大学物理-气体分子动理论

伽耳顿板实验中粒子落入的位置 掷色子出现的点数 气体分子的速率、动量、动能等
概率 对随机变量 M 进行抽样试验：
Ｍ Ｍ１ Ｍ２ Ｍ３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
Pi
lim
N
Ni N
M 取 M i 的概率。
( N = Δ N1 + Δ N2 + Δ N3 + … )
例 掷色子出现４的概率
自由度 ３ ５ ６
i kT
2
i →气体分子的自由度
总平均能量 ３kT/2 ５kT/2 3kT
三、理想气体的内能
E
理想气体分子动能之和
1 mol 理想气体的内能：
E N0
N0
i 2
kT
i RT 2
质量为 m 、摩尔质量为 M 的理想气体的内能：
E m i RT M2
理想气体的摩尔热容量
E m i RT M2
三、气体分子速率的三种统计平均值
平均速率
气体分子的速率 v 离散分布：
v
v１ v２ v３ … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
Nivi
v i N
气体分子的速率 v 连续分布：
dNv f (v)dv N
v
N vdNv
vf (v)dv
0N
0
对于理想气体:
f (v) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v2 / 2kT 2kT
abc
N i 1
vi2x
V
N
vi2x
i 1
p
V
N
vi2x
i 1
vx2
1 N
N
vi2x
i 1
其中 n N V
p
N
V
vx2
n vx2
1 3
n v 2
为气体分子数密度
1 v2
2
理想气体压强公式： p 2 n
3
§7.3 温度的微观本质
一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系
p nkT p 2 n
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
vx v１x v２x v３x … … vy v１y v２y v３y … … vz v１z v２z v３z … …
z viz vi
vix
viy
O
y
x
vx
N1v1x
N2v2x N
N3v3x
i
Nivix N
Nivix
vx i N
Niviy
vy i N
Niviz
vz i N
气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。
vx vy vz
气体分子速率平方的平均值
v v1 v2 v3 … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
v
2 x
v12x v22x
v32x … …
v
2 y
v12y v22y v32y … …
z viz vi vix
viy
O
y
v
2 z
刚性双原子分子的动能
分子动能
平动动能
t x
t y
t z
转动动能
r
r
t x
t y
t z
r
r
1 kT 2
t x
t y
t z
r
r
5 kT 2
温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子
平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分
理想气体分子的平均能量
分子模型 刚性单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子
kT
或
t x
t y
t z
1 kT 2
其中
t x
t y
t z
沿 x 方向运动的平均平动动能 沿 y 方向运动的平均平动动能 沿 z 方向运动的平均平动动能
处于平衡态的理想气体 （温度为 T ），气体分子在 每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2
原因： 碰撞
不同自由度上的能量相互转化
不同自由度上的能量平均化
6 个自由度
确定方向： ( )
y
y’
(x,Oy,’ z)
x’
z’
O
x
z
气体分子的自由度：
分子模型 刚性单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子
自由度 ３ ５ ６
二、能量按自由度均分原理
1 v2 3 kT
2
2
vx2
v
2 y
vz2
1 v2 3
1 2
vx2
1 2
v y2
1 2
vz2
1 2
O r0
r
r0
分子有效直径
引力
二、气体分子热运动服从统计规律
每个宏观点的气体分子数量巨大； 气体分子间距很大，除碰撞外， 分子间相互作用可忽略； 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的；
一秒内一个分子大约要发生几十亿次 ( 109 ) 碰撞 气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定；
气体分子热运动服从统计规律
