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一元二次函数知识点汇总
2xcb,?c(a,y?ax?bxy)0a?. 叫做，那么是常数，1.定义：一般地，如果的一元二次函数2axy?的性质2.二次函数2ax?y）0（a?y.
的顶点是原点，对称轴是(1)抛物线轴2aax?y (2)函数的符号关系：的图像与????0a?顶点为其最高点时抛物线开口向下抛物线开口向上时顶点为其最低点；②当①当0?a2c??bxy?axy. )轴的抛物线的图像是对称轴平行于(3.二次函数包括重合2??bb4ac?22c??bxy?axkh?y?ax?. 的形式，其中二次函数用配方法可化成：4.?h?，k?2a4a2cbx?y?ax?.
的三要素：开口方向、对称轴、顶点5.抛物线a决定抛物线的开口方向：①aa0a?0a?时，当越大，抛物线的开口越大，开口向下；时，开口向上；当抛物线的开口越小。

越小，0x?x?hyy. 轴记作直线)的直线，记作.②对称轴为平行于特别地，轴(或重合0a?a?0kh),。

时③定点是抛物线的最值点[最大值()]，坐标为(时)或最小值( 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
222b4ac?b b?b4acb??2），（????ax?ax?bx?cy?x?. ，∴顶点是(1)公式法：，对称轴是直线??
a42a a2a42a????2h?xkh k?hy?a?x.
,(，对称轴是)的形式，得到顶点为(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点(3). 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★2cbx?y?ax?cb,a, 7.抛物线中，的作用
2aaaxy?.
中的(1)完全一样决定开口方向及开口大小，这与b2ac??bxy?axb??x,(2)的对称轴是直线和故：共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线2a bb0?byyy轴右侧对称轴在轴左侧；③时，对称轴为. 轴；②时时①,对称轴在,0??0aa2ccbx??ax?yy.
(3)的大小决定抛物线轴交点的位置与2cc?bx?y?ax0?xy?cy )，∴抛物线当：与时，，轴有且只有一个交点(000c?c?0c?yy. 与，抛物线经过原点; ②轴交于正半轴；③轴交于负半轴,与,①b y.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则0?a 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：????22222cy?ax?bx?yy?ax?ax?k kyx?h?aay??x?h. ；
④①；⑤；③；②图像特征如下：
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用待定系数法求二次函数的解析式9.2xc??bxy?axy. (1)一般式：的值，通常选择一般式、.
已知图像上三点或三对??2k??ahx?y.
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 (2)顶点式：????xx x?axx?xxy?.
、轴的交点坐标，通常选用交点式： (3)交点式：已知图像与2211 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）2c??bxy?axc,0y)
(1)得交点为轴与抛物线(22c??axbx?yhx?hy cah??bh). 与抛物线轴平行的直线(, (2)与有且只有一个交点x (3)抛物线与轴的交点2xc??bxy?axx x、二次函数的图像与，是对应一元二次方程轴的两个交点的横坐标212x0??bx?axc轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
判别式判定：的两个实数根.抛物线与x??0??①有两个交点轴相交；抛物线与xx??0??抛物
线与顶点在轴相切；轴上)②有一个交点(x??0??. 抛物线与轴相离③没有交点x (4)平行于轴的直线与抛物线的交点个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标2个交点.当有(3)同一样可能有0个交点、1个交点、22k k?bx?axc?一样由根的判别式判定。

为.，则横坐标是而根的存在情况仍如(3)的两个实数根????20y?ax?bx?c?aGl0k?n??ykx的图像的交点，由方程组与二次函数(5)一次函数的图像n?kx?y?的解的数目来确定：?2cbx?y?ax???Gl;
有两个交点①方程组有两组不同的解时与??GGll.
与②方程组只有一组解时只有一个交点；③方程组无解时没有交点与????2xxc?y?ax?bx，xxA0B，，0由于轴两交点之间的距离：若抛物线轴两交点为，(6)抛物线与与
12cb?,x?xxx???2x x0axc?bx??、的两个根，故由韦达定理知：是方程
????22??????x?AB?xx??x4xx?xx???21222111aaaa??二次函数与一元二221121aa22c4ac?bb?4??
次方程的关系：11．22c?ax?bxy?cbx?0?ax?时的情况．的值为就是二次函数0当函数y一元二次方程(1)2xc?y?ax?bx轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；的图象与(2)二次函数2xxc??bxy?ax0y?即的图象与的值，当二次函数轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量20??cax?bx一元二次方程的根．22xcy?ax?bx?y?ax?bx?c有两个不(3)轴有两个交点时，则一元二次方程的图象与当二次函数2xcbx?y?ax?程次点时，则一二数相等的实根；当次函数元二方交图的象与轴有一个22xcbx?axy??0?bxcax??则一元轴没有交点时，有两个相等的实数根；当二次函数的图象与20?axbx?c?没有实数根二次方程 12.二次函数的应用：值)()((1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大小值。

一般而言，
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x最大(小)值小会在顶点处取得，达到最大()值时的也就是顶点纵坐标值。

即为顶点横坐标值，(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
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