《变化率与导数_导数的计算》试题
限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算
限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12 D ．24．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －15．(2013·大连模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 36．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.8．(2013·郑州模拟)已知三次函数y ＝x 3－x 2－ax ＋b 在(0,1)处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)求△ABD 的面积S 1.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算答 案1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A7．－4 8.－1 9.(－∞，0)10．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0，∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. ∴f (x )＝2x －6x 2＋3. 11．解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点．∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4.所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)，点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝ －(a ＋1)3.12．解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.。
(典型题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 3．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．-1B ．eC ．ln 2D ．14．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．25．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值7．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞8．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=9．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点 10．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5311．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 12．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．若曲线()xf x xe =在点()01,P y 处的切线垂直于直线10x ay ++=，则a =______.15．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x = 16．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 17．函数1y x =-在1-22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是____________________ 18．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．19．已知函数f(x)＝e x －mx ＋1的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是_________.20．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．三、解答题21．已知函数()x af x e-=，()ln g x x b =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程；（2）若2a b =+，是否存在直线与曲线()y f x =和()y g x =都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 22．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 23．已知函数()ln 1x af x x x=-- （I ）若()f x 在2x =处的切线的斜率为1ln2-，求a 的值； （Ⅱ）1x ∀>，不等式()11f x x >--恒成立，求整数a 的最大值. 24．已知函数32()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为81y x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值． 25．已知函数()2ln f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围． 26．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x x e x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =. 因为()2xxf x e xe x '=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．C解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =.4．A解析：A 【分析】求得()f x 的导函数，令1x =求出(1)f '，则求得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率． 【详解】()()221ln f x x f x '=+的导数为()()212f f x x x''=+令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题．5．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.7．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可． 【详解】由题意1()1x e f x x -=+，12()(1)x xe f x x -'=+， ∴f ′（1）＝14，又f （1）＝12，则切点为（1，12），∴所求的切线方程为：y ﹣12＝14（x ﹣1），化简得x ﹣4y +1＝0， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
(典型题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ）A ．320x y --=B ．320x y +-=C ．320x y -+=D ．320x y ++=2．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e3．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ）A ．(0,]eB ．21,e e e -⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦ 7．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=8．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞9．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3B ．8C ．8-D ．3-10．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008 B ．20092010 C ．20082009D ．2010201111．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 12．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--二、填空题13．直线2y x =与()2ln f x a x x =+的图象相切，则a 的值为___________. 14．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.16．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．17．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x = 18．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______． 19．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．20．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.三、解答题21．已知函数3()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程.22．设()2(0)f x ax bx c a =++≠，()22f x x '=+.且方程()0f x =有两个相等的实根.（1）求y ＝f (x )的表达式；（2）求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 23．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知曲线()()1xf x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.25．已知函数()2ln f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围． 26．已知函数2()ln ()f x tx x t =∈R ． （1）求()f x 在点(1, (1))f 处的切线方程． （2）若不等式1()ef x ≥恒成立，求实数t 的取值范围． （3）已知0a >，0b >，求证：22ln ln 1a b b a ->-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+， 1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=，又(1)1f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，即320x y --=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．2．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.4．C解析：C 【分析】求得函数的导数)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．D解析：D 【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果. 【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解 等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点 且直线y kx e =+过定点()0,e 如图根据图形可知：0k < 当直线y kx e =+与()11g x e x=+-相切时 设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又()'21g x x=-，所以()'201g x x =- 在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x = 所以()'124k g ==-当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时 则21110e ee e k e e +---==- 所以可知2114ek e--<≤故选：D 【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.7．A解析：A 【分析】求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可． 【详解】由题意1()1x e f x x -=+，12()(1)x xe f x x -'=+，∴f ′（1）＝14，又f （1）＝12，则切点为（1，12）， ∴所求的切线方程为：y ﹣12＝14（x ﹣1），化简得x ﹣4y +1＝0， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．8．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e'-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．9．B解析：B 【分析】利用求导法则求出()f x 的导函数，把1x =代入导函数中求得结果. 【详解】求导得：2'()62f x x x =+， 把1x =代入得：'(1)628f =+=， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关函数在某点处的导数的求解问题，涉及到的知识点有函数的求导公式以及求导法则，属于简单题目.10．B解析：B 【分析】求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到n S ，从而得到答案.【详解】因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2f x x x =+所以21111()1f n n n n n ==-++， 所以11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+ 所以200912009120102010S =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.11．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.12．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.二、填空题13．【分析】设切点坐标为求导数由切线斜率得的关系再由切点在函数图象可求得参数值【详解】设切点为因为所以切线斜率为得又因为切点在的图象上所以得即所以即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义已知 解析：2e 【分析】设切点坐标为00(,2)x x ，求导数，由切线斜率得0,a x 的关系，再由切点在函数图象可求得参数值．【详解】设切点为()00,2x x ，因为2()1a f x x '=+，所以切线斜率为0212a x +=，得02x a =，又因为切点在()f x 的图象上，所以0002ln 2a x x x +=，得002ln a x x =，即2ln22a a a =，所以2a e =，即2ea =. 故答案为：2e ． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，已知函数()y f x =，00(,)P x y ，导数为()y f x '='，（1）若P 在()y f x =图象，则函数图象过P 点的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-；（2）若求过P 点的切线方程，则诮设切点为11(,())x f x ，写出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，然后代入P 点坐标00(,)x y ，求得1x ，从而得切线方程． 14．2【分析】根据题意设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程与比较分析可得且解可得即可得切点的坐标将切点坐标代入曲线方程分析可得答案【详解】根据题意设曲线与的切点的坐标为其导数则切线的斜率又由切 解析：2【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为2m m ae +（，），利用导数求出切线的方程，与260x y -+=比较分析可得22m ae +=且226m -+=，解可得2m =-，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案．【详解】根据题意，设曲线2x y ae+=与260x y -+=的切点的坐标为2m m ae +（，）， 其导数2x y ae +'=，则切线的斜率2m k ae += ，又由切线方程为260x y -+=，即26y x =+，则22m k ae +==，则切线的方程为22m m y ae ae x m ++-=-（），又由22m ae +=，则切线方程为22y x m -=-（），即222y x m =-+，则有226m -+=，解可得2m =- ，则切点的坐标为22-（，），则有(2)22a e -+=⨯ ， 2a ∴=. 故答案为：2．【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标．15．1或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标求出导数值得到两切线方程由两切线重合得斜率和截距相等从而求得切线方程的答案【详解】设与和的切点分别为由导数的几何意义可得曲线在在点处的切线方程为即曲线在点处 解析：1或1e 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案．【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k e x -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题． 16．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点 解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点， 利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可.【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x '=， 设过原点的直线与()ln g x x = 相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=， 即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有： 11ek e-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e ， 故答案为：1[e -，21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.17．①④⑤【分析】理解新定义的意义借助导数的几何意义逐一进行判断推理即可得到答案【详解】对于①所以是曲线在点处的切线画图可知曲线在点附近位于直线的两侧①正确；对于②因为所以不是曲线：在点处的切线②错误；解析：①④⑤【分析】理解新定义的意义，借助导数的几何意义逐一进行判断推理，即可得到答案．【详解】对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为22(2),|0x y x y =-''=+=，所以:2l x =-不是曲线C ：2(2)y x =+在点()2,0P -处的切线，②错误；对于③，e x y '=,00|1x y e ='==，在(0,1)P 的切线为1y x =+，画图可知曲线C 在点(0,1)P 附近位于直线l 的同侧，③错误；对于④，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，画图可知曲线C ：sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，图可知曲线C ：tan y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，⑤正确．