函数画图象网格子
函数的表示方法
某工厂加工一批产品,为了提前交货, 规定每个工人完成100个以内(包括100 个),按每个产品2元付酬;超过100个,超 过部分每个产品付酬增加0.2元; 求:
(1)每个工人完成100个以内所得报酬y(元)与 产品数x(个)之间的函数关系;
≤x≤ y 2x (0 100)
(2)每个工人完成100个以上所得报酬 y(元)与产品数x(个)之间的函数关系; 即
0
0
1
10
2
30
4
20
5
0
5
11 12 22 24源自（2）小明走到离家最远的地方用了多少小时？距家多远？
（3）小明哪一段时间骑自行车速度最快？哪一段最慢？
（4）小明什么时间与家相距20千米？
尝试练习
甲车速度为20米/秒， 乙车速度 为25米/秒，现甲车在乙车前面500米， 设x 秒后两车之间的距离为y米。求y 随x（0≤x≤100)变化的函数解析式， 并画出函数图象。
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了 北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而 变化.
图象法
就是用图象来表示函数关系的方法。
图象法
优点：直观、形象地表示出函数中两个 变量之间的关系，同时结合图象也可以 直观地研究函数的性质，如图象的位置、 最大值、最小值等。 缺点：由观察图象所得到的数据、数量 关系一般都是近似的，往往不够准确。
函数的表示方法
泽国第三中学 初二数学组
我们上节课里已经看到或亲自动手 用列表格、写式子和画图象的方法表示 了一些函数。这三种表示函数的方法分 别称为列表法、解析式法和图象法。 列表格
写式子 画图象
列表法 解析式法 图象法
这就是我们这节课要研究的内容
一次函数的图像及性质 ppt课件
0
0
y
描点：
5
4
3
连线：
2
1
-4 -3 -2 -1O-1
-2 -3 -4
1 当Ｋ＜０时，图象过原点
-3
且经过二，四象限，
y随x的增大而减小．
12345 x
y=-3x
一次函数的概念
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数,k ≠ 0)的 函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的 一次函数。
一次函数的图像及性质
3.直线y=－0.5x＋1与x轴的交点为 与y轴的交点为 （0，1） .
（2，0） ，
4.直线y=3x-2可由直线y=3x向 下 平行移动 2 个 单位长度得到.
一次函数的图像及性质
1.已知点(x1, y1)和(x2, y2)都在直线
< 若x1 < x2, 则 y1__________y2
象,(2) 观察函数 y 21 x 1和yx2 的图象
，
2
研究它们是否也具有相应的性质，有什么不
同？你能否发现什么规律？
y
y yx2
y 1 x 1 4 2
3
y 1 x 1 2
· ··
2
1
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1
-2
-3
-4
yx2 4
·3
2
1
·x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1
思维拓展
直线y=kx+b经过一、二、四 象限，那么直线y=bx+k经过哪些 象限？
1. 一次函数 y2x4的图象经过 一、二、四 象限。 y随x的增大而 减小 ,它的图象与x轴、y轴的坐标分别为 （__2_，__0_）____（__0_，__4_）___。 2．函数y=(k-1)x+2，当k＞1时，y随x的增大而__增__大__, 当k＜1时，y随x的增大而_减__小__。
4[1].6函数作图
![4[1].6函数作图](https://img.taocdn.com/s3/m/2a85901ffc4ffe473368abeb.png)
y′ = 2 xe
x2
y′′ = 2e
x2
(2 x 1)
2
驻点: 令 y′ = 0 驻点:x = 0
令 y′′ = 0
1 x=± 2
1 1 1 1 1 1 x ( ∞, ) ( ,0) 0 ( 0 , ) ( ,+∞ ) 2 2 2 2 2 2
y′ y′′
+ +
+
0
0 +
x
y′ y′′
曲线
( ∞ ,1) 1
+
极大值
4 3
0 +
0
拐点
2 (0, ) 3
( 1 ,0 )
0
(0,1)
1
(1,+∞ )
0
+
0
+ +
极小值
y
4 (4) 取辅助点: 2,),2, ); 取辅助点: 0 ( ( 3
显然,函数无水平渐近线和垂直渐近线. 显然,函数无水平渐近线和垂直渐近线. 曲线图象如下图: 曲线图象如下图:
+
0
极 大
y
下凸
1 e
上凸
1
上凸
1 e
下凸
y
2 2
o
2 2
x
例9
1 3 2 的图形. 作函数 y = x x + 的图形. 3 3
解 (1) 函数的定义域为 R, 该函数为非奇非偶函数 ; ( 2) y′ = x 2 1, y′′ = 2 x;
令 y′ = 0, 得 x = ±1; 令 y′′ = 0, 得 x=0; 确定函数的单 ( 3) 列表讨论 y′, y′′ 的符号, 的符号, 调区间和极值,凹凸区间和拐点. 调区间和极值,凹凸区间和拐点.
中职数学基础模块上册《函数的表示法》ppt课件3
• 作函数图象时应注意以下几点：
• (1)在定义域内作图；
• (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时 可用虚线来衬托整个图象；
• (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端 点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点 是实心点还是空心点．
• 4 作出下列函数的图象： • (1)y＝1＋x(x∈Z)； • (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))． • 解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些
• 2．在平面直角坐标系内，如果某图形满足： 垂直于x轴的直线与其至多有一个交点，那么
• 3．描点法画函数图象的步骤：
• (1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表； (4)描点；(5)连线．
• 4．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系 数 法 ； (2) 换 元 法 ； (3) 配 凑 法 ； (4) 消 元 法 等．
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．
(4)将所求待定系数的值代回原式．
• 2 (1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6， 则f(x)＝________.
解析：设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝ a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有aab2＝＋4b＝6 ，解得ab＝ ＝22 或ab＝＝－ －26 ， 所以 f(x)＝2x＋2 或 f(x)＝－2x－6.
• 1.2.2 函数的表示法
• 第1课时 函数的表示法
• 目标要求
• 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图 象法、列表法．
• 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰 当方法表示函数.
