高中数学选修2-2课时作业19：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

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高中数学人教A版选修2-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

1.数系扩充的一般原则是什么? 剖析:数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C. 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律. 一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用; (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变; (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.
当实数 a 取什么值时,z 分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数? 解:(1)若 z 为实数, ��2 -5��-6 = 0, 则 2 解得 �� = -1 或�� = 6, �� -1 ≠ 0, �� ≠ ±1, 故当 a=6 时,z 为实数. (2)若 z 为虚数, ��2 -5��-6 ≠ 0, 则 2 解得 �� ≠ -1,且�� ≠ 6, �� -1 ≠ 0, �� ≠ ±1. 故当 a∈{a∈R|a≠±1,a≠6}时,z 为虚数.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法.
1.复数的概念及代数表示法 (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集,规定i· i=-1. (2)代数表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

高中数学选修2-2课时作业17：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋i D.5＋5i4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或16．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－47．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.三、解答题11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．12.若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值？——★ 参考答案 ★——1．[答案]B[解析]因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”．而当“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．2．[答案]D[解析]对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A 中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故A 错误；在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误；在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确．3．[答案]A[解析]设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．[答案]D[解析]由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 5．[答案]A[解析]由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1. 6．[答案]C[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解之得a ＝－4. 7．[答案]A[解析]当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a －3≠0时，z 为纯虚数，即a ＝±2时，z 为纯虚数．故选A. 8．[答案]－2[解析]⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒m ＝－2. 9．[答案]2 ±2[解析]由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝n 2－3m －1，－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2. 10．[答案]－1[解析]由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.11．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 12．解当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．13．解因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.。

人教版A版高中数学选修2-2：3.1.1 数系的扩充和复数的概念(2)

y

2
∴ x 1, y 2
YOUR SITE HERE 巩固提高1.当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
是（1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数?
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2.已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R，
求 x, y的值。
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课堂小结
1.虚数单位i的引入；
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2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
复数的实部、虚部 z a bi (a R,b R)
虚数、纯虚数
实部
虚部
复数相等
a bi

c di
a c b d
（3）
当mm
1 1

0 0
即m 1时，复数z 是纯虚数．
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教师精讲
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例2.如果 (x 2y) i 5 (x y)i ，求 x, y的值.
解: 由复数相等的定义，得
x 2y 5 x y 1
解得
x 1
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(5)实数集R是复数集合C的真子集，即 R C 。
合作交流
1.分别指出下列复数的实部和虚部：
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3 2i, 2 i, 3i 5, 3 , 5i, i2, 0. 2
2.复数 a bi (a,b R)是如何分类的?
复数a+bi
实数b 虚数b

0
0（当
a

0
时为纯虚数）

人教A版高中数学选修2-2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念

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易错警示因忽视实、虚部为实数而致误例4 已知复数 z＝a2－a2－7a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试
求实数 a 分别取什么值时，z 分别是：(1)实数；(2)虚数； (3)纯虚数．
【常见错误】忽略隐含条件a2－1≠0这个大前提．
【解】 (1)由题意得
a2－ 5a－ 6＝ 0，
②表示方法：复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)． (3)复数集 ①定义：由____全__体__复__数____所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母___C___表示．
想一想 1.复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部，n才是虚部．
a2－5a－6≠0，
(3)依题
意有
a2 － 7a＋ a2 － 1
6＝
0，
∴a≠－1且a≠6 ， a＝6.
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数．
【失误防范】形如a＋bi的复数，一定要注意，只有当 a、b是有定义的实数才能充当复数的实部、虚部，在这个前提下，研究复数的分类才不易出错．
2．复数的分类及包含关系
_实__数___ b＝ 0
复数(a＋bi，a、b∈R)
_虚__数____b≠

0

纯虚数a＝0 非纯虚数a≠0
想一想 2.复数ai一定是纯虚数吗？提示：不一定．当且仅当a∈R且a≠0时，ai是纯虚数.
3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔ __a_＝__c_，__b_＝__d__. ； a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝__0__. 想一想 3.任意两个复数都能比较大小吗？提示：当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小，否则不能比较大小．(但任意两个复数要么相等，要么不相等，二者有且仅有一种情况成立)．