【点睛】本题以新定义的形式对曲线在某点处的切线的几何意义进行全方位的考查，解题的关键是已知切线方程求出切点，并对初等函数的图像熟悉，属于中档题．18．【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（00）处的切线方程只须求出其斜率即可故先利用导数求出在x=2处的导函数值再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题【详解】解：∵y=sin2x ∴f解析：20x y -=【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而解决问题．【详解】解：∵y=sin2x ，∴f'（x ）=2cos2x ，当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线在点（0，0）处的切线方程为：y-0=2×（x-0），即y=2x ．故答案为：20x y -=．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫ ⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可.【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a ， 又21cosx y sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-．【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.20．【分析】由函数的解析式求得根据导数求得结合直线的点斜式即可求解【详解】由题意函数可得又由可得即切线的斜率为根据直线的点斜式方程可得即所求切线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方 解析：210x y --=【分析】由函数()f x 的解析式，求得()11f =，根据导数求得()12k f '==，结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意，函数()1ln x f x ex -=+，可得()11f =， 又由()11x f x e x-'=+，可得()12f '=，即切线的斜率为2k =， 根据直线的点斜式方程，可得12(1)y x -=-，即所求切线方程为210x y --=.故答案为：210x y --=.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）20y +=；（2）30x y +=或24540x y --=.【分析】（1）先对函数求导，再把1x =代入导函数中可求出切线的斜率，再求出(1)f 的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程；（2）设切点为3000(,3)x x x -，则32000036332x x x x -+=--，从而可求出00x =或3，进而可求得切线方程【详解】解：(1)由已知得2()33f x x '=-,则()01f '=，所以切线斜率0k =，因为()311312f =-⨯=- 所以切点坐标为(1,2)-，所以所求直线方程为20y +=，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为20y +=.(2)由已知得2()33f x x '=-，设切点为3000(,3)x x x -, 则32000036332x x x x -+=--，即3200260x x -=，得00x =或3， 所以切点为(0,0)或(3,18)，切线的斜率为3-或24，所以切线方程为3y x =-或1824(3)y x -=-即切线方程为30x y +=或24540x y --=，【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，求曲线的切线方程，解题的关键是注意过某点和在某点处的切线方程的求法的区别，考查计算能力，属于中档题22．（1）()221f x x x =++；（2）13【分析】（1）求导得到()222f x ax b x '=+=+，得到1a =，2b =，再根据0∆=解得答案. （2）直接利用定积分计算面积得到答案.【详解】（1）()2(0)f x ax bx c a =++≠，故()222f x ax b x '=+=+，故1a =，2b =，方程()0f x =有两个相等的实根，故()220f x x x c =+=+，440c ∆=-=，故1c =，故()221f x x x =++. （2）()01f =，取()2210f x x x =+=+，则1x =-， 故()()00232011111121011333S f x dx x x dx x x x ---⎛⎫==++=++=--+-= ⎪⎝⎭⎰⎰. 【点睛】本题考查了根据导数求参数，定积分求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23．（1）b =1（2）2a 1e e ≥+-【分析】（1）先求出函数的导函数，利用()'10f =，得到切点坐标，代入()f x 求b 的值； （2）由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211ln a x x x ∴≥++ 设()211ln g x x x x =++（x ＞0），利用导函数求出g （x ）在x ∈[1e，e ]上的最大值即可求实数a 的取值范围．【详解】（1）()21'ln 10f x x x=+-= ()0x ∈+∞，，()'f x 在()0+∞，上为增函数，且()'10f =∴切点的坐标为()12，，将()12，代入()f x 得1+b =2，∴b =1(2)由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211ln a x x x ∴≥++ 令()()232211*********ln '111g x x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=--=-+-=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()02'02'0x g x x g x ∴∈∈+∞，，，，，， 1x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又，， 12x e ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭当，时，g(x)为减函数，(]2x e ∈，时，g(x)为增函数， ()2211111g e e g e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，，显然()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 21a e e ≥+-.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题．当a ≥g （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最大值；当a ≤h （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最小值，这种转化是解题的关键.24．(Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<<【分析】（Ⅰ）利切点()()1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值；（Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2x m e x =-，将问题转化为直线y m =与曲线()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞时，()g x m →-，结合题意得出()100g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x x f x e ax e a e ax a =++⋅=++， ()()()()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==； （Ⅱ）解法1：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2x u x e x =⋅-与直线y m =有两个交点.()()()'21x x x u x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；解法2：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，又x →-∞时，()g x m →-，()100g m ⎧<⎨->⎩0e m ∴-<<. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．25．（Ⅰ）y x =（Ⅱ）12k ≤【分析】（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II ）将原不等式分离常数得21ln 2k x x x <-+，构造函数21ln 2y x x x =-+，利用导数求得12y >，由此求得k 的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）()2ln f x x x x =-的导数为()()'2ln 1f x x x =-+， 可得切线的斜率为1，切点为()1,1，切线方程为11y x -=-，即y x =；（Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立， 可得21ln 2k x x x <-+在()1,+∞上恒成立， 令21ln 2y x x x =-+，则'ln 1y x x =--+， 1''10y x=-+>，可得'y 在()1,+∞上单调递增， 则'ln1110y >--+=，可得y 在()1,+∞上单调递增， 则12y >， 则12k ≤． 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题. 26．（1）(1)y t x =-；（2）[2,0)-；（3）证明见解析．【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线方程.(2)先对t 分类讨论求f(x)的最大值，即得实数t 的取值范围.(3)利用分析法证明22ln ln 1a b b a ->-． 详解：（1）()10f =，()()2ln f x t x x x '=+，∴()1f t '=，∴()f x 在()()1,1f 处切线方程为()1y t x =-．（2）()12ln2f x tx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，0x >，令()0f x '=，解得x = ①0t =时，()10ef x =≤恒成立，符合要求， ②0t >时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减， x →+∞时，()f x →+∞，不满足()1e f x ≤恒成立，舍去．③0t <时，函数()f x 在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增， ∴x =()f x 取得极大值即最大值， 由()111e 22f t t ⎛⎫=⨯⨯-≥ ⎪⎝⎭恒成立，解得2t ≥-， 综上所述[)2,0t ∈-．（3）证明：0a >，0b >，要证明22ln ln 1a b b a ->-， 只需证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令a x b =， 只需证明0x >，2ln 1x x -<即可，由（2）知，当1t =-时，211ln 1e 2e x xf -≤=-=<， ∴0x >时，2ln 1x x -<，∴0a >，0b >时，22ln ln 1a b b a->-． 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求最值和极值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点在第3问，突破的关键是分析转化，先转化为证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，再换元转化，令a x b =，只需证明0x >，2ln 1x x -<即可.。
第3章第1节 变化率与导数、导数的计算练习和答案
m
e
e
e
1
1
1
，＋∞
－ >0，即 m> 即可．故填 e
.
e
e
13.D 解析：当曲线在点 P 处的切线与直线 y＝x－2 平行时，所求距离取得最小值．由题意，y＝
x2－lnx，x>0，∴y′＝2x－1，令
1 y′＝2x－ ＝1，得
x＝1
或
1 x＝－ (舍去)，所以点
P
的
x
x
2
纵坐标为 y＝12－0＝1.因此曲线 y＝x2－lnx 的斜率为 1 的切线方程为 y－1＝x－1，即 x－y ＝0.∴点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离即切线 x－y＝0 与直线 y＝x－2 这两条平行线间的距
|0－（－2）|
离，为 d＝
＝ 2，故选 D.
2
14.A
解析：由题意，该三次函数的图像关于原点对称，所以可设三次函数的解析式为 f(x)＝ax3 125a＋5b＝－2，
＋bx，则 f′(x)＝3ax2＋b.由题图可知 f(5)＝－2，f′(5)＝0，∴ 75a＋b＝0，
a＝ 1 ，
125
解得
3 所以 b＝－ ，
能力提升题组 （建议用时：20 分钟） 13. 已知点 P 是曲线 x2－y－lnx＝0 上的任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为 ()
A．1
3 B.
2
5 C.
2
D. 2
14.如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )
y＝f(x)＝ 1 x3－3x，故选 125 5
人教版数学高二变化率及导数、导数的计算测试题 名师测试
摘要：强化练习，提高能力！！ 关键字：同步测试，导数，陈立田同步测试变化率及导数、导数的计算测试题（一）----人教A 版选修2-2第一章（时间：60分钟 满分：90分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f (x ) = a x 2＋c ,且(1)f '=2 , 则a 的值为( )A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为( ) A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2C ．2(x - 1)D ．x - 1 3．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是( )A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x 4.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是( ) A. 4 B.52C. 3D. 2 5. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为( )A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 6.函数2sin(2)y x x =+导数是( )A..2cos(2)x x + B.22sin(2)x x x + C.2(41)cos(2)x x x ++ D.24cos(2)x x +二、填空题：（每题4分共20分）7．设函数32()2f x x ax x '=++, (1)f '= 9,则a = .8. 物体的运动方程是s = －31t 3＋2t 2－5,则物体在t = 3时的瞬时速度为______. 9.把总长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____m 2.10.设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是 .三.解答题（共40分）。
(压轴题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--D ．412y x =-3．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+5．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e6．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．327．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．68．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－111．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________. 14．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．15．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．16．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______．17．曲线()12f x x x=-在点()()1,1f 处的切线与圆222x y R +=相切，则R =______． 18．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 都有2(1)2()1f x f x x --=-，则曲线()y f x =在(1,(1))f --处的切线方程为__________．19．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____.20．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___．三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 22．已知函数()ln 1f x ax x =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）讨论()f x 的单调性.（3）若()0f x =有两个不相等的实根，求a 的取值范围.23．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 24．已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 25．已知函数2()()xf x e x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.26．设函数()()20f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点()0,23+a ，且在点()()1,1f --处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）当bc 取得最小值时，求函数()()-=-xg x f x e的单调区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.2．D解析：D 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.3．D解析：D 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．4．C解析：C 【详解】 试题分析：令得，故44203()725ln(1)425ln 52t s v t dt t t ⎡⎤==-++=+⎢⎥⎣⎦⎰，故选C考点：定积分的几何意义5．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，②联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．8．C解析：C 【分析】求得函数的导数)(()x x y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 11．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.