人教版九年级数学下册 第28章28.1---28.2练习题含答案 不全
人教版九年级数学下册 第28章28.1--28.2 基础达标检测题(含答案)
人教版九年级数学下册28.1一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.432．在直角三角形ABC 中，若各边的长都扩大到原来的5倍，则∠A 的正弦值( ) A ．扩大到原来的5倍 B ．缩小到原来的15C ．不变D ．不能确定3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sinB 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列表示正确的是( ) A ．sin A ＝1213 B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1255．在正方形网格中，△ABC 的位置如图，则sin B 的值为( ) A ．12B ．22C ．32 D ．336．如图，CD 是Rt △ABC 的高，∠ACB ＝90°，下列用线段比表示sin α的值，错误的是( )A ．CD BCB ．AC ABC ．AD AC D ．CD AC7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝( )A ．4B ．6C ．8D ．108．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.1259. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( ) A.43 B.34 C.35 D.4510. 如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝( ) A.12 B.34 C.45 D.35二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠α＝_____.12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝4，AC ＝6，则sinB 的值是_______. 13．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为_____.14．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为______.15．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝_____.16. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C＝．17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A=_______，sin B=_________．18. 如图，则图中∠A的正弦值分别是___________、__________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，⊙O的半径为3，弦AB的长为4.求sinA的值．20．(6分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝14，BC ＝2，求AC ，AB 的长．21．(6分)如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．22．(6分) 如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，求sinB 的值．23．(6分) 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求sinA 的值．24.(8分)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于D ，连接BE.设∠BEC ＝α，求sinα的值．25．(8分) 如图，CD 是Rt △ABC 的高，∠ACB ＝90°，BC ＝10，sin ∠DCA ＝25，求CD 的长．参考答案：1-5ACBAB 6-10DDBDD 11. 32 12. 34 13. 24 14. 25 15. 55 16. 25 5 17. 35，45 18. 33434，25519. 解：过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则有AC ＝BC ， ∵AB ＝4，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝32－22＝5， ∴sinA ＝OC OA ＝5320. 解：∵sinA ＝14，∴BC AB ＝14，∴AB ＝4BC ＝4×2＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝82－22＝215 21. 解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°， 在Rt △AED 中，sinA ＝DEAD ，即35＝DE10，解得DE ＝6 cm ， ∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)22. 解：作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝90°， ∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝180°－∠BAC ＝60°， 在Rt △ADC 中，AC ＝2，∴AD ＝1，CD ＝3，∴BD ＝5， 在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝27， ∴sinB ＝CD BC ＝327＝211423. 解：作AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，由勾股定理得AB ＝AC ＝25，BC ＝22，AD ＝32， 由BC·AD ＝AB·CE ，得CE ＝22×3225＝655，∴sinA ＝CE AC ＝65525＝3524. 解：连接BC ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝6，∵OD ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝12AC ＝4，在Rt △BCE 中，BE ＝BC 2＋CE 2＝213， ∴sin α＝BC BE ＝6213＝3131325. 解：∵CD 是Rt △ABC 的高，∠ACB ＝90°， ∴∠DCA ＋∠A ＝90°， ∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝∠DCA.∵sin ∠DCA ＝25，∴sin B ＝25，∴CD BC ＝25. ∵BC ＝10，∴CD ＝4.28.2.1解直角三角形一、基础训练1．在R t △ABC 中，∠C =900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，那么（1）三边之间的关系为 ；（2）锐角之间的关系为 ； （3）边角之间的关系为 ． 2．填空：在Rt △ABC 中，∠C =90°，（1）已知a=4，b=8，则c= ， （2）已知b=10，∠B =60°，则a= ，c= ． （3）已知c=20，∠A =60°，则a= ，b= ．3．已知等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，则sin B = ,cos B = ,tan C = ．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，a=3 2 ,b=3 6 ，则∠A = °，边c= ．二、典型例题例1．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C =90°： （1） 已知c=20，∠A =45°； （2） 已知a+c=12，∠B =60° 分析 利用三角函数进行计算．例2．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察点与第一次观察点的距离是多少米？分析 利用30°、45°的正切进行计算，再相减即可．三、拓展提升某省计划将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析 过C 作AB 的垂线，垂足为D ，计算出CD 的长，如果 CD >0.7km ，则不会穿过公园，如果CD <0.7km ，则穿过公园．四、课后作业1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c= ． 2．在Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，b=310，则a= ，c= ．CAB3．已知在直角梯形ABCD 中，上底CD =4，下底AB =10，非直角腰BC =34，则底角∠B = ． 4．若∠A 是锐角，且cos A =53，则cos （900—A ）= ． 5．在△ABC 中，∠C=90°，（1）已知∠A =30°，BC =8cm ，求AB 与AC 的长；（2）已知∠A =60°，AC =3cm ，求AB 与BC 的长．6．设直线y=3x -3与x 轴所成的锐角为α，试求锐角α．7.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积．8．如图，在△ABC 中，∠C =90︒，∠BAC =30︒，延长CA 至D ，使AD =AB ，试由图求tan15︒的值．DC BA 第8题答案一、基础训练1. (1)a 2 + b 2 =c 2 (2)∠A + ∠B=90°(3) sinA=cosB= a c cosA=sinB=b c tanA=a b tanB=ba2.(1) 4 5 (2)103 3 203 3 (3) 10 3 103. sinB=1213 cosB=513 tanC= 125 4. 30°6 2 二、典型例题例1 (1)∠B=45° a=b=10 2 (2) ∠C=30°a=4 b=4 3 c=8 例2 5 3 - 5 三、拓展提升点C 到AB 的距离约为0．8082km >0．7km ，所以不会穿过公园. 四、课后作业 1.a sinA 2. a=10 c=20 3.30° 4. 455. (1)AB=8 3 AC=16 (2) AB=2 3 AC=36. 60°7.面积为98 3 -1478. 2 - 3。
人教版数学九年级下册28.1---28.2分节考点测试题含答案不全
《28.1锐角三角函数》一、选择题1．cos30°的相反数是( )A. －12 B. －√33 C. －√32 D. －√22 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果sinA=12，那么sinB 的值是（ ） A.32 B. 12C. 2D. 22 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin ∠BFD 的值为( )A. 13B.2√23C. √24D. 354.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于D ，下列式子正确的是( )A. sinA =BDBC B. cosA =ACAD C. cotA =ADBC D. tanA =CDAB5. 如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A ,B ,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是 ( )A. 2B. 2√55C. √55D. 126. 如图,已知☉O 的半径为1,锐角三角形ABC 内接于☉O ,BD ⊥AC 于点D ,OM ⊥AB 于点M ,则sin ∠CBD 的值等于( )A. OM 长B. 2OM 长C. CD 长D. 2CD 长 7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为( )A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ＝2，BC ＝1，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为5，AC =8.则cosB 的值是( )A. 43 B. 35 C. 34 D. 45 二、填空题10．计算：°+tan60°•tan30°﹣cos60°=_____．11．在锐角△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋1cos 2B ⎛⎫-⎪⎝⎭＝0，那么∠C ＝________．12.如图，正方形ABCD 的边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD中点，BP 与半圆交于点Q ，连结DQ ，给出如下结论：①DQ =1；②PQ BQ =32；③S △PDQ =18；④cos ∠ADQ =35，其中正确结论是______(填写序号)13.如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA = ______ ．14．若α为锐角，且cos α＝1－3m2，则m 的取值范围是_______________.15. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则tan ∠BOD 的值等于____.三、计算题16．计算12+|3-2|-2tan60°+（13）-1．17. 已知：sin α＋cos α＝m ，sin α·cos α＝n.试确定m 、n 之间的关系．三、解答题18.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,1)和点B(3,0)．求sin∠AOB，cos∠ABO 的值．20. 如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，AC＝2，CD＝1，记∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．21.如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．(1)求证：AE⋅BC=AD⋅AB；(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC=3，求AF的长．528.2 解直角三角形及其应用（满分120分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于D ，设∠ABC =α，则下列结论错误的是（ ）A.BC =ACsin α B.CD =AD ⋅tan α C.BD =AB cos αD.AC =AD cos α2. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( ) A.北纬34∘03′ B.在中国的西北方向 C.甘肃省中部 D.北纬34∘03′，东经103∘49′3. 下列说法中，正确的是（ ）A.在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sin α>1C.cos 30∘+cos 45∘=cos (30∘+45∘)D.若α为锐角，tan α=512，则sin α=5134. 如图，在高为2m ，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =15，sin A =13，则BC =( ) A.5 B.10√2C.45D.156. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘7. 等腰三角形的顶角A=120∘，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是（）A.2√3cmB.4√3cmC.√3cmD.6cm8. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西60∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西30∘的方向行驶30海里到达C地，则A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里9. 国际商贸城福田三期市场于2008年10月隆重开业．在开业店铺装修中，陈师傅用防火材料制作了一块如图所示的三角形隔离板，该板的面积为（）dm2 C.6dm2 D.3dm2A.3√2dm2B.3√2210. 如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是()A.B地在C地的北偏西40∘方向上B.A地在B地的南偏西30∘方向上C.cos∠BAC=√3D.∠ACB=50∘2二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AB＝6，cos A=2，那么AC＝________．312. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是________．13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为________．14. 如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为30∘，向塔前进10米到达D，在D处测得A的仰角为45∘，则塔高为________米．15. 一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，则这只船的航行速度为________海里/小时．16. 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．18. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．19. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．20. 如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，则他所用的最短时间为________分．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠B=45∘，AC=12，试求BD的长．22. 有一种小凳的示意图如图所示，支柱OE与地面l垂直，小凳表面CD与地面l平行，凳腿OA与地面l的夹角为40∘，OE=35cm，OA=OB=25cm．求小凳表面CD与地面l的距离（精确到1cm）．（备用数据：sin40∘=0.6428，cos40∘=0.7660，tan40∘=0.8391．）23 如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台宽度DE 为2米，DM，EN为平台的两根支柱，且DM，EN均垂直于AB，垂足分别为M，N，∠EAB=30∘，∠CDF=45∘．则求BM的长度．（精确到0.1米）24. 某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30∘，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45∘，已知测角仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度. (√3≈1.732，精确到0.1米)25. 如图，在山坡上有一棵大树AB，小明在坡上的C点处测得树顶B的仰角为17∘，已知山坡的坡角为15∘，测角仪高CD为1.5米，测角仪离大树的坡面距离AC为50米，求大树AB的高．（精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】，解：A．在Rt△ABC中，sinα=ACBC，故A正确；∴ BC=ACsinαB．∴ ∠B+∠BAD=90∘，∠CAD+∠BAD=90∘，∴ ∠B=∠CAD=α，在Rt△ADC中，tanα=CD，AD∴ CD=AD⋅tanα，故B正确；C．在Rt△ABD中，，cosα=BDAB∴ BD=AB⋅cosα，故C正确；D．在Rt△ADC中，cosα=AD，AC∴ AD=AC⋅cosα，故D错误；故选D．2.【答案】D【解答】解：准确表示兰州市的地理位置的是北纬34∘03′，东经103∘49′.3.【答案】D【解答】解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∴ tan A=BCAC，∴ AC=BC÷tan30∘=2√3．∴ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A解：∴ sin A=BCAB =13，AB=15，∴ BC=5，故选A．6.【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.7.【答案】B【解答】解：如图：∴ △ABC是等腰三角形，∠A=120∘，∴ ∠B=∠C=30∘，AD⊥BC，∴ BC=12，∴ BD=6，设AD为x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即(2x)2=62+x2，解得：x=2√3，∴ 2x=4√3，∴ 它的腰长是4√3．故选B．8.【答案】C【解答】解：连结AC，∴ ∠2=∠1=60∘，3=30∘，∴ ∠ABC=∠2+∠3=90∘，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=50海里．故A、C两地相距50海里．故选：C．9.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于D点．在直角△ACD中，∠CAD=45∘，则CD=AC⋅sin45∘=3×√22=3√22．则三角形ABC的面积是：12⋅AB⋅CD=12×2×3√22=3√22．故选B．10.【答案】C【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60∘，∠4=50∘，∴ ∠5=∠4=50∘，即B在C处的北偏西50∘，故A错误；∴ ∠2=60∘，即A在B处的南偏西60∘，故B错误；∴ ∠1=∠2=60∘，∴ ∠BAC=30∘，，故C正确；∴ cos∠BAC=√32∴ ∠6=90∘−∠5=40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故D错误．故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝6，cos A=23，∴ cos A=ACAB =23，则AC=23AB=23×6＝4，12.【答案】9米【解答】解：∴ 迎水坡AB的坡比2:3，∴ BCAC =23，∴ 堤高BC=6米，∴ AC=32BC=9（米）．故答案为：9米．13.【答案】6√5m 【解答】解：∴ 斜面坡度为1:2，AC=12m，∴ BC=6m，则AB=2+BC2=√122+62=6√5(m)．故答案为：6√5m．14.【答案】5(√3+1)【解答】解：在Rt△ABD中，∴ ∠ADB=45∘，∴ BD=AB．