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .情境导学]为解决方程x 2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部．思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部．例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 探究点二两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．解由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求．1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5 D ．±2，1答案 C解析令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1答案 B解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．呈重点、现规律]1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数”．“复数a＋b i是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是( )A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D.5＋5i 答案 A解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y＝20＝1.5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案－2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D．－1或－2答案 A解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 答案－1解析由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．解由于z 1<z 2，m ∈R ， ∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与拓展13．如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①12log (m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.。

2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2 复数课后作业含答案

§3.1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．9．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义一、基础过关1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．二、能力提升7．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限；（2）位于x 轴负半轴上；（3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、基础过关1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____．8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数；（2）判断△ABC 的形状；（3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、基础过关 1．复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346．若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案第一节1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. 所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.第二节1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 3第三节1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i. 7．3＋i 8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解方法一设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.第四节1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．第五节1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．15．解因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4 ＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，整理得2m 2＋3m －4＝0，。

数学选修2-2 第一章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

复数的分类 mm＋2 例 2 实数 m 为何值时，复数 z＝＋(m2＋2m－3)i 是 m－1 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[分析] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断，列出关于 m 的等式或不等式进行求解．
[解] (1)要使 z 是实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且 mm＋2 有意义即 m－1≠0，解得 m＝－3. m－1 mm＋2 2 (2)要使 z 是虚数， m 需满足 m ＋2m－3≠0，且有 m－1 意义即 m－1≠0，解得 m≠1 且 m≠－3. mm＋2 (3)要使 z 是纯虚数，m 需满足＝0，且 m2＋2m－ m－1 3≠0，解得 m＝0 或 m＝－2.
[点拨] 一般地，根据复数相等的充要条件，可以由两个复数相等的式子得到由两个实数等式所组成的方程组，从而可以用来确定两个独立参数．此法一般用方程解有实根或纯虚根时可求方程中参数．若所有系数均已知则可用来求复数根的情形．
练 3 已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数 x，y 的值．
5．已知复数集 M＝{z|z＝t＋(4－t2)i，t∈R}和 N＝{z|z＝ 2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，λ，θ∈R}的交集为非空集合，求 λ 的取值范围．
解：∵M∩N≠∅，∴t＋(4－t2)i＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i， t＝2cosθ， 32 2 ∴ ∴ λ ＝ 4sin θ － 3sinθ ＝ 4(sinθ － ) － 2 8 4－t ＝λ＋3sinθ， 9 9 .∵－1≤sinθ≤1，∴λ 的取值范围为[－，7]． 16 16
[分析] 方程的实数解必然适合方程，设 x＝x0 为方程的实数解，代入方程后得 c＋di＝0(c，d∈R)的形式，由复数相等的充要条件，可得关于 x0 与 a 的方程组，解方程组便可求出 x0 与 a 的值．

3.1.1数系的扩充和复数的概念

数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法，结果记为a i
实数b与i做乘法，结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题人们引进了分数，为了表示各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi

