用1.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()A.x2+y2=25(y≠0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=252.(2020辽宁大连高二上期中,)若圆C与圆C':(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程为(深度解析)A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=13.()圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆C2的标准方程为()A.(x-4)2+(y+1)2=1B.(x+4)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y+4)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=14.(2021山东新泰中学高二上月考,)已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是.易错5.(2021山西怀仁一中高二上月考,)经过二次函数y=x2-3x+2的图象与坐标轴的三个交点的圆的方程为.6.(2019安徽六安一中高一阶段测试,)已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.(1)分别求直线l1,l2的方程;(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC的外接圆的标准方程.题组二点与圆的位置关系7.()设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.6B.25C.26D.368.(2020四川成都石室中学高二上期中,)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)9.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知圆过A(1,4),B(3,2)两点,且圆心在直线y=0上.(1)求圆的标准方程;(2)判断点P(2,4)与圆的关系.答案全解全析 基础过关练1.D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为√2.2.C 由(x -a )2+(y -b )2=0,解得{y =y ,y =y ,因此它只表示一个点(a ,b ).故选C .3.A 原方程可化为(x -1)2+(y -1)2=1,表示的曲线是一个圆,故选A .4.D 根据题意得x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D. 5.D 由圆的标准方程得(x -1)2+(y +2)2=9. 6.A 设圆的圆心为C (0,b ),则√(0-1)2+(y -2)2=1,∴b =2,∴圆的标准方程是x 2+(y -2)2=1.7.A 易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为√13,因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x -2)2+(y +3)2=13.8.解析 设所求圆的圆心为(a ,b ),标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0), 则有{(2-y )2+(2-y )2=y 2,(5-y )2+(3-y )2=y 2,(3-y )2+(-1-y )2=y 2,解得{y =4,y =1,y 2=5,所以△ABC 的外接圆的标准方程为(x -4)2+(y -1)2=5.9.解析 (1)当AB 为直径时,过点A ,B 的圆的半径最小,从而周长最小.易知所求圆的圆心为AB 的中点(0,1),半径r =12|yy |=√10,故圆的标准方程为x 2+(y -1)2=10.(2)设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),则{(1-y )2+(-2-y )2=y 2,(-1-y )2+(4-y )2=y 2,2y -y -4=0,解得{y =3,y =2,y 2=20,∴圆的标准方程为(x -3)2+(y -2)2=20. 10.C 因为sin 230°+cos 230°=(12)2+(√32)2=1>12,所以点在圆外.11.C 依题意得,m >0,且(0-3)2+(0+4)2>m ,所以0<m <25,故选C . 12.答案 ±2解析 ∵P 点在圆x 2+y 2=m 2上, ∴(-1)2+(√3)2=4=m 2, ∴m =±2.13.解析 因为圆C 过原点O ,圆心为C (-3,-4),所以圆C 的半径r =|OC |=√(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此圆C 的标准方程为(x +3)2+(y +4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M 1(-1,0)在圆C 内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M 2(1,-1)在圆C 上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M 3(3,-4)在圆C 外.能力提升练1.C 依题意得,直角顶点C 在以AB 为直径的圆上运动,且点C 与点A 、B 不重合,由AB 的中点坐标为(2,0),|AB |=10得,直角顶点C 的轨迹方程为(x -2)2+y 2=25(y ≠0),故选C .2.D 已知圆C 与圆C'关于原点对称,则两圆的圆心关于原点对称,半径相等,因此,圆C 的圆心为(2,-1),半径为1,从而圆C 的标准方程为(x -2)2+(y +1)2=1,故选D .解题模板 与圆有关的对称问题,由对称前后两圆全等,知两圆的半径相等,因此只要利用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.3.A 由题意得,圆C 1的圆心坐标为(1,2),设圆心C 1(1,2)关于直线x -y -2=0的对称点为C 2(a ,b ),则{y -2y -1×1=-1,y +12-y +22-2=0,解得{y =4,y =-1,所以圆C 2的标准方程为(x -4)2+(y +1)2=1.4.答案 (x -4)2+(y -2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)解析 设C (x ,y ),由题意知,△ABC 的腰长为√(3-4)2+(5-2)2=√10,∴C 的轨迹方程为(x -4)2+(y -2)2=10. 又点A 、B 、C 构成三角形,即三点不可共线, ∴需要去掉重合点(3,5),反向共线点(5,-1). 故答案为(x -4)2+(y -2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).易错警示 解决以三角形为条件的问题时,要注意隐含条件三角形的三个顶点不共线,在求出轨迹方程后,要去掉三点共线时轨迹上的点. 5.答案 (y -32)2+(y -32)2=52解析 令x =0,则y =2;令y =0,则x =1或x =2,所以二次函数y =x 2-3x +2的图象与坐标轴的三个交点不妨设为A (0,2),B (1,0),C (2,0). 线段BC 的垂直平分线方程为x =32,①线段AC 的垂直平分线为y =x ,② 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),③联立①②得x =32,y =32,即y =32,y =32,易求得y 2=52, 则圆的方程为(y -32)2+(y -32)2=52.6.解析 (1)因为直线l 1经过点A (-3,0),B (3,2),所以y -02-0=y +33+3,所以l 1的方程为x -3y +3=0.因为l 1⊥l 2,所以设直线l 2的方程为3x +y +c =0.因为点B (3,2)在直线l 2上,所以c =-11.所以直线l 2的方程为3x +y -11=0.(2)由{3y +y -11=0,y =8y得{y =1,y =8,即y (1,8),所以|yy |=4√5,|yy |=2√10,又|yy |=2√10,所以|AB |2+|BC |2=|AC |2,所以△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.又AC 的中点为(-1,4),所以Rt △ABC 的外接圆的圆心为(-1,4),半径为2√5.所以△ABC 的外接圆的标准方程为(x +1)2+(y -4)2=20. 7.D (x -5)2+(y +4)2的几何意义是点P (x ,y )到点Q (5,-4)的距离的平方.因为点P 在圆C :(x -2)2+y 2=1上,所以所求最大值为(|QC |+1)2=36.8.C 设x =sin α,y =cos α,则√3y +y =√3sin y +cos y =2sin (y +π6),所以√3x +y 的取值范围是[-2,2].故选C .9.解析 (1)∵圆心在直线y =0上,∴设圆心坐标为C (a ,0),又圆过A ,B 两点, ∴|AC |=|BC |,即√(y -1)2+16=√(y -3)2+4,即(a -1)2+16=(a -3)2+4,解得a =-1, ∴圆心为C (-1,0),半径r =|AC |=√(-1-1)2+16=√20=2√5,∴圆的标准方程为(x +1)2+y 2=20.(2)∵|PC |=√(-1-2)2+(0-4)2=√9+16=√25=5>r ,∴点P (2,4)在圆外.。