在Rt△ABC中，∴ ∠ACB=30∘，∴ BC=√3AB．设AB=x（米），∴ CD=10，∴ BC=x+10．∴ x+10=√3x∴ 解得：x=√3−1=5(√3+1)．即铁塔AB的高为5(√3+1)米．故答案为：5(√3+1)．15.【答案】15√2【解答】解：如图所示，在等腰直角三角形APN中，sin∠APN=ANAP，∴ sin45∘=AN60，∴ AN=30√2海里，∴ 速度为30√2÷2=15√2（海里/小时）．16.【答案】15√3【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴ tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴ AB=√3AC＝15√3，17.【答案】√3【解答】解：由CD⊥AB于D，得∠ADC=CDB=90∘，由∠A+∠ACD=90∘，∠A+∠B=90∘，得∠B=∠ACD，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，所以可得∠A=30∘，∠B=60∘，tan∠ACD=tan60∘=√3，故答案为：√318.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∴ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴ 这样就构成了一对同旁内角，∴ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∴ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.19.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.20.【答案】(18−6√3)【解答】解：过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∴ ∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，∴ tan∠CAD=CDAD ，tan B=ADBD，∴ tan30∘=CDAD，tan45∘=ADBD，∴ AD=√3CD，AD=BD．又∴ CD+BD=60，∴ CD+AD=60．∴ √33AD+AD=60，∴ AD=90−30√3，∴ 90−30√35=(18−6√3)分．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．【解答】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．22.【答案】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．【解答】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．23【答案】BM的长度约为4.6米．【解答】解：设BM=x米．∴ ∠CDF=45∘，∠CFD=90∘，∴ CF=DF=x米，∴ BF=BC−CF=(6−x)米．∴ EN=DM=BF=(6−x)米．∴ AB=9米，DE=2米，BM=DF=x米，∴ AN=AB−MN−BM=(7−x)米．在△AEN中，∠ANE=90∘，∠EAN=30∘，∴ EN=AN⋅tan30∘．即6−x=√33(7−x)．解这个方程得：x=√33−√3≈4.6．24【答案】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.【解答】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.25【答案】大树AB的高约为29.2米．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得矩形DEFC∴ EF=CD=1.5，由已知得，∠FCA=15∘在Rt△ACF中，∠AFC=90∘AF=AC⋅sin∠ACF=50×sin15∘≈12.94CF=AC⋅cos∠ACF=50×cos15∘≈48.30在Rt△DBE中，∠BED=90∘BE=DE⋅tan∠BDE=48.30×tan17∘≈14.77∴ AB=BE+EF+AF=12.94+1.5+14.77≈29.2。
人教版九年级下册数学 28.1---28.2基础练习题含答案。
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯28.1锐角三角函数一．选择题1．sin45°+cos45°的值为（）A．1B．2C．D．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝＝（）A．B．C．D．3．下列式子正确的是（）A．cos60°＝B．cos60°+tan45°＝1C．tan60°﹣＝0D．sin230°+cos230°＝4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝，则下列结论正确的是（）A．sin B＝B．cos A＝C．tan B＝2D．tan A＝5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．6．锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cos A＝，则AC的长为（）A．5B．8C．12D．138．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sin A+cos B的值为（）A．B．C．D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（）A．B．3C．D．10．若∠A是锐角，且sin A＝，则（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，则sin A＝．12．已知α是锐角，若2sinα﹣＝0，则α＝°．13．已知α为锐角，且满足sin（α+15°）＝，则tanα＝．14．比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．15．计算：＝．三．解答题16．计算：（1）cos245°+tan245°﹣tan260°．（2）．17．已知∠A为锐角且sin A＝，则4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A的值是多少．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A 的三个三角函数值．参考答案一．选择题1．解：原式＝+＝．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝，∴cos B＝＝．故选：C．3．解：A．cos60°＝，故本选项不符合题意；B．cos60°+tan45°＝+1＝1，故本选项不符合题意；C．tan60°﹣＝﹣＝﹣＝0，故本选项符合题意；D．sin230°+cos230°＝1，故本选项不符合题意；故选：C．4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝＝2，A、sin B＝＝＝，本选项计算错误；B、cos A＝＝＝，本选项计算正确；C、tan B＝＝＝，本选项计算错误；D、tan A＝＝＝2，本选项计算错误；故选：B．5．解：如图：∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，∴BC＝＝＝1，∴cos B＝＝，故选：C．6．解：∵，且，∴45°＜α＜60°．故选：B．7．解：∵cos A＝，即＝，AB＝13，∴AC＝AB•cos A＝5，故选：A．8．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，则sin A+cos B＝+＝．故选：B．9．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，∴cot A＝＝．故选：A．10．解：∵∠A是锐角，且sin A＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故选：A．二．填空题11．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB＝＝＝2，则sin A＝＝＝，故答案为：．12．解：∵2sinα﹣＝0，即sinα＝，∴α＝45°，故答案为：45．13．解：∵sin60°＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴tanα＝tan45°＝1，故答案为：1．14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜1＜tan47°，∴sin81°＜tan47°．故答案为＜．15．解：原式＝+＝＝＝．故答案为：三．解答题16．解：（1）原式＝（）2﹣+1﹣（）2＝﹣1+1﹣3＝﹣；（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．17．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝30°，∴cos A＝，2sin A﹣cos A＝2×﹣＝1﹣，∴4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝（2sin A﹣cos A）2＝（1﹣）2＝1﹣+＝﹣．18．解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，∴BC＝＝＝4，又AC＝AD+CD＝8，∴AB＝＝＝4，则sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，tan A＝＝＝．28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，tan B＝，则BC的值为（）A．4B．C．D．72．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sin B＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD 的值为（）A．B．C．D．3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（）米．A．6+4B．10+4C．8D．66．如图，AB是垂直于水平面的一栋大楼．离大楼30米（BC＝30米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝15米，某时刻，在太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A，B，C，D，E均在同一个平面内）．若DE＝6米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），则大楼AB的高约为（）（参考数据：sin24°≈0.41．cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）A．10.25B．20.25C．22.25D．32.257．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝8．某次台风来袭时，﹣棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（）米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）A．9B．10C．11D．129．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A．（a+b）米B．（a+b）米C．（a+b）米D．（a+b）米二．填空题11．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为．12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tan D＝．13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．14．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．三．解答题15．当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα．（1）计算sin75°；（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．16．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．17．如图是某幼儿园的两个同一水平面AF上的长度相同的滑梯模型图，已知滑梯斜面BC ＝EF＝4m，∠ABC＝30°，∠EFD＝53°，且对角线CE所在的四边形是正方形．若小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，试计算说明，小红和小芳谁走的路程更短，短多少？（精确到0.1m）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，）参考答案一．选择题1．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴tan B＝tan∠DAC＝，∴＝＝，∴＝＝，∴BD＝4，CD＝，∴BC＝BD+CD＝4+＝，故选：B．2．解：如图，作DH⊥BC于H．∵∠A＝90°，sin B＝＝，∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k，∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，∴△BHD∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴DH＝k，BH＝k，∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，∴tan∠BCD＝＝＝，故选：C．3．解：设AB＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x，由勾股定理得：AC＝＝x，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝x，∴BD＝BC+CD＝（+1）x，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：如图，延长AB交DT的延长线于E．∵1米的杆影长恰好为1米，∴AE＝DE，∵四边形BCTE是矩形，∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，∴DT＝CD•cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+4）（米），BE＝CT＝4（米），∴AB＝AE﹣BE＝（10+4）﹣4＝（6+4）（米），故选：A．6．解：延长ED交AB于G，DH⊥BF于H，∵DE∥BF，∴四边形DHBG是矩形，∴DG＝BH，DH＝BG，∵＝＝，CD＝15，∴DH＝12，CH＝9，∴GE＝30+6+9＝45，∵tan24°＝＝≈0.45，∴AG≈20.25，∴AB＝AG+BG＝20.25+12＝32.25（米）．即：大楼AB的高约为32.25米；故选：D．7．解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．8．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，∵∠ADC＝60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°＝＝＝，∴DE＝2，∵sin60°＝＝＝，∴AE＝2，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝CE＝2，∴sin45°＝＝＝，∴AC＝2，∴AB＝2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．答：这棵大树AB原来的高度是10米．故选：B．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴＝，∵AD＝BE，∴，故选：A．10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，∵∠EFG＝90°，∴∠MFG＝30°，∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），DQ＝QK•cos30°＝（米），∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），故选：A．二．填空题11．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∵AC＝5，∴AD＝CD＝AC•sin45°＝5×＝5，∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，∵tan∠B＝2，∴tan∠DFC＝2，∴＝2，∴DF＝＝，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，∴EF＝x＝，故答案为：．12．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴tan∠ADC＝＝＝．故答案为：．13．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．14．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．三．解答题15．解：（1）∵当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα，∴当α＝30°时，sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，∴sin75°＝，解得，sin75°＝；（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD＝＝＝AD，∴sin（45°+α）＝AD，又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sin C＝，即AD＝AC•sin C＝AC×＝AC，∴AC＝AD＝sin（α+45°），作BE⊥AC于点E，∵∠CAB＝α，AB＝1，∴sinα＝＝BE，cosα＝＝AE，∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，∴∠C＝∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE+BE，∴sin（α+45°）＝sinα+cosα．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．17．解：小红走的路程更短，约短0.6m，理由如下：如图所示：由题意得：DG＝AC，∠EDF＝∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴DG＝AC＝BC＝2m，AB＝AC＝2m，∵sin∠EFD＝，cos∠EFD＝，∴DE＝EF×sin53°≈4×＝3.2（m），DF＝EF×cos35°≈4×＝2.4（m），∴EG＝DE﹣DG＝1.2m，∵四边形CGEH是正方形，∴CE＝EG＝×1.2≈1.69（m），∵小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，∴小红走的路程为CD+BC+BA+AD，小芳走的路程为CD+CE+EF+DF，∴小芳比小红走的路程短AB+AD﹣CE﹣DF＝2+1.2﹣1.69﹣2.4≈0.6（m）．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
最新人教版九年级数学下册第28章同步测试题及答案
