问题 B 两辆平板车的装货问题

整数规划和动态规划-数学建模

在遵守这些约束的前提下使两辆车装箱总厚度之和尽可能大，即
(1.13), (1.14)
max z = ∑ (0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi 4 + 0.487 xi 5 + 0.520 xi 6 + 0.640 xi 7 )
i =1
2
于是成为一个有 13 个不等式约束 14 个自然条件的整数线性规划模型，目标是函数的最大化. （3）问题求解 1) 此模型可用分枝定界法，割平面法求最优解，但用部分枚举法比较便当. 部分枚举法————隐枚举法（Implicit Enumeration） 2) 用 Lingo 软件求解 max=0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17+ 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27; x11+x21<=8; x12+x22<=7; x13+x23<=9; x14+x24<=6; x15+x25<=6; x16+x26<=4; x17+x27<=8; 2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;
西安理工大学理学院
王秋萍
x13 + x23 ≤ 9 x14 + x24 ≤ 6 x15 + x25 ≤ 6 x16 + x26 ≤ 4 x17 + x27 ≤ 8

两辆铁路平板车的装货问题1.0

数学建模论文题目：两辆铁路平板车的装货问题小组成员：李航纪俊吉刘骏萍两辆铁路平板车的装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。

包装箱的宽度和高度是一样的，厚度是不同的。

每个装箱策略都会产生不同的浪费。

本文讨论的就是怎么样装箱，使浪费最小。

本文首先建立一个整数规划模型，考虑问题所给的约束条件，使得包装箱装到两辆铁路平板车，并且使得浪费的空间最小。

求解时运用LINGO软件和建立在线性规划求解的单纯基础上的分支界限法求的最优解。

在求得本问题的最优目标后，进一步运用C语言，求得了本问题的所有最优解，一共有30种。

并进一步分析，在实际装货过程中可能遇到的问题，比如在相同的空间利用率的情况下，装货的总重量问题，在30组解中进一步优化，求得最终的结果。

关键字：整数优化 LING最优解装货问题一、问题重述：有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上。

包装箱的高和宽是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（g，以千克计）是不同的。

下表给出来了每种包装箱的厚度，重量以及数量。

每辆平板车有10.2m长的地方可以用来装包装箱（像面包片那样），载重为40t。

由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。

试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7厚度（cm） 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0重量（kg） 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数（件） 8 7 9 6 6 4 8二、问题分析：七种包装箱的重量和W= 89t，而两辆平板车只能载2*40=80t，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。

由题意，只考虑面包重叠那样的装法，把问题简化为：两辆车上装箱总厚度之和尽可能大，解决这一问题，以寻找最合适的方案：所浪费的空间最小，也就是说，是要让使用的空间最大。

历年美国数学建模(AMCM)问题

AMCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。

试选择一种鱼类或哺乳动物(例如北美矮种马、鹿、免、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼)以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体的捕获量的最佳方针。

AMCM85问题-B 战购物资储备的管理钴对许多工业是必不可少的(1979年仅国防需要就占了全世界钴生产量的17％)，但是钴不产生在美国。

大部分钴来自政治上不稳定的构F地区。

见图85B-1，85B-2，85B-3。

1946年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能渡过三年战争时期。

50年代政府按要求存贮了，并在70年代卖掉了大部分贮量，而在70年代后期决定重新贮存，贮存的指标是8540万磅，到1982年获得了贮量的一半。

试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。

你需要考虑诸如以下的问题；贮量应多大?应以多大的比率来获得贮量?买这些金属的合理价格应该是多少?还要求你考虑诸如以下的问题，贮量达到多大时应开始减少贮存量?应以多大的比率来减少？卖出这些金属的合理价格应该是多少?应该怎样分配(附页中有关于钴的资源、价格、需求及再循环等方面的信息)关于钴有用信息：1985年政府计划需要2500万磅钴。