• 热点提示 • 1.准确画出函数图象是学习函数的必备基本
函数图像的画法.3.3函数图像的画法
❖ ★讨论交流
❖ （1）图14.1-8是一种古代计时器——“漏壶” 的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下 的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶 中水面的位置计算时间，用x表示时间，y表 示壶底到水面的高度，下面哪个图象适合表 示一小段时间内ｙ与x的函数关系（暂不考虑 水量变化对压力的影响）?
y
y
6
5 为什么没有 4“0”？ 3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o -1
1 2 3 4 5x
(3)连线 用光滑的曲 线把这些点依次连 接起来.
-2
-3 -4
-5
-6 (1,-6)
画函数的图象的步骤
列表、描点、连线
在连接各点时应注意什么？
根据已描出的点判断图像是直线还是曲线。
❖ ★巩固新知
❖ 1.根据归纳出来的画图步骤，让学生画出 y=x+0.5和y= 1 x2 的图象。
P2
OX
P3
（－a，－b）
考考你:
填空：
(1)点P(4,a)在过点(0,2)且平行于x轴的直
线上，则点P的坐标是 (4,2；)
(2)点P(a,－b)关于x轴对称点的坐标
是 (a,b) ；
(3)点P(2-a,3a+6)到两坐标轴的距离相等，
则点P的坐标是 (3,3)或(；6,-6)
(4)点A（a+2，-1），B（-3 ,b）关于y轴对 称,则a=_1__,b=__-_1_。
标系中先确定什么? ❖ 问（2）怎样确定函数图象的点？
画出函数y= - 6 的图象. x
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y … 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 …
五点画图法中表格的应用
不 而 到ｙｓ（ 号） 图 ． 变 得 ＝ｉ 的 象 ｎ一
（ ） 用 五点 法 中 的 表 格 ， 以 迅 速 处 理 “ ２利 可 由 图求 式 ” 型 。 题 【 ３ 函数 — ｓ （ ｘ 例 】 ｉ ｗ ＋ ） ｚ∈Ｒ， ＞ Ｏ ０ ｎ （ ∞ ，
４ ５ －
＾
一
０
可 ，数 —ｎ ）象 第 零 为 知函 ｓ ÷一 图 的 一 点 ｉ ｒ３ （ （，， ｓｚ号 图 的 一 点 警ｏ函 ＝ｎ一 ）象 第 零 为 ）数 ｉ （
（ ） 用 五 点 法 中第 一 零 点 的变 化 ， 以迅 速 １利 可
’缮学。号 ｉ ６ Ｎ］车中器 数）。旬 ３２月刊 外。 ２。 ４ １ 习 ￣
【 】 函 ｓ（ ＋ 的 象 以 例ｌ 数 一１ｉ２ 詈）图 可 ｎ
看成是把 函数 ＝了 ｓ ２ １ ｉ 的 图象 作 以下平 移得 ｎ
到的（ ） 。
便 ， 们对它们分别命 名为第 一零点 ， 高点 ， 我 最 第
二 零 点 ， 低 点 ， 三 零 点 。在 作 图要 求 不 是 很 高 最 第 的 情 况 下 ， 们 可 以 用 “ 表 格 ” 方 法 求 出 函数 我 列 的
Ｏ
１ Ａ
Ｏ ０
ｌ 一 Ａ
０ ０
Ａｓ ｎ （ｌ ＋ ０） Ｏ ｉ （ｏ －
然后再作 出函数 Ｙ —Ａｓ （ ｘ ｉ ￣ ＋ ） 一 个 周 ｎ 在
期 上 的 简 图 ， 后 利 用 周 期 性 ， 过 平 移 图象 ， 最 通 得 出函 数 一Ａｓ （ － ） 整 个 定 义 域 内 的 图象 ｉ Ｔ ｎ ＋ 在 通 过对 函数 ＝Ａ ｉ（ ＋ 妒 图 象 的 作 图 过 程 ｓ ｎ ） 看出 ， 五点 法 中 的“ 格 ” 表 是联 系三 角 函数 的 图 象 与 其 解 析式 的纽带 。因此 在 处理 “ 图求式 ” 由式 由 和“ 到图” 的题 型 时 ， 五点 法 的 表格 ， 解决 “ 图求 式 ” 是 由 和“ 由式 到 图” 型 的一 种 快速 有 效 的方 法 。 题
高中数学之常用的函数作图方法大总结
高中常用的函数作图方法大总结函数作图是高中数学最重要的基本功之一。
能够顺畅的做出函数图像，在解题的时候非常重要。
往往我们只需要做出函数的简图即可，不要求严格的精确，追求的是图像的趋势和作图时的速度。
有个别十分基础的函数图像画法，在此就不再一一总结。
以下是较常用，也是学生较生疏的作图，在此做个汇总。
一、一元二次函数即()20y ax bx c a =++≠，做此函数的简图，求出三个要素，就能够迅速确定函数的大致图像。
即：（1）判别式的符号。
决定与x 轴是否有无交点 （2）对称轴2ba-。
决定函数整体位于y 轴左侧还是右侧 （3）确定f(0)的值。
决定函数与y 轴交与上方还是下方 练习：做出下列函数的简图 （答案略）（1）223y x x =+- （2）2232y x x =-+ （3）231y x x =--+二、幂函数()y x αα=为有理数y x α=在第一象限内大致图像如下：则画幂函数图像的步骤： （1）先画出第一象限内的图像（2）再根据有无奇偶性画出其余象限的图像（如无奇偶性，则图像只出现在第一象限） 练习：做出下列函数图像 （1）31y x=（2）34y x = （3）3y x = 解：（1）先画出第一象限，又函数是奇函数，故图像如下（2）函数非奇非偶，因此只有第一象限内的图像，如下（3）函数为奇函数，画出第一象限内，再补充第三象限的即可，如下继续练习作草图：答案：三、ax bycx d+=+图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。
也是比较常考常用的。
下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。
画图步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。
练习（1）作321xyx+=+的图像（2）作341xyx-=-的图像解：（1）()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。
MATLAB的绘图函数功能应用详解及基本属性介绍Word版
MATLAB受到控制界广泛接受的一个重要原因是因为它提供了方便的绘图功能.本章主要介绍2维图形对象的生成函数及图形控制函数的使用方法,还将简单地介绍一些图形的修饰与标注函数及操作和控制MA TLAB各种图形对象的方法.第一节图形窗口与坐标系一.图形窗口1.MA TLAB在图形窗口中绘制或输出图形,因此图形窗口就像一张绘图纸.2.在MATLAB下,每一个图形窗口有唯一的一个序号h,称为该图形窗口的句柄.MATLAB通过管理图形窗口的句柄来管理图形窗口;3.当前窗口句柄可以由MA TLAB函数gcf获得;4.在任何时刻,只有唯一的一个窗口是当前的图形窗口(活跃窗口);figure(h)----将句柄为h的窗口设置为当前窗口;5.打开图形窗口的方法有三种:1)调用绘图函数时自动打开;2)用File---New---Figure新建;3)figure命令打开,close命令关闭.在运行绘图程序前若已打开图形窗口,则绘图函数不再打开,而直接利用已打开的图形窗口;若运行程序前已存在多个图形窗口,并且没有指定哪个窗口为当前窗口时,则以最后使用过的窗口为当前窗口输出图形.6.窗口中的图形打印:用图形窗口的File菜单中的Print项.7.可以在图形窗口中设置图形对象的参数.具体方法是在图形窗口的Edit菜单中选择Properties项,打开图形对象的参数设置窗口,可以设置对象的属性.二.坐标系1.一个图形必须有其定位系统,即坐标系;2.在一个图形窗口中可以有多个坐标系,但只有一个当前的坐标系;3.每个坐标系都有唯一的标识符,即句柄值;4.当前坐标系句柄可以由MATLAB函数gca获得;5.使某个句柄标识的坐标系成为当前坐标系,可用如下函数:axes(h) h为指定坐标系句柄值.6.