【配套K12】四川省2017中考数学专题突破复习题型专项(十一)几何图形综合题试题

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人教版初中数学几何图形初步专项训练解析含答案

人教版初中数学几何图形初步专项训练解析含答案一、选择题1．如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，则ABC ∆的面积是（）A ．25米B ．84米C ．42米D ．21米【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】连接OA∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△()142AB BC AC =⨯⨯++ 14212=⨯⨯ 42=（米）故答案为：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱.故选：D.【点睛】本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：三棱柱的展开图为3个矩形和2个三角形，故B不能围成.考点：棱柱的侧面展开图.4．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（）A ．90°B ．75°C ．105°D ．120°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得30E BCE ==︒∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数．【详解】∵//BC DE∴30E BCE ==︒∠∠∴453075AFC B BCE =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．5．如图，Ｂ是线段ＡＤ的中点，Ｃ是线段ＢＤ上一点，则下列结论中错误．．的是（）A ．BC=AB-CDB ．BC=12(AD-CD)C ．BC=12AD-CD D ．BC=AC-BD 【答案】B【解析】试题解析：∵B 是线段AD 的中点，∴AB=BD=12AD ， A 、BC=BD-CD=AB-CD ，故本选项正确； B 、BC=BD-CD=12AD-CD ，故本选项错误； C 、BC=BD-CD=12AD-CD ，故本选项正确； D 、BC=AC-AB=AC-BD ，故本选项正确．故选B ．6．如图，O是直线AB上一点，OC平分∠DOB,∠COD=55°45′,则∠AOD=（）A．68°30′B．69°30′C．68°38′D．69°38′【答案】A【解析】【分析】先根据平分，求出∠COB，再利用互补求∠AOD【详解】∵OC平分∠DOB，∠COD=55°45′∴∠COB=55°45′，∠DOB=55°45′+55°45′=111°30′∴∠AOD=180－111°30′=68°30′故选：A【点睛】本题考查角度的简单推理，计算过程中，设计到了分这个单位，需要注意，分与度的进率是607．下列语句正确的是（）A．近似数0．010精确到百分位B．｜x-y｜=｜y-x｜C．如果两个角互补，那么一个是锐角，一个是钝角D．若线段AP=BP，则P一定是AB中点【答案】B【解析】【分析】A中,近似数精确位数是看小数点后最后一位;B中,相反数的绝对值相等;C中,互补性质的考查;D中,点P若不在直线AB上则不成立【详解】A中,小数点最后一位是千分位,故精确到千分位,错误;B中,x－y与y－x互为相反数,相反数的绝对值相等,正确；C中，若两个角都是直角，也互补，错误；D中，若点P不在AB这条直线上，则不成立，错误故选：B【点睛】概念的考查，此类题型，若能够举出反例来，则这个选项是错误的8．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A【解析】【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选A．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．9．已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D．12 BC AB【答案】C【解析】【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D都可以确定点C是线段AB中点【详解】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点；B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点；C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点；D、BC＝12AB，则点C是线段AB中点．故选：C．【点睛】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．10．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（）A．2B．31C．3D．23【答案】C【解析】【分析】作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'=60°，则AB=AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离=AC=3，所以最小值为3．【详解】解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∵AB=AB'，∴△ABB'为等边三角形，∴BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，∴最小值为B'到AB的距离3故选C．【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．11．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．【详解】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°，∵∠EBF=80°=∠2+∠3，∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此时的航行方向为北偏东30°，故选A．【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1=32°，那么∠2的度数是()A．64°B．68°C．58°D．60°【答案】A【解析】【分析】首先根据平行线性质得出∠1=∠AEG ，再进一步利用角平分线性质可得∠AEF 的度数，最后再利用平行线性质进一步求解即可.【详解】∵AB ∥CD ，∴∠1=∠AEG ．∵EG 平分∠AEF ，∴∠AEF=2∠AEG ，∴∠AEF=2∠1=64°，∵AB ∥CD ，∴∠2=64°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线性质以及平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.13．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，15AB =，则ABD △的面积是（）A ．15B ．30C ．45D ．60 【答案】B【解析】【分析】作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的性质得4DE DC ==，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】作DE AB ⊥于E由尺规作图可知，AD 是△ABC 的角平分线∵90C ∠=︒，DE AB ⊥∴4DE DC ==∴△ABD 的面积1302AB DE =⨯⨯= 故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．14．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=︒，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=︒，则AEC ∠的度数为（）A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°【答案】C【解析】【分析】延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长CE 交AB 于点F ，∵AB ∥CD ，∴∠AFE ＝∠C ＝60°，在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．15．已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC ＝30°)，并且顶点A ，C 分别落在直线m ，n 上，若∠1＝38°，则∠2的度数是( )A．20°B．22°C．28°D．38°【答案】B【解析】【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：过C作CD∥直线m，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵直线m∥n，∴CD∥直线m∥直线n，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∵∠1＝38°，∴∠ACD＝38°，∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键．16．如图是正方体的表面展开图，请问展开前与“我”字相对的面上的字是（）A．是B．好C．朋D．友【答案】A【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“是”是相对面，“们”与“朋”是相对面，“好”与“友”是相对面．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．17．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，如图：（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；（3）连结AP 并延长交BC 于点D ．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的中垂线上D ．:1:3DAC ABD S S =△△【答案】D【解析】【分析】根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：A 、根据作图方法可得AD 是∠BAC 的平分线，正确；B 、∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，正确；C 、∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB ，∴点D 在AB 的中垂线上，正确；D 、∵∠CAD=30°，∴CD=12 AD，∵AD=DB，∴CD=12 DB，∴CD=13 CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，∴S△DAC：S△ABD≠1：3，错误，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．18．如图，小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（）A．左转80°B．右转80°C．左转100°D．右转100°【答案】B【解析】【分析】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.【详解】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，∵此时需要将方向调整到与出发时一致，∴此时沿CE 方向行走，∵从A 处出发沿北偏东60°方向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至C 处， ∴∠A=60°，∠1=20°，AM ∥BN ，CE ∥AB ，∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.19．将下面平面图形绕直线l 旋转一周，可得到如图所示立体图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：根据面动成体，所得图形是两个圆锥体的复合体确定答案即可．详解：由图可知，只有B 选项图形绕直线l 旋转一周得到如图所示立体图形．故选：B ．点睛：本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键．20．如图，已知直线AB 和CD 相交于G 点，CG EG ⊥，GF 平分AGE ∠，34CGF ∠=︒，则BGD ∠大小为（）A ．22︒B ．34︒C ．56︒D ．90︒【答案】A【解析】【分析】先根据垂直的定义求出∠EGF 的度数，然后根据GF 平分∠ABE 可得出∠AGF 的度数，再由∠AGC=∠AGF-∠CGF 求出∠AGC 的度数，最后根据对顶角相等可得出∠BGD 的度数．【详解】解：∵CG ⊥EG ，∴∠EGF=90°-∠CGF=90°-34°=56°，又GF 平分∠AGE ，∴∠AGF=∠EGF=56°，∴∠AGC=∠AGF-∠CGF=56°-34°=22°，∴∠BGD=∠AGC=22°．故选：A ．【点睛】本题考查了对顶角的性质，垂直的定义以及角平分线的定义，掌握基本概念和性质是解题的关键．。