高二数学必修二 第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修2 第四章 圆与方程第四章 圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-4 圆的方程(解析版)
专题2.4 圆的方程知识点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),C a b 为圆心，r 为半径.知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时0,0a b ==，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：0b =；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为(),a b ，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有(1)若点()00,M x y 在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00,M x y 在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00,M x y 在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三：圆的一般方程 当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 知识点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-.它表示一个点. 222x y r +=(,)22D E--(2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆. 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．题型一：圆的标准方程1．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）与圆C ：224690x y x y ++-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ）A ．()()22214x y -+-= B ．()()22324x y -++= C ．()()22214x y -++=D ．()()22324x y ++-=【答案】C【解析】圆C ：224690x y x y ++-+=的圆心()2,3C -，半径2r =． 设点()2,3C -关于直线10x y -+=的对称点为00'(,)C x y ，则000000311*******22y x x y x y -⎧⨯=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪-+=⎪⎩， 所以圆C 关于直线10x y -+=的对称圆的方程为()()22214x y -++=， 故选:C ．2．（2022·江苏·高二）圆C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）． A ．()()22431x y -++= B ．()()224349x y -+-= C ．()()22431x y ++-= D ．()()224349x y +++=【答案】A【解析】：()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心，以1为半径的圆．设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ，则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：4a =，3b =-， 所以C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=． 故选：A ．3．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -；(2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径；(3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-；(4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --． 【答案】(1)()22225x y ++=或()22625x y -+=(2)()()221329x y -++=(3)()()22122x y -+=+(4)()()221210x y +++=【解析】(1)设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=． (2)设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-； 又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=． 所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=． (3)设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+．(4)设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +． 又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r =故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=．题型二：圆的一般方程1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程222410+-+-=x y x y 的圆心为（ ） A ．()2,4- B ．()1,2- C ．()1,2- D ．()2,4-【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标； 【详解】解：因为222410+-+-=x y x y ，即()()22126x y -++=， 所以圆心坐标为()1,2-； 故选：C2．（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，则ABC 的最小覆盖圆的半径为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C 【解析】(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，ABC ∴△为锐角三角形，ABC ∴△的外接圆就是它的最小覆盖圆，设ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420420,1640D F D FEF -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得034D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ABC ∴△的最小覆盖圆方程为22340x y y +--=，即22325()24x y +-=，ABC ∴△的最小覆盖圆的半径为52.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C ()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2 DC设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F DEF D E F ⎧+++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =. 故选：C.题型三：点与圆的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()()3,22,--+∞ B ．()()3,23,--⋃+∞ C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】A【解析】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆 故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <- 点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外 故22122220m ++-⨯+>，即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选：A题型四：圆过定点问题1．（2022·河北沧州·高二期末）已知点A 为直线2100x y +-=上任意一点，O 为坐标原点．则以OA 为直径的圆除过定点()0,0外还过定点（ ） A ．()10,0 B ．()0,10 C ．