2018高三数学(理)一轮总复习课件：第七章立体几何 7-4

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2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章立体几何 7-4 精品

为H,连接CH,DH.因为AB⊥平面PCD,所以AB⊥CH,AB⊥DH,
所以∠CHD是二面角α-AB-β的平面角.又PC=PD=1,CD=
,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.在平面四边形 2PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°.
故平面α⊥平面β.
3.如图,已知平面α ,β ,且α ∩β =AB,PC⊥α ,PD⊥β ,
C,D是垂足.那么直线AB与平面PCD的位置关系为_____,
若PC=PD=1,CD= ,则平面α 与平面β 的位置关系为
________.
2
【解析】因为PC⊥α,AB
α,所以PC⊥AB.同理PD⊥
AB.又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点
在直线垂直于平面β
D.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那
么 l⊥ γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l
还可能平行于平面β ,也可能在平面β 内.
2.如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,
则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为
有了两个直角,这与三角形的内角和为180度相矛盾.
【教材母题巧变式】
题号源自
1 P56·T7
2 P38·例1
3 P42·T6
1.下列命题中不正确的是
(
)
A.如果平面α ⊥平面β ,且直线l∥平面α ,则直线l⊥平
面β
B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平
行于平面β
C.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存
线垂直的直线,则这两条直线都垂于第三个平面,那么

2018版高中数学理一轮全程复习课件第七章立体几何 7.

[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平表示空间向量的有向线段所在的直线互相① __________ 行向量) 平行或重合共面向量平行于②同一平面 ________的向量对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ 共线向量定理 a＝λb ∈R，使③________ 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面向量定理共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝④ x a＋yb ________
[小题热身] 1．在下列命题中： ①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； ②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面； ③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； ④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
二、必明 3●个易误点 1．共线向量定理中 a∥b⇔存在 λ∈R，使 a＝λb 易忽视 b≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． 3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．
2.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： (ⅰ)a· b＝|a||b|cos〈a，b〉； (ⅱ)a⊥b＝⑥________( a· b＝0 a，b 为非零向量)； (ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝ x2＋y2＋z2.
(2)向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量和 a＋b＝⑦________________________ 向量差 a－b＝⑧________________________ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a· b＝⑨________________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a________0) 1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 垂直 a⊥b⇔⑪__________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 夹角公式 cos〈a，b〉＝⑫________________________ 2 2 2 2 2 a2 1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.6 精品

【规范解答】(1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2) -8(-1,4,0) =(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7)
(2)①因为P是C1D1的中点,
所以
AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋
1 2
D1C1
AA1
AB
BN
1 2
AA1
AB
1 2
AD
1 2
a
b
1 2
c.
故x 1 , y 1, z 1 .
2
2
【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.
答案: 2
3
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:
A1O－
1 2
AB－
1 2
AD.
(2)用 AB, AD, AA1表示OC1.
(3)设E是棱DD1上的点,且
DE＝
2 3
DD1，
若 EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x,y,z的值.
【解析】(1)因为 AB＋AD＝AC，
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a, a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即 (a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
【小题快练】链接教材练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 AB =a, AD=b, AA1=c,则下列向量中与 C1M 相等的向量是 ( )

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.7.2 精品

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1, 则D(0,0,0),
N(0,1,
1 2
)，M(0,
1 2
,
0)，A1
1,
0,1，
所以DN
(0,1,
1 2
)，MA1
(1,
1 2
,1），
所以DN
MA1
0 1 1（
1 ） 2
1 1 2
0，
所以 DN M所A1以，A1M与DN所成的角的大小是90°. 答案:90°
则 A(－1,0，2)，B1 1,0,0，B(1,0，2)，C1(0，3，0)，
所以 AB1＝(2,0,－ 2)，BC1＝(－1, 3,－ 2)，因为 AB1 BC1＝(2,0,－ 2) (－1, 3,－ 2)＝0，所以 AB1 即BC异1，面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.
b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面 α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=_c_o_s_<n__1,_n_2_> 或_-_c_o_s_<_n_1_,_n_2>_.
【特别提醒】 1.利用 | AB |2 ＝AB AB 可以求空间中有向线段的长度． 2.点面距离的求法
【变式训练】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以
A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD
与BC所成的角为 ( )
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
【解析】选C.不妨以△ABC为底面,则由题意当以 A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面△ABC 的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC,取AC的中点O,连接 BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别以 OD,OB,OC 所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令 BO=DO=CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第七章立体几何 7.4