进行周而复始的生产经营，从而每年可生产600万磅钴。

1980年占总消耗量70银的120万磅钴再循环了，得到了重新处理。

AMCM86问题-A 水道测量数据表86A-1给出了在以码为单位的直角坐标为X，Y的水面一点处以英尺计的水Z．水深数据是在低潮时测得的。

船的吃水深度为5英尺。

在矩形区域(75，200)×(-50，150)里的哪些地方船要避免进入。

本题是由加州海军研究生院数学系的Richard Franke提供的，可阅他的论文Scattered Data Interpolation，Math，Comput.，38(1982)，18l-200。

大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题

大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题题目：两辆铁路平板车的装货问题摘要：在现代物流运输中，铁路平板车被广泛应用于货物运输。

在铁路货运过程中，如何高效地装货是一个重要的问题。

本文通过数学建模的方法，研究了两辆铁路平板车的装货问题。

根据问题的具体要求和约束条件，我们建立了一个优化模型，旨在最大化装货效率和减少装货时间。

我们采用整数规划模型，并使用数值实例进行了求解和验证。

关键词：铁路平板车；装货问题；数学建模；优化模型1. 引言近年来，物流运输行业日益发展，货物运输效率成为一个关键问题。

铁路平板车是一种常用的货物运输工具，它具有运能大、运输距离长、安全可靠等优点。

然而，如何高效地装货是一个需要解决的问题。

2. 问题描述假设有两辆铁路平板车，它们需要装载一批货物。

货物的重量和体积不同，平板车的装载能力也有限制。

问题要求确定如何合理地将货物装载到平板车上，使得装货效率最大化，并且尽量减少装货时间。

3. 模型建立我们首先将问题进行数学抽象，定义相关的变量和参数。

然后根据问题的具体要求和约束条件，建立一个优化模型。

在模型中，我们考虑了货物的重量、体积以及平板车的装载能力等因素，并在保证装货的合理性的前提下，最大化装货效率。

4. 模型求解为了求解优化模型，我们采用整数规划的方法，并使用数学软件进行求解。

通过数值实例的求解和验证，我们得出了合理的装货方案，并评估了装货效率和装货时间等指标。

5. 结论与展望本文研究了两辆铁路平板车的装货问题，通过数学建模的方法，建立了一个优化模型，并采用整数规划进行求解。

通过数值实例的验证，我们证明了模型的合理性和有效性。

然而，由于时间和资源的限制，本文的研究还有一定的局限性。

未来的研究可以进一步考虑更多的因素和约束条件，以提高装货效率和减少装货时间。

两辆铁路平板车的装载方法研究

两辆铁路平板车的装货问题的探讨37组杨艳林周旭斌刘汇川周旭斌：论文大体框架的编写杨艳林：算法模型的建立，使用VB编写程序刘汇川：算法模型的建立，使用C语言和Lingo编写程序（河海大学）摘要：针对两辆铁路平板车的装货问题，我们将问题分成以下四种情况进行讨论求解：1）平板车只能装下一排包装箱，每一辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占空间都不超过302.7cm;2）平板车能装下两排包装箱，每一辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占空间都不超过302.7cm;3）平板车只能装下一排包装箱，在两辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占总空间不超过302.7cm;4）平板车能装下两排包装箱，在两辆平板车上的C5，C6，C7类包装箱所占总空间不超过302.7cm;我们采用了约束优化和部分穷举法的方法对问题进行了求解，并用空间浪费率来表示空间浪费情况。

得到最优解的所有包装箱装车组合后，我们又考虑到一次运输能够放入的包装箱数量最多最多、载重最多和最安全的问题，得出了相应的最优装车组合。

我们得到的结果为：第一种情况下下两辆平板车可完全装满，空间浪费率为0；第二种情况下两辆平板车不能装满，两辆平板车浪费的空间总和为0.6cm,空间浪费率0.03%；第三种情况下，两辆车的空间浪费率为29.32%；第四种情况下两辆车的空间利用率为50.01%；相应的最优装车组合由于每种情况不止一种，我们将在模型解答中给出详细情况。

关键词：约束优化装箱设计穷举法1 问题重述：有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。

两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题摘要本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。

