随机过程论文

中国矿业大学
2012 级硕士研究生课程考试试卷
考试科目随机过程
考试时间2012.1
学生姓名王存
学号ZS12060106
所在院系信电学院
任课教师宋金玲
中国矿业大学研究生院培养管理处印制
捷联惯导系统中随机过程误差模型的研究
摘要：在通信系统的仿真系统中，随机变量和随机过程不仅可以用来建构信号和噪声的模型，还可以对通信信号和其它相关器件的随机时变的特性进行建模。

为了建立惯性导航系统
中的随机误差模型，本文对随机过程进行了深入研究，首先概述了随机过程的理论知识，然
后对捷联惯导的随机误差建模，最后对惯性导航系统中的误差模型进行了分析。

关键词：捷联惯导随机过程误差模型
1 绪论
随机现象在自然界到处都存在。

尤其是在信息与通信系统中，随机现象更是大量存在。

如果对信息与通信系统中的随机现象加以分类，则主要表现在信号、噪声、信道与通信业务这些物理对象之中。

随机过程是时间函数，但是在任意时间点上观察到的数值却是不确定的，是一个随机变量。

随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻，其是随机变量。

如：在通信系统中信源信号一般通过取样和编码后表示为{0，1}二进制信号序列。

信源信号可看作是一个离散时间的随机过程X(n)，对每一个n，X(n)都是样本空间为{0，1}的随机变量。

从统计的意义上来研究波形，将它们的相同的统计特性提纯出来，就是描述随机过程的统计特性描述。

这种描述的具体实现是通过随机过程X(t)的概率分布或数字特征加以表达的。

2 捷联惯导的随机误差模型
2.1捷联惯导模型简介
捷联式惯性导航技术是一种十分先进的自主式导航技术，由于其独特的优点，在航天、航空、航海及陆地导航中正得到越来越广泛的应用。

捷联系统的主要误差源有数学模型的近似性所引起的误差、算法误差、惯性器件误差、初始对准误差。

捷联惯导系统是近年来惯性技术发展的方向，它是将惯性传感器直接安装在载体上，利用惯性传感器基准方向及最初的位置信息来确定载体的姿态、方位、位置和速度的自主式推算导航系统。

它以数学平台代替常规惯导的物理平台，通过导航计算机来完成导航平台的功能，主要具有以下优点:(1)SINS的体积小成本低:(2)惯性传感器便于安装、维护和更换;(3)惯性传感器可以直接给出线加速度、线速度、角速度等导航信息;(4)SINS便于采用裕度配置，提高系统的性能和可靠性。

捷联惯导系统的模型如图1所示。

图1 捷联惯导模型图
2.2加速度计随机误差模型
2.2.1静态模型
式中，A为加速度计输出，K0为加速度计零偏，K1为刻度系数，K2，K3为二阶及三阶非线性系数，Kio，Kip，Kpo为交叉耦合系数，Koo，Kooo，Kpp，Kppp 为交叉灵敏度二阶、三阶非线性系数。

2.2.2动态模型
加速度计敏感载体角运动而产生的输出与载体角速度、载体角加速度之间的关系，称为角速度的动态误差模型。

式中Wi，Wo，Wp为加速度计壳体相对惯性空间绕其输入轴、输出轴及摆轴的角速度和角加速度。

2.3陀螺仪随机误差模型
2.3.1静态模型
式中，Ya （x ）为陀螺仪飘逸速率，Ax ，Ay ，Az 为延x ，y ，z 方向的加速度，K0为陀螺仪零漂，Ex 为陀螺仪随机误差。

2.3.2动态模型
3 捷联惯导随机误差分析
3.1系统的主要随机误差源
1）惯性仪表的安装误差和表读因子误差； 2）陀螺的漂移和加速度计的零位误差；
3）初始条件误差，包括导航参数和姿态航向的初始误差；
4）计算误差，主要考虑姿态航向系统的计算误差，也即数学平台的计算误差； 5）载体角运动所引起的动态误差 3.2 误差模型分析
对于上面讨论的确定性误差源引起的误差特性可以设法通过补偿加以消除。