一些有关坐标轴的函数:1)定义坐标范围:一般MATLAB自动定义坐标范围,如用户认为设定的不合适,可用:axis([Xmin, Xmax, Ymin, Ymax]) 来重新设定;292)坐标轴控制:MA TLAB的缺省方式是在绘图时,将所在的坐标系也画出来,为隐去坐标系,可用axis off;axis on则显示坐标轴(缺省值).3)通常MATLAB的坐标系是长方形,长宽比例大约是4:3,为了得到一个正方形的坐标系可用:axis square4)坐标系横纵轴的比例是自动设置的,比例可能不一样,要得到相同比例的坐标系,可用:axis equal第二节二维图形的绘制一. plot函数plot函数是最基本的绘图函数,其基本的调用格式为:1.plot(y)------绘制向量y对应于其元素序数的二维曲线图,如果y为复数向量, 则绘制虚部对于实部的二维曲线图.例:绘制单矢量曲线图.y=[0 0.6 2.3 5 8.3 11.7 15 17.7 19.4 20];plot(y)由于y矢量有10个元素,x坐标自动定义为[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10].图形为: 1234567891024681012141618202.plot(x,y)------绘制由x,y所确定的曲线.1)x,y是两组向量,且它们的长度相等,则plot(x,y)可以直观地绘出以x为横坐标,y为纵坐标的图形.如:画正弦曲线:t=0:0.1:2*pi;y=sin(t);plot(t,y)2)当plot(x,y)中,x是向量,y是矩阵时,则绘制y矩阵中各行或列对应于30向量x的曲线.如果y阵中行的长度与x向量的长度相同,则以y的行数据作为一组绘图数据;如果y阵中列的长度与x向量的长度相同,则以y的列数据作为一组绘图数据;如果y阵中行,列均与x向量的长度相同,则以y的每列数据作为一组绘图数据.例:下面的程序可同时绘出三条曲线.MATLAB在绘制多条曲线时,会按照一定的规律自动变化每条曲线的的颜色.x=0:pi/50:2*pi;y(1,:)=sin(x);y(2,:)=0.6*sin(x);y(2,:)=0.3*sin(x);plot(x,y)或者还可以这样用:x=0:pi/50:2*pi;y=[ sin(x); 0.6*sin(x); 0.3*sin(x)];plot(x,y)01234567-1-0.6-0.4-0.20.20.40.60.813) 如果x,y是同样大小的矩阵,则plot(x,y)绘出y中各列相应于x中各列的图形.例:x(1,:)=0:pi/50:2*pi;x(2,:)=pi/4:pi/50:2*pi+pi/4;x(3,:)=pi/2:pi/50:2*pi+pi/2;y(1,:)=sin(x(1,:));y(2,:)=0.6*sin(x(2,:));y(3,:)=0.3*sin(x(3,:));plot(x,y)x=x';y=y';figure31plot(x,y)在这个例子中,x------3x101,y------3x101,所以第一个plot按列画出101条曲线,每条3个点;而x'------101x3,y'------101x3,所以第二个plot按列画出3条曲线,每条101个点.012345678-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81012345678-1-0.8-0.6-0.40.20.40.60.813.多组变量绘图:plot(x1, y1, 选项1, x2, y2, 选项2, ……)上面的plot格式中,选项是指为了区分多条画出曲线的颜色,线型及标记点而设定的曲线的属性.MA TLAB在多组变量绘图时,可将曲线以不同的颜色,不同的线型及标记点表示出来.这些选项如下表所示:各种颜色属性选项选项意义选项意义'r' 红色'm' 粉红'g' 绿色'c' 青色32'b' 兰色'w' 白色'y' 黄色'k' 黑色各种线型属性选项选项意义选项意义'-' 实线'--' 虚线':' 点线'-.' 点划线各种标记点属性选项选项意义选项意义'.' 用点号绘制各数据点'^' 用上三角绘制各数据点'+' 用'+'号绘制各数据点'v' 用下三角绘制各数据点'*' 用'*'号绘制各数据点'>' 用右三角绘制各数据点' .' 用'.'号绘制各数据点'<' 用左三角绘制各数据点's'或squar 用正方形绘制各数据点'p' 用五角星绘制各数据点'd'或diamond用菱形绘制各数据点'h' 用六角星绘制各数据点这些选项可以连在一起用,如:'-.g'表示绘制绿色的点划线,'g+'表示用绿色的'+'号绘制曲线.注意:1)表示属性的符号必须放在同一个字符串中;2)可同时指定2~3个属性;3)与先后顺序无关;4)指定的属性中,同一种属性不能有两个以上.例:t=0:0.1:2*pi;y1=sin(t);y2=cos(t);y3=sin(t).*cos(t);plot(t,y1, '-r',t,y2, ':g',t,y3, '*b')该程序还可以按下面的方式写:t=0:0.1:2*pi;y1=sin(t);y2=cos(t);y3=sin(t).*cos(t);plot(t,y1, '-r')hold onplot(t,y2, ':g')plot(t,y3, '*b')hold off注:在MA TLAB中,如画图前已有打开的图形窗口,则再画图系统将自动擦掉坐标系中已有的图形对象,但设置了hold on后,可以保持坐标系中已绘出的图形.3301234567-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81图(a)还可以进一步设置包括线的宽度(LineWidth),标记点的边缘颜色(MarkerEdgeColor),填充颜色(MarkerFaceColor)及标记点的大小(MarkerSize) 等其它绘图属性.例:设置绘图线的线型,颜色,宽度,标记点的颜色及大小.t=0:pi/20:pi;y=sin(4*t).*sin(t)/2;plot(t,y,'-bs','LineWidth',2,... %设置线的宽度为2'MarkerEdgeColor','k',... %设置标记点边缘颜色为黑色'MarkerFaceColor','y',... %设置标记点填充颜色为黄色'MarkerSize',10) %设置标记点的尺寸为10绘出图形如下:00.511.522.533.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.10.20.30.40.5344.双Y轴绘图:plotyy()函数.其调用格式为:plotyy(x1,y1,x2,y2)------绘制由x1,y1和x2,y2确定的两组曲线,其中x1,y1的坐标轴在图形窗口的左侧,x2,y2的坐标轴在图形窗口的右侧.Plotyy(x1,y1,x2,y2, 'function1','function2')------功能同上,function是指那些绘图函数如:plot,semilogx,loglog等.例如:在一个图形窗口中绘制双Y轴曲线.x=0:0.3:12;y=exp(-0.3*x).*sin(x)+0.5;plotyy(x,y,x,y,'plot','stem')图形如下:0246810120.511.50246810120.511.5stem:绘制stem形式的曲线(上端带圈的竖线).绘图结果:两条图线自动用不同的颜色区分,两个坐标的颜色与图线的颜色相对应,左边的Y轴坐标对应的是plot形式的曲线,右边的Y坐标对应的是stem形式的曲线.二.对数坐标图绘制函数:在对数坐标图的绘制中,有三种绘图函数:semilogx,semilogy和loglog函数.1)semilogx( )------绘制以X轴为对数坐标轴的对数坐标图.其调用格式为:semilogx(x,y,'属性选项')其中属性选项同plot函数.该函数只对横坐标进行对数变换,纵坐标仍为线性坐标.2)semilogy( )------绘制以Y轴为对数坐标轴的对数坐标图.