2018版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象二课件新人教A版必修4
三角函数Y=Asin(ωx+φ)课件
方法1： (按j , , A顺序变换 )
y
3
2 1
y=3sin(2x+ 3 )
y=sinx
o
3
6 -１
6 3
7 2 5 12 3 6
7 6
5 3
2
x
-2
-3
y=sin(x+ ) 3 y=sin(2x+ ) 3
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
-2
2
5 6
x
1.y=sin(x+j )与y=sinx的图象关系 例2、试研究 y sin(x + ) 、y sin(x ) 3 6 y sin x 与 的图象关系
y
y sin (x +
3
)
1
o
yy y y y y y sin y y sin y sin y sin y sin y sin y sin x sin sin x sin x sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
如下图在同一坐标系中作y=sin2x和y=sinx的图像
描点：
y=sin2x
2 y 1 O
2
y=sinx
2
3 x
1
2
对于函数y sin 1 x 2
2. 描点：
y y=sinx 1 2 O 1 3 y=sin 1 x 2 4
的图象间的变化关系。
y
2
1 y sin x 与 y sinx 函数 y sin2 x 、 2
象可以看作是把y=sinx的图象上所有点
数学：1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像2》课件(新人教A版必修4)
Y=SinX 横坐标不变 Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍 左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
3. 周期变换：
Y=SinX
4. 平移变换：
Y=SinX
演示完毕 敬请指导！
画出函数 Y=Sin2X,X∈R Y=Sin0.5X,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 π/4 1 π/2 π π/2 0 π 3π/2 3π/4 -1 3π/2 2π π 0 2π
X
Sin0.5X
0
0
π
1
2π
0
3π
-1
4π
0
1 O -1
Y X
4 2
3 4
3 2
2
3
4
Y=Sin2X
函数Y=ASin(ωX+ψ)的图象
(第一课时)
1. 函数Y=ASinX与Y=SinX的图 象的联系
例1
x Sin X 2Sin X 0.5Sin X
画出函数 Y=2 SinX,X∈R Y=0.5 SinX,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 1 2 1/2 π 0 0 0 3π/2 -1 -2 -1/2 2π 0 0 0
不变）而得到。这种变换叫做振幅变换，A叫做函数
Y=ASinX的振幅。 函数Y=ASinX,X∈R的值域是[-A,A]，最大值是A， 最小值是-A。 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍
2. 函数Y=SinωX与Y=SinX的 图象的联系
例2
2X X Sin2X 0.5X
3. 函数Y=Sin（X+ψ）与 Y=SinX的图象的联系
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
【高中数学必修四】复习讲义 专题1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第一章 三角函数1.5 函数()sin y A x ωϕ=+的图象一、,,A ϕω对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 1．(0)ϕϕ≠对函数sin()y x ϕ=+的图象的影响()sin y x ϕ=+（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向 （当φ<0时）或向 （当φ>0时）平行移动ϕ个单位长度而得到的. 2．(0)ωω>对函数sin()y x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y x ωϕ=+（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或 （当ω>1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的.3．(0)A A >对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y A x ωϕ=+（其中A >0）的图象，可以看作是把函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（当A >1时）或缩短（当0<A <1时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到的. 4．函数sin y x =到函数sin()y A x ωϕ=+(其中0,0A ω>>)的图象变换将函数sin y x =的图象变换得到函数sin()y A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的图象的过程为: （1）作出函数sin y x =在长度为2π的某闭区间上的简图;（2）将图象沿x 轴向左或向右平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的简图； （3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，得到函数sin()y x ωϕ=+的简图;（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的简图; （5）沿x 轴扩展得到函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 的简图. 由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法：（1）先平移后伸缩：（2）先伸缩后平移：二、函数(),[)sin 0,y A x x ωϕ∈++∞=(其中0,0A ω>>)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数sin()y A x ωϕ=+中的常数有关： A ：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为 （amplitude of vibration ）. T ：2πT ω=,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 (period).f ：12πf T ω==，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 (frequency). x ωϕ+：称为 (phase).ϕ：x =0时的相位，称为 (initial phase).简记图象变换名称及步骤（1）函数y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图象变换称为相位变换； （2）函数y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图象变换称为周期变换； （3）函数y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图象变换称为振幅变换．（4）函数y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．K 知识参考答案：一、1．右 左2．缩短3．A二、振幅 周期 频率 相位 初相K —重点 函数图象的变换以及由图象确定函数解析式 K —难点 函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 K —易错不能正确理解三角函数图象的变换规律致错1．函数图象的变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数sin y x =，(n )si y A x ωϕ=＋或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（3）确定函数sin y x =的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出,,A ωϕ的值.（4）由(n )si y A x ωϕ=＋的图象得到sin y x =的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到. 【例1】要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象 A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】B【解析】因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图象，只需将函数y ＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．故选B ．【例2】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-【答案】C【解析】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，得sin()10y x π=-的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin()210y x π=-．故选C ．【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系，此类问题很容易混淆规律导致错误. 2．由函数图象确定函数解析式结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法： （1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：【例3】如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．【解析】(逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ， ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 【名师点睛】给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：（1）第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.（2）特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．【例4】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【答案】62【解析】由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.又函数图象经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (0)＝2sin π3＝62.【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现. 确定φ一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解.3．函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性： ①对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．②对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称．【例5】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，图象关于直线x ＝π3对称．（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数f (x )的单调递增区间；（3）在给定的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．