根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。

根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。

使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。

若有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。

关键词：线性规划最优解lingo matlab一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 8问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。

二、问题分析2.1对题目的分析题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。

题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。

案例+平板车的装载问题

编程算出所有的最优解(前四种箱数约束事实上可以用等式,第五,六种各三个,第七种为零). 我们今后会看到,即使我们利用计算机处理一些问题,进行必要的数学处理和具体问题的分析对我们解决问题往往很有帮助.特别是参加数学建模竞赛时更是如此.
探索题：如果你多运行几次,观察结果有什么不同?
问题二投资效益问题及分支定界法
问题分析题中所有包装箱共重89吨总厚度达到27495cm而两辆平板车只能载24080吨2040cm因此不能全装下究竟在两辆车上装哪些种各多少个箱子才合适必须有评价的标准
两辆铁路平板车的装载问题
(88年MCM之 B题)
要把七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上, 包装箱的宽和高都是相同的,但厚度(t,以厘米计) 及重量(w,以吨计)却不同.下表给出了它们的厚度、重量及数量
(0,1,1/3,1,1,1), 3.0 x3 1 x3 0
(2/5,1,0,1,1,1), 3.0
x1 0
x1 1
(0,1,1,0,1,1), 2.9
(0,1,0,1,1,1) 2.8 (1,1,0,1/4,1,1) 2.925 x4 1 x4 0 × (1,1,0,0,1,1) 2.8 × (1,1,0,1,1,5/8) 2.925 x6 0 x 1
图1
(0,1,1/3,1,1,1), 3.0
x3 0
x3 1
(2/5,1,0,1,1,1), 3.0
(0,1,1,0,1,1), 2.9
由于x3=0 的解中x1=2/5 , 我们进一步增加约束x1=0 或 x1=1 来考察,即将变量取0,1的值的约束改为x3=0, x1=0 或x3=0, x1=1 来求解. 对于约束x3=0, x1=0 ,满足投资总额不超过22的解为 (0,1,0,1,1,1),对应的年收益为2.8,虽然它是原问题的一个可行解,但是由于其年收益不到2.9,不可能为最优解. 对于约束 x3=0, x1=1 , 有两组最优解(1,1,0,1,1,5/8)和 (1,1,0,1/4,1,1),对应的年收益都是2.925,

平板车装货问题

两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文将铁路平板车的装货问题抽象简化为整数线性规划问题，经过合理假设，建立了优化问题模型，然后利用matlab软件求出一组最优解，考虑到变量较多以及变量权值的特殊（如C2、C6长度相等）我们猜想可能存在多组解，我们再参考matlab求出的一组最优解，根据C语言编译程序求得所有符合条件的60组最优解，经过去重后最终得到30组最优解。

本文鉴于题中给出的C5,C6,C7类的包装箱的总数的限制条件“这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm”存在两种理解方式，对该问题分两种情况讨论，分别建立模型得出最优方案。

第一种理解认为对每辆平板车而言C5,C6,C7类的包装箱所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。

对此我们建立了整数线性规划模型一并用matlab求得最优解为C1,C2......C6,C7类包装箱的数量为得到了包装箱所浪费的最小空间为0.6cm，参考此最优解进而用C语言求出最终6组最优解（详见表一）。

第二种理解认为两辆平板车C5,C6,C7类的包装箱所占的空间（厚度）累计不能超过302.7cm。

对此我们建立了整数线性规划模型二并用matlab求得最优解为C1,C2......C6,C7类包装箱的数量为（3，5，0，5，2，3，0，5，2，9，1，1，0，0），得到了包装箱所浪费最小空间为0cm，参考此最优解进而用C语言求出最终30组最优解（详见表二）。

关键词：整数线性规划分类讨论最优解一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有1020cm的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm（分两辆车和一辆车两种情况讨论）。