二、填空题13．【分析】设切点为坐标为由导数几何意义求出切线方程由切线过原点得从而得切线方程【详解】设切点为由得时又所以切线方程为而切线过原点所以解得代入后得切线方程为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几 解析：y ex =【分析】设切点为坐标为00(,)P x y ，由导数几何意义求出切线方程，由切线过原点得0x ，从而得切线方程． 【详解】设切点为00(,)P x y ，由x y e =得e xy '=，0x x =时，0x y e '=，又0x y e =，所以切线方程为00()-=-x x y e e x x ，而切线过原点，所以000()x x ee x -=⨯-，解得01x =．代入后得切线方程为y ex =．故答案为：y ex =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，在求函数图象的切线时要注意是求在某点处的切线不是求过某点的切线，如果求()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，则只要求得()'f x 后可得切线方程000()()()y f x f x x x '-=-，若是求()y f x =过00(,)P x y 的切线方程，则设切点为11(,)Q x y ，由切点求出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，代入00(,)x y ，求出1x 后得切线方程．14．6【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时切点即为点到直线的距离最小由得（负值舍去）即切点则切点Q 到直线的距离为故答案解析：6 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】解：当直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时， 切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2911y x '=-=-，得x =y =，即切点22Q ⎛⎝⎭， 则切点Q 到直线0x y +=6=，故答案为：6． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.15．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=，所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】设切点为求导得斜率然后利用点斜式得切线方程将点A 代入使得方程关于有两解即可【详解】设切点为则切线斜率为：切线方程为：将点代入切线方程得：又所以整理得有两个解所以解得或故答案为【点睛】本题主要 解析：()(),40,-∞-⋃+∞【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A 代入，使得方程关于0x 有两解即可. 【详解】设切点为()00,x y ，则切线斜率为：()00k 1xx e =+⋅.切线方程为：()()0000y 1x y x ex x -=+⋅-，将点(),0A a 代入切线方程得：()()00001x y x e a x -=+⋅-，又000xy x e=⋅.所以()()00001x x x e a x x e +⋅-=-⋅，整理得2000x ax a -+=有两个解.所以240a a =->，解得4a <-或0a >.故答案为()(),40,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.17．【解析】【分析】求切线的斜率和切点由点斜式方程得切线方程再由圆心到切线的距离等于半径计算可得所求值【详解】的导数为可得切线的斜率为切点为即有在处的切线方程为即为由切线与圆相切可得可得故答案为：【点睛【解析】 【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值． 【详解】()12f x x x=-的导数为()21'2f x x =+，可得切线的斜率为3k =，切点为()1,1， 即有在1x =处的切线方程为()131y x -=-， 即为320x y --=，由切线与圆222x y R +=相切，可得d R ==，可得R =．． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d r =，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．【解析】【分析】本题首先可以通过解出函数的函数解析式然后求出的值以及函数在点处的导数最后即可得出结果【详解】由可得曲线在处的切线：即故切线方程为【点睛】本题主要考查导数的相关性质曲线在某一点处的导数 解析：8350x y -+=【解析】 【分析】本题首先可以通过()()2121f x f x x --=-解出函数()y f x =的函数解析式，然后求出()1f -的值以及函数()y f x =在点()()11f ，--处的导数，最后即可得出结果。
(易错题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y ++=4．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．05．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．326．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞8．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值9．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(],1ln 2-∞--B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞10．某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数，记作：y ＝f （t ）.若f （0）＝y 0，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f （t ）的导函数f '（t ）满足：f '（t ）＝kf （t ）（500﹣f （t ））（k 为正的常数），则函数f （t ）的图象可能为（ ）③ ④① ②A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③11．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______. 14．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________． 15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___.17．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．18．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 19．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.20．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.三、解答题21．设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+．（1）求导函数()'f x ；（2）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a ，b 的值． 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．24．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.25．已知函数()sin xxf x e =（1）求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程；（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围． 26．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以01(0)2f e e'=+=，即2k =， 且当0x =时，001(0)0f e e=-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．A解析：A 【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+， 1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=，又(1)1f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，即320x y --=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．4．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.5．D解析：D 【解析】分析：先求出()'g x 和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-6．C解析：C 【分析】利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式，根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果. 【详解】当0x >时，0x -<，()3ln f x x a x ∴-=-+，()f x 为奇函数，()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->， ()23af x x x'∴=-，()131f a '∴=-=，解得：2a =. 故选：C . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题7．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.8．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.9．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t be ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.10．B解析：B 【分析】令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0，从而得到答案. 【详解】因为()()()()500f t kf t f t '=﹣， 令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0， 由选项可知，只有①③符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．2【分析】根据题意设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程与比较分析可得且解可得即可得切点的坐标将切点坐标代入曲线方程分析可得答案【详解】根据题意设曲线与的切点的坐标为其导数则切线的斜率又由切解析：2 【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为2m m ae +（，），利用导数求出切线的方程，与260x y -+=比较分析可得22m ae +=且226m -+=，解可得2m =-，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案． 【详解】根据题意，设曲线2x y ae +=与260x y -+=的切点的坐标为2m m ae +（，），其导数2x y ae+'=，则切线的斜率2m k ae += ，又由切线方程为260x y -+=，即26y x =+，则22m k ae +==， 则切线的方程为22m m y aeae x m ++-=-（），又由22m ae +=，则切线方程为22y x m -=-（），即222y x m =-+，则有226m -+=，解可得2m =- ，则切点的坐标为22-（，） ，则有(2)22a e -+=⨯ ， 2a ∴=. 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标．14．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点，利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.15．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①解析：③ 【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】求函数的导函数令即可求出的值【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数及导函数求值属于中档题 解析：3-【解析】 【分析】求函数的导函数，令1x =即可求出()1f '的值. 【详解】因为 2()32(1)f x x f x ''=+令1x =则(1)32(1)f f ''=+ 所以(1)3f '=- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.17．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.18．【解析】【分析】求导函数确定切线的斜率可得所求直线的斜率再利用点斜式可得直线方程【详解】当时即曲线在点处的切线斜率为与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2直线过点所求直线方程为即故答案为【点睛】本题 解析：210x y -+=【解析】 【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程． 【详解】11x y x +=-， 22'(1)y x ∴=--，当3x =时，1'2y =-，即曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线斜率为12-， ∴与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的斜率为2， 直线过点()0,1，∴所求直线方程为12y x -=，即210x y -+=．故答案为210x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．19．【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示：先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为：【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析：11 , 3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x与y ax=的交点个数即可.【详解】画出函数()f x的图像,如图所示：先求y ax=与lny x=相切时的情况,由图可得此时lny x=,1'yx=设切点为()00,lnx x,则001lnaxx ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e=,1ae=.此时xye=.斜率113e>.又当13a=时13y x=与11,03x x+≤平行也为临界条件.故11,3ae⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.20．【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由解析：2π 【分析】 由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过(,sin )B ββ，∴sin sin cos ()βααβα-=-，由得βαπ=-，∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2πα=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．三、解答题21．（1）()f x '=112ln ---++x x x xae be x beae x x x；（2）1a =，2b =． 【分析】（1）根据导数的运算法则求导； （2）求出(1)f '，由(1)e f ，(1)2f =可求得,a b ．【详解】（1）由1e ()e ln x xb f x a x x-=+，得()1()ln x xbe f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭' 112ln x x x xae be x be ae x x x---=++． （2）由题意得，切点既在曲线()y f x =上，又在切线(1)2y e x =-+上，将1x =代入切线方程，得2y =， 将1x =代入函数()y f x =，得(1)f b =， 所以2b =．将1x =代入导函数()'f x 中 得(1)f ae e =='， 所以1a =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算法则，考查导数的几何意义．函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 的切线方程，则切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程111()()y y f x x x '---，代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程．22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】（1）2()36f x x x '=-，(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得431a -=-， 解得1a =；（2）2()363(2)f x x x x x '=-=-，当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，()()12max min 2f x f x +≤，即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题. 23．14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率，构造方程，求解即可. 【详解】∵直线过原点，∴()0000y k x x =≠． 由点()00,x y 在曲线C 上，得32000032y x x x =-+，∴2000032y x x x =-+． 又∵2362y x x =-+'，∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2000362k f x x x =-'=+，∴22000032362x x x x -+=-+，整理得200230x x -=，解得()00302x x =≠． 这时，038y =-，14k =-． 因此，直线l 的方程为14y x =-，切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义、求函数的导数；“已知”曲线的切点时，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.24．【解析】 【分析】先求出切线方程为，设，则，再对分类讨论，利用导数分析解答得解. 【详解】 解：，在处切线的斜率为，所以切线方程为，即.设，则. 依题意，当时，恒成立.①当时，在区间上，，是增函数，所以；②当时，在区间上，，是减函数，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.25．（1）y x =（2）4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】（1）求得函数的导数cos sin ()xx xf x e'-=，得到'(0)1f =，(0)0f =，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，求得函数4max ()2f x e π=，进而由max ()k f x >，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）由题意，函数sin ()x x f x e =，则cos sin ()xx x f x e '-=，可得'(0)1f =，又(0)0f =，所以函数()f x 在点(0,(0))M f 处的切线方程为y x =．（2）因为[0,]x π∈，令cos sin ()0x x xf x e '-==，解得4x π=，当x [0,)4π∈时，'()0f x >，当4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0f x <， 所以函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，所以4max ()42f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()0f x k -≤，在[0,]x π∈恒成立，即max ()k f x >恒成立，所以42k e π-≥，所以k 的取值范围是4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 26．（1）y x =-；（2）[)1,+∞ 【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为1e xx a +>恒成立，设()1x x g x e+=，求出()g x 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案． 【详解】（1）当1a =时，()22xf x xe x x =--，其导数()()122xf x ex x =+--'，()01f '=-．又因为()00f =，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y x =-； （2）根据题意，当0x >时，“曲线y=f （x ）在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”， 又由x ＞0，则2e 2x ax x x x -->-10x ae x ⇒-->⇒1ex x a +>， 则原问题等价于1ex x a +>恒成立； 设()1x x g x e +=，则()xxg x e '=-， 又由0x >，则()0g x '<，则函数()g x 在区间()0,∞+上递减， 又由()0101g e ==，则有11x x e+<， 若1e xx a +>恒成立，必有1a ≥， 即a 的取值范围为[)1,+∞． 【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解，属于中档题.。
