08-09期中考试试卷

f ( x ) − f (a ) f ′(a ) = lim x →a x−a
10、若f ( x)的导函数是 sin x，则f ( x)有一个原函数为（ ） （A） + sin x （B） − cos x （C） + cos x （D） − sin x 1 1 1 1
二、填空题：
1 1、设f (t ) = lim t 1 + ，则f ′(t ) = ______ x →∞ x
）
( B )跳 跃 间 断 点 ( D )连 续 点
f (1+ ) = lim 2 x = 2 +
x →1
x2 − 1 f (1− ) = lim =2 − x →1 x − 1
f (1) = 2
7、已知函数f (x)在点x0处可导，且f ′(x0 ) = 1 ，则当∆x → 0时， 下列结论正确的是( )。 （A）dy是比∆x高阶的无穷小 （B）dy是比∆x低阶的无穷小 （C）dy与∆x相比是等价无穷小 （D）dy与∆x相比是同阶（非等价）无穷小
x→x0
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) + −
x→x0
x2 −1 , x −1 6、 设 f ( x ) = 2 x, ( A )可 去 间 断 点 (C )无 穷 间 断 点
x < 1, x ≥ 1,
则 x = 1是 f ( x )的 （
1 y = [ln 1 − x − ln 1 + x ] 2 1 −1 1 y′ = [ ] − 2 1− x 1+ x
y′ x = 1
2
1 2 = [ −2 − ] 2 3
4 =− 3
3、设曲线y = x n，n ∈ N，在点(1,1)处的切线 与x轴相交于(ξ , 0)，则 lim y (ξ ) = _______
设 解 ： lim f ( x) = A x →∞
则 : lim f ( x) = lim[ x 2 (e
x →∞ − 1 x2 x →∞ 1 − 2 x
− 1) + 2 lim f ( x)]
x →∞
A = lim x 2 (e
x →∞
2
− 1) + 2 A,
1 A = lim x ⋅ (− 2 ) + 2 A = −1 + 2A x →∞ x
f (0)+ f (1)+ f (2) ≤M 3
f (0)+ f (1)+ f (2) f (c) = f1 3 f (0)+=(1)+ f (2) =1, f (3) =1 分析: 分析 所给条件可写为 3 Q f (c) = f (3) = 1,且 f (x) 在[c, 3] 上f (0)+,f在+ , 3)) 可 , 连 (1)(cf (2 内 导 续 想到找一点 c , 使 f (c) = 3 罗尔定理知 由罗尔定理知, 必存在 ξ ∈(c, 3) ⊂ (0, 3) , 使 f ′(ξ ) = 0.
2008-2009第一学期期中考试卷 一、选择题：
1, 0 ≤ x ≤ 1, 1、设函数f ( x) = 则 0, 1 < x ≤ 2, g ( x) = f (2 x) + f ( x − 2) ( A)无定义 ( B)在[0, 2]上有定义 (C )在[0, 4]上有定义 ( D)在[2, 4]上有定义
A =1
∴ f ( x ) = x 2 (e
−
1 x2
− 1) + 2
17
( x + 1)3 四. 求曲线 y = ( x − 1) 2
的凹凸区间及拐点. 的凹凸区间及拐点
解:
x
y′ y′′ y
(−∞, −1)
−1
(−1,1)
1
无 定 义
(1,5)
+
0 0
0
+
−
+
−
−
0 + >0 + 27 2
(5, +∞) 5
n →∞
y′( x ) = nx n−1
y′(1) = n 1 ξ = 1− n
−1
y − 1 = n( x − 1)
1 n lim(1 − ) n→∞ n
=e
三、计算题（每题6分）
1 1 1、 lim − 2 x → 0 x tan x x
x − tan x = lim 2 x →0 x tan x 1 − sec x = lim x →0 3x 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x − tan x = lim x →0 x3
− tan 2 x = lim x →0 3x 2
−1 = 3
2、 ( ln x ) lim
x →+∞
1 x
=e
1 lim ln(ln x ) x→+∞ x
=e
1 lim x→+∞ x ln x
= e =1
0
x 2 3、设y = x arcsin + 9 − x + ln 2，求dy 3