[C]美国数学建模比赛题1985-2009

历年美国大学生数学建模赛题目录MCM85问题-A 动物群体的管理 (3)MCM85问题-B 战购物资储备的管理 (3)MCM86问题-A 水道测量数据 (4)MCM86问题-B 应急设施的位置 (4)MCM87问题-A 盐的存贮 (5)MCM87问题-B 停车场 (5)MCM88问题-A 确定毒品走私船的位置 (5)MCM88问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 (6)MCM89问题-A 蠓的分类 (6)MCM89问题-B 飞机排队 (6)MCM90-A 药物在脑内的分布 (6)MCM90问题-B 扫雪问题 (7)MCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 (7)MCM 91问题-A 估计水塔的水流量 (7)MCM92问题-A 空中交通控制雷达的功率问题 (7)MCM 92问题-B 应急电力修复系统的修复计划 (7)MCM93问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 (8)MCM93问题-B 倒煤台的操作方案 (8)MCM94问题-A 住宅的保温 (9)MCM 94问题-B 计算机网络的最短传输时间 (9)MCM-95问题-A 单一螺旋线 (10)MCM95题-B A1uacha Balaclava学院 (10)MCM96问题-A 噪音场中潜艇的探测 (11)MCM96问题-B 竞赛评判问题 (11)MCM97问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题 (11)MCM97问题-B为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 (12)MCM98问题-A 磁共振成像扫描仪 (12)MCM98问题-B 成绩给分的通胀 (13)MCM99问题-A 大碰撞 (13)MCM99问题-B “非法”聚会 (14)MCM2000问题-A空间交通管制 (14)MCM2000问题-B: 无线电信道分配 (14)MCM2001问题- A: 选择自行车车轮 (15)MCM2001问题-B 逃避飓风怒吼（一场恶风...） .. (15)MCM2001问题-C我们的水系-不确定的前景 (16)MCM2002问题-A风和喷水池 (16)MCM2002问题-B航空公司超员订票 (16)MCM2002问题-C (16)MCM2003问题-A: 特技演员 (18)MCM2003问题-B: Gamma刀治疗方案 (18)MCM2003问题-C航空行李的扫描对策 (19)MCM2004问题-A：指纹是独一无二的吗？ (19)MCM2004问题-B：更快的快通系统 (19)MCM2004问题-C安全与否？ (19)MCM2005问题A.水灾计划 (19)MCM2005B.Tollbooths (19)MCM2005问题C：不可再生的资源 (20)MCM2006问题A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度 (20)MCM2006问题B: 通过机场的轮椅 (20)MCM2006问题C : 抗击艾滋病的协调 (21)MCM2008问题A:给大陆洗个澡 (24)MCM2008问题B：建立数独拼图游戏 (24)MCM2009 问题A:设计一个交通环岛 23 MCM 2009问题B：能源和手机 24 MCM 2009问题C : 构建食物系统: 重新平衡被人类影响的生态系统25MCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。

练习二：平板车装箱问题

练习二：平板车装箱问题摘要据题目给出的信息，两辆车的载重量为80吨，而数据中的所有货物的总重量为89吨，所以必然会有货物剩余；另外，由于货运限制，对765,,c c c 三种包装箱的装载有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米，我们假设“为两辆车上765,,c c c 类的包装箱的总厚度不超过302.7cm ”，据此建立了整数规划模型。

关键字：整数线性规划一、问题重述要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子的宽高相同，而厚度和重量不同，下表给出它们的厚度、重量与数量。

每辆平板车有10.2米长的地方装箱（像面包片那样），载重40吨。

由于货运限制，对765,,c c c 三种包装箱的装载有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米。

试把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小。

二、问题分析据题目给出的信息，我们知道：两辆车的载重量为80吨，而数据中的所有货物的总重量为89吨，所以必然会有货物剩余；由于货运限制，765,,c c c 三种包装箱对于两辆车所占总空间不超过302.7cm 。

考虑到变量较多以及变量权值的特殊性（如2c 、7c 的长度相等，均为52.0cm ），本题属于整数型线性规划问题。

三、模型假设1、每辆平板车上恰好只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况2、包装箱之间的间隙可忽略不计3、两辆平板车完全相同，不考虑两车先后次序问题4、不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列四、符号说明五、模型建立与求解根据假设，装箱时每辆平板车上只能装载一排的包装箱，不存在并排或者叠加等情况，同时有包装箱之间的间隙可忽略不计。