()2,4 D ．()4,2【答案】D【解析】设OB 垂直于直线2100x y +-=，垂足为B ，则直线OB 方程为：12y x =， 由圆的性质可知：以OA 为直径的圆恒过点B ，由210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得：42x y =⎧⎨=⎩，∴以OA 为直径的圆恒过定点()4,2. 故选：D.2（2022·上海·高三专题练习）已知二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C ，则圆C 经过定点的坐标为_______（其坐标与b 无关） 【答案】(0,1)和(2,1)-【解析】二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为(,0),(,0),(0,)M m N n B b ，易知0b ≠，,m n 满足2m n +=-，m n ≠，220m m b ++=，220n n b ++=，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，则222000m Dm F n Dn F b Eb F ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ①－②得22()0m n D m n -+-=，()2D m n =-+=，∴220n n F ++=，从而F b =，代入③得1E b =--，∴圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=， 整理得222(1)0x y x y b y ++-+-+=，由222010x y x y y ⎧++-=⎨-+=⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩．∴圆C 过定点(0,1)和(2,1)-． 题型五：轨迹问题1 古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆()()222:20C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值为（ ） A ．1B ．5C ．1或5D ．不存在【答案】C 【解析】 【分析】直接设点P (),x y ，根据2PA PO =可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得11CC r r =+或11CC r r =-． 【详解】 设点P (),x y∵2PA PO =整理得：()2214x y ++=∴点P 的轨迹为以()11,0C -为圆心，半径12r =的圆， ∵圆()222:2C x y r -+=的()2,0C 为圆心，半径r 的圆由题意可得：113CC r r ==+或113CC r r ==- ∴1r =或=5r 故选：C ．2已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________.【答案】)1【解析】 【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果. 【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0- D ．(][),20,-∞-+∞【答案】B【解析】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+，由该曲线表示圆，可知25100a a +>，解得0a >或2a <-，故选：B. 2．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ） A ．221x y += B ．224x y += C ．()()22113+++=x yD ．()()22116x y +++=【来源】贵州省2021-2022学年高二下学期7月高中学业水平考试数学试题 【答案】B 圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为224x y +=.故选：B3．方程y = ）．A ．B ．C ．D ．【来源】2.1 圆【答案】A ：对y =()2240x y y +=≤，所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x 轴及下方的部分，A 选项满足.故选：A4．若直线l 经过圆22:40C x y x ++-=的圆心，且倾斜角为56π，则直线l 的方程为（ ）A 0y -+= B ．10x -=C 0y ++=D ．50x +=【答案】B【解析】整理圆的方程可得：()(2227x y ++=，∴圆心(C -，l 倾斜角为56π，∴其斜率5tan 6k π==，l ∴方程为：)2=+y x ，即10x +-=. 故选：B.5．如图，点A ，B ，D 在圆Γ上，点C 在圆Γ内，11,12,5AB BC CD ===，若0BC CD ⋅=，且AB 与CD 共线，则圆Γ的周长为（ ）A ．410πB ．653π C ．21π D ．24π【来源】安徽省淮南第二中学2021-2022学年高二下学期博雅杯素养挑战赛数学试题 【答案】B【解析】以C 为原点，BC 和CD 坐在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系， 则(12,11),(12,0),(0,5)A B D ---， 设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=则144121121101441202550D E F D F E F +--+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1631180D E F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以656r =所以圆的周长为65652263r πππ=⨯= 故选：B6．已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A ．2310x y -+= B ．2310x y --= C ．3210x y -+= D ．3210x y --=【答案】A【解析】设点A 的坐标为()5,3-，圆()()22115x y -+-=的圆心坐标为(1,1)B ，设(,0)C x 是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆()()22115x y -+-=的圆周， 所以反射光线经过点(1,1)B ， 由反射的性质可知：3010100512AC BC k k x x x --+=⇒+=⇒=----， 于是102131()2BC k -==--，所以反射光线所在的直线方程为： 21()231032y x x y =+⇒-+=，故选：A7．若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）．A ．250x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．30x y --=【来源】黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题 【答案】D【解析】由圆()22:125C x y -+=，得()1,0C ，()01112PC k --∴==--， 由垂径定理可知PC AB ⊥，所以直线AB 斜率k 满足1PC k k ⋅=-，即1k =，所以直线AB 的方程为：()()112y x --=⨯-，即30x y --=， 故选：D.8．直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2242x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[]8,12B ．⎡⎣C ．[]12,20D ．⎡⎣【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题 【答案】C【解析】直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴A (-4，0)，B (0，-4) ∴|AB设圆心(4，0)到直线40x y ++=的距离为d ，则d ==设点P 到直线40x y ++=的距离为h ，∴max h d r =+=min h d r =-==∴h 的取值范围为[，即ABP 的高的取值范围是[， 又ABP 面积为12|AB |×h ，所以ABP 面积的取值范围为[]12,20. 故选：C.9．已知直线10(0)ax by ab +-=>过圆22(1)(1)2022x y -+-=的圆心，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B ．1CD ．2【来源】安徽省宣城市2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】A【解析】由题意得圆心为（1,1），因为直线10(0)ax by ab +-=>过圆心， 所以1a b +=，即1a b =-，所以22222211(1)221222b b b b b a b ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝+⎭，所以当12b =时，22a b +的最小值为12. 故选：A10．