（2）由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .（3）列表如下：x 0 π12 π3 7π12 5π6 π y－121－1－12描点、作图．【例6】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．【解析】由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴当x ＝0时f (x )取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.【名师点睛】此类题目是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等．求解时要充分结合函数的性质，把性质转化为参数的方程或不等式． 4．不能正确理解三角函数图象变换规律【例7】为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B ．y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【答案】A【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．1．要得到y =sin2x 的图象，只需将y =cos2x 的图象A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位 2．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．143．已知函数f （x ）=sin （2x +φ）（–π<φ<0），将函数f （x ）图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）=sin （2x +φ） A ．在区间[–ππ63，]上单调递减B ．在区间[–ππ63，]上单调递增C ．在区间[ππ36-，]上单调递减D ．在区间[ππ36-，]上单调递增4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin(1011x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(1011x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)5．将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π3个长度单位，所得函数图象的一个对称中心为 A ．()0,0B ．π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．π,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．(π,0)6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.7．已知函数f (x )＝3sin(3x ＋π3)表示一个振动．（1）求这个振动的振幅、周期、初相；（2）说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到函数f (x )的图象．8．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)在其一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求这个函数的解析式．9．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．（1）写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值； （2）求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．10．要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点A ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变） B ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）11．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位长度 B ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位长度C ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）12．先把函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把新得到的图象向左平移π6个单位长度,得到y =g (x )的图象，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,函数g (x )的值域为A ．3⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C ．33⎛ ⎝⎭D ．[)1,0-13．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间[]0,π上是单调函数，则ωϕ+=A ．π223+ B ．π22+ C ．π322+D ．π1023+14．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为M ，则下列结论中正确的是 A ．图象M 关于直线π12x =-对称 B ．将2sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到MC ．图象M 关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移7π24个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间π,3θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(π3θ>-)上的值域为[]1,2-，则θ等于A ．π6 B ．π4 C ．2π3D ．7π1216．已知函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<的最大值是1，其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，则3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 17．已知把函数x x g 2sin 2)(=的图象向右平移π6个单位，再向上平移一个单位得到函数)(x f 的图象． （1）求)(x f 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求)(x f 在π[0,]2x ∈时的值域；（3）若)()(x f x -=ϕ，求)(x ϕ的单调增区间．18．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x192y =的两相邻交点之间的距离为π，且（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 2倍，得到函数()g x 的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥x 的取值范围.20．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示． （1）求f (x )的解析式；（2）把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？21．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. （1）在该函数的图象的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；（2）将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．22．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2， 2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.（1）试求这条曲线的函数解析式；（2）写出函数的单调区间．23．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及f（x）图象的对称轴方程；（2）把函数y=f（x）图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）的图象，求关于x的方程g（x）=m（0<m<2）在x∈[π11π33，]时所有的实数根之和．24．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）–b（ω>0，0<φ<π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π63g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；（3）若对任意x∈[0，π3]，f 2（x）–（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．25．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cos x–sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π26．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C227．（新课标Ⅰ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．528．（新课标Ⅰ）将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)29．（新课标Ⅱ）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(x ＋π6)D ．y ＝2sin(x ＋π3)30．（新课标Ⅱ）若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ．x =26k ππ-(k ∈Z ) B ．x =26k ππ+(k ∈Z )C ．x =212k ππ-(k ∈Z )D ．x =212k ππ+(k ∈Z )31．（2018•江苏）已知函数y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，则φ的值为______．32．（2018•北京）设函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_____________．1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 26 27 28 29 30 BBBCABCAACBDBDAB1．【答案】B【解析】y =cos2x =sin （2x +π2）=sin2（x +π4）．所以将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，可得函数y =sin[2（x –π4）+π2]=sin2x 的图象，故选B ． 2．【答案】B【解析】将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的 图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=k π+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ．4．【答案】C【解析】∵f (0)＝1，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又ω×11π12＋π6＝2π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．5．【答案】A【解析】将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再向左平移π3个长度单位，得到1π1cos sin 222y x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.