反比例函数的图像和性质的应用

合集下载

反比例函数的图像和性质

反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有

一定的特点。本文将从图像和性质两个方面进行论述。

一、图像

反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：

1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。

2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴

（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。当x趋近于正

无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。

3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两

侧趋近于无穷大而且不相交。

二、性质

除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：

1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，

因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。

2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着

比值关系。当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反

的变化。

3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它

的函数值不为零。定义域一般为除零点的所有实数。

4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增

大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。

5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于

第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四

象限。这决定了函数图像关于原点的对称性。

反比例函数的图像与性质

局部周期性
虽然反比例函数不具有全局周期性，但在某些特定的区间内，可以观察到一种类似周期性的行为。例如，在比例系数为正的情况下，当x从正无穷大逐渐减小到0时，函数值从0逐渐增大到正无穷大；而当x从0逐渐增大到正无穷大时，函数值又从正无穷大逐渐减小到0。这种行为在局部上呈现出一种类似周期性的变化。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解
矩形面积
当矩形的长度和宽度成反比例关系时，可以通过反比例函数求解矩形的面积。
三角形面积
在某些特定条件下，三角形的底和高可能成反比例关系，此时可以利用反比例函数来求解三角形的面积。
速度、时间、距离关系建模
匀速运动
在匀速运动中，速度和时间成反比例关系。当已知其中一个量时，可以利用反比例函数求解另一个量。
反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。

反比例函数的图像和性质的综合应用

(1) 一次函数的解析式；
(2) 点 A、B 的坐标；
(3) 三角形 AOB 的面积。
THANKS
感谢观看
因为反比例函数 $y=frac{6}{x}$中 $k=6>0$，所以函数图像在第一、三象限。又因为$x_1<x_2$，所以点$P(x_1,y_1)$和点 $Q(x_2,y_2)$不在同一象限内。根据反比例函数的性质可知，在第一象限内，$y$随$x$的增
பைடு நூலகம்
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
求解交点坐标方法
联立方程法
将两个函数的解析式联立起来，得到一个关于 x 的方程，解这个方程即可得到交点的横坐标，再代入其中一个函数的解析式求得交点的纵坐标。
图象法
在同一坐标系中分别作出两个函数的图象，找出两个图象的交点，即为所求的交点坐标。
典型例题解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
例题1
已知反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）和一次函数 y = mx + n（m ≠ 0）的图象都经过点（2，-1），且当 x = 3 时，这两个函数值相等，求这两个函数的解析式。
函数的解析式。
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求得 m、k、b 的值，即可得到两个函数的解析

反比例函数的应用

一、反比例函数的定义及性质

反比例函数是指一个函数y=k/x，其中k为常数，x≠0。反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线。

反比例函数具有以下性质：

1. 定义域为x≠0，值域为y≠0。

2. 函数图像关于y轴对称。

3. 当x趋近于0时，y的值趋近于正无穷或负无穷。

4. 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。

5. 反比例函数是单调递减的，在定义域内任意两个正数之间，其对应的函数值满足大小关系：y1>y2。

二、反比例函数在实际生活中的应用

1. 电阻与电流

在电路中，电阻与电流之间存在着一种反比例关系。根据欧姆定律可知：U=IR，其中U表示电压（单位为伏特），I表示电流（单位为安培），R表示电阻（单位为欧姆）。将该式变形得到：I=U/R。可以看出，在给定电压下，电流与电阻成反比例关系。因此，在设计电路时

需要考虑到这种关系。

2. 速度与时间

在物理学中，速度与时间也存在着一种反比例关系。根据物理学公式

可知：v=s/t，其中v表示速度（单位为米/秒），s表示路程（单位为米），t表示时间（单位为秒）。将该式变形得到：t=s/v。可以看出，在给定路程下，速度与时间成反比例关系。因此，在计算物体的运动