已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题 【答案】A 由22220x y mx y ++-+=表示圆可得22(2)420m +--⨯>，点A （1，2）在圆C 外可得22122220m ++-⨯+>，求解即可 【详解】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆 故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <- 点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外 故22122220m ++-⨯+>，即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选：A11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A 1(,0)2-，B (1，1)，则2|MA |＋|MB |的最小值为（ ）A BC D 【来源】湖南省常德市临澧县第一中学2021-2022学年高二下学期入学考试数学试题 【答案】C【解析】∴当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(－1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(－1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×121=+若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×324=．∴当点M 不在x 轴上时，取点K (－2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2， 所以||||2||||OM OK OA OM ==． 因为∴MOK ＝∴AOM ， 所以△MOK ∴∴AOM ，则||||2||||MK OM MA OA ==， 所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |． 易知|MB |＋|MK |≥|BK |，所以|MB |＋|MK |的最小值为|BK |． 因为B (1，1)，K (－2，0)， 所以(2|MA |＋|MB |)min＝|BK |<1，所以2|MA |＋|MB | 故选：C12．已知圆C 的圆心在x 轴上，半径为2，且与直线20x +=相切，则圆C 的方程为A ．22(2)4x y -+=B ．22(2)4x y ++=或22(6)4x y -+=C ．22(1)4x y -+=D ．22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=【来源】山西省名校联考2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【答案】D【解析】设圆心坐标(),0a ，因为圆与直线20x +=相切，所以由点到直线的距离公式可得|2|22a +=，解得2a =或6a =-.因此圆C 的方程为22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=.13．两条直线2y x a =+，2y x a =+的交点P 在圆()()22114x y -+-=的内部，则实数a 的取值范围是A ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()11,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,-C ．1,15⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．()11,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦,-【答案】A【解析】由22y x a y x a=+⎧⎨=+⎩解得(),3P a a .∴点P 在圆()()22114x y -+-=的内部.∴()()221314a a -+-<，解得115a -<<.14．已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点(1,0),(2,2)A B -，则2MA MB +的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，取点()4,0K -，连接,OM MK ， 2,1,4OM OA OK ===，2OM OKOA OM∴==， ,~MOK AOM MOK AOM ∠=∠∴∆∆，2MK OMMA OA∴==， 2MK MA ∴=，2MB MA MB MK ∴+=+，因为MB MK BK +≥,当且仅当三点共线时等号成立,2MB MA MB MK ∴+=+的最小值为BK 的长， ()()2,2,4,0B K -，BK ∴== D.15．AB 为∴C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为∴C 上一动点，则PA PB⋅的取值范围是（ ） A ．[0，100] B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【来源】安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高二上学期1月月考数学试题 【答案】D【解析】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+=，PA PB BA -=221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦，又||6BA =，4CQ ==2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∴点P 为∴C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72]. 故选：D. 二、多选题16．直线y ax b =+ 与圆 22()()1x a y b -+-= 的大致图像可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】A ：直线不经过第四象限，所以0,0a b >>，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；B ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；C ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =， 得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <， 所以2b b <，因此本选项可能正确；D ：直线不经过第二象限，所以0,0a b ><，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =， 得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <， 所以2b b <，因此本选项不可能正确， 故选：AC17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为()0,1M .下列结论中正确的是（ ） A ．实数a 的取值范围为3a < B ．实数a 的取值范围为5a < C ．直线l 的方程为10x y +-= D ．直线l 的方程为10x y -+=【答案】AD【解析】圆22:240C x y x y a ++-+=满足222(4)40a +--> ，可得5a < ， 又由题意弦AB 的中点为()M 0，1可得点M 在圆内，将点M 坐标代入圆的方程可得：30a -+<，即3a <，故A 正确，B 错误； 根据圆的性质可得：MC l ⊥ ， 由圆22:240C x y x y a ++-+=，得圆心(12)C -，，而(01)M ，，∴直线l 的斜率k 为11111MC k -=-=-， 由点斜式可得直线l 的方程为：1y x =+ ，即10x y -+=，故C 错误，D 正确； 故选：AD18．方程()()2222220x y x x y y λμ+-++-=（λ，μ不全为零），下列说法中正确的是（ ）A ．当0λμ=时为圆B ．当0λμ≠时不可能为直线C ．当方程为圆时，λ，μ满足0λμ+≠D ．当方程为直线时，直线方程y x = 【答案】ACD【解析】对于A ，由题可得00λμ=⎧⎨≠⎩ 或00λμ≠⎧⎨=⎩，代入得2220x y y +-=或2220x y x +-=，都是圆，故A 对；对于B ，当1,1λμ==-时，化简得y x =是直线，故B 错；对于C ，原式可化为22(+)(+)220x y x y λμλμλμ+--=，要表示圆，则必有0λμ+≠，故C 对；对于D ，只有0λμ+=时，方程表示直线y x =，故D 对. 故选：ACD.19．已知平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(1)λ≠的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知(2,0),(4,0)A B -，若12λ=，则下列关于动点P 的结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16πB ．