陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 基本不等式与最大(小)值学案 北师大版必修5
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 基本不等式与最大(小)值学案(含解析)北师大版必修5-北师大版
3．2 基本不等式与最大(小)值知识点 基本不等式与最大(小)值[填一填]已知x ，y 都是正数，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .[答一答]均值不等式可以解决什么问题？提示：均值不等式可以解决定积、定和问题．使用均值不等式解决问题时，常见的变形 常用的变形公式有：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a ＋1a ≥2(a >0)(当且仅当a ＝1时取等号)；a ＋1a≤－2(a <0)(当且仅当a ＝－1时取等号)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)(当且仅当a ＝b 时取等号)； (4)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)(当且仅当a ＝b 时取等号)．类型一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)若x >0，求函数f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)若x <0，求函数f (x )＝12x＋3x 的最大值．【思路探究】 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立．三个条件缺一不可．对(1)，由x >0，可得12x >0,3x >0.又因为12x ·3x ＝36为定值，且12x ＝3x (x >0)时，x ＝2，即等号成立，从而可利用基本不等式求最值．对(2)，由x <0，得12x <0,3x <0，所以－12x >0，－3x >0，所以对⎝⎛⎭⎫－12x ＋(－3x )可利用基本不等式求最值．【解】 (1)因为x >0，所以12x >0,3x >0，所以f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝236＝12. 当且仅当12x ＝3x ，即x ＝2时，等号成立．所以当x ＝2时，f (x )取得最小值12. (2)因为x <0，所以－x >0， 所以－f (x )＝⎝⎛⎭⎫－12x ＋(－3x )≥2⎝⎛⎭⎫－12x ·(－3x )＝12，所以f (x )≤－12.当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时，等号成立．所以当x ＝－2时，f (x )取得最大值－12.规律方法 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正二定三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解．设x >0，求y ＝2－x －4x 的最大值．解：∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2.当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，y 取最大值－2.【例2】 (1)求函数y ＝x (5－2x )(0<x <2)的最大值； (2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值；(3)已知x >0，求函数y ＝2xx 2＋4(x >0)的最大值．【思路探究】 (1)中要注意构造2x ＋(5－2x )为定值；(2)中要注意挖掘出(x －1)·9x －1为定值．【解】 (1)y ＝x (5－2x ) ＝12·2x ·(5－2x )． ∵0<x <2，∴0<2x <4,1<5－2x <5， ∴y ≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(5－2x )22＝12×254＝258. 当且仅当2x ＝5－2x ， 即x ＝54时取等号，故y max ＝258.(2)y ＝x 2＋8x －1＝(x 2－1)＋9x －1＝x －1＋9x －1＋2，∵x >1，∴x －1>0，∴y ≥2(x －1)·9x －1＋2＝2×3＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取等号．故y min ＝8.(3)∵x >0，∴y ＝2x ＋4x .又x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，∴y ≤24＝12.故当x ＝2时，y ＝2x x 2＋4(x >0)取得最大值12. 规律方法 运用基本不等式求函数的最值，主要是在定义域中构造出“和为定值”或“积为定值”，同时注意检验是否满足取等号的条件．(1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为6. (2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是116.解析：(1)因为x >2，所以x －2>0， 所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.类型二 利用基本不等式比较大小【例3】 已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．【思路探究】 a ，b ，c 是非负数，两个待比较的式子的结构特征符合基本不等式的变形式：a ＋b2≤a 2＋b 22，所以借助它就可以比较大小． 【解】 ∵a 2＋b 22≥a ＋b2， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理可得b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )， 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．规律方法 利用基本不等式或其变形式比较大小时，一般有两种思路： (1)确定每个式子的范围，用不等式的传递性比较；(2)观察待比较式子的结构特征，合理选取基本不等式或其变形式，利用不等式的性质比较．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是(a －b )(b －c )≤a －c2.解析：观察题中两式的特点，发现(a －b )＋(b －c )恰好是a －c . ∵a －b >0，b －c >0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2，当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时，等号成立， ∴(a －b )(b －c )≤a －c 2. 类型三 利用基本不等式解决有关实际应用问题【例4】 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元(50<x ≤80)时，每天销售的件数为p ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？【思路探究】 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．再应用基本不等式解决最值问题．【解】 解法一：由题意知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2＝(x －50)·105(x －50)2＋20(x －50)＋100＝105(x －50)＋100(x －50)＋20.∵x －50>0，∴(x －50)＋100(x －50)≥20.∴S ≤10520＋20＝2 500，当且仅当x －50＝100x －50，即x ＝60或x ＝40(不合题意舍去)，即x ＝60时，取等号． 解法二：由题意知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2令x －50＝t ，x ＝t ＋50(t >0)， 则S ＝105t (t ＋10)2＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t ＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝100t，即t ＝10时取等号，此时x ＝60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多． 规律方法 1.解实际应用问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题(纯数学问题)；(3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)求出函数的最大值、最小值； (4)回到实际问题中，写出正确答案．