此时，设第i 种包装箱装在j 辆平板车上的数量为ij C 。

车的总长为2040cm ，所以浪费的空间为：∑∑==-=21712040j i i ij t C u由于两辆平板车均有各自的长度限制，所以在两辆平板车上的包装箱总厚度不应超过两辆平板车各自的长度限制。

实验5--平板车的装货问题

平板车的装货问题一、问题重述：有七种规格的包装箱有装到两辆铁路平板车上(如图所示).包装箱的高和宽相同,但厚度及重量不同,具体如表所示.每辆平板车载重40吨,并有10.2米的地方用来装箱.由于当地货物的限制,对x5,x6,x7类包装箱要求其总共所占空间(厚度)不能超过302.7厘米,试把包装箱装到平板车上使得浪费的空间最小.二、模型分析：本模型属于优化问题。

包装箱的长和宽均相等，厚度不一，本题假设厚度一定时（小于等于302.7厘米），求所装货物所占的最小空间。

三、符号说明：四、模型建立：目标函数：MIN=(2040-(48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7+48.7*y1+52 *y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7));约束条件：两辆平板车的载重限制：2*x1+3*x2+x3+.5*x4+4*x5+2*x6+x7<=40;2*y1+3*y2+x3+.5*y4+4*y5+2*y6+y7<=40;平板车长度的限制：48.7*y1+52*y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7<=1020;48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020; 对处，x5,x6,x7三类包装箱所占空间的限制：48.7*y5+52*y6+64*y7+48.7*x5+52*x6+64*x7<=302.7;且各变量均为整数。

五、模型求解运用lingo软件进行模型求解，所编程序如下：MIN=(2040-(48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7+48.7*y1+52 *y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7));48.7*y5+52*y6+64*y7+48.7*x5+52*x6+64*x7<=302.7;48.7*y1+52*y2+61.3*y3+72*y4+48.7*y5+52*y6+64*y7<=1020;48.7*x1+52*x2+61.3*x3+72*x4+48.7*x5+52*x6+64*x7<=1020;2*x1+3*x2+x3+.5*x4+4*x5+2*x6+x7<=40;2*y1+3*y2+x3+.5*y4+4*y5+2*y6+y7<=40;x1+y1<=8;x2+y2<=7;x3+y3<=9;x4+y4<=6;x5+y5<=6;x6+y6<=4;x7+y7<=8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(y1)；@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7)；运行结果：Global optimal solution founy at iteration: 213097Objextive value: 0.6000000Variable Value Reyuxey XostX1 6.000000 -48.70000X2 2.000000 -52.00000X3 5.000000 -61.30000X4 3.000000 -72.00000X5 1.000000 -48.70000X6 1.000000 -52.00000X7 0.000000 -64.00000Y1 2.000000 -48.70000Y2 5.000000 -52.00000Y3 4.000000 -61.30000Y4 3.000000 -72.00000Y5 2.000000 -48.70000Y6 2.000000 -52.00000Y7 0.000000 -64.00000Row Slaxk or Surplus Yual Prixe1 2039.400 1.0000002 0.6000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.6000000 0.0000005 9.500000 0.0000006 2.500000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 3.000000 0.00000012 1.000000 0.00000013 8.000000 0.000000 最优解为：平板车1的装货数量为：6 2 5 3 1 1 0平板车2的装货数量为：2 5 4 3 2 2 0此时平板车所浪费的空间最小。

两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题郁舒阳，刘冲，孙屹（河海大学）摘要本文将铁路平板车的装载排列问题抽象为线性规划问题中的整数规划问题，经过合理的假设，建立了问题的最小化模型，然后分别通过Matlab软件和Lingo 软件的解得的结果比较，得到了包装箱所占最大空间为2039.4cm（也即浪费的空间最小）。

