【100所名校】2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(解析版)

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北京四中高三上学期文科数学期中考试试卷(附答案)

又 g (1) = 1 − 4 ln 2 < 0，g (2) = 2 > 0，所以存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得 g (x0) = 0．综上，存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率为 f (2)−f (1)． (3) f (1.01) > −2.01．
2
[6
即 f (x) 的递减区间为： kπ +
2 π , kπ +
2π ] , k ∈ Z，
[ 由 0,
π
]
∩
[ kπ
+
π , kπ +
2π
6]
=
[
π
,
3 +
π
]
,
k
∈ Z，
所以
f
2 (x)
6
[
的递减区间为：
3 π,
π
]6 ．
2
62
19.
(1) 因为 a2 + 6 是 a1 和 a3 的等差中项，
所以 2 (a2 + 6) = a1 + a3，
答案: 2019-10-29 — 参考答案
12345678
CDCCAABB 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1 − 3i 10. ∀x ∈ (0, +∞)，都有 lg x ⩽ 0 成立 11. π
6 12. y√= x 13. 5
5 14. ①②
15.
(1) 由 x − 5 ⩽ 0，得 −1 < x ⩽ 5， x+1
3
A. π

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(教师版)

数学资料库2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是 A ．y =2x B ．y =1x C ．y =lgx D ．y =cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A ．n >6?B ．n ≥7?C ．n >8?D ．n >9? 4．在△ABC 中，a ＝3√3，b ＝3，A ＝π3，则C 为A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π35．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4) C ．y =4sin(π8x −π4) D ．y =4sin(π8x +π4)6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ⋅n <0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |二、填空题9．i 为虚数单位，计算(−3−i)i =_______________。

精品解析：【全国百强校】北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题(解析版)

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D,把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

2019北京市第四中学高三调研卷数学(文)含答案

2019北京市第四中学高三调研卷数学（文）页数：4页题数：20题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()UA B 等于A.{|11}x x -<≤B.{|11}x x -<<C.{|1}x x <-C.{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m //7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．152π； B ．203π； C ．1521π-； D ．2031π- 8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：22221212112x x x y y x y x y +-+-+的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．曲线()2xf x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m n a ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += ． 12.已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm的值为 . 13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=____． 14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n n S a a n N =+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+. （1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值． 17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．2019北京市第四中学高三调研卷数学（文）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CDCDADCB二．填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9． 20x y -+= ． 10． 28 ． 11． 44 ．12. xe . 13．_－3__． 14． .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n=（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Z πϕπ⨯+=∈911-或22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<< ∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（ 17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555ii x==++++=∑ ，ni i i=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A == 18．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD = 又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥，又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ，且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ，由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=，所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即四面体A CDE -的体积为89.12分 19.（1）因为椭圆C 的焦点为，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*） 12(F F因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200024443644820x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB，所以1262AB OP=，从而AB =．设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,2024x x y=+，所以()()()()222222012122222048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则2012y =，因此P 的坐标为2⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+． 20．(1)由()32f x x x bx =++，得()232f x x x b '=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，所以()232f x x x b '=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-.(2)由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥， ∴()t x 在[]1,e 上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*) 是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解， ①当01t <<时，方程(*)为 ∴()()232320t t t tt -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解；②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。