2017中考数学真题汇编----丰富的图形世界

2017中考数学真题汇编----丰富的图形世界一．选择题1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．如图，下列图形全部属于柱体的是（）A． B． C． D．3．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（）A．圆B．长方形C．椭圆D．平行四边形4．从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是（）A． B．C． D．5．按组成面的平或曲划分，与圆柱为同一类的几何体是（）A．长方体B．正方体C．棱柱D．圆锥6．下列各图是立体图形的是（）A．B．C．D．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条8．如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（）cm3．A．48πB．50πC．58πD．60π二．填空题9．下列图形中，表示平面图形的是；表示立体图形的是．（填入序号）10．正方体有个面，个顶点，经过每个顶点有条棱．11．如图，一个正方体的表面上分别写着连续的6个整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个整数的和为．12．如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有个．13．在长方体ABCD﹣EFGH中，既与棱AB异面又与棱BC平行的棱有．14．李强同学用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为．15．把正方形摆成如图所示的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，…，第n层，若第n层有210个正方体，则n=．三．解答题16．如图（1），正方形每条边上放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为x，请回答下列问题：（1）如图（1），用两种不同的思考方法，列出2个含有x的代数式表示正方形边上的所有小球数（不要化简）．（2）如图（2），将正方形改为立方体，每条边上同样放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为x，请用含有x的代数式表示立方体上的所有小球数．17．某学校制作教学教具，准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作A、B两种型号的长方体框架模型，其中A种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米，B种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米．（1）请在图中补画出A种型号的长方体框架的直观图；（2）如果30厘米的细钢条有52根，20厘米的细钢条有44根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架，请问做成A、B两种型号的长方体框架各有多少个？18．一个圆柱体形的蓄水池，从里面量底面周长31.4米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥．（1）抹水泥部分的面积是多少平方米？（2）蓄水池能蓄水多少吨？（每立方米水重1千克）19．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．观察并回答下列问题：（1）其中三面涂色的小正方体有个，两面涂色的小正方体有个，各面都没有涂色的小正方体有个；（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有个，各面都没有涂色的有个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么应该将此正方体的棱等分．20．如图，将长方体木块A和B黏合在一起，得到长方体木块C．（1）求长方体木块C的表面积（用含x的代数式表示）．（2）设x=30cm，在长方体木块C的表面漆上油漆，每平方米用油漆1kg，至少需要多少kg油漆（精确到1kg，油漆只能更多，不能少）？参考答案与解析一．选择题1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【分析】根据四棱锥的特点，可得答案．【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有4条棱，故选：D．【点评】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键．2．如图，下列图形全部属于柱体的是（）A． B． C． D．【分析】根据柱体的定义，结合图形即可作出判断．【解答】解：A、左边的图形属于锥体，故本选项错误；B、上面的图形是圆锥，属于锥体，故本选项错误；C、三个图形都属于柱体，故本选项正确；D、上面的图形不属于柱体，故本选项错误．故选C．【点评】此题考查了认识立体图形的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握柱体和锥体的定义和特点，难度一般．3．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（）A．圆B．长方形C．椭圆D．平行四边形【分析】根据垂直于圆柱底面的截面是矩形，可得答案．【解答】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是矩形．故选：B．【点评】本题考查了认识立体图形，垂直于圆柱底面的截面是矩形，平行圆柱底面的截面是圆形．4．从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是（）A． B．C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看左边是一个矩形，右边是一个正方形，故选：A．【点评】本题考查了认识立体图形，从正面看得到的图形是主视图．5．按组成面的平或曲划分，与圆柱为同一类的几何体是（）A．长方体B．正方体C．棱柱D．圆锥【分析】分别写出四个选项中的几何体是由什么面组成可直接选出答案．【解答】解：圆柱由平面和曲面组成，长方体由平面组成；正方体由平面组成；棱柱由平面组成，圆锥由平面和曲面组成，故选：D．【点评】此题主要考查了认识立体图形，关键是正确认识曲面和平面．6．下列各图是立体图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据立体图形的定义，可得答案．【解答】解：由题意，得三棱锥是立体图形，故选：D．【点评】本题考查了立体图形，每个面不在同一个平面内是解题关键．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】根据平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，据此解答即可．【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱是：BF、CG、EF、HG，共4条．故选：D．【点评】此题考查了认识立体图形．注意与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱既有同面内的棱所在的直线，也有异面内的棱所在的直线，不要漏掉．8．如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（）cm3．A．48πB．50πC．58πD．60π【分析】根据组合体的形状，可得一个底面直径是4高是14的圆柱，底面直径是4，高是2圆柱的一半，根据圆柱的体积公式，可得答案．【解答】解：底面直径是4高是14的圆柱的体积是π（）2×14=56π，底面直径是4，高是2圆柱的一半的体积是π（）2×4×=4π，该新几何体的体积为56π+4π=60π，故选：D．【点评】本题考查了认识立体图形，确定几何体的形状是解题关键．二．填空题9．下列图形中，表示平面图形的是①③；表示立体图形的是②④．（填入序号）【分析】根据平面图形的定义，立体图形的定义是解题关键．【解答】解：表示平面图形的是①③；表示立体图形的是②④．故答案为：①③；②④．【点评】本题考查了认识立体图形，正确区分平面图形与立体图形是解题关键．10．正方体有6个面，8个顶点，经过每个顶点有3条棱．【分析】根据正方体的特征，可得答案．【解答】解：正方体有6个面，8个顶点，经过每个顶点有3条棱，故答案为：6，8，3．【点评】本题考查了认识立体图形，正确认识立体图形是解题关键．11．如图，一个正方体的表面上分别写着连续的6个整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个整数的和为51．【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，判断出6是最小的数，然后确定出这六个数，再相加即可得解．【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴6若不是最小的数，则6与9是相对面，∵6与9相邻，∴6是最小的数，∴这6个整数的和为：6+7+8+9+10+11=51．故答案为：51．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．12．如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有12个．【分析】根据图示可发现除顶点外位于棱上的小方块两面，涂色位于表面中心的一面涂色．【解答】解：根据以上分析：有一条边在棱上的正方体有12个两面涂色；故答案为：12．【点评】本题考查了认识立体图形，主要考查了正方体的组合与分割．要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作．13．在长方体ABCD﹣EFGH中，既与棱AB异面又与棱BC平行的棱有EH、FG．【分析】首先确定与BC平行的棱，再确定符合与AB异面的棱即可．【解答】解：观察图象可知，既与棱AB异面又与棱BC平行的棱有EH、FG．故答案为EH、FG．【点评】本题考查认识立体图形，平行线的判定、异面直线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．14．李强同学用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为33．【分析】此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加．【解答】解：根据题意得：第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1=5；第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13=11；第三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37=17．所以红色部分的面积为：5+11+17=33．故答案为：33．【点评】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积．15．把正方形摆成如图所示的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，…，第n层，若第n层有210个正方体，则n=20．【分析】先根据图形得出规律，即可得出关于n的方程，求出即可．【解答】解：第1层有正方体1个，第2层有正方体1+2==3个，第3层有正方体1+2+3==6个，…第n层有正方体1+2+3+…+n=个，=210，解得：n=20或﹣21，n=﹣21舍去，故答案为：20．【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．三．解答题16．如图（1），正方形每条边上放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为x，请回答下列问题：（1）如图（1），用两种不同的思考方法，列出2个含有x的代数式表示正方形边上的所有小球数（不要化简）．（2）如图（2），将正方形改为立方体，每条边上同样放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为x，请用含有x的代数式表示立方体上的所有小球数．【分析】（1）正方形有4条边，每边上的小球数为x，则有4x个小球，而每个顶点处的小球重复计算一次，则正方形边上的所有小球的个数为4x﹣4；（2）正方体有12条棱，每条棱上的小球数为n，则有12n个小球，而每个顶点处的小球重复计算2次，则正方形边上的所有小球的个数为12n﹣8×2．【解答】解：（1）当一条边上的小球数为x，正方形边上的所有小球的个数为4（x﹣2）+4，或4（x﹣1），或2x+2（x﹣2）；（2）当一条边上的小球数为x，立方体上的所有小球数为12x﹣8×2=12x﹣16．【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．17．某学校制作教学教具，准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作A、B两种型号的长方体框架模型，其中A种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米，B种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米．（1）请在图中补画出A种型号的长方体框架的直观图；（2）如果30厘米的细钢条有52根，20厘米的细钢条有44根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架，请问做成A、B两种型号的长方体框架各有多少个？【分析】（1）根据A种型号长方体框架的长、宽、高分別为30厘米、20厘米、20厘米画出长方体即可；（2）设做成A种型号的长方体框架有x个，做成B种型号的长方体框架有y个，根据题意可得等量关系：A、B两种型号长方体所用30厘米的细钢条=52根，A、B两种型号长方体所用20厘米的细钢条=44根，根据等量关系列出方程组再解即可．【解答】解：（1）如图：；（2）设做成A种型号的长方体框架有x个，做成B种型号的长方体框架有y个．由题意，得，解得，答：做成A种型号的长方体框架有3个，做成B种型号的长方体框架有5个．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．18．一个圆柱体形的蓄水池，从里面量底面周长31.4米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥．（1）抹水泥部分的面积是多少平方米？（2）蓄水池能蓄水多少吨？（每立方米水重1千克）【分析】（1）求圆柱形水池的表面积，即求圆柱的侧面积与一个底面积的和，运用计算公式可列式解答；（2）求蓄水池能蓄水多少吨，应先求出圆柱形水池的体积，运用圆柱的体积计算公式，代入数据解决问题．【解答】解：（1）水池的侧面积：31.4×2.4=75.36（平方米）；水池的底面积：3.14×（31.4÷3.14÷2）2=3.14×52=3.14×25=78.5（平方米）；抹水泥部分的面积是：75.36+78.5=153.86（平方米）；答：抹水泥部分的面积是153.86平方米．（2）水池的体积：3.14×52×2.4=3.14×25×2.4=188.4（立方米）；蓄水池能蓄水：1×188.4=188.4（吨）．答：蓄水池能蓄水188.4吨．【点评】考查了认识立体图形，解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决．19．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．观察并回答下列问题：（1）其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，各面都没有涂色的小正方体有1个；（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有8个，各面都没有涂色的有（n﹣2）3个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么应该将此正方体的棱7等分．【分析】（1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体；（2）根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律进而得出答案；（3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有（n﹣2）3个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论【解答】解：（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个；各面都没有涂色的有1个，故答案为：8，12，1；（2）根据正方体的棱三等分时三面被涂色的有8个，有1个是各个面都没有涂色的，正方体的棱四等分时三面被涂色的有8个，有8个是各个面都没有涂色的，∴正方体的棱n等分时三面被涂色的有8个，有（n﹣2）3个是各个面都没有涂色的，故答案为：8，（n﹣2）3；（3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有（n﹣2）3个是各个面都没有涂色的，即（n﹣2）3=125，n﹣2=5，n=7，故答案为7．【点评】此题主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．20．如图，将长方体木块A和B黏合在一起，得到长方体木块C．（1）求长方体木块C的表面积（用含x的代数式表示）．（2）设x=30cm，在长方体木块C的表面漆上油漆，每平方米用油漆1kg，至少需要多少kg油漆（精确到1kg，油漆只能更多，不能少）？【分析】（1）根据长方体的表面积计算公式可以解答本题；（2）将x=30代入（1）中代数式，再根据题目中的要求即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，长方体木块C的表面积是：[（x+2+3x﹣4）×（x+2）+（x+2+3x﹣4）×（3x﹣4）+（x+2）×（3x﹣4）]×2=38x2﹣28x﹣8，即长方体木块C的表面积是38x2﹣28x﹣8；（2）当x=30cm时，长方体木块C的表面积是：38×302﹣28×30﹣8=33352cm2=3.3352m2，∴需要油漆为：1×4=4kg，答：至少需要4kg油漆．【点评】本题考查几何体的表面积、列代数式，解答本题的关键是明确长方体表面积的计算方法，利用数形结合的思想解答．。

