第7章 连续介质热力学

第7章 连续介质热力学
连续介质热力学是连续力学与经典力学的交叉或结合。

热力学构造
→连续介质热力学
§7.1 连续介质力学与热力学
连续介质力学：受力物体的变形和运动 热力学：力现象和热现象两者关系的科学 热力学定律：自然界的普遍定律
Newton(1642-1727)于1686年提出运动定律 Carnot 卡诺（1796-1832） 热功转换 Joule 焦耳（1818-1889） 热功当量 Mayor 迈尔（1814-1878） 第一定律 Clausius 克劳修斯（1850） 第二定律 热力学的研究方法：
1．热力学系统及其环境——热力学的研究对象
系统：被研究的若干物体组成的集合； 环境：系统周围物体形成的集合。

孤立系统：系统与环境之间既无能量交换，又无物质交换。

封闭系统：只交换能量，而不交换物质。

开放系统：既有能量交换，又有物质交换。

绝热系统：系统与环境之间没有热量交换。

2．热平衡状态：经典热力学便是研究均匀系的平衡热力学
系统在不受外界影响下能处于这个状态而永久不变（一定是均匀状态）
3．状态参数：
p （压力）、v （体积）、T （温度）、（对于气体来说）
4．状态方程：
T nR pv M = （对于气体）本构属性
只有两个状态参数是独立的，相当于力学中的本构方程。

其中：*
m
M n =
，*
m 为分子量，n 为摩尔数（单位为mol ），M R 为气体普适常数（mol 3144.81⋅⋅=-K J R m ），T 为绝对温度。

5．热力学过程：
A 由一个状态经过一系列中间状态，最后到达一个终点状态，构成一个热力学过程。

6．过程分类：
可逆过程和不可逆过程。

§7.2 热力学第一定律
1．热功当量（将功与热建立了联系）
焦耳实验：闭合过程
系统的静止状态，返回到静止状态 系统的初始温度与结束时温度相同。

JA Q = （当时闭合过程成立）
其中：Q 为热量，A 为功，J 为热功率当量
1卡186.4=焦耳
2．热力学第一定律
设Q 以传入系统为正，输出为负，为系统作功为正，则上式应改为：
JA Q =- （Q 本身为负）
第一过程①：从状态A 到状态B 对应于11,Q A
第二过程②：从状态A 到状态B
对应于22,Q A
若有过程○
r :从状态B 到状态A 对应于r r Q A ,
过程①+过程○
r 为另一闭合过程，于是有 )(11r r Q Q J A A +-=+
两式相减，有：
)(2121Q Q J A A --=-
于是有：
2211JQ A JQ A +=+
JQ A +∴与过程无关，只决定于起点和终点的状态，当然是状态参数。

将JQ A +称
为内能U ，则
B A A B JQ A U U →+=-)(——热力学第一定律
1) 适用于不闭合过程
2) 适应于可逆变化或不可逆变化——任何过程适用 微分形式为：
d d d U A J Q =+
U 与过程无关，则U d 为全微分，而A d 和Q d 只是一个增量，分别不一定为全微分，
因此在记号上给予区别。

将单位全化为焦耳，即J 已经乘进去了，公式可简化为：
Q A U d d d +=
对于绝热过程：a A B A U U =- 如：弹性力学，外力作功→应变能（应变能就是内能函数） 总结：1）热力学第一定律适用于一切过程，内容为内能、热量和功的相互转换关系；
2）内能是状态函数，或状态参数
3）没有出现温度，没有反映热流过程，因此，第一定律不是以空气描述热力学过程。

§7.3 热力学第二定律
卡诺1824年研究热机，写了论文《论火的动力》中提出：热机必须在两个热源之间工作并提出卡诺定理：可逆循环的热效率公式。

（注：1842年才有热力学第一定律，而卡诺1824年就超前提出第二定律思想），后来克劳修斯和开尔文提出，要论证卡诺定理，需要一个新的原理，根据这个原理可证明卡诺定理。

