山西省怀仁县第一中学2016届高三第一次月考数学(理)试题 扫描版含答案
怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 含答案
怀仁一中2015-2016学年第二学期高二年级月考一理科数学试题一、选择题(每小题5分，共60分）1.设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β"是“//αβ”的( ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2。
若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则yx 的最大值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．3 3。
设命题2:,2n P n N n∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=5。
已知抛物线22(0)y p p ω=>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ )A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)6.已知函数()ln ,(0,)f x a x x =∈+∞,其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若(1)3f '=，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ )A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+8.已知,A B 是球O 的球面上两点，090AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π9.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线,切点为E ，延长FE 交抛物线24ycx =于点,P O 为原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ） A ．152+B ．132+C ．4227- D ．4227+ 10.若直线1l 和2l 是异面直线,1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ )A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交 B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．B ．l 与1l ,2l 都不相交11.已知1,,AB AC AB AC t t⊥==,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且4AB AC AP ABAC=+,则PB PC 的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．2112.如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A． B．+ C．+ D．二、填空题（每题5分，共20分）13.已知矩形ABCD 中3,AB BC a ==，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时,a 的取值范围是_________．14。
怀仁县第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
（理科）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
由曲线|1|y x =-与22(1)4x y -+=所围成较小扇形的面积是（）A ．4π B ．34π C ．π D ．32π 2.两条相交直线的平行投影是（ ）A ．两条相交直线B ．一条直线C ．两条平行直线D ．两条相交直线或一条直线3。
已知直线(2)40b x ay +++=与直线(2)30ax b y +--=互相平行，则点(,)a b 在( ） A ．圆221a b +=上 B ．圆222ab +=上C ．圆224ab +=上D ．圆228a b +=上4。
已知直线l 过点(3,4)P 且与点(2,2)A -，(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为( ）A ．23180x y +-=B ．220x y --=C 。
32180x y -+=或220x y ++=D ．23180x y +-=或220x y --=5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于（ ) A ．1222+B ．212+C. 12+ D ．226.已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2,在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+=(）A ．73- B ．73C 。
57D ．17。
一圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径( ） A ．3B ．22 C. 23D ．438.函数sin cos y a x b x =-的一条对称轴为4x π=，则直线0ax by c -+=的倾斜角为（ ) A ．45B ．60C 。
120D ．1359.以下命题（其中a b ，表示直线,a 表示平面)： ①//a b ，b α⊂，则//a α;②若//a α，b α⊂,则//a b ;③若//a b ，//b α，则//a α;其中正确命题的个数是( ） A ．0个 B ．1个 C. 2个 D ．3个10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．83π C.43 D ．163π11。
2015-2016学年山西省怀仁县第一中学高一下学期第一次月考数学(理)试题(word)
2015-2016学年山西省怀仁县第一中学高一下学期第一次月考数学（理）试题(word)一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有真子集的个数为（ ） A ．32 B ．31 C ．30 D ．以上都不对2.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x <的解集为（ ）A ．{}303x x x -<<>或 B ．{}303x x x <-<<或 C ．{}33x x x <->或 D ．{}3003x x x -<<<<或4.在同一坐标系中，函数()(0)af x x x =>，()log a g x x =的图象可能是（ ）A B C D A ．答案A B ．答案B C ．答案C D ．答案D5.已知函数29,1()lg ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，32()(())f x f f x =，……，则2014(10)f =（ ）A．lg109B．2 C．1 D．106.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．8 B．18 C．26 D．807.甲、乙两名学生六次数学测验成绩（百分制）如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是（）A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③8.已知(,0)2πα∈-，3sin()25απ--=sin()πα--=（ ）A ．5 B ．5 C ．5- D ．5- 9.设11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线（如下图），以下结论中正确的是（ ）A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(,)x y10.已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧⎫--<=⎨⎬-≥⎩⎭，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[8,)-+∞B ．[4,)-+∞C ．[]4,0-D ．(0,)+∞11.已知函数()xf x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(1,0)-D ．(,1)-∞-12.已知()21xf x =-，2()1g x x =-，规定：当()()f x g x ≥时，()()h x f x =；当()()f x g x <时，()()h x g x =-，则()h x （ ）A ．有最小值-1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值-1，无最大值D ．有最大值-1，无最小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m.14.阅读下边程序框图，如果输出的函数值在区间11,93⎛⎫⎪⎝⎭内，那么输入实数x的取值范围是-_____.15.一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是_____.16.通过模拟试验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754 如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知关于x的方程221)0x x m-+=的两根为sinθ和cosθ，(0,2)θπ∈，求：（1）sin cos11tan1tanθθθθ+--的值：（2）m的值：（3）方程的两根及θ的值.18.