最新人教版九年级数学下册第28章同步测试题及答案28.1 锐角三角函数一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. cos30°的相反数是( )A. －B. －C. －D. －2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sin A=，那么sin B的值是（）A. B. C. D.3. 已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A. B. C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 以上都不对5. 点（－sin 30°，cos 30°）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （，）B. （，－）C. （－，－）D. （－，）6. 在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值A. 扩大2倍B. 缩小C. 不变D. 无法确定7. 如图，是的外接圆，AD是的直径，若的半径为则的值是A. B. C. D.二、填空题8. 计算：sin 45°+tan 60°•tan 30°﹣cos 60°=_____．9. 在锐角△ABC中，如果∠A，∠B满足|tan A－1|＋＝0，那么∠C＝________．10. 如图，若点A的坐标为，则sin∠1=_____．11. 观察下列等式根据上述规律，计算 ______ ．12. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠AFG的值是________．三、解答题13. 计算+|-2|-2tan 60°+（）-1．14. 计算：（1）﹣2sin 45°+（2﹣π）0﹣tan 30°；（2）2cos 60°﹣（）﹣1+tan 600+|﹣2|.15. 先化简，再求值：，其中．参考答案1.C 【解析】∵cos30°=，∴cos30°的相反数是－.故选C.2.A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，∴cos A=，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A=．故选A．3.A 【解析】根据直角三角形的性质可知最小的内角的度数为0°至45°之间，则，即，故选A．4.B 【解析】根据直角三角形的三角函数可得：sin A=，cos A=，tan A=，故选B．5.A 【解析】点即为关于y轴对称的点的坐标是故选A.6.C7.B 【解析】如图，连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D.在Rt△ACD中，AD=5×2=10，AC=8，∴CD=6，∴cos D===，∴cos B=cos D=.故选B．8.【解析】原式＝＝1＋1－＝．9.75°【解析】∵|tan A－1|＋2＝0，∴tanA=1，cosB= .∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．10.故答案：.11. 1 【解析】∵根据已知的式子可以得到sin （90°-α）=cos α，∴sin 2α+sin 2（90°-α）=1. 12. 【解析】∵等边△ABC ，∴AC =AB ，∠B =∠CAD =60°.∵在△ADC 和△BEA 中，，∴△ADC ≌△BEA ，∴∠CDA =∠AEB ，∴∠CEA =∠CDB ，∴∠CFE =∠B =60°，∴∠AFG =60°，∴sin ∠AFG =. 13.解：+|-2|-2tan 60°+（）-1＝2＝5-.14.解：（1）原式=2﹣+1﹣1=.（2）原式=1﹣2+1+2﹣=2﹣．15.解：－=－==－．当x =tan 60°－1即x =－1时，原式=－=－=－．28.2.1 解直角三角形知识点 1 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( ) A.3sin40° B ．3sin50°C.3tan40° D ．3tan50°3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．4.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝8 3，∠A ＝60°，则a ＝________，b ＝________.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形. (1)已知∠A ＝60°，b ＝4； (2)已知a ＝13，c ＝23；(3)已知c ＝28 2，∠B ＝30°.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，AB ＝6，求BC 的长．知识点 2 解直角三角形的应用7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点15米的C 处(AC ⊥AB )测得∠ACB ＝50°，则A ，B 间的距离应为( )A.15sin50° 米 B ．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D ．15cos50° 米8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为( )A.4sin θ平方米B.4cos θ平方米C.(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米9.如图，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E .若sin B ＝23，AD ＝6，则菱形ABCD 的面积为( )A.12 B ．12 5 C ．24 D ．5410.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E .设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为( )A.3B.163C.203D.22311.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．能力提升12.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是( )A.R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin36°C.a ＝2r tan36° D ．r ＝R cos36°13.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D .已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A.1B.203 C ．3 D.16314.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.htan αD ．h ·cos α 15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos ∠ABC ＝45，点D 在BC 边上，BD ＝6，CD ＝AB ，则AD 的长为__________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB 上的高CD ＝3，BD ＝1，解这个直角三角形．17.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 3，求△ABC 的面积．18.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，并且CD ＝2.(1)求BD 的长； (2)求cos ∠DAC 的值．参考答案1．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝BC AB ＝35，BC ＝6，∴AB ＝BC sin A ＝635＝10.2.D [解析] 已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝50°.∵tan B ＝AC BC ，即tan50°＝AC3，∴AC ＝3tan50°.故选D.3.30° [解析] ∵tan B ＝b a ，b ＝2 3，a ＝6，∴tan B ＝2 36＝33，∴∠B ＝30°.4.12 43 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A ＝ac ，得a ＝c ·sin A ＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b ＝4 3. 5.解：(1)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝30°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝b tan A ＝4tan60°＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.即∠B ＝30°，a ＝4 3，c ＝8. (2)由勾股定理，知b ＝c 2－a 2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b ， ∴∠A ＝∠B ＝45°. 即∠A ＝∠B ＝45°，b ＝13.(3)∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，b ＝12c ＝12×28 2＝14 2.又∵cos B ＝ac，∴a ＝c ·cos B ＝28 2×cos30°＝14 6. 即∠A ＝60°，a ＝14 6，b ＝14 2.6.解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝BCAB .∵AB ＝6，sin A ＝23，∴BC 6＝23，∴BC ＝4.7.B [解析] 由tan ∠ACB ＝ABAC 知AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝15tan50°.故选B.8.D9.C [解析]∵四边形ABCD 是菱形，AD ＝6，∴AB ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，sin B ＝AEAB.∵sin B ＝23，∴AE 6＝23，解得AE ＝4，∴菱形ABCD 的面积是6×4＝24.故选C.10.B [解析] 由已知可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt △DEC 中，cos α＝CE CD ＝35，即CE4＝35，∴CE ＝125.根据勾股定理，得DE ＝165.在Rt △AED 中，cos α＝DE AD ＝35，即165AD ＝35，∴AD ＝163.故选B. 11.解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BCtan A ＝2 3，则EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.12.A[解析]∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BOC ＝15×360°＝72°.∵OB ＝OC ，OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝12∠BOC ＝36°，BH ＝12BC ＝12a .在Rt △BOH 中，OB 2－OH 2＝BH 2，∴R 2－r 2＝(12a )2＝14a 2，则选项A 错误．∵sin36°＝BH OB ，∴BH ＝OB ·sin36°，即12a ＝R sin36°，∴a ＝2R sin36°，则选项B 正确．∵tan36°＝BH OH ，∴BH ＝OH ·tan36°，即12a ＝r tan36°，∴a ＝2r tan36°，则选项C 正确．∵cos36°＝OHOB ，∴OH ＝OB ·cos36°，∴r ＝R cos36°，则选项D 正确．故选A.13. D [解析]∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A＋∠B ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .在Rt △ABC 中，∵cos B ＝ cos ∠ACD ＝BC AB ＝35，BC ＝4，∴AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（203）2－42＝163.故选D. 14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCD ，由cos ∠BCD ＝CD BC ，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α.故选B.15.2 10 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .设DE ＝x ，则BE ＝6＋x ，CD ＝6＋2x .∵cos ∠ABC ＝45，AB ＝CD ＝6＋2x ，∴BE AB ＝6＋x 6＋2x ＝45，解得x ＝2.∴AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝210.16.解：在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝12＋（3）2＝2， ∴sin B ＝CD BC ＝32，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC cos B ＝2cos60°＝212＝4，∴AC ＝AB 2－BC 2＝42－22＝16－4＝12＝2 3. 即∠A ＝30°，∠B ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝2 3. 17.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得 AD ＝AC 2－CD 2＝12－3＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3，∴△ABC 的面积为12CD ·AB ＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32.18.解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.∵AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4. (2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝82＋22＝217， ∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形知识点1利用直角三角形解决一般的实际问题1.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地．已知AC＝120 km，∠A＝30°，∠B＝135°，求隧道开通后汽车从A地到B地需行驶多少千米．2.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据求出河宽．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)知识点2利用仰角、俯角解决实际问题3.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()A.100 3m B．50 2mC.50 3m D.100 33m4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为()A.160 3m B．120 3mC.300 m D．160 2m5.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)6.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.7.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)能力提升8．为解决停车难的问题，在如图的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位(2≈1.4)．9.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后在E 处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处．已知AC⊥BC于点C，DE∥BC，BC＝110 m，DE＝9 m，BD＝60 m，α＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)10.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．11.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．参考答案1．解：如图，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E .∵∠A ＝30°，AC ＝120 km ，∴EC ＝60 km ，AE ＝120×cos30°＝60 3(km)． ∵∠ABC ＝135°， ∴∠CBE ＝45°， ∴BE ＝EC ＝60 km ，∴AB ＝AE －BE ＝60 3－60＝60(3－1)km.答：隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶60(3－1)km. 2.解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x 米．在Rt △AEC 中，∠CAE ＝45°，AE ＝CE ＝x 米． 在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x （米）． ∴3x ＝x ＋50，解得x ＝253＋25≈68.30. 答：河宽约为68.30米．3.A [解析] 因为tan ∠ABC ＝tan30°＝AC BC ＝100BC ＝33，所以BC ＝100 3m ．故选A.4.A5.182 [解析] 如图，仰角∠A ＝20°，AC ＝500米.在Rt △ABC 中，tan A ＝BCAC ，所以塔高BC ＝AC ·tan A≈500×0.3640＝182(米).故答案为182.6.解：(1)根据题意，在Rt △ABD 中，∠BDA ＝α＝60°，AB ＝30米， ∴AD ＝AB tan60°＝303＝10 3(米)．答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为10 3米．(2)过点C 作CE ⊥AB 于点E .根据题意，得∠BCE ＝β＝30°，CE ＝AD ＝10 3米，CD ＝AE . 在Rt △BEC 中，tan ∠BCE ＝BECE， 即tan30°＝BE10 3，∴BE ＝10(米)，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20(米)． 答：乙建筑物的高CD 为20米．7.解：由题知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. ∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDC ， ∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则ED ＝BE ＝2EC ＝2x (m)，DC ＝EC ＋ED ＝x ＋2x ＝3x (m)， ∴BC ＝BE 2－EC 2＝3x (m).由题意可知∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC ＝DC ， 即3x ＋60＝3x ， 解得x ＝30＋10 3. ∴ED ＝2x ＝(60＋20 3)m. 答：塔ED 的高度为(60＋20 3)m.8. 17 [解析] 设这个路段可以划出x 个这样的停车位，根据题意，水平距离为2.22＋2.2×2(x －1)＋52≤56，解得x 的最大整数值为17.故答案为17.9.过点D 作DH ⊥BC 于点H ，延长DE 交AC 于点F ，则DF ＝CH ，DH ＝CF .∵在Rt △BDH 中，α＝32°， ∴DH ＝BD ·sin32°≈60×0.53＝31.8， BH ＝BD ·cos32°≈60×0.85＝51，∴CF ＝DH ≈31.8，CH ＝BC －BH ≈110－51＝59， ∴DF ＝CH ≈59，∴EF ＝DF －DE ≈59－9＝50. ∵在Rt △AEF 中，β＝68°， ∴AF ＝EF ·tan68°≈50×2.48＝124， ∴AC ＝AF ＋CF ≈124＋31.8＝155.8(m)． 答：AC 的高度约为155.8 m.10.(1)∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，AC ＝60 m ， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC cos ∠BAC ＝60cos60°＝120(m)．(2)过点D 作DE ⊥AA ′于点E ，连接A ′D .∵∠DAC ＝90°－60°＝30°，AC ＝60 m ， ∴在Rt △ADC 中，CD ＝AC ·tan ∠DAC ＝60×tan30°＝20 3(m)． ∵∠AED ＝∠EAC ＝∠C ＝90°， ∴四边形ACDE 是矩形．∵ED ＝AC ＝60 m ，EA ＝CD ＝20 3 m ，∴在Rt △A ′ED 中，tan ∠EA ′D ＝ED EA ′＝ED EA ＋AA ′＝6020 3＋30 3＝2 35.即从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值为2 35.11.(1)在Rt △DCE 中，∠DCE ＝30°， sin ∠DCE ＝DECD ，∴DE ＝CD ·sin ∠DCE ， ∴DE ＝4×12＝2(米)．(2)如图，延长BD 交AE 的延长线于点F .由题意知∠BDG ＝45°， ∴∠F ＝∠BDG ＝45°. ∵∠DEF ＝90°， ∴∠EDF ＝∠F ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2米．设AC ＝x 米，则AB ＝AC ·tan ∠ACB ， ∴AB ＝x ·tan60°＝3x 米．在Rt △DCE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝2 3(米)， ∴AF ＝EF ＋CE ＋AC ＝(2＋2 3＋x )米． 在Rt △ABF 中，tan F ＝ABAF ，即tan45°＝3x2＋2 3＋x ，解得x ＝(3＋1)2＝4＋2 3， ∴AB ＝3x ＝(6＋4 3)米． 答：大楼AB 的高度为(6＋4 3)米．第2课时 坡角、方向角与解直角三角形知识点 1 方向角问题1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 是( )A.2海里 B ．2sin55°海里C.2cos55°海里 D ．2tan55°海里2.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在西偏南68°方向上．航行2小时后到达N 处，观测到灯塔P 在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)()A.22.48海里B．41.68海里C.43.16海里D．55.63海里3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4 km B．2 3kmC.2 2km D．(3＋1)km4.如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？知识点2坡角问题5.如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．6.如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.7.如图，小华站在河岸上的点G ，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m ，BG ＝0.7 m ，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i ＝4∶3，坡长AB ＝8 m ，点A ，B ，C ，D ，F ，G 在同一个平面上，则此时小船C 到岸边的距离CA 的长为________m ．(结果保留根号)8.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)9.某地一天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC 的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．10. 如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈43，计算结果用根号表示)11.如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2 3，无人机的飞行高度AH＝500 3米，桥的长为1255米．(1)求H到桥的左端点P的距离；(2)无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．参考答案1.C [解析] 由题意可知∠NP A ＝55°，AP ＝2海里，∠ABP ＝90°.∵AB ∥NP ，∴∠A ＝∠NP A ＝55°.在Rt △ABP 中，∵∠ABP ＝90°，∠A ＝55°，AP ＝2海里，∴AB ＝AP ·cos A ＝2cos55°（海里）．故选C.2.B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A .由题意，得MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC ＝90°，∠CNP ＝46°，∴∠MNP ＝∠MNC ＋∠CNP ＝136°.