八年级下册数学第三章章末复习-八年级下册数学第三章知识点总结
2022数学八年级下册第三章知识点总结
2022数学八年级下册第三章知识点总结数学八年级下册第三章知识点总结一、分式的概念1.分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号(或括号)的作用。
2.分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
三、四则运算同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减。
异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算。
分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母。
分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘。
四、分式条件1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
数学相反数概念知识点(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b 的相反数是-a-b;(3)相反数的和为0Ûa+b=0Ûa、b互为相反数.(4)相反数的商为-1.(5)相反数的绝对值相等初中数学直线的性质(1)直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。
它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
八年级下册数学知识点总结归纳
⼋年级下册数学知识点总结归纳 为了⽅便同学们进⾏2020年中考数学考试复习备考，下⾯是⼩编为⼤家整理的关于⼋年级下册数学知识点总结，希望对您有所帮助。
欢迎⼤家阅读参考学习! 第1章分式 ⼀.知识框架 ⼆.知识概念 1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A叫做分式的分⼦，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于0 3.约分：把⼀个分式的分⼦和分母的公因式(不为1的数)约去，这种变形称为约分。
4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这⼀过程叫做通分。
分式的基本性质:分式的分⼦和分母同时乘以(或除以)同⼀个不为0的整式，分式的值不变。
⽤式⼦表⽰为：A/B=A_/B_ A/B=A÷C/B÷C (A,B,C为整式，且C≠0) 5.最简分式:⼀个分式的分⼦和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,⼀般将⼀个分式化为最简分式. 6.分式的四则运算：1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分⼦相加减.⽤字母表⽰为：a/c±b/c=a±b/c 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进⾏计算.⽤字母表⽰为：a/b±c/d=ad±cb/bd 3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分⼦相乘的积作为积的分⼦,把分母相乘的积作为积的分母.⽤字母表⽰为：a/b _c/d=ac/bd 4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分⼦和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2).除以⼀个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b_/c 7.分式⽅程的意义:分母中含有未知数的⽅程叫做分式⽅程. 8.分式⽅程的解法:①去分母(⽅程两边同时乘以最简公分母,将分式⽅程化为整式⽅程);②按解整式⽅程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式⽅程化为整式⽅程的过程中,扩⼤了未知数的取值范围,可能产⽣增根). 分式和分数有着许多相似点。
八年级下册 第三四章重点知识总结
八年级下册第三章分式【基本内容】本章共有4节:1．分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程知识重点：分式的定义，分式的运算，分式方程的解法及其应用。
知识难点：分式的加减乘除运算与分式方程的加法及应用是本章的难点。
考点：本章在考察中往往单独成题，多以填空题与解答题的形式出现，其中主要是分式的判断，以及分式运算的化简与求值；解分式方程与其实际应用是考试的重点。
主要考察学生对基本概念和基本要领的掌握情况。
知识点：一、分式的定义1、分式的概念2、分式有意义3、分式值为0的情况二、分式的运算1、加减乘除的运算法则2、运算步骤与方法三、分式方程及应用1、解分式方程的步骤与过程2、分式方程解决实际问题八年级下册第四章相似图形【基本内容】本章共有9节:1 .线段的比2 .黄金分割3 .形状相同的图形4 .相似多边形5 .相似三角形6 .探索三角形相似的条件7 .测量旗杆的高度8 .相似多边形的性质9 .图形的放大与缩小知识重点：掌握线段比的基本性质、黄金分割的概念、相似图形的判断，关键是相似三角形的判定以及应用、相似比的理解。
知识难点：黄金分割与相似三角形的判定以及应用；考点：相似三角形的判定以及应用是考试的重点内容。
知识点：一、线段比与黄金分割1、线段比与比的基本性质2、黄金分割的条件二、相似图形的概念掌握相似图形的特征，会判断相似图形三、相似三角形1、相似三角形的定义2、相似三角形的证明：三个判定条件3、相似三角形的实际应用：测量旗杆的高度4、相似图形的性质：图形的相似比、周长比、面积比。
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转知识总结北师大版
第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.关键：a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律（性质）：经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。
整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.关键：a。
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b。
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律（性质）：经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。
）注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等.3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：（1)．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2)．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。
浙教版数学八年级下册《第3章数据分析初步》归纳与复习
9.3
9.2
9.4
0.2
学校规定该年级卫生评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分
后进行评比.去掉最高和最低的两个分数后，表中相关的数据一定不
发众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】 C
归纳
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，方 差是描述一组数据离散程度的统计量.解决有关决策问题时，经常对 数据的变化趋势及平均数、中位数、众数、方差等多个统计量进行 分析，角度不同，作出的决策也不同.