在补偿了确定性误差之后，则随机误差源成为影响系统精度的主要误差源。

系统的随机误差很多，主要讨论陀螺漂移和加速度计的偏差。

3.2.1陀螺漂移的数学模型
陀螺是运载体角运动的测量器件，对惯导系统的姿态误差产生直接的影响。

陀螺的误差主要体现为随机漂移，随机漂移是十分复杂的随机过程，大致可概述为三种分量。

(1) 逐次启动漂移
它取决于启动时刻的环境条件和电气参数的随机性等因素，一旦启动完成，这种漂移便保持在某一固定值上，但这一固定值是一个随机变量，所以这种分量可用随机常数来描述。

),,(0z y x i bi ==ε (2)慢变漂移
陀螺在工作过程中，环境条件、电气参数都在作随机改变，所以陀螺是漂移
在随机常数分量的基础上以较慢的速率变化。

由于变化比较缓慢，变化过程中前后时刻上的漂移值有一定的关联性，即后一时刻的漂移值程度不等地取决于前一时刻的漂移值，两者的时间点靠的越近，这种依赖关系就越明显。

这种分量可用一阶马尔科夫过程中来描述： ),,(1
z y x i ri ri G
ri =+-=ωετε
(3)快变漂移
表现在上述两种分量基础上的杂乱无章的高频跳变。

不管两时间点靠的多近，该时间点上的漂移值依赖关系十分微弱或几乎不存在。

这种漂移分量可抽象为白噪声过程，即
)()]()([τδτωω-=t q t E gi gi gi z y x i ,,= 综上所述，陀螺漂移可模型化为：
)()()()(t t t t gi ri bi i ωεεε++=
3.2.2加速度计数学模型
与陀螺漂移误差模型的分析类似，加速度计误差模型可分为三种分量。

但在组合导航设计中，一般只考虑随机常值漂移，即偏置误差i ∇(z y x i ,,=)，而忽略相关误差。

这是由于这种分量相对较小，同时也为了使滤波器的维数尽量低些。

所以加速度计误差模一般考虑为:
ai bi i ω+∇=∇ z
y x i ,,=
式中bi ∇=0，z y x i ,,=，ai ω（z y x i ,,=）为噪声过程。

为了简单起见，考虑一个单轴情况，其误差方程为：
x y x R
g R
∇+-
=ϕυδ
y x
y R
εδυϕ
=
把加速度计误差x ∇和陀螺漂移都考虑作为一阶马尔科夫过程，分别表示为：
1
2ηβεβεεy y y y A +-=
222ηαx x
x M A M +∇-=∇
式中εA 是陀螺随机漂移方差，2εεσ=A ；αA 是加速度计随机误差方差，2αασ=A 1η，2η是强度为1的白噪声，其协方差1)](),(cov[=νηηt ，把y ε，x ν扩充为状态，则状态方程为：
)()(t GW t FX X +=
系统噪声协方差阵为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1001Q 把上式离散化得：)(),1()(),1()1(k W k k k X k k k X +Γ++Φ=+ 式中9
92
2
!
91...!21),1(T
F T F FT I k k +
++
+=+Φ
G
T F T F FT I T k k )!
101
...!
31!
21(),1(9
9
2
2
+
+-+
=+Γ
在初始时刻，系统的状态是统计独立的，取初始协方差尸(0)为对角矩阵，其对角元素为：
)0()0(211==∆ω
σ
P
2
4
2
2
22)'('1044.1)''120()0()0(⨯===ϕσP 2
23233)'('101.0)0()0(-⨯==s
P ϕσ 4
2
9
2
44)'('101.0)0()0(-⨯==s
P ασ
根据随机误差的协方差分析方法计算：
),1()(),1(),1()(),1()1(k k k Q k k k k k P k k k P T
T
+Γ+Γ++Φ+Φ=+
计算结果说明，在随机误差源的作用下，系统误差是随时间振荡增长的。

4结语
要建构惯性导航系统随机过程的模型以及实现对通信系统性能的评估，对于随机过程和随机模型的研究是必须具备的条件。

通常需要进行建模的随机过程是随机信号和随机噪声，但是还有一种就是信道建模。

对于惯导系统随机过程模型的研究，还需要我以后进行深入的研究，以解决随机过程中未解决的难题。

参考文献
[1] 韦岗，季飞,傅娟 《通信系统建模与仿真》[M],北京：电子工业出版社，2007.81—103
[2] 冯志刚，刘岩，方昌华《捷联惯导误差模型研究》长沙2007.26-29
[3] 王博，李雪，宋清华，田宇驰《通信系统中随机过程的模型研究》长春2010(1)
[4] 李东明《捷联式惯导系统初始对准方法》哈尔滨 2006.1。