【全国百强校】北京师大附中2019届第一学期高三期中考试数学(文科)试卷

绝密★启用前北京师大附中2019届第一学期高三期中考试数学（文科）试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合A ={x |x −4<0}，B ={x |e x >1}，则A ∩B =（） A ．R B ．(−∞,4) C ．(0,4) D ．(4,+∞)2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M （−1，2），则sin2α=（） A ．−25B ．25C ．45D ．−453．已知数列 a n 满足a n +1=a n +3,S 5=10，则a 7为（） A ．14B ．12 C ．15 D ．224．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (1,0),B (1,1)，设OP =OA +kOB (k ∈R )，且OB ⊥OP ，则 OP =（） A ．2 B ． 2 C ． 22 D ．125．已知m 、n 表示两条不同直线，α表示平面，则下列说法正确的是（） A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α D ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α6．若x , y 满足 x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则y −2x 的最大值为（）A．−6B．−1C．−4D．87．在ΔABC中，“a=2,b=7,B=60°”是“cos A=277”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM⋅BP的取值范围是（）A．[−1,0]B．[−12,0]C．[−34,12]D．[−34,0]…………外…………………订………班级：___________考号：____…………内…………………订………第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．若向量a =(1， 2)与向量b =(λ ，−1)共线，则实数λ=___________ .10．等比数列 a n 的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列. 若a 1=1，则S 3=______. 11．已知函数f (x )= log 12x ,x >12x −1,x ≤1 ，则f (x )的最大值为______；若关于x 的方程f (x )=a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是.12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为______,最长的棱长为_____________13．已知数列 a n 的通项公式为a n =n 2−kn ，请写出一个能说明“若 a n 为递增数列，则k ≤1”是假命题的k 的值_____________14．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的的是______________ ①甲只能承担第四项工作 ②乙不能承担第二项工作③丙可以不承担第三项工作 ④丁可以承担第三项工作三、解答题…外……………装…………※※不※※要※※在※※装…内……………装…………15．已知函数f (x )= 3sin(2x +π6)−2sin x cos x +1.（Ⅰ）求函数f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）当x ∈[−π4, π4]时，求函数f (x )的最大值和最小值.16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 8=4，a 13=14. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在公比为q (q >1)的等比数列{b n }中，b 2=a 8，b 1+b 2+b 3=a 13，求q +q 4+q 7+...+q 22.17．在锐角ΔABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足 3a −2b sin A =0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a +c =5，b = 7，求ΔABC 的面积．18．如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点．（Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ；（Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．19．设点F 为椭圆E :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点，点P (1,32)在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线与椭圆相交于，两点，记ΔABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．已知函数f (x )=(x −2)ln x +2x −3 （Ⅰ）求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程；（Ⅱ）当x ≥1时，求f (x )的零点个数； a (x−1)49参考答案1．C【解析】【分析】由题意，先求出集合A={x|x<4}，B={x|x>0}，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|x−4<0}={x|x<4}，B={x|e x>1}={x|x>0}，则A∩B={x|0<x<4}，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得sinα=5cosα=5，再由正弦的倍角公式，代入即可求解.【详解】由题意，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M(−1,2)，根据三角函数的定义可得sinα=5cosα=5，又由正弦的倍角公式可得sin2α=2sinαcosα=2×5×(5)=−45，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解中熟记三角函数的定义，及正弦函数的倍角公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.3．A【解析】【分析】由题意，根据题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得a1,d，进而求解答案.【详解】设等差数列的公差为d，由题意数列a n满足a n+1=a n+3，即d=a n+1−a n=3，又由S5=5a1+5×42d=10，解得a1=−4，则a7=a1+6d=−4+6×3=14，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项公式，准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】利用已知条件表示出向量OP，通过∠BOP=900，求出k，然后求解结果，得到答案.【详解】由题意可得OA=(1,0),OB=(1,1)，则OP=OA+kOB=(k+1,k)，又由OB⊥OP，则OB⋅OP=(1,1)⋅(k+1,k)=2k+1=0，解得k=−12，即OP=(12,−12)，所以 OP=(12)2+(−12)2=22，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，及向量的数量积的运算公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B【解析】如图, AD∥平面EFGH,DC∥平面EFGH,但AD,DC相交,A错;DG⊥平面EFGH,DG⊥FG,但FG⊂平面EFGH,C错;DC∥平面EFGH,DC⊥BC,但BC∥平面EFGH,D错;故本题选B6．B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数z=y−2x，可化为y=2x+z，结合图象可知，当直线y=2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，又由x+y=2y=x，解得A(1,1)此时z有最大值为z=1−2×1=−1，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.7．