(易错题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1493．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．05．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞6．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B 5C 65D ．67．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ） A ．2B ．322+C ．6+D ．8．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A ．4B C D ．10-9．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=11．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 12．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．4二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．已知曲线1n y x +=在2x =处的切线与y 轴交点的织坐标为n a ，其中*n N ∈，则数列1{}2nn a +的前50项和的值为________. 16．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为16，则实数a =____。
变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
课时分层作业十三变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共35分)1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( )A.0B.3C.4D.-【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,所以f′(x)=x2+2.所以f′(-1)=3.2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( )A.-B.-C.-D.-【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x),所以f(π)+f′=-+·(-1)=-.3.(2018·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为 ( )A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1. 4.(2018·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( )A.1B.-1C.2D.-1【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b 的值为 ( )A.2B.ln 2+1C.ln 2-1D.ln 2【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1.5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x【解析】选 B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于 ( )A.-1B.C.-2D.2【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-2【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.【解析】设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-1)⇒4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.(2018·长沙模拟)若函数f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=________.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:810.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是________.【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.当x<1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y),代入f(x)=xe2-x可得:2-y=(2-x)e2-(2-x),所以y=2-(2-x)e x=xe x,y′=(x+1)e x,y′|x=0=1,所以切线方程为y=x,即x-y=0.答案:x-y=01.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 ( )A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【解析】选 C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.2.(5分)(2018·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为 ( )A.1B.C.D.【解析】选B.对于曲线y=x2-ln x上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),则y′==2,得x=,y=ln =0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:3.(5分)(2018·沧州模拟)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为________.【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,(1)当O(0,0)是切点时,切线方程为y=2x,则联立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0,由Δ=4-4a=0,解得a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f′(x0)=3-6x0+2.①又k==-3x0+2,②由①,②联立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,所以所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0.依题意,Δ′=-4a=0,所以a=.综上,a=1或a=.答案: 1或【易错警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x 相切”.这里有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中易忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.4.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率k为f′(x0)=3+1,y0=+x0-16,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.又因为直线l过原点(0,0),所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).5.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.【解析】(1)f′(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f′(1)=1-=0,解得a=e.(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f′(x)=1-.设切点为(x0,y0),因为f(x0)=x0-1+=kx0-1,①f′(x0)=1-=k,②①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.若k=1,则②式无解,所以x0=-1,k=1-e.所以l的直线方程为y=(1-e)x-1.关闭Word文档返回原板块。
变化率与导数、导数的计算练习题(基础、经典、好用)
变化率与导数、导数的计算一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e x )′＝e x ； ④(1ln x )′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1.aA ．1B ．2C ．3D ．42．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－43．(2013·广州模拟)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12 D.124．(2013·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．15．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134二、填空题6．(2013·佛山质检)函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________．7．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．8．(2013·云浮质检)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________．三、解答题9．(2013·江门模拟)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．10．设有抛物线C：y＝－x2＋92x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．11．已知曲线C n：y＝nx2，点P n(x n，y n)(x n＞0，y n＞0)是曲线C n上的点(n＝1，2，…)．(1)试写出曲线C n在点P n处的切线l n的方程，并求出l n与y轴的交点Q n的坐标；(2)若原点O(0，0)到l n的距离与线段P n Q n的长度之比取得最大值，试求点P n的坐标(x n，y n)．变化率与导数、导数的计算解析及答案一、选择题1．【解析】①(3x)′＝3x ln 3；②(log2x)′＝1x ln 2；③(ex)′＝e x；④(1ln x)′＝－1x（ln x）2＝－1x·（ln x）2；⑤(x·e x)′＝e x＋x·e x＝e x(x＋1)．【答案】 B2．【解析】f′(x)＝2f′(1)＋2x, ∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.【答案】 D3．【解析】∵y′＝x－1－（x＋1）（x－1）2＝－2（x－1）2，∴y′|x＝3＝－2（3－1）2＝－12，∴－a＝2，即a＝－2.【答案】 B4．【解析】y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，(23，23)，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.【答案】 A5．【解析】∵s(t)＝t2＋3t，∴s′(t)＝2t－3t2，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－34＝134. 【答案】 D 二、填空题6．【解析】 由切线方程可知切线的斜率为e ，即k ＝f ′(1)＝e.【答案】 e7．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，∴f ′(π4)＝2－1，∴f (π4)＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 【答案】 18．【解析】 ∵f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.【答案】 －120三、解答题9．【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1. (2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－12，＋∞).10．【解】 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ①y 1＝－x 21＋92x 1－4， ② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12.∵P 在第一象限，当k＝172时，x1＝－2，y1＝－17.(舍去)当k＝12时，x1＝2，y1＝1.点(2，1)位于第一象限．∴所求的斜率k＝1 2.故所求切线方程为y＝1 2x.11．【解】(1)∵y′＝2nx，∴y′|x＝x n＝2nx n，切线l n的方程为y－n·x2n＝2nx n(x－x n)，即：2nx n·x－y－n·x2n＝0.令x＝0，得y＝－nx2n，∴Q n(0，－nx2n)．(2)设原点到l n的距离为d，则d＝|－nx2n|（2nx n）2＋1＝nx2n1＋4n2x2n，|P n Q n|＝x2n＋（2nx2n）2.所以d|P n Q n|＝n|x n|1＋4n2x2n≤n|x n|2·1·|2n·x n|＝14，当且仅当1＝4n2x2n，即x2n＝14n2(x n＞0)时，等号成立，此时x n＝12n，所以P n(12n，14n)．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．04．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值5．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820196．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[15,0)B ．5)C ．(0,35]-D ．(0,35)7．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 8．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=9．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]10．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=11．已知函数()ln f x x x =- ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．1212x x +> 12．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 二、填空题13．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.14．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.15．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．16．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______17．函数()2ln 2f x x x x =-+过原点的切线方程为____________________．18．函数1y x =-在1-22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是____________________ 19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．曲线ln y a x =有一条切线方程为y kx =（a 、k 为常数，且a ≠0、k ≠0），则ak的值为_______.三、解答题21．已知函数()(1)ln f x b x x =--与2()(1)g x a x =-在公共点(1,0)处有共同的切线． （1）求实数b 的值；（2）设()()()h x f x g x =-，若存在(1,2)k ∈，使得当(0,]x k ∈时，()h x 的值域是[(),)h k +∞，求实数a 的取值范围．22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．25．设函数()()ln 1f x x a x =++,曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 与直线30x y -+=垂直.(1)求()y f x =的解析式; (2)求证:()0.f x > 26．已知函数()ln m f x x x=+（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线410y x -+=垂直时，求实数m 的值； （2）若1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11a e-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题2．D解析：D 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．3．