2．本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解．若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑成基本不等式的形式，去求最值．现有一批货物用轮船从甲地运往乙地，甲地与乙地的距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30 000元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？解：(1)由题意得，每小时燃料费用为kx 2(0<x ≤45)，全程所用时间为500x 小时．则全程运输成本y ＝kx 2·500x ＋960·500x，x ∈(0,45]，当x ＝20时，y ＝30 000得k ＝0.6， 故所求的函数为y ＝300(x ＋1 600x)，x ∈(0,45]． (2)y ＝300(x ＋1 600x)≥300×2x ·1 600x＝24 000，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小．【例5】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其余各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若使每间虎笼的面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【思路探究】 设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则问题(1)是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值；而问题(2)则是在xy ＝24的前提下求4x ＋6y 的最小值．【解】 (1)设每间虎笼的长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，解得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网的总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.——多维探究系列—— 利用均值不等式解恒成立问题不等式的恒成立问题在高中数学中非常重要，在此类问题的解决中，均值不等式和不等式的传递性是最重要的一种方法．【例6】 已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．【规范解答】 原不等式化为1＋a ＋y x ＋axy ≥9，而1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ，(x >0，y >0)当且仅当y ＝ax 时取等号， ∴1＋a ＋2a ≥9，∴a ＋2a －8≥0， ∴a ≥2，即a ≥4，∴a min ＝4.若对任意x >0，ax 2＋(4a －1)x ＋a ≥0恒成立，则a 的取值范围是[16，＋∞)．解析：将原不等式等价转化x x 2＋4x ＋1≤a 恒成立，x >0时，x x 2＋4x ＋1＝1x ＋1x＋4≤12＋4＝16，∴a ≥16.一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( C )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1解析：y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：因为1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2( 1ab ＋ab )≥4，当且仅当1a ＝1b，且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”号．二、填空题3．当x >0时，函数f (x )＝x ＋1x 的最小值为2.解析：∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时，等号成立．4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1ab 的最小值为4.解析：∵3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1，∴2ab ≤1，∴ab ≤12，∴ab ≤14，∴1ab ≥4.三、解答题5．已知x <0，求函数f (x )＝x ＋9x ＋1的最大值．解：∵x <0，∴－x >0. ∴－x ＋9－x≥2(－x )·9－x＝6，当且仅当－x＝9，－x即x＝－3时，等号成立．∴x＋9x≤－6. ∴f(x)＝x＋9＋1≤－6＋1＝－5.x∴f(x)的最大值是－5.。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_15
3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用。
教具准备：投影仪
教学过程。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13
3．2基本不等式与最大(小)值●三维目标1．知识与技能会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．3．情感、态度与价值观通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．●重点难点重点：用基本不等式解决简单的最值问题．难点：用基本不等式求最值的使用条件．●教学建议在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的最值？⇒引导学生回答问题，理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，掌握用基本不等式解决最值问题⇒通过例1及变式训练，使学生掌握基本不等式求最值⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求有约束条件的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握基本不等式解决实际问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第59页)已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？【提示】最大值；能．∵0<x<1，∴1－x>0，又∵a＋b2≥ab，∴ab≤(a＋b2)2，∴x(1－x)≤(x＋1－x2)2＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，f(x)有最大值14.已知x、y都是正数(对应学生用书第59页)(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋bx 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一 ∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二∵0<x<13，∴13－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝1 12，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】∵x＜54，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋15－4x]＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x即x＝1时等号成立，∴当x＝1时，y max＝1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1a＋1b看作⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解． 思路二：将式子1a ＋1b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解． 【自主解答】 法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．本例中，如何求ab 的最大值？【解】 法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ）， 即ab ≤122，∴ab ≤18，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．