第9章 渐近法

STDU
STRUCTURAL
MECHANICS
第九章 渐近法
§９-1 概述
§９-2 力矩分配法基本原理
§９-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
§９-4 无剪力分配法 重点：力矩分配法基本原理 难点：无剪力分配法
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§９-1 概述
1、线性代数方程组的解法: 直接法 渐近法 2、结构力学的渐近法 力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出 的优点是每一步都有明确的物理意义。
3m
-8
20kN/m B
3m
30kN
C
2m
EI
EI
6m
D
a)
解： 200kN
A
3m
20kN/m B
3m
60KN .m 30kN
C C
2m
EI
EI
6m
D
b)
STDU
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F M CB 4iC 60kN .m
B
i
C
F C M BC 2iC 30kN .m
M B 150 90 30 90kN .m
BA BC A
0.571 0.429
M B 90kN .m
C 60 0 C -60 D
-150 -25.70 -175.70
150
-90
30 -51.39 -38.61 98.61 -98.61 98.61 B 162.85
60
60 10.70
M AD
M M A S AB S AC S AD S
A
Aj
S
A
S Aj
S AD M S
A
M Aj Aj M
分配系数
1
STDU
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三、传递系数
MAB = 4 iAB A
MBA = 2 iAB A
近端
A
A

3、不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。
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§９-2 力矩分配法基本原理
1930年由美国的Cross首先提出.
EI
结点约束力矩：
F M B M BC 30kN .m
F M C M CB 30kN .m
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2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB ，结点C仍 锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。 30 7.5 37.5 MC M B 30
（1）B点加约束
MAB=
200 6 150 kN m 8 MBA= 150 kN m
20 62 90 kN m MBC= 8 MB= MBA+ MBC= 60kN m
A
EI 6m 0.429
C
3m 0.571
150 -34.3 115.7
（2）放松结点B
C 0 0 SBA=4i SBC=3i
F
E
STDU
STRUCTURAL
MECHห้องสมุดไป่ตู้NICS 2kN/m 20 20kN20kN
例。用力矩分配法计 算，作M图。取EI=5
MB=31.25－20.83=10.42 MC=20.83－20－2.2=－1.37
C
固端弯矩为
ＭBA= 40kN· m ＭBC= - 41.7kN· m
ＭCB= 41.7kN· m
STDU 0.3 B 0.4 0.3 -41.7 -9.3 3.3 4.4
STRUCTURAL 0.445 -41.7 -18.5 2.2
MECHANICS
C 0.333
0.222 -9.3 -13.9
133.1
C
D
Q图（kN）
求支座反力
力矩分配法小结：
思考：结点Ｂ转动了多少次？ 每次转过的角度是多少？该结 点最终转过了多大角度？
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分 配法得到渐近解。
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2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算： 固端弯矩之和 （第一轮第一结点） 结点不平 衡力矩 固端弯矩之 （第一轮第二、 和加传递弯矩 三……结点） 传递弯矩 （其它轮次各结点） 总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和 传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点， 以加快收敛速度。
理论基础：位移法；
力矩分配法 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度
若使一个杆件的一端转过一个单位角度,在该端所 需要施加的外力矩称为该杆件在该端的转动刚度.
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转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上 等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加 的力矩。用符号S表示，见下面各图。
9
B
-8
STDU
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结点B分配力矩为：
M B 9kN .m
BA BC
BD
-8
A
0
0.231 0.462 0.307
9
2.08 11.08 0
8
D
3) 运算格式 见右图 4) 作弯矩图
11.08 A 5.24 B 4.16 4.69 6.46
4.16 4.16
2) 求固端弯矩
F BA
I (i) (2i) C
2m 2m
4m
结点B不平衡力矩为：
3 M 12 4 9kN .m 16 1 F M DB 6 16 8kN .m 12
M
F BD
1 6 16 8kN .m 12 10kN.m MB
M B 10 (9 8) 9kN .m
2.76 -5.24
1.38 9.38
0
C
9.38 D
C
M图（ kN.m ）
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5)讨论
若结点力矩为逆时针方向，则：
MB
10kN.m
B
M B 10 (9 8) 11kN .m M B 11kN .m 9
例 讨论悬臂端的处理。
200kN A
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四 单结点的力矩分配
B A
固端弯矩带本身符号
C MBA MB= MB MBC MBA+ MBC -MB
M BA
MAB
MBA
MB
MBC
=
A
MABF
MBAF
B
- MB
MBCF
C
+
0 C
M BC
A
M AB
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
结点C约束力矩变为
2.344kN .m MC
如此循环，可见结点的不平衡力矩会越来越小，连 续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越 来越趋近于精确解。
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i AB 1 6
iBC iCD 2 1 8 4 1 6
例.用力矩分配法列表计算图示连续梁。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆
长）及远端支承有关.
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SAB = 4i
二、分配系数 设A点有力矩M
D M A B
于是可得
SAB= 3i SAB= i 1
1
iAD
A
如用位移法求解： M 1 S AB M AB
A 7.5 B
15 15 C 7.5
D
37.5kN .m MC 结点C约束力矩变为： 3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C施加力 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。 矩 M C
9.375 MB
A
B -9.375
37.5 M C
C
D
-9.375
-18.75 -18.75
l
远端
B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
M BA 1 M AB
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面， 各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
M AB 4i AB A S AB A
iAB
iAC
C M MAD MAC MAB
M AC i AC A S AC A
M AD 3iAD A S AD A