其调用格式为:semilogy(x,y,'属性选项')该函数只对纵坐标进行对数变换,横坐标仍为线性坐标.353)loglog( )------ 绘制X,Y轴均为对数坐标轴的图形.其调用格式为:loglog(x,y,'属性选项')该函数分别对横,纵坐标都进行对数变换.例:x=0:0.1:6*pi;y=cos(x/3)+1/9;subplot(221), semilogx(x,y);subplot(222), semilogy(x,y);subplot(223), loglog(x,y);4)MATLAB还提供了一个实用的函数:logspace( )函数,可按对数等间距地分布来产生一个向量,其调用格式为:x=logspace(x1,x2,n)这里,x1表示向量的起点;x2表示向量的终点;n表示需要产生向量点的个数(一般可以不给出,采用默认值50).在控制系统分析中一般采用这种方法来构成频率向量w.关于它的应用后面还要讲到.三.极坐标图的绘制函数:绘极坐标图可用polar( )函数.其调用格式如下:polar(theta, rho,'属性选项')------theta:角度向量,rho:幅值向量,属性内容与plot函数基本一致.例如:极坐标模型为:3145/)/)cos((+ =θρ, ],[πθ80∈则绘出极坐标图的程序为:theta=0:0.1:8*pi;p=cos((5*theta)/4)+1/3;polar(theta,p)0.511.53021060240902701203001503301800四.绘制多个子图:subplot( )函数MATLAB允许在一个图形窗口上绘制多个子图(如对于多变量系统的输出),允许将窗口分成nxm个部分.分割图形窗口用subplot函数来实现,其调用格式为:subplot(n,m,k)或subplot(nmk)------n,m分别表示将窗口分割的行数和列数, 36k表示要画图部分的代号,表示第几个图形,nmk三个数可以连写,中间不用符号分开.例如:将窗口划分成2x2=4个部分,可以这样写:subplot(2,2,1),plot(……)subplot(2,2,2),……subplot(2,2,3),……subplot(2,2,4),……221 222223 224注:subplot函数没有画图功能,只是将窗口分割.第三节图形的修饰与标注MATLAB提供了一些特殊的函数修饰画出的图形,这些函数如下:1)坐标轴的标题:title函数其调用格式为:title('字符串')------字符串可以写中文如:title('My own plot')2)坐标轴的说明:xlabel和ylabel函数格式:xlabel('字符串')ylabel('字符串')如:xlabel('This is my X axis')ylabel('My Y axis')3)图形说明文字:text和gtext函数A.text函数:按指定位置在坐标系中写出说明文字.格式为:text(x1, y1, '字符串', '选项')x1,y1为指定点的坐标;'字符串'为要标注的文字;'选项'决定x1,y1的坐标单位,如没有选项,则x1,y1的坐标单位和图中一致;如选项为'sc',则x1,y1表示规范化窗口的相对坐标,其范围为0到1.(1,1)规范化窗口(0,0)37如:text(1,2, '正弦曲线')B.gtext函数:按照鼠标点按位置写出说明文字.格式为:gtext('字符串')当调用这个函数时,在图形窗口中出现一个随鼠标移动的大十字交叉线, 移动鼠标将十字线的交叉点移动到适当的位置,点击鼠标左键,gtext参数中的字符串就标注在该位置上.4)给图形加网格:grid函数在调用时直接写grid即可.上面的函数的应用实例:例:在图形中加注坐标轴标识和标题及在图形中的任意位置加入文本.t=0:pi/100:2*pi;y=sin(t);plot(t,y),grid,axis([0 2*pi -1 1])xlabel('0 leq itt rm leq pi','FontSize',16)ylabel('sin(t)','FontSize',20)title('正弦函数图形','FontName','隶书' ,'FontSize',20)text(pi,sin(pi),'leftarrowsin(t)=0','FontSize',16)text(3*pi/4,sin(3*pi/4),'leftarrowsin(t)=0.707', 'FontSize',16)text(5*pi/4,sin(5*pi/4),' sin(t)=-0.707rightarrow',...'FontSize',16,'HorizontalAlignment','right')画出的图形为:0246-1-0.50.510 ≤ t ≤ πsin(t)正弦函数图形←sin(t)=0←sin(t)=0.707sin(t)=-0.707→5)在图形中添加图例框:legend函数其调用格式为:A.legend('字符串1', '字符串2', ……)------以字符串1,字符串2……作38为图形标注的图例.B.legend('字符串1', '字符串2', ……, pos)------pos指定图例框显示的位置. 图例框被预定了6个显示位置:0------取最佳位置;1------右上角(缺省值);2------左上角;3------左下角;4------右下角;-1------图的右侧.例:在图形中添加图例.x=0:pi/10:2*pi;y1=sin(x);y2=0.6*sin(x);y3=0.3*sin(x);plot(x,y1,x,y2,'-o',x,y3,'-*')legend('曲线1','曲线2','曲线3')绘出图形如下:02468-1-0.50.51曲线1曲线2曲线36)用鼠标点选屏幕上的点:ginput函数格式为:[x, y, button]=ginput(n)其中:n为所选择点的个数;x,y均为向量,x为所选n个点的横坐标;y为所选n个点的纵坐标.button为n维向量,是所选n个点所对应的鼠标键的标号:1------左键;2------中键;3------右键.可用不同的鼠标键来选点,以区别所选的点.此语句可以放在绘图语句之后,它可在绘出的图形上操作,选择你所感兴趣的点,如峰值点,达到稳态值的点等,给出点的坐标,可求出系统的性能指标.39第四节MA TLAB下图形对象的修改MATLAB图形对象是指图形系统中最基本,最底层的单元,这些对象包括: 屏幕(Root),图形窗口(Figures),坐标轴(Axes),控件(Uicontrol),菜单(Uimenu), 线(Lines),块(Patches),面(Surface),图像(Images),文本(Text)等等.根据各对象的相互关系,可以构成如下所示的树状层次:RootFiguresAxes Uicontrol Uimenu Uicontextmenu (对象菜单)Images Line Patch Surface Text对各种图形对象进行修改和控制,要使用MATLAB的图形对象句柄(Handle).在MA TLAB中,每个图形对象创立时,就被赋予了唯一的标识,这个标识就是该对象的句柄.句柄的值可以是一个数,也可以是一个矢量.如每个计算机的根对象只有一个,它的句柄总是0,图形窗口的句柄总是正整数,它标识了图形窗口的序号等.利用句柄可以操纵一个已经存在的图形对象的属性,特别是对指定图形对象句柄的操作不会影响同时存在的其它图形对象,这一点是非常重要的.一.对图形对象的修改可以用下面函数:1)set函数:用于设置句柄所指的图形对象的属性.Set函数的格式为:set(句柄, 属性名1, 属性值1, 属性名2, 属性值2, ……)例:h=plot(x,y)set(h, 'Color', [1,0,0])------将句柄所指曲线的颜色设为红色.2)get函数:获取指定句柄的图形对象指定属性的当前值.格式为:get(句柄, '属性名')如: get(gca, 'Xcolor')------获得X轴的当前颜色属性值.