证明——助翔数学严谨性的双翅

合集下载

构造复的辅助数列证明柯西不等式

构造复的辅助数列证明柯西不等式文章一：给学生们的柯西不等式证明之旅同学们，今天咱们一起来探索一个神奇的数学定理——柯西不等式。

为了证明它，咱们要构造一个复的辅助数列，这就像是打开一扇通往数学奇妙世界的秘密之门。

想象一下，有两个班级，一班的同学成绩分别是 80 分、90 分、70 分，二班的同学成绩是 75 分、85 分、65 分。

我们想比较这两个班级的整体成绩水平。

这时候柯西不等式就派上用场啦！咱们构造的复的辅助数列，就像是给这两个班级的成绩加上了特殊的魔法。

通过一系列巧妙的计算和比较，就能得出明确的结论。

比如说，咱们把一班的成绩看作一个数列，二班的成绩看作另一个数列。

按照柯西不等式的方法，构造出那个神奇的复数列，就能算出两个班级成绩之间的关系。

同学们，数学的世界就是这么神奇，只要咱们掌握了这些小窍门，就能轻松解决好多难题！加油，让我们一起在数学的海洋里畅游！文章二：柯西不等式证明：复辅助数列的奇妙魔法亲爱的小伙伴们，今天来和大家聊聊柯西不等式。

这可是数学里很有趣的一部分哦！咱们要证明柯西不等式，就得请出一个神秘的——复的辅助数列。

就好比你有一堆糖果，红色的糖果有 5 颗，蓝色的糖果有 3 颗。

我们想知道它们之间有没有什么特别的关系。

这时候，复的辅助数列就像一个超级侦探，能帮我们找出答案。

比如说，我们把红色糖果的数量看作一个数列，蓝色糖果的数量看作另一个数列。

然后通过构造复数列，进行一番神奇的操作，就能发现它们之间隐藏的规律。

是不是很神奇？快来和我一起探索这个有趣的数学世界吧！文章三：柯西不等式与复辅助数列的故事小朋友们，今天我要给你们讲一个关于数学的小故事。

故事的主角是柯西不等式和复的辅助数列。

想象一下，有两个小朋友在比赛跑步。

一个小朋友跑得快一点，每次能跑 10 米；另一个小朋友跑得慢一点，每次能跑 5 米。

我们想知道他们在一段时间内跑的总距离有什么关系。

这时候，复的辅助数列就像一个公平的裁判，能告诉我们答案。

世界数学难题——四色猜想

世界数学难题——四色猜想平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。

可用符号表示：K（n)，n=、<4。

四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。

着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。

1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。

1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。

直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。

20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。

四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。

四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

23个数学难题

23个数学难题1.哥德巴赫猜想：每个大于2的偶数都可表示成两个质数之和。

2.孪生素数猜想：存在无穷多个孪生素数（相差为2的素数对）。

3.黎曼假设：关于黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都是1/2。

4.费马大定理：当整数n>2时，关于x,y,z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。

5.四色定理：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

6.庞加莱猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

7.BSD猜想：描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的深刻联系。

8.霍奇猜想：在非奇异复射影代数簇上，霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。

9.纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性：关于粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

10.杨-米尔斯存在性和质量缺口：量子物理中的基本问题。

11.P与NP问题：是否NP类问题在多项式时间内可被归约为P类问题。

12.三次方程的根式求解通式：对于一般三次方程ax³+bx²+cx+d=0求通用根式解。

13.五次方程无根式解的证明推广：高次方程在何种情况下无根式解。

14.圆内整点问题：求给定半径的圆内的整点（坐标为整数的点）个数。

15.华林问题：对于任意给定的正整数k，是否存在正整数s，使得每个正整数n都可以表示为至多s个正整数的k次方之和。

16.整点多边形面积最大问题：在给定平面上的整点中，求面积最大的多边形。

17.数的分拆问题：将一个正整数分解成若干个正整数之和的不同方式有多少种。

18.埃尔德什-莫德尔不等式的推广：关于三角形内一点到三个顶点距离和与三边关系不等式的推广。

19.梅森素数是否有无穷多个：形如2ᵖ-1（p为素数）的素数是否有无穷多个。

20.完全数问题：是否存在无穷多个完全数（等于其真因子之和的数）。

21.等周问题：在平面上，周长一定的所有封闭曲线中，是否圆所围成的面积最大。

22.素数分布规律：寻求素数在自然数中的分布规律。

提高初中数学课堂教学有效性几点思考论文

提高初中数学课堂教学有效性的几点思考摘要：深化教育教学改革，实施素质教育，教师义不容辞。

初中数学的课堂教学改革应该从促进学生数学素质的发展出发，既要注意遵循知识内部的逻辑结构和学生的认识规律，又要重视体现现代教学理念，为学生的可持续发展奠定良好的基础。

