多元正态分布的参数估计.

令
x1
表示舒张压， x2
表示收缩压，假设某地区人的血压
X
x1 x2
服从正态分布 N2(,) ，现从该地区随机抽取 5 人，测得血压数据
如下：
被测量者
12345
舒张压 x1
120 110 114 118 116
收缩压 x2
80 70 75 77 72
求 和 的无偏估计。
解：
X
1 5
5 i1
Xi
(2) X 和 S 相互独立;
(3)
X
~
N p(,
1 )， n
(n 1)S V ~ Wp (n 1, )
定理1.4.2
设X
1
,
X
2
,,
X
是来自于多元正态
n
总体N p (, )的一个随机样本，则：
X 和 (n 1) S 分别是总体均值 和总体
n 协方差矩阵 的极大似然估计。
例1.4.1:
设x1, x2 ,, xn是来自于正态总体N (, 2 )
的随机样本，则：
(1) 样本均值x 和样本方差s2分别是
总体均值 和方差 2的无偏估计;
(2) x和s 2相互独立;
(3) x ~ N ( , 2 )， (n 1)s 2 ~ 2 (n 1)
n
2
一元正态总体 参数的极大似然估计
设x1
第四节
多元正态分布的参数估计
设X
1
,
X
2
,,
X
为来自于多元正态总体
n
N p (, )的样本,
x1i
0, 其中X i
x2i
，
xpi
则常见的样本统计量有
样本均值
1 n
X n i1 X i
x1i
Xi
x2i
xpi
样本离差矩阵
n
V ( X i X )( X i X ) i 1
,
x2
,,
x
是
n
来自于
正
态的随机样本，则：x 和 (n 1) s 2 分别是
n
总 体 均 值 和 方 差 2的 极 大 似 然 估 计 。
定理1.4.1
设X1,
X
2
,,
X
是来自于多元正态
n
总体N p (, )的一个随机样本，则：
(1) 样本均值X 和样本协方差矩阵S 分别是
总体均值 和总体协方差矩阵 的无偏估计;
样本协方差矩阵
1
S
(sij ) p p
V n 1
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)( X i
X
)
样本相关矩阵
R (r ) D SD Rij (rpij )ppp
D SD ss
12
1 2
1
s2
1
s2
其中：
s1 2 11
D 1 s2
s1 2 pp
rij
sij sii s jj
一元正态总体参数估计的回顾
17145.8.6
S
1 4
5 i1
(Xi
X)(Xi
X)
1134..48
13.4 15.7