行”)
因为②_l_∥__α__， __l⊂___β___，α__∩__β_＝__b_，
所以 l∥b
第九页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言图形语言源自符号语言因为③_a_∥__β__，
判一个平面内的两条相交直线定与另一个平面平行，则这两定个平面平行(简记为“线面
第十页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
3.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 α∥β，β∥γ，则 α ∥γ.
第十一页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
二、必明 3●个易误点 1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
第十九页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
考向二平面与平面平行的判定和性质
[互动讲练型] [例 2] 如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝ 2.
(1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1； (2)求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积．
第二十六页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
考向三平行关系的综合应用[互动讲练型] [例 3] 如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点．
(1)求证：BE∥平面 DMF； (2)求证：平面 BDE∥平面 MNG.
第二十七页，编辑于星期六：二十二点二十三分。

2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章立体几何 7-3 精品

C.存在两条平行直线a,b,a D.存在两条异面直线a,b,a
【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊈α,a⊈β,a∥α, a∥β,故排除A.若α∩β=l,a α,a∥l,则a∥β, β,b∥l,则
故排除B.若α∩β=l,a α,a∥l,b a∥β,b∥α,故排除C.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为__________.
________.
【解析】在正方体中,AB是正方体的对角线,M,N,P为所
在棱的中点,取MN的中点F,连接PF,则易知PF∥AB,故由
线面平行的判定定理可知直线AB与平面PN、面面平行的基本问题
▲夯基练透
【技法点拨】解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项 (1)关注判定定理与性质定理中易忽视的条件.
β ,则“a⊥b”
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当α∥β时,因为a⊥α,且α∥β,所以
a⊥β,又因为b
β,所以a⊥b,则“a⊥b”是
“α∥β”的必要条件;
当a⊥b时,若α∩β=b,则满足条件,但此时α∥β不成
立,即“a⊥b”不是“α∥β”的充分条件.故“a⊥b” 是“α∥β”的必要不充分条件.
A.若α ⊥β ,则l∥m
C.若l∥β ,则m⊥α
B.若l⊥m,则α ∥β
D.若α ∥β ,则l⊥m
【解析】选D.由题意得,A中l与m位置不确定,故A错误,B中α 与β 可能相交,故B错误,C中m与α 的位置不确定,故C错误.
5.(2015·北京高考)设α ,β 是两个不同的平面,m是直
线且m
与α内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D 正确,由a∥α,可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b⊈α,c b∥α. α,所以

2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章立体几何 7-7-1 精品

【解析】 (1)由题设知AF⊥AB,且由平面ABEF⊥平面
பைடு நூலகம்
ABCD,可知AF⊥平面ABCD.
又BD是圆的直径,则AB⊥AD,因此以点A为原点可建立空
间直角坐标系,如图.由于AC,BD是圆O的两条互相垂直
的直径,且AC=4 ,所以四边形ABCD是边长为4的正方
2 形,则B(4,0,0),C(4,4,0),O(2,2,0),E(4,0,2),
1 2
直线l的方向向量为n，平面α 的法向量为m
平面α ，β 的法向量分别为n，m
l∥ α
l⊥ α α ∥β α ⊥β
【教材拓展微思考】 1.直线的方向向量如何确定?
提示: l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则
与
及
AB 平行的非零向量均为直线l的方向向量. AB
2.如何确定平面的法向量? 提示:设a,b是平面α 内两不共线向量,n为平面α 的法
【证明】作AP⊥CD于点P，连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则
2 2 2 P(0 ， 0) ， D( ，， 0)， O(0 ， 0，，， 2) M(0 0，，， 1) 2 2 2
2 2 N(1 ，，， 0) 4 4
2 2 MN (1 ，， 1)， 4 4 2 2 2 OP (0，， 2)， OD ( ，， 2). 2 2 2 设平面OCD的一个法向量为n=(x，y，z)，
=(4λ,4λ,0),NC的中点为Q(3,2,2),
F(0,0,6),N(2,0,4).
因为AB⊥EB,AB⊥BC,
所以
因为
=(4,0,0)是平面EBC的一个法向量.