【人教B版】选修2-2：3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课时作业及答案.doc

【成才之路12015-2016学年高中数学第3章3. 1第1课时数系的扩充与复数的概念课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1.下列说法中正确的个数是（）①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集.A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］C［解析］①②④正确，故选C.2.下列说法正确的是（）A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等B.a\是纯虚数C.如果复数x+ yi是实数，则T=0, y=0D・复数a+bi不是实数［答案］A［解析］两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等.故选A.3.（2015 -沈阳高二检测）已知日，眩R,则a=b是（日一力）+ （日+力）i为纯虚数的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件［答案］C［解析］本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念.当曰日+狞0,= b=0时，复数为0,是实数，故B不正确；由3—方）+ 3+方）i为纯虚数，贝9自一方=0今臼=力工0,即力=方工0为该复数为纯虚数的充要条件，:・a=b是该复数为纯虚数的必要不充分条件.4.复数2= （/+/〃）+加（〃应R, i为虚数单位）是纯虚数，则实数/〃的值为（）A.0 或一1B. 0C. 1D. -1 ［答案］D［ni +ni=Q, ［解析］Tz 为纯虚数,A …B. 以0 且 a=-bD. z?>0 a = 土方［答案］D［解析］z/=o,且白+|白|HO .A. 2斤兀一(WWZ)B. 2A JI +y(AEZ)JI/<Tl JIC. 2AJT ±Y (AeZ)D. —+—(A^Z)［答案］Bfsin2 〃一1=0rJI 2()=2小 +—［解析］由|厂得gz)lp2cos 0 + 1HO〃工2&兀+兀± 4JI・・・0 =2kn +—故选B.7.以31-^2的虚部为实部，以3i 2+^2i 的实部为虚部的复数是（） A. 3-3i B. 3+i C. 一边+曲D.車+血［答案］A［解析］31-^2的虚部为3,3i 2+^i = -3+V2i,实部为一3,所以选A.8.若（#—1） + （#+3卄2）i 是纯虚数，则实数刈勺值为（） A. 1 B. ±1 C. — 1D. —2［答案］A［解析］解法一：由/-1 = 0得, x= ± 1,当 x= — i 吋，x +3x+2 = 0,6. 满足,故选A.当JV =1时，解法二检验法：时，原复数为6i 满足，排除C. D ；不合题意，则0的值为（）若 sin2 〃一 1 + i (^2cos 〃 + 1)是纯虚数, m= — 1,故选 D.5. 复数 z=a~l)+ (日+ | 日|) i (aQWR ）为纯虚数的充要条件是（）A. \a\ = \b\ C. z?>0 A a^h%= —1时，原复数为0,不满足,排除B•故选A.二、填空题9. ________________________________________________________________ 满足方程2x—3+（9#—6y+l）i=0的实数对（x,y）表示的点的个数是______________________［答案］2x —2x —3 = 0, [9y —6/+1 =0,x=3 或 x= — 1, :\1・；匕，y ）表示的点为（3, *）, （―1, *）,共有2个.10.设片｛复数｝, /=｛实数｝, ｛纯虚数｝,全集〃那么下面结论正确的个数是①AUB=C ；②（/=〃；③AH^B=C ； ®CUB=C.［答案］1［解析］只有④正确.11. 已知复数 z=护一3«+（乎一5k+6）i （AWZ ）,且 zVO,则 Q［答案］2三. 解答题12. 实数加分别取什么数值时，复数z= （z»+5///+6） + ｛m —2m~⑸i （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0.［解析］由 +5//7+6 = 0 得，/n=—2 或刃=—3,由 —2刃一15 = 0 得 m=5 或刃=—3. ⑴当龙一2/77-15 = 0时,复数Z 为实数,・••屈=5或一3；⑵当龙一2〃L 15H 0时，复数z 为虚数，・・・〃/5且刃H —3.时，复数z 是纯虚数，・・・/〃= 一2.时，复数z 是0,.・・〃/=—3.能力提升一、选择题1. 下列命题屮哪个是真命题（） A. 一1的平方根只有一个 B. i 是1的四次方根［解析］由题意, ［解析］・.・z<0, kWZ, 护一 3X0 护一5£+6 = 0m —2in — 15H0,⑶当八.方+5 刃+6 = 0.[zv —2/»—15 = 0, ⑷当J+5刃+6 = 0.C.i是一1的立方根D.i是方程/-1= 0的根［答案］B［解析］v （±i ）2= —h A — 1的平方根有两个，故A 错；Vi 3= —i^= —1. /. i 不是一 1的立方根；・・・C 错；Vi 6=i 2= —1, /.i €—1^0,故 i 不是方程 #—1=0 的根,故 D 错;•・・『=1, ・・・i 是1的四次方根.故选B.2. （2015・锦州期屮）若（刃一1） + （3〃/+2） i 是纯冷数，则实数/〃的值为（） A. 1 B. 1 或2 C. 0D. 一1、1、2［答案］A［解析］因为伽一 1） + （3刃+2） i 是纯虚数，所以刃一1=0且3加+2H0,解得心1.3. 若复数cos 〃 + isin 〃和sin 〃 + icos 〃相等，贝I 」〃的值为（） Ji n (5)A -TB.JIJIC. 2斤兀+-j-（«WZ ）D.斤兀+-j~（«WZ ）［答案］D［解析］由复数相等的条件得cos 〃=sin 8.JT:.0 = 1<开+飞舗3心.故选D.4.若复数（孑一臼一2） + （|臼一11 —1） i @WR ）不是纯虚数，贝IJ （） A.白=—1 B.臼H —1且仪工2 C.曰工一1［答案］cD.白H2［解析］①因为/一日一2H0时，己知的复数一定不是纯虚数.解得已工一 1且日H2.②当扌一$—2 = 0,且由一 1|一1 =0时，已知的复数也不是一个纯虚数.综上可知，当臼H — 1时，已知的复数不是一个纯虚数.故选C. 二、填空题5.若 MyVO 且 q —（,+#） i =2 —5i,贝!j x= _________［答案］-2 -1xy=22 I 2lx 十y =□x =- — 2解得已=—1或已=2,自=0或自=2.［解析］由复数相等的条件知16.若复数z=m+（〃/—1） i（Z77WR）满足z<0,则m=［答案］-1［zzKO［解析］Vz<0B|Ji 2 …—L［zz/-l = O7. ________________________________________________________________ 复数z=si n 〃一 l+i （l —2cos 〃）且〃丘（0,兀），若z 为实数，则〃的值为 _______________若？为纯虚数，则&的值是 ___________ .JI JI［答案］y y［解析］zWR 时，l —2cos 〃=0,1 兀•\cos e=- TO 〈心，A ^=—；三、解答题8. 求适合方程（卄/+［&—/—3（L y ）］i=9 —2i 的实数无、y 的值.［解析］rh 两复数相等的充耍条件，得x+y 2=92x — y _一3 x — y = —29・已知复数 Z\ = m+ （4—/»） i （/w^R ）, ©=2cos 〃 + （人一3sin 〃）i （久 WR ）.若 zi = z ・2,9 证明：-—<4^7. 16 ［解析］rti 复数相等的条件，加=2cos 04—m=久一3sin 0z 为纯虚数时,sin 0 — 1 =01—2cos &H0ZJI,又・・・〃丘（0, JI ）, A 0=—.卄尸一3［卄尸3 卜+尸一3亠才+y=3或或］1 或x — y=2X — y=L[x —y=i乂一尸13Y 9 sj _T?•: A =4—4cos 2〃+3sin 〃=45 x=21 153 9 9当sin〃 = —§时，人川=—花；当sin 0 = 1时，人环=7.二一花W人W7.。