Nivi2
v2 i N
dNv f (v)dv N
v2 N v2dNv v2 f (v)dv
0N
0
对于理想气体:
f (v) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v2 / 2kT 2kT
v2 v2 f (v)dv 0
4 (
)3/ 2 v4ev2 / 2kT dv
i
N
N
N
N
z viz vi vix
viy
O
y
x
即 v2 vx2 vy2 vz2
v2 vx2 vy2 vz2
气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向 运动的机会均等。
vx2
v
2 y
vz2
1 v2 3
z viz vi
vix
O
viy
y
x
气体分子平动动能的平均值
i
1 2
vi2
1 2
vi2
1 2
M lim N1M1 N2M 2
N
N
P1M1 P2M 2 PiMi
例
掷色子出现的点数的平均值
n 1 1 2 1 3 1 3.5 666
气体分子速率的平均值
建立三维直角坐标系 Oxyz
vi
(vix, viy , viz )
气体分子速率的平均值
v v1 v2 v3 … …
P4
1 6
小球出现在第３个小槽
P3
N3 N
S3 S
概率的归一化条件
Pi
lim
N
Ni N
( N = Δ N1 + Δ N2 + Δ N3 +… )
i
Pi
lim
N
N1 N
lim
N
N2 N
lim
N
N3 N
lim N1 N2 N3 1
N
N
Pi 1
i
平均值
Ｍ Ｍ１ Ｍ２ Ｍ３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
k
玻耳兹曼常数
速率在 v ~ v + dv 间的分子数占总分子数的比率：
dNv f (v)dv 4 ( )3/ 2 v2ev2 / 2kT dv
N
2kT
速率在 v1 ~ v2 间的分子 数占总分子数的比率：
Nv v2 f (v)dv
N
v1
归一化条件：
0 f (v)dv 1
dv
v1 v2
第7章 气体分子动理论
玻耳兹曼：奥地利物理学家，统计物理学的 奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳 兹曼分布定律 。在 1872年从非平衡态的分 子动力学得到 H 定理 ，这是经典分子动力 论的基础。1877年提出热力学第二定律与微 观几率态数 W 的关系以及熵的统计解释。 1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出 S＝k lnW 并证明了斯忒藩的实验结论 u ＝σT4 （斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式），掀开 了量子时代的帷幕。
统计规律 大量偶然事件在整体上表现出来的规律性
单个小球落入位置
偶然事件
少量小球按位置的分布
规律不明显
大量小球按位置的分布
确定的规律
伽尔顿板实验
随机试验： 在相同条件下可重复进行； 每次试验有多种可能结果； 试验结果事先不可预测； 不同试验之间无关联。
（随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。）
a
z
x
b
Δt 时间内与 A1 发生碰撞的次数：
t 2a vix
t 2a
vix
Δt 时间内分子 i 对 A1 的冲量：
t 2a
vix
2vix
t
a
vi2x
Δt 时间内所有分子对A1 的冲量：
I
N i 1
t
a
vi2x
t
a
N
vi2x
i 1
z
y
vix A1 c
x
O
b
a
F
p S A1
I t bc
3
3 kT
2
3p 3nkT 3 kT
2n 2n 2
理想气体的能量方程
温度的微观本质
二、道尔顿分压定律
混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。
证明： 混合气体的分子数密度
n n1 n2 n3
混合气体各组分温度相同
3 kT
2
混合气体的压强
1 2 3
p 2 n
3
2 3
E m i RT M2
m E M CV T
Cp
CV
R
i
2 2
R
CV
i 2
R
§7.5 麦克斯韦速率分布律
一、分布的概念
小槽宽度为 Δx 小球落入某个槽的概率：
Pi
Ni N
Si S
小槽宽度为 dx
小球落入某个槽的概率：
Px~ xdx
dNi N
dSi S
0
???
某一时刻理想气体分子的速率 v 的分布：
v
v１ v２ v３ … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
速率为 vi 的概率为：
Pi
Ni N
长时间“观测”理想气体分子的速率 v ：
v
0 ~ +∞ 连续分布
速率为 v → v + dv 的概率为：
Pv~vdv
dNv N
0
???
速率分布函数
Pv~vdv
dNv N
f (v)dv
f (v) dNv Ndv
飞机 3 ?