∵∠BMP ＝68°，∴∠PMN ＝90°－∠BMP ＝22°，∴∠MPN ＝180°－∠PMN －∠MNP ＝22°，∴∠PMN ＝∠MPN ，∴MN ＝PN ＝60海里．∵∠CNP ＝46°，∴∠PNA ＝44°，∴P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．3.C [解析] 由题意知OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∠BAC ＝75°，则∠B ＝45°.过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H .在Rt △OAH 中，∠AHO ＝90°，OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∴AH ＝12OA ＝2（km ）.在Rt △BAH 中，∠AHB ＝90°，∠B ＝45°，AH ＝2 km ，∴AB ＝2AH ＝2 2（km ）.故选C.4.解：如图，作AC ⊥BD 于点C .由题意知∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°.设AC ＝x 海里，则BC ＝3x 海里，DC ＝33x 海里．因为BC －DC ＝3x －33x ＝12，所以x ＝6 3.因为6 3＝108>64＝8，所以渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．5.100 [解析] 根据题意，得tan A ＝BC AC ＝13＝33，所以∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×200＝100(米)． 6.30 [解析] 因为sin A ＝h AB ＝24＝12，所以∠A ＝30°.7.(8 3－112) [解析] 如图所示，延长DG 交CA 的延长线于点H ，则DH ⊥CH ，过点B 作BE ⊥AH ，垂足为E .在Rt △ABE 中，i AB ＝4∶3，即BE AE ＝43.设BE ＝4x ，AE ＝3x (x >0).由勾股定理，得AB ＝5x .由AB ＝8，得x ＝85，从而BE ＝325＝GH ，AE ＝245.∴DH ＝DG ＋GH ＝1.6＋325＝8，AH ＝245＋0.7＝112.∵∠FDC ＝30°，∴∠C ＝30°.在Rt △CDH 中，DH CH ＝tan30°，即8CH ＝33，∴CH ＝8 3，∴CA ＝CH －AH ＝8 3－112（m ）.8.解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，AB ＝25米，∠ABC ＝62°，∴AE ＝AB ·sin ∠ABC ＝25sin62°≈25×0.88＝22(米)，BE ＝AB ·cos ∠ABC ＝25cos62°≈25×0.47＝11.75(米)．在Rt △ADE 中，AE ≈22米，tan50°≈1.19，∴DE ＝AE tan50°≈221.19≈18.49(米)， ∴DB ＝DE －BE ≈18.49－11.75＝6.74≈6.7(米)．答：应将坝底向外拓宽约6.7米．9.解：(1)由tan α＝13＝33，得α＝30°. (2)文化墙PM 不需要拆除．理由：作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD ＝6米，∴AD ＝CD tan α＝6 3（米），BD ＝6米， ∴AB ＝AD －BD ＝6 3－6（米）<8米，∴文化墙PM 不需要拆除．10.解：过点B 作BE ⊥CD 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则四边形CEBF 是矩形．∵斜坡的斜面DB 的坡度i ＝1∶3，∴∠BDE ＝30°.在Rt △BDE 中，BD ＝30米，∴BE ＝BD ·sin30°＝15（米），ED ＝BD ·cos30°＝15 3（米），∴BF ＝CE ＝CD －ED ＝45 3（米）．在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∵tan ∠ABF ＝AF BF， ∴AF ＝BF ·tan53°≈45 3×43＝60 3(米)， ∴AC ＝AF ＋CF ＝AF ＋BE ≈60 3＋15（米）．答：楼房AC 的高度约是(60 3＋15)米．11.解：(1)在Rt △AHP 中，∵∠APH ＝α，AH ＝500 3米，∴tan ∠APH ＝AH HP＝tan α， 即500 3HP＝2 3，解得HP ＝250(米)． 答：H 到桥的左端点P 的距离为250米．(2)过点Q 作QM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，则可得AM ＝HQ ＝HP ＋PQ ＝1255＋250＝1505(米)，QM ＝AH ＝500 3米．∵在Rt △QMB 中，∠QMB ＝90°，∠QBM ＝30°，QM ＝500 3米，∴BM ＝QM tan ∠QBM ＝500 333＝1500(米)， ∴AB ＝AM －BM ＝1505－1500＝5(米)．答：这架无人机的长度为5米．。
人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步练习(填空题) 含答案
第28章锐角三角函数 同步学习检测（一）一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题3分，共96分） 1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ； 6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ； 11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ； 16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、 、 ；21、 ； 22、 ；23、 ； 24、 ； 25、 ；26、 ；27、 ；28、 ；29、 ；30、 ；31、 ；32、 ；1．（2009年济南）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．2．（2009年济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈） 3. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)4．（2009年安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．5.（2009年桂林市．百色市）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电 线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．6．（2009湖北省荆门市）计算：104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______． 7.（2009年宁波市）如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC =，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h 为 米．（结果精确到0.1米）8．（2009桂林百色）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．9．（2009丽水市）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB =AC =8 cm,将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 ▲ cm 2(结果 精确到0.1，73.13≈)10．（09湖南怀化）如图，小明从A 地沿北偏东ο30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．11．（2009年孝感）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．12．（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 13．（2009年南宁市）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶 的路程AB为 _____________海里（结果保留根号）．14．（2009年衡阳市）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为_________.15.2009年鄂州)小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为____________米．16．（2009年广西梧州）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ， 则AB 的长是 cm ．17．(2009宁夏)10．在Rt ABC △中，903C AB BC ∠===°，，， 则cos A 的值是 ．18．（2009年包头）如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 19．（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．20．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．ANBM21．（2009年益阳市）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 . 22．（2009白银市）如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．23. (2009年金华市) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 .24．(2009年温州)如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是 25．（2009年深圳市）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC 的高度，他发现 绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A 点并与地面形成30º角时，绳子末端D 距A 点还有1米，那么旗杆BC 的高度为 .26．（2009年深圳市）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ， 若AB=8，BD=5，则CD= .27．（2009年黄石市）计算：1132|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°＝ .28．．（2009年中山）计算：19sin 30π+32-0°+()＝ .29．（2009年遂宁）计算：()3208160cot 33+--o －＝ .30．(2009年湖州)计算：()02cos602009π9--+°＝ . 31.（2009年泸州）︒+--+-30sin 29)2009()21(01＝ . 32.（2009年安徽）计算：|2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+＝ . 二、解答题（每小题4分，24分）1.(2009年河北)图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？OEC D2．（2009年新疆乌鲁木齐市）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？3．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）BADC北东西南4. （2009山西省太原市）如图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B 在同一直线上，求建筑物A ．B 间的距离．5．（2009年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏ABC EF60°30°CDBA 北60°30°西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）6．（2009河池）如图，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A ，仰角为60o ，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈．1.5C 60oA1.51．22 2. 16.1 3. 3.5 4. 2(32)- 5. 43 6. 327. 3.5 8. 43 9. 20.3 10. 100 11. 45(或0.8); 12. 33 13.. ()40340+ 14.1:215. 3200 16. 10 17. 53 18. π33-19..532 20. 10，22916n +（或23664n +）21. 3122. 5 23。
人教版数学九年级下册28.1 ---28.2章节课时练含答案不全
28.1 锐角三角函数一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图，在中，，，，则的值是2. 在中，，，那么等于A.3. 的值等于A.4. 计算的值等于C. D.5. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于A. D.6. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是C. D.7. 的值等于C. D.8. 在中，，，，则的值为A. C. D.9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于A. B. C. D.10. 如图，两个等腰三角形的顶角互补，其中一个三角形的边长是，，，另一个三角形的边长为，，，则这两个三角形的六个内角中，度数最大的A. B. C. D.11. 已知抛物线与轴交于，两点，将这条抛物线的顶点记为，连接，，则的值为B. C. D.12. 如图，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦切小圆于点，交小圆于点，若，，则的长是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 计算：．14. 如图，在中，，，为的中点，，则．15. 如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是．16. 如图，在边长为的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则．17. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则．三、解答题（共5小题；共65分）18. 计算：．19. ．20. 计算：．21. 如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接，，满足．（1）求证：．（2）若正方形的边长为，，求的值．22. 如图，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图，当时，延长交边于点．求证：；（2）在（）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．答案第一部分1. C 【解析】．2. D 【解析】知，设，则，根据，得．．3. D4. D5. C6. C7. C8. C9. B 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：，为锐角，．故选B．10. D11. D 【解析】 . 时，或 .， .12. C 【解析】连接，由切线性质可得，又因为，，所以，根据垂径定理，可得．第二部分【解析】．15.【解析】如图，连接．，，，，，，，圆周角和圆周角所对的都是，．16.【解析】如图，连接，四边形是正方形，，，，，，根据题意得：，，，，，在中，，，．17.【解析】过作垂直的延长线于点在格点三角形中，，，所以，所以．第三部分18. ．19.20.21. （1），，，，．（2），，，，正方形边长为，，，，．22. （1）由题意得：，四边形是矩形，，，，，，，，，在和中，，．（2），证明如下：如图，连接，由（）已证：，，，是线段的垂直平分线，，在中，由勾股定理得：，则．（3）如图，设与的交点为点，由题意得：，，，平分，，，（角平分线的性质），是等腰三角形，在和中，，，即是的角平分线，，（等腰三角形的三线合一），在中，，在中，，即，解得，，，，即，，故的值为．28.2解直角三角形的应用1．倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为2m，•如果木板与地面所成的角为30°，求木板的一端B与车的水平距离．2．海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？3．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．（1）试求该车从A点到B点的平均速度;（2）试说明该车是否超过限速．4．海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？第11页（共13 页）5．两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D•点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．6．某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？7．如图，自卸车车厢的一个侧面为矩形ABCD，AB=3m，BC=0.5m，•车厢底部距离地面1.2m，卸货时，车厢倾斜的角度为60°，问此时车厢的最高点距离地面多少米（精确到1m）．8. 如图所示，水坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡DA的坡度为1:2.5，背水坡CB的坡度为1:2，坝高DE为8米，坝顶宽DC为6米．求（1）坝底的宽AB；（2）1米长的堤坝所需的土石方(体积)．D C第12页（共13 页）A E第13页（共13 页）9. 如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).10. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)2356。
人教版九年级数学下册 第28章基础训练题(含答案)
人教版九年级数学下册 第28章基础训练题（含答案）28.1《正弦》一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论中不正确的是( ) A ．sin B ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.1253．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠OAB 的正弦值是( ) A.55 B.12C.13D.10104．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sinα的值是( ) A.35 B.34 C.45 D.435．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sinA ＝35，则AB 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．126. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.1257．已知锐角A 满足关系式2sin 2A －7sinA ＋3＝0，则sinA 的值为( ) A.12B ．3 C.12或3 D ．4 8．如图，在直角坐标系中AB 垂直于y 轴，垂足为A ，CD 垂直于y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－1)，sinB ＝13，则点C 的坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，－1)C ．(－22，－1)D ．(－1，－22)9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E.连接AC 交DE 于点F.若sin ∠CAB ＝35，DF ＝5，则BC 的长为( )A ．8B ．10C ．12D ．1610．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于( ) A ．OM 的长 B ．2OM 的长 C ．CD 的长 D ．2CD 的长二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，sin B ＝35，则AB 的长等于________.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于_______-.13. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC ＝0.8，则BC ＝______．14．如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC ＝7，AB ＝4，则sinC 的值为______．15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为______．16．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝______．17. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为________.18. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3 m ，若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为_________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝14，BC ＝2，求AC ，AB 的长．20．(6分)如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sinA 和sinB 的值．21．(6分)如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．22．(6分)在Rt △ABC 中，有两条边5，12，求两锐角的正弦值．23．(6分) 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点在网格的交点处，求sinA 的值．