人教新课标A版高二数学《选修2-2》3.1.1 数系的扩充和复数的概念

③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．
【答案】0
方法规律总结：学习本章必须准确理解复数的
概念．
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部， b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到
整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无
限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实
数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)，当Δ＝b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有解呢？
新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系复数系 →________. 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有依然适用；的一些主要性质(如运算定律)________
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，
－1 其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复
实部与________ 虚部．全体复数构成的集合叫数z的________ 复数集．做________
知识点2：复数的相等与复数的分类 4．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ a＝c且b＝d di⇔______________. 5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 a＝0且b＝0 _______________ ，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件． _____________

课标人教版选修2-2第三章3.1.1数系的扩充与复数的概念

a = c ⇔ b = d
求x，y
(
x + y + x + yi = 2 + 4i
2 2
)
2.若 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值. 3x=0，的值.
i
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位的引入 1.虚数单位i的引入；虚数单位的引入； 2.复数有关概念： 2.复数有关概念：复数有关概念
实部虚部
其中
称为虚数单位。虚数单位 i 称为虚数单位。
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b = 0 复数a+bi 复数a+bi 纯虚数 a = 0，b ≠ 0 虚数 b ≠ 0 非纯虚数 a ≠ 0，b ≠ 0
⊂C R≠
数系的扩充
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 ∈ 的数叫做复数的数叫做复数. 形如
全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即复数的代数形式：表示，
z = a + bi (a ∈ R, b∈ R)
引入一个新数：引入一个新数：
i
满足
i = −1
2
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：（1）i2=−1；） =−1 进行四则运算，（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运）算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、合率和分配率)仍然成立。合率和分配率)仍然成立。

