圆锥曲线标准方程求法(学生版)

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圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)

圆锥曲线大题综合归类：五个方程型

重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45

重难点题型归纳重难点题型归纳

题型一基础型【典例分析】

1已知椭圆x2

a21

b21

=1a1>b1>0

与双曲线

a22

b22

=1a2>0,b2>0

有共同的焦点，双曲线的左

顶点为A-1,0

，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.

(1)求双曲线和椭圆的标准方程；

(2)椭圆上存在一点P x P,y P

-1<x P<0,y P>0

，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.

1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2

2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.

(1)求C 的方程；

2022年(新高考)数学解答题满分突破专题1.11圆锥曲线-定点、定值、定直线问题(学生版+解析版)

专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题

（1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

（2）定点问题解决步骤：

①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

②根与系数关系列出两根和及两根积；

③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．

（3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

（4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：

①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；

②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能

否得到一个常数．

（5）求定线问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．

1．设椭圆

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>，O为原点，点(4,0)

A是x轴上一定点，已知椭圆的

长轴长等于||

OA （1）求椭圆的方程；

圆锥曲线方程范文

1.圆的方程：

圆的方程可以用直角坐标系表示为：

(x-h)²+(y-k)²=r²

其中(h,k)是圆心坐标，r是圆的半径。

2.椭圆的方程：

椭圆的方程也可以用直角坐标系表示为：

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1

其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是横轴和纵轴的半径。3.抛物线的方程：

抛物线的方程可以用直角坐标系表示为：

y = ax² + bx + c

其中a、b和c是常数。根据参数a的取值，抛物线可以是开口向上或向下的。

4.双曲线的方程：

双曲线的方程可以用直角坐标系表示为：

(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1

其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是横轴和纵轴的半径。如果系数前的符号为负号，则双曲线的开口方向是沿着x轴。

x = h + a * cos(t)

y = k + b * sin(t)

其中t的取值范围为0到2π，而(h,k)为椭圆的中心坐标。

除了直角坐标系和参数方程外，还有极坐标方程可以用来表示圆锥曲线。以圆为例，其极坐标方程如下：

r=a

其中r是极坐标系下的径向距离，a是圆的半径。

总结起来，圆锥曲线方程的形式多样，可以通过不同的坐标系和参数来表示。对于每种圆锥曲线类型，有特定的方程形式，而具体的参数则决定了曲线的形状、位置和大小。

圆锥曲线方程的求法

圆锥曲线方程的求法一利用曲线的定义和几何性质求曲线方程

1 设椭圆C ：的离心率，右焦点到直线的距离

，O 为坐标原点，求椭圆C 的方程.

2 已知椭圆C ：的离心率为

，以原点为为圆心，椭圆短轴长为半的圆与直线相切，求椭圆C 的曲线方程.

3 在平面直角坐标表系xoy 中，已知椭圆C:的离心率

，且椭圆C 经过点

，求椭圆C 的曲线方程.

4 已知椭圆C ：的左右焦点分别为，P 为椭圆C 上一点，若

的面积为6，离心率为

，求椭圆C 的方程.

5 椭圆C ：的离心率为

，过其右焦点F 与长轴垂直的直线的弦长为1，求椭圆C 的方程.

6 曲线C 由上半椭圆：和部分抛物线链接

而成，

与的公共点为A,B ，其中的离心率为

，求椭圆C 的曲线方程.

7 已知椭圆22

22:1(0)

x y M a b a b +=>>

的离心率为

，焦距为斜率为k 的直线l 与

椭圆M 有两个不同的交点A ，B.

（Ⅰ）求椭圆M 的方程；

8设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B

221(0)x y a b a b +=>>12e =1x y a b +

=7d =

222

21(0)x y a b a b +=>

=0x y -=222

21(1)x y a b a b +=>

≥e =(2,1)P 22

221(0)x y a b a b +=>>12,F F 12PF F 1

2e =

22221(0)x y a b a b +=>

>2e =1C 22

2023届高考数学解析几何微专题—圆锥曲线中的最值、范围问题(学生版)

2023届高考数学解析几何微专题—圆锥曲线中的最

值、范围问题（学生版）

一、圆锥曲线中最值问题的常用求解方法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．

例1 (2022·宿州市高三上学期期末)已知抛物线C ：y 2＝2px ()p >1的焦点为F ，圆E ：()x ＋12＋()y －22

＝4，M ，N 分别是抛物线C 和圆E 上的动点，当点M 在第一象限且MF ⊥x 轴时，||MN 的最大值为4.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且直线l ⊥MF ，设直线