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=； 当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=， 设(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x =与y kx =的图象，如图所示：函数()f x 有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x =的图象与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点， 当直线y kx =与()11g x x =-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为001,1A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由()21g x x '=-可得此时直线y kx =的斜率()0201k g x x '==-， 所以0200111x x x -=-，解得02x =，14k =-； 当直线y kx =经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时22339k -==-. 所以实数k 的最大值为29-. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.4．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.5．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．6．D解析：D 【分析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e xf x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f xg x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得015x =-或015x =+（舍去），要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.7．B解析：B对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+，则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．10．A解析：A 【分析】求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可． 【详解】由题意1()1x e f x x -=+，12()(1)x xe f x x -'=+， ∴f ′（1）＝14，又f （1）＝12，则切点为（1，12）， ∴所求的切线方程为：y ﹣12＝14（x ﹣1），化简得x ﹣4y +1＝0， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．11．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得的值结合两点的斜率公式和导数的几何意义计算可得所求和【详解】解：由图象可得直线经过可得直线的斜率为即有可得+故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查两点的斜率公式以及数形结合思 解析：112【分析】由题意可得()4f 的值，结合两点的斜率公式和导数的几何意义，计算可得所求和． 【详解】解：由图象可得()4f 5=，直线l 经过(0,3)，(4,5)，可得直线l 的斜率为531402-=-， 即有()4f '12=，可得()4f +()4f '111522=+=．故答案为：112． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．14．【分析】由曲线在点处的切线方程是故再结合得到故得解【详解】由曲线在点处的切线方程是故又在点处的切线方程是：故答案为：【点睛】本题考查了导数在切线问题中的应用考查了学生综合分析转化划归数学运算的能力属 解析：10x y --=【分析】由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，故(1)0,'(1)1f f ==，再结合()()f x xg x =，'()()'()f x g x xg x =+，得到(1),'(1)g g ，故得解.【详解】由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，故(1)0,'(1)1f f ==，()()(1)(1)0f x xg x f g =∴==又'()()'()'(1)(1)'(1)'(1)'(1)1f x g x xg x f g g g f =+∴=+∴==()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是：10x y --=故答案为：10x y --=. 【点睛】本题考查了导数在切线问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．【解析】【分析】通过判断函数为偶函数即可得到在的解析式从而求导求出直线的斜率再求出切线方程【详解】由于函数的图像关于直线对称故为偶函数令则从而因此则切线斜率为因此切线方程为【点睛】本题主要考查函数的 解析：2y x =【解析】 【分析】通过判断函数为偶函数即可得到()f x 在0x >的解析式，从而求导求出直线的斜率，再求出切线方程. 【详解】由于函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，故()f x 为偶函数，令0x >，则0x -<，从而1()()x f x f x ex -=-=+，因此(1)2f =，1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)112f '=+=，因此切线方程为2y x =.【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，利用奇偶性求函数解析式，导数的几何意义，综合性强；意在考查学生的转化能力及逻辑分析能力.16．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222x x S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.17．【分析】假设切点坐标利用斜率等于导数值并利用原点和切点表示出斜率从而构造出方程求出切点坐标从而求得斜率最终得到切线方程【详解】设切点可得所以切线斜率整理得解得（舍）切线的斜率为：所以函数图象上的点处 解析：()32y ln x =-【分析】假设切点坐标，利用斜率等于导数值，并利用原点和切点表示出斜率，从而构造出方程，求出切点坐标，从而求得斜率，最终得到切线方程. 【详解】设切点()(),m f m ，可得()2ln 1f x x x '=--所以切线斜率2ln 22ln 1m m m k m m m-+=--=整理得220m m --=，解得2m =，1m =-（舍） 切线的斜率为：3ln 2-所以函数()f x 图象上的点()2,62ln2P -处的切线方程为()3ln2y x =-本题正确结果：()3ln2y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求解过非切点的切线时，首先假设切点，利用切线斜率构造出方程，从而求解出切线斜率，得到结果.18．【解析】【分析】首先利用求导公式对函数求导将代入导函数解析式求得导函数在处的函数值根据导数的几何意义可知导数即为切线的斜率根据点斜式方程写出切线的方程化简求得结果【详解】由得所以所以切线的斜率为4根 解析：44y x =-【解析】 【分析】首先利用求导公式对函数求导，将12x =代入导函数解析式，求得导函数在12x =处的函数值，根据导数的几何意义，可知导数即为切线的斜率，根据点斜式方程，写出切线的方程，化简求得结果. 【详解】 由1y x=-得21'y x =，所以12'|4x y ==，所以切线的斜率为4，根据点斜式可知所求的切线方程为1(2)4()2y x --=-，化简得44y x =-， 故答案为44y x =-. 【点睛】该题考查的是导数的几何意义，首先要求出函数的导数，涉及到的知识点有函数的求导公式，直线方程的点斜式，熟练掌握基础知识是解题的关键.19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．e 【分析】设切点坐标对求导后表示出切线方程即可计算出结果【详解】设切点为由可得则则曲线在切点处的切线方程为把代入可得则则切点为即故答案为：【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程根据题意即可得到结果解析：e【分析】设切点坐标，对ln y a x =求导后表示出切线方程，即可计算出结果. 【详解】设切点为()00,ln x a x ，由ln y a x =可得a y x'= 则0x x a y x ='=则曲线ln y a x =在切点处的切线方程为()000ln ay a x x x x -=- 把()0,0代入可得0ln a x a -=-，则0x e = 则切点为(),e a ，,a k e =即a e k= 故答案为：e 【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程，根据题意即可得到结果，本题较为基础.三、解答题21．（1）1b =；（2）(1ln 2,)-+∞． 【分析】（1）由题意知(1)(1)f g ''=，可得实数b 的值；（2）对函数求导，分0a ≤，12a =，102a <<和12a >几种情况讨论函数的单调性，求出最值，列不等式解出实数a 的取值范围． 【详解】（1）1()f x b x'=-，()2(1)g x a x '=-， 由题意知(1)(1)f g ''=，即10b -=，得1b =．（2）由题得2()1ln (1)h x x x a x =----，定义域为(0,)+∞．1(1)(21)()12(1)x ax h x a x x x--'=---=-． ①当0a ≤时，210ax x-<． 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增．所以当(0,](12)x k k ∈<<时，min ()(1)0()h x h h k ==<，()h x 的值域是[0,)+∞，不符合题意．②当0a >时，12(1)2()a x x a h x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-（ⅰ）当112a=，即12a =时，()h x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．（ⅱ）当112a>，即102a <<时，()h x ，()h x '的变化情况如下：只需满足(2)(1)0h h <=，且22a<， 解得11ln 22a -<<． （ⅲ）当112a <，即12a >时，()h x ，()h x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1(2)2h h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即21111ln 11ln 2222a a a a a ⎛⎫---->-- ⎪⎝⎭． 即只需满足1ln 4104a a+-> 设11()ln 41,42F a a a a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭， 241()04a F a a -'=>，所以()F a 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当12a >时，11()ln 2022F a F ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，所以12a >满足题意． 综上，实数a 的取值范围是(1ln 2,)-+∞． 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和最值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 1. 先求出原函数的定义域； 2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调． 22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】（1）2()36f x x x '=-，(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得431a -=-， 解得1a =；（2）2()363(2)f x x x x x '=-=-，当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，()()12max min 2f x f x +≤，即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题.23．【解析】 【分析】先求出切线方程为，设，则，再对分类讨论，利用导数分析解答得解. 【详解】 解：，在处切线的斜率为，所以切线方程为，即.设，则.依题意，当时，恒成立.①当时，在区间上，，是增函数，所以；②当时，在区间上，，是减函数，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.24．（1）1y x =-（2）20a e -<< 【分析】（1）将0a =代入()()ln f x x a x =+，再对函数()f x 求导，求出切线斜率，进而即可得出结果；（2）对函数()f x 求导，通过讨论a 的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，()'ln 1f x x =+．()'11f =，()10f =， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-． （2）()f x 有极小值⇔函数()'f x 有左负右正的变号零点. ()()1'ln ln 1af x x x a x x x=++=++ 令()()'g x f x =，则()221'a x ag x x x x-=-= 令()'0g x =，解得x a =．x ，g （x ），()'g x 的变化情况如下表： x（0，a ） a （a ，+∞） ()'g x﹣ 0+ g （x ）减极小值lna+2增①若ln 20a +≥，即2a e -≥，则0g x ≥，所以'f x 不存在变号零点，不合题意． ②若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，()110g a =+>． 所以()0,1x a ∃∈，使得()00g x =；且当()0,x a x ∈时，()0g x <，当()0,1x x ∈时，()0g x >． 所以当(),1x a ∈时，x ，()'f x ，f （x ）的变化情况如下表：所以0a e <<．【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线方程；第二问主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；属于常考题型.25．（1）()()2ln 1f x x x =-+ （2）详见解析 【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y ＝f （x ）的解析式； （2）要证()0f x >，转证函数()f x 的最小值大于零即可. 【详解】解：（1）函数()()ln 1f x x a x =++的定义域是：()0,+∞ ∵()ln x af x x x+'+=， ∴()11f a '=+，因为切线l 与直线30x y -+=垂直， 所以11a +=-，即2a =-则()y f x =的解析式为()()2ln 1f x x x =-+. （2）由（1）知,()22ln ln 1x f x x x x x='-=+-+， 又∵()f x '在()0,+∞内单调递增， 且()()110,2ln20f f ''=-= ∴存在()01,2x ∈使得()00f x '=.当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '> ∴()()()0002ln 1f x f x x x ≥=-+. 由()00f x '=得002ln 1x x =- ∴()()()()0000000242ln 12115f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫≥=-+=--+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()4(12)r x x x x =+<<，则()()()2222410x x r x x x+-=-'=< ∴()r x 在区间()1,2内单调递减，所以()()15r x r <=∴()0045550f x x x ⎛⎫≥-+>-= ⎪⎝⎭. 综上，对任意()0,x ∈+∞，()0f x >.【点睛】用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.26．(1)1;(2)m 1≥.【解析】分析：（1）根据导函数的几何意义应求21()m f x x x-'=，进而得函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率(1)1k f m ='=-．由函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线410y x -+=垂直，可得两直线的斜率乘积等于-1．进而解得5m =．（2）由1x ≥时，()1f x ≥恒成立，可得不等式ln 1m x x+≥在1x ≥时恒成立，用分离参数法可得ln m x x x ≥-在1x ≥时恒成立.所以()max ln m x x x ≥- 即可．所以构造()ln ,1g x x x x x =-≥．转化为求函数()ln ,1g x x x x x =-≥的最值问题．求导可得函数()ln ,1g x x x x x =-≥在[1,)+∞上为减函数，进而可得()(1)g x g ≤，进而可得m 1≥．详解：(1) 21()m f x x x=-' 函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率(1)1k f m ='=- 函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线410y x -+=垂直，又因为直线410y x -+=的斜率为14． 1(1)14m ∴-=- 145m m ∴-=-∴=（2）依题意可得不等式ln 1m x x+≥在1x ≥时恒成立， 即ln m x x x ≥-在1x ≥时恒成立.设()ln ,(1)g x x x x x =-≥则()1ln 1ln 0g x x x -=-'=-≤函数()g x 在[1,)+∞上为减函数，()(1)11ln11g x g ∴≤=-= ．1m ∴≥．点睛：本题考查导函数的几何意义及不等式的恒成立问题．有关曲线的切线问题，应注意曲线在某点处的切线的斜率等于该点处的导函数值．不等式的恒成立问题一般有两种方法：⑴ 分离参数法：把参数移到不等式的一边，求另一边代数式对应的函数的最值；⑵ 直接构造不等式对应的函数，求函数的最值．。
变化率与导数的计算-练习题
