2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (文科) word解析版

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供文科考生使用）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则
（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2
答案 B
解析 B ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{0,1}．
2．复数z ＝1i －1
的模为( ) A.12 B.22
C. 2 D ．2 答案 B
解析 z ＝1i －1
＝－1－i 2，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22.
3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )
A.⎝⎛⎭⎫35，－45
B.⎝⎛⎭⎫45，－35
C.⎝⎛⎭⎫－35，45
D.⎝⎛⎭
⎫－45，35 答案 A
解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.
4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；
p 3：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )
A ．p 1，p 2
B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
答案 D
解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，
∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．
na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．
对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)
， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n
}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．
对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，
则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.
∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．
综上，正确的命题为p 1，p 4.
5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，
[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
答案 B
解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为
(0.01＋0.005)×20＝0.3.
∴该班学生人数n ＝150.3
＝50.
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12
b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
答案 A
解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12
， 依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12
， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12
， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6
.
7．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭
⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
答案 D
解析 设g (x )＝lg(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，
g (－x )＝lg(1＋9x 2＋3x )＝lg 11＋9x 2－3x
＝－g (x )． ∴g (x )是奇函数，
∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭
⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭
⎫lg 12＝2.
8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S 等于( )
A .49 B.67 C.89 D.1011
答案 A
解析 执行第一次循环后，S ＝13
，i ＝4； 执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；
执行第三次循环后，
S ＝37，i ＝8；
执行第四次循环后，S ＝49
，i ＝10； 此时i ＝10＞8，输出S ＝49
.
9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )
A ．b ＝a 3
B ．b ＝a 3＋1a
C ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0
D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C
解析 易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )，
且b ≠0，a ≠0，若A 为直角，
OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0，
∴b －a 3＝0，
若B 为直角，O B →·A B →
＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，
∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a
＝0， 故(b －a 3)·⎝
⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C.
10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172 B ．2 10 C.132
D ．3 10 答案 C
解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，
将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132
.
11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45
，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67
答案 B
解析 在△ABF 中，由余弦定理得
|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，
∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，
从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .
∴c ＝|OF |＝12
|AB |＝5， 利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，
则|BF ′|＝|AF |＝6，
∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.
因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57
.
12．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )
的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )
A ．a 2－2a －16
B ．a 2＋2a －16
C ．－16
D ．16
答案 C
解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．
依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚
线部分)．
∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)
＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.
第Ⅱ卷
二、填空题
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
答案 16π－16
解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了
一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－
22)×4＝16π－16.
14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.
答案 63
解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，
∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，
因此S 6＝1×(1－26)1－2
＝63.
15．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216
＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，
∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，
且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，
由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.
∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，
因此△PQF 的周长为
|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.
16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
答案 10
解析 把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意
(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同． 若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，
显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－
7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8
满足，所以样本数据中
的最大值为10.
三、解答题
17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ，
|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，
及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.
又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6
. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦
⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32
.
18. 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．
(1)求证：BC ⊥平面P AC ；
(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .
证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，
由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .
又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，
所以BC ⊥平面P AC .
(2)连OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC
的重心，得M 为AC 中点．
由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，
又O 为AB 中点，得OM ∥BC .
因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，
MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，
BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .
所以平面QMO ∥平面PBC .
因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .
19．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中
任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，
共6个，所以P
(A
)＝615＝25
. (2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，
{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815
.
20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．
当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12
. (1)求p 的值；
(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合
于O 时，中点为O )．
解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2
，且切线MA 的斜率为－12
，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为
y ＝－12(x ＋1)＋14
. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是
y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224
，① y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p
.② 由①②得p ＝2.
(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224
)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知
x ＝x 1＋x 22
，③ y ＝x 21＋x 228
.④ 切线MA 、MB 的方程为
y ＝x 12(x －x 1)＋x 214
.⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224
.⑥ 由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为
x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24
. 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，
所以x 1x 2＝－x 21＋x 226
.⑦ 由③④⑦得x 2＝43
y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43
y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为
x 2＝43
y . 21．(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x
≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32
＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．
(1)证明 记F (x )＝sin x －
22
x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即
sin x ≥22
x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22
x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． (2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时， ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2
≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭
⎫24x 2＝(a ＋2)x . 所以，当a ≤－2时， 不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4 ＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2 ≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32
≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23
(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)
⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足 ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0. 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32
＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．
方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则 f ′(x )＝a ＋2x ＋3x 22
＋2cos x －2(x ＋2)sin x . 记G (x )＝f ′(x )，则
G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .
当x ∈(0,1)时，cos x ＞12
，因此 G ′(x )＜2＋3x －4×22
x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.
于是F ′(x )在[0,1]上是减函数，
因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.
故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0. 即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32
＋ 2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立．
由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，
且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72
＋2cos 1－6sin 1. 当a ≥6sin 1－2cos 1－72
时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；
当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72
时，f ′(1)＜0. 又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0. 所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32
＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．
22. 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：
(1)∠FEB ＝∠CEB ；
(2)EF 2＝AD ·BC .
证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .
由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2
； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .
故∠FEB ＝∠CEB .
(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，
∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，
得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .
同理可证，得AD ＝AF .
又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，
故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .
23．选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方
程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．
已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2
t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，
直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝
⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，
由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2
＋1， 所以⎩⎨⎧
b 2＝1，－ab 2
＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.
24．选修4－5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；
(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，
2x －6，x ≥4.
当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；
当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；
当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；
所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．
(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，
则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，
2a ，x ≥a .
由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12
. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，
a ＋12＝2，
于是a ＝3.。