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.1 精品

2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是
.
【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1
2.已知三视图,判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图. (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 易错提醒:对于简单组合体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.
【题组通关】
1.(2016·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示,那么
2.给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
【解析】选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质
2
4
在图②中作C′ OC 6 a.
2
8
所以S△A′B′C′=
1 AB CD 1 a 6 a 6 a2.
2
2 8 16
(2)选C.如图,在原图形OABC中, 应有OD=2O′D′=2 2 2 (4cm2 ), CD=C′D′=2cm,
所以OC= OD2 CD2 4 2 2 所22以O6Acm=O, C,
球

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.4 精品

第四节直线、平面平行的判定及其性质
【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
平面外一条直线判与_此__平__面__内__的一定条直线平行,则该定直线与此平面平理行(线线平行⇒线
面平行)
图形语言
符号语言
因为_l∥__a_,_
_a_⊂_α__,_l_⊄_α__, 所以l∥α
【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α, a⊥β,则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β, β∥γ,则α∥γ. 2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.
【小题快练】链接教材练一练 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
考向一直线与平面平行的判定与性质
【考情快递】
命题方向
命题视角
证明直线与平面主要考查利用线面平行的判定定理或
平行
利用面面平行的性质证明线面平行
线面平行性质定主要考查利用线面平行性质定理得出
理的应用
线线平行,进而求解其他问题
【考题例析】命题方向1:证明直线与平面平行【典例1】(2015·山东高考改编题)如图,在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
感悟考题试一试
3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是
直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件

2018高考数学(理)一轮复习课件第七章立体几何第3讲课件

2．证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线 (或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA 交于一点”？ 1 [证明] 如图，由本例知 EF∥CD1，且 EF＝ CD1， 2
所以四边形 CD1FE 是梯形，所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则 P∈CE，且 P∈D1F，
又 CE⊂平面 ABCD，且 D1F⊂平面 A1ADD1，所以 P∈平面 ABCD，且 P∈平面 A1ADD1. 又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD，所以 P∈AD，所以 CE、D1F、点，l 表示直线，α，β 表示不同的平面，则下列推理错误的是(
C
)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A
2.教材习题改编如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E， F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( C )
直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． π 0， ②范围：____________ ． 2 (3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ____________．
相等或互补
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系位置关系直线 a 在平面 α 内直线 a 与平面 α 平行图形表示符号表示 a⊂α a∥α a∩α＝A a⊥α 公共点有无数个公共点没有公共点

2018高三数学(理)一轮总复习课件：第七章立体几何 7-7

2y－4z＝0，即 5 x＋y－2z＝0. 2 可取 n＝(0,2,1)． →| 8 5 | n · AN → 〉|＝于是|cos〈n，AN ＝ . 25 →| |n||AN 8 5 所以直线 AN 与平面 AMN 所成角的正弦值为 . 25

3．(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．
(1)证明：PB∥平面 AEC； (2)设二面角 DAEC 为 60° ，AP＝1，AD＝ 3，求三棱锥 EACD 的体积．
解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形，所以 AB， AD，AP 两两垂直．
2．(2016· 高考全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．
(1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．
2 解：(1)证明：由已知得 AM＝3AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 1 TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN∥ ═AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
5，2,0)，N 5 ，1，2. 2

7.4直线平面垂直的判定与性质课件高三数学一轮复习

『基础过关』思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × ) (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( × )
(2)证明：取 BC 的中点 N，连接 PN，MN，则 BC⊥MN， ∵PB＝PC，∴BC⊥PN， ∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面 PMN， ∴BC⊥平面 PMN， ∵PM⊂平面 PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又 BC，DE⊂平面 BCDE，且 BC 与 DE 是相交的， ∴PM⊥平面 BCDE， ∵PM⊂平面 PDE，∴平面 PDE⊥平面 BCDE.
直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_______0_____. (2)范围：______0_，__π2_ __.
3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的______两__个__半__平__面____所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作____垂__直__于__棱__的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
____l⊥__α______ ____l⊂__β______⇒
α⊥β
续表
文字语言
图形语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直性质于这两个平面的定理 ____交__线______，那么这条
直线与另一个平面垂直
符号语言
____α_⊥__β _____
___□ □___11___10___lα⊂___l∩___⊥β___β___a＝______a______