(word完整版)高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念

笫讥数系的扩左灯址数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念［学习目标］1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.二知识梳理自主学习知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2+ 1 = 0无解•为了解决x2+ 1 = 0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2+ 1 = 0的根，即使i 1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集•把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a + bi(a,b € R), 这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a+ bi(a, b€ R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是 C = {a+ bi|a, b€ R}，称i为虚数单位.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4—25.(2)虚数单位i有哪些性质？答案(1)在有理数集中：x4—25= (x2+ 5)(x2—5).在实数集中：x4—25= (x2+ 5)(x2—5)=(x2+ 5)(x+ 5)(x—5).在复数集中：x4—25= (x2+ 5)(x2—5)=(x2+ 5)(x+ 5)(x—5)=(x+ . 5i)(x—5i)(x+ . 5)(x—. 5).(2)虚数单位i有如下几个性质：①i的平方等于一1，即i2=—1;②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i 的乘方：i4n= 1, i4n F = i, i4n+ 2=—1, i4n+3=—i(n € N*).知识点二复数的概念、分类1. 复数的有关概念(1)复数的概念：形如a + bi的数叫做复数，其中a, b € R, i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.(2) 复数的表示方法：复数通常用字母 z 表示，即z = a + bi. (3) 复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集 •通常用大写字母 C 表示.2•复数的分类及包含关系实数(1)复数(a + bi , a , b € R)虚数(2)集合表示:思考(1)两个复数一定能比较大小吗？ ⑵复数a + bi 的实部是a ，虚部是b 吗？答案(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小 (2)不一定，对于复数 z = a + bi(a , b € R),实部才是a ,虚部才是b. 知识点三复数相等复数相等的充要条件设a , b , c , d 都是实数，那么a + bi = c + di? a = c 且 b = d.即它们的实部与虚部分别对应相等•思考 ⑴若复数z = a + bi(a , b € R).z = 0,贝U a + b 的值为多少？⑵若复数 z i , Z 2为 z i = 3+ ai(a € R), z 2 = b + i(b € R),且 z i = z 2,贝U a + b 的值为多少？答案(1)0;(2)4.题型探究甫点突破题型一复数的概念例1写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数 1①2 + 3i ;②一3+刁；③迈+ i :④n ⑤一V 3i :⑥0.1解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数；②的实部为一3,虚部为，是虚数；③的实部为2, 虚部为1，是虚数；④的实部为n 虚部为0，是实数；⑤的实部为0,虚部为一頁，是纯虚数；⑥的实部为0,虚部为0,是实数.纯虚数a = 0 0非纯虚数a 工0反思与感悟复数a+ bi(a, b € R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部跟踪训练1下列命题中，正确命题的个数是( )① 若x , y € C ,贝U x + yi = 1 + i 的充要条件是 x = y = 1; ② 若 a , b € R 且 a > b ,贝U a + i > b + i ; ③ 若 x 1 2 + y 2= 0，贝U x = y = 0. A.B.1C.2D.3答案 A解析 ①由于x, y € C ,所以x + yi 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件,1 当 k 2— 5k — 6 = 0 时,2 当 k 2— 5k — 6 丰 0 时,所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③y 2= 0成立，所以 ③是假命题.故选A.