要实现这一目标，就要提高课堂教学有效性，必须从五个方面着手，即注重基础性、培养创造性、强化实践性、增加情感性、教法科技性。

关键词：基础性创造性实践性情感性科技性随着教育改革的进一步深化，实施素质教育，培养知识经济社会的新型人才，日益成为当前教育发展的必然趋势。

要造就高素质的劳动者，就必须贯彻“以人为本”的教育方针，必须实施素质教育，必须摒弃书呆子式的“应试教育”。

课堂教学是教学的基本形式，是学生获取信息、提高能力和养成一定思想观念的主渠道，然而课堂教学的时间是有限的，要实现用最少的时间使学生获得最大的进步和发展，中小学课程改革必须面对的一个最现实问题就是如何使课堂教学效益最大化，有效的课堂教学是一种重要途径。

在新课程背景下如何提高课堂教学的有效性，历来是教学工作者的基本追求，也是我们开展对有效课堂教学研究的意义所在。

本人结合教学实践谈谈提高初中数学课堂教学有效性的几点思考。

众所周知，我国的数学教育有着传统的优势，学生的双基扎实，可为什么仍难以适应新时代的人才竞争需求呢？原因很简单，因为我们忽视了学生的主体意识，忽视了培养学生的创新意识，忽视了社会实践在学生成长过程中的重要作用。

十几年的课堂教学实践使我深深地体会到，初中数学的课堂教学改革要抓好五个环节，即注重基础性，培养创造性，强化实践性，增加情感性，教法科技性。

一、注重基础性万丈高楼平地起，没有扎实过硬的基础知识，是很难攀登数学高峰的。

尤其是数学学科，不仅具有高度的抽象性、逻辑的严谨性，还具有应用的广泛性。

我们应该从促进学生数学素质的发展出发，既注意遵循知识内部的逻辑结构和学生的认识规律，又要重视体现现代教学理念，为学生的可持续发展奠定良好的基础。

普通高等学校数学类公共基础课智慧教学实践

普通高等学校数学类公共基础课智慧教学实践作者：吕伏关美玲吴姗珊来源：《科技风》2024年第17期摘要：线下大班教学的公共基础课存在板书观看吃力和过程管理困难的问题，数学类课程具有较强的逻辑性和抽象性，单一的多媒体课件或者板书推演授课方式均存在一定的局限性，在充分分析本校生源特点及教学资源的基础上，基于“雨课堂”教学平台，配合融入课程思政和新工科建设思想的教学设计，先后设计了普通多媒体阶梯教室内以及录播教室内的高等数学课程智慧教学方案。

3个周期的教学实践结果表明，所提出的智慧教学方案实现了线下和线上教学资源的优化配置，在满足师生跨时空教与学需求的同时，为过程管理提供了客观翔实的统计数据，在调动学生学习积极性和提高课堂教与学效率方面起到了积极作用。

关键词：高等数学；智慧教学；数学类课程；过程管理；公共基础课中图分类号：O177.5文献标识码：C1概述自1999年普通高等学校开始大规模扩招以来，师生比和生源情况的变化给教与学带来了新的挑战［1］。

对本校电气与软件专业2022级辽宁籍学生的高考数学成绩和总成绩进行统计，结果表明，同一授课班级内学生的数学基础差距较大，这种差异性在教学内容设计和教学过程管理方面均应予以考虑，单一的考核评价机制将再难以实现教与学过程有针对性的客观评价［2］。

数学类课程的教学内容具有较强的逻辑性和高度的抽象性，采用线下板书推演的授课方式，有利于表现定理证明和关键例题求解的过程演绎，但对定义、定理和例题题干的表达效率较低，在对抽象的概念、定理和题目的直观解释方面表现欠佳。

多媒体丰富的影、音和图像资源，有助于抽象概念的直观表现，可以多维度地吸引学生的注意力，提高学习兴趣，调动学习积极性，但是在理论逻辑性较强的复杂问题推演教学过程中，长时间观看课件，学生容易产生视听疲劳，这也是当前相当一部分高校的数学课程坚持线下纯板书讲授方式授课的原因［3］。