2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第七章立体几何第1讲

• A．0 B．1 • C．2 D．3 • [解析] (1)(2)(3)(5)不正确，(4)正确，故选 B．
2．(2016· 天津，5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左) 视图为导学号 30071968 (
B
)
• [解析] 由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B ．
• 知识点二空间几何体的三视图 • 空间几何体的三视图是用正投影得到的，完全相同这种投影下与投影面平行的平面图形留下主(正)视图左(侧)视图俯视图的影子与平面图形的形状和大小是 _________的，三视图包括__________、 ___________、________．
• 知识点三空间几何体的直观图斜二测 • 空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：垂直 • 1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直平行于观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°) 不变，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 ______．原来的一半 • 2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴．平行于y轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度_____，平行于x轴的线段长度在直观图中变为 _____________．
1．下列结论正确的个数为导学号 30071967 (
B
)
(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (3)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． (4)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面． (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠A＝90° ，则在直观图中∠A＝45° .

2018版高中数学理一轮全程复习课件第七章立体几何 7.

3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或 |n1· n2| 钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时 cosθ＝|n ||n |；由图 1 2 |n1· n2| 形知二面角是钝角时，cosθ＝－|n ||n |.当图形不能确定时，要根 1 2 据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) 1 2 3 2 A.2 B.3 C. 3 D. 2
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz， 1 设棱长为 1，则 A1(0,0,1)，E1，0，2，D(0,1,0)， 1 → → ∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝1，0，－2，
[小题热身] 1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A．45° B．135° C．45° 或 135° D．90° m· n 1 2 解析：cos〈m，n〉＝|m||n|＝＝， 1· 2 2 即〈m，n〉＝45° .∴两平面所成二面角为 45° 或 180° －45° ＝135° . 答案：C
2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 |e· n| sinφ＝|cosθ|＝③________. |e||n|

高三数学(理)一轮复习(课件)第七章立体几何7-5

因为 SA＝SB，所以△SAB 为等腰三角形，所以 SE⊥AB。又 SE∩DE＝E，所以 AB⊥平面 SDE。又 SD⊂平面 SDE，所以 AB⊥SD。在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，所以 SD⊥AC。又 AC∩AB＝A，所以 SD⊥平面 ABC。 (2)由于 AB＝BC，则 BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面 ABC，又 BD⊂平面 ABC，所以 SD⊥BD，又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC。
1．证明面面垂直的常用方法：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线，即证明线面垂直。
2．两个平面垂直问题，通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的过程来实现的。
【变式训练】 (2019·唐山市摸底考试)如图，在四棱锥 P－ABCD 中， PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD ＝2，E 是 PB 的中点。
考点三开放型问题【例 3】如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，DB＝BC， DB⊥AC，点 M 是棱 BB1 上一点。
(1)求证：B1D1∥平面 A1BD。 (2)求证：MD⊥AC。 (3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D。
解 (1)证明：由直四棱柱，得 BB1∥DD1，且 BB1＝DD1，
(1)如图，连接 OA，OB，OC，OP，在 Rt△POA，Rt△POB 和 Rt△POC 中，PA＝PB＝PC，所以 OA＝OB＝OC，即 O 为△ABC 的外心。
(2)如图，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G。因为 PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以 PC⊥平面 PAB，又 AB⊂平面 PAB，所以 PC⊥AB，因为 AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以 AB⊥平面 PGC，又 CG ⊂平面 PGC，所以 AB⊥CG，即 CG 为△ABC 边 AB 上的高。同理可证 BD， AH 分别为△ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为△ABC 的垂心。

届数学一轮复习第七章立体几何第四节平行关系教师文档教案文

第四节平行关系授课提示:对应学生用书第131页［基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行)因为l∥a，aα，lα，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β,b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b1．判定定理序号文字语言图形语言符号语言判定定理2如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行错误!⇒α∥β判定定理3平行于同一个平面的两个平面平行错误!⇒α∥γ2.性质定理序号文字语言图形语言符号语言性质定理2如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面α∥β且aα⇒a∥β性质定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线α∥β且l⊥α⇒l⊥β3。

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时,一般遵循从“低维"到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行"；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用．[四基自测］1．(易错点：线面平行的性质)下列命题中正确的是() A．若a，b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα,则b∥α答案：D2．(基础点:线面平行的判定）下列四个正方体图形中,A，B为正方体的两个顶点，M,N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(）A．①③B．②③C．①④ D．②④答案：C3．（基础点：空间平行关系的判定）在正方体ABCD。

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