时间时需要考虑到这种关系。

3. 人口密度与土地面积

在城市规划中，人口密度与土地面积也存在着一种反比例关系。根据

城市规划原理可知：城市的人口密度应该与土地面积成反比例关系，

以保证城市的空间利用率和居住质量。因此，在进行城市规划时需要

考虑到这种关系。

4. 光线强度与距离

反比例函数的图像和性质课件

奇偶性讨论
奇函数性质
反比例函数是奇函数，即满足f(x)=-f(x)。可以通过代入验证法或图像观察法来判断。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足f(x)=f(x)。同样可以通过代入验证法或图像观察法来判断。
周期性考察
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不存在一个正数T，使得对于任意x，都有f(x+T)=f(x)。
2 反比例函数与对数函数的交点
通过解析式联立，可以求解反比例函数与对数函数的交点坐标。
3 反比例函数与复杂类型函数的图像关系
当复杂类型函数的参数和形式不同时，其与反比例函数的图像呈现出不同的位置关系，如相切、相交等。
4 反比例函数与复杂类型函数的性质对比
反比例函数具有中心对称性，而复杂类型函数如指数函数和对数函数具有不同的增长或衰减速度、单调性等性质。通过对比两者的性质，可以加深对函数图像和性质的理解。
感谢您的观看
THANKS
反比例函数与一次函数的性质对比
反比例函数具有中心对称性，而一次函数具有平移不变性。通过对比两者的性质，可以加深对函数图像和性质的理解。
与二次函数关系
01
反比例函数与二次函数的交点
通过解析式联立，可以求解反比例函数与二次函数的交点坐标。
02
反比例函数与二次函数的图像关系
当二次函数的开口方向和顶点位置不同时，其与反比例函数的图像呈现

反比例函数的图像和性质3要用

a2 1 y 3、在反比例函数 x
的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（ A ） A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
4、设反比例函数y=(2k-1)x-1,点（x1,y1)，(x2,y2)，为图像上两点，若 x2＜0 ＜x1, y1<y2,则k的取值范围是
D，记Rt△AOB的面积为S1, Rt△OCD的面积为S2，则 S1与S2的大小关系为（ A.S1>S2 C.S1 = S2 B.S1<S2 D.不能确定.
C
y
C）
o
S2
S1
A
B D
x
wenku.baidu.com
4.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
3 y 个反比例函数的关系式是 x.
P
3
-2 0
x
x<-2或x>0 当y<3时,x的取值范围是 _________ .
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
练一练
为 1 .
S△POD
1 = OD· PD 2

反比例函数的图像及性质

来表示。
05
反比例函数与一次函数比较
图像特征比较
反比例函数图像
反比例函数的图像是一条双曲线，该曲线以原点为中心，分布在两个象限内。随着自变量的增大或减小，函数值分别趋近于正无穷或负无穷。
一次函数图像
一次函数的图像是一条直线，该直线可以穿过所有象限，也可以只在一个象限内。直线的斜率和截距决定了其位置和倾斜程度。
02
图像特征：反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
03
性质
04
反比例函数在其定义域内是连续的。
05
在每个象限内，随着 $x$ 的增大（或减小），$y$ 值会相应地减小（或增大）。
06
反比例函数的图像关于原点对称。
表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（ k≠0），其中k是比例系数，x是自变量，y是因变量。
自变量取值范围
由于分母不能为0，因此反比例函数的自变量x不能为0，即x的取值范围是x≠0。
反比例函数的定义域是除去使分母为0 的点以外的所有实数。
函数值变化规律
当x>0时，随着x的增大，y的值逐渐减小，但永远不会等于0；当x<0时，随着x的减小，y的值逐渐增大，也永远不会等于0。
04