图3－3－3(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【思路探究】 根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400x －16) ＝x －63(5 400x －16)＝1 832－(10 800x ＋16x3)． 即S ＝1 832－(10 800x ＋16x3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)， 得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352， 当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45， 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920（v ＋1 600v ）＋3≤9202v ·1 600v ＋3＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．(对应学生用书第61页)忽视基本不等式的条件致误求函数y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．∵2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝±62时取等号．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.∴函数的值域为(－∞，1－26]．【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．①当x>0时，2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝62或x＝－62(舍)时等号成立．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．∵－2x＋(－3x)≥2（－2x）·（－3x）＝26，y≥1＋2 6.当且仅当－2x＝－3x时，即x＝62(舍)．若x＝－62时等号成立．∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．(对应学生用书第61页)1．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4 xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lg x＋4log x10【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A.2B．22C．2D．4【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.【答案】 D3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”． 【答案】 24．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值． 【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝3时，等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.(对应学生用书第113页)一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.【答案】 D2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．【答案】 C3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy ＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.【答案】 C4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100【解析】 设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立． 【答案】 A5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8【解析】由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 C 二、填空题6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 【解析】 x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．【答案】 2 27．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． 【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.当且仅当3n ＝m 即n ＝33，m ＝3时等号成立． 【答案】 2 38．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________． 【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2， 得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？ 【解】 法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，∴0＜x ＜8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1.法二 ∵x ＞0，y ＞0，∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2， 即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)【解】 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784x ＋3) ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．(教师用书独具)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【思路探究】 审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答【自主解答】 设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． 从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300x ＋3x ＋357≥417.当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．【解析】 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】 错误!。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13
基本不等式应用教学目标（一）知识与技能：进一步掌握基本不等式ab ba ≥+2，会应用此不等式求某些函数的最值。
（二）过程与方法：，进而归纳总结出一般方法通过学生自己观察、分析最值问题的探究，让、发现解题规律培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。
（三）情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。
（四）数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 教学重点利用基本不等式求最值的基本方法和技巧 教学难点构造基本不等式的形式的方法，及不等式成立的条件 教学过程 一．知识梳理1.重要不等式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.基本不等式(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.常见结构（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（2）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．二．典例探究最值问题 例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 （2） 当时，求(82)y x x =-的最大值解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 基本不等式教案2 北师大版必修5
§3.1基本不等式2a bab +≤教学目标：1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式2a bab +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。