将选项代入验证可知A 选项符合.6．【答案】π4【解析】由题意可知，函数f (x )的最小周期T ＝2(5π4－π4)＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)．又∵x ＝π4是函数f (x )的图象的一条对称轴，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．【解析】（1）振幅A ＝3，周期T ＝2π3，初相φ＝π3.（2）先将函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(3x ＋π3)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f (x )＝3sin(3x ＋π3)的图象．8．【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，得A ＝12(y max －y min )＝12×(3＋5)＝4，b ＝12(y max ＋y min )＝12×(3－5)＝－1，T 2＝7π12－π12＝π2，即T ＝π.由T ＝2πω，得ω＝2. ∴y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∴2×π12＋φ＝π2+2kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3，故所求函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1.【思路点拨】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0)的图象可看作把y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个长度单位得到的．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 值之差的绝对值只是半个周期，由此可得出A 、b ，进而再求ω、φ. 9．【解析】（1）f (x )的最小正周期为2π2＝π.∵(x 0，y 0)是最大值点，令2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，结合图象得x 0＝7π6，y 0＝3.（2）因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.10．【答案】B【解析】由题可知，正弦型为sin()y A x ωϕ=+，其中，A 代表振幅，ω用来控制函数的横坐标变化，ϕ用来控制函数的左右移动，本题是先平移再伸缩，先向左平移π4个单位长度，得到π2sin()4y x =+的图象，再把横坐标缩短为原来的12倍，得到π2sin(2)4y x =+，故选B ．【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 11．【答案】C【解析】根据函数(f 故可以把函数()f x 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2sin y x =函数的图象，故选C ． 12．【答案】A【解析】依题意得()1πππsin 2sin 2636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，x －π6∈π2π()33-，，所以πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，即函数g (x )的值域是.⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos ,cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论平移还是伸缩变换，总是对变量x 而言. 13．【答案】A【解析】由于()f x 是R 上的偶函数，且0πϕ≤≤()f x 在区间[]0,π上是单调函数，且0ω>A ． 【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法： （1）利用最值求出A ； （2）利用周期公式求出ω； （3）利用特殊点或对称性求出ϕ.在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性. 14．【答案】C【解析】将2sin 2y x =的图象向左平移,故B 错；()f x D 错；π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭M A 错误，C 正确， 故选C ． 15．【答案】B【解析】由图象可知，π2,π,2,4A T ωϕ=-===， 所以()()()π7πππ2sin 22sin 2,2sin 242443f x x g x x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，， 当π,3x θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（π3θ>-）时，ππ2π,233x θ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为值域里有12，所以ππ236θ-=，π4θ=，选B ． 【名师点睛】本题学生容易经验性的认为2A =,但此时ϕ在π2ϕ<内无解，所以2A =-. 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式：(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2π,.T ωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求.16．【答案】2-【解析】由函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<，x ∈R 的最大值是1，得1A =； 又其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴π1sin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π36k ϕ+=+或π5π2π36k ϕ+=+，k ∈Z ；∴π2π6k ϕ=-+或π2π2k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，∴π2ϕ=，∴()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴3π3πcos 442f ⎛⎫==-⎪⎝⎭.故答案为2-． 17．【解析】（1）由已知得π()2sin(2)13f x x =-+．当πsin(2)13x -=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时ππ22π,32x k k -=-+∈Z ，即ππ,12x k k =-∈Z ， 故)(x f 取最小值时x 的集合为π{|π,}12x x k k =-∈Z ．（2）当π[0,]2x ∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以πsin(2)13x ≤-≤，从而π12sin(2)133x ≤-+≤，即)(x f 的值域为[1,3]． （3）()()ππ2sin 212sin 2133φxf x x x ⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭(),即求函数πy x =+2sin(2)3的单调递减区间． 令πππππk x k k +≤+≤+∈Z 3222,232，解得ππππk x k k +≤≤+∈Z 7,1212，故)(x ϕ的单调增区间为()ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 7,1212． 18．【解析】（1）故解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为π02x -≤≤， 所以5πππ2666x -≤+≤，所以π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 2-.当ππ266x +=，即0x =时，()f x 1. 【名师点睛】本题主要考查由函数sin y A x ωϕ=+（）的部分图象求解析式，并研究函数的性质，属于基础题．（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递增区间．（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（2）由（1）可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π2π262k x k -≤+≤+，得2ππ2π2π33k x k -≤≤+，k ∈Z ， ∴()g x 的单调递增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ∵π2sin 36x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴π3sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴ππ2π2π2π363k x k +≤+≤+，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为ππ|2π2π, 62x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键. （1）由已知可得πT =，进而求解ω值，再根据()f x 的图象关于π3x =对称，求解ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）可得()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质，即可求解()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥时x 的取值范围.21．【解析】（1）由2x ＋2π3＝k π，得函数的对称轴方程是x ＝－π3＋k π2，k ∈Z .所以函数的图象离y 轴距离最近的那条对称轴方程为x ＝π6.（2）将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. 因为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ的图象关于原点对称，所以2π3－2φ＝π2＋k π.所以φ＝π12－k π2，k ∈Z . 所以φ的最小正值是π12．22．【解析】（1）依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π， ∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1. ∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z .∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.（2）令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．23．【解析】（1）由图象知，周期T =11π12–（–π12）=π，∴ω=2πT=2．∵点（–π12，0）在函数图象上， ∴A sin （–2×π12+φ）=0，即sin （φ–π6）=0，又∵–π2<φ<π2，∴–2π3<φ–ππ63<，从而φ=π6． 又∵点（0，1）在函数图象上，∴1=A sinπ6，∴A =2． 故函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （2x +π6）． 令2x +π6=k π+π2，k ∈Z ，解得x =π2k +π6，k ∈Z ． 即为函数f （x ）图象的对称轴方程．（2）依题意，得g （x ）=2sin （x +π3）， ∵g （x ）=2sin （x +π3）的周期T =2π， ∴g （x ）=2sin （x +π3）在x ∈[–π3，11π3]内有2个周期． 令x +π3=k ππ2+（k ∈Z ），则x =π6+k π（k ∈Z ）， 即函数g （x ）=2sin （x +π3）的对称轴为x =π6+k π（k ∈Z ）． 