26.1.2 第2课时反比例函数的图象和性质的的综合运用

k 对于反比例函数 y ， x
y
A
Q
O B
x
反比例函数的面积不变性
做一做
1 如图，在函数 y (x＞0)的图像上有三点A，B ， x
C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作
的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ， SB，SC，则 (C )
A. SA >SB>SC C. SA =SB=SC B. SA<SB<SC D. SA<SC<SB
Q
P
S1 S2
4 y x
用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
O
x
S1的值 S2的值 P (－1，4) Q (－2，2)
S1与S2 猜想与 k 的关系的关系
4
4
ห้องสมุดไป่ตู้
S1=S2
S1=S2=－k
由前面的探究过程，可以猜想：
k 若点P是 y 图象上的任意一点，作 PA 垂直 x
于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|.
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
当堂练习
k 1. 如图， P 是反比例函数 y 的图象上一点， x 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，
△ABP 的面积为 2，则 k 的值为 A. 4 C. －2 B. 2 D.不确定 y P

反比例函数及应用

反比例函数是一种常见的函数形式，在数学中广泛应用于各种

领域，包括经济、物理、工程等。本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质以及其应用。

一、反比例函数的定义及图像特征

反比例函数的定义为：

$$y=\frac{k}{x}$$

其中，$k$ 为比例系数，且 $x\neq0$。

反比例函数的图像具有以下特征：

1. 曲线始于第一象限，以原点为渐近线。

2. 当 $x>0$ 时，函数值单调递减。

3. 当 $x<0$ 时，函数值单调递增。

4. 反比例函数关于 $x$ 轴对称。

5. 当 $x\to\infty$ 时，函数值趋近于 $0$；当 $x\to0$ 时，函数值趋近于无穷大。

下图为反比例函数图像的示意图：

[image]

二、反比例函数的性质

反比例函数的常见性质包括：

1. 定义域为 $x\neq0$，值域为 $y\neq0$。

2. 对称轴为 $x$ 轴。

3. 函数连接点为原点。

4. $k$ 的正负决定了函数的增减性和图像所在的象限。

5. 当 $k>0$ 时，函数单调递减；当 $k<0$ 时，函数单调递增。

三、反比例函数的应用

反比例函数在各种学科领域中都有广泛的应用。下面我们将介绍一些具体的应用案例。

1. 经济学中的应用：供给曲线

在经济学中，供给曲线描述了在一定时间内产品供给量与价格之间的关系。在某些情况下，供给量与价格是反比例的关系。

例如，对于某种商品，生产成本不变的情况下，供给量与价格之间的关系可以表示为：

$$Q=\frac{k}{p}$$

其中，$Q$ 表示供给量，$p$ 表示价格，$k$ 为常数。

高中数学-反比例函数的图像与性质

电阻、电容、电感等元件的伏安特性
在电子电路中，一些元件的伏安特性关系可以用反比例函数来描述。例如，电阻的阻值与电压、电流成反比；电容的容抗与频率成反比等。
经济学中应用场景
需求与价格关系
在经济学中，一种商品的需求量通常与其价格成反比。价格越高，需求量越小；价格越低，需求量越大。这种关系可以用反比例函数来描述。
02 对于值域问题，由于反比例函数在定义域内总是大于0或小于0（取决于k的正负），因此其值域为 $y neq 0$的所有实数。
02 在求解具体问题时，需要注意题目中给出的其他条件，如函数的定义域限制等。
判断单调性和奇偶性问题
反比例函数在其定义域内没有单调性，即在不同的区间内可能具有不同的单调
流体力学中的伯努利定理
在流体力学中，伯努利定理指出流体在管道内流动时，速度大的地方压强小，速度小的地方压强大。这种关系也可以用反比例函数来表示。
求解反比例函数相关数学问
05
题技巧总结
求解定义域和值域问题
01 首先明确反比例函数的定义，即$y = frac{k}{x}$ （$k neq 0$），其定义域为$x neq 0$的所有实数。
性。
对于奇偶性的判断，可以根据函数的定义进行判断。若$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则函数
为偶函数。对于反比例函数$y = frac{k}{x}$，当$k > 0$时，函数为奇函数；当$k < 0$时，函数为偶函数。