教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。
教学难点：利用基本不等式2a bab +≤求最值的前提条件。
教学过程：一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab +=（2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （3）推理证明：作差法 二、讲授新课重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）1.a b 222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条件？ ab 2a b+(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。
2.推理证明：作差法说明：1）我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义：当b a =时，等号成立，其含义是：如果b a =那么ab ba =+2仅当b a =时，等号成立，其含义是：如果ab ba =+2那么b a = 综合起来：其含义是：b a =等价于ab ba =+24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项 问：a ，b ∈R －？ 3.(1)探究:(课本P88)如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ,BC=b 。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 简单线性规划教案2 北师大版必修5
§4.2 简单线性规划（2）【教学目标】1.进一步熟练二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法；2.巩固用图解法求线性目标函数的最大、最小值问题. 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】1．准确求得线性规划问题的最优解 2．目标函数的几何意义 【教学过程】前面我们讨论了目标函数中y 的系数大于0的情况，现在我们讨论y 的系数小于0的情况例1：在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+02142x y x y x 下，求目标函数y x z -=3的最小值和最大值解：当3,1,0,2,4--=z 时，可得一组平行直线43:2-=-y x l 23:1-=-y x l03:0=-y x l13:3=-y x l 33:4=-y x l0l 向上平移时，所对应的z 随之减由图可知，当直线小，当直线0l 向下平移时，所对应的z 随之增大作出可行域可知，y x z -=3随直线03:0=-y x l向上平移而减小，随l 403:0=-y x l 向下平移而增大，所以在顶点B 处取最小值，在顶点A 处取得最大值由)3,2(0242-⇒⎩⎨⎧=+=+B x y x 知9min -=z ， 由)1,2(142A y x y x ⇒⎩⎨⎧=-=+知5max =z【抽象概括】目标函数的最大值与最小值总是在区域边界交点（顶点）处取得，所以，求解实际问题时，只需求出区域边界的交点，再比较目标函数在交点外的函数值大小，根据问题需求选择所需结论例2．求b a z 24-=在约束条件⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 下的最大值与最小值，解：不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知z 的最大值、最小值在顶点D C B A ,,,处取得由)23,21(21A b a b a ⇒⎩⎨⎧=+-=- 由)0,2(22B b a b a ⇒⎩⎨⎧===+由)1,3(42C b a b a ⇒⎩⎨⎧=+=- 由)25,23(14D b a b a ⇒⎩⎨⎧-=-=+目标函数值1-=A z ，8=B z ，10=C z ，1=D z 比较得：10max ==C z z ，1min -==A z z 【思考交流】 在上述约束条件下 （1）求①ab u =的取值范围 ②22b a w +=的取值范围 （2）设2()f x ax bx =+，且2)1(1≤-≤-f ，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围.解：（1）①目标函数0--==a b a b u 的几何意义：可行域内点),(b a E 与坐标原点)0,0(O 连线的斜率由图可知3max ==O A u u ，0min ==O B u u 故：abu =的取值范围为]3,0[ ②目标函数22b a w +=的几何意义：可行域内点),(b a E 与坐标原点)0,0(O 间的距离的平方显然10||2max ==OC w最小值为原点到直线2=+b a 距离的平方22min ==d w故：22b a w +=的取值范围为[2，10]（2）(1)f a b -=-，(1)f a b =+，(2)42f a b -=-，由例2知，]10,1[)2(-∈-f ． 解：（2）]10,1[)1()1(3)2(-∈+-=-f f f错解：由⎩⎨⎧≤≤≤-≤-4)1(22)1(1f f 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤⇒250321b a ⎩⎨⎧≤-≤-≤≤⇒0251242b a 故：]12,3[24)2(-∈-=-b a f【思考】上错解错在哪里？为什么会出现取值范围扩大了？练习：已知函数2()f x ax c =-满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的取值范围.解：∵()f x a c =-，(2)4f a c =-，(3)9f a c =-，∴约束条件组41145a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩，目标函数(3)9t f a c ==-，由不等式组作出平面区域如图，作直线0l ：9c a =，作一组平行线l ：9a c t -=， 当l 过点(0,1)A 时，min 9011t =⨯-=-， 当l 过点(3,7)C 时，max 93720t =⨯-=， 所以，(3)[1,20]f ∈-．课堂小结：图解法求线性规划问题的最大、最小值.BcACD0laO作业：1．求54z x y =+的最大值，使式中,x y 满足约束条件321041100,0,x y x y x y x y Z +<⎧⎪+-≤⎪⎨>>⎪⎪∈⎩．2、在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≤≥+≤+0,052128y x x y y x y x 下，（教材P109页B 组第1题变式） 求：（1）y x z -=2的值域 ]16,5[-∈z （2）22++=x y u 的值域 ]27,51[∈u （3）22)2()2(+++=y x w 的值域 ]104,18[∈w。
高中数学 第三章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值学案 北师大版必修5-北师大版高一必修5数
3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式及变形 思考 使用基本不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立． 梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b____ab ____a ＋b 2____a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用基本不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理 基本不等式求最值的注意事项 (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．类型一 基本不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 类型二 基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题 引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 mD ．7.2 m3．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－24．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab>0，∴11a ＋1b≤ab2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时，等号成立． 梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x＝1时有公共点．梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究例1 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －1y －9＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.跟踪训练1 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·3－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0， 得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2x －8×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m.由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长，宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长，宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x) ＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时． 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.2－2 5。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_22
基本不等式【考纲考情】1、了解基本不等式的证明过程2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
【考情分析】1、从近五年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档，主要考查最值、转化与化归思想。
2、命题情境不断创新，常以函数、应用题为载体考查。
【知识梳理】1.基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ).3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 【小题快练】1.(必修5P100T1(2)改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy 的最大值为 ( )A.80B.77C.81D.82 2、下列式子中，最小值是4的是（ ）A 、x x 4+B 、x x 42+，0>xC 、x x e e 4+D 、xx sin 4sin +，),(πo x ∈ 3、(2017·山东高考)若直线by a x +=1(a>0,b>0) 过点(1,2),则2a+b 的最小值为________【题型分析】题型一 利用基本不等式求最值1、“配凑型”基本不等式例1（1）若35>x ，求函数5343-+=x x y 的最小值；（2）若35<x ，求函数5343-+=x x y 的最大值；（3）若350<<x ，求函数)35(x x y -=的最大值.2、“条件型”基本不等式例2、（1）若00>>y x ，，且111=+yx ，求y x +的最小值；（2）已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+的最小值.变式：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，求y x +2的最大值.3、“消元型”基本不等式例3、若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223 B.23 C.33 D.233题型二 利用基本不等式求参数的取值范围例4、（1）已知函数)0,0(4)(>>+=a x x a x x f 在3=x 时取得最小值,则a=________.（2）已知函数)(111)(2R a x ax x x f ∈+++=，若对于任意的x ∈N *,f(x)≥3恒成立,则a 的取值范围是________.变式：（1）已知不等式)1)((y a x y x ++≥9对任意的正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8（2）已知正数x,y 满足xy x 22+≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.【巩固提升】 1．设a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．18D ．242．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( )A.43B.53C.54 D ．23．正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)4．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x 的最小值为________．。
高中数学第3章不等式3.2基本不等式与最大(小)值学案北师大版必修5
3．2 基本不等式与最大(小)值学习目标核心素养1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)1．通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养．2．利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养．不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．当x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p．思考：(1) 函数y＝x＋1x的最小值是2吗？[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋1x≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋3a取得最小值时，a的值是什么？[提示] 2a＋3a≥22a×3a＝26，当且仅当2a＝3a，即a＝62时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋4xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π) C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81C[A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]2．当x<0时，x＋9x的最大值为．－6[因为x<0，所以x＋9x＝－(－x)＋9－x≤－2－x×9－x＝－6，当且仅当(－x)＝9－x，即x＝－3时等号成立．]3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为 ． 14[因为x ∈(0,1)， 所以1－x ＞0， 故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14， 当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．]4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为 ．8 [由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上 所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n≥8．]利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋x －2的最小值为 ． (2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是 ．(1)6 (2)116 [(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6． (2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116．]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧；三是考虑等号成立的条件.[跟进训练]1．(1)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为 ．(2)设0<x ≤2，则函数ƒ(x )＝x8－2x 的最大值为 ．