执行后可返回X轴的当前颜色属性值[0,0,0](黑色).3)如果没有设置句柄,则可以使用下列函数获得:gcf:获得当前图形窗口的句柄;gca:获得当前坐标轴对象的句柄;gco:获得当前对象的句柄.如:A.要对图形窗口的底色进行修改,可用:set(gcf, 'Color', [1,1,1])------将图形窗口底色设为白色B.要把当前X轴的颜色改为绿色,可用:set(gca, 'Xcolor', [0,1,0])40C.还可对坐标轴的显示刻度进行定义:t=-pi:pi/20:pi;y=sin(t);plot(t,y)set(gca,'xtick',[-pi:pi/2:pi],'xticklabel',['-pi','-pi/2','0','pi/2','pi'])-pi-pi/20pi/2pi-1-0.50.51本例中用'xtick'属性设置x轴刻度的位置(从-pi~pi,间隔pi/2,共设置5个点),用'xticklabel'来指定刻度的值,由于通常习惯于用角度度量三角函数,因此重新设置['-pi','-pi/2','0','pi/2','pi']5个刻度值.二.一些常用的属性如下:1)Box属性:决定图形坐标轴是否为方框形式,选项为'on'(有方框),'off'(无方框);2)'ColorOrder'属性:设置多条曲线的颜色顺序,默认值为:[1 1 0;1 0 1;0 1 1;1 0 0;0 1 0;0 0 1]黄色粉色天蓝红色绿色兰色颜色向量还有:[1 1 1]------白色;[0 0 0]------黑色.3)坐标轴方向属性:'Xdir','Ydir','Zdir',其选项为:'normal'------正常'reverse'------反向4)坐标轴颜色和线型属性:'Xcolor','Ycolor','Zcolor'------ 轴颜色,值为颜色向量'LineWidth'------ 轴的线宽,值为数字'Xgrid','Ygrid','Zgrid'------坐标轴上是否加网格,值为'on'和'off'.5)坐标轴的标尺属性:'Xtick','Ytick','Ztick'------ 标度的位置,值为向量'Xticklabel','Yticklabel','Zticklabel'------ 轴上标度的符号,它的值为与标度位置向量同样大小(向量个数相同)的向量.5)字体设置属性:'FontAngle'------ 设置字体角度,选项为:41'normal'------ 正常;'italic'------ 斜体;'oblique'------ 倾斜;'FontName'------ 字体名称;'FontSize'------ 字号大小'FontWeight'------ 字体的轻重,选项为:'light','normal','bold'友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
19.1.3 函数的图象(3)
（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时 间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象； （2）据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再 过2小时水位高度将达到多少米？ 解： （2）y=0.05×7+10 =10.35 由此题可以看出，函数的 由函数图象也能 估出这个值！ 不同表示法之间可以转化！
通过前面的学习，函数的方法有几种？
用列表格、写式子和画图象的方法表示一些函数。 用表格表示函数的方法叫做列表法；
用式子表示函数的方法叫做解析法， 这个式子称为函数的解析式； 用图象表示函数的方法叫做图象法。
函数的三种表示方法：列表法、解的水位在最近5小时内持续上涨，下表记 录了这5小时的水位高度：
5
s 240 20t
0≤t≤12
80 6
用列表法与解析法表示n边形的内角的m（单位：度） 是边数n的函数。
用解析法与图象法表示等边三角形的周长 l 是边长a的函数。
解：（1）从图象中观察得知：自变量
X的取值范围是：0≤x≤5 （2）从图象中观察得知： 当 x = 3 时，y 有最小值，最小值 y = 2.5 （3）从图象中观察得知：y 随着 x 的增大而增大。
（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时 间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象； （2）据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再 过2小时水位高度将达到多少米？ 解： （1）y=0.05t+10 （0≤t≤5）
10.25
5 5
一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记 录了这5小时的水位高度：
经典数学函数图像(大全)
经典数学函数图像(大全)1. 一次函数图像一次函数图像是一条直线，其一般形式为 y = mx + b，其中 m是斜率，b 是 y 轴截距。
当 m > 0 时，直线向上倾斜；当 m < 0 时，直线向下倾斜。
2. 二次函数图像二次函数图像是一个抛物线，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 三角函数图像三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数图像是一条波动曲线，余弦函数图像与正弦函数图像相似，但相位差为π/2。
正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
4. 指数函数图像指数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
当 a > 1 时，曲线上升；当 0 < a < 1 时，曲线下降。
5. 对数函数图像对数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y =log_a(x)，其中 a 是底数，x 是真数。
当 a > 1 时，曲线上升；当0 < a < 1 时，曲线下降。
6. 双曲函数图像双曲函数图像包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲正弦函数和双曲余弦函数图像都是上升或下降的曲线，而双曲正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
7. 幂函数图像幂函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = x^n，其中 n 是指数。
当 n > 0 时，曲线上升；当 n < 0 时，曲线下降。
8. 反比例函数图像反比例函数图像是一条双曲线，其一般形式为 y = k/x，其中 k是常数。
当 k > 0 时，曲线位于第一和第三象限；当 k < 0 时，曲线位于第二和第四象限。
经典数学函数图像(大全)3. 反三角函数图像反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
第三章 网格作图(1)