A【解析】【分析】在三角形中，根据正弦定理，分别求解cos A的值，反之利用正弦定理求得sin B，得到B，再根据充分不必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在ΔABC中，由正弦定理可得asin A =bsin B，解得sin A=absin B=70=217，又由a<b，则A<600，所以cos A=2A=277，又由在ΔABC中，若cos A=277，则sin A=217，由正弦定理sin B=ba sin A=72×217=32，则B=1200或600，所以“a=2,b=B=600”是“cos A=277”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中在三角形中合理使用正弦定理，及充分不必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 8．D【解析】如图，由AB=1，BC=2，可得AC=3，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，），直线BC方程为x3=1，则直线AM方程为y=33x，联立，解得：M（34，34），由图可知，当P在线段BC上时，AM⋅BP有最大值为0，当P在线段AC上时，AM⋅BP有最小值，设P（0，y）（0≤y≤3），∴AM⋅BP=（34，34）⋅（−1，y）=−34+34y≥−34．∴AM⋅BP的范围是[−34，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．9．−12；【解析】【分析】由向量a=(1， 2)与向量b=(λ ，−1)共线，列出方程1λ=2−1，即可求解.【详解】由向量a=(1， 2)与向量b=(λ ，−1)共线，则1λ=2−1，解得λ=−12.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共先的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．7 ；【解析】【分析】由题意，设等比数列a n的公比为q，由4a1，2a2，a3成等差数列，求得q=2，进而求解数列的和.【详解】由题意，设等比数列a n的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，即4a2=4a1+a3，则4a1q=4a1+a1q2，又由a1=1，所以q2−4q+4=0，解得q=2，所以S3=a1+a1q+a1q2=1+2+4=7.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.11．1 ；(−1,0)【解析】【分析】由题意，函数f(x)的解析式，分别求解，每段函数的值域，即可得到函数的最大值；又由关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，转化为y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象可知，即可求解.【详解】由题意，函数f(x)=log12x,x>12x−1,x≤1，则当x>1时，log12x<0，当x≤1时，2x−1≤1，所以f(x)的最大值为1，作出函数f(x)=log12x,x>12x−1,x≤1的图象，如图所示，又由关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，即y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象可知，实数a的取值范围是(−1,0).【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，及分段函数的图象的应用，其中解答中把关于x的方程f(x)=a有且只有两个不相等的实数根，转化为y=f x与y=a的图象由两个不同的交点，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．105【解析】【分析】由给定的三视图可得该几何体表示一个的三棱锥，结合锥体的体积公式和几何体的结构特征即可求解.【详解】由给定的三视图可得该几何体表示一个底面边长分别为5和3的直角三角形，高为4的三棱锥A−BCD，如图所示，由四棱锥的体积公式，可得V=13S =13×12×5×3×4=10，结合该三棱锥的结构特征，可得最长的棱为AD，则AD=32+52+42=52.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 13．(1,3)内任意一个数均可【解析】【分析】由题意，数列a n为递增数列，转化a n+1−a n>0,n∈N+恒成立，求得实数k<3，进而可得得到答案.【详解】由题意，数列a n的通项公式为a n=n2−kn，若a n为递增数列，则a n+1−a n=(n+1)2−k(n+1)−n2+kn=2n+1−k>0,n∈N+恒成立，即k<2n+1,n∈N+恒成立，所以实数k<3，所以“若a n为递增数列，则k≤1”是假命题的k的值可取(1,3).【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数列的单调性，不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的单调性和不等式的恒成立，求得实数k的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．①③④【解析】【分析】由表可知，五项工作后获得的效益综合最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取值，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项工作，甲承担第二项工作，在由戊承担第四项工作，即可得出结论.【详解】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，要使得总和最大，甲可以承担第一或四项工作，并只能承担第三项工作，丁则不可以承担工作，所以丁承担第五项工作，乙若承担第四项工作，戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；以若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，所以①③④不正确.【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).15．（Ⅰ）[kπ−5π12 , kπ+π12] ,k∈Z；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意f x=sin(2x+π3)+1，根据三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由题意x∈[−π4, π4]，得2x+π3∈[−π6, 5π6]，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）f(x)=3(32sin2x+12cos2x)−sin2x+1=1sin2x+3cos2x+1=sin(2x+π)+1由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，所以，函数f(x)的单调递增区间是[kπ−5π12 , kπ+π12] ,k∈Z；（Ⅱ）f(x)=sin(2x+π3)+1，由x∈[−π4, π4]，得2x+π3∈[−π6, 5π6]，当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)有最大值f(π12)=1+1=2；当2x+π3=−π6，即x=−π4时，f(x)有最大值f(−π4)=−12+1=12；【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.16．（Ⅰ）a n=2n−12 . （Ⅱ）27(224−1)；【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意，求得a1,d的值，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）依题意，列出方程组，求得q的值，再利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知可得a1+7d=4，a1+12d=14，解得d=2，a1=−10.所以a n=−10+2(n−1)=2n−12 .（Ⅱ）依题意，b1q=4，b1+b1q+b1q2=14，即b1q=4，b1+4q=10，消去b1，得2q2−5q+2=0，解得q=2或q=12（舍），当q=2时，q+q4+q7+...+q22=27(224−1)；【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.17．(1)∠B=π3；（2）S△ABC=12ac sin B=332【解析】本试题主要是考核擦了解三角形的运用。