题型二复数的分类例 2 设 z = log 1 (m — 1) + ilog 2(5 — m)(m € R).2(1)若z 是虚数，求m 的取值范围; ⑵若z 是纯虚数，求m 的值.解(1)因为z 是虚数，故其虚部Iog 2(5— m)工0,m — 1 > 0,m 应满足的条件是 5 — m > 0,z = a + bi(a , b € R),根据复数的分类：当b = 0时，z 为实数；当b z 0时，z 为虚数；特别地，当 b z 0, a = 0时，z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题• 跟踪训练2 实数k 为何值时，复数z = (1 + i)k 2— (3 + 5i)k — 2(2 + 3i)分别是(1)实数；⑵虚数; (3)纯虚数；(4)零.解由 z = (1 + i)k 2— (3 + 5i)k — 2(2 + 3i) = (k 2— 3k — 4) + (k 2 — 5k — 6)i.z € R ，即 k = 6 或 k =— 1.k 2 — 3k — 4= 0, ⑶当 k 2-5k — 6z 0(2)因为z 是纯虚数，故其实部log 1 (m — 1)= 0，虚部Iog 2(5— m)丰0,m 应满足的条件是 5 — m > 0,5— m ^1,解得m = 2.解得1v m v 5，且反思与感悟将复数化成代数形式z 是虚数，即k z 6且k z — 1. 时，z 是纯虚数，解得k = 4.k2—3k—4= 0, ⑷当2k2—5k—6= 0 题型三两个复数相等时，z= 0,解得k=—1.例3 ⑴已知x2—y2+ 2xyi = 2i,求实数x, y的值.a⑵关于x的方程3x2—尹―1 = (10 —x—2x2)i有实根，求实数a的值.解⑴•/x2—y2+ 2xyi= 2i,x2—y2= 0 , x = 1, . 解得2xy= 2 , y= 1,x=—1, 或y=—1.⑵设方程的实数根为x= m , 则原方程可变为3m2—|m—1= (10 —m —2m2)i,2 a3m2—^m— 1 = 0,10—m—2m2= 0,71解得a= 11或a = — w.5反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练3 已知复数z= 3x— 1 —x+ (x2—4x+ 3)i > 0，求实数x的值.解■/ z>0, /• z€ R, x2—4x+ 3= 0,解得x= 1或x= 3.z> 0,.寸3x —1 —x>0，且x2—4x+ 3= 0.对于不等式^'3x— 1 —x> 0, x= 1满足，x= 3不满足，故x= 1.F当堂检测自查自纠1•若集合A={i , i2, i3, i4}(i 是虚数单位)，B={1 , —1}，则A n B 等于()A.{ —1}B.{1}C.{1 , —1}D.?答案C解析因为i2=—1, i3=—i, i4= 1，所以A= {i , —1,—i,1}，又 B = {1 , —1}，故A n B={1 , —1}.2•已知复数z= a2—(2 —b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a, b的值分别是() A. .2, 1 B. .2 , 5C. ± 2 , 5D. 土. 2 , 1答案C解析令 ^=2，得 a =±2, b = 5.—2+ b = 3,4. _______ 已知 M = {2 , m 3— 2m + (m 2 + m — 2)i} , N = { — 1,2,4i}，若 M U N = N ，则实数 m 的值为 ___ . 答案 1或2解析•/ M U N = N , ••• M? N ,/• m 2— 2m + (m 2 + m — 2)i = — 1 或 m 2— 2m + (m 2+ m — 2)i = 4i. 由复数相等的充要条件，得 m 2— 2m =— 1, m 2— 2m = 0,或m 2+ m — 2= 0m 2+ m — 2= 4,解得m = 1或m = 2.故实数m 的值是1或2. 5.设i 为虚数单位，若关于 x 的方程x 2— (2 + i)x + 1 + mi = 0(m € R)有一实根为 n ,贝V m答案 1解析关于x 的方程x 2 — (2 + i)x + 1+ mi = 0(m € R)有一实根为n ,可得n 2— (2 + i)n +1 + mi =0.n 2— 2n + 1 = 0, 所以所以m = n = 1.m — n = 0.L 课堂小结 ------------------------------------- 11.复数的代数形式 z = a + bi(a , b € R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2. 根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案 B3 设a , b € R , i 是虚数单位，则"ab = 0”是"复数a — bi 为纯虚数”的( )3•下列复数中，满足方程 A. ± 1 C. ±, 2i 答案 Cx 1 2+ 2 = 0 的是()B. ±i解析若复数a — bi 为纯虚数，则 a = 0且0，故ab = 0•而由ab = 0不一定能得到复数 a—bi 是纯虚数，故“ab = 0”是"复数a — bi 为纯虚数”的必要不充分条件• 3•以一5 + 2i 的虚部为实部，以.5i + 2i 2的实部为虚部的新复数是（）A.2 — 2iB. — -J 5+ J 5iC.2 + iD. 5+ , 5i答案 A解析设所求新复数 z = a + bi （a , b € R ）,由题意知：复数—.5+ 2i 的虚部为2;复数.5i + 2i 2= 5i + 2X (— 1) = — 2 + 5i 的实部为一2,则所求的 z = 2— 2i.