学中选拔 1 人来担任运动会志愿者，选拔项目有普通话、体育知识
和旅游知识，两人得分如表所示.若将普通话、体育知识和旅游知识
依次按 4∶3∶3 记分，则最终胜出的同学是________.
选拔项目 普通话 体育知识 旅游知识
小聪
80
90
72
小慧
90
80
70
【答案】 小慧
专题二 方差
【例 2】 (2022 春·绍兴市上虞区期末)如图所示为甲、乙两名运
【跟踪训练 3】 (2023 春·宁波市慈溪市期末)某校调查九年级学生对党的二十大知识的
掌握情况，从九年级的两个班各随机抽取了 10 名学生进行测试，成绩整理、描述和统计
如下(单位：分)：
九(1)班 10 名学生的成绩是 96，83，96，86，99，98，92，100，89，81.
九(2)班 10 名学生中成绩 x 在 90≤x＜95 组的数据是 94，90，92.
九(1)班、九(2)班所抽取学生的成绩数据统计表
班级
平均数
中位数
众数
方差
九(1)班
a
94
b
42.8
初二数学下册知识点归纳
初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。
除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。
（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
（3）正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。
3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。
北师大版八年级数学下第三章小结与复习
图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形，这个点叫做它的对称中心．
典例解析
例1 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形 经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 （ D ）
A
B
C
D
【解析】紧扣平移的概念解题.
总结归纳
平移前后的图形形状和大小完全相同，任何一对对应点连 线段平行（或共线）且相等.
长度，得到△A′B′C′，请画出相应图形，则 △A′B′C′的三个顶点 坐标分别是 A′（ 0 ， 0 ）、 B′（ 2 ， 4 ）、C′（ -1 ， 3 ）； （3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据图形写出相应点的坐标即可；（2）画出平 移后图形，根据图形解题即可，或是让三个点的横坐标减去2， 纵坐标加1即可得到平移后相应点的坐标；（3）△ABC的面积 等于边长为3,4的长方形的面积减去2个边长为1,3和一个边长为 2,4的直角三角形的面积.