(1)－2 (2)22 [(1)依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2．(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0， 故ƒ(x )＝x 8－2x ＝12·2x ·8－2x ＝12·2x ·8－2x ≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x8－2x 的最大值为22．]利用基本不等式解实际应用题【例2】 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500．因为x －20>0， 所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500． 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175．即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500．故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小． 法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0． 易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm ．广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75．即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500．故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： 1先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； 2建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； 3在定义域内，求出函数的最值； 4写出正确答案.[跟进训练]2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)5 8 [每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．](2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2．由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2．基本不等式的综合应用[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2， 当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2．(2)当x ＞0时，xx 2＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12． 2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？[提示] (1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2a b≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立；(2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b的最小值为3＋22．【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，求1a ＋1b的最小值．思路探究：(1)在x x 2＋3x ＋1中，分子、分母同时除以x ，求得xx 2＋3x ＋1的最大值，可得a的范围．(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a ＋1b的最小值．[解] (1)设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15．(2)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b的等比中项，求1a ＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值．[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a ＋b＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b ＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ×2ab＝9．当a ＝b ＝3时等号成立．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值． [解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1， 故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2 ≥2a ＋1×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： 1f x ＞a 恒成立⇔a ＜f x min. 2f x ＜a 恒成立⇔a ＞f xmax.)1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值． ( )(2)函数y ＝sin x ＋1sin x的最小值为2． ( )(3)函数y ＝x 2＋4＋1x 2＋4的最小值为2． ( )[答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x ∈(0，π)时，sin x 与4sin x 的积为定值，但sin x ≠4sin x；(2)错误，sin x ＜0时，函数不存在最小值． (3)错误，因为只有x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，x 2＝－3时才能取到最小值，但x 2＝－3不成立，故(3)错．2．若x >0，y >0且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．81A [xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．]3．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要小时．8 [设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v＋16v 400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．]4．求函数f (x )＝xx ＋1的最大值．[解] 当x ＝0时，f (x )＝0，当x >0时，f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x≥2x ×1x＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12．综上得，f (x )的最大值是12．。
高中数学 第三章 基本不等式与最大(小)值学案 北师大版必修5
基本不等式与最大（小）值学案学习目标：能利用基本不等式与最大（小）值。
学习重点、难点：能利用基本不等式与最大（小）值过程中的变形。
学习过程：一、课前准备自主学习复习：,a b R +∈，222112a b a b a b a b ++++大小关系? 阅读P 90-91二、新课导入设置情境：把一段16cm 长细铁丝，弯成形状不同的矩形，边长为4cm 正方形，长为5cm 宽为3cm 的矩形，长为6cm 宽为2cm 的矩形，等…①试判断那种形状的面积最大；②如何判断这种情况下面积最大。
1、,x y R +∈,若x y s +=（和s 为定值），当且仅当x y =时，积xy 有最大值且为____________即有__________________2、,x y R +∈,若xy p =（积p 为定值）当且仅当x y =时，和x y +有最大值且为____________即有__________________自主测评1、,x y R ∈，且5x y +=，则33x y +的最小值是（ ） A 、0 B、 C、D、2、下列函数中最小值是2的为（ ）A 、1y x x =+B 、33x x y -=+C 、1lg (110)lg y x x x=+<< D 、1sin (0)sin 2y x x x π=+<<3、,x y R +∈，281x y +=，则有xy （ ）A 、最小值64B 、最大值64C 、最小值164 D 、最大值12三、巩固应用例1：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值，变式1、已知2x+5y=20，求2533x y +最小值；变式2、已知x+3y-2=0,求3271x y ++最小值。
