2018-2019学年度12月高二上学期同步检测卷数学(文)

2018-2019学年度第一学期高二年级职业教育12月阶段考试
数学试卷（文科）
试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分，第Ⅰ卷1至16题和第II 卷17至22题，共150分 考生注意：
1、 答题前，考生务必将自己的座位号、姓名写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上的
条形码与本人是否一致。

2、 选择题答案用2B 铅笔在答题卡对应标号涂黑。

填空题、解答题用黑色墨水笔在答题卡
上作答，在本试卷上作答，答案无效。

3、 考试结束，将答题卡交回。

第I 卷（共80分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.下列语句中，不是命题的语句是（ ）
A ．12＞5
B ．若a 为正无理数，则
也是正无理数
C ．正弦函数是周期函数吗？
D ．π∈{1，2，3，4}
2.已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，则下列四个命题正确的个数为（ ）．
①若αβ∥，则l m ⊥； ②若l m ∥，则l β∥；
③若αβ⊥，则l m ∥；
④若l m ⊥，则l β⊥； A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.直线：x ＋y ＝0的倾斜角为 A.300
B.450
C.600
D.1350
4.方程222460y x y x ++--=表示的图形是 A. 以(1,－2)为圆心，11为半径的圆 B. 以(－1,2)为圆心，11为半径的圆
C. 以(－1,2)为半径的圆
D. 以(1,2)
5. “(1)(3)0x x -->”是“1x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为平面BB 1C 1C 内一动点，且P 到BC 的距离与P 到C 1D 1的距离之比为2，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．双曲线
C ．抛物线
D ．椭圆
7.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为（ ）
A. π3
4
C. 43π
D. 43π+
8.已知直线l 1：70x my ++=和l 2：
()2320m x y m -++=互相平行，则实数m =
A. m =－1或3
B. m =－1
C. m =－3
D. m =1或m =－3
9.直线21y kx k =-+恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为 A. ()()2
2
215x y -+-= B. ()()2
2
2125x y ++-= C. ()()2
2
2125x y -+-= D. ()()2
2
215x y +++= 10.已知椭圆的中点在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1
3
，则椭圆的方程为（ ）．
A. 2213624
x y += B. 2213620x y +=
C. 2213236
x y += D. 2213632
x y += 11.直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A. 相切
B. 相离
C. 相交但不过圆心
D. 相交且过圆心
12.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率 为（ ）
A ．
12
B C D 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ________
14.命题“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是________．
15.过点，且与椭圆
19
252
2=+x y 有相同焦点的椭圆标准方程为___________．
16.已知椭圆2214x y m
+=的离心率为2，则实数m = ．
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分） 17. （本小题满分10分）
设p :实数x 满足2
2
320x ax a -+≤，其中0a >，命题q :实数x 满足1
288
x <<. （1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，点E 为侧棱PB 的中点．
求证：（1）PD ∥平面ACE ； （2）平面P AC ⊥平面PBD ．
19.（本小题满分12分）求分别满足下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过直线220x y ++=和310x y ++=的交点且与直线0532=++y x 平行； （Ⅱ）与直线l ：01243=-+y x 垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6．
20.（本小题满分12分）
已知圆C 的方程为x 2+y 2=4.
（1）求过点P (1，2)且与圆C 相切的直线l 的方程；
（2）直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB l 的方程.
21. （本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点()0,2，离心率为
2
3. （1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆左焦点为1F ，右焦点2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B ， 求2ABF ∆的面积.
22. （本小题满分12分）
设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为3
5
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标。