S
A
M AC
S AC M S
A
m 0
A
M ( S AB S AC S AD ) A
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例题 作图示刚架 M 图。 解： 1）求分配系数
12kN A
10kN.m
B 2I
6kN/m I (i) D
4m
S BA 3i S BD 4i S BC 3 2i 6i BA 0.231 BC 0.462 BD 0.307
B -90
-25.7 -115.7
分配系数：
4i BA 0.571 4i 3i 3i BC 0.429 7i
分配力矩:
0.571 (60) 34.3 M BA
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
-60
175.70
A
C
D
M 图（ kN.m ）
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§9-3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 一、多结点力矩分配 60kN
A EI 4m
EI
B
2m
C 2m
EI 4m
D
1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。
M B 30 60kN M C 30
A EI B -30 EI C 30 D
B
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3
2.2 -1.5 -0.7
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
Mij -43.6
92.6 -92.6
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例.用力矩分配法计算下面的刚架
q=20kN/m A 1 B E 4m D 4m
3
1
C
1
分配系数为
BA 0.3 BC 0.4 0 .3 BE
4
F 5m
1
4m
2m
2
B
CB 0.445 CD 0.333 0.222 CF
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9.375kN .m 结点B新的约束力矩为 M B
4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施加力 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。 矩 M B 2.344 MC 9.375 M B
A 2.344 B 4.688 4.688 C 2.344 D
A
40 3.3
D
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9 1.65 0.07 1.72
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6 -4.65 -0.25 -4.90 43.5 46.9 3.45 1.7 4.89 M图 (k N m) 24.5 14.7 9.8
20kN/m A EI=1 6m B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 0.3 4.4 -0.7 0.4 EI=2 4m 4m 0.667 0.333 100 100kN C EI=1 6m
D
m -60
分 14.7 配 与 传 1.5 递 0.2
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
41.3
-41.3
0
1 0.667 CB 1 1 2 CD 0.333
STDU 43.6 A 51.8 A
STRUCTURAL
MECHANICS 41.3 C D M图（kN· m） 6.9
92.6 21.9
56.4 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 B
BC ( M B ) M BC
最后杆端弯矩：
MBA = MBAF+ M BA
MBC = MBCF+ M BC
MAB= MABP+ M AB
STDU
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例1. 用力矩分配法作图示 连续梁的弯矩图。
167.2 200kN 115.7 300 EI 3m A -150 -17.2 -167.2 B M图(kN· m) 20kN/m 90