反比例函数的图像和性质的应用

两者图像可能相交，交点坐标满足两个函数的解析式。
增减性
反比例函数在各自象限内单调减少或增加，二次函数则根据开口方向决定增减性。
在复合函数中应用
复合函数构造
通过反比例函数与其他基本初等函数复合，构造出复杂的复合函
数。
图像变换
复合函数的图像可以通过基本初等函数的图像经过平移、伸缩、对称等变换得到。
表达式特点
自变量 $x$ 位于分母，且系数 $k$ 不为零。
函数图像特点
01
02
03
图像形状
反比例函数的图像为双曲线，且以原点为对称中心。
曲线趋势
当 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于零；当 $x$ 趋近于零时，$y$ 趋近于无穷大。
与坐标轴关系
双曲线与坐标轴无限接近但永不相交。
需要注意区分。
误用性质
03
在应用反比例函数性质时，需要注意其适用条件，避免误用。
拓展延伸思考
01 02
反比例函数与实际问题
反比例函数在实际问题中有广泛应用，如物理中的电阻、电容等概念，经济学中的供需关系等。通过实际问题背景，可以加深对反比例函数的理解和应用。
反比例函数与其他函数的联系
反比例函数与正比例函数、一次函数、二次函数等有着密切的联系。通过比较它们的图像和性质，可以加深对各类函数的理解和掌握。

反比例函数图象性质及应用复习课件

经济活动中反比例关系的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
经济活动中存在许多反比例关系，如商品价格与销售量、生产成本与产量等。
在经济活动中，许多因素之间存在反比例关系。例如，商品的价格与销售量之间存在反比例关系，当价格上涨时，销售量会相应减少；反之亦然。此外，生产成本与产量之间也存在反比例关系，随着产量的增加，单位产品的生产成本会相应降低。了解和利用这些反比例关系对于制定经济政策和提高经济效益具有重要意义。
灵活运用反比例函数的定义
利用反比例函数的定义简化计算过程。
3
掌握反比例函数的应用场景
理解反比例函数在实际问题中的应用，提高解题能力。
练习题及答案解析
练习题1
绘制反比例函数y=1/x 的图象，并求出与坐标
轴的交点。
练习题2
判断下列哪个点在反比例函数y=2/x的图象上
。
练习题3
求反比例函数y=3/x在 x>0时的单调性。
Biblioteka Baidu 04
反比例函数的实际应用案例
电流与电阻的关系
总结词
电流与电阻成反比关系，当电阻增大时，电流减小；反之亦然。
详细描述
在电路中，电流与电阻之间的关系表现为反比例关系。当电路中的电压保持恒定时，电阻的阻值增大，会导致电流减小；反之，如果电阻的阻值减小，电流则会增大。这一关系在电子设备和电路设计中具有重要应用。

反比例函数的图像和性质应用ppt课件

形状
图象是双曲线
位置
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
增减性当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
变化趋势双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
对称性双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
y
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k
面积不变性长方形面积︳m n︱＝︳K︱
B P(m,n)
oA x
精选ppt课件
16
再见
精选ppt课件
17
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
18
二、四象限，在
每一象限内，当x增大时，则y . 随x的增大而增大
精选ppt课件
3
问题导入
已知（2，5）在反比例函数y=
? x
的图像上，
判断点（-5，-2）是否也在此图像上。”题中
的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个
数字，请你分析一下“？”代表什么数，
并解答此题目。
精选ppt课件
4
面积不变性
反比例函y数 xk
A）1
B）2
C）S>2
D)1<S<2

反比例函数的性质与应用总结

反比例函数的性质与应用总结反比例函数是数学中常见的函数类型之一，它与比例关系相反。在反比例函数中，当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，而当一个变量减小时，另一个变量会相应地增大。本文将对反比例函数的性质及其应用进行总结，并探讨在实际问题中的具体应用。