1．开尔文说法：（1851年）：
不可能从单热源吸取热量，使之完全变成有用功，而不引起其它变化。

2．克劳修斯说法（1850年）
不可能把热量从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化。

3．Caratheodory （1919年）
在系统的任意一个给定的平衡状态附近，总存在这样的状态，它不能由给定的平衡状态经过绝热过程而达到。

上述三种说法是等价的。

Kelvin 和Clausius 讲法的等效性：
1）若Kelvin 讲法不对，即可从单一热源1T 取出A Q →，使其升温2T →，传给高温热源，于是Clausius 讲法也不对。

2）若Clausius 讲法不对，即从1T 取2T Q →，再变成A 回1T ，循环往复，于是可从单一热源作功，即Kelvin 讲法不对。

§7.4 卡诺循环和卡诺定理
可逆过程：热的方面：系统和热源在热交换中，温差必须无限小。

力的方面：没有摩擦
可逆过程，可正向变化，也可逆向变化（状态参数分别为正和负） 两种标准的可逆过程：等温过程和绝热过程。

等温过程：一个机械的可逆变化，加上一个和系统温度相同的热源
绝热过程：一个机械的可逆过程，加上一个对系统的绝热壁。

理想热机：由二个等温过程和二个绝热过程构成卡诺循环 热机效率：
2
2
2
221
1
111Q q Q Q A Q q Q Q A -==-==
21ηη
卡诺定理（一）
工作于二个一定温度之间的卡诺循环，有相同的效率。

证：设Q Q Q ==21，
①令I 作正循环，Ⅱ作逆循环，要证明1η≯2η
若21>ηη，则2121q q A A >→>，根据Kelvin 讲法，这是不可能的，1∴η≯2η
②令I 作递循环，Ⅱ作逆循环，同时可证：2η≯1η
21=∴ηη
卡诺定理（二）： 不可逆循环的热效率
2
2
2221
1
111Q A Q q Q Q A Q q Q =-=
=-=21ηη
证I 作逆循环，可证2η≯1η 但不能证明1η≯2η
则：不可逆循环的热效率不可能大于可逆循环的热效率，即1η≥2η。

§7.5 绝对热力学温标
一般情况下，温度依赖于介质，这在热力学中是不允许的。

根据卡诺定理：
Q
q Q Q A -==
η 只决定于二个热源的温度
2A
)
A 2A
Q
q
-
1=η 只决定于1T 和2T ，但?1=T ，?2=T ，如何标定？ 令
2
1
T T Q q =，则卡诺循环的效率为： 2
122111T T T T T Q q
Q q Q Q A -=-=-=-==
η 可逆循环：2
1
2T T T Q q Q r -=
-=
η 不可逆循环：i i i i Q q Q -=η≤2
1
2T T T -
§7.6 克劳修斯不等式
2
1
2T T T Q
q Q r -=
-=
η 2
1
2T T T Q q Q i -<
-=
η 令q Q -=∆1，Q Q =∆2，则
212111T T Q Q r -=∆∆+
=η 2
12111T T
Q Q i -<∆∆+=η 将上两式写成一个式子，（等式用于可逆循环，不等号用于不可逆循环）
21Q Q ∆∆≤2
1T T
- 则
2
2
11T Q T Q ∆+
∆≤0 对于多个热源工作，可推广之：
∑∆i i
i
T Q ≤0 若每两个热源的温度相差很小时，所取的热量也很小，则上式变为
⎰T Q
d ≤0 克劳修斯不等式
其中，等号用于可逆循环，不等号等于不可逆循环，闭路表示一个循环。