又x ∈[π11π33-，]，则x +π3∈[0，4π]，且0<m <2，所以g （x ）=m ，（0<m <2）在x ∈[π11π33-，]内有4个实根，不妨从小到大依次设为x i （i =1，2，3，4）， 则12π26x x +=，3413π26x x +=． ∴关于x 的方程g （x ）=m （0<m <2）在x ∈[π11π33-，]时，所有的实数根之和为x 1+x 2+x 3+x 4=14π3． 24．【解析】（1）由2ππ22ω=⨯可得ω=2，则f （x ）=sin （2x +φ）+b ，又()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0<φ<π，则π3b ϕ==，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）结合（1）的结论可得对称轴满足ππ2π32x k k +=+∈Z ，， 据此可得对称轴方程为ππ122k x k =+∈Z ，， 函数的增区间满足()πππ22π2π322x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，， 故增区间为()5ππππ1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．（3）因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以()()111f x f x ≤--≤而f 2（x ）–（2+m ）f （x ）+2+m ≤0恒成立，整理可得()()111m f x f x ≤+--，由()1313f x --≤-≤-，得()()13314311f x f x --≤+-≤--， 故133m --≤，即m 取值范围是133⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，． 25．【答案】C【解析】f （x ）=cos x –sin x =–（sin x –cos x ）=–2sin （x –π4），由–π2+2k π≤x –π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得–π4+2k π≤x ≤3π4+2k π，k ∈Z ，取k =0，得f （x ）的一个减区间为[–π4，3π4]，由f （x ）在[0，a ]是减函数，得a ≤3π4．则a 的最大值是3π4．故选C ．26．【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D ．【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-. 28．【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x 而言的,不要忘记乘以系数. 29．【答案】A【解析】由题图知，2A =，最小正周期ππ2[()]π36T =--=，所以2π2πω==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点π(,2)3，所以π22sin(2)3ϕ=⨯+，所以2πsin()13ϕ+=，所以2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，令0k =，得π6ϕ=-，所以π2sin(2)6y x =-，故选A. 【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 30．【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得函数ππ2sin 2()2sin(2)126y x x =+=+的图象，则平移后函数图象的对称轴为ππ2π,62x k k +=+∈Z ，即ππ,62k x k =+∈Z ，故选B. 【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值． 31．【答案】D【解析】由图象可知，1π++2π42()53π++2π42m m m ωϕωϕ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩Z ，解得=πω，π=+2π()4m m ϕ∈Z ，所以ππ()cos(π+2π)=cos(π)()44f x x m x m =++∈Z ，令π2ππ2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得124k -<x <324k +,k ∈Z ,故函数()f x 的单调减区间为（124k -，324k +）,k ∈Z ,故选D ． 31．【答案】–π6【解析】∵y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，∴2×π3+φ=k π+π2，k ∈Z ，即φ=k π–π6，∵–π2<φ<π2，∴当k =0时，φ=–π6，故答案为：–π6．32．【答案】23【解析】函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ππ2π46k ω⋅-=，k ∈Z ，解得ω=283k +，k ∈Z ，ω>0，则ω的最小值为：23．故答案为：23．。
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件(人教A版必修4)
第11页
返回导航
第一章
三角函数
(2)对于函数 y＝sin(x＋φ)与 y＝sin(ωx＋φ)之间的图像变 换称为周期变换，它实质上是横向的伸缩，此时，y＝sin(ωx 2π ＋φ)的周期 T＝ ，其振幅不变． ω (3)对于函数 y＝sin(ωx＋φ)与 y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像 变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅不 改变周期和相位．
1 π y＝2sin2x＋6的图像．
第16页
返回导航
第一章
三角函数
第17页
返回导航
第一章
三角函数
变式训练 1
1 用“五点法”作出函数 y＝ cos2x 的简图． 2
解
列表 2x x 1 2cos2x 0 0 1 2 π 2 π 4 0 π π 2 1 －2 3 π 2 3 π 4 0 2π π 1 2
§1.5
函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图像
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
第1页
返回导航
第一章
三角函数
课前热身
第2页
返回导航
第一章
三角函数
1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种画法 π 3π (1)五点法：①列表(ωx＋φ 通常取 0， ，π， ，2π 这五 2 2 个值)；②描点；③________.
第20页
返回导航
第一章
三角函数
解法 1
y＝
y＝Байду номын сангаасin2x
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋3.
第21页
返回导航
第一章
三角函数
π π 分析 2 x→x＋3→2x＋3.
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
思考：用“五点法”作
函数 y=3sin(2x+
3
)，它 是由函数
y = sinx通过何种变换而来？
动画
1 例1：画出函数 y 2sin( x - ) 3 6
在长度为一个周期的闭区间上的简
图，并说明它是由y=sinx如何变 化而来的？
由y sin x 到y A sin( x )的图象变换步骤
二. 合作探究
(二)探索( 0)对y sin （ x )的图象的影响.
例如：函数y sin （2x ) 3
对比函数y sin （2x )与函数y sin （x )的简图， 3 3 通过点的运动演示,寻找规律.
3.作出函数y sin （2x )在一个周期的闭区间 3 上的简图.
作函数y=3sin观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
归纳（三）
y A sin( x )
的图象可以看作是把 y sin( x )
图象上所有点的纵坐标伸长（A＞1）
或缩短（0＜A＜1)到原来的A倍(横坐
标不变）而得到。值域是[-A，A]。
列表：
x
2x
6
12
3
7 12
5 6
3
3 )
0 0
2
0
3 2
2 0
sin （ 2x
1
-1
描点作图：
1
2
-
y
5 6
6
O
12
7 12
-1
3
x
对 1 多次取值实验演示，寻找规律：
2018版高考一轮数学文科：第18讲-函数y=Asin(ωx+φ)的图像ppt课件
1 f(x)的图像过点 4，0，所以当
真题在线
4．[2016· 全国卷Ⅲ] 函数 y＝sin x－ 3cos x 的图像可由函数 y＝2sin x 的图像至少向右 平移________个单位长度得到．
π [答案] 3
[解析] 函数 y＝sin x－ 3cos x＝2sin π （x－ 3 ）的图像可由函数 y＝2sin x π 的图像至少向右平移 3 个单位长度 得到．
[解析] A
根据“左加右减”的 π 原则，要得到 y＝sinx＋ 的图 3 像，只需把 y＝sin x 的图像向左 π 平移 3 个单位长度．
真题在线
x 1 1 2． [2016· 天津卷] 已知函数 f(x)＝sin ＋ sin ω x－ (ω>0)， x∈R.若 f(x)在区间(π ， 2 2 2 2π )内没有零点，则 ω 的取值范围是( ) 1 A． （0， ] 8 1 5 B． （0，4）∪[8，1） 5 C． （0，8] 1 1 5 D．(0，8 ]∪[4，8]
函数y＝Asin(ω x＋φ )的图像及三 角函数模型的简单应用
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第18讲 PART 03
考试说明
1．了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数 A，ω，φ 对函数图像变化的影响． 2．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函 数模型．
真题在线
5．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φ cos x 的最大值为________．
[答案] 1
[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φ cos x ＝ sin xcos φ － cos xsin φ ＝ sin(x－φ)，其最大值为 1.
高一数学人教A版必修4课件：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
6
探究点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象 思考1 物理中，简谐运动的图象就是函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0， ω>0)，x∈[0，＋∞)的图象，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理 量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别 是指哪些数据以及各自的含义吗？
明目标、知重林点 老师网络编辑整理
27
③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称 中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对 称轴相距周期的四分之一.
一般地，函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称中心是kπω－φ，0，k∈Z， 对称轴方程是 x＝kπ＋ωπ2－φ，k∈Z.
30
跟踪训练3 已知函数f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x的图象关于直 线x＝－π8对称，求a的值. 解 根据函数图象关于直线 x＝－π8对称， ∴f－π8＋x＝f－π8－x对一切 x∈R 恒成立.
取 x＝π8得 f(0)＝f－π4.
代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.
明目标ห้องสมุดไป่ตู้知重点
填要点·记疑点
1.简谐运动
简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中， A 叫做振幅，周期T
2π
ω
＝ ω ，频率f＝ 2π，相位是 ωx＋φ ，初相是 φ .