已知函数ty xx=+有如下性质：如果常数0t>，那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数.（1）已知24123()21x xf xx--=+，[]0,1x∈，利用上述性质，求函数()f x的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x和函数()2g x x a=--，若对任意[]10,1x∈，总存在[]20,1x∈，使得21()()g x f x=成立，求实数a的值.19.我国西部某省4A级景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x与第x天近似地满足8()8f xx=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x近似地满足()14322g x x=--（元）.（1）求该村的第x天的旅游收入()p x（单位千元，130x≤≤，*x N∈）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？20.某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：已知：721280ii x==∑，72145309i i y ==∑，713487i i i x y ==∑.参考公式：回归直线的方程是：^^^y b x a =+，其中^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.（1）求x ，y ； （2）画出散点图；（3）求获纯利润y 与每天销售件数x 之间的线性回归方程.21.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…[]90,100后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.22. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5,其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； （2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率.高一年级第一次月考理科数学参考答案一、选择题：1-5 BDBDD 6-10 CADDB 11-12 BC二、填空题：13. 5, 3.6 14. (1,2) 15.12716. 25% 三、解答题17.【答案】（1（2）1x =212x = 3πθ=或6πθ=.【解析】因为已知方程有两根，所以sin cos sin cos ,2480.m m θθθθ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪∆=+≥⎪⎩①②③（1）2222sin cos sin cos sin cos 1sin cos 11tan sin cos cos sin sin cos 21tan θθθθθθθθθθθθθθθ-+=+==+=-----由③，得m ≤，所以m =.（3）因为2m =，所以原方程为221)02x x -+=.解得1x =，212x =，所以sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又因为(0,2)x π∈，所以3πθ=或6πθ=.18. 【答案】（1）24123()21x x y f x x --==+421821x x =++-+， 设21u x =+，[]0,1x ∈，13u ≤≤， 则48y u u=+-，[]1,3u ∈. 由已知性质得，当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减，所以减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增， 所以增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；由(0)3f =-，1()42f =-，11(1)3f =-， 得()f x 的值域为[]4,3--.（2）因为()2g x x a =--为减函数， 故[]()12,2g x a a ∈---，[]0,1x ∈.由题意，得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，所以12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩，所以32a =.19.【答案】（1）依题意有()()()p x f x g x =∙*8(8)(14322)(130,)x x x N x=+--≤≤∈**9688976,(122,)132081312,(2230,)x x x N x x x x N x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩（2）①当122x ≤≤，*x N ∈时，968()89769761152p x x x =++≥=（当且仅当11x =时，等号成立） ∴()(11)1152mm p x p ==（千元） ②当*2230,x x N <≤∈时，1320()81312p x x x=-++， 考察函数13208y x x =-+，可知函数13208y x x =-+在(]22,30上单调递减，∴()(30)1116mm p x p ==（千元）， 又1152>1116，∴日最抵收入为1116千元.该村两年可收回的投资资金为111620%5%301228035.2⨯⨯⨯⨯⨯=（千元）803.52=（万元）.∵803.52（万元）>800（万元）， ∴该村在两年内能收回全部投资成本. 20.【答案】（1）345678967x ++++++==，6669738189909179.867y ++++++==（2）散点图如下图所示.（3）由散点图知，y 与x 有线性相关关系，设线性回归方程为 y bx a =+，∵721280ii x==∑，72145309i i y ==∑713487iii x y==∑，6x =，79.86y =，∴5593487761337 4.7528073628b -⨯⨯===-⨯，79.866 4.7551.36a =-⨯=，∴线性回归方程为 4.7551.36y x =+. 21.解：（1）0.03a = （2）6400.85544⨯=（3）：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B . 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为,,,C D E F .若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(,)A B ,(,)A C ,(,)A D ,(,)A E ,(,)A F ,(,)B C ,(,)B D ,(,)B E ,(,)B F ,(,)C D ,(,)C E ,(,)C F ,(,)D E ,(,)D F ,(,)E F 共15种. 如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10n为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(,)A B ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共7种. 所以所求概率为7()15P M =. 22.【答案】（1）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）.由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型.用1A 与2A 互斥，并且12A A 表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，1A 的结果有12种，2A 的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得12121227()()()0.7202010P A A P A P A =+=+== ，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.（2）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型. 用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率51()0.2255P A ===.。
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题及解析一、选择题1．已知集合{}2120x x x A =-->，{}x x m B =≥．若{}4x x A B => ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,3-B ．[]3,4-C ．()3,4-D ．(],4-∞ 【答案】B【解析】试题分析：集合{}34x x x A =<->或， {}4x x A B => ，∴34m -≤≤，故选B ．【考点】集合的运算．2．设向量()6,a x = ，()2,2b =- ，且()a b b -⊥，则x 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2- 【答案】C【解析】试题分析：由()a b b -⊥ 得()0a b b -⋅=，即420x -=，解得2x =，故选C ．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．3．已知在等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，115n a -=，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】D【解析】试题分析：()1122515n a a n d n -=+-=-=，得10n =，故选D ． 【考点】等差数列的通项公式．4．