§7.7 熵 entropy
克劳修斯不等式：
⎰T Q d ≤0
循环⎩⎨
⎧不可逆
可逆
研究一个不闭合的可逆过程：
⎰
=0d T
Q
0 0d d r r B
A B A c c T Q T Q
⎰⎰=+ 设r
C '为0r C 的可逆过程，则 r r B A B
A c c T Q T Q
'=-⎰⎰ 0d d
则 d d r
r B
A B
A
c c T Q
Q '=⎰
⎰ 是一个状态函数，与过程无关 令 A B B A S S T
Q
-=⎰d S 称为熵 也可写为：⎰=-P P T
Q
S S 0d （可逆过程）
可逆过程中，上式 左边称为系统增加的熵（0S 变为S ） 右边（如右图）为环境给予系统的熵 不可逆过程：
)(c c T Q T Q
r i P P P
P )(0d d 00⎰⎰<+ 则：)
( )( )( )(d d 0d d 0000i r r i P
P P P P P P P c c c c T Q T Q T Q T
Q
''>→<-⎰⎰⎰⎰ 可逆过程提供的熵 不可逆过程环境提供系统的熵
（等于系统增加的熵） 系统的熵
则：
)( d 00i P
P e T Q
S S ⎰
>-
对上式求导，并定义，S d ：系统增加的熵，T
Q
s e
d d =
：环境提供的熵
)n
∴不可逆过程：)(d d e S S > i e S S S d d d +=
可逆过程：e
S S d d = T
Q S d d = 或 S T d d =θ
其中i
S d 为由于不可逆过程的内部耗散，产生于系统内部的熵。

熵有增无减。

0d =i S 为逆过程，0d >i S 为不可逆过程，0d <i S 不可能出现。

又 S d ≥T
Q
d 则 S T d ≥Q d
又根据热力学第一定律，A U Q d d d -=
S T d ∴≥A U d d - 热力学第二定律的数字表述
对熵的总结：
1.状态函数（与过程无关）T
Q
S e
d d =
2.实在的物理量（不是抽象的数字符号，但不可测量）。

3.通过计算求熵（不能测量）
0P 点对应于0S ，对于P 点的S ，可设计一个可逆过程求之。

4. 可逆绝热过程，熵值不变
可逆，则T
Q
S e d d =
又 绝热，则0d =Q ，0d d ==∴e
S S
5. 对于弧立系统 0d =Q ①可逆过程 0d =i
S ②不可逆过程 0d >i S
S d ≥0 有增无减。

若将世界视为孤立系统，世界的熵有增无减→热寂字
6．在热力学第二定律中是一个重要的概念，有了熵，才有第二定律。

§7.8 连续介质热力学第一定律
热力学定律在连续介质力学中的应用
连续介质中引入热力学定律较困难，原因是：因为热力学中研究准静态，即均匀态，但连续介质中的应力场、应变场、温度场都不一定是均匀的。

假定：连续介质中每一个微元是一个自治系统，每一个微元是均匀的，再将整个系统视为微元的迭加（熵迭加等）。

1．Euler 描述法： 物体内能 ⎰=V
v u U d ρ
设u 为单位质量的内能
n
物体的能
1
d
2
vv
v
K v
ρ
=⎰
其中v为速度
单位时间外力对物体所作的功（外力功率）：
()d d
p v fv
n
v
S
A s v
ρ
=+
⎰⎰
单位时间内环境传给的热量和系统内部产生的热量
d d
h n
v
S
Q s r v
ρ
=-⋅+
⎰⎰
其中：h 为热流矢量，=
h单位时间沿热流方向通过单位面积的热量，传出时为正；r 存在于物体内部的热源，单位时间产生的单位质量的热量。