近年来，随着互联网技术的发展和线上教学平台的建设，教与学模式由传统的线下逐渐发展出了线上、线上+线下混合以及融合式等多种模式。

2023年人教版初中数学教学设计

2023年人教版初中数学教学设计2023年人教版初中数学教学设计1一、教学目标1、知识与技能目标掌握有理数乘法法则，能利用乘法法则正确进行有理数乘法运算。

2、能力与过程目标经历探索、归纳有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力。

3、情感与态度目标通过学生自己探索出法则，让学生获得成功的喜悦。

二、教学重点、难点重点：运用有理数乘法法则正确进行计算。

难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解。

三、教学过程1、创设问题情景，激发学生的求知欲望，导入新课。

教师：由于长期干旱，水库放水抗旱。

每天放水2米，已经放了3天，现在水深20米，问放水抗旱前水库水深多少米？学生：26米。

教师：能写出算式吗？学生：……教师：这涉及有理数乘法运算法则，正是我们今天需要讨论的问题2、小组探索、归纳法则（1）教师出示以下问题，学生以组为单位探索。

以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向。

① 2 ×32看作向东运动2米，×3看作向原方向运动3次。

结果：向运动米2 ×3=② -2 ×3-2看作向西运动2米，×3看作向原方向运动3次。

结果：向运动米-2 ×3=③ 2 ×（-3）2看作向东运动2米，×（-3）看作向反方向运动3次。

结果：向运动米2 ×（-3）=④（-2）×（-3）-2看作向西运动2米，×（-3）看作向反方向运动3次。

结果：向运动米（-2）×（-3）=（2）学生归纳法则①符号：在上述4个式子中，我们只看符号，有什么规律？（+）×（+）=（）同号得（-）×（+）=（）异号得（+）×（-）=（）异号得（-）×（-）=（）同号得②积的绝对值等于。

③任何数与零相乘，积仍为。

（3）师生共同用文字叙述有理数乘法法则。

3、运用法则计算，巩固法则。

费尔玛猜想

费尔玛猜想费尔马(Fermat)是17世纪最卓越的数学家之一，终身职业是律师，业余时间喜欢恬静生活，全部精力花费在钻研数学和物理上．他在数论、几何和概率论等学科都作出了重大的贡献．他没有正式发表过他的论文，他常把他的想法或结果写在私人通信里，让别人也去想，也去证明，或者他写在看过的丢番图(Diophantos)的算术一书的页边空白处．1637年他写下了下面这段话：“把一个立方数分成两个立方数的和，把一个四次方数分成两个四次方数的和，或更一般地，把任意一个n次方数分成两个n次方数的和．对这一事实，我已经找到了一个绝妙的证明．但这里空白太小，写不下．”这段叙述用数学式子来表示，就是当整数n＞2时，不定方程x n+y n=z n没有正整数解．这就是费尔马猜想．在数学上，已予证明的命题才称为“定理”，既然费尔马声称已为他的这个命题找到了一个绝妙的证明，而且由于他在数学上的卓著成就，人们相信他的话是真的，因此就称这个命题为“定理”．国外普遍称之为费尔马最后定理，而我国普遍称之为费尔马大定理．为什么这样叫呢？名称的来源很大可能是费尔马在数论中提出很多命题，后来的数学家经过长期努力，证明大部分是正确的，只有一个是错误的，到1840年为止，只有这个定理未被证明，所以称为最后定理．我国普遍叫这个猜想为费尔马大定理，是为了与他的下列小定理进行区分：“若p为素数，a与p互素，则a p-1≡1(mod p)．”这个小定理在研究二次同余式和素性判别法中现在仍起很大作用．他的遗著发表了，人们很想从中知道他怎样证明的，但也无影无踪．因此，给出这个证明，便是后代数学家义不容辞的任务．后来的历史表明，这个任务实在是太艰巨了．大批杰出的数学家为了寻求他的证明付出了无数的时间和精力，有的数学家还为此献出了毕生心血，都未能达到成功的终点．令数学家们感到安慰的是，在这漫长曲折的科学道路攀登中，有利于猜想成立的某些结论不停地在推进中(1977年Wagstaff在大型计算机帮助下当2＜p＜125000时费尔马猜想成立)，更值得高兴的是为了征服这一世界难题，创造出许多新的且有用的数学方法．求解方法对费尔马猜想的证明，实际上只需证明x4＋y4＝z4和x p＋y p=z p，p为奇素数都没有正整数解即可．n=4的情形，费尔马本人已经证明，因此剩下的只有n=p——奇素数的情形了，其证明是非常困难的．首先，1770年欧拉对于n=3情形的证明．后来有人发现，他的证明还不够完全．因为他曾引进一种形如的数.他发现这种数与整数有许多相似的性质.正由于这种相似性,就引唯一分解成为素数这一性质可推出整数有如下性质：互素的整数的乘积是一个立方数只有当每个整数因子是立方数才行．因为当时还不知道形的数中素数是什么．于是他用类比方法推广到这类数中去，就得到：若得证．后来人们稍加修改，实质上欧拉还算是证明了n=3的情形．欧拉的方法和技巧对以后的研究有很大的启发性．特别是通过类比大的想象力．为后来数学家引出正则素数概念，推进猜想的证明作出不小贡献．(1)代数数论的方法——库默(Kummer)的工作对证明费尔马猜想作出实质性贡献的是19世纪德国数学家库默．具体地说，库默的重要工作是分圆域，且用它的理论在证明费尔马猜想上作出重大贡献．多项式x p-1+x p-2+…+x+1的根．数域Q(η)叫做分圆域．可以证明z(η)由所有形如C0＋C1η＋…＋C p-2ηp－2的数组成，其中C0，C1，…，C p-2取有理整数．在z(η)中，费尔马方程x p+y p=z p可通过因式分解表示为(x＋y)(x＋ηy)(x+η2y)…(x＋ηp-1y)=z p这时要是唯一分解定理成立，问题就好办了．实际上z(η)中唯一分解定理并不对所有η都一定成立．为了弥补这一缺陷，库默引进了理想数．他利用理想数论知识证明了如下重要定理：“若p为正规素数时，则方程x p+y p=z p没有正整数解，其中x，y，z两两互素．”对于正规素数的个数是有限还是无限，是一个没有解决的问题．但给出一个素数p，我们有办法判断它是否为正规素数．定义贝努里数B m(m=1，2，…)为计算得一个数的分子，则p是正规素数．用这个方法断定，对于小于100的奇素数，除37，59，67外，都是正规素数．因此，由上面定理可知，对于小于100的奇素数p，费尔马猜想成立．这里，我们不要小看这一成果，只要回顾在库默以前证明费尔马猜想的缓慢进度(从1676年～1839年的163年间只证得n=7情形)，就可看出这个结果在当时是多么了不起的成就．(2)代数几何的方法——法尔廷斯(Faltings)的工作本世纪80年代开始，向费尔马猜想展开了新的一轮进攻．那是1983年西德29岁的年轻数学家法尔廷斯一举证明了代数几何领域中的所谓“莫德尔(Mordell)猜想”．为证明费尔马猜想又迈进了重要的一步．什么是莫德尔猜想？它与费尔马猜想有什么关系？莫德尔猜想：设F(x，y)是两个变量x，y的有理系数多项式，那么，当曲线F(x，y)=0的亏格不小于2时，方程F(x，y)=0至多有有限组有理解．令F(x，y，z)为n次齐次多项式，其中n为f(x，y)的次数，并使F(x，y，1)＝f(x，y)，则f(x，y)的亏格g为当f(x，y)没有奇点时取等号．费尔马多项式x n＋y n-1没有奇点，当n≥4时，费尔马多项式满足得推论：x n+y n=z n最多只有有限多组互素的正整数解．如果我们再能进一步证明这有限多个正整数解为空集，那么这个费尔马猜想就得证了．这一令数学界欢欣鼓舞的结论使人们见到了穿破愁云的希望之光．法尔廷斯也因这一杰出成果获得数学界的最高奖——菲尔兹(Fields)奖．通过费尔马猜想与莫德尔猜想之间的联系，使我们看到，考虑猜想之间的联系是解决猜想的一个重要思维途径．数学家认为，沿法尔廷斯方法去证费尔马猜想虽迈出重要一步，要达到终点还有一段很长的路．要获得成功常常需要数学家用深邃的洞察力寻求数学各分支间出人意料的奇妙联系．1955年、1971年，日本数学家Taniyama、Shimura提出一个猜想：椭圆曲线都是模曲线——简称“T—S猜想”．椭圆曲线是由方程y2=x3＋ax＋b定义的曲线；能用模函数来参数化的椭圆曲线叫模曲线。