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域 值域
R [－A，A]
明目标、知重林点 老师网络编辑整理
有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到函数 y＝
高二数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象2
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：这个量振动时离开平衡位置 的最大距离，称为“振幅”. T：
函数表示一个振动量时：
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
；
不饶发威起来.月倾城只是睁大眼睛静静の望着白重炙,夜轻语也是眼睛微红,拉着他の衣服,宛如一放手他就消失了一样. "俺陷入了一些地方,那里空间不稳定,不能开启逍遥阁,俺出来之后,不是利马就回来了吗?俺怎么舍得不要你呀们,等俺赚够神石,将炽火大陆购买下来,俺就永远回来了,再也 不离开你呀们了…"白重炙苦笑の解释起来,两年不见三人外貌都没有改变多少,性格更是没有一丝改变. 夜轻语却是摇了摇头,拉着白重炙の手说道："哥,总是骗人,每次都不守信用,哥,你呀还要多久才能赚够神石?俺将神石内の法则完全感悟成功之后,能不能去神界找你呀?" "鹿老说购买炽火位 面需要十亿神石,俺现在已经拥有了
高一数学人教A版必修4课件：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
思考 2 用五点法作出函数 y＝12sin(2x＋π3)在一个周期内的图象，比 较它与函数 y＝sin2x＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？
明目标、知重点
答 函数 y＝12sin2x＋π3的图象，可以看作是把 y＝sin2x＋π3的图象 上所有的点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的.
若设 f(x)＝sin 2x＝cos 2x－π8－π4， 则 fx＋π8＝cos2x－π4，∴向左平移π8个单位.
答案 A
明目标、知重点
例 2 把函数 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单
位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标
不变)，得到的图象所表示的函数是( )
明目标、知重点
思考 2 用“五点法”作出函数 y＝sinx－π3在一个周期内的图象， 比较它与函数 y＝sin x 的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 答 函数 y＝sinx－π3的图象，可以看作是把曲线 y＝sin x 上所有的 点向右平移π3个单位长度而得到的.
明目标、知重点
思考3 一般地，对任意的φ (φ≠0)，函数y＝sin(x＋φ)的图象是 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 答 y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有 的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得 到，上述变换称为平移变换.
明目标、知重点
探究点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin x的图象关系
思考1 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象？ 答 y＝sin x的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象一般有两个 途径： 途径一：先相位变换，再周期变换 先将y＝sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再
新课标高中数学人教A版必修一全册课件2函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二) 公开课一等奖课件
讲授新课 y tan x 3
函数y A sin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
f ： f 1 单位时间内往返振动 T 2
的 次 数 ， 称 为 “ 频 率 ”.
x : 称为“相位” . :
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
讲授新课 y tan x 3
例1. 下图是某简谐运动的图象.试根据图 象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各 是多少？
(2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
讲授新课 y tan x 3
1.5函数y=Asin(x+) 的图象
主讲老师：陈震
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数
y Asin(x )图象?
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数
y Asin(x )图象?
2. A、、对函数 y A sin(x )
讲授新课 y tan x 3
函数y A sin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
第五节 函数y=Asin(ωx+φ )的图象与性质(二)(知识梳理)
第五节函数y=Asin(ωx+φϕ)的图象与性质(二)复习目标学法指导1.会求形如y=Asin(ωx+ϕ)的函数的单调区间、最值、周期.2.能运用三角函数知识分析和处理实际问题. 1.能以复合函数的观点分析与解决函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象与性质问题.2.能用换元法、整体思想将复合函数问题转换为正、余弦函数的图象与性质解决.3.能用建模思想处理与三角函数有关的实际问题.函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的性质1.奇偶性:ϕ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+ϕ)为奇函数; ϕ=kπ+π2 (k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+ϕ)为偶函数.2.周期性:y=Asin(ωx+ϕ)存在周期性,其最小正周期为T=2πω.3.单调性:根据y=sin t和t=ωx+ϕ的单调性来研究,由-π2+2kπ≤ωx+ϕ≤π2+2kπ,k∈Z得单调递增区间;由π2+2kπ≤ωx+ϕ≤3π2+2kπ,k∈Z得单调递减区间.4.对称性:利用y=sin x图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+ϕ=kπ(k∈Z),求得x.利用y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2(k∈Z)求解,令ωx+ϕ=kπ+π2(k∈Z)得其对称轴.1.性质理解(1)奇偶性:对函数y=Acos(ωx+ϕ),当ϕ=kπ(k∈Z)时,函数为偶函数;当ϕ=kπ+π2(k∈Z)时,函数为奇函数.(2)单调性:对于函数y=Asin(ωx+ϕ),当A<0或ω<0时,欲求函数的增区间,需将ωx+ϕ代入函数y=sin x的减区间,因为函数y=Asin(ωx+ϕ),y=Acos(ωx+ϕ),y=Atan(ωx+ϕ)的单调性的实质是复合函数的单调性.2.与奇偶性、对称性相关的结论(1)若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.(2)对于函数y=Asin(ωx+ϕ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(3)三角函数的对称性、奇偶性与周期性一般可以“知二求一”,具体规律结合其图象可以直观的理解,而且注意这些性质的迁移应用.1.将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数解析式为( D )(A)y=2sin(2x+π4)(B)y=2sin(2x+π3)(C)y=2sin(2x-π4)(D)y=2sin(2x-π3)解析:函数y=2sin(2x+π6)的周期为π,将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin[2(x-π4)+π6]=2sin(2x-π3),故选D.2.