2019届北京高三上学期期中数学(文)试卷含解析

2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京四中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)

北京四中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 函数f(x)=1√1−2x的定义域为M ，g(x)=√x +1的定义域为N ，则M ∩N = ( ) A. [−1,+∞) B. [−1,12) C. (−1,12) D. (−∞,12)2. 下列函数是偶函数且在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =2x B. y =a −x 2(a ∈R)C. y =1−3xD. y =|x |−13. 函数在[−π2,π2]的图像是( )A. B.C. D.4. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为8，则图中判断框内①处可以填()A. k >4B. k ≥4C. k <4D. k ≤4 5. 已知函数y =sin(ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. y =sin(2x +π2)B. y =sin(2x +π4) C. y =sin(4x +π2)D. y =sin(4x +π4) 6. 下列结论正确的是( )A. 若a >b >0，则log 12a >log 12b B. a ⃗ =(1,m )与b ⃗ =(m,2m −1)共线的充要条件是m =0C. 命题“∀n ∈N,3n >(n +2)⋅2n−1”的否定是“∃n ∈N,3n ≥(n +2)⋅2n−1”D. 已知f (x )在[a,b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )f (b )<0，则f (x )在(a,b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题7. 已知函数f(x)={cosx −x,x ≤01−x x+1,x >0，则下列结论正确的是( ) A. f(x)有极值B. y =f(x)+1有零点C. f(x)在定义域上是减函数D. f(0)=0 8. 若关于x 的方程x e x+e x x−e x +m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，则(x1e x 1−1)2(x 2e x 2−1)(x 3e x 3−1)的值为( )A. eB. 1−mC. 1+mD. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设i 为虚数单位，则2+i1−i −(1−i)=______．10. ∫(103x 2−12)dx 的值是______ ．11. 命题“∃x ∈[−1,1]，x 2−3x +1<0”的否定是______．12. 圆C ：ρ=−4sinθ上的动点P 到直线l ：ρsin(θ+π4)=√2的最短距离为______ ．13. 设函数f(x)={−2x 2+1(x ≥1)log 2(1−x)(x <1)，则f(f(4))=______；若f(a)=−1，则a =______． 14. 若函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，且满足f (1)=0，f (a )+f (b )=f (a +b )−1，那么f (2)=________，关于x 的不等式f (x 2−1)+f (1−x )>0的解集是________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知集合A ={x|0<x +2≤7}，集合B ={x|x 2−4x −12≤0}，全集U =R ，求：(Ⅰ)A ∩B ；(Ⅱ．16. 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且．(1)求角A;(2)若a =6，b =2√3，求c 的值．17.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x2+3sin2x+12，x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间．18.已知函数f(x)=2x3−3ax2+3a−2(a∈R)．(1)若a=1，给出函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极大值为0，求实数a的值；19.已知函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)．(1)证明f′(x)≥2；(2)如果f(x)≥ax对x∈[0,1)恒成立，求a的范围．20.已知函数f(x)=x2−x，g(x)=e x−ax−1(e为自然对数的底数)．(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集及其运算和函数定义域的求解，是基础题．求出f(x)的定义域M，g(x)的定义域N，然后利用交集的定义求解即可．解：由f(x)=√1−2x，得1−2x>0，解得x<12，所以M=(−∞,12)，由g(x)=√x+1，得x+1≥0，即x≥−1，所以N=[−1,+∞)，则M∩N=[−1,12)．故选B．2.答案：D解析：本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，其中熟练掌握各种基本初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键．解：函数y=2x为奇函数，在(−∞,0)上单调递减；函数y=a−x2为偶函数，在(−∞,0)上单调递增；函数y=1−3x为非奇非偶函数，在(−∞,0)上单调递减；函数y=|x|−1为偶函数，在(−∞,0)上单调递减故选D．3.答案：A解析：本题考查函数图象的判断，注意分析函数的奇偶性、单调性以及特殊值，属于简单题．根据题意，分析可得函数y=−xcosx为奇函数，且当0<x<π2时，有y=−xcosx<0，函数图象在x轴下方；分析选项即可得答案．解：根据题意，对于函数y=−xcosx，x∈[−π2,π2 ]，有f(−x)=−(−x)cos(−x)=xcosx=−f(x)，则函数y=−xcosx为奇函数，可以排除B、D；当0<x<π2时，cosx>0，则有y=−xcosx<0，函数图象在x轴下方；分析选项，A符合；故选：A．4.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．模拟程序的运行，可得当S=8，k=4时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为8，由此可得图中判断框内①处可以填k<4？解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足判断框内的条件，执行循环体，S=2，k=2满足判断框内的条件，执行循环体，S=4，k=3满足判断框内的条件，执行循环体，S=8，k=4此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为8．由此可得图中判断框内①处可以填k<4？故选：C．5.答案：B解析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式．解：由函数的图象可得A=1，T2=πω=7π8−3π8，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×3π8+φ=π，求得φ=π4，故有函数y=sin(2x+π4)，故选B．6.答案：D解析：本题主要考查命题的应用，熟悉充要条件的判定方法是解答本题的关键，属于中档题.逐项判断即可．解：A.若a>b>0，则log12a<log12b，故选项AC错误；B.a→=(1,m)与b→=(m,2m−1)共线的充要条件是m=1，故答案B错误；C.全称命题的否定是特称命题，故答案C错误；D.根据逆命题的定义可知，已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)⋅f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点f(x)”的逆命题为假命题，故答案D正确．故选D．7.答案：C解析：解：函数f(x)={cosx−x,x≤0 1−xx+1,x>0，则f′(x)={−sinx−1,x≤0−2(x+1)2,x>0，所以f′(x)≤0，故f(x)在R上单调递减，可得f(x)无极值；f(0)=1；由f(x)=−1，当x>0时，1−x1+x=−1无实数解；当x≤0时，cosx−x=−1，由cosx∈[−1,1]，可得x−1∈[−1,1]，即x∈[0,2]，x=0显然不成立．故选：C．求得f(x)的导数，判断单调性，可判断A，C；计算f(0)，可判断D；讨论x>0，x≤0，解方程即可判断B．本题考查分段函数的性质，主要是单调性和极值、零点和函数值，考查导数的运用和运算能力、推理能力，属于中档题．。