第三章网格作图网格作图的特点：仅利用无刻度直尺，利用格点来作图，所以在网格中作图时一定要体现出过的格点．基本知识一、网格中作平行图1 图2图1中虚线线段均与线段AB平行，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段平行的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线，所以图1、图2均满足要求，即都与AB平行．二、网格中作垂直图1图1中虚线线段均与线段AB垂直，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段垂直的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线．【与平行的区别在于一个竖方向，一个横方向】三、网格中作垂直平分线在网格中垂直平分线的做法，利用垂直平分线性质逆定理，首先需要找到线段A、B两点距离相等的格点，图1中的C、D、E均满足到A、B距离相等，故连接CE（或者ED或者CD均可）．此方法也适用于在网格中作线段中点，如图2图1 图2四、网格中等分线段以作三等分为例，在下列网格中，在线段AB上找一点P，使得BP=2AP．此类作图可利用相似的性质来解决，以下示范3种作法作法一 作法二 作法三五、网格中作相似三角形请分别在图1、2中作出一个△DEF ，使得△DEF 与△ABC 相似（图1和图2中的两个三角形不全等）图1 图2 【解析】在网格图中，三角形的任意一条边均可计算出来，所以常规来说只需计算出每条边，同比放大或缩小即可！本题有个特殊角，即∠ABC =135°，所以先找到135°，该角两边同倍缩小或放大即可！（图1缩小为原来的12，即相似比为1∶2；图2似比为1例题讲解例题1、已知在下列边长为1的网格图中，用3种不同的方法作一个直角三角形，使得该直角三角形面积为8．作法一 作法二 作法三【解析】由题意可知，直角边乘积为16，若均为整数，则有1×16，2×8，4×4；若均为无理；也可以从比例去解决，下面分别以上三中思路各作一个三角形．例题2、如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．已知△ABC 中，AB ，AC BC =6．（1）请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 相似（画出一个即可，不需证明）；（2）试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．【解析】（1）先画个与△ABC 全等的三角形（如图1），再以∠B 为公共角，将∠B 的边缩小一半即可（如图1）图1 图2（2）因为ABCDNMS S ∆∆=相似比2，故只需使得相似比最大即可，我们找最长边AC格中最长边为对角线，MN=，由此ND DM AB BC =所以可计算出DNDM2中点D 即为关键点，连接DM 、DN 即可．例题3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．（1）AB 的长等于 ；（2）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA =1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．【解析】（1）AB（2）方法一：关注到S △P AB +S △PBC =S △PCA ，可得到S △PCA =12S △ABC ．如图1，找到AB 中点D ，过点D 作AC 平行线，交BC 与点E ，所以点P 必然在线段DE 上．在网格中找到一点M ，使得点C 到MB 的距离与点A 到MB 的距离之比为1∶2．如图2，点Q 为AC 三等分点，连接BO ，与线段DE 交点即为点P ．方法二：发现AC边上本身就存在点D、E使得AD:EC:DE=1∶2∶3，先作出如下图形，接着利用平行，将△ADB和△BEC面积转化．过点B作AC平行线，与l1交于点H，与l2交于点G，连接EG、DH，易证EG∥BC，DH ∥AB，所以EG与DH交点即为点P．2、请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P 向线段AB引平行线．解：如图所示，PQ即为所求．4、如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C画线段CD，使CD∥AB，D是格点，过C作AB的垂线CH，垂足为H．连结BC、AD．（1）试猜想：线段BC与线段AD的关系为；（2）请计算：四边形ABCD的面积为；（3）若线段AB的长为m，则线段CH长度为．（用含m的代数式表示）解：（1）∵AD ＝BC ==BC ∥AD 且BC ＝AD ．故答案为BC ∥AD 且BC ＝AD ；（2）S ▱ABCD ＝3×512-⨯1×212-⨯1×412-⨯1×212-⨯1×4＝15﹣1﹣2﹣1﹣2＝9．故答案为9；（3）∵AB =，S ▱ABCD ＝9m ，∴AB •CH ＝9，即CH=m 5=m ．故m ．图1 图2 图3 图47、图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角△MON ，使点N 在格点上，且∠MON =90°；（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）．图1 图2 解：（1）如图1所示：∠MON ＝90°；图1 图2 图3（2）如图2、3所示．10、如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =217，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，所以只需连接一对角线就行）解：由勾股定理得，AB 224117=+=，所以，AP 2173=时AP ∶BP ＝2∶1．点P 如图所示．11、如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置； （2）点M 的坐标为 ；（3）判断点D （5，—2）与OM 的位置关系． （3）判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．解：（1）如图1，点M 就是要找的圆心；（2）圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM 2224=+=25．线段MD 22(52)213=-+=＜25，所以点D 在⊙M 内．12、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，以点0为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：①OD的半径为（结果保留根号）；②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：（2）①在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，根据勾股定理得：AD==则⊙D的半径为②AC==CD＝AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．扇形ADC的弧长==，圆锥的底面的半径=；③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF＝2，EF＝1，根据勾股定理得：CE==在△CDE中，CD＝CE=DE＝5，∵CE2+CD2＝（）2+（2＝5+20＝25，DE2＝25，∴CE2+CD2＝DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE＝90°，则CE与圆D相一、构造直角例题1、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A= ．【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝BC＝，AD ＝ABC 是等腰三角形，由面积相等可得，12BC •AD 12=AB •CE ， 即CE 5==，sinA 35CE AC ===，故答案为35．【总结】由于格点三角形各边都可求，所以利用解直角三角形即可求出各个内角的三角函数值．二、角度转换例题2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．