24.(8分)已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9.(1)求ADAB 的值；(2)若BD ＝10，求sin A 的值．25．(8分) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为点F ，连接DE.(1)求证：△ABE ≌△DFA ；(2)如果AD ＝10，AB ＝6，求sin ∠EDF 的值．参考答案：1-5CBACC 6-10BACCA 11．15 12.35 13. 45 14. 25 15.6 16. 55 17 .45 18．3sin α m19. 解：∵sinA ＝14，∴BC AB ＝14，∴AB ＝4BC ＝4×2＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝82－22＝60＝21520. 解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ∶c ＝2∶3， 设a ＝2k ，c ＝3k ，∴b ＝c 2－a 2＝5k ， ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝5320. 解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°. 在Rt △AED 中，sinA ＝DE AD ，即35＝DE10，解得DE ＝6(cm)， ∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)22. 解：①当5，12为直角边时，则斜边为13.两锐角的正弦值分别为1213，513；②当5为直角边，12为斜边时，则另一直角边为119，两锐角的正弦值分别为512，1191223. 解：作AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ， 由勾股定理得AB ＝AC ＝25，BC ＝22，AD ＝3 2. 由BC ·AD ＝AB ·CE ，得CE ＝22×3225＝655，sinA ＝CE AC ＝65525＝3524. 解：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DE BC. 又∵DE ＝3，BC ＝9， ∴AD AB ＝39＝13. (2)根据(1)中AD AB ＝DE BC ，得AD AD ＋BD ＝DEBC .∵BD ＝10，DE ＝3，BC ＝9， ∴AD AD ＋10＝39，解得AD ＝5，∴AB ＝15.∴sin A ＝BC AB ＝915＝35.25. 解：(1)证明：在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，AD ∥BC ，∠B ＝90°， ∴∠DAF ＝∠AEB. ∵DF ⊥AE ，AE ＝BC ，∴∠AFD ＝90°＝∠B ，AE ＝AD ， ∴△ABE ≌△DFA(2)由(1)知△ABE ≌△DFA ，∴AB ＝DF ＝6. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2－DF 2＝102－62＝8， ∴EF ＝AE －AF ＝AD －AF ＝2.在Rt △DFE 中，DE ＝DF 2＋EF 2＝62＋22＝210， ∴sin ∠EDF ＝EF DE ＝2210＝101028.2解直角三角形及其应用一、选择题1、如图，在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D是AC 上一点，若，则AD 的长为（ ）A. B.2 C.1 D.2、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，AB=2，则∠A等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，∠BDC=60°，若AD=1，则BD等于( ) A．B．C．D．5、已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=，则∠BAC=( )A．105°B．15°C．105°或15° D．60°6、在Rt△ABC中，∠C=90°，，则的值为（）A．2 B． C．D．7、如图，路灯距地面8米，身高1．6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1．5米 B．减小1．5米C．增大3．5米 D．减小3．5米8、如图，为了测量小河的宽度，小明先在河岸边任意取一点A，再在河岸另一边取两点B、C，测得∠ABC ＝45°，∠ACB＝30°，量得BC为20米，根据以上数据，请帮小明算出河的宽度为结果保留根号（）A 10B 20C D9、如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（）A．B．C．D．10、如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ11、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD，CD⊥BD, 且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度是（）A. 6米B. 8米C. 18米D.24米12、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题13、一个人沿坡度比为1：2的斜坡向上走了10m，那么它的垂直高度上升了 m．14、在Rt△ABC中，∠C=90°，3a=，则sinA= ．15、如下图，在△ABD中，∠D=90°，AC是角平分线，CD=2cm，则△ABC的AB边上的高等于cm。
人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案
第28章 锐角三角函数 专项训练专训1 “化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC 中，已知BC ＝1＋3，∠B ＝60°，∠C ＝45°，求AB 的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝60°，∠D ＝∠B ＝90°，求四边形ABCD 的面积．(第2题)有三角函数值不能直接利用时作垂线3．如图，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，sin ∠BCD ＝13，求tan A的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝12∠BAC，求tan∠BPC的值．(第4题)专训2巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin18°，cos72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin75°，cos75°，tan75°的值．专训3应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(3取1.73，结果保留整数)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C 的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)(第4题)专训4利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)拦截问题3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离．(结果不取近似值)(第3题)台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)专训5三角函数在学科内的综合应用名师点金：1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝1 2 .(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A 的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．(第1题)三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；(第2题)(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2 .(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(第3题)三角函数与方程的综合应用4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x 的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25a sin A.(1)试判断△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分别是多少？5．已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．三角函数与圆的综合应用6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF FD＝4 3.(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos∠AED的值；(3)如果BD＝10，求半径CD的长．(第6题)7．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝185，sin∠ABD＝35，求线段BN的长．(第7题)三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.(1)求证：BF＝BG；(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．(第8题)专训6全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧．2个概念概念1：锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．(第1题)概念2：解直角三角形2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝35，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第2题)1个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；(2)14tan245°＋1sin230°－3cos230°＋tan45°cos60°－sin40°cos50°.2个应用应用1：解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a的值．(第4题)应用2：解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A 在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．(2)求A，B间的距离(参考数据cos41°≈0.75)．(第5题)6.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)(第6题)2个技巧技巧1：“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝32，AC＝23，求AB的长．(第7题)技巧2：“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第8题)答案专训11．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan60°＝3x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB ，∴AB＝BDcos B＝1cos60°＝2.(第1题)(第2题) 2．解：如图，延长BC，AD交于点E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝ABtan E＝2tan30°＝23，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，∴DE＝EC·cos30°＝2×32＝ 3.∴S四边形ABCD ＝S Rt△ABE－S Rt△ECD＝12AB·BE－12CD·ED＝12×2×23－12×1×3＝332.点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝BEBC＝13，∴BC＝3BE.∴CE＝BC2－BE2＝22BE，∴CD＝12CE＝2BE＝2AC.∴tan A＝CDAC＝2ACAC＝ 2.方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．(第3题)(第4题)4．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝12BC＝12×8＝4，∠BAE＝12∠BAC.∵∠BPC＝12∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝AB2－BE2＝52－42＝3，∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝BEAE＝43.专训21．解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝3a，∴AD＝2a，CD＝(2＋3)a.在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝a2＋（7＋43）a2＝(6＋2)a.∴sin15°＝sin D＝BCBD＝a（6＋2）a＝6－24；cos15°＝cos D＝CDBD＝（2＋3）a（6＋2）a＝6＋24；tan15°＝tan D＝BCCD＝a（2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA＝AB，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝2a，∴AD＝2a，DC＝(2＋1)a，∴tan22.5°＝tan D＝BCCD＝a（2＋1）a＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.设AB＝x，则AE＝EF＝2x，∴tan∠FAB＝tan67.5°＝FBAB＝2x＋xx＝2＋1.4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于D 点，过点A 作AE ⊥BC 于E 点，设BC ＝a ，则BD ＝AD ＝a ，易得△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BC CD ，∴AB a ＝a AB －a， 即AB 2－a·AB－a 2＝0，∴AB ＝5＋12a(负根舍去)， ∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14， cos 72°＝cos ∠ABE ＝BE AB＝5－14.(第4题)(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD ＝75°， ∴sin 75°＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24，cos 75°＝BC BD＝a （6＋2）a ＝6－24，tan 75°＝CD BC＝（2＋3）aa＝2＋ 3. 方法2：如图，作△ABD ，使∠ADB ＝90°，∠DAB ＝30°，延长BD 到C ，使DC ＝DA ，过B 作BE ⊥AC 于E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE ＝BC·sin 45°＝6＋326a，∴AE＝AC－CE＝32－66a，∴sin75°＝sin∠BAE＝BEAB＝32＋66a233a＝6＋24，cos75°＝cos∠BAE＝AEAB＝6－24，tan75°＝tan∠BAE＝BEAE＝2＋ 3.专训3(第1题)1．解：根据题意可知AB＝300 m.如图所示，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，所以BD＝12AB＝12×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因为sin∠DCB＝BDBC，所以BC＝BDsin∠DCB＝150sin60°＝3003≈173(m)．答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.点拨：本题也可过C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，则AD＝12AB＝150 m，所以在Rt△ACD中，AC＝ADcos30°＝15032≈173(m)．所以BC＝AC≈173 m.2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，∴AE＝20米．在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，∴EF＝BEtan30°＝2033＝203(米)．∴AF＝EF－AE＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．AF的长度约是15米．3．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30千米，BC＝60千米．∴sin B＝CDBC＝12，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，∴DP＝CDtan∠CPD＝30tan60°＝103(千米)．在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30千米．∴AP＝AD＋DP＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图②，同理可求得DP＝103千米，AD＝30千米．∴AP＝AD－DP＝(30－103)千米．故交叉口P到加油站A的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P点位置分两种情况讨论，即P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．4．解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE＝12DC＝2米；(第4题)(2)如图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F，则∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠DBF＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC＝ABcos30°＝x＋232＝2x＋43＝3（2x＋4）3(米)，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，BD＝2BF＝2x米，DC＝4米，根据勾股定理得：2x2＝（2x＋4）23＋16，解得：x＝4＋43或x＝4－43(舍去)，则大楼AB的高度为(6＋43)米．专训41．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.依题意，知AB＝24×3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝CD BD ，∴BD＝33CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝CDAD，∴AD＝3CD.又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋33CD，解得CD＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．(第1题)(第2题)2．解：不会穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD 中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝ABtanα＋tanβ＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A，B两市的高速公路不会穿过风景区．3．解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C 作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，拦截点D处到公路的距离DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝12BC＝12×1 000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1 000米，∴CF＝22CD＝5002(米)．∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．(第3题)(第4题)4．解：(1)100；(60＋10t)(2)不会，理由如下：过点O 作OH ⊥PQ 于点H ，如图．在Rt △POH 中，∠OHP ＝90°，∠OPH ＝65°－20°＝45°，OP ＝200 km ，∴OH ＝PH ＝OP·sin ∠OPH ＝200×sin 45°＝1002≈141(km )． 设经过x h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km /h ， 则20x ＝1002，∴x ＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈130.5(km )． 台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH ≈141 km ，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为130.5 km ，130.5 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市O 不会受到台风侵袭．专训51．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A 在DE 上，∴点A 坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.