飞鱼模型初中数学

飞鱼模型初中数学《神奇的飞鱼模型，数学世界的魔法钥匙》嘿，同学们！你们听说过飞鱼模型吗？这可不是真正在大海里游的飞鱼哦，而是初中数学里超级有趣的一个东西。

就像探险一样，数学的世界里充满了各种神秘的宝藏和未知的秘密，而飞鱼模型就是其中一把神奇的钥匙。

记得有一次上数学课，老师在黑板上画出了飞鱼模型的图案，我当时眼睛都瞪大了，心里直犯嘀咕：“这是啥呀？能有啥神奇的？” 老师似乎看出了我们的疑惑，笑着说：“同学们，别小瞧这个飞鱼模型，它可是能帮咱们解决好多难题的宝贝呢！”老师先给我们讲了飞鱼模型的构成，那形状就像一只展翅飞翔的鱼。

两条边就像鱼的翅膀，夹角就像鱼的身体。

然后老师出了一道题：“已知一个飞鱼模型，其中一个角是60 度，另一个角是40 度，那剩下的角是多少度呢？” 同学们立刻开始埋头苦算。

我同桌小声嘟囔着：“这可咋算呀？” 我也皱着眉头，心里着急得很。

这时候，我们班的数学小天才李明举起了手，大声说：“老师，我算出来啦！因为三角形内角和是180 度，用180 度减去已知的两个角，剩下的角就是80 度！” 老师满意地点点头，说：“李明同学真厉害！大家明白了吗？” 同学们都恍然大悟，我也拍了下自己的脑袋，哎呀，我怎么就没想到呢！后来，老师又给我们出了好多关于飞鱼模型的题目，难度也逐渐增加。

有的题就像调皮的小怪兽，怎么都抓不住它的尾巴；有的题则像狡猾的狐狸，总是让人摸不着头脑。

但每次我们通过努力算出答案的时候，那种成就感，就像在炎热的夏天吃了一大口冰淇淋，爽极了！再后来，有一次数学考试，居然有好几道题都用到了飞鱼模型。

我心里那个美呀，心想：“嘿嘿，这次可难不倒我！” 我认真地读题，仔细地思考，把飞鱼模型的知识运用得淋漓尽致。

等成绩出来的时候，我考了个不错的分数。

我高兴得一蹦三尺高，对妈妈说：“妈妈，你看，飞鱼模型可帮了我大忙啦！” 妈妈也笑着说：“那可得好好谢谢这个神奇的飞鱼模型呀！”飞鱼模型就像是数学世界里的一盏明灯，照亮了我们前进的道路；又像是一把万能的钥匙，打开了无数难题的大门。