思路一：构造直角连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan ∠APD =tan ∠BPF =BFPF，设小正，可得BF =1，CD =2，由△ACP ∽△BDP ，且相似比为3∶1可得PCDP=3， ∴PC CD =34，∴PC =33242⨯=，∴PF =PC —CF =12， ∴tan ∠BPF 1=212=．思路二∶角度转换连接BE ，可知BE ∥CD ，∴∠APD =∠BPF =∠ABE ，连接AE ，AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，tan ∠ABE =2AEBE=．例题3、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于【答案】3 【解析】转化思路一：到格点三角形内，再用例题1的方法（此方法构造情况较多，解法较暴力，在此不一一列举，以下给出三种转化法）转化思路二：思路一的情况下，存在转化出的格点三角形恰好为直角三角形，这类方法最巧妙，但需要学生有较强的观察能力！直角构造思路三：通过连接某些辅助线，构造出直角后直接在直角三角形内求解．2、如图，在4x 5的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ABC = ；sin ∠ACB = ．【解析】找到与A 构成小正方形对角线的格点D 、E ，连接CD ，AE ，EB ，AC 与EB 交于点F ．由网格特点和正方形的性质可知，∠BAE ＝90°，根据勾股定理得，AE =AB ＝，DB ，DC BE ===，则tan ∠ABC 3DCDB==，又BE ⊥AC ，易得△AEF ∽△BAF ，故13AE EF AF AB AF BF ===，∴19EF BF =，∴BF =910⨯sin ∠ACB=BF BC ===，故答案为3．3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则APPB的值＝ ，tan ∠APD 的值＝ ．【解析】∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ，∴AP ACPB DB==3， 连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF ＝CF 12=CD ，BF 12=BE ，CD ＝BE ，BE ⊥CD ，∴BF ＝CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP ＝BD ：AC ＝1：3，∴DP ：DF ＝1：2，∴DP ＝PF 12=CF 12=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF BF PF ==2，∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2，故答案为3，2．5、如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．【解析】如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE =，EB ＝2a ，∴∠AEC ＝90°，∵∠ACE ＝∠ACG ＝∠BCG ＝60°， ∴E 、C 、B 共线，在Rt △AEB 中，tan ∠ABC AE BE ===6、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为 ．【解析】如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO 12=BD ，CO 12=AC ，由勾股定理得，AC ==，BD ==BO 122==，CO 12=⨯2=tan ∠DBC CO BO ===3．故案为3．7、如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．图1 图2 图3 图4 （一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，连接AD ，则∠ADO ＝90°，BO ＝2DO ，AD =BO 23=tan ∠AOD ＝ ．如图2，当AB ＝3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH 32=BO ＝ ，tan ∠AOD ＝ ．如图3，当AB ＝4时，tan ∠AOD ＝ ．（2）猜想：当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD ＝ ．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O，若tan ∠COE 1713=，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比． 解∶（一）探索发现（1）如图1，当AB ＝2时，∵BO ＝2DO ，BO 23=∴OD =又∵∠ADO ＝90°，AD =tan ∠AOD 3ADOD===3，即tan ∠AOD ＝3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ．∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF ＝CF ＝BF 12=BD 12=CE ，BD ⊥CE ．根据题意得∶AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ， ∴DO ∶BO ＝CD ∶AB ．当AB ＝3时，DO ∶BO ＝1∶3，∴BO 4=．∵S △ABD 12=BD •AH 12=AB •ED ，∴BD •AH ＝AB •ED ，∴AH 2AB ED BD ⋅===，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶3，∴DO ∶DF ＝1∶2，∴OF ∶DF ＝1∶2，即OF ∶CF ＝1∶2．在Rt △OCF 中，tan ∠COF CFOF==2，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD ＝2；如图3，当AB ＝4时，DO ∶BO ＝CD ∶AB ＝1∶4，∴DO ∶DF ＝1∶2．5＝2∶5，∴OF ∶DF ＝3∶5，即OF ∶CF ＝3∶5．在Rt △OCF 中，tan ∠COF 53CF OF ==，∵∠AOD ＝∠COF ，∴tan ∠AOD 53=；故答案是32；53；（2）猜想∶当AB ＝n （n ＞0）时，tan ∠AOD 11n n +=-（结果用含n 的代数式表示）． 证明∶过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH ＝BH 2=n ．∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ， ∴1OB AB nOD CD ==，∴OB 1n =+．∴OH ＝BH ﹣OB 2=n 1n -+．∴tan ∠AOD 11AHn HDn +===-；故答案是11n n +-； （二）解决问题（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOHDHHO=．∵∠DOH＝∠COE，∴tan∠DOH1713=，又由（一）结论得：117113nn+=-，∴n152=，∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为152．图1 图2 图3 图4。
正比例函数的图象(1) 教学 北师大版八年级数学上册
第1课时 正比例函数的图象
学习目标
பைடு நூலகம்
1.经历正比例函数图象的画图过程，初步了解画函
数图象的一般步骤；
2.通过对函数图象的观察与比较，归纳出正比例函
数中k对函数增减性的影响.
