弹性半空间中衬砌隧道对瑞利波的散射

收稿日期：2011–03–25；修回日期：2011–06–22 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50978183，51008210) 作者简介：刘中宪(1982–)，男，博士，2009 年于天津大学防灾减灾及防护工程专业获博士学位，现任讲师，主要从事地震工程与工程波动方面的教 学与研究工作。E-mail：zhongxian1212@。通讯作者：梁建文(1965–)，男，现任教授、博士生导师。E-mail：liang@
瑞利波
图 1 模型示意图 Fig.1 Model sketch
3 计算方法
本文以半空间中膨胀线源和剪切线源为基本
解，采用间接边界积分方程法求解衬砌隧道对瑞利
波的二维散射问题。以衬砌附近虚拟波源面上的虚
拟波源分别构造衬砌内外的散射波场，由衬砌内外
表面的边界条件建立积分方程，通过离散求解得到
虚拟波源密度，进而求得总波场。衬砌内外表面分
别记为 S0 ，S，为构造半空间中散射场，在 S0 附近 引入虚拟波源面为 S1 ；同样，为构造衬砌中散射波 场，在 S0 和 S 附近分别引入虚拟波源面 S2 和 S3 。 虚拟波源面的形状和隧道形状取为一致。
设介质中纵波和横波的波势函数分别为φ ，ψ ，
二维平面应变状态下稳态波动方程可表示为
∂2φ ∂x2
1引言
多次地震震害调查表明，地下隧道结构在强震 中会遭受严重损毁[1]。地表层中传播的地震波由体 波和面波组成，同先期到达的体波相比，瑞利面波 的周期较长、振幅较大，由于瑞利波衰减较慢，因
而在远场其能量一般是占优的。瑞利波的另外一个 重要特性是振幅沿深度衰减，其能量分布一般仅限 于距离半空间自由表面2倍瑞利波波长范围的岩土 层内，因而对深埋的地下结构物影响较小。但对于 浅埋地下隧道结构等，该波可能会产生强烈的破坏 作用。在以往研究中，刘晶波和李 彬[2]基于黏弹性 边界研究了瑞利波输入下地下结构的时域动力响应，
2 计算模型
如图 1 所示，弹性半空间中包含一无限长衬砌 隧道，埋深为 d。衬砌和半空间中均为弹性、均匀、 各向同性介质。半空间介质剪切模量、泊松比和密 度分别为 µ1 ，ν1 和 ρ1 ，衬砌材料特性相应为 µ2 ，ν 2 和 ρ2 。 cα1 ， cβ1 分别为半空间中纵波和横波波速， cα 2 ， cβ 2 分别为衬砌中纵波和横波波速。假设瑞利 波在半空间中水平入射，波的传播方向垂直于隧道 轴线，待求问题即为半空间中衬砌隧道对瑞利波的 二维散射问题。
Abstract：Two-dimensional scattering of incident Rayleigh waves by a lined tunnel in elastic half-space is solved and analyzed by the high-precision indirect boundary integral equation method(IBIEM). It is found that the scattering around the lined tunnel may be significantly different from that around the unlined tunnel；and the lining stiffness has a great effect on the wave scattering. The dynamic response and dynamic stress concentration depend considerably on the stiffness ratio of the lining to the surrounding soil，the embedded depth and the radius of the tunnel，the frequency of incident waves，etc. For the soft lining，there is a large displacement amplification for the case of shallow tunnel. While for the rigid lining，the dynamic stress concentration at the inner surface of the lining is very large. In the whole，the scattering of Rayleigh wave around the tunnel gradually weakens as the depth of tunnel increases. Key words：tunnelling engineering；elastic half-space；lined tunnel；indirect boundary integral equation method (IBIEM)；Rayleigh wave；scattering
