2017-2018版高中数学第三章概率3模拟方法——概率的应用学案北师大版必修31

3 模拟方法——概率的应用

[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．

知识点一 几何概型的含义

1．几何概型的定义

向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积

G

的面积

，则称这种模型为几何概型．

2．几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点

异同 类型

古典概型

几何概型

不同点(基本事件的个数) 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个

相同点(基本事件发生的等可

能性)

每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等

知识点二 几何概型的概率公式

P (A )＝

构成事件A 的区域长度面积或体积

试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

.

思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．

题型一 与长度有关的几何概型

例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？

解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13

.

反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.1

3 B.1

2

C.2

3

D.34

答案 B

解析 如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.

题型二 与面积有关的几何概型

例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 记“射中黄心”为事件B .

因为中靶点随机地落在面积为⎝ ⎛⎭

⎪⎫14×π×1222cm 2

的大圆内，而当中靶点落在面积为

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

1

4

×π×12.22cm2的黄心内时，事件B发生，

所以事件B发生的概率P(B)＝

1

4

×π×12.22

1

4

×π×1222

＝0.01.

反思与感悟解此类几何概型问题的关键：

(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．

跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．

解如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形．

图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．

由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．

所以P(A)＝

184

600

＝

23

75

≈0.31.

即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.

题型三与体积有关的几何概型

例3 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于

h

2

的概率．

解如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于

h

2

.

设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为

S

4

.

由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为1

3

Sh ，

区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·7

8

.

所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝7

8

.

反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为

P (A )＝

构成事件A 的区域体积

试验的全部结果构成的区域体积

.

跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝13

33＝1

27.

题型四 与角度有关的几何概型

例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．

解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝1

6

.

反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．