【全国百强校】北京四中2019届上学期高三期中考试数学试卷文科

○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：○…………内…………○…………装…绝密★启用前2018-2019学年度???学校1月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设函数的定义域为，函数的值域为，则 A ． B ． C ． D ． 2．在下列函数中，是偶函数,且在（，）内单调递减的是 A ． B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是○…………线※○…………线A．?B．?C．?D．?4．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，则C为( )A．B．C．D．5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A．B．C．D．6．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数()2222,2{log,2x x xf xx x-+≤=>，若Rx∃∈，使得()254f x m m≤-成立，则实数m的取值范围为（）A B C D8．设，定义符合函数，则下列等式正确的是A．B．C．D．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．i为虚数单位，计算_______________。

10．命题“，使得成立”的否定是____________。

11．已知向量，则a与b夹角的大小为_________.12．设函数．若为奇函数，则曲线在点，处的切线方程为___________．13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有点，，且，则___________．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(含答案)

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

北京四中高三(上)期中数学试卷(文科)

【分析】根据定义域、零点个数、单调性和极限等方面逐个判断即可．
Hale Waihona Puke 【解答】解：对于 A，当 x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意；对于 B，令 f（x）＝0 得 x4＝1，∴x＝±1，即 f（x）有两个零点，不符合题意；
对于 D，f（x）的定义域为（0，+∞），不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的意义，函数单调性、零点个数的判断，属于中档题．
高考复
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．
8．（5 分）（2021•北京模拟）设函数 f（x）的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 x∈D，都有 f （x+m）＞f（x），则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若 f（x）为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a푛 + 1 = 2푎푛(푛 ∈ 푁 ∗ )，且 a2 是 S2 与 1 的等差中项．
（I）求{an}的通项公式； 1
（II）若数列{푎푛}的前 n 项和为 Tn，且对∀n∈N*，Tn＜λ 恒成立，求实数 λ 的最小值． 7
19．（14 分）已知函数 f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx，a∈R

【100所名校】2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(解析版)

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

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北京四中高三文科数学期中测试卷及答案

北京四中高三数学期中测试卷( 文)一、选择题：本大题共试卷满分合计8 小题，每题150 分考试时间：5分，共 40分120 分钟1．会合A．B．，C．，则（）D．2．复数（）A． B ． C ． D ．3．曲线在点处的切线方程为（）A． B ．C．D．4．等比数列中，，前 3 项之和，则数列的公比为（）A．1B．C．1 或D．或5．若向量，，则以下结论中正确的选项是（）A．B．C．D．与垂直6．已知函数，下边结论错误的选项是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象对于直线对称D．函数是奇函数7．假如是定义在的增函数，且，那么必定是（）A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数8．设，若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分9．设点是线段的中点，点在直线外，若，，则__________ 。

