用的----------------极直互化
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2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
知识回顾 正弦、余弦、正切的三角函数值 θ
sinθ
cosθ tanθ
0 0
6 1 2
3 2
4
2 2 2 2
3
3 2
2
2 3
3 2
3 4
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1
0
5 6 1 2
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3
1 2 3 2 2 2
3
1
0
3 3
1
不存在
1
2
2 1.在极坐标系中，已知点A(5, ), B(6, ), 3 3 则 AB
提示：把点的极坐标转化为直角坐标,再求解.
5 5 3 A(5, ) A( , ) 3 2 2
2 B(6, ) B( 3, 3 3) 3
AB 31.
另解：
2.已知点B和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15),求它们的 极坐标.(>0,0≤<2π) 3 7 B(2 2, ) C (15, ) 4 2 3. 在极坐标系中,已知两点A(6,π/6)和B(6,2π/3). 求线 5 段AB中点的极坐标. (3 2, ) 12 提示：法1: 直接画图求解(数形结合) 法2: 把点的极坐标转化为直角坐标,再求解. 略解: 据极坐标与直角坐标的互化公式,得: x 6 cos 3 3, y 6 sin 3, A(3 3, 3). 6 6 2 2 B( 3, 3 3).
极坐标与直角坐标的互化公式
x cos，y sin
y x y ， ( x 0) tan x
2 2 2
P12 习题1.2 3; 4; 5.
四、师生共同小结
1. 建立一个极坐标系需要哪些要素.
极点; 极轴; 长度单位; 角度单位和它的正方向. 2. 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数;极角有无数个. 3. 一点的极坐标有否统一的表达式?
6 将极坐标A化为直角坐标A( 3 ,1)
2 2
)为圆心，以2为半径的圆
整理得： 3 ) ( y 1) 4，表示圆 (x
由 3 cos sin 8 0 化直角坐标方程：3 x y 8 0, 表示直线 3 1 所给极坐标方程分别表示圆与直线， 它们的位置关系是相切。 圆心到直线距离：d 3 1 8 2
1三角函数定义
sinθ= y／r cosθ= x／r tanθ= y／x cotθ= x／y secθ=r／x cscθ=r／y
A(x,y) y r θ
o
x
2思考：
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么， 这两种坐标之间有什么关系呢？
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作 为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y）， 极坐标是（，）。从图 — 14可以得出他们之 1 间的关系： y
有. (, 2kπ+)
在极坐标下，任意两点P1 ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 之间的距离可总结如下： P1 P2 1 2 1 2 cos(1 2 )
2 2 2
此式可直接利用余弦定理得证。
2 5、在极坐标系中，已知点A(5, ), B(6, ), 3 3 则 AB
M
0
y
N
x
x
2、极坐标和直角坐标的互化
二 新知探究 极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin
y x y ， ( x 0) tan x
2 2 2
①
②
y
M
0
y
N
x
x
三 知识应用
2 例1：将点M的极坐标（ ， ）化成直角坐标。 5 3
知识回顾 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做 极点 引一条射线OX，叫做 极轴 。
。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 。 （通常取 逆时针 方向）。
O 这样就建立了一个 极坐标系 。
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二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表
OM 示线段 的长度，用 表示从
y x( y 0). 5. 极坐标方程 sin 2 cos 所表示的曲线是
解:将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状， 给定的 不恒等于零,
用同乘方程的两边,得: 2＝ sin 2 cos ,
4
x
4
x
化成直角坐标方程为: x y y 2 x ,
3 3
6、已知点A( 1 , 1 ), B ( 2 , 2 )的极坐标满 足条件1＋ 2＝0且1＋ 2＝，则A与B 的位置关系是什么？
解： 1＋ 2＝0， 1＝－ 2 即A( 1 ,1 ), B( 1 , 2 ) B( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) 又 2 1 , B的极坐标为( 1 , 2 ) ( 1 ,2 1 ) 即B( 1 ,1 ), A, B两点关于极轴对称
4
7.(10广东卷文)在极坐标系(, ) (0≤<2π)中,曲线 (cos+sin)=1与 (sin- cos)=1的交点的极坐标 为 . 解: 转化为直角坐标系下x+y=1与y-x=1的交点, 可知交点为:(0,1),
该点在极坐标系下表示为: (1, ). 2
7 8.在极坐标系中，若点A(3, ), B( 4, ), 3 6 则AOB的面积是多少？（O为极点）
