2003年高考第一轮复习第九讲函数的单调性
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第九讲 函数的单调性
一、函数单调性问题的证明（直接利用定义去证明）
例1、证明1)(3+-=x x f 在（+∞∞-,）上是减函数。（全国高考）
例2、证明函数)1,1()0(,1
)(2->-=在a x ax x f 上是减函数 例3、（1）设)(x f 为奇函数， )(x f 在),(b a 上为增函数，则)(x f 在),(a b f --上也是增函数；
（2）设)(x f 为偶函数， )(x f 在),(b a 上为增函数)(x f 在),(a b f --上为减函数
结论：奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的增减性而偶函数在这两个区间上增减性相反。
二、求函数的单调性
1、利用定义（结合导数法）
例4、已知函数)0(1)(2>-=
a x
ax x f ，试确定)(x f 的单调区间 例5、讨论函数)(x f )0(>+=a x
a x 的单调性 引申：１、讨论函数)(x f )0,0(>>+=
b a x
b ax 的单调性； ２、函数)0(>+a x a x 与函数)0(>-a x a x 的图像。 例6、设函数)(x f ax x -+=12其中0>a 。
（1）解不等式)(x f 1≤；
（2）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数。（广东高考）
2、利用已知函数的单调性
例7、判断函数x
y 1=的单调性 例8、已知)(x f )1,0)(1(log ≠>-=a a a x a 且
①求)(x f 的定义域；
②确定函数的单调区间。
例9、设)(x f )(x g 都是单调函数，有如下四个命题：
①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递增。
②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递增。
③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递减。
④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递减。
A 、①③
B 、①④
C 、②③
D 、②④（2001年全国高考）
3、利用函数的图象
例10、函数x y lg =，下面判断正确的是（ ）
A 、是偶函数，在区间)0,(-∞上单调递增
B 、是偶函数，在区间)0,(-∞上单调递减
C 、是偶函数，在区间),0(+∞上单调递增
D 、是偶函数，在区间),0(+∞上单调递减 （2000春季高考） 例11、设函数),0()(>>++=
b a b x a x x f 求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单
调区间上的单调性。（2001年春季高考）
例12、作出函数⎪⎩
⎪⎨⎧<+->+-=)0(,||11)0(|,|x x x x x x y 的图象，并指出函数的单调性。 例13、如果二次函数b x a x y +-+=)1(232在区间]1,(-∞上是减函数，那么（ ）
A 、2-=a
B 、2=a
C 、2-≤a
D 、2≥a
4、利用导数法证明函数的单调性：
例14、试分别用定义法、导数法证明函数x x x f 3)(3+=在R 的单调性。 例15、确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间
三、复合函数的单调区间
例16、求下列函数的单调区间
（1）226)2
1(x x y -+= （2）)26(log 22
1x x y -+=
例17、若函数)(x f 在（+∞∞-,）是减函数，则)2(2x x f -的单调增区间是（ ）
A 、(]1,∞-
B 、[)+∞-,1
C 、(]1,-∞-
D 、[)+∞,1
例18、①求函数)(x f =1)2
1()41(+-x x 的单调区间 ②求函数322+--=x x y 的单调区间
四、函数单调性的应用
例19、①已知)(x f 是定义在[-1，1]上的增函数，且)1()1(2-<-x f x f ，求x 的取值范围。
②已知)(x f 是定义在（-1，1）上的奇函数，在区间[0，1]上单调递减，且0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
③设)(x f 是定义在实数集R 上的偶函数，且在（0,∞-）上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f ，试求a 的取值范围。
例20、设函数)(x f =||log x a 在（0,∞-）上单调递增，则)1(+a f 与)2(f 的大小关系是（ ）
A 、)2()1(f a f =+
B 、)2()1(f a f >+
C 、)2()1(f a f <+
D 、不能确定 例21、定义在R 上的函数)(x f 满足)1()(),()(+-==-x f x f x f x f 且在[0，1]上单调递减，则（ ）
A 、)57()37()27(f f f <<
B 、)3
7()27()57(f f f << C 、)57()27()37(f f f << D 、)2
7()37()57(f f f << 例22、已知函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足=)(xy f )()(y f x f +，1)2(),0,0(=>>f y x 。
①求)1(f
②求满足2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值范围
例23、已知函数),.(1)(2z c b a c
bx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(<=f f ，且)(x f 在[1，+∞)上递增。
（1）求c b a ,,的值 （2）当0