四川省2017中考数学专题突破复习题型专项(十一)几何图形综合题试题

题型专项(十一) 几何图形综合题题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 操作探究题1．(2016·资阳)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转到Rt △ADE 的位置，点E 在斜边AB 上，连接BD ，过点D 作DF⊥AC 于点F.(1)如图1，若点F 与点A 重合，求证：AC ＝BC ； (2)若∠DAF＝∠DBA.①如图2，当点F 在线段CA 的延长线上时，判断线段AF 与线段BE 的数量关系，并说明理由； ②当点F 在线段CA 上时，设BE ＝x ，请用含x 的代数式表示线段AF. 解：(1)证明：由旋转得，∠BAC ＝∠BAD， ∵DF⊥AC， ∴∠CAD ＝90°.∴∠BAC ＝∠BAD＝45°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°. ∴AC ＝BC.(2)①AF＝BE.理由：由旋转得AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB. ∵∠DAF ＝∠ABD ，∴∠DAF ＝∠ADB. ∴AF ∥BD.∴∠BAC ＝∠ABD.∵∠ABD ＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD. ∴∠FAD ＝∠BAC＝∠BAD＝13×180°＝60°.由旋转得，AB ＝AD.∴△ABD 是等边三角形． ∴AD ＝BD.在△AFD 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠BED＝90°，∠FAD ＝∠EBD，AD ＝BD ，∴△AFD ≌△BED(AAS )．∴AF ＝BE.②如图，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∵∠ABD ＝∠F AD ＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋转得AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB＝2∠BAD.∵∠BAD ＋∠ABD＋∠ADB＝180°， ∴∠BAD ＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°. ∴∠BAD ＝36°.设BD ＝a ，作BG 平分∠ABD， ∴∠BAD ＝∠GBD＝36°. ∴AG ＝BG ＝BD ＝a.∴DG ＝AD －AG ＝AD －BG ＝AD －BD. ∵∠BDG ＝∠ADB，∴△BDG ∽△ADB. ∴BD AD ＝DG DB. ∴BD AD ＝AD －BD BD .∴AD BD ＝1＋52. ∵∠FAD ＝∠EBD，∠AFD ＝∠BED， ∴△AFD ∽△BED. ∴AD BD ＝AF BE. ∴AF ＝AD BD ·BE＝1＋52x.2．(2016·南充营山县一诊)如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG ，OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2. ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．解：(1)证明：延长ED 交AG 于点H ， ∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点， ∴OA ＝OD ，OA ⊥OD. 在△AOG 和△DOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOG ＝∠DOE＝90°，OG ＝OE ，∴△AOG ≌△DOE.∴∠AGO ＝∠DEO.∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠GAO ＋∠DEO＝90°. ∴∠AHE ＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有两种情况： (Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时， ∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG′，∴在Rt △OAG ′中，sin ∠AG ′O ＝OA OG′＝12. ∴∠AG ′O ＝30°.∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG ′，∴OD ∥AG ′.∴∠DOG ′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°. 综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°. ②AF ′的最大值为22＋2，此时α＝315°. 提示：如图3，当旋转到A ，O ，F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，图3∵正方形ABCD 的边长为1， ∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝22. ∵OG ＝2OD ，∴OG ′＝OG ＝ 2. ∴OF ′＝2.∴AF ′＝AO ＋OF′＝22＋2. ∵∠COE ′＝45°，∴此时α＝315°.3．(2016·福州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM. (1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；(2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积；(3)当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM， ∴∠MAN ＝∠DAM. ∵AN 平分∠MAB， ∴∠MAN ＝∠NAB.∴∠DAM ＝∠MAN＝∠NAB. ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°.∴∠DAM ＝30°. ∴DM ＝AD·tan ∠DAM ＝3×33＝ 3. (2)如图1，延长MN 交AB 延长线于点Q. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC. ∴∠DMA ＝∠MAQ.由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠DMA ＝∠AMQ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1. ∴∠MAQ＝∠AMQ. ∴MQ ＝AQ.设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝1＋x.在Rt △ANQ 中，AQ 2＝AN 2＋NQ 2，∴(x ＋1)2＝32＋x 2.解得x ＝4. ∴NQ ＝4，AQ ＝5. ∵AB ＝4，AQ ＝5，∴S ΔNAB ＝45S ΔNAQ ＝45×12AN·NQ＝245.(3)如图2，过点A 作AH⊥BF 于点H ，则△ABH∽△BFC，∴BH AH ＝CFBC.∵AH ≤AN ＝3，AB ＝4，∴当点N ，H 重合(即AH ＝AN)时，DF 最大．(AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大) 此时M ，F 重合，B ，N ，M 三点共线，△ABH ≌△BFC(如图3)， ∴CF ＝BH ＝AB 2－AH 2＝42－32＝7. ∴DF 的最大值为4－7.图1类型2 动态探究题4．(2016·自贡)已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．(1)如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP ，OP ，OA.若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边CD 的长； (2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO ，线段OP ，连接BP.动点M 在线段AP 上(点M 与点P ，A 不重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连接MN 交PB 于点F ，作ME⊥BP 于点E.试问当动点M ，N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF 的长度．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D＝90°. ∴∠APD ＋∠DAP＝90°.∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD ＋∠CPO＝90°.∴∠CPO ＝∠DAP. 又∵∠D＝∠C，∴△OCP ∽△PDA. ∵△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4， ∴OP PA ＝CP DA＝14＝12. ∴CP ＝12AD ＝4.设OP ＝x ，则CO ＝8－x. 在Rt △PCO 中，∠C ＝90°，由勾股定理得x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5.∴AB ＝AP ＝2OP ＝10. ∴CD ＝10.(2)过点M 作MQ∥AN，交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ， ∴∠APB ＝∠ABP＝∠MQP. ∴MP ＝MQ.∵BN ＝PM ，∴BN ＝QM.∵MP ＝MQ ，ME ⊥PQ ，∴EQ ＝12PQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.在△MFQ 和△NFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QFM＝∠NFB，∠QMF ＝∠BNF，MQ ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS )． ∴QF ＝BF ＝12QB.∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB.由(1)中的结论可得PC ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°， ∴PB ＝82＋42＝4 5.∴EF ＝12PB ＝2 5.∴在(1)的条件下，当点M ，N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为2 5.5．(2016·乐山)如图，在直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴正半轴上，点B 的坐标是(5，2)，点P 是CB 边上一动点(不与点C ，B 重合)，连接OP ，AP ，过点O 作射线OE 交AP 的延长线于点E ，交CB 边于点M ，且∠AOP＝∠COM，令CP ＝x ，MP ＝y. (1)当x 为何值时，OP ⊥AP?(2)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在x ，使△OCM 的面积与△ABP 的面积之和等于△EMP 的面积．若存在，请求x 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知OA ＝BC ＝5，AB ＝OC ＝2，∠B ＝∠OCM＝90°，BC ∥OA. ∵OP ⊥AP ，∴∠OPC ＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°. ∴∠OPC ＝∠PAB. ∴△OPC ∽△PAB. ∴CP AB ＝OC PB ，即x 2＝25－x. 解得x 1＝4，x 2＝1(不合题意，舍去)． ∴当x ＝4时，OP ⊥AP.(2)∵BC∥OA，∴∠CPO ＝∠AOP.∵∠AOP ＝∠COM，∴∠COM ＝∠CPO. ∵∠OCM ＝∠PCO，∴△OCM ∽△PCO. ∴CM CO ＝CO CP ，即x －y 2＝2x. ∴y ＝x －4x(2<x<5)．(3)存在x 符合题意．过点E 作ED⊥OA 于点D ，交MP 于点F ，则DF ＝AB ＝2. ∵△OCM 与△ABP 面积之和等于△EMP 的面积， ∴S △EOA ＝S 矩形OABC ＝2×5＝12·5ED.∴ED ＝4，EF ＝2.∵PM ∥OA ，∴△EMP ∽△EOA. ∴EF ED ＝MP OA ，即24＝y 5. 解得y ＝52.∴由(2)y ＝x －4x ，得x －4x ＝52.解得x 1＝5＋894，x 2＝5－894(不合题意舍去)．∴在点P 的运动过程中，存在x ＝5＋894，使△OCM 与△ABP 面积之和等于△EMP 的面积．6．(2015·攀枝花)如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD ＝8，AB ＝6.如图2，矩形ABCD 沿O B 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．(1)当t ＝5时，请直接写出点D ，点P 的坐标；(2)当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围； (3)点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 相似时，求出相应的t 值．解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)． (2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t. ∴S ＝12BP·AD＝12(6－t)·8＝－4t ＋24.当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6. ∴S ＝12BP·AB＝12(t －6)·6＝3t －18.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）.(3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．当PE OE ＝CD CB 时，85t 45t ＋8＝68，解得t ＝6. 当PE OE ＝CB CD 时，85t 45t ＋8＝86，解得t ＝20. ∵0≤t ≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上，不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．