例2：已知1(0),2y x x y x =+>≥证明变式1、已知1(0),2y x x y x =+<≤-证明变式2、已知1(0),2y x x y x =+≠≥证明变式3、函数)1(,14)(>-+=x x x x f 的值域是；若（x ＜1）呢？变式4、已知函数[]4()1,4f x x x x =+∈，时，函数最大值m 最小值n ,求m-n例3：已知函数()f x =变式、当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值四、总结提升1、利用上述两个结论时实数x,y ,应该满足什么条件；2、若实数x,y 为负，应该如何处理；3、利用上述两个结论时，若和（积）不为定值时应该如何转化。
高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大(小)值学案北师大版必修5(2021学年)
高中数学第三章不等式3.3.２基本不等式与最大(小)值学案北师大版必修５编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式 3.3.2 基本不等式与最大（小)值学案北师大版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式 3.3.2 基本不等式与最大（小)值学案北师大版必修5的全部内容。
3。
2 基本不等式与最大(小)值一、学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; ２。
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 3． 初步掌握不等式证明的方法 二、学习重点会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 三、学习难点理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件 四、学习过程(一)、基础知识回顾：1、基本不等式的理解、证明及几何意义?2。
利用基本不等式求最大(小）值时,要注意的问题?(二）、应用练习(1）试根据均值不等式写出下列变形形式,并注明所需条件）（1）a２+b 2( ) （2)2ba ( ）（3)ab +ba （ ） (4）x ＋x1 (x>0) (5）x ＋x1(x 〈0) （6)ab ≤ （ )(2)⑴函数f(x ）=ｘ(2-x ）的最大值是 ;此时x 的值为___＿＿___＿__________;. ⑵函数f(x ）= x(２-2x)的最大值是 ;此时x 的值为＿_＿_＿____＿_________；⑶函数ｆ(x ）=x(２-3x)的最大值是 ；此时x 的值为___＿_______＿＿___＿＿_;⑷函数f(x)=x （2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为＿___＿__＿_______＿___.(三）、例题讲解例1:已知x 、ｙ都是正数,求证:（１）222a b c ab bc ac ++≥++． (2)已知（ａ+b)（x+y)〉2(ay+bx ）,求证:2x y a ba b x y--+≥--.说明:在运用定理:ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数,结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件),进行变形。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_16
《基本不等式》导学案学习目标学习难点1探索并了解基本不等式的形成过程； 2掌握用基本不等式求一些实际的应用问题． 3能初步运用求一些函数的最值。
1基本不等式形成过程 2基本不等式的求最值的使用要点自主预习 合作探究 启发引导二、学习过程（一）趣味情景导学（见ppt ）（二）探究“重要不等式”与“基本不等式” 1.自主学习“重要不等式”（1）代数解释：由完全平方差公式0)(2≥=-b a ；得≥+22b a 。
其中a ，b ∈R ；当且仅当a b 时，等号成立。
（2）几何解释：效果检测1：下面是“重要不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。
（1）222c d cd +≥ （2）212x x +≥ 2.小组合作探究“基本不等式”（1）代数解释：（i ）对于“重要不等式”：特别的，当a>0,b>0时.用a 替换a ；用 替换b 可得。
（ii ）或者可以 由0)(2≥=-b a ；移项得ab b a 2≥+，即： ，当且仅当a b 时，等号成立。
（2）几何解释：如右图，直角三角形两直角边分别是a ，b 。
则： 大正方形的面积是______， 4个直角三角形的面积之和是____； 大正方形的面积 （填“大于”或“小于”）4个直角三角形的面积之和； 即有： 。
；（a ，b ∈R ） 当且仅当a=b 时，等号成立。
重要不等式 ab b a 222≥+观察右图：当 时，大正方形的面积等于4个直角三角形的面积之和；即：当且仅当a b 时，等号成立。
ab b a 222>+ ab b a基本不等式2b a ab +≤；（a>0,b>0） 当且仅当a b 时,等号成立。
）（0,02>>+≤b a b a ab（3）对基本不等式的理解效果检测2：下面是“基本不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。
（1）12x x+≥ （2）1)2(≤-⋅x x（三）例题讲解例：（联系生活，解决问题）：例题呈现解题过程小结（1）张先生打算在平地上用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时篱笆最省，最短的篱笆是多少？ 解：（2）张先生打算在平地上用36米长篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大，最大面积是多少？解：基本不等式求最值使用要点：一 、二 、三 。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 不等式概念性质
不等式概念性质重难点解析1．不等式的概念是本节的重点之一．用“>”、“<”、“≥”“≤”联结两个解析式组成的式子叫做不等式．当不等号两边的解析式都是代数式（整式、分式、根式）时，称之为代数不等式；当不等号两边的解析式含超越式（指数式、对数式、三角式等）时，称之为超越不等式．此外，当不等式两边的解析式含绝对值的符号时，称之为含绝对值的不等式．由此可知．高中数学中不等式与函数、方程、三角、数列、几何等内容有着密切的联系，综合性是有关不等式的问题的基本特征，揭示不等式与其他数学知识的内在联系，并在此基础上构建知识网络，是复习本章的重要任务．不等式以数与式的大小关系为研究的主要内容，而实际生活中数量的大小关系是普遍存在的．因此，应用不等式的知识和方法，分析和解决一些实际问题，也是复习本章的重要任务，应强化应用不等式的能力训练．不等式的概念还包括一组重要的等价关系：这一组等价关系把数与式的大小关系与两数（式）之差的正负号联系起来，提供了判定大小关系的基本思路和方法．应熟练掌握和应用．2．不等式的性质是本节也是全章的重点．不等式的性质可分为三组．第一组是基本性质：（1）a > b ⇔ b < a （对称性）（2）a > b ，b > c ⇒ a > c （传递性）（3）a > b ⇔ a + c > b + c（4）a > b ，c > 0 ⇒ a c > b c ；a > b ，c < 0 ⇒ a c < b c第二组是运算性质：（1）a > b ，c > d ⇒ a + c > b + d（2）a > b ，c < d ⇒ a －c > b －d（3）a > b > 0，c > d > 0 ⇒ a c > b d> > a = b ⇔ a －b = 0 < <（4）a > b > 0，0 < c < d ⇒d b c a > （5）a > b > 0 ⇒ a n > b n （n 是正整数）（6）a > b > 0 ⇒ n n b a >（n 是大于1的整数）第三组是基本不等式：（1）若a ∈R ，则 | a | ≥ 0，a 2≥ 0．（2）若a ，b ∈R ，则 a 2 + b 2 ≥ 2ab ． （3）若a ，b ∈R +，则ab b a ≥+2． （4）若a ，b 同号，则2≥+ba ab ． （5）若a ，b ，c ∈R +，则33abc c b a ≥++． （6）若a ，b ∈R ，b a b a b a +≤+≤-||||．这些性质是证明不等式和解不等式的依据，是全章的基础，必须熟练掌握并灵活应用，才能解决好证明不等式和解不等式的有关问题．3．正确区分推出变换“⇒”和等价变换“⇔”，并正确应用于解决不等式的有关问题是本节的难点，这是两种又有区别又有联系的逻辑关系，正确区分、正确应用是提高逻辑思维能力的重要内涵，也是提高逻辑思维能力的困难所在．。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_11
