第21课对数2教师版苏教版必修1

第二十一课时 对数（2）

学习要求

1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；

2．能较熟练地运用这些法则和联系的观点解决问题；

自学评价

1．指数幂运算的性质 （1）,m

n

m n

a a a

+=

（2）m m n n a a a

-=（3）()m n mn

a a =

（2）log log -log a

a a M

M N N

= （3）log log ()n

a a M n M n R =∈

说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的

和”……（简易表达以帮助记忆）；

（2）注意有时必须逆向运算：如

11025101010==+log log log ；

（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要

有意义。

)(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的，

)(log )(log 1021010210-=-是不成立的（4）当心记忆错误： N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N log M log )N M (log a a a ±≠±，试举反例。 （5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。 【精典范例】

例1：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列

各式：（1）log a xy

z ；（2

）log a

分析：应用对数运算的性质可直接得出。 【解】（1）原式log log log a a a x y z =+-；

（2）原式

11

2log log log 23

a a a x y z =+-

例2：求下列各式的值：

（1）()

352log 24⨯； （2）5log 125； （3）

lg 32lg 21

lg1.2

+-；

（4

）22log log

【解】

（1）()

3535222log 24log 2log 4⨯=+

235log 435213=+=+⨯=

（2）3

555log 125log 53log 53===

（3）

lg32lg 21lg3lg 41

lg1.2lg1.2+-+-=

lg1.21lg1.2

=

= （4

）22log log

2log =

22log log 42===

点评: 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键。

例3：已知lg 20.3010,lg30.4771≈≈，求下列各式的值（结果保留４位小数）： (1)lg12 ； (2)27

lg 16

【解】（1）2

lg12lg 2lg 3=+2lg 2lg3=+

20.30100.4771 1.0791≈⨯+=

（2）27lg

16

=34lg3lg 230.477140.3010-=⨯-⨯

0.2273=

点评:寻找已知条件与所求结论的内在联系这是

解题的一般途径。。 例4:计算：（1）lg 14-2lg

18lg 7lg 3

7

-+；2. 对数的运算性质 如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么

（1）log ()log log a a a MN M N =+；

2lg 2lg 3

(2)

2lg 0.362lg 2

+++；

（3）2

lg 5lg 2lg50+⋅ 【解】（1）解法一：

18lg 7lg 3

7

lg

214lg -+-

2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)

=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=0= 解法二：

18lg 7lg 3

7

lg

214lg -+- 27

lg14lg()lg 7lg183=-+-

=18)3

7(714lg 2

⨯⨯lg10==；

（2）原式2lg 2lg 3

2lg 3622lg 2

+=+-+

2lg 2lg 314lg 22lg 32

+==+ （3）原式2

lg 5(1lg 5)(1lg 5)=+-+

2

2

lg 51lg 51=+-=

点评:灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用。在化简变形的过程中，要善于观察比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案。

lg 2lg51+=是一个重要的结论。

追踪训练一

1. 用lg x ，lg y ，lg z

表示：2.求值：（1

）52log (48)⨯

（2）52lg 4lg

8

+ 3. 已知lg 20.3010,lg30.4771≈≈，求

lg1.44的值（结果保留４位小数）

： 答案：１． 1

lg lg 2lg 2

x y z --

２．（１）－３２ （２）１

３．2

2

12

lg1.44lg1.2lg(3210)-==⨯⨯ 2(lg32lg 21)=+-

2(0.477120.30101)0.1582=+⨯-=

【选修延伸】

一、对数与方程 例5：已知532

510a

b c ==，求,,a b c 之间的

关系。 分析：由于,,a b c 在幂的指数上，所以可考虑用

对数式表示出,,a b c 。

【解】∵

532510a b c ==，∴两边取以10为

底的对数得：5lg 23lg5a b c ==

∴lg 2,lg553c c

a b =

=

，∵lg 2lg51+= ∴153c c a b

+= 点评:本题要求关于,a b 的代数式的值，必须对已知等式两边取对数，恰当的选取对数的底数是十分重要的，同时lg 2lg51+=是关键。 例6．设lg lg 2lg(2)a b a b +=-， 求：4

log a

b

的值 分析：本题只需求出a

b

的值，从条件式出发，设法变形为

a

b

的方程。 【解】当0,0,20a b a b >>->时，原式可化为：2

(2)ab a b =-，即22

540a ab b -+=

2()5()40a a b b -+=，∴4a b =或1a

b

=（舍） ∴4log 1a

b

=

思维点拔：

本题在求a

b

时，不是分别求出,a b 的值，而是把

a

b

看成一个字母，这种方法称为“整体”思想