一、反比例函数的性质

1. 定义域与值域：反比例函数的定义域通常为实数集，值域为除零以外的实数集。

2. 函数表达式：反比例函数的一般形式为 y = k/x，其中 k 为常数。

3. 曲线特征：反比例函数的图像为一条经过原点的双曲线。随着 x 的增大，y 的值逐渐减小，反之亦然。

4. 渐近线：反比例函数的图像存在两条渐近线，即 y = 0 和 x = 0，分别表示 y 趋近于 0 和 x 趋近于无穷大的情况。

二、反比例函数的应用

反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例：

1. 电阻与电流关系：根据欧姆定律，电阻与电流之间的关系符合反比例函数。电阻越大，通过电阻的电流越小；电阻越小，通过电阻的电流越大。

2. 时间与速度关系：在匀速运动中，时间与速度之间的关系也是反

比例函数。时间越长，相同距离下的速度越小；时间越短，相同距离

下的速度越大。

3. 工作人员数量与完成时间关系：在一项任务中，工作人员数量与

完成时间之间存在着反比例关系。工作人员数量增多，完成时间相应

缩短；工作人员数量减少，完成时间相应延长。

4. 投资收益与投入资金关系：一些投资项目中，投资收益与投入资

金之间符合反比例函数。投入资金越多，相同周期下的投资收益越低；投入资金越少，相同周期下的投资收益越高。

反比例函数的图像与性质的常见应用

题型
1 利用反比例函数解与图形旋转相关的问题
1. 如图，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)，B(－3，1)，C(－1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′，C′ 分别是点B，C的对应点．求： (1)过点B′的反比例函数的表达式； (2)线段CC′的长．
3
解： (1)由题易得点B的对应点B′的坐标为(1，3)，
16
题型
5 利用反比例函数解与最值相关的问题
5．如图，已知点A(1，a)是反比例函数y＝－的图像
上一点，直线y＝－ x＋与反比1例函数y＝1－
的图像在第四象限的交点为点B. 2
2
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)动点P(x，0)在x轴的正半轴上
运动，当线段PA与线段PB的
长度之差达到最大时，求点P
∴CC′＝
OC 2 OC '2
10.
5
题型
2 利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题
2. 如图，一次函数y＝x＋b的图像与反比例函数y＝ k(k为常数，k≠0)的图像交于点A(－1，4)和点 x
B(a，1)． (1)求反比例函数的表达式
和a，b的值； (2)若A，O两点关于直线l对
称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
4．如图，反比例函数y＝与一次k函数y＝ax＋b的图

反比例函数的图像与性质

反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有

一些独特的性质。本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读

者更好地理解和应用这一函数类型。

一、反比例函数的图像

反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。根

据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。

1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：

我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。

也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。

2. 渐近线：

对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无

穷大。也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，

分别位于第一象限和第三象限。这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =

0 来表示。

3. 变化趋势：

反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x

的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。换句话说，当x 趋近于正无穷大时，

y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。这一性质可以通过直

观的图像来观察和理解。

二、反比例函数的性质

除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应

用有重要意义。下面我们将介绍一些常见的性质。

1. 定义域和值域：

反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为

除了 y=0 外的所有实数。这是因为 0 不能作为分母。

反比例函数的图像和性质的应用

反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像与性质

反比例函数的图像和性质的综合应用

反比例函数的应用

反比例函数的图像和性质课件

反比例函数的图像和性质3要用

反比例函数的图像及性质

26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的的综合运用

反比例函数及应用

高中数学-反比例函数的图像与性质

反比例函数的图像和性质的应用

反比例函数图象性质及应用复习课件

反比例函数的图像和性质应用ppt课件

反比例函数的性质与应用总结

反比例函数的图像与性质的常见应用

反比例函数的图像与性质

26.1.2 第2课时反比例函数的图象和性质的的综合运用