10 ．函数的图象与函数的图象对于直线对称，则__________。

11．函数的单一减区间是__________ ，极小值是 ___________。

12．三个数成等差数列，其比为 3:4:5 ，又最小数加上 1 后，三个数成等比数列，那么原三个数是 ___。

13．若二次函数知足且，则实数的取值范围是 ____。

14．若、是等腰直角斜边上的三平分点，则__________。

三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分15．（本小题满分13 分）已知：函数（此中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。

（1）求：的分析式；（2）当，求：函数的值域。

16．（本小题满分13 分）已知：若是公差不为0 的等差数列的前项和，且、、成等比数列。

（ 1）求：数列、、的公比；（2）若，求：数列的通项公式。

17．（本小题满分13 分）已知：定义在R上的函数，此中a为常数。

北京市北京四中数学高三上期中测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20214．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A．10B．5CD6．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为（） A ．10 kmBkmC．D．7．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（） A ．2B ．4C ．16D ．88．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．49．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-10．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣11．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（）A ．3B ．1C ．1+D ．412．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（）. A ．13B ．15C ．19D ．2113．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 415．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（）A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题16．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=，且13k a =,则k =_________．18．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.19．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 20．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.21．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．22．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =，BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．23．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .24．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．25．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.三、解答题26．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．27．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b ++++（n ∈N *） 28．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．29．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.30．已知在等比数列{a n}中，2a＝2，，45a a＝128，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且{12n nb a}为等差数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．B4．B5．C6．D7．D8．A9．D10．D11．A12．A13．C14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理18．14【解析】【分析】等差数列的前n项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n项和有最大值可知再由知且又所以当时n的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n的最小值的求法是中档19．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题20．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【21．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）（≥50）B类产品（件）（≥14022．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角23．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行24．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划25．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题三、解答题26．27．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．C解析：C 【解析】【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．B解析：B 【解析】【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-，由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >，所以n S 取最大值时的n 为5，故选B ．5．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.6．D解析：D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可．【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ．故选D ．【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．7．D解析：D 【解析】【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8．故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．解析：A 【解析】【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．D解析：D 【解析】【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.10．D【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．A解析：A 【解析】【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.【详解】当2x >时，20x ->，则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=，当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．13．C解析：C 【解析】【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒，3a =4b =由正弦定理得：sin 1sin 243b A B a === a b >60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.14．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ，则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0，化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013，本题选择D 选项.15．B解析：B 【解析】【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=，故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=18．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<，又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<，所以130S >，140S <，150S <，当<0n S 时n 的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析：1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+，而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.20．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【解析：3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.考点：一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.21．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备A 类产品（件）（≥50）B 类产品（件）（≥140解析：2300 【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品设备A 类产品（件）（≥50）B 类产品（件）（≥140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5650{10201400,0x y x y x y +≥+≥≥≥即:105{2140,0x y x y x y +≥+≥≥≥,作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线610{5214x y x y +=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．22．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角解析：3 【解析】分析：详解：设,3AC x AD x ==，在直角ACD ∆中，得2222CD AD AC x -=，所以22sin CD CAD AD ∠==，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 222AB AC BC BAC AB AC x+-∠==⋅由于2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，222322x=23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．23．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行解析：4[,13]5【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22xy+的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.24．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划解析：(,1]-∞【解析】试题分析：由题意，由2{30y xx y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围(,1]-∞．考点：线性规划．25．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题解析：-4 【解析】【分析】根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.故答案为:-4 【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题 26．（Ⅰ）3nn a =；（Ⅱ）()1121334n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3nn b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.【详解】（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+12323233n n -=⨯+⨯++⨯+()1233311n n -=⋅+++++()1123112n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦13n +=∵13a =，即关系式也成立，∴数列{}n a 的通项公式3nn a =. （Ⅱ）由3nn n b na n ==⋅，得231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅，而()234131********n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，可得()231233333n n n S n +-=++++-⋅()111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦∴()1121334n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．27．(1) a n 12n=；(2) 1nn +．【解析】【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到nb n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2）①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=，当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=，则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =；（2）由（1）的结论，a n 12n =，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111nn n -=++．【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.28．(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.29．(1)2π3B =；（2 【解析】【试题分析】（1）先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=，然后运用余弦二倍角求出7cos 8BAC ∠=，进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解：(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-,222a c b ac ∴+=-, 2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-, ()0,πB ∈, 2π3B ∴=. (2) 在ABD 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD =∠,得1sin 1sin 4BD B BAD AD ∠===, 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,sin 8BAC ∴∠===. 30．（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1．设等差数列{12n n b a +}的公差为d ．由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭．所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）．（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）．记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122n n B --==--．所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+．【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.。