当P 、A 、B 不共线时，∴P AB 面积的最大值是6C ．当A 、B 、P 三点不共线时，射线PO 是∴APB 的平分线D ．若点(3,1)Q -，则2PA PQ +的最小值为【来源】湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二下学期3月联考数学试题 【答案】ACD【解析】设(,)P x y ，因为PA PB=12=，整理得2280x x y ++=，即()22416++=x y ．A ：点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16π，正确；B ：圆的半径为4且6AB =，当△P AB 的底边AB 上的高最大时，面积最大，所以△P AB面积的最大值是164122⨯⨯=，错误；C ：当A ，B ，P 不共线时，由12PA PB=，OA =2，4OB =，即12OA OB =，故||||||||PA OA PB OB =．由角平分线定理的逆定理知：射线PO 是∠APB 的平分线，正确；D ：因为12=PA PB，即2|PA =PB |，则2PA PQ PB PQ +=+，又P 在圆()22416++=x y 上，如图所示，所以当P ，Q ，B 三点共线时，2PA PQ +取最小值，此时[]22min (2||||)||4(3)(01)52PA PQ BQ +==--+-=，正确. 故选：ACD ． 三、填空题20．已知圆1C ：()()22129x y -+-=，2C ：224210x y x y +-++=.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）【来源】广东省广州市南沙区2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【答案】350x y +-=【解析】解：圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:4210C x y x y +-++=即22(2)(1)4x y -++=， ∴两圆的圆心为： 1(1,2)C 和2(2,1)C -， ∴这两圆的连心线方程为：212121y x ---=--，即350x y +-=． 故答案为：350x y +-=．21．若点P 为圆22:(1)(3)4C x y ++-=上的一个动点，则点P 到直线:34100l x y --=距离的最大值为________．【来源】湖南省张家界市2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题 【答案】7【解析】圆22:(1)(3)4C x y ++-=的圆心(1,3)C -，半径2r =，点C 到直线:34100l x y --=的距离5d ==，所以圆C 上点P 到直线l 距离的最大值为527d r +=+=. 故答案为：722．已知圆C 经过(2,4)P -，(3,1)Q -两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，且圆C 不过原点，则圆C 的方程为___________． 【来源】2.4圆的方程B 卷 【答案】22(1)(2)13x y -+-=【解析】依题意，直线PQ 的斜率为4(1)123k --==---，线段PQ 中点为13(,)22，则线段PQ 中垂线方程为1y x =+，显然，点C 在直线1y x =+上，设(,1)+C a a ，圆C 半径r 有：222||2213r PC a a ==-+， 点C 到x 轴距离|1|d a =+，因圆C 在x 轴上截得的弦长等于6，则有2223r d =+， 因此有222213|1|9a a a -+=++，整理得2430a a -+=，解得1a =或3a =，当1a =时，圆心(1,2)C ，半径r =，圆C ：22(1)(2)13x y -+-=，显然此圆不过原点， 当3a =时，圆心(3,4)C ，半径=5r ，圆C ：22(3)(4)25x y -+-=，显然此圆过原点， 所以圆C 的方程为：22(1)(2)13x y -+-=. 故答案为：22(1)(2)13x y -+-=23．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足,2PA AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】湖南省名校联盟2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题【答案】)1π【解析】由2,2PA PB AB ==可知，正方体表面上到点A 距离最远的点为1C ，所以P 点只可能在面11ABB A ，面ABCD ，面11BB C C 上运动， 当P 在面ABCD 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系， 则(0,0),(2,0)A B ,设(,)P x y ，由PA =得：22222[(2)]x y x y +=-+，即22(4)8x y -+=，即P 点在平面ABCD 内的轨迹是以E （4,0）为圆心，以为半径的一段圆弧，因为2EA BE == ,故4BEC π∠=,所以P 点在面ABCD 内的轨迹的长即为4π⨯=同理，P 点在面11ABB A 内情况亦为22242ππ⨯=；P 点在面11BB C C 上时，因为PA ，2PBA π∠=,所以,24PAB PB π∠==，所以此时P 点轨迹为以B 为圆心，2为半径的圆弧， 其长为1224ππ⨯⨯= ，综上述，P 点运动轨迹的周长为21)2ππ⨯+= ，故答案为：)1π.。
2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程4
圆的一般方程基础过关练题组一圆的一般方程1.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知圆的方程为x2+y2+2x-4y=0,则圆的半径为()A.3B.√5C.√3D.42.(2019北京丰台高一期末)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为()A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=03.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()A.(x+3)2+(y-2)2=12B.(x−3)2+(x+2)2=12C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=24.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为.易错5.(2021山东新泰中学高二上月考)已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.(1)求顶点A和B的坐标;(2)求△ABC外接圆的一般方程.题组二圆与二元二次方程6.(2021重庆八中高二上月考)已知m是实数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为()A.(-∞,20)B.(-∞,5)C.(5,+∞)D.(20,+∞)7.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是()A.一个圆B.只有当a=0时,才能表示一个圆C.一个点D.a,b不全为0时,才能表示一个圆8.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,则该圆的圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,写出圆心和半径.(1)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;(3)x2+y2+x+2=0.题组三与圆有关的动点的轨迹问题10.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为()A.直线B.线段C.圆D.半圆11.已知△ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.能力提升练题组一圆的一般方程1.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为()A.4πB.2πC.πD.π22.()设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为()A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点(-95,125)和点(-215,285)D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点(-95,125)和点(-215,285)3.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为()A.-2B.0C.1D.34.()设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是.5.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求正方形ABCD外接圆的方程;(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出轨迹方程.题组二圆的方程的应用6.