另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称， 这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关 于中心的对称点．
2．中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，
对应点所连线段都经过 对称中心 称中心__平__分____．
，并且被对
3.中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的
则∠AOD的度数是（ C ） A. 15 ° B. 60 ° C. 45 ° D. 75 ° O
A 图a B
(2) 如图b ,4 ×4的正方形网格中， △MNP绕某 点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中 心是（ B ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【解析】（1）关键找出旋转角∠BOD=60 °;
北师大版数学八年级下册第三章章末复习说课稿
北师大版数学八年级下册第三章章末复习说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册第三章章末复习主要包括了平方差公式、完全平方公式、多项式的乘法、因式分解等几个重要的知识点。
这一章节的内容是学生进一步学习代数的基础，也是中考的重要考点之一。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了有理数的运算、一元一次方程的解法等基础知识，对于本章的内容，他们可能在学习过程中遇到一些困难，如对平方差公式、完全平方公式的理解不够深入，因式分解的方法不够熟练等。
因此，在教学过程中，需要针对这些困难进行有针对性的讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式、完全平方公式、多项式的乘法、因式分解等基本知识，能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过复习，提高学生的自主学习能力和合作交流能力，培养他们分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养他们坚持不懈、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式、完全平方公式的理解和运用，多项式的乘法，因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式、完全平方公式的灵活运用，因式分解的技巧。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用自主学习、合作交流、讲解辅导等教学方法。
利用多媒体教学手段，如PPT等，帮助学生直观地理解平方差公式、完全平方公式的推导过程。
六. 说教学过程1.导入：通过复习平方差公式、完全平方公式、多项式的乘法、因式分解等基本知识，激发学生的学习兴趣，明确本节课的教学目标。
2.讲解：针对学生可能遇到的困难，详细讲解平方差公式、完全平方公式的推导过程，以及因式分解的方法和技巧。
3.练习：布置一些具有代表性的题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.合作交流：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能力。
5.总结：对本节课的知识进行梳理，强调重点，解答学生的疑问。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点知识。
八年级下册数学知识点归纳总结
八年级下册数学总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一．不等关系1. 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2. 非负数=大于等于0=0和正数=不小于0非正数=小于等于0=0和负数=不大于0二．不等式基本性质1．不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即，如果a>b，那么a+c>b+c, a-c>b-c.2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即，如果a>b，并且c>0，那么ac>bc， .3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即，如果a>b，并且c<0，那么ac<bc， .三．不等式的解集1．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
2．不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的解不同。
3．不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向。
边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；方向：大向右，小向左。
四．一元一次不等式1．只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数为1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。
2．解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别注意，当不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等式方向改变。
3．解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（不等式的改变问题）4．一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax<b）①当a>0时，解为x> ;②当a=0时，且b<0，则x取一切实数；当a=0，且b≥时，则无解；③当a<0时，解为x< 。
5．不等式应用①审：认真审题，找出题中的不等式关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”；②设：设出适当的未知数；③列：根据题中的不等式关系。
八年级数学北师大版下册名师说课稿：第三章小结与复习