故选 A. 4•若(x + y)i = x — 1(x , y € R)，则 2x +y 的值为()1 A.q C.0 答案 D解析由复数相等的充要条件知,••• x + y = 0. A 2x +y = 20= 1.5.如果 z = m(m + 1) + (m 2— 1)i 为纯屯虚数，则实数 m 的值为（ A.1 B.0C.— 1D. — 1 或 1答案 Bm m + 1 = 0,解析由题意知 2 • m = 0.m 2— 1 工 0,6.若sin 2 0— 1 + i 「.2cos 0+ 1）是纯虚数，则B 的值为（）B.2 D.1x + y = 0,x — 1 = 0, 解得x= 1, y =— 1,nA.2k n — /k € Z) nB. 2k n+ 4(k €Z) nC. 2k n #k € Z)答案 Bk nD.2 n+ 4(k € Z)解析由题意，得sin 2 0- 1 = 0, .2cos 0+ 1 丰 0,解得, n0= k n+;(k € Z), •- 0= 2k id- 4, k € 乙時2k n、填空题7若实数x , y 满足(1 + i)x + (1 — i)y = 2,贝U xy 的值是 _________答案 1x + y = 2,解析因为实数x , y 满足(1 + i)x + (1 — i)y = 2，所以x + xi + y — yi = 2,可得所x — y = 0,以 x = y = 1，所以 xy = 1.8若复数m — 3+ (m 2— 9)i > 0,则实数m 的值为 __________ . 答案 3m — 3> 0, m >3,解析依题意知2解得即m = 3. m 2— 9 = 0, m = — 3或 3,9•已知 z 1 = — 4a + 1 + (2a 2 + 3a)i , z 2= 2a + (a 2 + a)i ，其中 a € R ，若乙 >z 2,贝U a 的取值集合为 ________ • 答案{0}2a 2+ 3a = 0,解析由Z 1>Z 2,得a 2 + a = 0,解得a = 0,—4a + 1 > 2a ,故a 的取值集合为{0}.10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 ___________ ① 若x 是实数，则x 可能不是复数； ② 若Z 是虚数，则z 不是实数；③ 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④ —1没有平方根. 答案 1解析因实数是复数，故 ①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故 ③错；因一1的平方根为土，故④错. 三、解答题2 _ 7 m + 12 m 为何值时，复数 z = (m 2 + m — 6)i +~~3—是：⑴实数？⑵虚数？(3)纯虚 m ~h 3数？•••当m = 2时，z 是实数.11.当实数 m 2 + m — 6= 0,得 m = 2.m 2+ m — 6工 0,(2)由 m + 3. 0,得m^ 2 且m. —3,即m. 2 且m. — 3. m. —3,第11页共8页•••当m 丰2且m ^ — 3时，z 是虚数.m ^ 2 且 m ^ — 3,得 m ^ — 3,即 m = 3 或 m = 4. m = 3或m = 4, •••当m = 3或m = 4时，z 是纯虚数.n12.已知复数 z i = m + (4 — m 2)i , Z 2= 2cos 0+ (入+ 3sin 0)i ,人 m € R ,0, , z i = z 2,求入的取值范围m =2cos 0解由 zi = z 2,入 m € R ,可得 2 3sin 04 — m = A+ 3sin 0 3 9整理，得匸 4sin 20— 3sin 0= 4 sin 0— § 2—花.n9 ••• 0€ 0 , • sin 0€ [0,1] , •入€ [—屁,1].113.已知关于 m 的一元二次方程m 2 + m + 2mi — qxy + (x + y)i = 0(x , y € R).当方程有实根时, 试确定点(x , y)所形成的轨迹.解不妨设方程的实根为 m ,则 m 2+ m + 2mi = ^xy — (x + y)i.m 2+ m = ^xy , ①••• x , y , m € R , • 22m =— x + y .②代入①，得宁2 —穿=Ixy ,•••(X — 1)2+ (y — 1)2= 2 ,•••点(x , y)的轨迹方程是(x — 1)2+ (y — 1)2= 2,其轨迹是以(1,1)为圆心，，"2为半径的圆1.设复数z 满足iz = 1，其中i 为虚数单位，则z 等于()A. — iB.iC. — 1D.1 答案 A解析 •••*=— 1, •- — i 2= i •— i) = 1, •- z = — i. m 2 + m — 6工 0, ⑶由m + 3丰0, m 2— 7m + 12 = 0,由②，得m =— x + y2。