双垂直模型结论及证明

双垂直模型结论及证明双垂直模型听起来就像是一门深奥的科学，但其实呢，它也可以用一种轻松的方式来理解。

想象一下，你在玩积木，想要把一堆零碎的块拼在一起，结果发现有两个特别的块，像是交叉的两根线，一垂直一水平。

咱们就可以从这儿开始聊聊双垂直模型了。

这个模型的核心在于它如何处理数据，哎，这就像咱们生活中那些矛盾的事情，明明在一个方向上走，却总有一些意想不到的转折。

咱们得理解，双垂直模型主要是用来分析两个变量之间的关系。

就好比你和你的朋友，大家都是独立的个体，但当你们聚在一起的时候，就会产生各种有趣的化学反应。

这个模型就像是揭开了这种“化学反应”的神秘面纱，让人们可以清晰地看到各种关系。

有人可能会问，这个模型到底有什么用？它在很多领域都有应用，比如经济学、社会学，甚至在市场营销中也能看到它的身影。

就像是每次你想买个新手机，都会先比较一下各个品牌之间的优缺点，双垂直模型就是在帮助你理清这些复杂的关系。

咱们再深入一层，这个模型的结论是，两个变量之间的互动关系可以用一种简单明了的方式呈现出来。

比如说，你的工作效率和休息时间之间的关系，明明休息了之后，你的效率会更高，但如果你休息得太久，那效率又会掉下去。

哎，这种现象就像是喝咖啡，喝多了会心慌，但适量喝又能提神。

这个模型的魅力就在于，它能把这种复杂的互动关系用简单的图表和公式表达出来，真是太神奇了。

咱们来聊聊这个模型的证明部分。

证明就像是在解一道难题，有时需要一些巧妙的方式来显示出事情的真相。

你知道吗？很多时候，科学家们就是通过观察和实验来验证模型的准确性。

就像是你在厨房做菜，尝一尝再加点盐，最后调到一个恰到好处的味道。

双垂直模型的证明过程也是如此，得经过一系列的数据收集、分析，再加上一点运气，最终得到一个可靠的结论。

就算有时候结果不如预期，但这些数据也能让你明白哪里出了问题。

而这个模型的应用不仅限于理论，实际上，它对实际操作也有很大的帮助。

想象一下，如果你是一位商家，想要推出新产品，使用这个模型来分析目标客户的偏好，就能更精准地制定营销策略。

凯勒几何两大核心猜想被证明

凯勒几何两大核心猜想被证明
作者：
来源：《科技创新与品牌》2022年第01期
2021年11月初，《美國数学会杂志》发表了中国科学技术大学几何物理中心创始主任陈秀雄与合作者程经睿在偏微分方程和复几何领域取得的“里程碑式结果”。

他们解出了一个四阶完全非线性椭圆方程，成功证明了“强制性猜想”和“测地稳定性猜想”这两个国际数学界60多年悬而未决的核心猜想，解决了若干有关凯勒流形上常标量曲率度量和卡拉比极值度量的著名问题。

凯勒流形上常标量曲率度量的存在性，是过去60多年来几何中的核心问题之一。

关于其存在性，有三个著名猜想——稳定性猜想、强制性猜想和测地稳定性猜想。

经过近20年众多著名数学家的工作，强制性猜想和测地稳定性猜想中的必要性已变得完全清晰，但其充分性的证明在陈-程的工作之前被认为遥不可及。

求出一类四阶完全非线性椭圆方程的解，就能证明常标量曲率度量的存在性。

陈-程的工作恰恰就是在K—能量强制性或测地稳定性的假设下，证明了这类方程解的存在。

这类方程的研究极为困难，此前，对此类方程几乎没有合适的处理工具。

陈-程最重要的突破是给出了这类方程的先验估计以及成功实现了陈秀雄提出的新的连续参数的策略。

美国数学家克劳德·勒布润评价，“该系列论文是复微分几何领域一个非凡的、根本的、完全出乎意料的进展。

这些卓越的工作应该会在数学的其它领域包括与复微分几何相去甚远的领域产生影响。

”法国科学院院士吉恩-皮埃尔·德玛依认为，“他们的结果看来是对当代复微分几何一个极其重要的贡献。

”。

数学小天才的破解探索(数学难题解析)

数学小天才的破解探索（数学难题解析）数学一直是人类探索与思考的重要工具，也是一门极富挑战性的学科。

在我们的日常生活中，不时会遇到一些难以解决的数学难题，对于数学小天才而言，这些难题更是激发了他们对数学的兴趣，勇往直前地探索与破解。

本文将通过几个经典难题的解析，带您领略数学小天才们的破解过程与思维魅力。

一、费马大定理的证明费马大定理是以法国数学家费尔马命名的，该定理在数学界引起了巨大的轰动。

费马大定理的原始形式是在lj的小时候记录在他的笔记中的，该定理表明当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n在整数领域内无解。