已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ∈R),则“f(x)是奇函数”是“ϕ=π2”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0,所以cos ϕ=0,所以ϕ=π2+kπ(k∈Z);若ϕ=π2,则f(x)=Acos(ωx+π2)=-Asin ωx,f(x)是奇函数.所以f(x)是奇函数是ϕ=π2的必要不充分条件.故选B.3.设ω>0,函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( C )(A)23(B)43(C)32(D)3解析:由题意得2πω·k=4π3(k∈N*),所以ω=32k(k∈N*),所以ωmin=32.4.函数y=-|sin(x+π4)|的单调递减区间是.解析:作出函数y=-|sin(x+π4)|的简图(如图),由图象得函数的单调递减区间为[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z).答案:[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z)5.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,则y=f(x+π6)取得最小值时x的取值集合为.解析:根据所给图象,周期T=4×(7π12-π3)=π,故π=2πω,所以ω=2,因此f(x)=sin(2x+ϕ).图象经过点(7π12,0),代入得2×7π12+ϕ=π+2kπ(k∈Z),再由|ϕ|<π2,得ϕ=-π6,所以f(x)=sin(2x-π6),所以f(x+π6)=sin(2x+π6),当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=f(x+π6)取得最小值.答案:{x|x=k π-π3,k ∈Z}考点一 函数y=Asin(ωx+ϕ)的奇偶性、周期性与对称性 [例1] 已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+1(ω>0,A>0,0<ϕ<π2)的周期为π,f(π4)=3+1,且f(x)的最大值为3,则函数f(x)的对称中心为 ,对称轴方程为 . 解析:因为T=π,所以ω=2, 因为最大值为3,所以A=2. 所以f(x)=2sin(2x+ϕ)+1, 因为f(π4)=3+1,所以2sin(π2+ϕ)+1=3+1,所以cos ϕ=3.因为0<ϕ<π2,所以ϕ=π6. 所以f(x)=2sin(2x+π6)+1. 令2x+π6=k π,k ∈Z, 得x=π2k -π12(k ∈Z),所以对称中心为(π2k -π12,1)(k ∈Z). 由2x+π6=k π+π2,k ∈Z, 得x=π2k +π6(k ∈Z), 所以对称轴方程为x=π2k +π6(k ∈Z). 答案:(π2k -π12,1)(k ∈Z) x=π2k +π6(k ∈Z) (1)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义;②利用公式:y=Asin(ωx+ϕ)和y=Acos(ωx+ϕ)的最小正周期为2πω,y=tan(ωx+ϕ)的最小正周期为πω;③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出图象,结合图象进行判断.(2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心;②若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为偶函数,则ϕ=π2+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为奇函数,则ϕ=kπ(k∈Z);③若求f(x)=Asin(ωx+ϕ)的对称轴,只需令ωx+ϕ=π2+kπ(k∈Z),求x即可;若求f(x)=Asin(ωx+ϕ)的对称中心的横坐标,只需令ωx+ϕ=kπ(k∈Z),求x即可.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-1cos22x-+2=32cos 2x+52,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.2.(2019·湖州高三检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(π3,3)对称,则m的值可能为( D )(A)π6 (B)π2 (C)7π6 (D)7π12解析:依题意得333A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得3,3A B ⎧⎪⎨⎪⎩ 2T=πω=2π3-π6=π2, 故ω=2,则3ϕ3又f(π63π3+ϕ333故π3+ϕ=π2+2k π(k ∈Z), 即ϕ=π6+2k π(k ∈Z). 因为|ϕ|<π2,故ϕ=π6, 所以3sin(2x+π63将函数f(x)的图象向左平移m 个单位长度后得到3sin(2x+π63的图象,又函数g(x)的图象关于点(π3,3)对称,即h(x)=3sin(2x+π6+2m)的图象关于点(π3,0)对称,故3sin(2π3+π6+2m)=0,即5π6+2m=k π(k ∈Z),故m=π2k -5π12(k ∈Z).令k=2,则m=7π12.故选D.考点二 函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性[例2] 已知函数f(x)=-2sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π),若(π5,5π8)是f(x)的一个单调递增区间,则ϕ的取值范围为( )(A)[-9π10,-3π10] (B)[4π10,9π10](C)[π10,π4] (D)(-π,π10]∪[π4,π) 解析:令2k π+π2≤2x+ϕ≤2k π+3π2,k ∈Z, 所以k π+π4-2ϕ≤x ≤k π+3π4-2ϕ,k ∈Z, 又因为(π5,5π8)是f(x)的一个单调递增区间,|ϕ|<π, 所以5π8≤k π+3π4-2ϕ,k ∈Z,解得ϕ≤π4, 同理由π5≥k π+π4-2ϕ,k ∈Z,可得ϕ≥π10, 所以π10≤ϕ≤π4.故选C. (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+ϕ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是 .解析:令π2+2k π≤ωx+π4≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4ω+2πk ω≤x ≤5π4ω+2πk ω,k ∈Z, 则5π2ππ,4π2ππ,42k k ωωωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩得12+4k ≤ω≤54+2k,k ∈Z, 因为k>0时上式无解,所以k ≤0, 又因为ω>0,所以k=0,所以12≤ω≤54. 答案:[12,54] 考点三 由函数y=Asin(ωx+ϕ)的性质求解析式[例3] 已知函数f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f(π4)=0,其中a ∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值;(2)若f(4α)=-25,α∈(π2,π),求sin(α+π3)的值. 解:(1)因为f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)是奇函数, 而y 1=a+2cos 2x 为偶函数, 所以y 2=cos(2x+θ)为奇函数, 又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin 2x ·(a+2cos 2x), 由f(π4)=0得-(a+1)=0,解得a=-1.解:(2)由(1)得f(x)=-12sin 4x,因为f(4α)=-12sin α=-25, 即sin α=45,又α∈(π2,π),从而cos α=-35, 所以sin(α+π3)=sin αcos π3+cos αsin π3=433-. 依据三角函数性质求y=Asin(ωx+ϕ)+B,一是用性质求参数,二是以点的代入求参数,求解过程中注意参数的范围限制.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,-π2≤ϕ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2且过点(2,-12),求函数f(x)的解析式.解:据已知两个相邻的最高点和最低点的距离为222()(11)2T++2解得T=4,故ω=2πT =π2,即f(x)=sin(π2x+ϕ). 又函数图象过点(2,-12), 故f(2)=sin(π2×2+ϕ)=-sin ϕ=-12, 即sin ϕ=12. 又-π2≤ϕ≤π2,解得ϕ=π6,故f(x)=sin(π2x +π6).考点四 易错辨析[例4] 设函数f(x)=sin(π4x -π6)-2cos 2π8x +1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x ∈[0,43]时y=g(x)的最大值.