计算方法6

1 h2 (3) f ′(x2 ) = { f (x0 ) − 4 f (x1) + 3 f (x2 )}+ f (ξ3) 2h 3
ξi ∈(x0, x2 )
i = 1,2,3
3.二阶三点公式 3.二阶三点公式
1 h2 (4) f ′′(x0 ) = 2 [ f (x0 ) − 2 f (x1) + f (x2 )] − hf (3) (ξ1) + f (ξ2 ) h 6
b
称为插值型求积公式。 称为插值型求积公式。 插值型求积公式
h 等份， 将[a，b]分为n等份， = (b − a) n，选取节点 xk = a + kh(k = 0,1,⋯, n)，作n次Lagrange插值多项式 作
∫
b
a
f (x)dx = ∫ Ln (x)dx + ∫ Rn (x)dx
a a n b
ξ1 ∈(xk , xk + h)
ξ2 ∈(xk − h, xk )
类似地，由 类似地，
h2 h3 f (xk + h) = f (xk ) + f ′(xk )h + f ′′(xk ) + f ′′′(ξ1) 2! 3 !
ξ1 ∈(xk , xk + h)
h2 h2 f (xk − h) = f (xk ) − f ′(xk )h + f ′′(xk ) − f ′′′(ξ2 ) 2! 3!
b b
b 1 (n+1) Rn[ f ] = ∫a f (ξ )ωn+1(x)dx (n +1)!
无关，只与节点有关。 显然系数 A与f(x)无关，只与节点有关。 k 系数 A 还可以进一步表示： k 还可以进一步表示：
∵xk = a + kh (k = 0,1,⋯, n) 令x=a+th即有 dx=hdt ，[a, b] ↔[0, n]
第六章 数值积分与数值微分
§6.0 §6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 数值积分概述 数值微分 Newton Cotes 公式 复化求积公式 Romberg求积法 Romberg求积法 Gauss型求积公式 Gauss型求积公式
6.0 §6.0 数值积分概述
由积分学基本定理知
∫
b
a
f (x)dx = F(b) − F(a)
b
b
b 1 = ∑[ f (xk )∫ lk (x)dx] + f (n+1) (ξ )ωn+1(x)dx a (n +1)! ∫a k =0
由Lagrange插值公式，可得 Lagrange插值公式， 插值公式
ωn+1(x) Ak = ∫ lk (x)dx = ∫ dx a a (x − x )ω′ (x ) k n+1 k
b 1 ( n+ ) 1 R [f ]= (ξ )ωn+1( x)dx n ∫a f (n +1 )!
称为Newton－Cotes公式的截断误差。 称为Newton－Cotes公式的截断误差。 Newton 公式的截断误差
=1时 当n=1时，
(−1) 1 (t −1) c = ∫0 (t −1)dt = (−1) × 2 1⋅1⋅0! !
, 在积分区间[a,b]上取一系列点 在积分区间[a,b]上取一系列点 xk (k = 0,1 2,⋯n)，设 [a,b]
a ≤ x0 < x1 < x2 < ⋯< xn ≤ b
用被积函数在这些点的函数值的线性组合作为积 分近似值 n b
I = ∫ f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) = In k
§6.1 数值微分
以离散数据 (xk , f (xk ))(k = 0,1,2,......n) 近似表 处的微分, 达 y = f (x) 在节点 xk 处的微分,通常称这类问题 为数值微分。 数值微分。
Taylor展开法 一、Taylor展开法 根据Taylor展开式可得 根据Taylor展开式可得 Taylor
a
b n
k =0
I = ∫ f (x)dx = ∑Ak f (xk ) + R[ f ] = In + R[ f ]
a k =0
称为求 , 称为求积公式的余项 求积公式的余项。 其中R[f]称为求积公式的余项。xk (k = 0,1 2,⋯n)称为求
A , 称为求积系数 求积系数。 积节点 。 k (k = 0,1 2,⋯n) 称为求积系数。Ak 仅与求 积节点 xk 的选取有关，而不依赖与被积函数f(x) 的选取有关， 的具体形式。 的具体形式。
ξ1,ξ2 ∈( x0, x1)
2.一阶三点公式 2.一阶三点公式
1 h2 (3) f ′(x0 ) = (−3 f (x0 ) + 4 f (x1 ) − f (x2 ) + f (ξ1 ) 2h 3 1 f (3) (ξ2 ) 2 f ′(x1) = {− f (x0 ) + f ( x2 )}− h 2h 6
这个公式特别称为柯特斯公式。 这个公式特别称为柯特斯公式。 柯特斯公式 =5,6,…时的柯特斯 类似地我们可以求出n=5,6, 时的柯特斯 系数，从而建立相应的求积公式。 系数，从而建立相应的求积公式。
二、求积公式的代数精确度
若某个求积公式对尽可能多的被积函数 都准确成立， 都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使 用价值。对此，有如下定义： 用价值。对此，有如下定义：
h2 f (xk + h) = f (xk ) + f ′(xk )h + f ′′(ξ1) ξ1 ∈(xk , xk + h) 2! h2 f (xk − h) = f (xk ) − f ′(xk )h + f ′′(ξ2 ) ξ2 ∈(xk − h, xk ) 2!