八年级数学北师大版下册名师说课稿：第三章小结与复习一. 教材分析北师大版八年级数学下册第三章小结与复习，主要包括以下几个部分：本章内容的回顾与整理、本章重点知识的讲解、本章难点内容的解析以及本章知识点的巩固练习。
通过对本章内容的复习，使学生能够更好地理解和掌握本章的知识点，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，可能存在以下问题：1. 对本章知识点的理解不够深入，不能很好地运用到实际问题中；2. 对本章重点知识的记忆不牢固，容易遗忘；3. 对本章难点内容的理解存在困难，不能很好地突破；4. 在做练习题时，容易犯错，需要加强巩固。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生能够回顾和整理本章内容，掌握本章知识点；2.过程与方法：通过讲解和练习，提高学生解决问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：本章知识点的回顾与整理，本章重点知识的讲解，本章难点内容的解析；2. 教学难点：本章难点内容的理解和突破。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲解法、问答法、练习法等；2. 教学手段：利用多媒体课件进行辅助教学。
六. 说教学过程1.课堂导入：通过提问方式引导学生回顾本章内容，激发学生的学习兴趣；2. 知识点讲解：对本章知识点进行讲解，重点讲解本章难点内容；3. 课堂练习：布置针对性的练习题，让学生巩固本章知识点；4. 课堂小结：对本章内容进行总结，帮助学生形成知识体系。
七. 说板书设计板书设计主要包括以下几个部分：1. 本章知识点；2. 本章重点知识；3. 本章难点内容；4. 巩固练习题。
八. 说教学评价教学评价主要包括以下几个方面：1. 对学生课堂表现的评价；2. 对学生练习题完成情况的评价；3. 对学生学习效果的评价。
九. 说教学反思在教学过程中，教师需要不断反思自己的教学方法、教学手段和教学效果，发现问题并及时改进，以提高教学质量。
八年级下册数学各章节知识点总结
八年级下册数学各章节知识点总结第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,c bc a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为a bx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为abx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a<b) 一元一次不等式解集 图示叙述语言表达⎩⎨⎧>>b x ax x>bba 两大取较大 ⎩⎨⎧<<b x ax x>aba两小取小⎩⎨⎧<>b x ax a<x<bba大小交叉中间找 ⎩⎨⎧><bx ax 无解ba在大小分离没有解(是空集)第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
数学初二第三章总结知识点
数学初二第三章总结知识点一、比例的概念1.比例的定义比例是指两个或两个以上的有相同或相似性质的量的比较关系。
在比例中，我们通常用冒号“:”或者分数“a/b”来表示。
2.比例的基本性质（1）等比例的意义如果两个比例的比值相等，我们就称这两个比例为等比例。
即a/b=c/d，我们就说a、b、c、d成等比例。
（2）反比例的意义如果两个比例的积为常数，我们称这两个比例成反比例。
即a/b=c/d，如果a×b=c×d，我们就说a、b、c、d成反比例。
3.比例的延伸在学习比例时，我们还需要掌握比例的延伸。
比例的延伸就是通过已知的比例，求解相关的未知量。
比如已知a/b=c/d，求解b、c、d等未知量。
二、比例的应用比例在日常生活中有着较广泛的应用，比如购物打折、图案的放大缩小等。
同时，在数学学习中也常常用到比例的运用解决实际问题。
比如利用比例解决物品的定价、地图的测量等问题。
在学习比例的应用时，我们也要注意对比例方法的掌握，以及灵活应用比例解决实际问题的能力。
三、图形的性质本章介绍了数学初二的第三章还介绍了一些图形的性质，其中包括直角三角形、等腰三角形、等边三角形、相似三角形等的性质。
这些图形的性质对于初中阶段的数学学习来说是很重要的，因为这些性质不仅在数学学习中频繁出现，而且这些图形的性质也是训练逻辑思维、分析问题的重要手段。
四、重点难点解析1.比例的性质在学习比例的过程中，学生往往对于比例性质的运用比较生疏。
因此，学习比例时要注意加强比例的性质掌握，并通过大量的练习来提高比例的应用能力。
2.图形的性质图形的性质需要通过较多的练习来巩固，特别是各种图形的边、角性质的掌握，学生需要通过多角度地理解和理解图形的性质，透彻学习各种图形的相互关系。
五、总结通过对数学初二第三章的学习，我们了解了比例和图形的知识点，并且掌握了比例的概念、比例的性质、比例的应用以及图形的性质。
这些知识点对于数学学习来说是非常重要的。
八年级下册数学三单元总结
八年级下册数学三单元总结
本学期的数学课可谓是充满挑战，我们九年级的同学们又来到了八年级数学的三单元学习。
从第一单元到第三单元，我们不断地探索与认识数学中的知识，让我们更深入地了解数学。
第一单元是几何，这个单元需要我们花费大量时间去学习，在第一单元中，我们学习了几何图形的种类，其中有角、三角形、四边形、六边形、圆形等。
我们还学习了几何图形的各种术语，如直角边、对角线、长度、宽度、周长、面积等。
我们还学习了截头、蛇形等多种集合图形的构成及其相关的知识点。
第二单元是线性方程，这一单元的内容让我们眼前一亮，在这一单元中，我们学习了有关线性方程的一系列概念，包括平面空间的概念，直线的概念以及简单的一元二次方程的求解方法。
我们还学习了程序解题，给定一些实际问题，我们可以使用一元方程来分析解决。
最后，我们进入了第三单元，即数列。
数列这个单元让我们跟随数列的脉络深入探索，比如我们学习了关于算术数列、等差数列、等比数列、指数数列、根数数列等的概念，以及求和、统计规律等加法关系，也学习了乘法关系，如等差数列、等比数列的求积、统计规律等。
总的来说，这三个单元的学习，不仅仅是为了考试，更多的是把这些知识点运用到实际情况中，帮助我们更好地解决数学中有关的问题，让我们在学习数学的过程中更加快乐，也能更好地发挥自己的能力。
最后，在这九个月的学习中，我们又一次回顾了数学中的知识，同时也体会到了学习的价值，以及奋斗的力量，真正实现了学习的价值。
北师大版数学八年级下第三章数学知识点和考点总结
3图形的平移与旋转（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】1.平移：（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等(连接线段)．对应线段平行且相等。