当PE OE ＝CD BC 时，35t ＋614－15t＝68，解得t ＝6. 若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t＝86，解得t ＝19013. ∵6≤t ≤14，∴t ＝19013时，点P 不在边BC 上，不合题意．∴当t ＝6时，△PEO 与△BCD 相似．类型3 类比探究题7．(2016·眉山青神县一诊)如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于点F. (1)求证：PC ＝PE ； (2)求∠CPE 的度数；(3)如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP＝45°，在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP(SAS )．∴PA＝PC.又∵PA＝PE ，∴PC ＝PE.(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP. ∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E.∴∠DCP ＝∠E.∵∠CFP ＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°.(3)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP＝60°，在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP，PB ＝PB ，∴△ABP≌△CBP(SAS )．∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP.∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE.∴∠DAP＝∠DCP. ∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠AEP. ∴∠DCP ＝∠AEP.∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°. ∴△EPC 是等边三角形．∴PC＝CE. ∴AP ＝CE.8．(2015·成都)已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)解：(1)证明：①∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴∠ACB ＝45°，∠ECF ＝45°. ∴∠ACB －∠ECB＝∠ECF－∠ECB，即∠ACE＝∠BCF. 又∵AC BC ＝CECF ＝2，∴△CAE ∽△CBF.②∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE ＝∠CBF，AEBF ＝ 2.∴BF ＝ 2.又∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.∴CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6. 解得CE ＝ 6. (2)连接BF ，∵AB BC ＝EFFC＝k ，∠CFE ＝∠CBA， ∴△CFE ∽△CBA. ∴∠ECF ＝∠ACB，CE CF ＝ACBC .∴∠ACE ＝∠BCF. ∴△ACE ∽△BCF. ∴∠CAE ＝∠CBF.∵∠CAE ＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°，∴BC ∶AB ∶AC ＝1∶k∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k∶k 2＋1. ∴AC BC ＝AE BF ＝k 2＋1. ∴BF ＝AEk 2＋1，BF 2＝AE2k 2＋1.∴CE 2＝k 2＋1k 2EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)．∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)．解得k ＝104.(3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.题型2 与圆有关的几何综合题9．(2016·成都)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以CB 为半径作⊙C，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接ED ，BE.(1)求证：△ABD∽△AEB； (2)当AB BC ＝43时，求tan E ；(3)在(2)的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F ，若AF ＝2，求⊙C 的半径．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD ＝90°－∠DBC. ∵DE 是直径， ∴∠DBE ＝90°.∴∠E ＝90°－∠BDE.∵BC ＝CD ，∴∠DBC ＝∠BDE. ∴∠ABD ＝∠E.∵∠BAD ＝∠DAB，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB∶BC＝4∶3， ∴设AB ＝4k ，BC ＝3k. ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ， ∴AD ＝AC －CD ＝2k. ∵△ABD ∽△AEB ， ∴AB AE ＝AD AB ＝BD BE. ∴AB 2＝AD·AE.∴(4k)2＝2k·AE. ∴AE ＝8k.在Rt △DBE 中，tan E ＝BD BE ＝AB AE ＝4k 8k ＝12.(3)过点F 作FM⊥AE 于点M.由(2)知，AB ＝4k ，BC ＝3k ，AD ＝2k ，AC ＝5k ，则AE ＝8k ，DE ＝6k. ∵AF 平分∠BAC， ∴S △ABF S △AFE ＝BF EF ＝ABAE . ∴BF EF ＝4k 8k ＝12. ∵tan E ＝12，∴cos E ＝255，sin E ＝55.∴BE DE ＝255. ∴BE ＝1255k.∴EF ＝23BE ＝855k. ∴sin E ＝MF EF ＝55. ∴MF ＝85k. ∵tan E ＝12， ∴ME ＝2MF ＝165k. ∴AM ＝AE －ME ＝245k. ∵AF 2＝AM 2＋MF 2， ∴4＝(245k)2＋(85k)2. ∴k ＝108. ∴⊙C 的半径为3k ＝3108.10．(2016·内江)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F.⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH.(1)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)当AB ＝BE ＝1时，求⊙O 的面积；(3)在(2)的条件下，求HG·HB 的值．解：(1)直线BD 与⊙O 相切．理由：连接OB.∵BD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴DB ＝DC.∴∠DBC ＝∠C.∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE ＝∠CED.∵DF ⊥AC ，∴∠CDE ＝90°.∴∠C ＋∠CE D ＝90°.∴∠DBC ＋∠OBE＝90°.∴BD 与⊙O 相切．(2)连接AE.在Rt △ABE 中，AB ＝BE ＝1，∴AE ＝ 2.∵DF 垂直平分AC ，∴CE ＝AE ＝ 2. ∴BC ＝1＋ 2.∵∠C ＋∠CAB＝90°，∠DFA ＋∠CAB＝90°，∴∠ACB ＝∠DFA. 又∠CBA ＝∠FBE＝90°，A B ＝BE ，∴△CAB ≌△FEB.∴BF ＝BC ＝1＋ 2.∴EF 2＝BE 2＋BF 2＝12＋(1＋2)2＝4＋2 2.∴S ⊙O ＝π·(EF 2)2＝2＋22π.(3)∵AB＝BE ，∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝45°.∵EA ＝EC ，∴∠C ＝22.5°.∴∠H ＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.∵BH 平分∠CBF，∴∠EBG ＝∠HBF＝45°.∴∠BGE ＝∠BFH＝67.5°.∴BG ＝BE ＝1，BH ＝BF ＝1＋ 2.∴GH ＝BH －BG ＝ 2.∴HB ·HG ＝2×(1＋2)＝2＋ 2.11．(2015·内江)如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． (1)试说明CE 是⊙O 的切线；(2)若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；(3)设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．解：(1)证明：连接OC.∵CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，∴∠E ＝∠CAE＝30°，∠COE ＝2∠A＝60°.∴∠OCE ＝90°.∴CE 是⊙O 的切线．(2)过点C 作CH⊥AB 于点H ，由题可得CH ＝h.在Rt △OHC 中，CH ＝OC·sin ∠COH ，∴h ＝OC·sin 60°＝32OC.∴OC ＝2h 3＝233h.∴AB ＝2OC ＝433h.(3)作OF 平分∠AOC，交⊙O 于点F ，连接AF ，CF ，DF.则∠AOF＝∠COF＝12∠AOC＝12×(180°－60°)＝60°.∵OA ＝OF ＝OC ，∴△AOF ，△COF 是等边三角形．∴AF ＝AO ＝OC ＝FC.∴四边形AOCF 是菱形．∴根据对称性可得DF ＝DO.过点D 作DM⊥OC 于点M ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC＝30°.∴DM ＝DC·sin ∠DCM ＝DC·sin 30°＝12DC. ∴12CD ＋OD ＝DM ＋FD. 根据两点之间线段最短可得：当F ，D ，M 三点共线时，DM ＋FD(即12CD ＋OD)最小，此时FM ＝OF·sin ∠FOM ＝32OF ＝6，则OF ＝43，AB ＝2OF ＝8 3. ∴当12CD ＋OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为8 3.12．(2014·南充)如图，已知AB 是⊙O 的直径，BP 是⊙O 的弦，弦CD⊥AB 于点F ，交BP 于点G ，E 在CD 的反向延长线上，EP ＝EG ，(1)求证：直线EP 为⊙O 的切线；(2)点P 在劣弧AC 上运动，其他条件不变，若BG 2＝BF·BO.试证明BG ＝PG ；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O 的半径为3，sin B ＝33.求弦CD 的长．解：(1)证明：连接OP.∵EP ＝EG ，∴∠EGP ＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG ＝∠BGF.∵OP ＝OB ，∴∠OPB ＝∠OBP.∵CD ⊥AB ，∴∠BGF ＋∠OBP＝90°.∴∠EPG ＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直线EP 为⊙O 的切线．(2)证明：连接OG ，AP.∵BG 2＝BF·BO，∴BG BO ＝BF BG. 又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG ∽△BGO.∴∠BGF ＝∠BOG，∠BGO ＝∠BFG＝90°.∵∠APB ＝∠OGB＝90°，∴OG ∥AP.又∵AO＝BO ，∴BG ＝PG.(3)连接AC ，BC.∵sin B ＝33，∴OG OB ＝33. ∵OB ＝r ＝3，∴OG ＝ 3.由(2)得∠EPG＋∠OPB＝90°，∠B ＋∠BGF＝∠OGF＋∠BOG＝90°，又∵∠BGF＝∠BOG，∴∠B ＝∠OGF.∴sin ∠OGF ＝33＝OF OG.∴OF＝1. ∴BF ＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4.在Rt △BCA 中，CF 2＝BF·FA，∴CF ＝BF·FA＝2×4＝2 2.∴CD ＝2CF ＝4 2.13．(2016·攀枝花)如图，在△AOB 中，∠AOB 为直角，OA ＝6，OB ＝8，半径为2的动圆圆心Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒(0＜t≤5)以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB ，OA 的交点分别为C ，D ，连接CD ，QC.(1)当t 为何值时，点Q 与点D 重合？(2)当⊙Q 经过点A 时，求⊙P 被OB 截得的弦长；(3)若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．解：(1)∵在Rt △AOB 中，OA ＝6，OB ＝8，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝10.由题意知OQ ＝AP ＝t ，∴AC ＝2t.∵AC 是⊙P 的直径，∴∠CDA ＝90°.又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB ＝∠CDA.∴CD ∥OB.∴△ACD ∽△ABO.∴AC AB ＝AD OA ，即2t 10＝AD 6. ∴AD ＝65t. 当Q 与D 重合时，AD ＋OQ ＝OA ，∴65t ＋t ＝6.解得t ＝3011. (2)如图1，当⊙Q 经过A 点时，OQ ＝OA －QA ＝4.∴t ＝41＝4.∴PA＝4.∴BP＝AB －PA ＝6. 过点P 作PE⊥OB 于点E ，设⊙P 与OB 交于点F ，G ，连接PF.∴PE ∥OA.∴△PEB ∽△AOB.∴PE OA ＝BP AB ，即PE 6＝610.∴PE ＝185. ∴在Rt △PEF 中，EF ＝PF 2－PE 2＝42－（185）2＝2195.∴FG ＝2EF ＝4195.(3)如图2，当QC 与⊙P 相切时，此时∠QCA＝90°. ∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6－t ，AC ＝2t.∵∠A ＝∠A，∠QCA ＝∠BOA，∴△AQC ∽△ABO.∴AQAB ＝AC OA ，即6－t10＝2t6.解得t ＝1813.∴当0＜t≤1813时，⊙P 与QC 只有一个交点，当QC⊥OA 时，此时Q 与D 重合，由(1)可知t ＝3011.∴当3011＜t≤5时，⊙P 与QC 只有一个交点．综上所述，当⊙P 与QC 只有一个交点，t 的取值范围为0＜t≤1813或3011＜t≤5.。