已知()cos 3mπθ-=（0m <），且2cos 12cos 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】试题分析： ()cos 3mπθ-=（0m <），∴1co s 0θ-<<，由2c o s 12c o s 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得sincos 0θθ<，∴sin 0θ>，则θ是第二象限角，故选B ．【考点】诱导公式，倍角公式，根据角的三角函数值的符号判断角所属的象限． 5．若()3241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】试题分析：由()222111322x a dx x ax a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，3344011cos 2sin 222xdx x ππ==-⎰，所以3122a -=-，解得2a =，故选C ．【考点】定积分．6．在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则sin B 等于（ ） A．34 C．13【答案】A【解析】试题分析：若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则222122b a ac a =+=， ∴2222233cos 244a c b a ac a +-B ===，又()0,πB∈，则sin 4B =，故选A ． 【考点】正弦定理，余弦定理，已知三角函数值求角． 7．已知函数()2sin sin 3f x x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，其中()0,ϕπ∈，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到【答案】C【解析】试题分析：由已知得函数()f x 为奇函数，又由()0,ϕπ∈得6πϕ=，∴()sin 2f x x =，()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得函数()g x 的图象，故选C ．【考点】诱导公式，函数的奇偶性，函数图像的平移变换．8．已知命题:p []1,2x ∀∈-，函数()2f x x x =-的值大于0．若p q ∨是真命题，则命题q 可以是（ ） A ．()1,1x ∃∈-，使得1cos 2x <B ．“30m -<<”是“函数()2log f x x x m =++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有零点”的必要不充分条件 C ．6x π=是曲线()2cos2f x x x =+的一条对称轴D ．若()0,2x ∈，则在曲线()()2xf x ex =-上任意一点处的切线的斜率不小于1e -【答案】C 【解析】试题分析：可判断命题p 是假命题，若p q ∨是真命题，则命题q 为真命题．A ，B ，D 均不正确．()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则6x π=是曲线()f x 的一条对称轴，故选C ．【考点】复合命题真值表，函数的综合问题．【方法点睛】该题考查的知识点比较多，首先根据题中所给的条件，判断出命题p 是假命题，再结合p q ∨是真命题从而断定命题q 是真命题，下边关于命题q 所涉及的知识点比较多，需要逐个去分析，A 项需要对余弦函数的性质要熟练掌握，B 项利用函数零点存在性定理即可解决，C 项将函数解析式化简，利用其性质求得，D 项利用导数的几何意义，求导函数的值域即可，所以对学生的要求标准比较高．9．设函数()11,1121,1x x f x x x ⎧+-≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式()()26f x f x ->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．()3,2- C．(- D．()2 【答案】D【解析】试题分析：易证得函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．当1x <时，得261x ->⇒x <则1x <<；当1x ≥时，得26x x ->⇒32x -<<，则12x ≤<．综上得不等式的解集为()2，故选D ． 【考点】分段函数的有关问题．10．公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ⋅⋅⋅构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则下列项中是数列{}n k a 中的项是（ ）A ．86aB ．84aC ．24aD ．20a 【答案】A【解析】试题分析：设数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 1a ，2a ，6a 成等比数列，∴()()21115a a d a d +=+，得13d a =，∴11k a a =，214k a a =，则()11141n n k n a a a k d -=⋅=+-，即1324n n k --=．当4n =时，22n k =；当5n =时，86n k =．故选A ．【考点】等差等比数列．11．若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b = ，且当12t =-时，b ta - （R t ∈）c 满足()()c b c a -⊥- ，则当()c a b ⋅+ 取最大值时，c b - 等于（ ）A．．．52【答案】A【解析】试题分析： 向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ． 2b =，12b a += ∴2a = ，a与b 夹角为120． ()()c a c b -⊥- ，∴c 的终点在如图所示的圆O 上，c =AO +OB，2a b +=AO ，∴当OB 与AO 共线时， ()c a b ⋅+取最大值，此时c b -==A ．【考点】数形结合思想的应用，向量垂直的条件，向量的模．【易错点睛】该题考查的是求向量模的大小的问题，属于高档题目，做起来较难，在解题的过程中，注意对题的条件的活用，一是两个向量垂直的条件的转换，注意其数量积等于零的应用，二是要注意什么情况下模取最值，取最小值时对应的是有关向量垂直，关于向量数量积在什么情况下取得最大值，从而得到相应的结果，注意对题中条件的等价转化．12．已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x x f x'+>，则实数b 的取值范围是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞ D．(-∞ 【答案】B【解析】试题分析：()()0f x xf x '+>⇒()0xf x '>⎡⎤⎣⎦，设()()()2ln g x xf x x x b ==+-，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则函数()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得()0g x '>成立，()()212212x bx g x x b x x -+'=+-=，设()2221h x x b x=-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B ．【考点】导数的应用．【思路点睛】该题考查的是与构造新函数有关的问题，属于较难题目，在解题的过程中，需要紧紧抓住导数的应用，相当于()0f x '>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，最后将问题转化为不等式22210x bx -+>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设()2221h x x bx =-+，结合二次函数的性质，可知只要()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭即可，将2和12分别代入，求得结果，取并集得答案． 二、填空题13．若5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()22sin 2cos sin cos x x f x x x -=的最小值为 ． 【答案】1-【解析】试题分析： ()222sin 2cos tan 22tan sin cos tan tan x x x f x x x x x x--===-在5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当4x π=时，函数()f x 取最小值1-． 【考点】同角三角函数关系式，函数的单调性，函数的最值．14．在C ∆AB 中，点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，当Cx y AO =AB+A时，则x y -= ． 【答案】2-【解析】试题分析： 点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，∴1C C 2O =B ，则C C AO =A +O()1113C C C C C 2222=A +B =A +A -AB =-AB +A，∴2x y -=-．【考点】平面向量基本定理．15．若不等式32l o g 0a x x x -≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，则实数a 的最小值为 ． 【答案】14【解析】试题分析：32log 0a x x x -≤，即()22l o ga x x x -≤，由题意得22log a x x ≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，即当0,2x ⎛∈ ⎝⎦时，函数2y x =的图象不在2log a y x =图象的上方，由图知01a <<且12log 2a≥，解得114a ≤<．