2.10 变化率与导数导数的计算审核人：王君校对：陈亮一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．2(x2＋a2)解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案：C2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是() A．2x－y＋3＝0 B．2x －y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析：本小题主要考查导数与曲线斜率的关系．设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 答案：D3．设f(x)、g(x)分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是() A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 005(x)等于()A．sin x B．－sin x C．cosx D ．－cos x 答案：C 二、填空题 5．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sinx ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________. 解析：由已知：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x .则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝0.答案：06．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点的切线方程为__________． 解析：由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y＝ln x在与x轴交点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝07．幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝g (x )ln f (x )，两边求导得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此方法可以探求得知y ＝x 1x (x >0)的一个单调递增区间为________．解析：由(x>0)得：ln y＝1x ln x，y′y＝－1x2ln x＋1x2.则由y′>0，即1－ln x>0，解得0<x<e，因此(x>0)的一个单调递增区间为(0，e)．答案：(0，e)三、解答题8．求下列函数的导数：9．已知a、b为实数，且b＞a＞e，求证：a b＞b a.证明：考查函数y＝ln xx，x∈(e，＋∞)，y′＝1－ln xx2，当x＞e时，则y′<0，∴函数y＝ln xx在(e，＋∞)上递减，又b>a>e，∴ln bb<ln a a，即a ln b<b ln a，ln b a<ln a b，因此a b>b a.10．利用导数证明：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1.证明：(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n.∴[(1＋x)n]′＝C1n ＋2C2n x＋…＋n C n n x n－1，即n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2n x ＋…＋n C n n x n－1，令x＝1，则C1n＋2C2n＋…＋n C n n＝n·2n－1.1.设函数f(x)是定义域在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且＝－2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()A．y＝－2x＋2 B．y＝－4x ＋2 C．y＝4x＋2 D．y＝－12x＋2答案：B2．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R内恒成立的是()A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)>x D．f(x)<x解析：若x＝0，则f(0)>0，若x>0，由2f(x)＋xf′(x)>x2得2xf(x)＋x2f′(x)>x3，。
高三数学变化率与导数练习题.doc
变化率与导数（ 1）一、选择题lim1. 设函数 y=f（x）可导，则△x→0f ( 1+ 3△x)- f (1)等于（）3△xA. B. C. 1 f ′ (1) D. 以上都不对32. y = 2x + 1在( 1,2)内的平均变化率为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 30 ）=2，则 lim ?x→0 f ( x0)- f ( x 0＋?x)3. 若 f' =（（x ? x ）A. - 1B. - 2C. - 1D. 12 24. 质点运动规律 s=t 2+3，则在时间（ 3，3+△t ）中，相应的平均速度是（）A. 6 +△ tB. 6 +△ t + 9△tC. 3 +△ tD. 9 +△ t5.已知函数 f （x） =2x2-4 的图象上一点（ 1，-2 ）及邻近一点（ 1+△x，-2+ △y），则△y 等于（）△xA. 4B. 4 △xC. 4 + 2 △xD. 4 + 2( △x) 26.下列式子中与f′(x0)相等的是()( 1) lim f ( x0)- f ( x0- 2Δx)2Δx ；Δx→0 ( 2) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - Δx)Δx；Δx→0( 3) lim f ( x0+ 2Δx)- f ( x0+Δx)ΔxΔx→0 ( 4) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - 2Δx)Δx．Δx→0A. (1)( 2)B. ( 1)( 3)C. (2)( 3)D. ( 1)( 2)( 3)( 4)7.函数 f （x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0 ， 1] 的平均变化率分别记为 m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A. m = m = mB.m > m > mC.m > m > m 123 123 213D. m< m2 < m318. 设函数f(x) 在x= 1处可导，则lim f ( 1+ Δx)- f ( 1) ? 等于Δx→0- 2Δx （）A. B. C. D.9.已知曲线f(x) = x -1x上一点A( 2,32) ,则lim?x→0 f ( 2+? x)- f ( 2) （）? x5 3A. 4B. 4C. 2D. 4f ( 3+ Δxf(3))-= （10. 已知f(x) = x1，则 lin ?Δx ）Δx→0A. - 91B. 3C. 91D. - 3二、填空题11.设函数f(x) 在x= 1处可导，且f′(1) = 2，则当无限趋近于 0 时，等于 _______．12.若某物体运动规律是 S=t3-6t 2+5（t ＞0），则在 t=______时的瞬时速度为 0．三、解答题已知某物体的位移 S（米）与时间 t （秒）的关系是 S（t ）=3t-t 2．（Ⅰ）求 t=0 秒到 t=2 秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在 t=2 秒的瞬时速度．。
高考数学复习变化率与导数导数的计算理含解析
高考数学复习核心素养提升练十三变化率与导数、导数的计算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)可导,则等于( )A.f′(1)B.3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)【解析】选A.==f′(1).2.曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0【解析】选C.因为y=sin x+e x,所以y′=e x+cos x,所以在x=0处的切线斜率k=f′(0)=1+1=2,所以y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程为:y-1=2x,即2x-y+1=0,3.函数f(x)=x-g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-x-1,则g(2)+g′(2)=( ) A.7 B.4 C.0 D.- 4【解析】选A.因为f(x)=x-g(x),所以f′(x)=1-g′(x),又由题意知f(2)=-3,f′(2)=-1,所以g(2)+g′(2)=2-f(2)+1-f′(2)=7.4.直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切时,a= ( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,且y0=ln(x0+a),又因为切线方程y=x+1的斜率为1,即y′==1,所以x0+a=1,所以y0=0,x0=-1,所以a=2.5.下列曲线中,在x=1处切线的倾斜角为的是( )A.y=x2-B.y=xln xC.y=sin(πx)D.y=x3-2x2【解析】选D.在x=1处切线的倾斜角为,即切线的斜率为tan=-1.对于A,y=x2-的导数为y′=2x+,可得在x=1处切线的斜率为5;对于B,y=xln x的导数为y′=1+ln x,可得在x=1处切线的斜率为1;对于C,y=sin(πx)的导数为y′=πcos(πx),可得在x=1处切线的斜率为πcosπ=-π;对于D,y=x3-2x2的导数为y′=3x2-4x,可得在x=1处切线的斜率为3-4=-1.6.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1【解析】选B.====4.1.7.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象相对应的一项是( )A.①②③④B.②①③④C.②①④③D.②④①③【解析】选C.以第二个容器为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快,反映在图象上,①符合上述变化情况.而第三个容器在开始时高度增加快,后来时高度增加慢,图象④适合上述变化情况.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g′(4)=________.【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.由g(x)=,得g′(x)=故g′(4)==-.答案:-9.已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式>1恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】的几何意义表示为点(p+1,f(p+1))与点(q+1,f(q+1))两点间的斜率,p,q∈(0,1),所以p+1,q+1∈(1,2).所以>1恒成立表示函数f(x)的曲线在区间(1,2)内的斜率恒大于1,即函数f(x)的导数在区间(1,2)内恒大于1.所以f′(x)=-2x>1在区间(1,2)内恒成立,所以a>(1+2x)(x+1)=2x2+3x+1恒成立,当x∈(1,2)时,(2x2+3x+1)max=15,所以a≥15.答案:[15,+∞)10.已知曲线y=(1-x)x n(n∈N*)在x=处的切线为l,直线l在y轴上的截距为b n,则数列{b n}的通项公式为________.【解析】因为曲线y=(1-x)x n(n∈N*),所以y′=-x n+n(1-x)x n-1=x n-1(n-nx-x),所以y′==(n-1),因为当x=时,y=,所以切线l的方程为y-=(n-1),当x=0时,直线l在y轴上的截距为b n=(2-n).答案:b n=(2-n)(20分钟40分)1.(5分)已知k,b∈R,设直线l:y=kx+b是曲线y=e x+x的一条切线,则( )A.k<1且b≤1B.k<1且b≥1C.k>1且b≤1D.k>1且b≥1【解析】选C.y=e x+x的导数为:y′=e x+1>1,可知k>1;直线l:y=kx+b在y轴上的截距为b,曲线y=e x+x,x=0时,y min=1,可知b≤1.2.(5分)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 ( )A. B.2 C.3 D.0【解析】选 A.y=ln(2x-1)的导函数为y′=,设与曲线y=ln(2x-1)相切且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为:2x-y+m=0,设切点为(x0,y0),所以=2,解得x0=1,所以y0=ln(2x0-1)=ln 1=0,所以切点为(1,0),所以切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为=.即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.3.(5分)已知函数f(x)=x- 存在单调递减区间,且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切,符合情况的切线l( )A.有3条B.有2条C.有1条D.不存在【解析】选D.函数f(x)=x-的导数为f′(x)=1-,依题意可知,f′(x)<0在(-∞,+∞)上有解,①a<0时,f′(x)>0不符合题意;②a>0时,f′(x)<0,即a<,ln a<,x>aln a符合题意,则a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的方程为y=x-1.假设切线l与曲线y=e x相切,设切点为(x0,y0),即有=1-=x0-1,消去a得=x0-1,设h(x)=e x x-e x-1,则h′(x)=xe x,令h′(x)>0,则x>0,所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,当x→-∞时,h(x)→-1,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则>1,而a>0时,1-<1,与>1矛盾,所以符合情况的切线不存在.4.(12分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.(1)求f(x)的解析式.(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,依题意⇒又f′(0)=-3,所以c=-3,所以a=1,所以f(x)=x3-3x.(2)设切点为(x0,-3x0),因为f′(x)=3x2-3,所以f′(x0)=3-3,所以切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),又切线过点A(2,m),所以m-(-3x0)=(3-3)(2-x0),所以m=-2+6-6,令g(x)=-2x3+6x2-6,则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2),由g′(x)=0得x=0或x=2,g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2,画出草图知,当-6<m<2时,g(x)=-2x3+6x2-6有三个解,所以m的取值范围是(-6,2).5.(13分)已知曲线C:y2=2x-4.(1)求曲线C在点A(3,)处的切线方程.(2)过原点O作直线l与曲线C交于A,B两个不同的点,求线段AB的中点M的轨迹方程. 【解析】(1)y>0时,y=,所以y′=,所以x=3时,y′=,所以曲线C在点A(3,)处的切线方程为y-=(x-3),即x-y-1=0.(2)设l:y=kx,M(x,y),则将y=kx代入y2=2x-4,可得k2x2-2x+4=0,所以Δ=4-16k2>0,所以>4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以y1+y2=,所以x=,y=,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=x(x>4).。
(压轴题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 2．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．-1B ．eC ．ln 2D ．13．已知函数()3213f x x bx =+在()()1,1A f 点处的切线与直线210x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬'⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ）A ．20192020B ．20192021C ．20202021D ．202120224．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e5．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ）A ．(0,]eB ．21,e e e -⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,4e e-⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦7．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．128．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞9．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x = B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+10．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008 B ．20092010 C ．20082009D ．2010201111．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ）A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--12．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则441tan x x +=________． 15．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．16．曲线()12f x x x=-在点()()1,1f 处的切线与圆222x y R +=相切，则R =______． 17．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____.18．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数)19．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________．20．若函数()xxf x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是___． 三、解答题21．已知函数31(),3f x x ax a a =-+∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数()y f x =的单调区间. 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围．23．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.24．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为直线:2l y =-上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为,M N .（1）若P 的坐标为()0,2-，求MN ； （2）证明：2PFMF NF =⋅.25．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 26．已知函数322()2(63)1216f x x a x ax a =-+++.（1）若11a -≤≤，曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线经过点0(0,)y ，求0y 的最小值；（2）若()f x 只有一个零点0x ，且00x <，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 3．C解析：C 【分析】由(1)2f '=得出2()f x x x '=+，进而得出111()1f n n n =-'+，利用裂项相消求和法得出答案. 【详解】由题意可得(1)2f '=，()22f x x bx '=+，则122b +=，12b =2()f x x x '∴=+，1111()(1)1f n n n n n ∴==-'++ 202011111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及裂项相消求和法的应用，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果. 【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解 等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点 且直线y kx e =+过定点()0,e 如图根据图形可知：0k < 当直线y kx e =+与()11g x e x=+-相切时 设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又()'21g x x=-，所以()'0201g x x =-在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x = 所以()'124k g ==-当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时则21110e ee e k e e +---==- 所以可知2114ek e--<≤故选：D 【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.7．