轮船（看作刚体）： 确定质心： (x, y) 确定方向： θ
3个自由度
y y’
海面
θ O’ (x, y) x’
O
x
细棒：
y
y’
确定质心： (x, y, z)
５个自由度
确定方位： (, )
(x, y,Oz)’
x’
z’
O
x
z
飞机（看作刚体）：
确定质心： (x, y, z)
确定转轴： (, )
v12z
v22z v32z … …
x
Nivi2x
vx2 i N
Nivi2y
v
2 y
i
N
Nivi2z
vz2 i N
vi2 vi2x vi2y vi2z
Nivi2 Nivi2x Nivi2y Nivi2z
i
i
i
i
Nivi2
Nivi2x
Nivi2y
Nivi2z
i
i
i
(n1
n2
n3
)
p 2 n
3
2 3
(n1
n2
n3
)
2 3
n11
2 3
n2 2
2 3
n3 3
p1 p2 p3
§7.4 能量按自由度均分原理
一、自由度的概念
确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。 下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？
质点 刚体
火车 1 1
轮船 2 ?
vi
(vix, viy , viz )
x, y, z 方向规律相同，压强相同
分析 x 方向
yviy vi vOiz
vixc x b
a
z
x 方向速度分量为 vix 的分子 i 与气体分子 j 碰撞，
互换
y
Pix
Pjx
由于气体分子是全同的，而
且每次碰撞是弹性碰撞，因此气
体分子间的碰撞对结果的影响可
忽略。
§7.1 气体分子动理论的基本概念
一、分子动理论的三个基本概念
宏观物体是不连续的，由大量微观粒子——分子（或 原子）所组成
物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度 与温度有关
布朗运动
分子间有相互作用力
r0 1010 m ( 平衡位置 )
f
斥力
r r0
分子力表现为引力
合力
r r0
分子力表现为斥力
Nivi2
i
N
z viz vi vix
viy
O
x
§7.２ 理想气体的压强
一、理想气体的微观模型
气体分子的性质相同，质量相等，相对于分子间距大
小可忽略不计；
Ep
Ep
Ep
O r0
r
O r0
r
O
r
一般物质分子
刚性小球模型
理想气体分子
除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在 相邻两次碰撞间作匀速直线运动； 所有的碰撞为完全弹性碰撞；
z
vix A1 c
x
O
b
a
可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞
x 方向速度分量为 vix 的分子 i 与 A1 碰撞，动量变化：
Pix vix (vix ) 2vix
y
对 A1 的冲量：
Iix Pix 2vix
vix A1 c
连续两次与 A1 发生碰撞的时间
O
间隔为：2a / vix
每个分子频繁地发生碰撞，速度也因此不断变化；
二、压强形成的微观解释
单个分子与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成，大小、位置具有 偶然性；
大量分子（整个气体系统）与器壁碰撞 气体作用在器壁上是一个持续的、不 变的压力；
压强是气体分子给容器壁冲量的 统计平均量
三、理想气体的压强公式
建立三维直角坐标系 Oxyz
Ludwig Boltzman (1844~1906)
热力学与统计物理学的异同
研究对象 物理量 出发点
方法
优点 缺点 二者关系
宏观理论
（热力学）
热现象
微观理论
（统计物理学）
热现象
宏观量
观察和实验
总结归纳 逻辑推理 普遍，可靠
微观量
微观粒子
统计平均方法 力学规律 揭露本质
不深刻
无法自我验证
热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质
意义： 速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的 比率
速率分布函数的实质是相对概率，或者称为概率密度；
速率分布函数的归一化条件
P
N dNv
f (v)dv 1
0N
0
二、麦克斯韦速率分布律
f (v) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v2 / 2kT 2kT
μ
分子质量
T
Baidu Nhomakorabea
热力学温度
v 0 vf (v)dv
4 (
)3/ 2 v3ev2 / 2kT dv
0
2kT
8kT
1.59
RT M
方均根速率
气体分子的速率 v 离散分布：
v v1 v2 v3 … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
v2
v12
v
2 2
v32 … …
气体分子的速率 v 连续分布：
Nivi2
v2 i N