MF 与抛物线C 的另一个交点为K ，求PM

→·KQ →的最小值．

例2 (2022·青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经

过点⎝

⎛⎭⎪⎫1，22． (1)求椭圆E 的标准方程；

(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．

跟踪练习

1、(2022·陕西西安质检)已知椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，且点(1，6)在椭圆上．

2024圆锥曲线大题计算方法

圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。

一、圆锥曲线方程求解方法

1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。在求解过程中，注意运用以下方法：

（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；

（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；

（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。

2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。

二、直线与圆锥曲线交点求解方法

1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。

2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交

点坐标。在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。

三、中点问题求解方法

1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。

2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。

四、实例解析

以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。

1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。

第二章圆锥曲线教案(学生)

一对一辅导教案

学生姓名性别年级学科

授课教师上课时间年月日

第（）次课共（）次课

课时： 1课时

教学课题

圆锥曲线

教学目标

1.通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系

2.通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识

3．结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

教学重点与难点 1.三种曲线的标准方程及其性质 2.三种曲线的性质

教学过程

一、知识讲解

1、三种曲线的标准方程、图形名称

椭圆

双曲线

图象

定义

平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于

21F F ）的动点的轨迹叫椭圆

即

a MF MF 221=+

当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆，当2a =2c 时，轨迹是一条线段21F F 当2a ﹤2c 时，轨迹不存在

平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即

a MF MF 221=-

当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线当2a =2c 时，轨迹是两条射线当2a ﹥2c 时，轨迹不存在

标准方程

焦点在x 轴上时： 122

22=+b y a x

焦点在y 轴上时：122

22=+b

x a y

注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐

标轴上

焦点在x 轴上时：122

22=-b y a x

焦点在y 轴上时：122

22=-b

x a y

常数

b a ,,的关系 2

圆锥曲线中的“设而不求”(学生版)

圆锥曲线中的“设而不求”

考情分析

研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.

、解题秘籍

(一)“设而不求”的实质及注意事项

1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．

2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．

3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.

1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2

a 2+y 2b

2=1a >b >0 的长轴长为4，

F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为1

2.连接PF 1，PF 2并延长

分别交椭圆C 于M ，N 两点.

圆锥曲线第1讲椭圆的定义与标准方程

一．知识点梳理

1．椭圆的定义:平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数()

212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。（212F F a =时为线段21F F ，212F F a

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）；焦点F （±C ，0） ②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）；焦点F （0, ±C ）这里椭圆 c ²=a²-b² 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：mx 2+ny 2=1 （m ＞0，n ＞0，m ≠n ），当m ＜n 时，椭圆的焦点在x 轴上，m ＞n 时焦点在y 轴上。

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围（1）椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）

（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

2020寒假高三数学二轮复习微专题19圆锥曲线的标准方程的求法

微专题19圆锥曲线的标准方程的求法

高考中，解析几何作为主干内容之一，是考查重点．其中圆锥曲线的基本概念，标准

例题：已知椭圆C的焦点坐标为F1(－4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，求椭圆C的标准方程．

变式1已知双曲线C的焦点坐标为F1(－4，0)，F2(4，0)，且双曲线C过点A(3，1)，求双曲线C的标准方程．

变式2如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分

别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连接PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，若点P 的坐标为⎝⎛⎭

⎫1，3

2，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程．

串讲1(2018·南京盐城零模)若抛物线y 2

＝2px 的焦点与双曲线x 24－y 2

＝1的右焦点重合，

则实数p 的值为________________．

串讲2在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－

c ，0)，F 2(c ，0)．已知(1，e)和⎝

⎛⎭

⎫

e ，

32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率，求椭圆E 的方程．

(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，求双曲线的方程．

(2018·苏州零模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

第12讲解析几何之圆锥曲线的方程(学生版)