道时)和散射场的叠加。首先进行自由场分析。半空 间中频率为 ω 的平面瑞利波入射，在图 1 直角坐标 系中纵波和横波的势函数可分别表示为
ϕ (i) (x，y) = a exp(−ikR x + kR2 − kP21 y)
(5a)
ψ (i) (x，y) = b exp(−ikR x + kR2 − kS21 y)
第 30 卷 第 8 期
刘中宪等：弹性半空间中衬砌隧道对瑞利波的散射
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下同。 由半空间自由表面边界条件，结合波数域内傅
里叶变换，可推得波场波势函数： (1) 膨胀线源作用下，有
φ
(
x，y)
=
H (2) 0
(kP
(x − xS )2 + ( y − yS )2 ) +
H
(2) 2
(kP
π 0 F (ξ )
其中，
α = ξ 2 − kP2 β = ξ 2 − kS2 F (ξ ) = (2ξ 2 − kS2 )2 − 4ξ 2αβ (2) 剪切线源作用下，有
ψ
(x，y)
=
H (2) 0
(kS
(x − xS )2 + ( y − yS )2 ) +
H
(2 0
)
(kS
(x − xS )2 + ( y + yS )2 ) −
已知全空间中膨胀线源和剪切线源波势函数可
分 别 由 第 二 类 Hankel 函 数 表 示 为 ： φi (x，y) =
H (2) 0
(kP r2
)
，ψ
i
( x，y )
=
H (2) 0
(kSr2
)
，其中
r2
为波源和
观测点的距离， (x，y) 为波源点位置。省略时间因
子 exp(iωt) ，其中，ω ，t 分别为角频率和时间变量，
摘要：采用一种高精度的间接边界积分方程法，对弹性半空间中衬砌隧道对入射瑞利的二维散射问题进行求解分
析。结果表明：衬砌隧道和非衬砌隧道对瑞利波的散射具有显著的差别，衬砌刚度对波的散射规律具有重要影响。
隧道附近地表动力响应和隧道衬砌动应力集中主要取决于衬砌和围岩的刚度比、隧道的埋深和直径、入射波频率
等因素。对于柔性衬砌，浅埋隧道对低频瑞利波会产生显著的位移放大效应；对于刚性衬砌，衬砌内壁的动应力
2
∂2φ ∂y2
+
2
∂2ψ ∂x∂y
⎞⎫ ⎟⎪ ⎠⎪
⎪
σ yy
=
µ
⎛ ⎜
−kS2φ
⎝
−
2
∂2φ ∂x2
−
2
∂2ψ ∂x∂y
⎞⎪ ⎟⎬ ⎠⎪
(2b)
⎪
σ xy
=
µ
⎛ ⎜ ⎝
2
∂2φ ∂x∂y
− kS2ψ
− 2 ∂2ψ ∂x2⎞ ⎟ ⎠ Nhomakorabea⎪ ⎪⎭
式中：U x ，U y 分别为水平和竖向地表位移； σ xx ， σ yy ， σ xy 分别为平面内的正应力和剪应力。 3.1 半空间中膨胀线源和剪切线源基本解
第 30 卷 第 8 期 2011 年 8 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.30 No.8 Aug.，2011
弹性半空间中衬砌隧道对瑞利波的散射
刘中宪 1，2，梁建文 2，张 贺 2
(1. 天津城市建设学院 天津市软土特性与工程环境重点实验室，天津 300384；2. 天津大学 土木工程系，天津 300072)
+
∂2φ ∂y 2
+ kP2φ
= 0 ， ∂2ψ ∂x2
+ ∂2ψ ∂y2
+ kS2ψ
=0
(1)
式中： kP ， kS 分别为纵波和横波波数。设介质剪切 模量为 µ ，位移、应力与波势函数关系可表示为
Ux
=
∂φ ∂x
+
∂ψ ∂y
，U y
=
∂φ ∂y
−
∂ψ ∂x
(2a)
σ xx
=
µ
⎛ ⎜
−kS2φ
⎝
−
∫4i ∞ (2ξ 2 − kS2 ) e−β ( y+ yS ) cos(xξ )dξ
π 0 β F (ξ )
(4a)
∫ φ(x，y) = −8i ∞ ξ (2ξ 2 − kS2 ) e−β yS −α y sin(ξ x)dξ (4b)
π 0 F (ξ )
3.2 波场分析 半空间总波场可看作半空间自由场(无衬砌隧
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岩石力学与工程学报
2011 年
研究表明，瑞利波对浅埋地下结构的动力响应影响 显著，地下结构抗震设计应对此给予足够重视；岳 庆霞和李 杰[3]则提出近似瑞利地震波的概念，并借 助有限元模型，研究了瑞利波作用下地下综合管廊的 地震响应规律。