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.8．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e'-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．9．C解析：C 【分析】根据导函数关于y 轴对称知其为偶函数，对每个选线逐一判断得到答案. 【详解】若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则其导函数为偶函数. A. ()2cos '()2sin f x x f x x =⇒=-是奇函数，不满足.B. ()322'()32f x f x x x x x ==⇒++是非奇非偶函数，不满足C. ()sin cos 1'()cos2f x x x f x x =⋅+⇒=是偶函数，满足D. ()'()1xxf x e x f x e =+⇒=+是非奇非偶函数，不满足故答案选C 【点睛】本题考查了导函数与偶函数，综合性强，意在考查学生的计算能力.10．B解析：B 【分析】求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到n S ，从而得到答案.【详解】因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2f x x x =+所以21111()1f n n n n n ==-++， 所以11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+ 所以200912009120102010S =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．1或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标求出导数值得到两切线方程由两切线重合得斜率和截距相等从而求得切线方程的答案【详解】设与和的切点分别为由导数的几何意义可得曲线在在点处的切线方程为即曲线在点处解析：1或1e【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案． 【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．14．【分析】因为直线恒过画出图像可知符合条件时点为切点此时则进而求得的值【详解】由题直线恒过则画出图像如图所示因为直线与函数的图像恰有四个公共点则是切点即与相切且则所以因为所以则所以故答案为：【点睛】本 解析：2-【分析】因为直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,画出图像,可知符合条件时,点()44,D x y 为切点,此时4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则444cos sin 2x a x x -==+,进而求得441tan x x +的值 【详解】由题,直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,则画出图像如图所示,因为直线()()20y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点,则()44,x y 是切点,即()2y a x =+与cos y x =-相切,且4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()442cos a x x +=-,所以44cos 2x a x -=+, 因为()cos sin x x '-=,所以444cos sin 2x x x -=+,则4412tan x x --=, 所以4412tan x x +=- 故答案为：2-本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想15．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点， 利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.16．【解析】【分析】求切线的斜率和切点由点斜式方程得切线方程再由圆心到切线的距离等于半径计算可得所求值【详解】的导数为可得切线的斜率为切点为即有在处的切线方程为即为由切线与圆相切可得可得故答案为：【点睛【解析】 【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值． 【详解】()12f x x x=-的导数为()21'2f x x =+，可得切线的斜率为3k =，切点为()1,1， 即有在1x =处的切线方程为()131y x -=-， 即为320x y --=，由切线与圆222x y R +=相切，可得d R ==，可得R =．． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d r =，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+，即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．18．【解析】【分析】求导计算斜率计算切点坐标结合直线点斜式计算方法即可【详解】故切点为故切线方程为即【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法关键结合导数计算斜率计算切点的坐标计算直线方程难度中等 解析：2y x e =-【解析】 【分析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。
(压轴题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点；③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--D ．412y x =-3．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 4．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．25．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞ 6．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e7．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 8．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A B ．C ．2D ．9．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 10．已知函数()3237f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和点()()02,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则()31iii x y =+=∑（ ）A ．0B ．3C ．6D ．911．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-12．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=二、填空题13．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.14．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为16，则实数a =____。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-12．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1493．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e4．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+5．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞6．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 7．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．D ．8．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－111．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--12．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定二、填空题13．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．14．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且2a b ==，则sin B =__________．15．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___. 16．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．17．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于____． 18．已知函数f(x)＝e x －mx ＋1的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是_________.19．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．20．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．定义在实数集上的函数2()f x x x =+，31()23g x x x m =-+．（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围． 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．设函数321()(1)41()3f x ax a x x a =-+++∈R ． （Ⅰ）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．24．设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.25．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 26．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.2．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11x f x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.3．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=，则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.5．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2112x a x +=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．6．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.7．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.8．A解析：A 【分析】根据奇函数的定义先求得1a =-的值，再利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】因为函数()xxf x e a e -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，所以x x x x e a e e a e --+⋅=--⋅对一切x ∈R 恒成立， 所以()()10xxe a e-++=对一切x ∈R 恒成立，所以10a +=，解得1a =-，所以()xxf x e e -=-，所以()'xxf x e e -=+.因为曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0， 所以令()0xxf x e e-=-=，解得0x =.所以曲线()y f x =的这条切线的切点的坐标为()0,0， 切线的斜率为()'0002fe e -=+=.故曲线()y f x =的这条切线方程为()020y x -=-，即20x y -=. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．C解析：C 【分析】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，由图可知，当直线(0)y kx k =>与 函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可得到cos k α=-，以及sin k αα=-，得tan αα=，化简B ，即可得出答案． 【详解】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，如图所示：当直线(0)y kx k =>与函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点． 所以，cos k α=-，sin k αα=-即得tan αα=，222222sin 111tan sin cos 1cos sin 22tan 2sin cos sin 22cos B ααααααααααααα++++=====，故A B =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=， 所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【解析】∵∴则∵为三角形内角∴由正弦定理得：得故答案为解析：35【解析】 ∵2ln y x x =-，∴22122x y x x x='+=+ ，则1tan |3x A k y ='===，∵A 为三角形内角，tan 0A >，∴02A π<<，sin A =，2sin B =，得3sin 5B =，故答案为35.15．【解析】【分析】求函数的导函数令即可求出的值【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数及导函数求值属于中档题 解析：3-【分析】求函数的导函数，令1x =即可求出()1f '的值. 【详解】因为 2()32(1)f x x f x ''=+令1x =则(1)32(1)f f ''=+ 所以(1)3f '=- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.16．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='，所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.17．18【分析】计算导函数结合题意建立方程计算ab 即可【详解】计算导函数得到结合代入建立等式得到解得故【点睛】本道题考查了导函数计算方法关键抓住导函数的计算建立方程计算参数即可难度中等解析：18 【分析】计算导函数，结合题意，建立方程，计算a,b ，即可．计算导函数得到()3'42f x x ax b =+-，结合()()'013,'127f f =--=-，代入，建立等式，得到134227b a b -=-⎧⎨---=-⎩，解得135b a =⎧⎨=⎩，故18a b +=【点睛】本道题考查了导函数计算方法，关键抓住导函数的计算，建立方程，计算参数，即可，难度中等．18．【分析】先求存在与直线垂直的切线即切线斜率为根据切线的斜率求再取的子集即可【详解】若曲线上存在与直线垂直的切线则对任意的使故所求的取值范围是【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜解析：1(,]e-∞ 【分析】先求存在与直线y ex ＝垂直的切线,即切线斜率为－，根据切线的斜率求m ,再取m 的子集即可. 【详解】()e x f x m '＝－，若曲线C 上存在与直线y ex ＝垂直的切线，则对任意的x ，使e x m －＝－ 1e ，e x m ＝＋ 1e ＞ 1e ，故所求m 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜率的关系.求解中运用了正难则反的补集思想，这是本题解题的突破口.19．【分析】先求与直线平行且与相切的切线切点再根据点到直线距离公式求结果【详解】由题意的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离设切点为因为单调递增因此的最小值为故答案为：【点睛】本题考查导数几【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.20．【分析】根据题意可判断利用函数的导数转化求解的最大值从而求出的取值范围【详解】由题意当时函数且的图象与一次函数的图象没有交点设当时指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点则设且与相切于则 解析：1(1,)ee【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0x y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >， 设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0x y a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）310x y --=；（2）53m ≤-． 【解析】试题分析：（1）由2()f x x x =+⇒'()21f x x =+，(1)2f =⇒'(1)3f =⇒310x y --=；（2）化简321()33h x x x m x =-+-，原命题等价于max ()0h x ≤，再利用导数工具可max 5()03h x m =+≤⇒53m ≤-． 试题（1）∵2()f x x x =+，∴'()21f x x =+，(1)2f =，∴'(1)3f =，∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=． （2）令323211()()()2333h x g x f x x x m x x x x m x =-=-+--=-+-， ∴2'()23h x x x =--，当41x -<<-时，'()0h x >；当13x时，'()0h x <；当34x <<时，'()0h x >，要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤， 由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得，而5(1)3h m -=+，20(4)3h m =-， ∵52033m m +>-，∴503m +≤，即53m ≤-．考点：1、导数的几何意义；2、直线方程；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】（1）2()36f x x x '=-，(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得431a -=-， 解得1a =；（2）2()363(2)f x x x x x '=-=-，当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，()()12max min 2f x f x +≤，即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题. 23．（Ⅰ）30x y +-=；（Ⅱ）讨论见解析 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解即可；（Ⅱ）分类讨论参数a 的范围，利用导数证明单调性即可. 