（或在同一条直线上）（3）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P （x-a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）3. 旋转：（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4.中心对称：（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5. 关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．小专题8 特殊三角形中的“手拉手”模型——教材P89T12的变式与应用教材母题：(教材P89复习题T12)如图，△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？解：∵△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝42°，AB ＝AC ，AD ＝AE.∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴△ABD 与△ACE 可通过旋转相互得到，即△ABD 以点A 为旋转中心，逆时针旋转42°，得到△ACE.(1)等腰三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，旋转后有∠BAD ＝∠CAE.连接BD ，CE ，则①△ABD ≌△ACE ；②BD ＝CE ；③直线BD 与直线CE 的夹角等于∠A.(2)等边三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为60°.(3)等腰直角三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为90°.1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.下列说法不正确的是(B)A．△ADC≌△AEB B．△DCE是等腰三角形C．DC＝BE D．DC⊥BE2．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD 交于点O，则∠AOB的度数为__120°__．3．(2018·绵阳改编)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上．若AE＝2，AD＝6，则△ABC的面积为2．4．如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰三角形，AB＝AC＝AD＝AE，延长BD，EC 交于点F.(1)求∠BAC与∠F之间的数量关系；(2)求证：△BCF≌△EDF.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC＝AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ACE＝∠ABD. ∵∠ACE＋∠ACF＝180°，∴∠ABD＋∠ACF＝180°. ∴∠F＋∠BAC＝180°.(2)证明：由(1)可知：∠ABD＝∠ACE＝∠AEC.∵∠ABC＝∠AED，∴∠CBF＝∠DEF.∵∠F＝∠F，BC＝ED，∴△BCF≌△EDF(AAS)．5．如图1，两个不全等的等腰Rt △OAB 和等腰Rt △OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.(1)在图1中，线段AC ，BD 的数量关系是相等，直线AC ，BD 的位置关系是垂直；(2)将图1的△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，在图2中画出旋转后的△OAB ；(3)将图1中的△OAB 绕点O 顺时针旋转一个锐角，连接AC ，BD 得到图3，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．解：(2)如图所示．(3)(1)中结论成立，理由如下：∵∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠BOD ＋∠AOD ＝90°，∴∠COA ＝∠BOD.又∵OC ＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA ≌△DOB(SAS)．∴AC ＝BD.延长CA 交OD 于点H ，交BD 于点E.∵△COA ≌△DOB ，∴∠OCA ＝∠BDO.又∵∠DHE ＝∠CHO ，∴∠CED ＝∠COD ＝90°，即AC ⊥BD.将△OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立．6．(1)如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠DAE ，连接CE ，BD ，求证：CE ＝BD ；(2)如图2，将△ADE 绕着A 点旋转，当点C ，E ，D 在一条直线上时，上述结论是否成立？(3)旋转到图3位置时，上述结论成立吗？(4)旋转到图4位置时，此时点B ，E ，D 在一条直线上，上述结论成立吗？若成立，请就(2)(3)(4)中的一种情况加以证明．,图1) ,图2),图3) ,图4) 解：(1)证明：∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB －∠BAE ＝∠DAE －∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD.在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)．∴CE ＝BD.(2)、(3)、(4)结论成立．选(4)证明：∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD. 在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)． ∴CE ＝BD.。
八年级下数学期中考试知识点(北师大版)第3章
八年级下数学期中考试知识点（北师大版）第3章
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘(简记为：除以一个数等于乘以这个数的倒数)
三. 分式的加减法
※1. 分式与分数类似，也可以通分.