则有： 则有
f (xk + h) − f (xk ) h f ′(xk ) = − f ′′(ξ1) h 2 f ( xk ) − f ( xk − h) h + f ′′(ξ2 ) f ′( xk ) = h 2
ξ2 ∈(xk − h, xk )
可得下面的中点公式： 可得下面的中点公式：
中点公式： 中点公式：
f (xk + h) − f (xk − h) h2 f ′(Hale Waihona Puke Baiduk ) = − f ′′′(ξ3 ) 2h 6
ξ3 ∈(xk − h, xk + h)
展开到3阶可得： 展开到 阶可得： 阶可得
f (xk + h) − 2 f (xk ) + f (xk − h) h (4) f ′′(xk ) = − f (ξ4 ) 2 h 12
ξ ∈[x0 , xn ]
f (n+1) (ξ) ωn+1(x) d (n+1) ′ 得 ′(x) − p′ (x) = f ωn+1(x) + f (ξ) n (n +1)! (n +1)! dx
确定节点， 上的导数值， 确定节点， xk 上的导数值，有余项
f (ξ) ′ ′ f ′(xk ) − pn (xk ) = ωn+1(xk ) (n +1)!
定义： 定义：如果
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑Ak f (xk )
x − xk = (t − k)h
故ωn+1(x) = (x − x0 )⋯(x − xn ) = h t(t −1)⋯(t − n) ′ ωn+1(xk ) = (xk − x0 )⋯(xk − xk−1)( xk − xk+1)⋯(xk − xn )
n+1
= hnk( k −1 )⋯1⋅ ( −1 )( −2 )⋯( −( n − k ))
hn+1t(t −1)⋯(t − n) ⋅ hdt n n−k (t − k)h⋅ h k!(−1) (n − k)!
n−k
= (b− a)c
(n) k
故求积公式可写为
∫
c
b
a
f (x)dx ≈ (b − a)∑c f (x0 + kh)
k =0 (n) k
n
其中: 其中:
(n) 称为柯特斯系数 上式称Newton----Cotes公式。 柯特斯系数， Newton----Cotes公式 k 称为柯特斯系数，上式称Newton----Cotes公式。
1 c(2) = 4 c(2) = 1 c = 6 1 6 2 6
(2) 0
故有： 故有：
∫
b
a
1 4 a+b 1 f ( x )dx ≈ ( b − a )[ f ( a ) + f ( ) + f ( b )] 6 6 2 6
它称为辛浦生（Simpson）公式或抛物线公式。 它称为辛浦生（Simpson）公式或抛物线公式。 辛浦生
但应用中常碰到如下情况： 但应用中常碰到如下情况： f(x)的原函数无法用初等函数给出 ①f(x)的原函数无法用初等函数给出 ②f(x)用表格形式给出 f(x)用表格形式给出 虽然f(x)的原函数能用初等函数表示, f(x)的原函数能用初等函数表示 ③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂。 但表达式过于复杂。 这时积分与求导都必须使用数值的方法。 这时积分与求导都必须使用数值的方法。
= h k!(−1)
n
n−k
(n − k)!
故
Ak = ∫
n 0
(−1) h n = ∫0 t(t −1)⋯[t − (k −1)][t − (k +1)]⋯(t − n)dt k!(n − k)!
(−1)n−k n = (b − a) ∫0 t(t −1)⋯(t − k +1)(t − k −1)⋯(t − n)dt nk!(n − k)!
i = 1,2,3,4,5
Remark1：在数值微分计算中， Remark1：在数值微分计算中，并非步长越小精度 越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感， 越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感， 它随步长h的缩小而增大，导致计算不稳定。 它随步长h的缩小而增大，导致计算不稳定。 Remark2：在数值微分计算中， Remark2：在数值微分计算中，当插值多项式收敛 到函数f(x)时，P′n（x）不一定收敛到f ′(x)。 Remark3：为了避免上述问题， Remark3：为了避免上述问题，可以用样条插值函 的导函数。 数的导函数来代替f(x)的导函数。
(n+1)
为讨论方便，假定所给节点是等距的。 为讨论方便，假定所给节点是等距的。 1.一阶两点公式 1.一阶两点公式
1 hf ′′(ξ1) ′ f (x0 ) = [ f (x1) − f ( x0 )] − h 2! f ′(x1) = 1 [ f (x1) − f (x0 )] + h f ′′(ξ2 ) h 2
(1) 0 1−0 21
1 = 2 0
(−1)1−1 1 1 21 1 (1) c1 = ∫0 tdt = 2 t 0 = 2 1⋅1⋅0! !
∫
b
a
(b − a) f ( x)dx ≈ [ f (a) + f (b)] 2
该公式称为梯形公式。 该公式称为梯形公式。 梯形公式
n=2可计算得到 =2可计算 可计算得到
Newton—Cotes公式为 Newton Cotes公式为 Cotes b 7 32 dx （ [ ∫a f（x） ≈ b − a） f (x0 ) + 90 f (x1) 90 12 32 7 + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 )] 90 90 90
n=4
x 其中， 其中， k = a0 + kh (k = 0,1,⋯,4)
§6.2 Newton Cotes 公式
Cotes求积公式 一、.Newton—Cotes求积公式 .Newton Cotes
常用的构造数值求积公式的一种方法是利用插 值多项式Pn(x)来构造求积公式
n
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∫ P ( x)dx = ∑A f ( xk ) n k
a k =0
1 h2 (4) f ′′(x1) = 2 [ f (x0 ) − 2 f (x1) + f (x2 )] − f (ξ3) h 12 1 h2 (4) f ′′(x2 ) = 2 [ f (x1) − 2 f (x1) + f (x2 ) + hf (3) (ξ4 ) − f (ξ5)] h 6
ξi ∈(x0, x2 )
2
ξ4 ∈(xk − h, xk + h)
插值函数 函数法 二、插值函数法 给出列表函数 y = f (x) ，可建立插值多 的近似函数， 项式 pn (x) ，取 p'n (x) 作为 f ′(x) 的近似函数， ′ f ′(x) ≈插值型求导公式。 pn (x), 则称为 插值型求导公式。
f (n+1) (ξ) 由 (x) = pn (x) + f ωn+1 (x) (n +1)!