该模型简单直观，可推广应用于集装箱装货问题，仓库装货问题等相似领域。

关键词优化排列整数规划最大空间1.问题的重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。

试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 82.问题的分析由于包装箱的宽和高是一样的，但厚度和重量是不同的额，所以在解决问题的过程中可以忽略包装箱的宽和高，而仅仅考虑包装箱的厚度、重量以及数量。

并且在本问题中还对两辆车的容量（有10.2米长的地方可用来装包装箱），载重（40吨），对C5,C6,C7类的包装箱的总数的限制（厚度不能超过302.7cm），还有包装箱Ci的数量限制，使得本问题变为一个线性规划问题中的整数规划问题，从而使本问题的解决思路变得明朗起来。

3.模型的假设1）不考虑包装箱之间的装配间隙。

2）不考虑包装箱的变形，即认为包装箱至始至终体积不变。

3）假设平板车能容纳包装箱的宽和高。

4）假设每种包装箱完全一样。

Lingo软件使用教程

1
LINDO 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 以 MAX 或者 MIN 开始 St 或者 s.t. 每个语句结束不用―；‖ 右端不能有符号
LINGO
以 Model:开始 Max= 或者 Min= 每个语句结束必须加―；‖ 右端可以有符号
乘号可以省略
乘号*不可以省略可以有括号
不能有括号
非负变量可以省略
非负变量可以省略
用 end 结束，end 后不加分号 0，1 变量整数变量 int gin
用 end 结束,end 后不加分号 @bin(x) @gin(x)
2 LINGO 软件包使用 2.1 模型的集部分
集部分是 LINGO 模型的一个可选部分。在 LINGO 模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字―sets:‖开始，以―endsets‖结束。一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO 允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥 LINGO 建模语言的优势。集是 LINGO 建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。借助于集，能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束，从而可以快速方便地表达规模较大的模型。 2.1.1 什么是集集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。一个集可能是一系列产品、卡车或雇
外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。例一个简单例子：在模型窗口中输入如下代码： model: min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; end 然后点击工具条上的按钮即可。

数学建模：两辆平板车的装货问题

问题一：两辆平板车的装货问题有7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的。

如下表所示给出了每种包装箱的厚度、重量及数量。

每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样）,载重量为40吨。

由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm，试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

解：假设包装箱的宽和高完全一样，假设为使浪费的空间最小，每辆车可以随意选择货型进行装车，假设两辆车相互独立。

x为装入i车的Cj型号包装箱的数量，则可得到线性规划如下：设ij目标函数：max f=max{0.487(x11+x21)+0.52(x12+x22)+0.61(x13+x23)+0.72(x14+x24)+0.487(x15+x25)+0.52(x16+x26)+0.64(x17+x27)}约束条件：0.487x11+0.52x12+0.61x13+0.72x14+0.487x15+0.52x16+0.64x17≤10.20.487x21+0.52x22+0.61x23+0.72x24+0.487x25+0.52x26+0.64x27≤10.20.487(x15+x25) +0.52(x16+x26)+0.64(x17+x27) ≤3.0272x11+3x12+x13+0.5x14+4x15+2x16+x17≤402x21+3x22+x23+0.5x24+4x25+2x26+x27≤40x11+x21≤8x12+x22≤7x13+x23≤9x14+x24≤6x15+x25≤6x16+x26≤4x17+x27≤8x11，x12，x13，x14，x15，x16，x17，x21，x22，x23，x24，x25，x26，x27≥0 利用LINGO数学软件包求解该线性规划，具体如下：model:max=0.487*(x11+x21)+0.52*(x12+x22)+0.613*(x13+x23)+0.72*(x14+x24)+0.487*( x15+x25)+0.52*(x16+x26)+0.64*(x17+x27);0.487*x11+0.52*x12+0.613*x13+0.72*x14+0.487*x15+0.52*x16+0.64*x17<10.2;0.487*x21+0.52*x22+0.613*x23+0.72*x24+0.487*x25+0.52*x26+0.64*x27<10.2;0.487*(x15+x25)+0.52*(x16+x26)+0.64*(x17+x27)<3.027;2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<40;2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x26+x27<40;x11+x12<8;x12+x22<7;x13+x23<9;x14+x24<6;x15+x25<6;x16+x26<4;x17+x27<4;得出结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 20.40000 Total solver iterations: 10Variable Value Reduced CostX11 8.000000 0.000000X21 0.000000 0.000000X12 0.000000 0.000000X22 7.000000 0.000000X13 9.000000 0.000000X23 0.000000 0.000000X14 0.4444444 0.000000X24 5.555556 0.000000X15 0.000000 0.000000X25 0.000000 0.000000X16 0.8980769 0.000000X26 0.000000 0.000000X17 0.000000 0.000000X27 4.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 20.40000 1.0000002 0.000000 1.0000003 0.000000 1.0000004 0.000000 0.0000005 12.98162 0.0000006 12.22222 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 6.000000 0.00000012 3.101923 0.00000013 0.000000 0.000000有上述结果可知：第一辆车装载情况如下：第一辆车：10.2—8*0.487—9*0.613—1*0.72=0.067（m）第二辆车：10.2—7*0.5 2—5*0.72—4*0.64=0.0.4 （m）。