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为()A.√5B.6C.√5−1D.√5+17.(2021重庆八中高二上月考,)若平面内两定点A,B之间的距离为2,动点P满足|PB|=√2|PA|,则tan∠ABP 的最大值为()A.√22B.1C.√2D.√38.(2020浙江杭州高二上期末,)在平面直角坐标系中,Q是圆O:x2+y2=9上的动点,满足条件|MO|=2|MQ|的动点M构成集合D,则集合D中任意两点间的距离d的最大值为()A.4B.4√2C.6D.129.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)过点P(-5,0)作直线（1+2m）x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是.10.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为.11.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.答案全解全析基础过关练1.B将一般方程x2+y2+2x-4y=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,∴圆的半径为√5.故选B.2.A设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.依题意得{x-x+x+2=0,x+4x+x+17=0,4x-2x+x+20=0,解得{x=-7,x=-3,x=2.因此,所求圆的方程为x 2+y 2-7x -3y +2=0,故选A .3.C 由x 2+y 2-2x -1=0得(x -1)2+y 2=2,所以(x -1)2+y 2=2的圆心O 1的坐标为(1,0),半径为√2,故排除A,B .又易求C 中圆(x +3)2+(y -2)2=2的圆心O 2的坐标为(-3,2),O 1O 2的中点(-1,1)在直线2x -y +3=0上,而D 中圆(x -3)2+(y +2)2=2的圆心O 3的坐标为(3,-2),O 1O 3的中点(2,-1)不在直线2x -y +3=0上,故选C . 4.答案 (2,94)解析 因为点A (a ,2)在圆的外部,所以{x 2+22-2x 2-3×2+x 2+x >0,(-2x )2+(-3)2-4(x 2+x )>0,解得2<a <94.所以x 的取值范围为(2,94).易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D 2+E 2-4F >0,防止忽略此条件导致解题错误. 5.解析 (1)联立{x =-2x +11,x +3x +2=0,解得{x =7,x =-3,所以顶点B (7,-3),因为AC ⊥BH ,所以k AC ·k BH =-1,已知k BH =-13,所以k AC =3, 所以设直线AC 的方程为y =3x +b ,将C (2,-8)代入得b =-14,所以直线AC 的方程为y =3x -14. 由{x =-2x +11,x =3x -14,可得顶点A (5,1).(2)设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将A (5,1)、B (7,-3)和C (2,-8)三点的坐标分别代入,得{5x +x +x +26=0,7x -3x +x +58=0,2x -8x +x +68=0,解得{x =-4,x =6,x =-12,所以△ABC 的外接圆的一般方程为x 2+y 2-4x +6y -12=0.6.B 由于方程x 2+y 2+2x +4y +m =0表示的曲线为圆,所以22+42-4m >0,解得m <5. 因此,实数m 的取值范围是(-∞,5). 故选B .7.D (2a )2+4b 2=4(a 2+b 2),所以当a =b =0时,方程表示一个点;当a ≠0或b ≠0时,方程表示一个圆. 8.D 方程可化为(x +x 2)2+(x −x )2=−34a 2-3a ,方程表示的图形为圆,则-34a 2-3a >0,解得-4<a <0, 又圆心坐标为(-x 2,x ),所以该圆的圆心在第四象限.9.解析 (1)原方程配方得(x +52)2+(x -32)2=152,故该方程表示以(-52,32)为圆心,√302为半径的圆. (2)原方程配方得(x +2)2+y 2=0,故该方程表示点(-2,0).(3)原方程配方得(x +12)2+x 2=−74,无实数解,∴该方程不表示任何图形.10.C 设点P 的坐标为(x ,y ),∵A (-2,0),B (1,0),动点P 满足|PA |=2|PB |,∴√(x +2)2+x 2=2√(x -1)2+x 2,两边平方得(x +2)2+y 2=4[(x -1)2+y 2],即(x -2)2+y 2=4. ∴P 的轨迹为圆.故选C.11.解析 以直线AB 为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图),则A (-2,0),B (2,0),设C (x ,y ),BC 的中点为D (x 0,y 0),连接AD ,∴{2+x 2=x 0,0+x2=x 0.① ∵|AD |=3,∴[x 0-(-2)]2+(y 0-0)2=9.② 将①代入②,整理得(x +6)2+y 2=36. ∵点C 不能在x 轴上, ∴y ≠0.综上,点C 的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x +6)2+y 2=36(y ≠0).能力提升练1.A 圆的方程可化为(x -m )2+(y -2m -1)2=m 2(m ≠0),其圆心为(m ,2m +1). 依题意得,m +2m +1-7=0,解得m =2, ∴圆的半径为2,面积为4π,故选A .2.C 如图所示,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为(x2,x2),线段MN 的中点坐标为(x 0-32,x 0+42).由于平行四边形的对角线互相平分,所以{x2=x 0-32,x2=x 0+42,从而{x 0=x +3,x 0=x -4.又点N (x +3,y -4)在圆上,所以(x +3)2+(y -4)2=4. 当点P 在直线OM 上时,有x =-95,x =125或x =−215,x =285.因此所求轨迹为以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点(-95,125)和点(-215,285).故选C . 3.AB 由(3a )2+a 2-4(52x 2+x -1)>0,得a <1,所以满足条件的为-2和0.故选AB. 4.答案 (x -1)2+y 2=2解析 设P (x ,y ),易知圆(x -1)2+y 2=1的圆心为(1,0),设为B ,半径r =1, 则|PA |2+r 2=|PB |2,∴|PB |2=2.∴点P 的轨迹是以(1,0)为圆心,√2为半径的圆. ∴点P 的轨迹方程是(x -1)2+y 2=2.5.解析 (1)由两点式可知,对角线AC 所在直线的方程为x -2-2-2=x -40-4,整理得x -y -2=0.(2)设G 为外接圆的圆心,则G 为AC 的中点,∴G (0+42,-2+22),即(2,0),设r 为外接圆的半径,则r =12|AC |,而|AC |=√(4-0)2+(2+2)2=4√2,∴r =2√2.∴外接圆方程为(x -2)2+y 2=8.(3)设P 点坐标为(x 0,y 0),线段PN 的中点M 的坐标为(x ,y ),则x =x 0-22,x =x 02,∴x 0=2x +2,y 0=2y ,① ∵点P 为外接圆上一点,∴(x 0-2)2+x 02=8,将①代入并整理,得x 2+y 2=2,∴轨迹是以原点为圆心,√2为半径的圆,轨迹方程为x 2+y 2=2.6.D由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,因此圆心为C(-1,m),半径r=√x2+4x+5=√(x+2)2+1≥1,当且仅当m=-2时,半径最小,则面积也最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1,因此圆心到坐标原点的距离d=√(-1-0)2+(-2-0)2=√5>r,即原点在圆C外,所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=√5+1.故选D.7.B以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),∵|PB|=√2|PA|,∴√(x-1)2+x2√(x+1)2+x2=√2,整理得x2+6x+y2+1=0⇒(x+3)2+y2=8,即动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,2√2为半径的圆,当点P在如图所示的P1,P2位置时,tan∠ABP的值最大,tan∠ABP=2√2|xx|=√2√2=1.故选B.8.D设Q(x0,y0),可得x02+x02=9.设M(x,y),由|MO|=2|MQ|,可得|MO|2=4|MQ|2,即x2+y2=4[(x-x0)2+(x-x0)2],化简可得x2+y2-8x03x−8x03x+12=0,可得x的轨迹是以(43x0,43x0)为圆心,2为半径的圆.由圆的对称性可得,当集合x中任意两点间的距离x最大时,该两点关于原点对称,此时x max=2×(43×3+ 2)=12,故选D.9.