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
※2. 分式的加减法：
分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.
(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;
(2)异号分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减;
※3. 概念内涵：
通分的关键是确定最简分母，其方法如下：
(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数;
(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，
(3)如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解.
四. 分式方程
※1. 解分式方程的一般步骤：
①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方
程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入原方程检验.
※2. 列分式方程解应用题的一般步骤：
①审清题意;
②设未知数;
③根据题意找相等关系，列出(分式)方程;
④解方程，并验根;
⑤写出答案.
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八年级下册数学第三章知识点
八年级下册数学第三章知识点数学不是教出来的，是悟出来的，是自学出来的。
数学不是看会的，是算会的。
学数学最重要的就是解题能力，同时上课要认真听讲、课后做匹配练习，学会以不变应万变。
下面是整理的八年级下册数学第三章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
八年级下册数学第三章知识点1、分式：(1)分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
(2)分式是否有意义的条件：分式的分母是否等于0，有意义则分母不为0，无意义则分母为0。
(3)分式值为零的条件：分式A/B=0的条件是A=0，且B≠0。
注意：求出使分子为0的字母的值，一定要注意检验这个字母的值是否使分母的值为0，一般当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
(4)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
(5)分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
注意：通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：● “各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;● 如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;● 如果分母是多项式，一般应先分解因式。
(6)分式的约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
注意：约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式◆(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;◆(2)找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
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图形与坐标
本章复习
湘教版八年级数学下册
确定位置的方法
1、用有序的实数对
2、用方向和距离 平面直角坐标系 极坐标（高中）
确定平面内点的位置
画 两 条 数 轴
①互相垂直 ②有公共原点
读点与描点 象限与象限内点的符号
建立平面直角坐标系
特殊位置点的坐标
坐标系的应用 有关x、y轴对称和关于原点对称
用坐标表 示位置
关于y轴对称； 关于x 轴对称； 关于原点对称；
沿x轴方向平移a个单位， 沿y轴方向平移b个单位 形状不变，放大或缩小k倍；
y
●
●
3 2 1
(0,y)
●
(a,-a)
(2,y)
●
x轴上的点纵坐标都 为0，即：(x,0)
-4
-3
-2
-1 -1 -2
0
1
2 x,0) （
x
平行x轴的直线上的 点纵坐标相同。 y轴上的点横坐标都 为0，即：(0,y) 平行y轴的直线上的 点横坐标相同。
-5 2、如图，点A′（-4，0），B ′ （2，0）则 A′B ′=
2-（-4）=6
x轴上两点间距离：点A（x1，0），B（ x2 ，0） 则AB= x1 x2 平行于y轴的两点间距离，则AB=
x1 x2
y 4 ●B 3 2 ●B 1 ●A
●
A(x,y1)
1、如图，点A（0，1）， B（0，4）则AB= 4-1=3 2、如图，点A（ 0 ,-4）， B（ 0, 2）则AB= 2-（-4）=6
1
2
3
4
5
x
●
-3 -4 ●A -5
B(x,y2)
y轴上两点间距离：点A（ 0 ,y1，），B（ 0,y2 ）则AB= y1 y2
平行于x轴的两点间距离，则AB= y1 y2
B ●
y 4
3
2
（ x2,3 y2 ) ●B（ 4， ）
3 1、如图，点A（0，0）， B（-2，3）,
３．若点Ｂ在x轴下方，y轴左侧，并且到x轴、y轴距 离分别是２、４个单位长度，则点Ｂ的坐标是＿＿＿ （-4，-2） ４.点P（a-1，a -9）在x轴负半轴上，则P点坐标 是（-4，0） 。
2
５.在平面直角坐标系内,已知点P ( a , b ), 且a b < 0 , 第二或四象限 则点P的位置在____________ 。
则AB=
.