【考点】数形结合思想的应用，恒成立问题的转化．【方法点睛】该题目考查的是有关恒成立问题，属于中档题目，在解题的过程中，首先将不等式32log 0a x x x -≤做等价变形，等价于22log a x x ≤在x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，结合函数的图像，从而将参数的大体上的范围先确定，之后再找某个对应的边界值即可，最后找到结果12log 22a≥，结合大前提，从而求得答案． 16．数列{}log k n a 是首项为4，公差为2的等差数列，其中0k >，且1k ≠．设lg n n n c a a =，若{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为 ．【答案】()1,⎛+∞ ⎝⎭【解析】试题分析：由题意得log 22k n a n =+，则22n n a k+=，∴()2122122n n n n a k k a k++++==，即数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．()22lg 22lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切n *∈N 恒成立，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立．当1k >时，lg 0k >()212n n k +<+对一切n *∈N 恒成立；当01k <<时，lg 0k <，()212n n k +>+对一切n *∈N 恒成立，只需2min12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭，11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，∴223k <，且01k <<，∴0k <<．综上，()1,k ⎛∈+∞ ⎝⎭． 【考点】数列与函数的综合问题．【思路点睛】该题是以数列为载体，考查求参数的取值范围的问题，属于较难题目，在解题的过程中，首先需要根据题意，将数列{}log k n a 的通项公式求出，结合指对式的互化，求得22n n a k +=，进一步求得数列{}n c 的通项，由题意可知数列{}n c 是递减数列即可，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立，下一步需要分1k >和01k <<两种情况，从而求得最后的结果．三、解答题17．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin C c = （1）若24sin C sin c =B ，求C ∆AB 的面积；（2）若2C 4AB⋅B +AB = ，求a 的最小值．【答案】（1（2）【解析】试题分析：该题考查的是有关解三角形的问题，属于简单的题目，在解题的过程中，首先根据已知条件，利用正弦定理求得3πA =，第一问根据题中所给的条件，利用正弦定理，求得4bc =，利用三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问根据题中所给的条件，利用向量数量积的定义式，求得8bc =，结合余弦定理，利用基本不等式求得结果．试题解析：由条件结合正弦定理得：sin C sin c a==A，从而sin A =A ，tan A ， 0π<A <，∴3πA =．（1）由正弦定理得：24sin C sin c =B ⇒4bc =，∴C 1sin 2S bc ∆AB =A =（2）2C C cos604cb AB⋅B +AB =AB⋅A ==⇒8bc =．又2222cos6028a b c bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c ==∴min a =【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积，向量数量积的定义式，基本不等式． 【思路点睛】该题属于三角和向量的综合题，属于较简单的题目，在解题的过程中，注意从大前提所给的条件中，利用正弦定理得出3πA =，第一问中根据正弦定理求得4bc =，结合三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问应用向量的数量积的定义式，求得8bc =，再结合3πA =利用余弦定理，再利用基本不等式求得结果，注意基本不等式中等号成立的条件就行．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-（n *∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列(){}9log 4n b -的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=⋅ （2）()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【解析】试题分析：该题考查的是有关等比数列的问题，属于中档题目，在解题的过程中，第一问根据数列的项与和的关系，整理得出当2n ≥时，13n n a a -=， 从而得到数列是{}n a 等比数列，令1n =，求得数列的首项，从而得到数列的通项公式，第二问将第一问所求的通项公式代入，得到数列{}n b 的递推公式，利用累加法求得数列{}n b 的通项公式，得到134n n b -=+，从而有()91log 42n n b --=，利用等差数列的求和公式得到所求的结果．试题解析：（1）当1n =时，11312a a =-，∴12a =， 当2n ≥时， 312n n S a =-①，11312n n S a --=-②①-②得：1331122n n n a a a -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，∴123n n a -=⋅．（2） 1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅，则13223b b =+⋅，02123b b =+⋅，相加得()12111132333523413n n n n b b ----=+⋅+⋅⋅⋅++=+⋅=+-，当1n =时，111345b -+==，∴134n n b -=+．()91log 42n n b --=，∴()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【考点】数列的项与和的关系，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，等差数列的求和公式． 19．某市政府欲在如图所示的矩形CD AB 的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形R OP E （线段EO 和R P 为两条底边），已知2AB =km ，C 6B =km ，F 4AE =B =km ，其中曲线F A 是以A 为顶点、D A 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积； （2）求该公园的最大面积．【答案】（1）283km（2）10427【解析】试题分析：第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程2y ax =（0a >），由已知可知()F 2,4在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得1a =，从而确定出抛物线的方程，再利用定积分求得对应图形的面积；第二问根据题意，确定好点E 和C 的坐标，从而确定出C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于x 的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果．试题解析：（1）以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设曲线FA 所在抛物线的方程为2y ax =（0a >），抛物线过()F 2,4，∴242a =⨯，得1a =，∴F A 所在抛物线的方程为2y x =，∴曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积2223001833S x dx x ===⎰2km ．（2）又()0,4E ，()C 2,6，则C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），则x PO =，24x OE =-，2R 4x x P =+-，∴公园的面积()22321144422S x x x x x x x =-++-⋅=-++（02x <<），∴234S x x '=-++，令0S '=，得43x =或1x =-（舍去负值），'当43x =时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427． 【考点】抛物线的方程的求解，定积分求面积，导数的应用．【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，利用定积分求得对应的图形的面积，第二问将图形的面积表示为关于x 的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果．20．已知数列{}n a ，12a =，当2n ≥时，11232n n n a a --=+⋅． （1）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭及数列{}n a 的通项公式； （2）令232n n n c a =-⋅，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）()12231nn n n a b n -==-（2）()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-【解析】试题分析：第一问将题中所给的式子变形可以得到当2n ≥时，113222n n n n a a --=+，从而得到数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式，求得结果，进一步求得数列{}n a 的通项公式，第二问将第一问的结果代入，求得数列{}n c 的通项公式，求得2322n n n c n +=⨯⨯-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式以及错位相减法，将结果求出．