中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)

几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。

2017成都市中考数学试卷及答案详解(K12教育文档)

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2017年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃2．（3分)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时,上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实,用科学记数法表示647亿元为（）A．647×108B．6.47×109C．6。

47×1010D．6.47×10114．（3分)二次根式中，x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜15．(3分）下列图标中,既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．6．（3分）下列计算正确的是（)A．a5+a5=a10B．a7÷a=a6C．a3•a2=a6D．（﹣a3）2=﹣a67．(3分)学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等"的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：得分（分) 60 70 80 90 100人数(人） 7 12 10 8 3则得分的众数和中位数分别为（)A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分,80分D．80分，70分8．（3分)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA：OA′=2:3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为( ）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( ）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分）11．（4分)(﹣1）0= ．12．(4分)在△ABC中,∠A：∠B:∠C=2：3：4,则∠A的度数为．13．（4分)如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞"或“＜”）．14．（4分)如图,在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心,以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC,BC=3，则平行四边形ABCD周长为．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）(1)计算：|﹣1｜﹣+2sin45°+（）﹣2；（2）解不等式组:．16．(6分）化简求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解"“了解较少"“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；（2）“非常了解"的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．18．(8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B,C两地的距离．19．（10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．(1）求反比例函数的表达式和点B的坐标;（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．20．(12分)如图,在△ABC中,AB=AC，以AB为直径作圆O,分别交BC于点D，交CA 的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1)求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值;(3）若EA=EF=1，求圆O的半径．四、填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分)21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是．22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a= ．23．(4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1,针尖落在⊙O内的概率为P2,则= ．24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x,y），我们把点P′(，)称为点P的“倒影点",直线y=﹣x+1上有两点A,B,它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k= ．25．（4分)如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分线DE 折叠，如图2，点C落在点C′处,最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A，B，C，D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数,其关系如下表：地铁站 A B C D Ex（千米） 8 9 10 11。