几个世纪以来，许多数学家努力寻找一个简单且可行的证明方法，然而长久以来都没有取得进展。

直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理，他运用到了现代数学的前沿领域，包括模形式、椭圆曲线等概念。

这个证明震惊了全球数学界，使得费马大定理的数学小天才终于破解成功。

二、哥德巴赫猜想的解答哥德巴赫猜想是一个源远流长的难题，它的原始形式可以追溯到公元1638年，由德国数学家哥德巴赫提出。

该猜想表明，每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

长期以来，数学家们对于哥德巴赫猜想的解法苦苦思索。

而到了2013年，数学家们通过运用计算机方法，提出了一个完整的证明，解答了这个世纪以来备受困扰的难题。

他们发现每个大于2的偶数都可以表示为至多6个质数之和，并利用计算机应用这一结论验证了哥德巴赫猜想。

三、四色定理的根据四色定理是一个具有重要意义的数学问题，它表明在给定的平面图中，最多只需要四种颜色就可以保证相邻的区域颜色不同。

这个问题最早产生于19世纪，最终在1976年由美国数学家汤普森和威廉森给出了严格的证明。

汤普森和威廉森的证明基于计算机技术，他们通过利用计算机对所有可能的地图进行检查，证明了四色定理的正确性。

虽然他们的证明方法引来了一些争议，但最终的共识是他们的证明是有效的。

这个伟大的成果也使得数学小天才们进一步认识到数学与计算机的结合对于解决难题的重要性。

七年级数学探索三角形全等的条件2(1)

你能发现什么结论？
M
A P
C
O
N
B
角平分线上的点到角的两边
的距离相等。
练习：
课本114页练一练1，2，3
确定原三角形具备什么已知条件？这三个条件有什么联系？
A D
C
E
B
观察课本113页图11-10中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？
哪些条件决定了⊿ABC与⊿FDE全等？
⊿ABC与⊿PQR有哪几个相等的条件？为什么它们不全等？
做一做
• 如图，画线段AB=2.6cm，再画∠BAP=45°， ∠ABQ=60°，AP与BQ相交与点C。
B
——（
）
—— （公共边）
—— （
）
C
∴△—— ≌ △——（
）
∴——
（全等三角形对应边相等）
巩 1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
固练
求证：AC=AD
习
证明：∵∠ABD=180－∠3
∠ABC=180－∠4
D
而∠3=∠4（已知）
∴∠ABD=∠ABC
在△ABD和△ABC中 A
M
B
C
N
P
角角边公理：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
例：如图，OP是∠MON的平分线，C
是OP上的一点，CA⊥OM，OB ⊥ON，
垂足分别是A、B。 ⊿AOC和⊿BOC全
等吗？为什么？
M
A P
C
O
N
B
在上图中，如果改变点C在OP上的位置，那么⊿AOC和 ⊿BOC仍然全等吗？
ED
B

六年级小升初蝴蝶定理的证明及推广

蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两口年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。

到口前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。

而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词：蝴蝶定理；证明；推广；一摘要蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其儿何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O 中的弦PQ 的中点M,过点M任作两弦AB, CD,弦AD与BC分别交PQ于E, F,则M为EF之中点。

关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。

其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。

至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是山一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。

1985年, 在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面儿何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道儿何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《儿何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，其至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。

另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

二蝴蝶定理的证明(-)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单儿何方法完成蝴蝶定理的方法。

1带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2,作OU 丄AD, OV 丄BC,则垂足U, V 分别为AD 、BC 的中点, 且由于ZEUO = ZEMO = 90°ZFVO = ZFMO = 90°得M 、E 、U 、O 共圆；M 、F 、V 、O 共圆。

勾股定理活动课课件

22．（3）拓展 ba如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为 (5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB， ∠BPM=90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。
H C
K
b
a
A Mc
F B
CBFG．
即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ，也就是 a2+b2=c2．
DN
E 返回
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高
（即平行线AK和BH间的距离），
G
∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK．
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形

大的偶数都可表为两个奇素(质)数之和正确性的奇妙证明(2012年完整版)

大的偶数都可表为两个奇素(质)数之和正确性的奇妙证明
(2012年完整版)
沈逸轩
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2012(000)021
【摘要】正现将大偶数都可表为两个奇素(质)数之和的奇妙证明,分三方面叙述如下.一、260多年的研究简要历史以史为鉴,知兴替.1992年获中国图书一等奖和最优秀十大畅销书之一的《中国少年儿童百科全书.科学技术卷》
【总页数】2页(P104-105)
【作者】沈逸轩
【作者单位】广西玉林市水利局
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.大于大于4的偶数都可表为两个奇素（质）数之和的奇妙证明
2.大偶数可表为两个素数之和--哥德巴赫猜想与树枝生长法
3.初论充分大偶数都可表成两奇素数之和
4.任意大偶数可表为两个奇素数之和(续)
5.任意大偶数可表为两个奇素数之和
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