两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题摘要本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。

根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。

根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。

使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。

若有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。

关键词：线性规划最优解lingo matlab一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数8 7 9 6 6 4 8问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。

二、问题分析2.1对题目的分析题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。

题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。

平板车装货问题

装箱设计问题摘要本题是一个装货问题，即在有限的空间内装最多的货物，使空间浪费率最小。

根据平板车装货问题的条件和要求，本文将原问题抽象、简化为整形规划数学模型，考虑具体问题的细节，进一步简化为一个规划模型，通过利用Lingo 及Matlab软件求解所建模型，完整地解决了该问题。

由已知条件，可得两辆车的装货的三个约束条件：重量约束、厚度约束、特别限制条件约束，同时装在两辆车上的同种包装箱总数不能超过题目中给的件数，并且变量要取正整数。

在这些约束条件下对目标函数进行求解，利用LINGO 软件编程求解。

最后得到，第一辆车上应装的包装箱种类及件数为C11件,C26件,C35件,C41件,C51件,C62件,C72件，第二辆车上应装的包装箱种类及件数为C14件,C21件,C34件,C45件,C50件,C62件,C71件的装配方式。

此模型总是用空间为2039.9cm，浪费了0.1cm，空间利用率为99.995%。

这样我们便得到了给两辆平板车上装包装箱最多且空间浪费最少的装配方式。

关键词：整数规划LINGO软件最优解一．问题重述将7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的。

如下表所示给出了每种包装箱的厚度、重量及数量。

每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样）,载重量为40吨。

由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的包装箱的总数有一个特殊的限制，这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7m，把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 t 48.7 52 61.3 72 48.7 52 64 w 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 件数8 7 9 6 6 4 8二、模型假设1、这7种规格的包装箱不会因挤压因素等发生变形。

2、这7种规格的包装箱之间紧密排列，不留空隙。

平板车装货问题

平板车装货问题摘要：本题是一个装货问题，即在有限的空间装最多的货物，使空间浪费最少。

题目要求及有关数据我们可以把平板车装包装箱问题看成线性规划的问题进行处理，首先我们把求浪费空间最小转化为求装包装箱空间最大的问题，同时我们取每种包装箱的数量为变量，然后我们根据每一种包装箱的厚度列出每一辆车的装货时占用的空间，我们先把两辆车看成一个整体，求出两辆车占用的空间之和，然后再把这个整体分成两部分，也就是求每一辆车上所装包装箱的种类和数量。

这样我们就可以以占用两辆车的空间之和作为目标函数max f。

根据题意装在每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时，装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量要取正整数。

在这些约束条件之下对目标函数进行求解，我们使用LINGO软件进行编程求解，最后得到装包装箱的总的最大空间为2039.6cm，第一辆车上应装的包装箱种类及件数依次为：7、2、5、3、1、0、0，第二辆车上应装的包装箱种类及件数依次为：1、5、4、3、2、3、0。