故抛物线对应的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)依题意有OC ＝3，OE ＝4，∴CE ＝OC 2＋OE 2＝32＋42＝5， 当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OCCE， ∴3－t 2t ＝35，解得t ＝1511； 当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OCCE ，∴2t 3－t ＝35，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形． 3．解：(1)先求出A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 纵坐标为32，由点E 在反比例函数y ＝6x 的图象上，求出点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，结合A 点坐标为(2，3)，求出直线AE 对应的函数解析式为y ＝－34x ＋92. (3)结论：AN ＝ME.理由：在解析式y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92.(第3题)方法一：如图，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3， ∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52.∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32，∴根据勾股定理可得EM ＝52，∴AN ＝ME.方法二：如图，连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2， ∵S △EOM ＝12OM·EC＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF＝12×92×2＝92，∴S △EOM ＝S △AON .∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN ＝ME.4．解：(1)∵a ，b 是关于x 的方程x 2－(c ＋4)x ＋4c ＋8＝0的两个根，∴a ＋b ＝c ＋4，ab ＝4c ＋8.∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(c ＋4)2－2(4c ＋8)＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形． 又∵(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝(c ＋4)2－4(4c ＋8) ＝c 2－8c －16，∴不能确定(a －b)2的值是否为0，∴不能确定a 是否等于b ，∴△ABC 的形状为直角三角形．(2)∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴sin A ＝ac .将其代入9c ＝25a sin A ，得9c ＝25a·ac，9c 2＝25a 2，3c ＝5a.∴c＝53a.∴b＝c2－a2＝⎝⎛⎭⎪⎫53a2－a2＝43a.将b＝43a，c＝53a代入a＋b＝c＋4，解得a＝6.∴b＝43×6＝8，c＝53×6＝10，即△ABC的三边长分别是6，8，10.5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴(－10cosα)2－20(－7cosα＋6)＝0，解得cosα＝－2(舍去)或cosα＝35 .设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k＞0)，∴斜边长为5k，则α的对边长为（5k）2－（3k）2＝4k，∴sinα＝4 5，则菱形一边上的高为10sinα＝8 cm，∴S菱形＝10×8＝80 cm2.6．(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，且∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA.∵ED为⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点．(2)解：如图，连接DM，则DM⊥AE.设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝EF2＋DF2＝5k.∵12AD·EF＝12AE·DM，∴DM＝AD·EFAE＝6k·4k5k＝245k，∴ME＝DE2－DM2＝75k，∴cos∠AED＝MEDE＝725.(3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE BE＝CE AE，∴AE2＝CE·BE，∴(5k)2＝52k·(10＋5k)．∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝52k＝5.(第6题)(第7题)7．(1)证明：如图，连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴AMAD＝ADAB，∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∴sin∠1＝35，∵AM＝185，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝AB2－AD2＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝35，∴DN＝245，∴BN＝BD2－DN2＝325.8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG＝x，则CE＝3x，∴S△CGE ＝32x2＝63，解得x＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.专训61．思路导引：求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD或CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝10，∴sin∠BCD＝sin A＝BCAB＝45，cos∠BCD＝cos A＝ACAB＝35，tan∠BCD＝tan A＝BCAC＝43.2．思路导引：由sin B＝DEDB＝ACAB＝35，可设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k为未知数的方程，进而求出各边的长．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长，过C作CF⊥AB于点F，再用勾股定理求出CE的长．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B＝DEDB＝ACAB＝35.设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，∴CB＝8k，AC＝6k，AB＝10k.∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9，∴k＝1，∴DE＝3，DB＝5，∴BE＝52－32＝4.过点C作CF⊥AB于点F，如图，则CF∥DE，∴DECF＝BEBF＝BDBC＝58，求得CF＝245，BF＝325，∴EF＝12 5.在Rt△CEF中，CE＝CF2＋EF2＝1255.(第2题)点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．3．解：(1)原式＝33×32＋⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝⎛⎭⎪⎫222×1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14×12＋1⎝⎛⎭⎪⎫122－3×⎝⎛⎭⎪⎫322＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.4．解：设CE＝y，(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.∵BP＝a，CE＝y，∴PC＝5－a，DE＝4－y，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°，∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP，∴△ABP∽△PCE，∴BPCE＝ABPC，∴y＝－a2＋5a4，即CE＝－a2＋5a4.(2)四边形APFD是菱形，理由如下：当a＝3时，y＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴△AED∽△FEC，∴ADCF＝DECE，∴CF＝3，易求PC＝2，∴PF＝PC＋CF＝5.∴PF＝AD，∴四边形APFD是平行四边形，在Rt△APB中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF，∴四边形APFD是菱形．(3)根据tan∠PAE＝12可得APPE＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠QPB ＝90°－24.5°＝65.5°，∠PQB ＝90°－41°＝49°，∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°. ∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ.(2)由(1)，得BQ ＝PQ ＝1 200 m .由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°.在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°， ∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )．∴A ，B 间的距离约是2 000 m .点拨：证明线段相等常利用全等三角形的对应边相等或等角对等边；计算线段的长度常利用锐角三角函数或勾股定理．6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )， AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m .在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AF tan 36°52′≈x ＋290.75＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋1163(m )，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x ≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m .7．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ACD中，∵AC＝23，∠A＝30°，∴CD＝12AC＝3，AD＝AC·cos30°＝23×32＝3.在Rt△BCD中，CDDB＝tan B＝32，∴DB＝2CD3＝233＝2，∴AB＝AD＋DB＝3＋2＝5.(第7题)方法总结：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，引辅助线的技巧是解此类题的关键．8．解法1：如图①所示，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB 交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形ABEF是矩形．∴EF＝AB，AF＝BE.∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°.在Rt△BCE中，BE＝BCcos∠CBE＝503cos30°＝50332＝100，EC＝BC·tan∠CBE＝503×tan30°＝503×33＝50.在Rt△DEF中，DF＝EFtan D＝ABtan60°＝3033＝30.∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130.∴S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝12(AD＋BE)·AB＋12BC·EC＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
人教版九年级数学下册第28章28.2解直角三角形及其应用.docx
初中数学试卷桑水出品新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1.如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为（）A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm知识点：解直角三角形解析：解答：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=BCAC，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．分析：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC的长度．2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．分析：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．3.如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A.503米B. 1003米C 10031+米 D.10031-米知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中, ∵∠ACB=30°,∴ABBC=tan30°=33.∴BC=3AB. 设AB=x（米）, ∵CD=100,∴BC=x+100. ∴x+100=3x,∴x=10031米.故选D．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．4.某水坝的坡度i=1：3，坡长AB=20米，则坝的高度为（）答案：A．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：如图：∵坡度i=1：3,∴设AC=x，BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x2+（3x）2=202,解得x=10．故选A ．分析：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．画出图形，根据坡度的定义__-直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答． 5. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ．103米B ．10米C ．203米D ．2033米 答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解析：解答：∵在直角三角形ADB 中，∠D=30°, ∴ABBD=tan30°, ∴BD=tan 30ABo=3AB . ∴在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°. ∴BC=tan 60ABo =33AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=3AB-33AB=20. 解得：AB=103． 故选A ．分析：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB 及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503 m 答案：A知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3, ∴BC AC =33.∵BC=50m, ∴AC=503m. ∴AB=22AC BC =100m.故选：A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比． 根据题意可得BCAC =33，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．7. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100（3+1）米 答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100,∵CD⊥AB于点D,∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=CDAD.∴AD=tanCDA=10033=1003.在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°,∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米．故选D．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．8.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组知识点：解直角三角形的应用解析：解答：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用EF FDAB BD，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C ．分析：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出EF 即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EF FDAB BD=即可解答． 9. 如图，△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，则△ABC 的面积是（ ）A.212B. 12C.14D.21 知识点：解直角三角形的应用 解析：解答：过点A 作AD ⊥BC ， ∵△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB ．∴∠B=45°． ∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3．∴CD=2253-=4． ∴BD=3．则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A．分析：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．10.（2011 荆州）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. 5714B.35C.217D.2114知识点：解直角三角形的应用解析：解答：延长BA作CD⊥BD，∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°．∴2AD=AC=2，∴AD=1，CD=3，∴BD=5，∴BC=27，∴sinB=327=2114．故选：D．分析：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．11.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里 知识点：解直角三角形的应用-方向角问题 解析：解答：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°， 在直角三角形ABC 中， BC=ABtan30°=12×33=43（海里）． 故选：D ．分析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC 即可．此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC ． 12. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB=α，那么AB 等于（ ）A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米 知识点：解直角三角形的应用解析：解答：在直角△ABC 中，tan α=AB m，∴AB=mtan α． 故选B ．分析：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算．在直角△ABC 中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．13. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）A. (533+32)m B. (53+32)m C.533m D.4m知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，∴CD=ADtan30°=5×33=533（米）．∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32（米）．故选A．分析：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出CD长，再加上AB长即为树高．14.一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303)知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则AC=12OA=30海里，OC=303海里．因而A所在位置的坐标是（303，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（303-50，30）．故选A．分析：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得点A的坐标，从而根据已知求点B的坐标．15.在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A. 1033km B.533km C.52km D.53km知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sinABACB=532=1033（km）．故选A．分析：本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．1.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是____答案：3知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）．故答案为：103．分析：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC 的长度是____答案：210cm．