(宜宾专版)中考数学第3编创新分类突破篇题型4 几何综合、探究题(精讲)试题-人教版初中九年级

题型四几何综合、探究题某某市中考创新试题对几何的考查涉及平行线与相交线、三角形、四边形、圆、图形变化、视图与投影几部分，考题多以填空题、选择题、解答题、实践操作题、拓展探究题等形式出现．这部分内容的考题大多为容易题或中难题，但有的与其他知识点综合在一起出现高难度题．高难度题目在填空、选择、解答题中都有，主要综合了三角形、四边形、圆、图形变化等知识．题目涉及图形的面积、动态几何、比例线段、比例性质、圆的相关定理．考查学生的知识面、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．【例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，OP交⊙O于点C，连结BO并延长交⊙O于点D，交PA的延长线于点E，连结AD，BC.下列结论：①AD∥PO；②△ADE∽△PCB；③tan∠EAD＝EDEA；④BD2＝2AD·OP.其中一定正确的是(A)A．①③④B．②④C．①②③D．①②③④【解析】连结OA，如图，根据切线的性质得∠APO＝∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB，根据等角的余角相等得∠2＝∠4，再利用三角形外角性质可得∠3＝∠4，于是可判断OP∥AD，则可对①进行判断；根据平行线的性质，由OP∥AD，得到∠ADE＝∠POE，再利用邻补角定义得∠POE＋∠COB＝180°，∠PCB＋∠OCB＝180°，由于∠COB≠∠OCB，则∠PCB≠∠ADE，所以不能判断△ADE∽△PCB，则可对②进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由OP∥AD 得EA AP ＝ED DO ，且∠EAD＝∠EPO，则ED EA ＝DO AP ，再在Rt △AOP 中，利用正切定理得到tan ∠APO ＝OAAP ＝OD AP ，所以tan ∠EAD ＝ED EA ，则可对③进行判断；连结AB ，证明Rt △ABD ∽△BPO 得到AO OB ＝BD OP ，由OB ＝12BD 即可得到BD 2＝2AD·OP，则可对④进行判断．【答案】A【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．【例2】如图为一个半径为4 m 的圆形广场，其中放有六个宽为1 m 的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为________m .【解析】设圆心是O ，连结OA ，OB ，作OC⊥BC 于C.设长方形的摊位长是2x m ，在直角△OAD 和直角△OBC 中，利用勾股定理和三角函数表示出OC 和OD 的长，根据OC －OD ＝1即可列方程求得．【答案】－3＋372【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键．【例3】(2015某某中考模拟)在图①至图③中，点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，△BCF 和△CDG 都是等边三角形，点M 为AE 的中点，连结FG.(1)如图①，若点E 在AC 的延长线上，点M 与点C 重合，则△FMG________(选填“是”或“不是”)等边三角形；(2)将图①中的CE 缩短，得到图②.求证：△FMG 为等边三角形；(3)将图②中的CE 绕点E 顺时针旋转一个锐角，得到图③.求证：△FMG 为等边三角形．【解析】(1)如图①，易证FM ＝BM ＝MD ＝MG ，∠FMG ＝60°，即可得到△FMG 是等边三角形；(2)如图②，易证BD ＝BC ＋CD ＝AM ，从而可得MD ＝AB.由△BCF 和△CDG 都是等边三角形，可得BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°，从而可证到MD ＝BF ，BM ＝GD ，进而可得到△FBM≌△MDG，则有MF ＝GM ，∠BFM ＝∠D MG ，从而可证到∠FMG＝60°，即可得到△FMG 为等边三角形；(3)如图③，连结BM ，DM ，根据三角形中位线定理可得BM∥CE，BM ＝12CE ＝CD ，DM ∥AC ，DM ＝12AC ＝BC.再根据△BCF 和△CDG 都是等边三角形，可得BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°，从而得到BF ＝BC ＝DM ，BM ＝CD ＝GD ，∠FBC ＝∠GDC.由BM∥CE，DM ∥AC ，可得四边形BCDM 是平行四边形，从而得到∠BMD＝∠DCB＝120°，∠CDM ＝∠MBC＝60°，即可得到∠FBM ＝∠GDM＝120°，即可得到△FBM≌△MDG，则有MF ＝GM ，∠FMB ＝∠MGD，从而可得∠FMG＝∠BMD－∠FMB－∠GMD＝∠BMD－∠MGD－∠GMD ＝60°，即可得到△FMG 为等边三角形．【答案】解：(1)是；(2)如图②，∵点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 为AE 的中点， ∴AB ＝BC ＝12AC ，CD ＝DE ＝12CE ，AM ＝ME ＝12AE ，∴BD ＝BC ＋CD ＝12AC ＋12CE ＝12AE ＝AM ，即BM ＋MD ＝BM ＋AB ，∴MD ＝AB. ∵△BCF 和△CDG 都是等边三角形，∴BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°， ∴MD ＝AB ＝BC ＝BF ，BM ＝BC －MC ＝MD －MC ＝CD ＝GD.在△FBM 和△MDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝DM ，∠FBM ＝∠MDG，BM ＝DG ，∴△FBM ≌△MDG ， ∴MF ＝GM ，∠BFM ＝∠DMG. ∵∠BFM ＋∠FMB＋∠FBM ＝180°， ∠DMG ＋∠FMB＋∠FMG＝180°， ∴∠FMG ＝∠FBM＝60°， ∴△FMG 为等边三角形； (3)如图，连结BM ，DM.∵点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 为AE 的中点，∴BM ∥CE ，BM ＝12CE ＝CD ，DM ∥AC ，DM ＝12AC ＝BC.∵△BCF 和△CDG 都是等边三角形，∴BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°， ∴BF ＝BC ＝DM ，BM ＝CD ＝GD ，∠FBC ＝∠GDC. ∵BM ∥CE ，DM ∥AC ，∴四边形BCDM 是平行四边形，∴∠BMD ＝∠DCB＝120°，∠CDM ＝∠MBC＝60°， ∴∠FBM ＝∠GDM＝120°.在△FBM 和△MDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝DM ，∠FBM ＝MDG ，BM ＝DG ，∴△FBM ≌△MDG ， ∴MF ＝GM ，∠FMB ＝∠MGD，∴∠FMG ＝∠BMD－∠FMB－∠GMD＝∠BMD－∠MGD－∠GMD＝120°－(180°－120°)＝60°，∴△FMG为等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，借鉴解决第(2)小题的经验(通过证明△FBM≌△MDG来解决问题)，是解决第(3)小题的关键．【针对练习】1．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是(B)A．12πB．24πC．6πD．36π,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝6，将其折叠，使点D与点B重合，tan∠BFE的值是(D)A.12B．1 C．2 D．33．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BO C＝(A)A．130°B．100°C．50°D．65°,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．如图，BC是半径为1的⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA是⊙O的切线，A为切点，AD⊥BC于点D，且点D是OC中点，则PB· PC＝ __3__．5．(2014某某创新考试)如图，一组平行线l1，l2，l3分别与∠O的两边相交于点A1，A2，A3和点B1，B2，B3，且梯形A1B1B2A2，A2B2B3A3的面积相等．设线段OA1＝1，OA2＝2，则线段A2A3＝__7－2__．,(第5题图)) ,(第6题图))6．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC＝__45__°. 7．(2015某某拔尖考试)如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°，E 为BC 上一点，连结AE 与OC 交于点D ，∠CAE ＝∠CBA.(1)求证：AE⊥OC；(2)若⊙O 的半径为5，AE 的长为6，求AD 的长．解： (1)∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA ＋∠CAB＝90°. ∵∠CAE ＝∠CBA， ∴∠CAE ＋∠CAB＝90°. ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO， ∴∠CAE ＋∠ACO＝90°， ∴∠ADC ＝90°， ∴AE ⊥OC ；(2)∵∠CAE＝∠CBA，∠ACB ＝∠ACE， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴CE AC ＝AE AB ＝610＝35， ∴设AC ＝5x ，CE ＝3x ，∴AE ＝（5x ）2＋（3x ）2＝34x ＝6， ∴x ＝33417，∴AC ＝153417，∵∠CAE ＝∠CAD，∠ACE ＝∠ADC，∴△ACD∽△AEC，∴ACAE＝ADAC，∴AD＝AC2AE＝7517.8．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，tan∠ADC＝2.(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，连结DE，CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当CE＝2BE，∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值．解：(1)作AP⊥DC于点P.∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形APCB是矩形，∴PC＝AB＝2，AP＝BC＝4.在Rt△ADP中，tan∠ADC＝APDP＝2，∴DP＝2，∴DC＝DP＋PC＝4＝BC；(2)EF＝2CE.证明如下：由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴EF＝CF2＋CE2＝2CE2＝2CE；(3)由(2)得∠CEF＝45°.∵∠BEC＝135°，∴∠BEF＝90°.设BE＝a，则CE＝2a，∴EF ＝2CE 2＝22a.在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BF ＝3a ， ∴cos ∠BFE ＝EF BF ＝223.9．半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P.已知BC∶CA＝4∶3，点P 在AB ︵上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； (2)当点P 运动到AB ︵的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．解：(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D. ∵AB 为O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，AB ＝5. 又∵BC∶CA＝4∶3， ∴BC ＝4，AC ＝3. 又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD ＝125，∴PC ＝245.在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ＝90°，∠CAB ＝∠CPQ， ∴Rt △ACB ∽Rt △PCQ ， ∴AC BC ＝PC CQ， ∴CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC ＝325；(2)当点P 运动到AB ︵的中点时，过点B 作BE⊥PC 于点E ，如答图．∵P 为AB ︵的中点， ∴∠PCB ＝45°， CE ＝BE ＝22BC ＝2 2. 又∠CPB＝∠CAB，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43，∴PE ＝BE tan ∠CPB ＝322，∴PC ＝PE ＋EC ＝722，∴CQ ＝tan ∠CPB ·PC ＝1423；(3)点P 在弧AB 上运动时，恒有 CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC ；故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203.10．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，点M 为BC 边上一动点(点M 与点B ，C 不重合)，连结AM ，过点M 作MN⊥AM，垂足为M ，MN 交CD 或CD 的延长线于点N.(1)求证：△CMN∽△BAM；(2)设BM ＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数表达式．当x 取何值时，y 有最大值？并求出y 的最大值；(3)当点M 在BC 上运动时，求使得下列两个条件都成立的b 的取值X 围：①点N 始终在线段CD 上，②点M 在某一位置时，点N 恰好与点D 重合．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C＝90°， ∴∠BAM ＋∠AMB＝90°. ∵MN ⊥AM, 即∠AMN＝90°， ∴∠CMN ＋∠AMB＝90°， ∴∠BAM ＝∠CMN， ∴△CMN ∽△BAM ； (2)∵△CMN∽△BAM， ∴CMBA ＝BM. ∵BM ＝x ，＝y ，AB ＝a ，BC ＝AD ＝b ， ∴b －x a ＝yx， ∴y ＝1a (bx －x 2)＝－1a(x 2－bx)＝－1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22－b 24＝－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24a∵－1a<0，∴当x ＝b 2时，y 取最大值，最大值为b24a ；(3)由题可知：当0<x<b 时，y 的最大值为a ，即b24a ＝a ，解得b ＝2a.∴要同时满足两个条件，b 的值为2a.11．如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交 ⊙O 于C ，D 两点，直径AB⊥CD，点M 是直线CD 上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN.(1)当点M在⊙O内部，如图①，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；(2)当点M在⊙O外部，如图②，其他条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；(3)当点M在⊙O外部，如图③，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．解：(1)PN与⊙O相切．如图①，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO，∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN与⊙O相切；(2)成立．如图②，连结ON，则∠ONA＝∠OAN.∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.在Rt△AOM中，∵∠OMA＋∠OAM＝90°，∴∠PNM＋∠ONA＝90°，∴∠PNO＝180°－90°＝90°，即PN与⊙O相切；(3) 如图③，连结ON，由(2)可知∠ONP＝90°.∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，∴∠PON＝60°，∠AON＝30°. 作NE⊥OD，垂足为点E，则NE＝ON·sin60°＝1×32＝32，∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝12OC·OA＋30360×π×12－12CO·NE＝12＋112π－34.。