《神秘的运动常数》阅读答案

《神秘的运动常数》阅读答案《神秘的运动常数》阅读答案①鸟儿在空中飞翔时，翅膀每分钟拍几次?每次幅度有多大?鱼儿在水里游动时，尾巴每分钟摆几回?每回幅度又是多少?这些问题看上去似乎没什么意义，难道空中的飞鸟和水里的游鱼不是完全自由的吗?它们的运动不是完全无拘无束的吗?② 答案真是出乎我们的意料。

看上去自由自在、无拘无束的飞行动物和游水动物，它们的运动似乎恰恰遵循着严格的规律。

科学家们通过大量的观察和实验，发现飞行动物和游水动物的运动过程中存在着一个神秘的常数，那就是它们的翅膀和尾巴的振动频率、振幅以及运动速度三者之间的关系——振动频率乘以振幅再除以运动速度，计算得到的数值总是落在0. 2～0.4之间。

③比如，世界上最小的鸟类——蜂鸟，其双翅展开仅有10厘米左右，飞翔时振幅大约是20 厘米。

蜂鸟飞行速度非常快，大约能达到50米/秒。

而科学家们以往观察到的蜂鸟飞行时双翅振动频率在50～70赫兹之间，根据上述公式计算出来的蜂鸟的运动常数就落在0. 2～0.4之间。

④与蜂鸟形体相差悬殊的海豚也是科学家们观察的一个对象。

成年海豚的体长一般在3米左右，在大海里游动时，海豚尾巴摆动的振幅大约是1米，频率每分钟30次左右，游动速度是每小时100公里。

根据公式计算出来的海豚的运动常数是0.3，也落在0.2～0.4之间。

⑤这不仅仅是巧合，研究者们做了大量的试验，发现几乎所有的飞行动物和游水动物的运动机制中都存在着这个神秘的常数。

事实上，只有当这一运动常数的值处于0.2～0.4之间，动物们才能达到最佳的运动状态。

⑥ 虽然目前科学家们还不清楚为什么会存在这个运动常数，它的值又为什么恰恰落在0.2～0.4之间，但这一神奇常数似乎像物理学中著名的光速不变原理那样放之四海而皆准，也像光速一样神秘。

它能够帮助生物学家们根据动物化石的身体构造，判断出那些早已灭绝了的动物曾经具有怎样的运动速度。

甚至，不能排除，这一常数很可能对外星生物也同样适用。

刘维尔数论猜想的完全证明及变式研究

完全证明铺平了道路. 对于可写成 a n (a为质数, n ∈ N * ) 的特殊自然数，我给出了刘维尔数论猜想所得等式的一个漂亮的几何解
释；对于任意一个自然数，我还发现了它的因数的因数的立方和以及和的平方的表达式，都隐藏着易于记忆的完美的结构特征，这
可以使得我们迅速得到等式，还可立即算出立方和以及和的平方的数值. 最后又对刘维尔数论猜想进行了变式研究，分别探讨了任何一个大于 1 的自然数，它的每一个因数的因数的个数的平方和以及积的结果. 研究过程中存在很多荆棘和挑战，我也为长达三年时间的苦思冥想，最终将猜想彻底证明而欢欣鼓舞. 做项目给了我一个广阔的创造空间.
the way for the general proof of Liouville Mathematical Conjecture. to the special natural number written a n ( a is a
prime number, n ∈ N * ), I gave a wonderful explanation of geometry ;to any natural number, I also found an expression
Abstract：Based on a material of the book named Interesting problems, Wonderful solution written by Sun Ruiqing,
a professor from Beijing Normal University, I raised the question to a discovery coming from an amazing approach of
13 + 23 + 33 + L + n3 = (1 + 2 + 3 + L + n)2 . ①

数学名师吴多来：在数字海洋遨游的魔法师

数学名师吴多来：在数字海洋遨游的魔法师发布时间：2021-09-15T03:41:34.578Z 来源：《中国教工》2021年第8期作者：牛梦丽[导读] 中国的数学行业发展一直走在世界前列，除了无数令全球瞩目的数学家之外牛梦丽华东师范大学中国的数学行业发展一直走在世界前列，除了无数令全球瞩目的数学家之外，更有众多青少年在世界奥林匹克数学竞赛中勇夺金牌。

而在这些优秀学生的背后，有一群默默付出，高风亮节，品质与教学水平一流的名师。

在他们的努力之下，这些孩子才能发现自身无限的潜能，最终取得优异的成绩，而吴多来正是这些杰出的名师之一。

从业数十年来，他栉风沐雨，废寝忘食，用智慧与汗水为学生打造一个个快速学习数学的方法。

与此同时，他还积极钻研数学技能，了解行业发展需求，为推动初中数学学科建设贡献数十篇论文。

他是数学名师，更是化繁为简，为学生指点迷津的“魔法师”！吴多来，高级教师，中国教育学会会员，毕业于安庆师范学院，先后多次分别在华东师范大学接受骨干教师培训、在上海市黄埔教师进修学院干部班接受培训。