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．分析：此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．3.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=____答案：2-3．解析：解答：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，∴AD=3x，∴BD=AB-AD=2x-3x=（2-3）x，∴tan15°=BDCD=(23)xx=2-3．故答案为：2-3．分析：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．4.如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）答案：12解析：解答：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．5.如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为____（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．答案：8.1 m．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．分析：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．三、解答题1.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，t an54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）知识点：解直角三角形解析：解答：过点C 作CD ⊥AB 于D ， ∵BC=200m ，∠CBA=30°， ∴在Rt △BCD 中，CD=12BC=100m ，BD=BCcos30°=200×32=1003≈173（m ）， ∵∠CAB=54°， 在Rt △ACD 中，AD=tan 45oCD ≈1001.38≈72（m ）， ∴AB=AD+BD=173+72=245（m ）． 答：隧道AB 的长为245m ．分析：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．首先过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后在Rt △BCD 中，利用三角函数的知识，求得BD ，CD 的长，继而在Rt △ACD 中，利用∠CAB 的正切求得AD 的长，继而求得答案．2. 如图所示，两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30m ，张明同学住在建筑物AB 内10楼P 室，他观测建筑物CD 楼的顶部D 处的仰角为30°，测得底部C 处的俯角为45°，求建筑物CD 的高度．（3取1.73，结果保留整数．）知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．∴PE=BC=30．在Rt△PDE中，∵∠DPE=30°，PE=30，∴DE=PE×tan30°=30×33=103．在Rt△PEC中，∵∠EPC=45°，PE=30，∴CE=PE×tan45°=30×1=30．∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47（m）答：建筑物CD的高约为47 m．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30，在Rt△PDE中，利用∠DPE=30°，PE=30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC=45°，PE=30求得CE的长，利用CD=DE﹢CE即可求得结果．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1（1）如果∠BCD=30°，求AC；10知识点：解直角三角形解析：解答：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，答案：A、C之间的距离为10.3海里．知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=3x，又∵BC=20，即x+3x=20，解得：x=10(3-1)∴AC=2x≈10.3（海里）．答：A、C之间的距离为10.3海里．分析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案．5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD=5米，斜坡AB的坡度i=1：3（指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i=1：1.5，已知该拦水坝的高为6米．（1）求斜坡AB 的长；（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 答案：（1）斜坡AB 的长为610m ；（2）拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610 +313）m ．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析：解答：（1）∵AE BE =i =13,AE=6， ∴BE=3AE=18，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得： AB=22AE BE +=610，答：斜坡AB 的长为610m ； （2）过点D 作DF ⊥BC 于F ， 可得四边形AEFD 是矩形， 故EF=AD ，∵AD=5，∴EF=5， ∵DF CF =i=23， DF=AE=6， ∴CF=32DF=9， ∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32， 在Rt △DCF 中，根据勾股定理得： DC=22DF CF + =313，∴梯形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313，——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定将各边长度都扩展为原来的2倍，那么∠A 的正弦值( D )A ．扩展2倍B ．增加2倍C ．扩展4倍D ．不变2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝45，那么AC ∶BC ∶AB ＝( A )A ．3∶4∶5B ．4∶3∶5C ．3∶5∶4D ．5∶3∶43. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，假定AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 的值为( A ) A.53 B.255 C.52 D.234．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，那么tan A ＝( D )A.35B.45C.34D.435．计算sin30°·tan45°的结果是( A )A.12B.32C.36D.246．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 7．如图，AC 是电杆的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，那么拉线AC 的长为( D )A.6sin52°米B.6tan52°米 C ．6·cos52°米 D.6cos52°米 8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，那么斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米9．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝34，那么cos B 的值是( C ) A.45 B.34 C.35 D.4310．如图，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正西方向飞行了12海里抵达B 处，在B 处看到灯塔C 在正南方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是( D )A ．123海里B ．63海里C ．6海里D ．43海里11．如图，为测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，那么B 点到河岸AD 的距离为( B )A ．100米B ．503米 C.20033米 D ．50米 12．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( B )A ．(600－2503)米B ．(6003－250)米C ．(350＋3503)米D ．5003米13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AC ＝3，AB ＝5，那么cos B 的值是 __45__． 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，那么AC 的长是__5__． 15．如图，在空中上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，那么树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示),第13题图) ,第14题图) ,第16题图) ,第17题图)16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，那么△ABC 的面积是__12__cm 2.17．在△ABC 中，假定∠A ，∠B 满足|cos A －12|＋(sin B －22)2＝0，那么∠C ＝__75°__．18．长为4 m 的梯子搭在墙上与空中成45°角，作业时调整为60°角(如下图)，那么梯子的顶端沿墙面降低了__(23－22)__m.19．如图，在修建平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，平台CD 的高度为5 m ，那么大树的高度为3)__m ．(结果保管根号)20．规则：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判别以上等式成立的是__②③④__．(写出一切正确的序号)①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ； ④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y . 21．计算：(1)sin 230°＋cos 245°＋3sin60°·tan45°；解：94(2)cos 230°＋cos 260°tan60°·tan30°＋sin 245°. 解：3222．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，c ＝20，解这个直角三角形． 解：∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝10 323．假设是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此结构出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米．求∠ACD 的余弦值．解：衔接AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝152千米，在Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝15，∴∠ACD 的余弦值为1524．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD .求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝12，∴AC ＝4.设AD ＝x ，那么BD ＝x ，CD ＝8－x ，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2.解得x ＝5.∴cos ∠ADC ＝DC AD＝3525．如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示衔接缆车站的钢缆．A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1区分为160米，400米，1000米，钢缆AB ，BC 区分与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB 和BC 的总长度．(结果准确到1米)解：依据题意知BD ＝400－160＝240米，CB 2＝1000－400＝600米，在Rt△ADB 中，sin30°＝BD AB ，∴AB ＝BD sin30°＝480米，在Rt △BB 2C 中，sin45°＝CB 2BC ，∴BC ＝CB 2sin45°＝6002米，AB ＋BC ＝(480＋6002)米≈1329米 26．如图，某高速公路树立中需求确定隧道AB 的长度．在离空中1500 m 的高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A ，B 两点处的俯角区分为60°和45°.求隧道AB 的长．(3≈1.73) 解：∵OA ＝1500×tan30°＝5003，OB ＝OC ＝1500，∴AB ＝1500－5003≈1500－865＝635(m)。
【最新试题库含答案】人教版数学书九年级下册习题28.1答案
人教版数学书九年级下册习题28.1答案：篇一：沪教版数学九年级下第二十八章统计初步28.1数据整理与表示练习一和参考答案数学九年级下第二十八章统计初步28.1 数据整理与表示（1）姓名一、选择题1. 如图，是某校图书馆存书境况的统计图，由统计图得出的下列结论，正确的是 ( ) A.该校共有图书100本 B. 该校共有教辅类图书3000本C. 表示文艺类书的扇形的圆心角为108°D. 该校图书馆教辅书比文艺类书和科普类书的总数少第1题第2题2. 如图，是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图，根据统计图,下列对两户居民家庭教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,正确的是（） A. 甲户比乙户大B. 乙户比甲户大C. 甲、乙两户一样大D. 无法确定哪一户大3.要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（） A. 折线统计图 B. 扇形统计图 C. 条形统计图 D. 频数分布直方图4. 某农民在池塘里养了许多鱼，有草鱼、鲢鱼、鲤鱼、鲫鱼，各种鱼的条数的统计图如图所示，则下列说法中正确的是( ) A．草鱼的条数比鲢鱼的条数多B．鲤鱼在所有鱼中所占的比例最少 C．鲢鱼的条数最多D．鲫鱼在所有鱼中所占的比例最多第4题第6题5.一个班有40名学生，在期末体育考试中，优秀的有18人，在扇形统计图中，代表体育优秀扇形的圆心角是 ( ) A.144B.162 C.216 D.2506. 某水库水位发生变化的主要原因是降雨的影响，对这个水库5月份到10月份的水位进行统计得到折线统计图如图所示，则该地区降雨最多的时期为 ()1A．5~6月份 B.7~8月份 C.8~9月份 D.9~10月份二、填空题7．小明家本月的开支情况如图所示，如果用于其它方面的支出是150元，那么他家用于教育支出是元。
第7题第8题 8. 测得某市2月份1~10日最低气温随日期变化折线图如图所示（1）最低气温为2c的天数为_______天。
人教版九年级下册数学 28.1--28.2随堂练习题含答案
28.1锐角三角函数一．选择题1．计算sin230°+cos260°的结果为（）A．B．C．1D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sin A的值（）A．扩大100倍B．缩小C．不变D．不能确定4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝＝（）A．B．C．D．5．下列式子正确的是（）A．cos60°＝B．cos60°+tan45°＝1C．tan60°﹣＝0D．sin230°+cos230°＝6．规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，cos（x+y）＝cos x cos y﹣sin x sin y，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）＝﹣；（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cos x cos y+sin x sin y；（4）cos15°＝．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．8．若角α，β都是锐角，以下结论：①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④9．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tan A＝1，sin B＝，你认为△ABC最确切的判断是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形10．因为cos60°＝，cos240°＝﹣，所以cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知：cos210°＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二．填空题11．已知α是锐角，且sin（α+15°）＝，那么tanα＝．12．如图，已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边AC的长是．13．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A 与BC交于点F，则tan∠DEF＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则BC：AC：AB＝．15．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝．三．解答题16．计算：3tan30°+cos230°﹣2sin60°17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．18．（1）在△ABC中，∠B＝45°，cos A＝．求∠C的度数．（2）在直角三角形ABC中，已知sin A＝，求tan A的值．参考答案一．选择题1．解：sin230°+cos260°＝（）2+（）2＝+＝．故选：A．2．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝．故选：C．3．解：锐角A的三角函数值随着∠A角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此sin A的值不会随着边长的扩大而变化，故选：C．4．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝，∴cos B＝＝．故选：C．5．解：A．cos60°＝，故本选项不符合题意；B．cos60°+tan45°＝+1＝1，故本选项不符合题意；C．tan60°﹣＝﹣＝﹣＝0，故本选项符合题意；D．sin230°+cos230°＝1，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：（1），故此结论正确；（2）cos2x＝cos（x+x）＝cos x cos x﹣sin x sin x＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cos x cos（﹣y）﹣sin x sin（﹣y）＝cos x cos y+sin x sin y，故此结论正确；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝＝＝，故此结论错误．所以正确的结论有3个，故选：C．7．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，则tan∠BAC＝＝，故选：C．8．解：①∵sinα随α的增大而增大，∴若α＜β，则sinα＜sinβ，此结论正确；②∵cosα随α的增大而减小，∴若α＜β，则cosα＞cosβ，此结论错误；③∵tanα随α的增大而增大，∴若α＜β，则tanα＜tanβ，此结论正确；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ，此结论正确；综上，正确的结论为①③④，故选：C．9．解：由题意，得∠A＝45°，∠B＝45°．∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，故选：B．10．解：∵cos（180°+α）＝﹣cosα，∴cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣．故选：C．二．填空题11．解：∵sin60°＝，∴α+15°＝60°，解得，α＝45°，∴tanα＝tan45°＝1，故答案为：1．12．解：在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin B＝m sin40°，故答案为：m sin40°．13．解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，则tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．故答案为：．14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cos A＝＝，设AC＝2x，则AB＝3x，∴BC＝＝x，∴BC：AC：AB＝：2：3．15．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°又∵EA＝ED，∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，故答案为：72°．三．解答题16．解：原式＝＝＝．17．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝＝．∵BC＝2，∴＝，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．18．解：（1）∵在△ABC中，cos A＝，∴∠A＝60°，∵∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；（2）∵sin A＝＝，设BC＝4x，AB＝5x，∴AC＝3x，∴tan A＝＝＝．