1.逆变换与逆矩阵

选修4－2 矩阵与变换 选修4
知识应用
对于下列给出的变换矩阵A,是否存在矩阵 例1对于下列给出的变换矩阵 是否存在矩阵 对于下列给出的变换矩阵 B使得连续进行两次变换的结果与恒等变换 使得连续进行两次变换的结果与恒等变换 的结果相同? 的结果相同 (1) 以x轴为反射轴作反射变换 轴为反射轴作反射变换; 轴为反射轴作反射变换 (2) 绕原点逆时针旋转 0作旋转变换 绕原点逆时针旋转60 作旋转变换; (3) 横坐标不变 沿y轴方向将纵坐标伸为原来的 横坐标不变,沿 轴方向将纵坐标伸为原来的 2倍作伸压变换 倍作伸压变换; 倍作伸压变换 (4) 沿y轴方向 向x 轴作投影变换 轴方向,向 轴作投影变换; 轴方向 (5) 纵坐标 不变 横坐标依纵坐标的比例增加 纵坐标y不变 横坐标依纵坐标的比例增加, 不变,横坐标依纵坐标的比例增加 的切变变换. 且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换
一般化： 一般化：
a b 一般地, 对于二阶矩阵A= ,它的逆矩阵为: c d −b d ad − bc ad − bc -1 A = a −c ad − bc ad − bc
2012年4月28日星期六
选修4－2 矩阵与变换 选修4
• 已知 A, B, C 为二阶矩阵 且 AB=AC ,若矩阵 为二阶矩阵,且 若矩阵 A 存在逆矩阵 则 存在逆矩阵,则 B=C
证明： 矩阵A存在逆矩阵 \ A A = E Q 于是
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B = ( A A )B = A ( AB ) = A ( AC ) = ( A- 1 A )C = C
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例4 试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵: 1 0 0 −1 (1) A = B = 1 0 0 −1
(2) 1 0 A= 0 2 1 1 B= 2 0 1
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选修4－2 矩阵与变换 选修4
对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律? 对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律
0 −1 (3) C = 1 0
结论： 结论： 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量 的一一映射时，它才是可逆的。 的一一映射时，它才是可逆的。 逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的 矩阵。 矩阵。
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选修4－2 矩阵与变换 选修4
二阶矩阵的乘法AB表示连续实施两 二阶矩阵的乘法AB表示连续实施两 AB 次几何变换。 次几何变换。 问题： 问题： 那么连续实施两次几何变换的 逆变换是什么呢？ 逆变换是什么呢？
逆矩阵的概念
选修4－2 矩阵与变换 选修4
Fra Baidu bibliotek
探究： 探究：
ρ •σ = σ • ρ = I ?
对于一个线性变换 ρ ，是否存在一个线性变换σ ，使得
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B，使得 AB=BA= E 2
这节课，我们来研究这些问题。首先，请同学们看课本43页例1和44页例2.
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即：(AB)-1=？ ？
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选修4－2 矩阵与变换 选修4
建构数学
性质2 性质2：
• 若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存 在逆矩阵,且 , (AB)-1=B-1A-1
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5 1 例3 求矩阵 A = 的逆矩阵. 7 3
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例2
用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆 矩阵,若存在把它求出来 若不存在,说明理由 矩阵 若存在把它求出来;若不存在 说明理由. 若存在把它求出来 若不存在 说明理由
(1) 0 1 A= 1 0 1 (2) B = 2 0 1 (4) D = 1 0 1 0 0
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建构数学
对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA= E 2 是可逆的, 称为A 逆矩阵. 则称 A 是可逆的 B 称为 的逆矩阵 通常记 A的逆矩阵为 A-1 的逆矩阵为 思考： 的逆矩阵有多少个 的逆矩阵有多少个？ 思考： A的逆矩阵有多少个？ 性质1（逆矩阵的唯一性 唯一性）： 性质 （逆矩阵的唯一性）： 是二阶矩阵，如果A是可逆 设A 是二阶矩阵，如果 是可逆 的逆矩阵是唯一的. 的，则A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的