答案[13-√10,13+√10]解析由直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令{2x -x -4=0,x -x -3=0,解得{x =1,x =-2,所以直线过定点(1,-2),设为Q.因为M 为垂足,所以△PQM 为直角三角形,斜边为PQ ,所以M 在以PQ 为直径的圆上运动,由点P (-5,0)可知以PQ 为直径的圆的圆心坐标为(-2,-1),设为C ,半径r =√(-5-1)2+(0+2)22=√10,则|MN |的取值范围为|CN |-r ≤|MN |≤|CN |+r ,又因为|CN |=√(-2-3)2+(-1-11)2=13,所以|MN |的取值范围是[13-√10,13+√10]. 10.答案 2解析 连接OQ ,OP.设∠BOQ =α,则∠AOP =2α,且α∈[0,π]. 依题意得Q (cos α,sin α),P (-cos2α,-sin2α), ∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-cos2α+1,-sin2α)·(cos α+1,sin α) =(-cos2α+1)(cos α+1)-sin2αsin α=1-cos2α=2sin 2α≤2,当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.11.解析 易求线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的斜率为1,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y -2=-(x -1),即y =-x +3. 由{x =-x +3,x +3x -15=0,解得{x =-3,x =6,即圆心x 为(−3,6),则半径x =√(-3+1)2+62=2√10.又|xx |=√(3+1)2+42=4√2,所以圆心C 到AB 的距离d =√(2√10)2-(2√2)2=4√2. 所以点P 到AB 的距离的最大值为4√2+2√10.所以△PAB 的面积的最大值为12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5.。
高二数学圆的方程4
5 圆心M到直线l的距离d= 5
5 2 2 95 故弦|AB|= 2 2 ( ) 5 5
2
例1. 过点P(1,-1)的直线l与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4 （3）若圆的方程加上条件x≥3，直线与圆有且 只有一个交点，求直线的斜率的取值范围. 解:(3)如图R（3，2），Q（3，6）
b 2 2
∴所求切线方程为
x y2 2 0
例3.求圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x+y=0对称的 圆的方程. 解:圆(x-3)2+(y+4)2=1的圆心是C(3,-4) 设对称圆圆心为C(a,b)，则
b (4) a 3 (1) 1 a 3 b 4 0 2 2
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (2)经过点 解:(2)Q Nhomakorabea(3, 0)
3 0 4,点Q在圆外。
2 2
设切线方程为 y k ( x 3) 即kx y 3k 0 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径
| 3k | 1 k 2 2
2 5 k 5
k PR
3 7 21 , k PQ , k PA 2 2 20
21 3 7 所以, k 或 k 20 2 2
例2.求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点 P ( 3,1)
解:(1)
( 3) 1 4
2
∴点
P( 3,1) 在圆上，
故所求切线方程为
3x y 4
=1202-100×96=4800>0 所以方程组有两解，直线l与圆C相交
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5 圆的标准方程；§2.6 圆的一般方程二. 重点、难点：1. 圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
这定点叫做圆的圆心，通常用C 表示；这定点叫做圆的半径，通常用r 表示。
根据圆的定义，易导出圆的标准方程。
2. 圆的标准方程的导出：设圆心C （a ，b ），半径为r ，设P （x ，y ）是圆C 上任意一点，则 ()()由圆的定义，可知，即PC r x a y b r =-+-=22()()化简，得x a y b r -+-=222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程a b r C（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。
（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a ，b ，r ，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a ，b ，r 为未知的三个方程，求解a ，b ，r ，再写出标准方程。
()()若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。
x a y b r -+-=2223022.圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径D E F DE 224022+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪r D E F =+-12422。
事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：x y Dx Ey F 220++++= x D y E D E F +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-22442222 若，则该方程表示以，为圆心，以为半D E F C DE D EF 22224022124+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-径的圆。
若，则该方程即D E F x D y E 222240220+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=x D y E DE =-=---⎛⎝ ⎫⎭⎪2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。
高二数学圆的标准方程
知识探究二
• 点 M 0 x0 , y0 在圆 x 2 y 2 r 2 内的条 件是什么？在圆外的条件是什么？
A O O A
A O
OA<r 圆内 圆外
2
OA=r
OA>r
2
x0 y 0 r
2
x0 y 0 r
2 2
2
做一做你会更棒！ 理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（方程
4.1.1 圆的标准方程
灵宝市实验高中
复习
• 1.两点间距离公式
P 1P 2
x2 x1
2
y2 y1
2
2.圆的定义
到定点的距离等于定长的点的集合，定点 就是圆心，定长就是半径
问题提出 .直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
①待定系数法;②代入法(确定a,b,r).
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
； / 配资门户 没有见到。难道这次是秦顺儿判断失误，王爷只是想漫无目の地恣意宣泄情绪？正在秦顺儿打算掉头朝其它方向再去找寻の时候，突然间，他の耳畔传来悠 悠箫声。这不是王爷，还能是谁？确是他，当然不会是其它の任何人！此刻，他正在年府の后院墙外，在四年前の那各地方，在壹年前の那各地方，执着地 吹奏那壹曲《彩云追月》，孤寂箫曲，回响在寂寞街巷，陪伴着他の，更是满腹悲凉：“玉盈姑娘，四年前，你就没有与爷和奏这曲《彩云追月》，难道你 在四年前の时候就晓得，任凭爷就是穷尽壹生，也是永远都无法追上你咯吗？”半夜竹萧，《彩云追月》，百转愁肠，千般心绪，万般悲凉！直到月色朦胧 ，天际泛白，上百遍の《彩云追月》，换来の仍是万籁俱寂，轻风花弄影，虫鸣叶沙声。没有任何回音，壹丝壹毫の琴音也没有。四年前，他还能听到几声 尾音，还能壹唱壹和、有问有答。而现在，就像壹年前那样，啥啊都没有！壹年前の万寿节，他是情难自己、独诉相思，壹年后の今天，他是壹曲离殇，壹 世诀别！他也记不清，这已是好些遍の《彩云追月》，随着最后壹各音符の结束，余音袅袅，绵绵不绝，他颓然而又绝望地垂下手臂，晨曦微露，竹箫语凝 。玉盈，如此心地善良、深明大义の玉盈姑娘，怎么可能不晓得现如今他の艰难处境？也罢，也罢，为咯两各人，都好。假设玉盈真の回咯他琴音，他又该 怎么办？冲进年府抢人，然后浪迹天涯？其实，那样の生活，何尝不是他の梦想！红颜知己，红装素裹，红袖添香，红尘万丈。他们归隐乡野，布衣素食， 朝饮木兰坠露，夕餐秋菊落英，踏千山，涉万水，且行且珍惜。玉盈，爷就在这里等你，只要你给爷回壹音半曲，爷就啥啊都不要咯，啥啊江山社稷，啥啊 功名利禄，啥啊皇子王爷，统统都不要咯，只要有你，此生足矣！玉盈，你听到咯吗？为啥啊四年前你能够听得到，为啥啊现在你就再也听不到？你这是要 让爷悔恨终生吗？你就是这么来报复爷曾经负过你の心吗？不，玉盈，你听到咯，可是你又要装作听不到！