28.2 解直角三角形及其应用（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在中，，，，则的长度为（）A. B. C. D.2. 在高为米的楼顶测得地面上某目标的俯角为，那么楼底到该目标的水平距离是（）A. B. C. D.3. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆长为米，若，米，则楼高是（）A.米B.米C.米D.米4. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，海轮所在的处与灯塔的距离为（）A.海里B.海里C.海里D.海里5. 在直角中，＝，＝，，下列判断正确的是（）A.＝B.C.＝D.＝6. 如图，，，于点，则的长为（）A. B. C. D.7. 如图，为了测量小河的宽度，小明从河边的点处出发沿着斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度为＝，在点处测得小河对岸建筑物顶端点的俯角＝，已知建筑物的高度为米，则小河的宽度约为（精确到米，参考数据：＝，＝，＝）（）A.米B.米C.米D.米8. 如图，等腰的底角为，底边上的高，则腰、的值为（）A. B. C. D.9. 在中，是斜边上的高，如果，，那么等于（）A. B. C. D.10. 如图，小明同学在东西方向的环海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处东米的处，测得海中灯塔在北偏东方向上，则灯塔到环海路的距离米．A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 小明同学从地出发沿北偏东的方向到地，再由地沿南偏西的方向到地，则________．12. 在中，，，，则的值是________．13. 在中，，若，，则________．14. 一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含角的三角板和一只含角的三角板，如图放置恰好有一边重合，则的值为________．15. 如图，已知是等腰底边上的高，且．上有一点，满足．那么的值是________．16. 某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮至少需要________元．17. 如图，水平面上有一个坡度的斜坡，矩形货柜放置在斜坡上，己知．，，则点离地面的高为________．（结果保留根号）18. 如图，测量河宽（河的两岸平行），在点测得，，则河宽约为________．（用科学计算器计算，结果精确到）19. 如图，设，，为射线上一点，于，于，则等于________ （用、的三角函数表示）20. 如图，某飞机于空中处探测得地面目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，那么飞机到控制点的距离是________米．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在中，，是高，，求证：．22. 一艘轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位角是北偏东，又航行海里后，在处测得小岛的方位角是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁的危险？23. 某航班在某日凌晨从甲地（记为）起飞，沿北偏东方向出发，以的速度直线飞往乙地，但飞机在当日凌晨左右在处突然改变航向，沿北偏西方向飞到处消失，如果此航班在处发出求救信号，又测得在的北偏西方向，求与求救点的距离（结果保留整数，参考数据：，）．24. 如图，某中心广场灯柱被钢缆固定，已知米，且．（1）求钢缆的长度；（2）若米，灯的顶端距离处米，且，则灯的顶端距离地面多少米？25. 已知：在四边形中，，，，，（1）求的值；（2）求的长．26. 某校兴趣小组想测量一座大楼的高度．如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度＝，在离点米的处，用测角仪测得大楼顶端的仰角为，测角仪的高为米，求大楼的高度约为多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，．）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：在中，，、∵，∴．故选．2.【答案】B【解答】∵＝，＝，∴＝＝．3.【答案】B【解答】解：如图，∵在中，，米，，∴（米）．又∵米，∴米．又∵在直角中，，，∴（米）故选：．4.【答案】A【解答】解：过点作于点，由题意可得出：，，(海里)，故（海里），则（海里）．故选5.【答案】D【解答】∵在直角中，＝，＝，，，∴，∴，∵，，∴，6.【答案】C【解答】解：∵，∴，∴，∵，∴．故选．7.【答案】B【解答】作交的延长线于，作于，则四边形为矩形，∴＝，＝＝，设＝米，∵斜坡的坡度为＝，∴＝米，由勾股定理得，＝，解得，＝，∴＝米，＝米，∴＝＝＝，在中，，则，∴＝＝（米），8.【答案】C【解答】解：∵等腰的底角为，底边上的高，∴．故选．9.【答案】C【解答】解：．故选．10.【答案】C【解答】解：∵，．又∵，∴．∴．在直角中，．故选．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：如图：由题意知，，，∴.故答案为： .12.【答案】【解答】解：作于，如图，∵，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．故答案为．13.【答案】【解答】解：在中，∵，∴为斜边．∴．14.【答案】【解答】解：作于，如图，设，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴，在中，，在中，，∴••，•，∴．故答案为．15.【答案】【解答】解：作于，如图，∵为等腰三角形，为高，∴，∴设，，而，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴，在中，∴．故答案为．16.【答案】【解答】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，∵，∴，∴，∵，∴，∵每平方米售价元，∴购买这种草皮的价格为元．故答案为：．17.【答案】【解答】解：作，垂足为，且与相交于．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，设，则，∴，∴，∴．故答案是：．18.【答案】【解答】解：在中，∵，，∴故答案为．19.【答案】【解答】解：∵于，于，∴，∴，，∴．故答案为：．20.【答案】【解答】解：在直角中，，，∴．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】证明：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．【解答】证明：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．22.【答案】解：如图所示：由题意可得：，，则，，故，则（海里），可得：海里海里．则该船一直向东航行有触礁的危险．【解答】解：如图所示：由题意可得：，，则，，故，则（海里），可得：海里海里．则该船一直向东航行有触礁的危险．23.【答案】解：过点作于点，由题意可得：，，则，，∵，∴，∵，∴∴，则．．【解答】解：过点作于点，由题意可得：，，则，，∵，∴，∵，∴∴，则．．24.【答案】解：（1）在中，，∴设，，∴，解得，∴米，米．（2）如图，过点作于点．∵，∴，∴（米），∴（米）．∴灯的顶端距离地面米．【解答】解：（1）在中，，∴设，，∴，解得，∴米，米．（2）如图，过点作于点．∵，∴，∴（米），∴（米）．∴灯的顶端距离地面米．25.【答案】解：（1）如图，作于点．∵在中，，，∴，，∵，∴．∴∵，∴．∵，，∴．∴．（2）如图，作于点．在中，，，∴．∵在中，，∴．∴．∴在中，由勾股定理得：．【解答】解：（1）如图，作于点．∵在中，，，∴，，∵，∴．∴∵，∴．∵，，∴．∴．（2）如图，作于点．在中，，，∴．∵在中，，∴．∴．∴在中，由勾股定理得：．26.【答案】大楼的高度约为米．【解答】延长交直线于点，过点作，垂足为点．∵在中，＝，∴设＝，则，＝．又∵＝，∴＝，∴＝，＝．∵＝，∴＝．∵在中，，∴＝（米），∵＝，∴＝＝．∵＝，∴＝＝．。
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。
人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形同步测试及答案(新审)
∴ BD＝CD＝ 3. 由勾股定理得： AD＝ AC2－CD2＝ 3， ∴ AB＝AD＋ BD＝ 3＋ 3.
17．某学校的校门是伸缩门 ( 如图① ) ，伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为 30 厘米．校
门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60° ( 如图② ) ；校门打开时，每个菱形的锐角度数从
3
1
A． AD＝ 2 AB B ． AD＝2AB
2 C． AD＝ BD D ． AD＝ 2 BD
6．在 Rt △ ABC中，∠ C＝90°， a＝6， b＝ 2 3，则∠ B＝ __30° __．
【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由
b 23 3 tan B＝ a＝ 6 ＝ 3 ，得∠ B＝ 30° .
解：∵∠ C＝ 90°， AC＝ 2， AB＝2 2， AC 1
∴ sin B＝ AB＝ 2， ∴∠ B＝ 30°， ∴∠ A＝ 60° . BC＝ AB2－ AC2＝ 8－ 2＝ 6.
2， AB＝
1 13．如图 28－2－ 4，已知△ ABC中，∠ C＝ 90°， tan A＝2， D 是 AC 上一点，∠ CBD＝∠ A，则 sin ∠ ABD＝ ( A )
根据题意，得∠ B1A1D1＝ 10°， A1B1 ＝ 0． 3 米． ∵在菱形 A1B1C1D1 中， A1C1⊥ B1D1， ∠ B1A1O1＝ 5°， ∴在 Rt△ A1B1O1 中， B1O1＝ sin ∠B1A1O1· A1B1＝ sin5 °× 0.3 ＝ 0． 02616( 米 ) ， ∴ B1D1＝ 2B1O1＝0.05232 米， ∴伸缩门的宽是： 0.05232 ×20＝ 1.0464 米； ∴校门打开的宽度为： 6－ 1.0464 ＝4.9536 ≈5( 米 ) ． 故校门打开了 5 米．
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28.1 锐角三角函数（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知在△ABC中，∠B=90∘，且AB=12AC，则∠A的度数是()A.45∘B.30∘C.60∘D.无法确定2. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.√105C.2D.123. 当45∘<θ<90∘时，下列各式中正确的是（）A.tanθ>cosθ>sinθB.sinθ>cosθ>tanθC.tanθ>sinθ>cosθD.cosθ>sinθ>tanθ4. 已知α是锐角，cosα=13，则tanα的值是（）A.√310B.2√2C.3D.√105. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子不一定成立的是（）A.tan A=cot BB.sin2A+cos2A=1C.sin2A+sin2B=1D.tan A⋅cot B=16. 已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=65∘，则直角边BC的长是（）A.m sin65∘B.m cos65∘C.m tan65∘D.mtan65∘7. 当30∘<A<90∘时，sin A的值是（）A.大于√32B.小于√32C.小于12D.大于12且小于18. 若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n倍，（n是大于1的自然数），则两个锐角的三角函数值（）A.都变大为原来的n倍B.都缩小为原来的1nC.不变化D.各个函数值变化不一致9. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=3，则tan A的值是（）A.4 3B.34C.35D.4510. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3, 2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x 轴于点D．下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33, 0)．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若sin∠A=0.675，则∠A=________．12. 若0∘<α<90∘，tanα=1，则sinα=________．213. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sin A:sin B=2:3，那么a:b等于________．14. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为________.时，cos A=________．15. 若∠A为锐角，当tan A=√3316. 比较大小：sin87∘________tan47∘．17. 用计算器求值：sin23∘5′+cos66∘55′≈________．（精确到0.0001）=________．18. 若tan A=2，则sin A+cos Asin A−cos A19. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=3BC，则sin B=________，cos B=________．20. 如图，在△ABC中，∠C＝90∘，BC＝1，AB＝2，则sin A＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 计算（1）sin45∘+tan30∘cos60∘（2）tan60∘sin60∘−tan30∘tan45∘，求AC的长．22. 在△ABC中，∠C=90∘，BC=8cm，tan A=4323. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=4，求∠B的三个三角函数的值．524. 已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF>∠AOE．（1）求证：tan∠AOF>tan∠AOE；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．25. 如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(6, y)，且OP与x轴的，求角α的正弦值．正半轴的夹角α的正切值是4328.2《解直角三角形及其应》一、选择题1.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A.30.6B.32.1C.37.9D.39.42.如图，河流的两岸PQ,MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树CD之间的距离为50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=45°，然后沿河岸走了130米到达B处，测得∠CBN=60°则河流的宽度CE为（）A.80B.C.D.3.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米， =1.732）.A.585米B.1014米C.805米D.820米4.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米5.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米6.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α=，则小车上升的高度是( )A.5米B.6米C.6.5米D.12米7.重庆朝天门码头位于置庆市油中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头.如图，小王在码头某点E处测得朝天门广场上的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB的方向前行16米到D处，在D处测得A的仰角为74°，则此时小王距高楼的距离BD的为（）米（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）A.12B.13C.15D.168.底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米11.中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游.他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上.宾馆AB高为129米.某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）米（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A.262B.212C.244D.27612.春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C 处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处.已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（）米.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A.34.2B.32.7C.31.2D.22.7二、填空题13.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .14.如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为 m.（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）15.某单位门前原有四级台阶，其横截面积如图所示，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将它改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是 cm.16.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 .17.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.18.如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 .三、解答题19.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）20.如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留根号）21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面O处发射、当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C,D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：）22.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=56O米，∠D=50°.那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：）23.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AC=40cm，求支架BC的长.（结果精确到1cm，参考数据：）24.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？参考答案1.答案为：D；2.答案为：C；3.答案为：C；4.答案为：A；5.答案为：C；6.答案为：A；7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C；10.答案为：C；11.答案为：B；12.答案为：D；13.答案为：.14.答案为：262.15.答案为：27016.答案为：17.答案为：750.18.答案为：2+.19.解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，20.解：21.解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∴DO=2000，∵CD=460，∴OC=OD-CD=2000-460，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴2000+3x=2000-460，解得x≈335（米/秒）.答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.22.解：23.解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD是等腰直角三角形，∵AC=40cm，∴在Rt△ACD中，AD=0.5AC=20cm，∴支架BC的长为49cm.24.解:过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示.在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，∴CM=BC•sin∠CBM=15cm.在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，∴BF=AB•sin∠BAD=20cm.∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）.答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm.26. 解答下列问题.(1)【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B，E可得BE // CD，则∠ABE=∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为________；(2)【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．。