试题解析：（1） 当2n ≥时，113222n n n n a a --=+； 令2n n n a b =，则数列{}nb 是以首项11b =，公差为32的等差数列，312n n b -=； ∴()12231n n n n a b n -==-．（2） 2322n n n c n +=⨯⨯-∴()()223212224222n n n n T =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-++⋅⋅⋅+，记221222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，则231221222n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②， ①-②得：()21121222212n n n n S n n ++-=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=--，∴()1212n n S n +=-+．故()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-．【考点】数列的递推公式，通项公式，求和方法．21．已知函数()()2sin 2f x x x=+-． （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()()21124g x f x f x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】（1）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先将函数解析式展开，用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式得()2sin(2)6f x x π=+，再求出函数本身的单调增区间，再给k 赋上相应的值，结合题中所给的研究的区间，从而求得函数的增区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第二问将函数解析式确定，利用公式化简得213()2[cos(2)]622g x x π=-+++，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得整体角52[,]666x πππ+∈-，根据余弦函数的性质，求得cos(2)[6x π+∈，利用二次函数的性质求得函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：()22sin cos 3cos 2f x x x x x =++-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ （1）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，解得222233k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，即36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）()()22112sin 22cos 212466g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22cos 22cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2132cos 2622x π⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 26x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 当1cos 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()g x 取最大值32；当c o s 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()g x 取最小值3-．∴函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【考点】倍角公式，辅助角公式，函数在某个区间上的单调性，函数在某个区间上的值域．22．设函数()()ln 1f x m x m x =+-．（1）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围；（2）当1m =时，试问方程()2x x xf x e e -=-是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【答案】（1）,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）方程()2x x xf x e e -=-没有实数根，理由见解析． 【解析】试题分析：第一问先确定函数的定义域，对函数求导，对参数m 的取值进行讨论，当函数在定义域上是单调函数时，函数没有最大值，当01m <<时，求得函数的单调增区间和减区间，从而确定好函数的最值点，将自变量代入函数解析式，求得函数值，令其大于零，解得1e m e>+，结合大前提，从而求得结果，第二问将1m =代入上式，变形可得2ln x x x x e e =-，利用导数研究函数的性质，可知1(ln )x x e≥-，21x x e e e -≤-恒成立，但是最值点不是同一个，从而得到相应的方程没有实根．试题解析：（1）()()ln 1f x m x m x =+-的定义域为()0,+∞，()()11m x m m f x m x x-+'=+-=． 当0m ≤或1m ≥时，()f x 在区间()0,+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭内单调递增，在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭内单调递减， 所以当01m <<时，函数()f x 有最大值． 最大值ln 11m m f m m m m ⎛⎫M ==- ⎪--⎝⎭． 因为0M >，所以有ln01m m m m ->-，解之得1e m e >+． 所以m 的取值范围是,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． （2）当1m =时，方程可化为2ln x x x x e e -=-，即2ln x x x x e e =-， 设()ln h x x x =，则()1ln h x x '=+， ∴10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，∴()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， ∴()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设()2x x g x e e =-，则()1x x g x e-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()1,+∞上单调递减；∴()()max 11g x g e ==-． 11e≠，∴数形结合可得()()h x g x >在区间()1,+∞上恒成立， ∴方程()2x x xf x e e-=-没有实数根． 【考点】导数的综合应用．。
山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(理)试题(word版含答案)
怀仁一中2016-2017学年度第二学期高一年级期中考试（理科）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列符号判断正确的是（ ）A ．sin 40>B ．()cos 30->C ． tan 40>D ．()tan 30-<2. 设向量,a b满足11,2a b a b ==⋅=- ，则2a b += （ ）A3. 已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c === ，若λ为实数，()a b c λ+，则λ=（ ）A ． 2B ． 1C ．12 D ． 144. 在ABC ∆中，,AB c AC b ==，若点D 满足2BD DC = ，则AD = （ ）A ．2133b c +B ．5233c b - C. 2133b c - D ．1233b c +5.ABC 中，设,,AB c BC a CA b === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅等于（ ）A ． 0B ．1 C. 3 D ．-36. 要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度7. 已知1sin cos 5αα+=，且22ππα-≤≤，那么tan α等于（ ）A ．43-B ．34- C. 34 D ．438. 已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12A B A C A B A C⋅=，则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形 C. 等腰三角形 D ．三边均不相等的三角形 9. 函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是（ ） A ．()33,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．