6
)
表示以A(5, )为圆心，以5为半径的圆 6 与曲线C关于极轴对称，所以曲线C 表示以A(5, )为圆心，以5为半径的圆， 6 极坐标方程为＝10 cos( ) 6
课堂小结
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
解：根据题意得a cos b s in 1 化为平面直角坐标系为ax by 1 0 圆＝2c cos是以A(c,0)为圆心，以c 为半径的圆，A化为直角坐标为A(c,0) ac 1 a b
2 2
直线与圆相切，则圆心到直线的距离等 于半径即d c
化简得(bc) 2 2ac 1 0
x 6cos
据中点公式,得AB中点的直角坐标为: ( 3 3 3 , 3 3 3 ) 2 2 2 2 x y 3 2, tan y x
3
3, y 6sin
3
3 3,
3 4. 的直角坐标方程是 4 3 y 3 y , 解 : , tan , tan
4 7、把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
解：方程可化为2 － cos 4 即2 ＝4＋x 两边平方得： ＝( x 4) 4
2 2
4 x 4 y x 8 x 16
2 2 2
3x 8 x 4 y 16
2 2
1 8、直线＝ 与圆 2c cos a cos b sin 相切的条件是 __________ _________
OX到OM 的角度， 叫做点M的 ， 叫 极径 做点M的 ，有序数对极角就叫
M
做M的极坐标。 （，）
O X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
O
M
(ρ,θ)… X
[2]给定平面上一点M，但却有
极角有无数个 无数个极坐标与之对应。原因在于： 。
[3]极坐标 ( , ) 与 ( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点 一一对应 和极坐标就可以 了.
一 复习回顾
10、已知曲线C与曲线＝5 3 cos 5 sin 关 于极轴对称，则曲线C的方程是
( B )
A、 10 cos( ), B、 10 cos( ) 6 6 C、 10 cos(
6
), D、 10 cos(
6
)
解：将曲线 5 3 cos 5 sin 化为 3 1 10 ( cos sin ) 2 2 由三角公式得＝10 cos(
2 2 5 3 解：x 5 cos ，y 5 sin 3 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（ ， ）。 2 2
例2：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
解： （ 3） 1 3 1 2， （ ）
2 2
1 1 3 tan 。 3 3 3 7 因为点M在第三象限，所以 。 6 7 因此，点M的极坐标为（2， ）。 6
解： OA与OB夹角为 , 6 1 SAOB OA OB sin 2 6 1 1 3 4 3 2 2
A
B O
x
9.在极轴上求与点A(4 2, )距离为5的点M 4 解：设M ( r , 0) 的极坐标。
解：设M ( r , 0), A(4 2, ), (4 2)2 r ：设M ( r , 解：设M ( r , 0) 0) 4 2 22 A(4 2, ) (42 2) 82r 82 r0解得r 1或 即r r 2 cos 2 r 8 2r cos 7 5 4 5 (4 2, ) A(4 42, ) (4 2) r 8 2r cos 5 (4 2) 42 4 4 M点的坐标为(1, 0)或(7, 0 4 即r 82r 7 0解得r 1或r 7 8r 7 即0解得r 7 或0解得r 1或r 7 r 8r 1 r 7 M点的坐标为(1, 0)或(7, 0) 点的坐标为(1, 0)或(7, 0) (1, 0)或(7, 0) M点的坐标为
3 3. 的直角坐标方程是 4
解：根据极坐标的定义 y 3 y tan tan x 4 x 即y x( y 0)
4极坐标方程 sin 2 cos所表示的 曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断 曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同 乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos 化成直角坐标方程为x 2 y 2 y 2 x 1 2 5 1 即( x 1) ( y ) 这是以点(1, )为圆心， 2 4 2 5 半径为 的圆。 2
9、确定极坐标方程 4 sin( )与 3 3 cos sin 8 0所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin(
) 4 cos[ ( )] 3 2 3
4 cos( ) 4 cos( ) 6 6 即表示以A( 2,
2 2
1 5 这是以点(1, )为圆心，半径为 的圆。 2 2
1 2 5 配方,得: ( x 1) ( y ) , 2 4
2
6.(10广东卷理)在极坐标系(, ) (0≤<2π)中,曲 线 =2sin与cos=-1的交点的极坐标为______ x cos 解:由极坐标与直角坐标的互化公式 知, y sin 这两条曲线的普通方程分别为: x2+y2=2y, x=-1, 3 解得: x=-1, y=1, ∴交点(-1,1)的极坐标为: ( 2, ).
x=ρcosθ, y=ρsinθ
知识回顾 正弦、余弦、正切的三角函数值 θ
sinθ
cosθ tanθ
0 0
6 1 2
3 2
4
2 2 2 2
3
3 2
2
2 3
3 2
3 4
2 2
1
0
5 6 1 2
0
1
0
1 2
3
1 2 3 2 2 2
3
1
0
3 3
1
不存在
1
2
2 1.在极坐标系中，已知点A(5, ), B(6, ), 3 3 则 AB
提示：把点的极坐标转化为直角坐标,再求解.