【配套K12】中考数学专题复习六求最短路径问题

中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

中考复习【数学】2017年四川省南充市中考真题(解析版)

2AO•BO=4，∴菱形的面积= 1 AC•BD=2AO•BO=4；故选 D． 2
考点：菱形的性质． 10．【答案】D．
考点：二次函数图象与系数的关系．二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】2．
【解析】试题分析：去分母得：1=m﹣1，解得：m=2，经检验 m=2 是分式方程的解，故答案为：2．考点：解分式方程．
试题解析：原式=
x2 x2
x
x
x
x x
1 1
=
x2 x(x 1)
x x
1 1
=
x
x 1
∵x﹣1≠0，x（x+1）≠0，∴x≠±1，x≠0，当 x=5 时，原式= 5 = 5 ． 51 4
考点：分式的化简求值．
18．
【答案】（1）60，72；（2）360．
【解析】
补全的条形统计图如图所示；
（2）由题意可得，800× 27 =360． 60
12．【答案】 5 ．
【解析】
试题分析：原式= 5 ﹣1+1= 5 ．故答案为： 5 ．
考点：实数的运算；零指数幂．
13．【答案】 1 ． 9
【解析】
试题分析：画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为 1，所以则两辆汽车都直行的概
率为 1 ，故答案为： 1 ．
9
9
考点：列表法与树状图法． 14．【答案】4．
考点：平行四边形的性质． 15．【答案】0.3．【解析】
考点：一次函数的应用． 16．【答案】①②③．【解析】试题分析：设 BE，DG 交于 O，∵四边形 ABCD 和 EFGC 都为正方形，∴BC=CD，CE=CG， ∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE 和△DCG 中，∵BC=DC，∠BCE=∠DCG，CE=CG，∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC=90°，∴BE ⊥DG；故①②正确；连接 BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，则 BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正确．故答案为：①②③．

2017中考精英人教版数学专题总复习：专题十一二次函数与几何图形综合题(含答案)