课时安排：1 课时 [基础自测]
判断正误
(1)函数 y＝sin x＋sin1 x的最小值为 2.( )
(2)函数 y＝ x2＋4＋ x21＋4的最小值为 2.(
)
学习 笔记
新授课题成立 (1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最 值； (2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最
当堂检测：
1．下列函数中，最小值为 4 的函数是( )
A．y＝x＋4x
B．y＝sin x＋si4nx(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
2．设 a、b 是实数，且 a＋b＝3，则 2a＋2b 的最小值是( )
A．6
B．4 2
C．2 6
D．8
3．函数 f(x)＝x(3－3x)，x∈(0,1)，的最大值为________．
备写人：
审核人：
课题：基本不等式与最大(小）值 学习目标：知识与技能：会用基本不等式解决简单的最值问题， 能通过变换的方法求解特定条件下的二元最值问题。 过程与方法：通过教学培养学生分析问题和解决问题的能力，采 用题组教学的方法。 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，让学生对最值问题有 个整体把握，激发学生学习的兴趣。 教学重点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 教学难点：会用基本不等式解决实际问题． 教法与学法：启发、合作探究相结合
值但忽略了取得最值得条件，在后续的教学中应加强训练。
值;
思 考 ： (1)
函数
y
＝
x
＋
1 x
的
最
小
值
是
2
吗？
[提示] 不是，只有当 x＞0 时，才有 x＋1≥2，当 x＜0 时，没有最小值． x
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_11
第2课时 基本不等式及其应用【学习目标】1． 理解均值定理及均值不等式的证明过程2． 能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题3． 在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。
4． 通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。
【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式【学习难点】应用基本不等式求最大值和最小值[自主学习]1．基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++若a>b>0,m>0,则 b b m a a m+<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则2．均值不等式: 两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22Sxy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
[课前热身]1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 . 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时； ③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为[典型例析]例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值求22242y x x =--+的最大值.变式训练（1）已知x 、y 为正实数，且121+=x y，求x+y 的最小值。
北师大版高中必修53.2基本不等式与最大(小)值课程设计
北师大版高中必修53.2基本不等式与最大(小)值课程设计一、前言基本不等式是高中数学的重点中的重点，也是必修部分的难点之一。
掌握基本不等式的运用与推广可以提升学生对于不等式问题的解决能力与数学思维能力。
此次课程设计旨在挖掘基本不等式知识的深度与广度，并且通过实际问题进行引导，帮助学生理解基本不等式在实际问题中的意义。
二、课程目标1.理解基本不等式的定义，掌握基本不等式的运用；2.能够将基本不等式运用于解决实际问题；3.培养学生分析问题与抽象问题的能力。
三、课程内容与步骤3.1 第一步：简单情况1.引入基本不等式的概念，介绍几个简单的例子，比如求证$\\frac{1}{n+1}<\\ln(n+1)-\\ln n<\\frac{1}{n}$ 等；2.通过讲解实例，让学生在实践中理解基本不等式的应用。
3.2 第二步：不同类型的不等式1.介绍不同类型的不等式，如代数不等式、几何不等式等，提出使用基本不等式解决问题的思路；2.通过讲解不同类型的实例，让学生对基本不等式的应用有更加深刻的认识。
3.3 第三步：不等式的最大值与最小值1.介绍最大值与最小值的概念，讲解使用基本不等式求最大值与最小值的方法；2.通过讲解实例，让学生能够熟练运用基本不等式求解最大值与最小值问题。
3.4 第四步：实际问题的运用1.通过一些实际应用问题的引入，如找到最小的包裹盒体积、求能够生物多样性最高的动物群落等，让学生在实践中深入理解基本不等式的运用；2.让学生自行提出问题并解决，培养学生分析问题的能力。
四、教学方法1.讲授；2.实例演示；3.问题引导；4.分组探究。
五、课堂评价与课后作业1.课堂考核：随堂测验、讨论及课堂作业；2.课后作业：题目练习；3.提高型题目：已知x2+y2=8，求 $\\max\\{\\sqrt 3x+y\\}$；4.提出问题：同学自选一个与基本不等式相关的问题进行调研并展示。
六、课后拓展1.将基本不等式的思路与方法运用于其他数学领域的问题；2.阅读相关数学文章，积累基本不等式运用案例。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式与最大（小）值学案
学习目标： 能利用基本不等式与最大（小）值。
学习重点、难点：能利用基本不等式与最大（小）值过程中的变形。
学习过程： 一、课前准备 自主学习
复习：,a b R +
∈
，222
112a b a b a b a b
++++大小关系? 阅读P 90-91 二、新课导入 设置情境：
把一段16cm 长细铁丝，弯成形状不同的矩形，边长为4cm 正方形，长为5cm 宽为3cm 的矩形，长为6cm 宽为2cm 的矩形，等… ①试判断那种形状的面积最大； ②如何判断这种情况下面积最大。
1、,x y R +
∈,若x y s +=（和s 为定值），当且仅当x y =时，积xy 有最大值且为
____________即有__________________
2、,x y R +
∈,若xy p =（积p 为定值）当且仅当x y =时，和x y +有最大值且为
____________即有__________________ 自主测评
1、,x y R ∈，且5x y +=，则33x
y +的最小值是（ ）
A 、0
B
、
C
、
D
、2、下列函数中最小值是2的为（ ） A 、1y x x
=+
B 、33x x y -=+
C 、1
lg (110)lg y x x x
=+
<< D 、1sin (0)sin 2y x x x π=+
<<
3、,x y R +∈，
28
1x y
+=，则有xy （ ） A 、最小值64 B 、最大值64 C 、最小值
1
64
D 、最大值
12
三、巩固应用
例1：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值，
变式1、已知2x+5y=20，求2533x
y +最小值；
变式2、已知x+3y-2=0,求3271x y ++最小值。
例2：已知1
(0),2y x x y x
=+>≥证明
变式1、已知1
(0),2y x x y x
=+<≤-证明
变式2、已知1
(0),2y x x y x
=+≠≥证明
变式3、函数)1(,1
4
)(>-+=x x x x f 的值域是；若（x ＜1）呢？
变式4、已知函数[]4()1,4f x x x x
=+∈，时，函数最大值m 最小值n ,求m-n
例3：已知函数
()f x =
变式、当x 为何值时，28
(1)1
x y x x +=
>-有最小值
四、总结提升
1、利用上述两个结论时实数x,y ,应该满足什么条件；
2、若实数x,y 为负，应该如何处理；
3、利用上述两个结论时，若和（积）不为定值时应该如何转化。
五、能力拓展 1、求函数4
sin sin y x x
=+最小值
2、已知,x y R +∈满足2x+y=1,求11
x y
+的最小值
3、当04(82)x y x x <<=-时，求最小值
自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？
作业：P 92 T 3 P 94 A T 1-3。