解:(1)f(x)=sin π4xcos π6-cos π4xsin π6-cos π4xsin π4x-32cos π4xπ4x-π3). 故f(x)的最小正周期为T=2ππ4=8.解:(2)法一 在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而π4(2-x)-π3]π2-π4x-π3]π4x+π3). 当0≤x ≤43时,π3≤π4x+π3≤2π3, 因此y=g(x)在区间[0,43]π3.法二 因为区间[0,43]关于x=1的对称区间为[23,2],且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在[0,43]上的最大值就是y=f(x)在[23,2]上的最大值, 由(1)知π4x-π3),当23≤x≤2时,-π6≤π4x-π3≤π6,因此y=g(x)在[0,43]上的最大值为3sin π6=3.易错分析解答该类问题的易错点(1)对三角公式不熟导致三角恒等变换错误.(2)不能正确将x的范围转化为ωx+ 的范围致误.已知函数f(x)=4tan xsin(π2-x)cos(x-π33(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[-π4,π4]上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为(x|x≠π2+kπ,k∈Z).f(x)=4tan xcos xcos(x-π33=4sin xcos(x-π33=4sin x(1233323333=2sin(2x-π3).所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.解:(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=[-π4,π4],B={x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z},易知A∩B=[-π12,π4].所以当x∈[-π4,π4]时,f(x)在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.三角函数图象与性质的综合问题[例题] 设3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(π6)的值.解3π-x)sin x-(sin x-cos x)232x-(1-2sin xcos x)333=2sin(2x-π33-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)(或(kπ-π12,kπ+5π12)(k∈Z)).解:(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-π33把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-π3)+3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sin x+3-1的图象,即g(x)=2sin x+3-1,所以g(π6)=2sin π6+3-1=3.规范要求:(1)三角变换与性质问题的解决依据一般是针对y=Asin(ωx+ϕ)+b的形式,所以化简整理是关键的一步.(2)函数化为asin ωx+bcos ωx是求函数解析式的难点,可借助诱导公式辅助分析确定.(3)求三角函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的性质一般利用y=sin x 的性质解决,此时应用复合函数的单调性方法处理.温馨提示:解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步:将f(x)化为asin x+bcos x的形式,构造22a b+ϕ)(其中ϕ为辅助角).第二步:利用22a b+ϕ)研究三角函数的性质.第三步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.[规范训练1] 已知点(5π12,0)是函数f(x)=(asin x+cos x)cos x-12图象的一个对称中心.(1)求实数a的值;(2)求f(x)在闭区间[-π6,π3]上的最大值和最小值及取到最值时对应的x 值.解:(1)由题意得f(x)=(asin x+cos x)cos x-12=2a sin 2x+12cos 2x.因为f(x)的图象关于点(5π12,0)中心对称, 所以f(5π12)=2a sin 5π6+12cos 5π6=0,解得.解:(2)由(1)得sin 2x+12cos 2x=sin(2x+π6), 设t=2x+π6,x ∈[-π6,π3], 则t ∈[-π6,5π6], 所以f(x)min =-12,此时x=-π6. f(x)max =1,此时x=π6. [规范训练2] 设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0. (1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-π4,3π4]上的最小值. 解:(1)因为f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),所以ωx-12cos ωx-cos ωxsin ωx-32cos ω(12sin ωcos ωx)ωx-π3).由题设知f(π6)=0, 所以π6 -π3=k π,k ∈Z,故ω=6k+2,k ∈Z. 又0<ω<3,所以ω=2. 解:(2)由(1)得f(x)=3sin(2x-π3),所以g(x)=3sin(x+π4-π3)=3sin(x-π12). 因为x ∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3],当x-π12=-π3, 即x=-π4时,g(x)取得最小值-32.类型一 函数y=Asin(ωx+ϕ)的奇偶性、周期性与对称性 1.已知曲线3关于点(x 0,0)成中心对称,若x 0∈[0,π2],则x 0等于( C ) (A)π12 (B)π6 (C)π3(D)5π12 解析:由题意可知f(x)=2sin(2x+π3), 其对称中心为(x 0,0), 故2x 0+π3=k π(k ∈Z), 所以x 0=-π6+π2k (k ∈Z), 又x 0∈[0,π2], 所以k=1,x 0=π3,故选C. 2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2tan 1tan x x+的最小正周期为( C ) (A)π4 (B)π2(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)= 2tan 1tan x x +=2sin cos sin 1cos xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=222sin cos cos sin cos x x xxα+=sin x ·cos x=12sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.故选C. 3.已知函数sin ωx+cos ωx(ω>0),x ∈R.在曲线 y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为 . 解析sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+π6)(ω>0).由2sin(ωx+π6)=1,得sin(ωx+π6)=12, 所以ωx+π6=2k π+π6或ωx+π6=2k π+5π6(k ∈Z). 令k=0,得ωx 1+π6=π6,ωx 2+π6=5π6, 所以x 1=0,x 2=2π3ω. 由|x 1-x 2|=π3,得2π3ω=π3, 所以ω=2.故f(x)的最小正周期T=2π2=π. 答案:π类型二 函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性4.(2018·天津卷)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( A ) (A)在区间[3π4,5π4]上单调递增 (B)在区间[3π4,π]上单调递减 (C)在区间[5π4,3π2]上单调递增 (D)在区间[3π2,2π]上单调递减解析:函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度后的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin 2x,则函数y=sin 2x 的一个单调增区间为[3π4,5π4],一个单调减区间为[5π4,7π4].由此可判断选项A正确.故选A.5.