5 5 3 A(5, ) A( , ) 3 2 2
2 B(6, ) B( 3, 3 3) 3
AB 31.
另解：
2.已知点B和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15),求它们的 极坐标.(>0,0≤<2π) 3 7 B(2 2, ) C (15, ) 4 2 3. 在极坐标系中,已知两点A(6,π/6)和B(6,2π/3). 求线 5 段AB中点的极坐标. (3 2, ) 12 提示：法1: 直接画图求解(数形结合) 法2: 把点的极坐标转化为直角坐标,再求解. 略解: 据极坐标与直角坐标的互化公式,得: x 6 cos 3 3, y 6 sin 3, A(3 3, 3). 6 6 2 2 B( 3, 3 3).
极坐标与直角坐标的互化公式
x cos，y sin
y x y ， ( x 0) tan x
2 2 2
P12 习题1.2 3; 4; 5.
四、师生共同小结
1. 建立一个极坐标系需要哪些要素.
极点; 极轴; 长度单位; 角度单位和它的正方向. 2. 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数;极角有无数个. 3. 一点的极坐标有否统一的表达式?
6 将极坐标A化为直角坐标A( 3 ,1)
2 2
)为圆心，以2为半径的圆
整理得： 3 ) ( y 1) 4，表示圆 (x
由 3 cos sin 8 0 化直角坐标方程：3 x y 8 0, 表示直线 3 1 所给极坐标方程分别表示圆与直线， 它们的位置关系是相切。 圆心到直线距离：d 3 1 8 2
1三角函数定义
sinθ= y／r cosθ= x／r tanθ= y／x cotθ= x／y secθ=r／x cscθ=r／y
A(x,y) y r θ
o
x
2思考：
平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示，那么， 这两种坐标之间有什么关系呢？
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作 为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y）， 极坐标是（，）。从图 — 14可以得出他们之 1 间的关系： y
有. (, 2kπ+)
在极坐标下，任意两点P1 ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 之间的距离可总结如下： P1 P2 1 2 1 2 cos(1 2 )
2 2 2
此式可直接利用余弦定理得证。
2 5、在极坐标系中，已知点A(5, ), B(6, ), 3 3 则 AB
M
0
y
N
x
x
2、极坐标和直角坐标的互化
二 新知探究 极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin
y x y ， ( x 0) tan x
2 2 2
①
②
y
M
0
y
N
x
x
三 知识应用
2 例1：将点M的极坐标（ ， ）化成直角坐标。 5 3
知识回顾 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做 极点 引一条射线OX，叫做 极轴 。
。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 。 （通常取 逆时针 方向）。
O 这样就建立了一个 极坐标系 。
XΒιβλιοθήκη Baidu
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表
OM 示线段 的长度，用 表示从
y x( y 0). 5. 极坐标方程 sin 2 cos 所表示的曲线是
解:将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状， 给定的 不恒等于零,
用同乘方程的两边,得: 2＝ sin 2 cos ,
4
x
4
x
化成直角坐标方程为: x y y 2 x ,
3 3
6、已知点A( 1 , 1 ), B ( 2 , 2 )的极坐标满 足条件1＋ 2＝0且1＋ 2＝，则A与B 的位置关系是什么？
解： 1＋ 2＝0， 1＝－ 2 即A( 1 ,1 ), B( 1 , 2 ) B( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) 又 2 1 , B的极坐标为( 1 , 2 ) ( 1 ,2 1 ) 即B( 1 ,1 ), A, B两点关于极轴对称
4
7.(10广东卷文)在极坐标系(, ) (0≤<2π)中,曲线 (cos+sin)=1与 (sin- cos)=1的交点的极坐标 为 . 解: 转化为直角坐标系下x+y=1与y-x=1的交点, 可知交点为:(0,1),
该点在极坐标系下表示为: (1, ). 2
7 8.在极坐标系中，若点A(3, ), B( 4, ), 3 6 则AOB的面积是多少？（O为极点）
6
)
表示以A(5, )为圆心，以5为半径的圆 6 与曲线C关于极轴对称，所以曲线C 表示以A(5, )为圆心，以5为半径的圆， 6 极坐标方程为＝10 cos( ) 6
课堂小结
