4等差、等比数列的性质及应用

3.4 等差、等比数列的性质及应用

一、基础知识

(一)等差数列的性质

()()n

m a a d d n m a a n m n m --=-+=,1

()q

p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中(){}{}{}{}{}.

,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数

则数列且公差分别为均为等差数列若

(4)在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数列，公差为md 。

(5)等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等差数列，公差为n 2

d 。 (6)若等差数列的项数为2n ，则有1

,+==-n n a a S S nd S S 偶

奇奇

偶,偶奇S S S n +=2

(7)等差数列{}n a 的项数为奇数2n-1，则偶奇中

间项

偶奇且S S a S S S n n -=+=-12，n

n S S 1-=

奇

偶,()n n a n S 1212-=-。 (8)通项公式是a n =An+B ()0≠A 是一次函数的形式；前n 项和公式()02≠+=A Bn An S n 是不含常数项的

二次函数的形式。（注当d=0时，S n =na 1, a n =a 1）

(9)若a 1>0，d<0，S n 有最大值，可由不等式组⎩⎨⎧≤≥+0

1n n a a 来确定n 。

若a 1<0，d>0，S n 有最小值，可由不等式组⎩⎨

⎧≥≤+0

01n n a a 来确定。(也可利用利用二次函数图象配方来解) （二） 等比数列的性质

()n m n m q a a -=1;()q p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p ⋅=+=⋅=⋅+=+2

,2,,,2则若则若在等比数列中

. (){}{}{}{}.,,,1,

,,,,1),0(,.,,3q q

p pq p p a b a b a a m ma q p b a n

n n n n n n n n 且公差分别为也为等比数列则数列且公分别为均为等比数列若⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≠

（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等比数列，公比为q m

。

（5）等比数列的前n 项和也构成一个等比数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等比数列，公比为q n

。 (6)对于一个确定的等比数列，在通项公式11-=n n q a a 中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数

)(1

*∈=⋅=

N n q u u q

a a n n 和指数函数复合而成的。 当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> 当{}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>>< 当q=1时，是一个常数数列

当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列。 二、举例解析

例1[P91考例1]、（1）设{}n a 是等差数列，且21512841=+---a a a a a ，求133a a +及S 15值。

（2）等比数列{}n a 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。 （3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a 6+…+a 99；

（4）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。 解：（1）由已知可得28-=a ,所以133a a +=248-=a ，S 15=()30152

158151-==+a a a

()：由题266,12811=+=n n a a a a ,所以⎩⎨

⎧==64

21n a a 或⎩⎨⎧==2

641n a a 又12611=--=q q a a S n n ,所以⎩

⎨⎧==6

2n q 或⎪⎩⎪⎨⎧==6

21

n q

()()()()

()44

111399639963299639862974199=+++∴+++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=+++++++++++=a a a a a a q q a a a a a a a a a S

()4设等差数列共2n-1项,则()()1675

8012

)

1(2

222121=⇒=-=

-++=

--n n n n a a n

a a S S

n n 偶

奇

,所以此数列共31项. 中间项57580=-=-=偶奇S S

练习:(1)等比数列{a n }中,已知S 10=10,S 20=30,求S 30,( S 30=70) 例2、设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0，（1）求公差d 的取值范围。

（2）指出S 1，S 2，S 3，…S n 中哪一个值最大，并说明理由。

解：（1）02

111212112>⨯+=d a S ，02

131213113<⨯+=d a S ，即⎩⎨

⎧<+>+0

6011211d a d a ， 由12213=+=d a a ,代入得：37

24-<<-d 。

（2）解一：由()067612>+=a a S ，013713<=a S 可知：0,076<>a a ，所以S 6最大。

解二、n d n d S n

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-+=25122

2，由37

24-<<-d 可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S 6最大。

解三、22

)2245(222452d

d d d d n d S n

--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，由3724-<<-d 得21322456<-

评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点,用配方法求解;

借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点） 练习：已知等差数列{a n }中，1251,0S S a =>，问S 1，S 2，S 3，…S n 中哪一个值最大。(S 8或S 9) 例3(P93考例题4)设各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足: 1

5

,5,5+n n n a b

a

成等比数列, 11lg ,lg ,lg ++n n n b a b

成等差数列,且,3,2,1211===a b a 求通项.,n n b a 解: 1

5

,5,5+n n n a b

a

成等比数列,

a a

b n n n a a b n n

n 12

255

)5(1++=⋅=∴+即①