函数y=sin(ωx+ϕ)(ω>0且|ϕ|<π2)在区间[π6,2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( A ) (A)12(B)2(C)3(D)62+解析:函数y=sin(ωx+ϕ)的最大值为1,最小值为-1,由该函数在区间[π6,2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,可知2π3-π6=π2=2T ,T=π,ω=2, 则y=sin(2x+ϕ).又由函数y=sin(ωx+ϕ)的图象过点(π6,1), 代入可得ϕ=π6(|ϕ|<π2), 因此函数解析式为y=sin(2x+π6), 令x=0,可得y=12.故选A. 类型三 由函数性质求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式6.函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B(π3,-1),则 f(x)= .解析:由已知得2T =π3,所以T=2π3, 又T=π2ω,所以ω=3.因为f(0)=1,所以sin ϕ=12,又因为0<ϕ<π2,所以ϕ=π6,所以f(x)=2sin(3x+π6)(经检验满足题意).答案:2sin(3x+π6)7.若向量sin ωx,0),n=(cos ωx,-sin ωx)(ω>0),在函数f(x)=m ·(m+n)+t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为π4,且当x ∈[0,π3]时,f(x)的最大值为1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 解:(1)由题意得f(x)=m ·(m+n)+t =m 2+m ·n+t =3sin 2ωsin ωx ·cos ωx+t=32-32cos 2ωsin 2ωx+tωx-π3)+32+t. 因为对称中心到对称轴的最小距离为π4, 所以f(x)的最小正周期为T=π,所以2π2ω=π,所以ω=1, 所以sin(2x-π3)+32+t. 当x ∈[0,π3]时,2x-π3∈[-π3,π3], 所以2x-π3=π3,即x=π3时,f(x)取得最大值3+t. 因为f(x)max =1,所以3+t=1, 所以t=-2,所以sin(2x-π3)-12.解:(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+512π,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+512π](k∈Z).。
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
π 3π ＝ωx＋φ，再由 t 取 0，2，π， 2 ，2π 即可得到所取五个关键点的 φ φ π φ π φ 3π φ 2π 横坐标依次为－ω，－ω＋2ω，－ω＋ω，－ω＋2ω，－ω＋ ω .
答案
梳理
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的步骤：
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的
交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
φ － ， 0 ω
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π ； 2 “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝ ； 2 “第五点”为ωx＋φ＝2π.
知识点三
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
A
2
ωx＋φ
2
φ
题型探究
类型一
用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例1
1 π 利用五点法作出函数 y＝3sin(2x－3)在一个周期内的草图.
解答
反思与感悟
π 3π (1)用“五点法”作图时， 五点的确定， 应先令 ωx＋φ 分别为 0， π，2 ， 2， 2π，解出 x，从而确定这五点.
定义域
值域 周期性 对称性 对称轴
___ R [－A，A] _________
2π T＝ ω
kπ－φ (k∈Z) 对称中心 ， 0 ω
π kπ－φ x＝2ω＋ ω (k∈Z) ____________________
奇偶性 单调性
当φ＝kπ(k∈Z)时是 奇 函数； 当φ＝kπ＋ π (k∈Z)时是 偶 函数 2 通过整体代换可求出其单调区间
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出 ωx＋φ 的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定 x， y的值， 描点、连线并作出函数的图象.
跟踪训练 1 图象.
π π π 已知 f(x)＝1＋ 2sin(2x－4)，画出 f(x)在 x∈[－2，2]上的
解答
类型二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 如图是函数
π y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2的图象，求
A，
ω，φ 的值，并确定其函数解析式.
解答
反思与感悟
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按 以下规律来确定A，ω，φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝2π ，确定ω. |ω|
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
思考1
用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标
依次取哪几个值？
答案
π 3π 依次为 0，2，π， 2 ，2π.
答案
思考2
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
解 π ∵5sin(2x－6)≤0，
π ∴2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)， 5π π ∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z). 5π π 故所求 x 的取值范围是[kπ－12，kπ＋12](k∈Z).
解答
反思与感悟
解答
(2)指出函数的增区间；
解
π π π ∵函数的增区间满足 2kπ－2≤2x－6≤2kπ＋2(k∈Z)，
π 2π ∴2kπ－3≤2x≤2kπ＋ 3 (k∈Z)， π π ∴kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z). π π ∴函数的增区间为[kπ－6，kπ＋3](k∈Z).
解答
(3)求使y≤0的x的取值范围.
第一步：列表：
ωx＋φ x y 0 π 2 π 3π 2 2π
φ π φ π φ 3π φ 2π φ －ω 2ω－ω ω－ω 2ω－ω ω －ω 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.
知识点二 名称
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性 质 性质
跟踪训练2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
π A.y＝2sin2x－6 π x ＋ C.y＝2sin 6 π B.y＝2sin2x－3 π x ＋ D.y＝2sin 3
解析
π π 由图可知，A＝2，T＝23－－6＝π，
π π 所以 ω＝2.由五点作图法可知 2×3＋φ＝2，
π π 所以 φ＝－6，所以函数的解析式为 y＝2sin2x－6 ，故选 A.
解析
答案
类型三
例3
π 函数y＝Asin(ωx＋φ，|φ|< 2 )性质的应用
π π 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)的图象过点 P(12，0)，
π 图象上与 P 点最近的一个最高点的坐标为(3，5).
(1)求函数解析式；
解
T π π π π ∵图象最高点的坐标为(3，5)， ∴A＝5. ∵4 ＝3－12＝4，∴T＝π，
π 2π 2π ∴ω＝ T ＝2，∴y＝5sin(2x＋φ). 代入点(3，5)，得 sin( 3 ＋φ)＝1， π π 2π π ∴ 3 ＋φ＝2kπ＋2，k∈Z. 令 k＝0，则 φ＝－6，∴y＝5sin(2x－6).
第一章 三角函数
§1.5 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象(二)
学习目标
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐 运动中的振幅、周期、相位、初相.
内容索引
问题导学