试卷答案
1.C
【解答】解：根据命题的定义，能够判断真假的陈述句，选项C 正弦函数是周期函数吗？不是陈述句． 故选：C ．
【点评】本题考查命题的真假的判断，定义的应用，是基础题．
2.A
若αβ∥，则l β⊥，又由m β⊂，故l m ⊥，故①正确； 若l m ∥，m β⊂，则l β∥或l β⊂，故②错误； 若αβ⊥，则l 与m 相交、平行或异面，故③错误； 若l m ⊥，则l 与β相交，平行或l β⊂，故④错误． 故四个命题中正确的命题有1个． 故选A ． 3.D
4.C
【详解】已知方程x 2+y 2+2x-4y-6=0,可转化为：（x+1）2+（y-2）2
=11
故方程表示以（-1，2为半径的圆 故选C
【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，考查了圆的一般方程和标准方程;判断二元二次方程表示圆时，若方程能够转化为圆的标准方程形式：()()2
2
2x a y b r -+-= ，即可知方程表示圆心为(),a b ，半径为r 的圆. 5.B
【详解】解：由()()130x x -->，解得x ＜1或x ＞3，此时不等式x ＜1不成立，即充分性不成立，
若x ＜1，则x ＜1或x ＞3成立，即必要性成立， 故“()()130x x -->”是“1x <”的必要不充分条件， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．
6.D
【解答】解：由题意知，直线C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，则C 1D 1⊥PC 1，即|PC 1|就是点P 到直线C 1D 1的距离，
那么点P 到直线BC 的距离等于它到点C 1的距离的2倍，即离心率为， 所以点P 的轨迹是椭圆． 故选：D ．
7.D
【详解】此简单组合体上部为一个半径为1的球体，其体积为π3
4，
1的圆锥，
故其体积为21133
π⋅=
，
综上此简单组合体的体积为43π+，故选D ．
【点睛】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是简单几何体的表面积，涉及到球的表面积公式与圆锥的表面积公式．做对此题要熟练掌握三视图的投影规则，即：主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等 8.A 由题意得:2321317
m m
m m m -=≠⇒=-=或 ,选A. 9.C 10.D
【详解】解：由题意知，
212a =，13
c a =，
所以6a =，2c =，
∴22232b a c =-=， 又因为焦点在x 轴上，
∴椭圆方程：22
13632x y +
=． 故选D ． 11.C
圆心到直线的距离
()9
0,25
d =
=∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项. 12.A
由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率1
2
c e a =
=，故选A ． 13.3
14.∃x ∈R ，x 2+1<x
试题分析：全程命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“∀x ∈R ，有x 2+1≥x”的否定是：∃x ∈R ，x 2+1<x 考点：全称命题与特称命题
15.
14
202
2=+x y 16. 2或8
①若焦点在轴上，则，即
，
∴ ∴
，即
. ②若焦点在轴上，则，即
，
∴ ∴得到，即
.
故答案为或.
17.
解：由2
2
320x ax a -+≤，得()(2)0x a a a --≤， 又0a >，所以:2p a x a ≤≤. 又
1
288
x <<得33x -<<，所以:33q x -<< （1）当2a =时:24p x ≤≤ 由p q ∧为真，则x 满足24
33
x x ≤≤⎧⎨
-<<⎩，则实数x 的取值范围是23x ≤<，
（2）p 是q 的充分不必要条件，
记{|2,0}A x a x a a =≤≤>，{|33}B x x =-<< 则A 是B 的真子集，满足0
23
a a >⎧⎨
<⎩，
则实数a 的取值范围是302
a <<
18.（1）证明见解析；（2）证明见解析。

【详解】(1) 连接OE ．
因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点， 所以O 为BD 中点．
因为E 为PB 的中点，所以PD ∥OE ． 又因
OE ⊂面ACE ，PD 平面ACE ，
所以PD ∥平面ACE ． (2) 在四棱锥P －ABCD 中，
因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ， 所以BD ⊥PC ．
因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点， 所以BD ⊥AC ．
又PC 、AC ⊂平面PAC ，PC∩AC ＝C ， 所以BD ⊥平面PAC ．
因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD ．
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
19.（Ⅰ）将220x y ++=与310x y ++=联立方程组解得交点坐标为(1,4)-. 由所求直线与直线0532=++y x 平行，则所求直线斜率为:23
-
， 从而所求直线方程为:23100x y ++= ………6分 （Ⅱ）设所求直线方程为430x y m -+=，令10y =得14m x =-
，令20x =得23
m
y =， 则2
16212m S =⨯=，解得12m =±
从而所求直线方程为:43120x y -±= ………12分 20.解:(1)显然直线l 的斜率存在,设切线方程为y -2=k (x -1),
=2得k 1=0,k 2=-4
3,故所
求的切线方程为y =2或4x +3y -10=0.
(2)当直线l 垂直于x 轴时,此时直线方程为x =1,l 与圆的两个交点的坐标为
和
(1,-
这两点的距离为
满足题意;
当直线l 不垂直于x 轴时,设其方程为y -2=k (x -1),即kx -y -k +2=0,设圆心到此直线的距离为d
,
21.解：（1）设椭圆的方程为()0122
2
2>>=+b a b y a x ，
由题意，
1,3,23
,
2222=-==∴==c a b c a c a
∴椭圆的方程为2
21
4x y +=
（2）()(
)
0,3,0,32
1F F -，设()()2211,,,y x B y x A ，
则直线AB 的方程为3+=x y ．
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1432
2y x x y ，消x 得013252=--y y ∴
()25324,51
,532212
212
212121=
-+=--==+y y y y y y y y y y
∴
52
421=
-y y
∴
2121221121221
21211212y y F F y F F y F F S S S F BF F AF ABF -⋅=⋅⋅+⋅⋅=
+=∆∆∆
=
56
45243221=⨯⨯ 22.解（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得
216
1b
= ∴b=4 又3
5
c e a == 得222
925a b a -= 即2169125
a -=， ∴a=5
∴C 的方程为
22
12516
x y += （ Ⅱ）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()4
35
y x =-，
设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，
将直线方程()4
35
y x =
-代入Ｃ的方程，得 ()2
2312525
x x -+=， 即2380x x --=，解得
132x =
，232
x =，
∴ AB 的中点坐标12322
x x x +==，
()1212266255y y y x x +==+-=-，
即中点为36,25⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。