()5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. ()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10. 已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，x R ∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．23π C. π D ．2π11. 2cos10sin 20sin 70︒-︒︒的值是（ ）A ．12B ．212. 已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A ．2 B ．2 C.2- D ．2- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan 2α=，则1sin 2α= ．14.已知直角梯形ABCD 中，,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒== 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．15.已知向量AB 与AC的夹角为120︒，且32AB AC == ，，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥则实数λ的值为 ．16.如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是 ．①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 ②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设两个非零向量a 与b不共线.（1）若(),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=-，求证：,,A B D 三点共线（2）试确定实数k ，使ka b + 和a kb +反向共线.18.已知向量)1cos ,,,cos 2,2a x b x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭ ，设函数()f x a b =⋅. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期. （Ⅱ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 19. 已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n == ，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点12π⎛⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y f x =图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.20. 已知函数()()22sin 21,04f x x x πωωω⎛⎫=+->⎪⎝⎭的最小正周期为23π. （1）求ω的值；（2）若不等式()2f x m -<在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.21. 函数()()26cos3,02xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若()05f x =，且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值. 22. 已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求a b ⋅ 及a b +；（2）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求正实数λ的值.试卷答案一、选择题1-5: CBCAD 6-10: BBACC 11、12：DA二、填空题13. 14. 5 15. 16.④三、解答题17.（1）∵(),28,3-AB a b BC a b CD a b =+=+=，∴()283-BD BC CD a b a b =+=++= ()283-355a b a b a b AB ++=+=.∴,AB BD共线，又它们有公共点B ，∴,,A B D 三点共线.（2）解答：∵ka b + 与a kb +反向共线，∴存在实数()0λλ<，使()ka b a kb λ+=+ ，即ka b a kb λλ+=+，∴.()()1k a k b λλ-=- .∵,a b是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ< ∴1k =-18.解：()1cos cos 22f x a b x x x =⋅=- 12cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.最小正周期22T ππ==，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为π. （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由标准函数sin y x =在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像知，()1sin 2,,16622f x x f f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为1，12-. 19.解：（1）由题意知，()sin 2cos2f x m x n x =+.因为()y f x =的图像过点12π⎛⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,66442msin cos ,33m n n ππππ=+⎨⎪-=+⎪⎩，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩解得1m n ==. （2）由（1）知()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 由题意知，()()2sin 226g x f x x πϕϕ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭. 设()y g x =的图像上符合题意的最高点为()0,2x ， 由题意知，2011x +=，所以00x =， 即到点（0,3）的距离为1的最高点为（0,2）， 将其代入()y g x =得，sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0ϕπ<<，所以6πϕ=， 因此，()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，所以函数()y g x =的单调递增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦. 20.（Ⅰ）()2=2sin 21cos 2242f x x x x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 222sin 203x x x πωωωω⎛⎫==-> ⎪⎝⎭∵()f x 的最小正周期为23π，∴2223ππω=，∴32ω=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()=2sin 33f x x π⎛⎫-⎪⎝⎭， 当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有73,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-∴若不等式()2f x m -<在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则有()22f x m -<-<，即()()22f x m f x -<<+在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()()()()maxmin 22f x m f x -<<+，()()max min 22f x m f x -<<+∴01m <<. 21.解：（Ⅰ）由已知可得，()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 又正三角形ABC的高为4BC =， 所以函数()f x 的周期428T =⨯=，即28,4ππωω==，函数()f x的值域为(-. （Ⅱ）因为()0f x =，由（Ⅰ）有 ()0043x f x ωπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即04sin 435x ωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，知0,4322x ωπππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以03cos 435x ωπ⎛⎫+==⎪⎝⎭， 故()001443x f x ωππ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭0434x ωππ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00sin cos cos sin 434434x x ωωππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦4355=+=⎭22.解：（1）33cos cos sin sin cos 22222x x a b x x x ⋅=-=∵33cos cos ,sin sin 2222x x a b x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ ，∴22233cos cos sin sin 2222x x a b x x ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322cos cos sin sin 2222x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222cos24cos x x =+=.∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2cos 0x ≥，因此2cos a b x += . （2）由（1）知()2=cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ-=--，∴()()[]22=2cos 12,cos 0,1f x x x λλ---∈，①当01λ<<时，当cos x λ=时，()f x 有最小值23122λ--=-，解得12λ=.②当1λ≥时，当cos 1x =时，()f x 有最小值3142λ-=-， 58λ=（舍去），综上可得12λ=.。