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
解：根据题意得a cos b s in 1 化为平面直角坐标系为ax by 1 0 圆＝2c cos是以A(c,0)为圆心，以c 为半径的圆，A化为直角坐标为A(c,0) ac 1 a b
2 2
直线与圆相切，则圆心到直线的距离等 于半径即d c
化简得(bc) 2 2ac 1 0
x 6cos
据中点公式,得AB中点的直角坐标为: ( 3 3 3 , 3 3 3 ) 2 2 2 2 x y 3 2, tan y x
3
3, y 6sin
3
3 3,
3 4. 的直角坐标方程是 4 3 y 3 y , 解 : , tan , tan
4 7、把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
解：方程可化为2 － cos 4 即2 ＝4＋x 两边平方得： ＝( x 4) 4
2 2
4 x 4 y x 8 x 16
2 2 2
3x 8 x 4 y 16
2 2
1 8、直线＝ 与圆 2c cos a cos b sin 相切的条件是 __________ _________
OX到OM 的角度， 叫做点M的 ， 叫 极径 做点M的 ，有序数对极角就叫
M
做M的极坐标。 （，）
O X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
O
M
(ρ,θ)… X
[2]给定平面上一点M，但却有
极角有无数个 无数个极坐标与之对应。原因在于： 。
[3]极坐标 ( , ) 与 ( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点 一一对应 和极坐标就可以 了.
一 复习回顾
10、已知曲线C与曲线＝5 3 cos 5 sin 关 于极轴对称，则曲线C的方程是
( B )
A、 10 cos( ), B、 10 cos( ) 6 6 C、 10 cos(
6
), D、 10 cos(
6
)
解：将曲线 5 3 cos 5 sin 化为 3 1 10 ( cos sin ) 2 2 由三角公式得＝10 cos(
2 2 5 3 解：x 5 cos ，y 5 sin 3 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（ ， ）。 2 2
例2：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
解： （ 3） 1 3 1 2， （ ）
2 2
1 1 3 tan 。 3 3 3 7 因为点M在第三象限，所以 。 6 7 因此，点M的极坐标为（2， ）。 6
解： OA与OB夹角为 , 6 1 SAOB OA OB sin 2 6 1 1 3 4 3 2 2
A
B O
x
9.在极轴上求与点A(4 2, )距离为5的点M 4 解：设M ( r , 0) 的极坐标。
解：设M ( r , 0), A(4 2, ), (4 2)2 r ：设M ( r , 解：设M ( r , 0) 0) 4 2 22 A(4 2, ) (42 2) 82r 82 r0解得r 1或 即r r 2 cos 2 r 8 2r cos 7 5 4 5 (4 2, ) A(4 42, ) (4 2) r 8 2r cos 5 (4 2) 42 4 4 M点的坐标为(1, 0)或(7, 0 4 即r 82r 7 0解得r 1或r 7 8r 7 即0解得r 7 或0解得r 1或r 7 r 8r 1 r 7 M点的坐标为(1, 0)或(7, 0) 点的坐标为(1, 0)或(7, 0) (1, 0)或(7, 0) M点的坐标为
3 3. 的直角坐标方程是 4
解：根据极坐标的定义 y 3 y tan tan x 4 x 即y x( y 0)
4极坐标方程 sin 2 cos所表示的 曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断 曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同 乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos 化成直角坐标方程为x 2 y 2 y 2 x 1 2 5 1 即( x 1) ( y ) 这是以点(1, )为圆心， 2 4 2 5 半径为 的圆。 2
9、确定极坐标方程 4 sin( )与 3 3 cos sin 8 0所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin(
) 4 cos[ ( )] 3 2 3
4 cos( ) 4 cos( ) 6 6 即表示以A( 2,
2 2
1 5 这是以点(1, )为圆心，半径为 的圆。 2 2
1 2 5 配方,得: ( x 1) ( y ) , 2 4
2
6.(10广东卷理)在极坐标系(, ) (0≤<2π)中,曲 线 =2sin与cos=-1的交点的极坐标为______ x cos 解:由极坐标与直角坐标的互化公式 知, y sin 这两条曲线的普通方程分别为: x2+y2=2y, x=-1, 3 解得: x=-1, y=1, ∴交点(-1,1)的极坐标为: ( 2, ).