Q
A
U
K
+
=
+
∴热力学第一定律
⎰
⎰
+
=
+
=
v k
k
k
k
v
v
t
v
v
v
v
v
K
v
t
u
v
u
U
)]
d
(
d
d
2
1
d
[
)]
d
(
d
d
d
[
ρ
ρ
ρ
ρ
利用散度定理：
()
d d
d
()
,
,,
()
[]
ˆp v
k k
v v
kl k l kl l k k k
v
n n
k k kl l k
Q h v r v
A v v f v v
p v n v
ρ
σσρ
σ
=-+
=++
=⋅=⋅⋅
⎰⎰
⎰
代入后，有：
d
)
(
)
d
(
d
d
)
2
1
(
d)
(
,
,
,
,
=
-
-
+
+
+
-
+
-
⎰
⎰
⎰
v k
k
l
lk
k
v k
k
k
k
l
k
lk
v
v
v
f
v
v
t
v
u
v
r
h
v
u
ρ
σ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
根据质量守恒，第二项为零，第三项中括号内为平衡方程，恒满足该项也为零。

r
h
v
u
k
k
l
k
lk
ρ
σ
ρ+
-
=
∴
,
,
连续介质热力学第一定律，也称为Euler描述法局部能量守恒定律。

lk
σ
为Euler应力，对称张量，且
1
()
2
,,,
σ:D
lk k l lk k l l k lk kl
v v v D
σσσρε
=⋅+===
其中：ε 为单位质量的应变能的变化率
r
h
u
k
k
ρ
ερ
ρ+
-
=
∴
,
Euler描述法的局部能量守恒（最后表达方式）
2．Lagrange描述法
)(N
000()0
d (d d )
d d d S v fv ?V
l l V
N S
V
U u V V v K v v V
A S V Q
ρρρρρ====+=⎰⎰⎰⎰
令 d d hn
HN
s
S
s S -=-⎰
⎰ H 与h
同样定义，又是在初始构形上。

即：⎰⎰=V
K
K V
k
k V H
v h
d d ,, （*） 设 K
K k k S H s h d d = （K k K k S JX s d d ,= ） 则 k k K K h JX H ,=
k K k K K k k K K K h JX h JX H ,,,,,)(+=
可证明该项为零，（书中第3章例5）
将上式代入（*）式，满足，K k k K K K h JX H ,,, =∴
⎰⎰+-=∴V
V
K K V r V H Q d d 0, ρ
同样可求得：
T 0,S :F K K u H r ρρ=-+
或
r H u K K 0,0ρερρ+-= Lagrange 描述法热力学第一定律
其中：T 0S :F ρε
= S 为Lagrange （名义）应力张量。

T 0(ˆT :S :F T :D E J ρε
ρε====) §7.9 连续介质热力学第二定律
T
Q S S S S e
i e /d d d d d =+=
连续介质，不平衡系统，但对于每一微元，有明确的熵的定义（平衡系统）
1．欧拉描述法
T S e /d d θ=
单位时间内：T Q s
e
/d d = 则
v d d [()]d ,/n e v s k k h S r
T v s T
h r
v
T T
ρρ=-⋅=-⎰⎰⎰
物体的熵的变化率：S
，单位质量熵的变化率s v s S v
d ⎰⋅= ρ
⎰=-=v
i e i v s S S S d )()( ρ
其中 )
(i s
为单位质量的内部产生的熵的变化率，称为比熵产率。

则：⎰⎰⎰-=
v
e
v
v i v s v s
v s d d d )
( ρρρ e i s s s
-=)( ∴比熵产率：k k i T
h T r
s
s
,)
()(1 ρ+-=≥0 等号成立时为可逆过程，不等号成立时为不可逆过程。

或 k k k k i h T T
h r s T s
T ,,)
(1---=ρρρ≥0
又 u h r k
k ρερρ-=+-, （第一定律） 则 k k i h T T u s T s T ,)(1)--+(=ερρ≥0 称为Clansius-Dnlem 不等式。

其中 T :D ρε=
2．Lagrange 描述法
同理可得：
K
K i H T T
u s T s
T ,0)(01)(--+=ερρ≥0 其中：T 0ˆS :F
T :E T :D ρε=== 0)(>i s
不可逆过程 0)(=i s
可逆过程 0)(<i s
不可能发生过程。