探究新知
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数
函数的
值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐
图象
标系内描出相应的点，所有这些点组成的图
一个增加得更快？
y
4
3
2
1
y=3x
y=x
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
y=- x
-3
-4 y=-4x
函数y=3x中，x从0增加到1，y值增加3；
函数y=x中，x从0增加到1 ，y值增加1.
k>0时，k越大，直线越陡，
相应的函数值上升越快.
1
2
正比例函数y=-4x和y=- x中，随着x的增大，y值都减小了，其中哪一
所以|n|-8=1，即n=±9.
又因为图象经过第一、第三象限，
所以n-1＞0，即n＞1.
所以n=9.
即函数的关系式为y=8x.
4.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时， y=2.
求： (1) y与x之间的函数关系式；
(2) 当x=-1时，y的值.
解：(1) 因为y+5与3x+4成正比例，
所以y+5=k（3x+4 ）.
怎样画出下列正比例函数的图象？
(1) y＝2x；
(2) y＝－2x.
解：(1)列表：
x
…
-3
函数关系折线图象的复习进阶
于数学图象在数与代数、图形与几何、统计与概率等领域有广泛的应用，因此图象分析题成为小学数学学业水平质量监测的常见题型。
其中，指向函数关系的折线图象是图象分析题的重要类型，也是小学毕业专题复习的难点内容。
函数关系折线图象分析题，是紧密联系学生生活、知识整合度高、信息多元化的综合性问题解决的一类题型。
问题解决评价指标主要指向信息获取与梳理、关系分析与表征两个维度，包括解读图象获取数学信息、选择有效信息，理解图象中数学信息之间的联系提出数学问题，能基于图象将正比例关系加以分析和表达。
问题情境一般有生活情境和数学情境两类，生活情境主要包括行程问题、工程问题和容器注水问题等，数学情境主要包括平面图形匀速运动涉及的面积问题等。
尽管函数关系折线图象问题的素材不一，表现形式也多变，但都以正比例函数关系为基础。
实际教学显示，学生学习函数关系折线图象时主要存在三方面的困难：一是对正比例函数图象的倾斜度含义不清晰，影响对线和点的认识；二是无法分析具体情境中特殊点的位置变化和数量关系；三是在多个图象之间的内部联系和不同类别的图象表征转换方面存在困难。
相应地，专项复习进阶可以划分为三阶：读懂图象中的基本信息和问题，梳理相关问题的核心元素，明确图象中线和点的实际含义，能关注线的倾斜程度以及数量关系；能寻找图象中的特殊点，如起点、交点、转折点、终点、对应点，根据点的运动路线和位置变化分析相关数量关系；能读懂各种图象之间的内在联系，结合各类实际情境，综合运用各种数量关系解决问题。
根据学情，这类内容的专项复习建议用2~3课时完成。
函数关系折线图象研究的是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
其表现形式类似于折线统计图，但其本质是一段一段正比例函数图象的组合体。
图象中的每一段都对应相应的数量关系，具体到图象就是每一段图象的倾斜度。
因此，理解正比例函数图象的倾斜度是学生理解图象分析题目的关键之一。
（一）单幅正比例函数图象的倾斜度。
常用函数作图画板
2.5 类，方法，属性的功能描述 2.5.1 抛物线画法类 Parabola Parabola 类成员方法 : draw() 画抛物线； setA()设置 A； getA()得到 A；setB() 设置 B； getB()得到 B； setC（)设置 C； getC()得到 C； setP()设置 P； getP() 得到 P； 点击相应的按钮显示参数面板输入参数点击 Draw 按钮获取参数构造 Shape将 该 Shape 对象加入画布 Canvas 对象中的成员 LinkedList<Shape>调用画布对象的 repaint（）方法重画。
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NO.5
图 2 主程序界面
在程序主界面是使用 JFrame 来作为主窗口。在主窗口中，定义了一个继承 JPanel 的子类 MainPanel.java 来作为主窗口 JFrame 的 ContenPane。MainPanel 使用了 BorderLayout()的布局，在 CENTER 中是画板，在 WEST 中是工具面板（ToolBox.java）， 在 SOUTH 中是属性面板（AttributePanel.java）。
setC()设置 C;setD()设置 D ; getA()得到 A;getB()得到 B； getC()得到 C;getD()得到 D ;
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新建画图板 选择所要画的函数
输入参数
N 取用默认值
是还对线条 进行设置
Y 取用输入值
NO.4
将用户输入的数据 进行保存
显示用户所要画的 图象
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常用函数作图画板
1.课程设计目的
考研数学函数图像大全 (最新完整版)
y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e 的值(1)e 的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx 等价于xtanx 等价于xarctanx 等价于x1-cosx 等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性(2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$$cos(pi/2+a)=-sin(a)$$sin(pi-a)=sin(a)$$cos(pi-a)=-cos(a)$$sin(pi+a)=-sin(a)$$cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的 )$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中$tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中$tan(c)=a/b$ $1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2和角公式3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.2半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式。
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②描点
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13.函数关系式___________________
①列表：
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③连线
15.函数关系式___________________
①列表：
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14.函数关系式___________________
①列表：
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16.函数关系式___________________
①列表：
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函数画图网格
班级：姓名：
1．函数关系式___________________
①列表：
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3．函数关系式___________________
①列表：
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2．函数关系式___________________
①列表：
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4．函数关系式___________________
①列表：
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9.函数关系式___________________
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11.函数关系式___________________
①列表：
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10.函数关系式___________________
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12.函数关系式___________________
①列表：
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5.函数关系式___________________
①列表：
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7.函数关系式___________________
①列表：
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6.函数关系式___________________
①列表：
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8.函数关系式___________________