【详解】解：（Ⅰ）当3a =时，32()441f x x x x =-++所以2()384f x x x '=-+．所以(1)2,(1)1f f '==-．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=． （Ⅱ）因为321()(1)413f x ax a x x =-+++， 所以2()2(1)4(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--．（1）当0a =时，因为()2(2)f x x '=--由()0f x '>得2x <， 由()0f x '<得2x >，所以()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减． （2）当0a ≠时，令()0f x '=，得1222,x x a==． ① 当0a <时， 由()0f x '>，得22x a<<； 由()0f x '<，得2x a<或2x >． 所以()f x 在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递减．②当01a <<时，由()0f x '>得2x <或2x a>； 由()0f x '<得22x a<<． 所以()f x 在区间(,2)-∞和2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增，在区间22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减． ③当1a =时，因为2()(2)0f x x '=- 所以()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增．④当1a >时，由()0f x '>得2x a<或2x >； 由()0f x '<得22x a<<． 所以()f x 在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递增，在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 综上可知，当0a =时，()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减； 当0a <时，()f x 在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递减；当01a <<时，()f x 在区间(,2)-∞和2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减；当1a =时，()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增； 当1a >时，()f x 在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递增，在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用利用导数证明含参函数的单调性，属于中档题. 24．(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【分析】（1）先求出函数的导函数()()()21110x e x f x x x x⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，再构造函数()(),0,1xe g x x x =∈，求其值域，则可得a 的范围，再利用导数确定0x x =是极大值点或者极小值点.【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-.（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭， 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x --'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a=在()0,1范围内有唯一交点，设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()210x x e g x x-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ，当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xeax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数，即0x x =为函数()f x 的极小值点，综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题. 25．（1）12y x π-=-即12y x π=+-；（2）195-. 【分析】（1）先求导数，代入切点得到斜率，在计算切线方程.（2）根据条件先计算出tan 3x =，在利用齐次式上下同时除以2cos x 得到答案. 【详解】解：（1）12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭因为()cos sin f x x x =+' 切线斜率12k f π'⎛⎫== ⎪⎝⎭所以在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：12y x π-=-即12y x π=+-（2）因为()cos sin f x x x =+'，()()2f x f x '= 所以()cos sin 2sin cos x x x x +=- 解得tan 3x =所以22222221sin 1sin 2sin cos cos sin2cos 2sin cos cos 2sin cos x x x x x x x x x x x x +++==--- 22tan 11912tan 5x x +==--【点睛】本题考查了切线的计算，三角恒等变化，利用齐次式上下同时除以2cos x 是解题的关键. 26．（1）切线方程为0y =（2）1a =（3）2e 0a --<< 【分析】（1）利用导数的几何意义得到切线斜率，利用点斜式可得切线方程； （2）对ln x 分类讨论，简化不等式，即可得到实数a 的值； （3）函数()f x 存在两个极值点等价于()ln 1af x x x-'=+存在两个不相等的零点．设()ln 1ag x x x=-+，研究函数的单调性与极值即可. 【详解】（1）因为()()ln f x x a x =- ()a R ∈，所以当1a =时，()()1ln f x x x =-， 则()1ln 1f x x x+'=-， 当1x =时，()()10,10f f '==， 所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =； （2）因为对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立， 所以当ln 0x =时，即1x =时，()0f x =，a R ∈； 当ln 0x >时，即1x >时，x a ≥恒成立，所以1a ≤； 当ln 0x ≤时，即1x <时，x a ≤恒成立，所以1a ≥， 综上可知，对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，1a =． （3）因为函数()f x 存在两个极值点， 所以()ln 1af x x x-'=+存在两个不相等的零点． 设()ln 1a g x x x =-+，则()221a x a g x x x x='+=+． 当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多一个零点．当0a <时，因为()0x a ∈-，时，()0g x '<，()g x 单调递减，()+x a ，∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以x a =-时，()()()min 2g x g a ln a =-=-+．因为()g x 存在两个不相等的零点，所以()20ln a -+<，解得2e 0a --<<． 因为2e 0a --<<，所以21e a a->>-． 因为211ln 10g a a a ⎛⎫⎛⎫-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()a -+∞，上存在一个零点． 因为2e 0a --<<，所以2a a <-．又因为()()2211ln 12ln 1g a a a a a=-+=-++-， 设t a =-，则2112ln 1(0)e y t t t =++<<，因为2210t y t-'=<， 所以2112ln 1(0)e y t t t =++<<单调递减，所以22212ln e 1e 30ey >++=->， 所以()221ln 10g aaa=-+>，所以在()0a ，-上存在一个零点． 综上可知：2e 0a --<<． 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。
高考数学变化率与导数、导数的计算专题卷
高考数学变化率与导数、导数的计算专题卷一、单选题（共12题；共24分）1.下列说法正确的是：（）①设函数可导，则；②过曲线外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是米，则该物体在时刻秒的瞬时速度是米秒；④一物体以速度（米/秒）做直线运动，则它在到秒时间段内的位移为米；⑤已知可导函数，对于任意时，是函数在上单调递增的充要条件．A. ①③B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤2.下列结论：①（sin x）′=﹣cos x；②（）′= ；③（log3x）′= ；④（ln x）′= ．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.若曲线y=f(x)在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D. 不存在4.已知函数，则从到的平均变化率为( )A. B. C. D.5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的图像在点处的切线方程是（）A. B. C. D.6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. 1B.C.D.7.已知函数在处的导数为，则（）A. B. C. D.8.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin 2xC. 1-2sin 2xD. cos2x-2sin2x9.函数y=x+ 在x=1处的导数是（）A. 2B.C. 1D. 010.若函数的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数为“t函数”.下列函数中为“2函数”的是（）① ② ③ ④A. ① ②B. ③④C. ①③D. ②④11.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A.2016B.2017C.2018D.201912.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )A. 1B.C. 3D. 0二、填空题（共5题；共5分）13.已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为________.14.函数的导数y′=________．15.函数f（x）=xcosx+sinx的导数f′（x）=________．16.若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为________．17.已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为________.三、解答题（共5题；共30分）18.求下列各函数的导数：（1）y=2x；（2）．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.20.已知函数f（x）=﹣x2+8x，g（x）=6lnx+m（1）求f（x）在x=1处的切线方程．（2）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．21.设函数f n（x）=﹣1+x+ + +…+ （x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[ ，1]，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．22.求下列函数的导数：（1）y= ；（2）y= ；（3）y= ．答案一、单选题1. B2.B3. C4.C5. C6. D7. D8. D9.D 10. B 11. C 12.C二、填空题13. ，14.15.2cosx﹣xsinx 16. 17.三、解答题18.（1）解：y′=2x ln2（2）解：y′=（x ）′= x =19. （1）解：当时，，则，，所以所求切线的斜率为.故所求的切线方程为，即.（2）解：的定义域为，.①当时，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.②当时，令，得或.（i）当时，.当时，，当时，.所以在和上单调递增，在上单调递减.（ii）当时，对恒成立，所以在上单调递增.（iii）当时，，当时，；当时，.所以在和上单调递增，在上单调递减.20.解：（1）f'（x）=﹣2x+8，则f'（1）=6，所以f（x）在x=1处的切线的斜率，所以f（x）在x=1处的切线方程为y=6x+1；（2）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，即函数m（x）=g（x）﹣f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵m（x）=x2﹣8x+6lnx+m，∴m′（x）=2x﹣8+（x＞0），当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；当x∈（1，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；当x=1，或x=3时，m'（x）=0．∴m（x）最大值=m（1）=m﹣7，m（x）最小值=m（3）=m+6ln3﹣15．∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须，即7＜m＜15﹣6ln3．∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15﹣6ln3）．21.（1）证明：对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣1+x+ ），可得f′（x）=1+ + +… ＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）= + +…+ ＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1+ +[ + + +…+ ]≤﹣+ •=﹣+ × =﹣• ＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n（x n）=0（2）证明：对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+ ＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x n）=﹣1+x n+ + +…+ =0 ①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+ + +…+ +[ + +…+ ]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p= + ≤ ≤ ＜= ＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜22.（1）解：y′= ，（2）解：y′= ，（3）解：y′= ．。
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《变化率与导数、导数的计算》练习题
姓名 总分
一、选择题
1.设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）
A .()x x f ∆+0 B.()x x f ∆+0 C.()x x f ∆⋅0 D.()()00x f x x f -∆+
2.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）
A.sin α
B.cos α
C.sin cos αα+
D.2sin α
3.函数y =x 2co sx 的导数为( )
A. y ′=2xcosx －x 2sinx B . y ′=2xcosx+x 2sinx
C. y ′=x 2cosx －2xsinx
D. y ′=xcosx －x 2sinx
4.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．e C.ln 22 D ．ln 2 5.(2009·辽宁卷)曲线y ＝x
x －2在点(1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝－3x ＋2
C ．y ＝2x －3
D ．y ＝－2x ＋1
6.曲线y ＝x ＋ln x 在点(e 2，e 2＋2)处的切线在y 轴上的截距为( )
A ．1
B ．－1
C ．e 2
D ．－e 2
7.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ． 0
8.设f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2010(x )＝ ( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
9.(2010·福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是 ( )
A ．f (x )＝e x
B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝ln x
D ．f (x )＝sin x
10.下图中，有一个是f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图
象，则f (－1)＝ ( )
A.. 13
B.－13
C.73
D.－13或53
二、填空题
11.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且满足)5(23)(2f x x x f '+=则)5(f '= .
12．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)
＝_______
13.与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是
___________________
14.过原点作曲线x e y =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为
15.(2008年江苏高考)设直线y ＝1
2x ＋b 是曲线y ＝lnx(x ＞0)的一条切线，则实
数b 的值为______
16.若曲线32:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a 的值为
17.若函数y ＝g(x)是函数y ＝f(x)的导函数，则称函数y ＝f(x)是函数y ＝g(x)的原函数，例如y ＝x 3是y ＝3x 2的原函数，y ＝x 3＋1也是y ＝3x 2的原函数，现请写出函数y ＝2x 4的一个原函数______
18.已知sin (ππ)1cos x
y x x =∈-+，，，当2y '=时，x =
19.函数)2009()3)(2)(1()(----=x x x x x x f 在0=x 处的导数值为__________．
三、解答题
20.设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.
21.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.
(1)求a 的值；
(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．
选做题：(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；(f (x )＝x －3x
) (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(定值为6)。