2016年山西省朔州市怀仁一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]2．（5分）设向量，=（2，﹣2），且（），则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣23．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．（5分）若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到8．（5分）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q 是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣9．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，2）C．（﹣2，） D．（﹣，2）10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a2011．（5分）若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）若x∈[，]，则f（x）=的最小值为．14．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=，则x﹣y=．15．（5分）若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，则实数a的最小值为．16．（5分）数列{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．19．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．20．（12分）已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1（1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2）令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．21．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．22．（12分）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞4，即A={x|x＜﹣3或x＞4}，∵B={x|x≥m}，A∩B={x|x＞4}，∴﹣3≤m≤4，则实数m的取值范围是[﹣3，4]．故选：B．2．（5分）设向量，=（2，﹣2），且（），则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【解答】解：向量，=（2，﹣2），=（4，x+2），（），可得：8+（﹣2）（x+2）=0，解得x=2．故选：C．3．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，∴15=﹣1+2（n﹣2），解得n=10．故选：D．4．（5分）已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵cos（π﹣θ）=3m（m＜0），0＜3m＜1∴﹣cosθ∈（0，1），∵cos（+θ）（1﹣2cos2）=sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，∴θ是第二象限角．故选：B．5．（5分）若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：由，，所以，解得a=2．故选：C．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．8．（5分）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q 是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣【解答】解：对于命题p：函数f（x）=x2﹣x=﹣，则函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．∴当x=时，取得最小值，=＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．A．∀x∈（﹣1，1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞=，因此A是假命题；B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则=＜0，解得，因此“﹣3＜m ＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；C．f（x）=sin2x+cos2x=2，当x=时，==1，因此x=是函数f（x）的一条对称轴，是真命题；D．曲线f（x）=e x（x﹣2），f′（x）=e x+e x（x﹣2）=e x（x﹣1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=﹣1，因此D是假命题．故选：C．9．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，2）C．（﹣2，） D．（﹣，2）【解答】解：当x≥1，f（x）=x+﹣，f′（x）=1﹣＞0，故函数f（x）为增函数，且f（x）≥f（1）=1．故由不等式f（6﹣x2）＞f（x），可得①，或6﹣x2＞x≥1②．解①求得﹣＜x＜1，解②求得1≤x＜2．综上可得，不等式的解集为（﹣，2），故选：D．10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a20【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，∴a1，a2，a6构成等比数列，∴（a1+d）2=a1（a1+5d），得d=3a1，∴等比数列的公比q===4，等差数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）×3a1=3a1n﹣2a1=（3n﹣2）a1，等比数列{a}的通项公式为=，a86=a1+85d=256a1=，a84=a1+83d=250a1，a24=a1+23d=70a1，a20=a1+19d=58a1，∴a 86是数列{a}中的项．故选：A．11．（5分）若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．【解答】解：设=，=，=，如图：∵向量，的夹角为钝角，∴当与垂直时，取最小值，即．过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=，∵||=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即与夹角为120°．∵，∴（）=0，∴||•||•cos120°+||2=0，∴||=2，即MA=2，∵，∴的终点C在以AB为直径的圆O上，∵O是AB中点，∴=2，∴当M，O，C三点共线时，取最大值，∵AB==2，∴OB=0C==，∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，∴∠BOC=∠MOA=90°，∴||=BC=OB=．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）若x∈[，]，则f（x）=的最小值为﹣1．【解答】解：x∈[，]，则f（x）===tanx﹣，tan=tan（+）==2+，令t=tanx，则1≤t≤2+，f（x）=y=t﹣，∴y′=1+2•＞0，故函数y在[1，2+]上单调递增，故当t=1时，f（x）=y取得最小值为1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=，则x﹣y=﹣2．【解答】解：如图所示，△ABC中，||=3||，∴=3，∴=，即=；∴=+=+=+（﹣）=﹣+；又=，∴x=﹣，y=，∴x﹣y=﹣﹣=﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，则实数a的最小值为．【解答】解：x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，x2﹣2log a x≤0∴x2≤log a x在x∈（0，）时恒成立∴x2的最大值小于log a x的最小值∴x2≤1/4≤log a x当a＞1时，log a x为递增但最小值为负数不成立当0＜a＜1时，log a x为递减最小值在x=上取到，∴log a≥1/4=log a∴a≥，故a的最小值为．16．