第12讲解析几何之圆锥曲线的方程

一．基础知识回顾

（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质

线方程：1．双曲线的

概念：平面内动点P

与两个定点F1、

F2(|F1F2|＝2c>0)的距

离之差的绝对值为常

数2a(2a<2c)，则点P

的轨迹叫

________．这两个定

点叫双曲线的

________，两焦点间

的距离叫

________．集合P＝

{M|||MF1|－|MF2||＝

2a}，|F1F2|＝2c，其中

a、c为常数且a>0，

c>0；(1)当________

时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，

________．

三．抛物线与抛物线的方程

1．抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方

二．典例精析

探究点一：圆锥曲线的定义及应用

例1：（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

第11讲圆锥曲线学生版

圆锥曲线之椭圆

一、知识点

1.椭圆的定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的

轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

二、基本题型归纳与分析

1、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a

a PF PF ，则点P 的轨迹是_______________。

2、若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是___________。

3、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2

3,25(-，则椭圆方程是________________。

4、椭圆12222=+b y a x 和k b

y a x =+22

22()0>k 具有相同的__________。

5、 P 是椭圆

522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积是______。

6、已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为______。

7、已知()y x P ,是椭圆14

=+y x 上的点，则y x +的取值范围是_______ ．

8、过点M （－2，0）的直线m 与椭圆12

=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为_______。

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总

结

Revised on November 25, 2020

圆锥曲线基本题型总结：

提纲：

一、定义的应用：

1、定义法求标准方程：

2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：

3、焦点三角形问题：

二、圆锥曲线的标准方程：

1、对方程的理解

2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）

3、各种圆锥曲线系的应用：

三、圆锥曲线的性质：

1、已知方程求性质：

2、求离心率的取值或取值范围

3、涉及性质的问题：

四、直线与圆锥曲线的关系：

1、位置关系的判定：

2、弦长公式的应用：

3、弦的中点问题：

4、韦达定理的应用：

一、定义的应用：

1.定义法求标准方程：

（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()

A．椭圆B．直线

C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】

2.设B－4,0)，C4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为)

＋y2

9＝1 y≠0) ＋

9＝1 y≠0)

＋y2

16＝1 y≠0) ＋

9＝1 y≠0) 【注：检验去点】

3.已知A0，－5)、B0,5)，|P A|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为)

A.双曲线或一条直线

B.双曲线或两条直线

C.双曲线一支或一条直线

D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】

4.已知两定点F1－3,0)，F23,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是)

圆锥曲线的标准方程推导

圆锥曲线是平面上各点与一个定点（称为焦点）和一个定直线（称

为准线）的距离之比为定值的点的轨迹。根据圆锥曲线的形状不同，

可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

本文将以直角坐标系下的圆锥曲线为例进行推导。设圆锥的焦点为

F(x₁, y₁)，准线为直线l，该直线与坐标轴交于原点O，与x轴正方向

的交点为A，与y轴正方向的交点为B。设坐标系上的任意一点P(x, y)，我们将推导出圆锥曲线的标准方程。

首先，假设P与焦点F的距离为r，与直线l的距离为d。根据定义，我们可以得到以下两个关系式：

1. 根据焦准定理，有：

r/d = e （1）

其中，e为圆锥曲线的离心率，满足0 < e < 1（对应椭圆），e = 1（对应抛物线），e > 1（对应双曲线）。

2. 根据直角三角形AOB，可得：

r² = x² + y²（2）

由式（1）和式（2）可得：

(x² + y²) / d² = e²（3）

接下来，我们将推导出不同类型圆锥曲线的标准方程。

一、椭圆：

当0 < e < 1时，圆锥曲线为椭圆。

将式（2）带入式（3）中得：

x² + y² = e²d²（4）

由于直线l与x轴正方向相交于点A，所以直线l的方程为y = kx，其中k为直线l的斜率。

将y = kx代入式（4）中并整理得：

x² + (kx)² = e²d²（5）

化简式（5）得：

1 + k² = e²（6）

将方程（6）代入方程（5）得：

x² + (kx)² = (1 + k²)d²（7）

将方程（7）除以d²并整理得：

齐次化妙解圆锥曲线(学生版)

齐次化妙解圆锥曲线

题型1定点在原点的斜率问题

题型2定点在原点转化成斜率问题

题型3定点不在原点之齐次化基础运用

题型4定点不在原点的斜率问题

题型5定点不在原点转化为斜率问题

题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用

题型7齐次化妙解之等角问题

题型8点乘双根法的基础运用

题型9点乘双根法在解答题中的运用

题型1定点在原点的斜率问题

圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x1+x2和x1⋅x2代入，得到关于k、b的式子．解法不难，计算量较为复杂．

如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少．

“齐次”即次数相等的意思，例如f x =ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x 中每一项都是关于x、y的二次项．

如果公共点在原点，不需要平移．

1直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于A x1 , y1

，求k OA+k OB , k OA⋅k OB．(用m , n表

, B x2 , y2

示)

1直线mx+ny=1与椭圆x2

=1交于A x1 , y1

, B x2 , y2

，求k OA⋅k OB(用m , n表示)．

2抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．

3不过原点的动直线交椭圆x2

=1于A、B两点，直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，求证：

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圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型:

（1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为

(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数.

如：（1))0(122

22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0)，

则有020

20=+k b

y a x 。

（2）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M （x 0,y 0)

则有020

20=-k b

y a x

（3）y 2=2px(p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M （x 0，y 0）,则有2y 0k=2p ，即y 0k=p 。

典型例题给定双曲线x y 2

1-=.过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及

P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程.

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P （x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点，

∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

(1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ；

(2）求|||PF PF 1323

+的最值。

（3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。

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