他曾担任班主任、年级组长、负责初三教学的教学教导副主任等职，并曾在上海市黄浦区教育局基础教育科跟岗教育一年，对教育教学有着深刻的理解与领悟，教学管理经验十分丰富。

目前任职于上海市卢湾中学担任教学教导主任，全面分管教学。

他对教育行业有着深刻的感情，对于教学事业有着旺盛的热情与极高的钻研精神。

曾受邀担任《教育周刊》、《教育学文摘》、《中国教师》等权威教育期刊的特邀审稿专家、编委，用超强的硬实力评审把关上百份稿件，大大提高评审期刊的整体质量，让学术更严谨、更权威。

一分耕耘，一分收获，他的付出与努力也获得行业与社会的高度认可。

2004年他获得卢湾中学教师教案一等奖、卢湾区第二届师德标兵、卢湾区青年岗位能手、卢湾区园丁奖等荣誉，而在之后他继续在行业躬耕细作，获得2020年度国家十佳优秀教师、“崇德杯”德育成果一等奖等多项荣誉。

黑龙江鹤岗市(新版)2024高考数学统编版(五四制)质量检测(预测卷)完整试卷

黑龙江鹤岗市（新版）2024高考数学统编版（五四制）质量检测(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量，，，若，则实数（）A．B．C．D．第(2)题某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：45678608090100120根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额最接近（）A．123万元B．128万元C．133万元D．138万元第(3)题从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（）A．B．C．D．第(4)题复数满足，则（）A．B．C．D．第(5)题规定运算，若复数满足，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若,则的面积为A．B．C．D．第(7)题已知，均为的子集，且，则下面选项中一定成立的是（）A．B．C．D．第(8)题过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为A．10B．13C．16D．19二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．函数（x）的图象关于直线对称B．函数（x）在区间（0，π）上单调递减C．函数在区间（0，π）上恒成立D．第(2)题2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程，它的两个虚数根分别为（）A．B．C．D．第(3)题为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（）可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则.A．4B．12C．16D．20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出一个同时具有下列性质①②③的函数： _________．①的周期为2；②在上为减函数；③的值域为．第(2)题任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤第一次变成1（简称为8步“雹程”）．当时，需要______步“雹程”；若经过8步“雹程”次变成1，则所有可能的取值集合______．第(3)题已知圆，直线，圆上任意一点到直线的距离小于的概率为__________________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废．零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加．现根据相关统计，得到一组数据如下表．使用时间t/年12345磨损指数r/% 4.5 5.6 6.4 6.87.2(1)求r关于t的线性回归方程；(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过10%，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理．根据（1）中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？参考数据：，．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．第(2)题在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，成等比数列，且.(1)求；(2)若，延长至，使的面积为，求.第(3)题已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，，求a的取值范围．第(4)题设函数，，，.（1）证明：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.第(5)题已知椭圆的离心率为，右准线为直线，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且点在第一象限，弦、分别过焦点、.（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求点的纵坐标.。

福建省龙岩市2024年数学(高考)部编版摸底(提分卷)模拟试卷

福建省龙岩市2024年数学（高考）部编版摸底(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项、乙不选B 项的概率为（）A．B．C．D．第(2)题《周易》反映了中国古代的二进制记数的思想方法.我们用近代术语解释为把阳爻“—”当成数字“1”，把阴爻“——”当成数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是A ．18B ．17C ．16D ．15第(3)题已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )．A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．c>a>b第(4)题已知函数，其中为自然对数的底数，则函数的零点个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4第(5)题已知，分别为双曲线的左，右焦点，点A 为双曲线C 的右顶点，且直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P ，Q两点，若，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题2022年诺贝尔生理学或医学奖颁给了瑞典科学家斯万特·佩博，以表彰他对“已灭绝占人类基因组和人类进化的发现”．他发现了以前不为人知的古人类——丹尼索瓦人，也催生了一门全新的学科——古基因组学．关于基因，我们通常所说的ABO 血型系统可以看作是由A ，B ，O 三个复等位基因决定的，一般情况下，每个人的基因型由这三个复等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个复等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA ，AO 为A 型血，BB ，BO 为B 型血，AB 为AB 型血，OO 为O 型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为AO ，AB ，则孩子的基因型等可能的出现AA ，AB ，AO ，BO 四种结果．已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB 型，不考虑基因突变，则小明是A 型血的概率为（）A．B．C．D．第(7)题已知抛物线C：，圆C ′：，若C 与C ′交于MN 两点，圆C ′与x 轴的负半轴交于点P ．现有如下说法：①若△PMN 为直角三角形，则圆C ′的面积为；②；③直线PM 与抛物线C 相切．则上述说法正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3第(8)题设合集，集合，则下列关系中正确的是（）A．B．P M C． M P D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。