dy ∆x
∆x →1
lim
= lim
∆x →1
f ′ ( x0 ) ∆ x ∆x
= 1
8、设f ( x)在[a, b]有定义，在(a, b)内可导，则( （A）当f (a ) f (b) < 0时，存在c ∈ (a, b)，使f (c) = 0 （B）对任意c ∈ (a, b)，有 lim[ f ( x) − f (c)] = 0
1 1 4、 x sin − sin x = lim （ ） x →0 x x ( A) − 1 ( B)1 (C )0 ( D)不存在
有界函数与无穷小的乘积
5、极限 lim f ( x)存在是f ( x)在点a处连续的（
x→a
）
( A)充分条件 (C )充要条件
( B )必要条件 ( D)无关条件
0 ≤ 2 x ≤ 2 0 ≤ x − 2 ≤ 2
2、当x → 0时，下列说法错误的是（ ） ( A) x 2是无穷小量 ( B ) sin 2 x是无穷小量 (C ) x + 0.0001是无穷小量 ( D ) − x是无穷小量
3、若α 与β 是等价无穷小量，则下列结论中 可能不成立的是（ ） ( A) o(α ) ~ o( β ) (C )α ~ α + o( β ) ( B )α − β = o(α ) ( D)α + o(α ) ~ β + o( β )
上连续, 上连续, 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续 所以在 2]上连续 且在 上连续 所以在[0, 上连续 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 上有最大值
m ≤ f (0), f (1), f (2) ≤ M
m≤
由介值定理, 由介值定理 至少存在一点 c ∈[0, 2] , 使
试证 至少存在一点 ξ ∈ (0,1) ，使
f ′(ξ ) = − 2 f (ξ )
ξ
.
证明： 证明：令 F ( x) = x 2 f ( x), x ∈ [0,1] ，则 F(x) 在[0，1]上连续，在 上连续， ， 上连续 由罗尔定理， （0，1）内可导，且F(0)=0,F(1)=0. 由罗尔定理，至少存在 ， ）内可导， 一点 ξ ∈ (0,1) 使得
2t 2 = 1+ t 1 1− 1+ t2
2 = t
2 − 2 = t 2t 1+ t2
d y = 2 dx
2
dy dy d ( ) d ( ) / dt dx ＝ dx dx dx / dt
1+ t2 =− 3 t
ϕ ( x) + y 2 ，其中x, y满足方程y + e y = x， 5. 设u = f du 且f ( x), ϕ ( x)均可导，求 。 dx
2、 ) 设函数f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导， (1 试证：在(a, b)内至少存在一点ξ，使 f (b)eb − f (a )e a f (ξ ) + f ′(ξ ) ] eξ = [ b−a
F ( x ) = f ( x )e
x
(3) 设 f (x) 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且f (1)=0, 上连续， 上连续 ， ）内可导，
x →c
)。
（C）当f (a ) = f (b)时，存在c ∈ (a, b)，使f ′(c) = 0 （D）存在c ∈ (a, b)，使f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a )
f (x) − f (a) 9、已知lim = −1 ，则在点x = a处（ ）。 2 x→a (x − a) （A）f (x)导数存在，且 f ′(a) ≠ 0 （B）f (x)取得极大值 （C）f (x)取得极小值 （D）f (x)的导数不存在.
x y ' = arcsin + x ⋅ 3
1
1 ⋅ 2 x 3 1− 9
1
x + (−2 x) = arcsin 2 3 2 9− x
x = ln(1 + t 2 ) 4、求参数方程 确定的函数 y = t − arctan t y = y ( x)的一阶和二阶导数
dy dy dt 解： = dx dx dt
1 x 2t 1 2 tx t lim[(1 + ) ] = te 2t lim t (1 + ) = x →∞ x →∞ x x
2 tx
f ( t ) = te
2t
′( t ) = e 2 t + 2te 2 t = (1 + 2t )e 2 t f