【100所名校】2019届北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(解析版)

好教育云平台名校精编卷第1页（共4页）好教育云平台名校精编卷第2页（共4页）2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

2019北京四中高三(上)期中数学

2019北京四中高三（上）期中数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合A={x x2⁄−x−2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A. {−1，0，1，2}B. {−2，−1，0，1}C. {1，0}D. {−1，0}2.命题p:∃n∈N，n2>2n的否定是（）A. ∀n∈N，n2>2nB. ∃n∈N，n2≤2nC. ∀n∈N，n2≤2nD. ∃n∈N，n2=2n3.若复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数（i是虚数单位），则实数b=（）A. 2B. 12C. −12D. −24.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点p(−√2，1)，则cos2α=（）A. 2√23B. 13C. −13D. −2√235.设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知曲线y=ae x+xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=−1B. a=e，b=1C. a=e−1，b=−1D. a=e−1，b=17.已知a，b为不相等的两个正数，且lgab=0，则函数y=a x和y=b x的图象（）A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 关于直线y=x对称8.已知函数f(x)=asinx−bcosx(a，b为常数，且a≠0)的图象关于直线x=π4对称，则函数y=f(3π4−x)是（）A. 偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B. 偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称C. 奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D. 奇函数且它的图象关于点(π，0)对称9.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（）A. 472.8元B. 510.4元C. 522.8元D. 560.4元10.函数f(x)=11−x −1x+x，设x1，x2，x3是曲线y=f(x)与直线y=a的三个交点的横坐标，其x1<x2<x3，则下列命题错误的是（）A. 存在实数a，使得x3−x2>4B. 任给实数a，都有x3−x1>4C. 存在实数a，使得x2−x1>1D. 任给实数a，都有x3−x2>1二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11.若函数f(x)=x2−(a−2)x+1为偶函数，则log a27−log1a78=12.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为13.函数f(x)=lnx−12x2的极大值点为14.∆ABC中，∠ABC=π2，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD= ,cos∠ABD=15.函数f(x)=x2−a x(a>0且a≠1)，若当 x∈(−1，1)时，均有f(x)<12，则实数a的取值范围是16.数列{a n}满足：a1=2，a n=1−1a n−1.①a4=；②若{a n}有一个形如a n=Asin(ωn+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的通项公式，则此通项公式可以为a n= .（写出一个即可）三.解答题：本大题共3小题，共30分17.（本小题满分13分）a+b(a>0).已知：函数f(x)=asinxcosx−√3acos2x+√32（I）求函数f(x)的单调递减区间；（II）设x∈[0，π]，f(x)的最小值是−2，最大值是√3，求实数a，b的值.218.（本小题满分13分）已知：等比数列{a n}中，a1=2，a4=16.（I）求数列{a n}的通项公式a n；（II）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式b n及前n项和S n.19.（本小题满分13分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网.安装这种供电设备的工本费（万元）与太阳能电池板的面积（平方米）成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电.安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(x≥0，k为常数).记F （万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（平方米）之间的函数关系是C(x)=k20x+100为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年消耗的总电费之和.（I）试解释C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（II）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？20.（本小题满分13分）已知：∆ABC中，满足2c−ba =cosBcosA.（I）求角A的大小；（II）若a=2√5，求∆ABC面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知：函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R).（I）当a≤12时，讨论f(x)的单调性；（II）设g(x)=x2−2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b 取值范围.22.（本小题满分14分）将全体自然数填入如图所示的2行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字对于整数a b，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意n∈N，都有n n+a n+b分别在表格的不同行，则称数对(a，b)为自然数集N的“友好数对”.（I）试判断数对(1，2)与(1，3)是否是N的“友好数对”，并说明理由；（II）若a=3，问：是否存在b，使得数对(a，b)是N的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个b的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；（III）试给出使得数对(a，b)是N的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）wordg下载地址。