奥数暑期五年级讲义

2012-2013学年度学暑期五年级讲义
第九讲：进位制与取整运算
一、知识要点
1． 进位制的本质：n 进制就是逢n 进一，借一当n ．
2． 不同进制之间可以互化，一般以十进制作为桥梁．十进制化为二进制时，只需除2取余；
同理，十进制化为八进制时，只需除8取余．
3． 在某些数学计算中，有时会略去一些量的小数部分，而只需要求它的整数部分．例如计
算水费时，为方便计算经常忽略掉水表的小数部分．只关心某个数的整数部分，就涉及到取整问题。

符号[]x 表示不超过x 的最大整数．例如，[]314.3=，[]48.4=，[]55=，
[]00=，[]003.0=，225=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，031=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 4． 关于取整运算，显然有以下性质：
①[]a 是整数； ②[]a a ≤； ③[]1a a +<；
④若1b ≥，则[][]a b a ≥+；若1b ≤，则[][]1a b a +≤+；
⑤若n 是整数，则[][]n a n a +=+．
5．数a 的小数部分一般用符号}a {表示。

例如，{}14.014.3=，{}8.08.4=，{}05=，
{}00=，{}03.003.0=，5.025=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，25.041=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧，显然有{}[]a a a -=，{}1a 0<≤．
二、典型例题
例1．计算：①77)656()234(+；②88)456()123(+
例2．（1）在几进制中有100134=⨯？（2）在几进制中有16324125125=⨯？
例3．(1)将三进制中的数12120120110110121121改写为九进制，其从左向右数，第一位数字是几？(2) 将二进制中的数10100001101改写为八进制．
例4．(1)一个7进制的三位数abc 化为9进制的数为cba ，求这个数在十进制中为多少？
(2) 一个6进制的三位数abc 化为9进制的数为cba ，这个数在十进制中为多少？
例5．设1987在b 进制中可以写成三位数xyz ，且7891z y x +++=++，试确定出所有可能的b ,z ,y ,x 的值．
例6．(1) 求7122222003÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯ 的余数．(2) 求26133332003÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯ 的余数．
例7．一袋花生共有2004粒，一只猴子第一天拿走一粒，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和。

如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？
例8．求2010~1中能被2或3或5整除的整数的个数．
例9．求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⨯4140234139234122341123 的值．
例10．求关于x 的方程[]{}0x 96x 19=-的解的个数．
例11．求出方程[]{}2001x 19x 5=-的所有解．
例12．求满足[][]182x x =+的x 的值．
例13．在数列⎥⎦⎤⎢⎣⎡198012，⎥⎦⎤⎢⎣⎡198022，⎥⎦⎤⎢⎣⎡198032，…，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡198019802中有多少不同的数？
例14．求使12n -能被7整除的所有自然数n ．
例15．给定6个数：1，3，9，27，81，243，从这6个数中取出若干个数（每个数至多取一次），然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的和数．把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，10，12，……，请问其中的第39个数是多少？ 分析与解：
三、练习题
1．填空：()(
)()852101101== 2．填空：()()()34726==
3．若()()n 103452=，则=n
4．若()()m 1020220=，则=m
5．下列算式是几进位制的乘法？
111012302123=⨯
6．如果下列算式是八进制算式，请求出各字母表示的数字（不同字母表示不同数字）．
A B C D
＋ C B A B
B B
C B B
7．一次乒乓球淘汰赛，共有23名同学参加，请问：共有多少人次轮空？
8．今有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码，却因为丢了一个砝码而使天平无法称出12克和23克的重量，请问：丢了哪个砝码？
9．夏季的一天，青蛙说：“今天我吃了3210只蚊子。

”蜘蛛说：“你吹牛，我替你数的是344只蚊子。

”原来青蛙有四条腿，按四进制计数；而蜘蛛有八条腿，按八进制计数．如果按十进制计数，青蛙吃了多少只蚊子？
10．求证：1222222222
23101112131415-+-++-+-+- 能被5整除．
11．计算：[][]413⨯÷π
12．在1～10000这一万个自然数中，有多少个数能被5或7整除？
13．在1～500这500个自然数中，有多少个数是3或5的倍数？
14．在1～1000这1000个自然数中，有多少个数既不是3也不是7的倍数？
15．已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=979619997219997
1199S ，求S 的值．
四、练习题参考答案：
1．()()10245101101=，利用十进制化为n 进制时“除n 取余”的方法，可得
()()()85105514045==
2．()()()()341072*********===
3．由n 进制运算，可得()4n 334n +⨯=，由已知可得方程524n 3=+⨯，所以16n =．
4．由m 进制运算，可得()22m 2m 0m 22022
12m +=+⨯+⨯=，由已知可得方程 2022m 2=+，解得3m =．
5．根据尾数分析法，可知算式为四进制．
6．由和的首位数字分析，可知1B =，从而加数中的0D =，进而由加数的最高位C A +需要进位1可得9C A =+，而9726354=+=+=+，最后试算可得3C =，6A =．综上可得6A =，1B =，3C =，0D =．
7．()()2101011123=，
8．丢的是4克的砝码．而()()()()222101001000110012+==，
()()()()()()2222210110100100001011123+++==，由题意，导致12克和23克的重量不能被称量的是两式中的公共加数()41002=．
9．()()1042283210=，()()108228344=，即按照十进制计数，青蛙共吃了228只蚊子．
10．122222222223101112131415-+-++-+-+- =122222101214+++++ 化为二进制为()2101011010101 ，其中的1共有8个，且与0间隔排列．而()()2101015=， 显然，在二进制下()2101能整除()2101011010101 ，
从而5能整除1222222222
23101112131415-+-++-+-+- ．
11．[][]413⨯÷π=[][]34134313÷⨯=⨯÷=17352=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡． 12．在1～10000中能被5或7整除的数共有 3143285142820007510000710000510000=-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个． 13．在1～500这500个自然数中，是3或5的倍数的数共有
233331001665350055003500=-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个． 14．在1～1000这1000个自然数中，既不是3也不是7的倍数的数共有
57247142333100073100071000310001000=+--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-个． 15．提示：仿例9的方法，易得19811999796199971199=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯，同理1989795199972199=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯，……，19897491999748199=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯，
从而9504
48198S =⨯=．。