.
10、 ①在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别
为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形
ABCD为平行四边形，那么点D 的坐标是（ ________ 2 ，1 ） ．
②将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点
B 的坐标是 （1，-3） .
11、点（4，3）与点（4，- 3）的关系是( B ). （A）关于原点对称 （B）关于 x轴对称 （C）关于 y轴对称 （D）不能构成对称关系
６.如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同， 那么过这两点的直线（ ）B （A）平行于x轴 （B）平行于y轴 （C）经过原点 （D）以上都不对 ７.若点（a,b-1)在第二象限，则a的取值范 a<0 ，b的取值范围________ b>1 。 围是_____
８.实数 x，y满足 (x-1)2+ |y| = 0，则点 P（ x，y）在 （ B ）. （A）原点 （B）x轴正半轴 （C）第一象限 （D）任意位置
-4
y
3
第二象限 (－, ＋)
-4 -3 -2 -1
2 1 0 -1 -2 -3 -4
第一象限 (＋, ＋)
1 2 3
x
第三象限 (－, －)
第四象限
(＋, －)
坐标系中的图形变换
坐标的变化 图象的变化
(x,y) (-x, y) (x,y) (x, -y) (x,y) (-x, -y) (x,y) (x+a,y+b) (x,y) (kx, ky)
用坐标表 示平移
知识框架
平 面 直 角 坐 标 系
纵轴
y
3 2
y轴
（2，3）
●
原点
-4 -3 -2 -1
1
x轴
0
1 2 3
x
-1 -2
横轴
1、横坐标刻画了点到原点（或y 轴）的水平距离，横坐标 -3 绝对值越大，则说明该点到原点（或y轴）越远。
2、纵坐标刻画了点到原点（或x轴）的竖直距离，纵坐标 绝对值越大，则说明该点到原点（或x轴）越远。即：纵坐 在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴， 标越大，说明该点位置越高，纵坐标越小，说明该点位置 越低。 构成了平面直角坐标系 .简称坐标系。
-4 C -3 -2
2
1 1 2 3 4
3 ( 3 y2 y 1)
5
● -1 A0 -1 -2 -3
x
则AB=
2 32 13
2
●
（ x， A（ -2 1,y-3 1) ）-4
-5
4 ( 2) x x
2 1
●C（ 4x ， -3 （ 2,y 1)）
2 2 2、如图，点A（-2，-3），B（4，3）则AB= 4 (2) 3 (3) 两点间距离：A（x1，y1），B（ x2 ，y2） 72
●
(a,a)
-3 -4
(x,-2)
●
一,三象限角平分线上的点：(a,a) 二,四象限角平分线上的点：(a,-a)
M(x,y) y
-4 x-3 -2
y
x
3 2 1
y
-1
-1
0 -2 -3
-4
1
2
3
x
M(x,y)到x轴的距离： y M(x,y)到y轴的距离： x
4
●
2 （2，-4）
1.小明位于广场的北偏西30°方向上，距离广场3千米， 南偏东30°，距小明3千米 则广场的位置是在小明的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２．若点Ａ的坐标是（－３，５），则它到x轴的距 离是 ，到y轴的距离是 3 ． 5
９、方格纸上B、A 两点，如图所示，若 以B点为原点，建立 直角坐标系，则A点 坐标为（3，4），若 以A点为原点建立直 角坐标系，则B点坐 标为 （-3，-4） 。
y 7 6 5 A 4 3 2 1 B -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 x -2 -3 -4 -5 -6 -7
12、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且 直线AB∥x轴，则m的值为 -1 。
y 4
3
● ●
A（x1，y）
A′ ● -4 -3 -2
2 1
B（x2，y）
A B′ ● ● 1 2 3 B ● 4 5
-1 0 -1 -2 -3
x
1、如图，点A（1，0），B（4，0）则 -4 AB= 4-1=3