（5分）数列{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为∪（1，+∞）．【解答】解：∵log k a n=4+2（n﹣1）=2n+2，∴a n=k2n+2．∴==k2．∴数列{a n}是等比数列，首项为k4，公比为k2．∴c n=a n lga n=（2n+2）•k2n+2lgk．要使c n＜c n对∀n∈N*恒成立，∴（2n+2）•k2n+2lgk＜（2n+4）k2n+4•lgk，化为：+1（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk．当k＞1时，lgk＞0，化为：（n+1）＜（n+2）•k2．此式恒成立．当0＜k＜1时，lgk＜0，化为：（n+1）＞（n+2）•k2．对n∈N*恒成立，只需k2＜，∵=1﹣单调递增，∴当n=1时，=．∴k2，且0＜k＜1，∴．综上可得：∪（1，+∞）．故答案为：∪（1，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理，可得==1，即有tanA=，由0＜A＜π，可得A=，由正弦定理可得4c=bc2，即有bc=4，△ABC的面积为S=bcsinA=×4×=；（2）+=4，可得c2﹣accosB=4，由余弦定理，可得2c2﹣（a2+c2﹣b2）=8，即b2+c2﹣a2=8，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即有bc=8，由a2=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，当且仅当b=c时，a取得最小值，且为2．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵S n=﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=﹣1，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=3a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2•3n﹣1．（II）∵b n=b n+a n，+1﹣b n=2×3n﹣1．∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+5=2×+5=3n﹣1+4．∴log9（b n﹣4）==．∴数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．19．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．∴AF所在抛物线方程为y=x2．则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积km2；（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4﹣x2，PR=4+x﹣x2，∴公园的面积S=（0＜x＜2）．∴S′=﹣3x2+x+4，令S′=0，得x=或x=﹣1（舍去）．当x变化时，S′和S的变化情况如下表：极大值当x=时，S取得最大值．故该公园的最大面积为．20．（12分）已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1（1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2）令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1即有=+，则数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，=1+（n﹣1）=，即有a n=（3n﹣1）•2n﹣1；（2）c n=2a n﹣3•2n=（3n﹣4）•2n；T n=（﹣1）•2+2•22+5•23+…+（3n﹣4）•2n，2T n=（﹣1）•22+2•23+5•24+…+（3n﹣4）•2n+1，两式相减可得，﹣T n=﹣2+3（22+23+24+…+2n）﹣（3n﹣4）•2n+1=﹣2+3•﹣（3n﹣4）•2n+1，化简可得T n=14+（3n﹣7）•2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=[2sin（x+）]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2[1﹣cos（2x+）]﹣2=﹣2cos（2x+），∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈[0，]，∴函数f（x）的单调递增区间[0，]．（2）g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1=×4cos2（2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1 =2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1令sin（2x+）=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴t∈[﹣，1]，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+，∴最大值为，最小值为﹣3．∴值域为[﹣3，]．22．（12分）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）上恒成立， ∴方程xf （x ）﹣=﹣没有实数根．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
怀仁县第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考(开学考)数学(理)试题 含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
sin160sin10cos 20cos10-的值是（ ）A ．3B ．12- C ．12D ．322。
已知向量()()1,0,0,1a b ==，若()()3ka b a b +⊥-，则实数k =( ）A ．3-B ．3C ．13-D ．133. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==,则向量a 与b 夹角的正切值为（ ) A ．33B ．3C ．3-D ．34。
实数,x y 满足不等式组0010210x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨--≤⎪⎪-+≥⎩,则2x y -的最大值为（ ） A ．12- B ．0 C ．2D ．45. 已知1tan 3α=，则1cos 2sin 2αα+=（ ）A ．3B ．13C ．3-D ．13-6. 在ABC ∆中，30,2B AB AC ===，则ABC ∆ 的面积为（ ）ABCD7. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数. 下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于712x π=-对称D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增8。
使函数()()()sin 22f x x x θθ=++是奇函数,且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是( )A ．3π B ．23π C ．43πD ．53π9。
等比数列{}n a 中， 对任意12,...21n n n N a aa *∈+++=-，则22212...n a a a +++=（ ）A ．()221n- B ．()2213n- C ．413n -D ．41n-10。
怀仁县第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学(理)试题 含答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
已知全集}4,3,2,1,0,1{-=M ，且}4,3,2,1{=B A ,}3,2{=A ,则=)(A CB M( ）A ．}4,1{B ．}1{C ．}4{D ．φ2。
设向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，πβα<<<0.若|2||2|b a b a -=+，则αβ-等于（ ）A ．2π- B ．2π C ．4π D ．4π-3。
已知534sin )3sin(-=++απα，02<<-απ，)32cos(πα+等于（ ）A ．54- B ．53- C ．53 D ．544. 若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则αsin 的值为（ )A ．181 B ．181- C ．1817 D ．1817-5. 函数)6sin()3sin()(ππ-++=x a x x f 的一条对称轴方程为2π=x ，则=a ( ）A ．1B ．3C ．2D ．36。
已知向量e a ≠，1||=e ,对任意R t ∈，恒有||||e a e t a -≥-,则( ) A ．e a ⊥ B ．)(e a a -⊥ C ．)(e a e -⊥ D ．)()(e a e a -⊥+7.函数xe x y cos =的图象大致是（ ）8。
已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ）A ．)(x f 的最小正周期为π2B ．)(x f 的图象关于直线32π-=x 对称C ．)(x f 的图象关于点)0,125(π-对称D ．当]3,2(--∈m 时，方程m x f =)(在]0,2[π-上有两个不相等的实数根9.设函数x x x f -+=)12sin(4)(，则在下面区间中函数)(x f 不．存在零点的是（ ）A ．]2,4[--B ．]0,2[-C ．]2,0[D ．]4,2[ 10。