人教版高中数学选修2-2学案：3.1.1数系的扩充和复数的概念

3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i;2.了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律;3.了解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念．【新知自学】知识回顾：1.数系的扩充历程：(1)在自然数集内引入负数,扩充到___________;(2)在整数集内引入分数,扩充到_____________;(3)在有理数集内引入无理数,扩充到_________．2.在实数集内方程x2＋1＝0的解的问题该如何解决？数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1．由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．新知梳理：1.虚数单位i:（1）它的平方等于_________，即i2＝－1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有______________仍然成立．2.复数的定义：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫复数，a叫复数的_______，b叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．3.复数a＋b i（a，b∈R）的分类：（1）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为实数；（2）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为0；（3）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为虚数；（4）当_______________时，复数a＋b i（a，b∈R）为纯虚数.4.复数集与其他数集之间的关系：____________．5.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d．对点练习：1.写出复数4，2－3i，0，1423-+i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？2.下列说法中正确的是( )A. 方程012=+x 没有根B. 纯虚数和虚数构成实数集合C. 实数集合由虚数与复数构成D. 实数是复数 3.已52-i 的虚部为实部，以225i i +的实部为虚部的新复数是（）A.i 22-B.i +2C.i 55+-D.i 55+4. 如果 (x +y )+ (y -1)i = (2x +3y ) + (2y +1)i ，求实数x , y 的值.【合作探究】典例精析：m 取什么数值时，复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式练习：实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2.已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．变式练习：若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值．规律总结：1.对于复数z= a＋b i，只有在a，b∈R时，a，b才能分别是复数的实部和虚部，并注意虚部是b，而非bi；2.只有两个实数才可以比较大小，对于两个虚数，或者一个虚数一个实数都不能比较大小；3.在两复数相等以及复数的分类中，要首先明确实部和虚部.【课堂小结】【当堂达标】1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( )A.A ∪B =CB.S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C2.若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x 的值为（）A .1 B.-1 C. -2 D.1或-13.若实数y x ,满足,2)()(=-++i y x y x 求xy 的值.4.复数,)2()72(21i m m z -++= )()34()8(22R m i m m z ∈++-=，当21z z =时，求m 的值.【课时作业】1.复数i z 21+-=的实部是，虚部是，模为 .2．已知复数i k k k k z )65(322+-+-=),(R k ∈且0<z ，则=k .3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为 ( )A.－1B.－1或4C.6D.6或－14．若复数i x x x z )2(log 32212-+--=是虚部为正数的纯虚数，求实数x 的值.5．若i y i x i 91)103()2(-=-++-，求实数y x ,的值.6.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .7.如果1)3()(log 221->--+i m m n m ，求自然数m ，n 的值.。

高中数学选修2-2学案：3 1 1数系的扩充和复数的概念

第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念巩固练习：1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A.x =－21B.x =－2或－21 C.x ≠－2 D.x ≠1且x ≠－2 3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－14.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.5.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______.6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.7.若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值.8.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 4. 解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或 ∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：25. 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b c a a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 26.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1. 7. 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-m m ∴m 2=8，∴m =±22. 8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解之得：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解之得：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅。

【原创】人教A版选修2-2：3.1 第1课时数系的扩充和复数的概念

数学 ·人教A版选修2-2
第三章数系的扩充与复数的引入
练一练 1．下列命题正确的是________． ①复数－i＋1 的虚部为－1. ②若 z1，z2∈C 且 z1－z2>0，则 z1>z2. ③任意两个复数都不能比较大小．
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第三章数系的扩充与复数的引入
解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若 z1， z2 不全为实数，则 z1，z2 不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
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第三章数系的扩充与复数的引入
(4)复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？提示：R C. (5)我们知道 0 是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是 0. (6)a＝0 是 z＝a＋bi 为纯虚数的充要条件吗？提示：不是．因为当 a＝0 且 b≠0 时，z＝a＋bi 才是纯虚数，所以 a＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的必要不充分条件．
∴12＝x－－1＝3－y，y，
解得x＝52， y＝4.
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第三章数系的扩充与复数的引入
类题·通法复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
数学 ·人教A版选修2-2
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第三章数系的扩充与复数的引入
练一练
2．实数 m 为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)若 z 为实数，则
m2＋2m＋1>0， m2＋3m＋2＝0，

2019人教版高中数学选修2-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

考点类析
考点一复数的概念
例1 (1)给出下列三个命题:①若z∈C, 则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部
是0.其中真命题的个数为 ( )
A. 0
B. 1
B. C. 2
D. 3
[答案] (1)B
[解析] (1)对于①,当z∈R时,z2≥0成立, 否则不成立,如z=i,z2=-1<0,所以①为
备课素材
1．自然数、整数、有理数和实数，用图形表示包含关系如下：
2．虚数单位i是数学家想象出来的，由此可以得到复数集．实数恰可以看成是特殊
的复数(虚部为零的)，另外，由复数相等的意义可以知道复数由实部和虚部唯一确定，
备课素材
3．当 b=0 时，复数 a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当 b≠0 时，复数 z＝a＋bi 叫作虚数；
考点类析
考点类析
[小结] 已知两个复数相等,可根据复数相等的充要条件将其转化为方程(组) 来求解,体现了化归与转化的思想.当两个复数相等时,应先分清两个复数的实部与虚部,然后让实部与实部相等,虚部与虚部相等.
考点类析
【拓展】已知复数
z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
三维目标
1．知识与技能了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i. 2．过程与方法理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律． 3．情感、态度与价值观理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)，理解并掌握复数相等的有关概念．
θ)i(λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围