这样我们便得到了给两辆平板车装包装箱最多，并且占用空间最小的方法。

关键字：线性规划问题、最大占用空间。

问题提出：本文是求在两辆平板车上装包装箱，使得装的包装箱的个数最多同时占用空间最小的问题，并且对平板车的长度和重量给出了限制，对每一种包装箱的厚度、重量和数量给出了限制，还有对个别种类的包装箱来说总的占用厚度又有限制，在上述的条件约束之下，求占用平板车的总空间大，装的包装箱个数最多的方法。

问题的分析：题目求的是在装的包装箱个数最多的情况下，浪费平板车空间最小的方法。

我们可以把求浪费空间最小的问题转化成求装包装箱占用空间最大的问题。

因此，我们就把装货问题看成了线性规划问题：在约束条件之下求最大占用空间的问题。

根据题意装可以从已知条件中找到约束条件，根据题意可知已知条件为：每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量取正整数。

案例+平板车的装载问题25页文档

案例+平板车的装载问题
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己幸福是至高无个的法。— —西塞罗
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

两辆铁路平板车的装货问题的讨论教材

两辆铁路平板车装货问题的讨论摘要本文针对两辆铁路平板车装运包装箱的问题，建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型，通过LINGO软件方便快捷地求出了平板车不同种类包装箱装运件数一组最优解，同时使用Fortran编程求出所有符合条件的最优解。

本文鉴于题目中"当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数的特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm"的存在的歧义，对该问题分两种情况进行讨论，分别建立模型，得出了不同情况下满足题设的最优方案。

第一种情况认为货运的限制针对于每辆平板车，即每辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。

针对该情况，我们建立了两辆铁路平板车装运包装箱的整数规划模型一，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（6，2，6，0，0，0，4；1，5，2，5，1，1，2），剩余厚度为0cm。

考虑到LINGO求解整数规划只能求出一组最优解的局限性，我们进而用Fortran编程求出了所有符合条件的12组最优解。

因为不考虑两车先后次序，我们又用对结果去重，最终得到6组最优解（详见表一）。

另一种则认为货运的限制针对于一次货运，在本题中则为两辆车上C5,C6,C7类的包装箱的总厚度不超过302.7cm。

针对该情况，我们同样也建立了铁路平板车装运包装箱的整数规划模型二，并用LINGO求得最优解为两辆车装运C1,C2,…,C7类包装箱的数量分别为（3，2，9，1，3，0，0；5，5，0，5，0，3，0），剩余厚度为0.6cm。

同样由于LINGO软件的局限性，我们又用Fortran编程求得所有符合条件的54组最优解，经过去重后最终得到27组最优解（详见表二）。

关键词：整数线性规划LINGO局限性Fortran一、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。

两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]两辆铁路平板车的装货问题2014摘要：将七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上并要求浪费空间最小的问题，实质上就是整数线性规划问题。

建立整数线性规划模型，并用lingo软件求得目标函数最小值得给出一组最优解。

然而由于LINGO软件的缺陷性，我们发现仍然存在其他多组最优解。

通过对原始数据的分析论证，我们得到一个结论：对任意一组最优解，两辆车的总包装箱种类和数量是确定的（即浪费空间最小的情况下，装载包装箱的厚度和重量一定）。

在此结论的基础上，通过穷举法，并利用Java高级计算机语言进行编程，大大减少了计算量，加快了运算速度，最终求解出24组等价最优解。

关键词：装货问题整数线性规划穷举法 LINGO Java语言1、问题重述有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm计）及重量（w，以kg计）是不同的。

表一给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过。

试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

表一2、问题分析优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最低[]1。

在此问题中，要求浪费的空间最小，且存在车长、载重40t 、货运限制C5，C6，C7类的包装箱的总数≤三个约束条件，并且自变量（包装箱的数量）取整数值才有意义，所以此问题可以通过建立整数线性规划来求解。

其一般形式为：∑==nj jj x c z 1min⎪⎩⎪⎨⎧⋯=⋯==∑=),,2,1(),,2,1(..1n j x m i b x a t s j i nj jij 为非负整数。