你不想拖爷の后腿，你不想让爷抛下这红尘凡俗 。你以为你这么做，就是成全咯爷吗？没有你の尘缘凡世，爷の曲子吹给谁听？爷の诗句写给谁看？爷の心事讲给谁知？第壹卷 第389章 公子水清经过壹 各月の调养，身体总算是渐渐地有咯些好转。由于精神恢复咯平静，高烧也跟着退咯下去，只是每日里总是感觉疲惫，啥啊事情都不做她仍是懒懒の提不起 精神，因此经常是早早地就由月影服侍着歇息下来。其实自从那次大病壹场开始，她就再也没有动过针线，每天只是偶尔看看闲书，摆摆棋谱，连写字儿都 停咯下来，因为不论是竹笔还是绣花针，对她而言都似有千斤重，根本无法轻松自如地放在手中。因此她也就放弃咯，壹切都待养好咯身子再说。老话说得 好，留得青山在，不怕没柴烧，只有尽快把身子养好咯，才能再为吟雪想办法。今天，她壹如往常那样早早地安置下来。可是今夜对她而言，却是那么の不 同！先开始の前半夜，因为刚刚喝过安神の汤药，她还能够勉强地昏沉壹阵子，可是到咯后半夜，她竟被不知不觉地带进咯壹各奇怪の梦境。壹开始，水清 就被无缘无由地直接带到咯壹各仙境中，正在她漫无目の地四处打量之际，忽然远远地，仿佛是在那遥远の天际，壹匹枣红色の骏马之上，是壹位丰神俊朗 の男子，身穿壹件月白色の袍子，竹箫在手，衣袂飘飘，悠扬の《彩云追月》绵绵不绝地从竹箫中飘扬而出，缠缠绵绵地飘荡地在她の耳畔。他是谁？他为 啥啊吹奏の竟然是《彩云追月》？心急如焚の水清急于想看到他の面容，于是急急地迎上前去。可是她才刚紧跑咯两步，那白衣男子所骑の枣红骏马居然在 眨眼之间腾空而起，转瞬就跃入咯更高壹层の天际云端。水清急咯，壹边跑着壹边追着壹边挥着手，跑着跑着，忽然，她也腾空而起，而且眨眼之间也跃上 咯云端。原来正好有壹朵祥云飘来，又正好落在她の脚下，倚仗着祥云，水清离那白衣男子越来越近。她高兴极咯，眼看着马上就要追上那各人，于是急急 地喊出咯声：“公子，请等壹等！”可是令她万分失望の是，她不但得不到半点儿回音，而且那白衣男子骑の是枣红骏马，而她只有祥云壹朵，根本追不上 他，两各人之间の差距越来越大。眼看着白衣男子の背影越来越小，情急之下水清抛却咯羞怯，抛却咯自尊，而是用尽她全身の气力，大声地喊咯出来：“ 公子可否留下姓名？”仍是得不到半点儿回音，水清急咯，赌气地随手摘咯身边の壹朵祥云，突然就像是飞起来壹样，她の速度立即加快咯起来，直向那白 衣男子追去。这各新发现让水清兴奋不已，于是她看准机会，如法炮制，又用另壹只手稳稳地摘下身边の壹朵巨大の祥云，然后她就像那哪吒脚踩咯风火轮 壹般，速度越来越快，离那白衣男子和枣红骏马也越来越近。眼看着谜底就要揭开，此时此刻，水清の心激动得就要从胸膛中跳咯出来。第壹卷 第390章 后会由于距离白衣男子越来越近，水清再也不用大声地呼喊他就能够听得到她の声音，于是水清努力地强压住心中の激动，竭力用她最平常、最普通の声音 ，柔声细气、温文委婉又不失小心翼翼地问道：“公子，假设您不想让人晓得您の尊姓大名，那可否，让小女子壹睹您の真颜？”天啊！金诚所至，金石为 开，前面那各白衣男子仿佛听明白咯她の问话，真の就勒住缰绳，掉转方向。陷入
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一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程；
2.理解参数θ的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4． 四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程． （二）新课讲解：（点题：圆的参数方程） 1．圆的参数方程的推导
设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0POP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系： 当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化．
设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，cos sin x r y r θθ
=⎧⎨
=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程，θ是参数．
圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是怎样的？
圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =
平移得到的（如图）， 由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O
a b ， 半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()
x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程． 将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化． 如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程2
2
2
()()x a y b r -+-=．
x y O P
0P r
θ
x
1O (,)P x y 111(,)P x y y
4．练习：81P ，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）2
22121x t t
y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）
解：（1）2
cos (1)3
3sin (2)2
x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，
由22
(1)(2)+得
22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把y t x
=代入221x t =+得22
1()
x y x
=
+， 化简得：22
20x y x +-=（0x ≠），这就是所求的普通方程．
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与x 、y 的取值范围之间的制约关系，
保持等价性．
例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？
解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参数方程为4cos 4sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，
∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2
x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
即点M 轨迹的参数方程为2cos 6
2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，
∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，
∵点M 是线段PA 的中点，∴00
122
2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，
∵点00(,)P x y 在圆上，∴22
0016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=，
O y x
θ
P
即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，
∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．
例3．已知实数x 、y
满足2220x y x ++-=，（1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．
解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=
，它表示以(1-为圆心，2为半径的圆，用参数方
程可表示为12cos 2sin x y θ
θ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数，02θπ≤<），
（1）22x y
+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86
π
θ=-+，
∴当6
2
π
π
θ-
=
，即23
π
θ=
时，22max ()16x y +=． （2
）2(sin cos )1)14
x y π
θθθ+=+=+，
∴当34
2π
πθ+
=
，即54
πθ=
时，max ()1x y +=． 说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θ
θ=⎧⎨=⎩
，（θ为参数）；
2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题； 补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩
（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，y
t x =，
求t 的取值范围．。