专题十一二次函数与几何图形综合题与线段有关的问题【例1】(2016·梅州)如图在平面直角坐标系中已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A B C 三点点A 的坐标是(30)点C 的坐标是(0－3)动点P 在抛物线上．(1)b ＝__－2__c ＝__－3__点B 的坐标为__(－10)__；(直接填写结果)(2)是否存在点P 使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在说明理由；(3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E 交直线AC 于点D 过点D 作x 轴的垂线垂足为F 连接EF 当线段EF 的长度最短时求出点P 的坐标．分析：(2)分别过点C A 作AC 的垂线交抛物线于P 1P 2两点求出交点坐标即可；(3)连接OD 证四边形OEDF 为矩形得到OD ＝EF 由垂线段最短求出点D 的纵坐标从而得到点P 的纵坐标即可求出点P 的坐标．解：(2)存在．理由：如图1①当∠ACP 1＝90°易求直线AC 的解析式为y ＝x －3∴直线CP 1的解析式为y ＝－x －3将y ＝－x －3与y ＝x 2－2x －3联立解得x 1＝1x 2＝0(舍去)∴点P 1的坐标为(1－4)；②当∠P 2AC ＝90°时易求直线AP 2的解析式为y ＝－x ＋3将y ＝－x ＋3与y ＝x 2－2x －3联立解得x 1＝－2x 2＝3(舍去)∴点P 2的坐标为(－25)．综上所述P 的坐标是(1－4)或(－25)(3)如图2连接OD 由题意可知四边形OFDE 是矩形则OD ＝EF.根据垂线段最短可得当OD ⊥AC 时OD 最短即EF 最短．由(1)可知在Rt △AOC 中∵OC ＝OA ＝3OD ⊥AC ∴D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ∴DF ＝12OC ＝32∴点P 的纵坐标是－32令x 2－2x －3＝－32解得x ＝2±102.∴当EF 最短时点P 的坐标是(2＋102－32)或(2－102－32)与面积有关的问题【例2】(2016·永州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－10)(30)两点与y 轴交于点C 直线y ＝kx 与抛物线交于A B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时求k 的值及A B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为3102？若存在求出k 的值；若不存在请说明理由．分析：(2)将y ＝kx 代入抛物线解析式得到关于x 的一元二次方程由根与系数的关系可得x A ＋x B ＝2＋k 由点O 为线段AB 的中点可得x A ＋x B ＝0由此求出k 值代入一元二次方程求出x A x B 即可求出点A B 的坐标；(3)假设存在利用三角形的面积公式及(2)中根与系数的关系可得出关于k 的一元二次方程根据此方程解的情况判断k 是否存在．解：(1)(0－3)y ＝x 2－2x －3(2)将y ＝kx 代入y ＝x 2－2x －3中得kx ＝x 2－2x －3整理得x 2－(2＋k)x －3＝0∴x A ＋x B ＝2＋k x A x B ＝－3.∵原点O 为线段AB 的中点∴x A ＋x B ＝2＋k ＝0∴k ＝－2.当k ＝－2时x 2－3＝0解得x A ＝－3x B ＝3∴y A ＝－2x A ＝23y B ＝－2x B ＝－23.故k 的值为－2点A 的坐标为(－323)点B 的坐标为(3－23)(3)假设存在．由(2)可知x A ＋x B ＝2＋k x A x B ＝－3S △ABC ＝12OC·|x A －x B |＝12×3×（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝3102∴(2＋k)2－4×(－3)＝10即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2≥0∴方程无解故假设不成立即不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102与三角形全等、相似有关的问题【例3】(2016·黔东南州)如图直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别相交于点B C 经过B C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A 顶点为P 且对称轴为直线x ＝2.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB PC 求△PBC 的面积；(3)连接AC 在x 轴上是否存在一点Q 使得以点P B Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．分析：(2)利用各点坐标求出三边长得出△PBC 是直角三角形即可求出面积；(3)分情况讨论：①当BQ BC ＝PB AB ∠PBQ ＝∠ABC ＝45°时根据比例关系式得出BQ 的长即可得出点Q 的坐标；②当QB AB ＝PB CB∠QBP ＝∠ABC ＝45°时同理可求出点Q 的坐标；③当点Q 在点B 右侧时可得出∠PBQ ≠∠BAC 因此此种情况不成立综上所述即可得出符合条件的点Q 的坐标．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1∴P(2－1)又∵B(30)C(03)∴PC ＝22＋42＝25PB ＝（3－2）2＋12＝2BC ＝32＋32＝32∴PB 2＋BC 2＝PC 2∴△PBC 是直角三角形且∠PBC ＝90°∴S △PBC ＝12PB·BC ＝12×2×32＝3(3)如图设抛物线的对称轴交x 轴于点M∵在Rt △PBM 中PM ＝MB ＝1∴∠PBM ＝45°PB ＝ 2.由点B(30)C(03)易得OB ＝OC ＝3在等腰直角三角形OBC 中∠ABC ＝45°由勾股定理得BC ＝3 2.假设在x 轴上存在点Q 使得以点P B Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．①当BQ BC ＝PB AB ∠PBQ ＝∠ABC ＝45°时△PBQ ∽△ABC 即BQ 32＝22解得BQ ＝3又∵BO ＝3∴点Q 与点O 重合∴Q 1的坐标是(00)；②当QB AB ＝PB CB ∠QBP ＝∠ABC ＝45°时△QBP ∽△ABC 即QB 2＝233解得QB ＝23∵OB ＝3∴OQ ＝OB －QB ＝3－23＝73∴Q 2的坐标是(730)；③当Q 在B 点右侧则∠PBQ ＝180°－45°＝135°∠BAC ＜135°故∠PBQ ≠∠BAC则点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上．综上所述点Q 的坐标为(00)或(730)特殊三角形问题【例4】(2016·漳州)如图抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(30)与y 轴交于点C(03)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是在x 轴下方抛物线上的动点过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N 求线段MN 的最大值；(3)在(2)的条件下当MN 取得最大值时在抛物线的对称轴l 上是否存在点P 使△PBN是等腰三角形？若存在请直接写出所有点P 的坐标；若不存在请说明理由．分析：(2)设出点M 的坐标结合点M 的坐标和直线BC 的解析式可得点N 的坐标由此得出线段MN 的长度关于m 的函数关系式由点M 在x 轴下方可找出m 的取值范围利用二次函数的性质即可求出最值；(3)假设存在设出点P 的坐标结合(2)的结论可求出点N 的坐标从而利用两点间的距离公式求出线段PNPB BN 的长度根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n 值从而得出点P 的坐标．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3(2)设点M 的坐标为(m m 2－4m ＋3)易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.∵MN ∥y 轴∴点N 的坐标为(m －m ＋3)．∵抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1∴抛物线的对称轴为x ＝2与x 轴另一交点A 为(10)∴1＜m ＜3.∵MN ＝－m ＋3－(m 2－4m＋3)＝－m 2＋3m ＝－(m －32)2＋94∴当m ＝32时线段MN 取最大值最大值为94(3)假设P 点存在．设点P 的坐标为(2n)．当m ＝32时点N 的坐标为(3232)∴PB ＝（2－3）2＋（n －0）2＝1＋n 2PN ＝（2－32）2＋（n －32）2BN ＝（3－32）2＋（0－32）2＝322.△PBN 为等腰三角形分三种情况：①当PB ＝PN 时即1＋n 2＝（2－32）2＋（n －32）2解得n ＝12此时点P 的坐标为(212)；②当PB ＝BN 时即1＋n 2＝322解得n ＝±142此时点P 的坐标为(2－142)或(2142)；③当PN ＝BN 时即（2－32）2＋（n －32）2＝322解得n ＝3±172此时点P 的坐标为(23－172)或(23＋172)．综上可知点P 的坐标为(212)(2－142)(2142)(23－172)或(23＋172)特殊四边形问题【例5】(2016·毕节)如图已知抛物线y ＝x 2＋bx 与直线y ＝2x ＋4交于A(a 8)B 两点点P 是抛物线上A B 之间的一个动点过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C E.(1)求抛物线的解析式；(2)若C 为AB 的中点求PC 的长；(3)如图以PC PE 为边构造矩形PCDE 设点D 的坐标为(m n)请求出m n 之间的关系式．分析：(2)联立抛物线和直线解析式求出B 点坐标从而求出C 点坐标结合条件可知P 点纵坐标代入抛物线解析式可求P 点横坐标从而可求PC 的长；(3)根据矩形的性质分别用m n 表示出点C P 的坐标根据DE ＝CP可得到m n 的关系式．解：(1)y ＝x 2＋2x (2)y ＝x 2＋2x y ＝2x ＋4x 1＝2y 1＝8x 2＝－2y 2＝0.∴B 点坐标为(－20)∵A(28)B(－20)C 为中点∴C 点坐标为(04)又PC ∥x 轴∴P 点纵坐标为4∵P 点在抛物线上令4＝x 2＋2x 解得x ＝－1－5或x ＝5－1又P 点在A B 之间的抛物线上∴x ＝－1－5不合题意舍去∴P 点坐标为(5－14)∴PC ＝5－1－0＝5－1(3)∵D(m n)且四边形PCDE 为矩形∴C 点横坐标为m E 点纵坐标为n ∵C E都在直线y ＝2x ＋4上∴C(m 2m ＋4)E(n －42n)∵PC ∥x 轴PE ∥y 轴∴P 点纵坐标为2m ＋4横坐标为n －42即点P 的坐标为(n －422m ＋4)．∵P 点在抛物线上∴2m ＋4＝(n －42)2＋2(n －42)整理可得n 2－4n －8m －16＝0∴m ＝18n 2－12n －21(导学号59042313)(2016·遵义)如图在平面直角坐标系中Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－83)B(－40)C(－43)∠ABC ＝α°.抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C 且对称轴为x ＝－45并与y 轴交于点G.(1)求抛物线的解析式及点G 的坐标；(2)将Rt △ABC 沿x 轴向右平移m 个单位使B 点移到点E 然后将三角形绕点E 顺时针旋转α°得到△DEF 若点F 恰好落在抛物线上．①求m 的值；②连接CG 交x 轴于点H 连接FG 交x 轴于点Q 过B 作BP ∥FG 交CG 于点P 求证：PH ＝GH.解：(1)y ＝12x 2＋45x －95点G(0－95)(2)①过F 作FM ⊥y 轴交DE 于点M 交y 轴于点N 由题意可知AC ＝4BC ＝3则AB ＝5FM ＝125∵Rt △ABC 沿x 轴向右平移m 个单位使B 点移到点E ∴E(－4＋m 0)OE ＝MN ＝4－mFN ＝125－(4－m)＝m －85在Rt △FME 中由勾股定理得EM ＝32－（125）2＝95∴F(m －8595)∵点F 在抛物线上∴95＝12(m －85)2＋45(m －85)－95即5m 2－8m －36＝0解得m 1＝－2(舍去)m 2＝185则m 的值为185②易求得FG 的解析式为y ＝95x －95CG 解析式为y ＝－65x －95令95x －95＝0得x ＝1则Q(10)令－65x －95＝0得x ＝－1.5则H(－1.50)∴BH ＝4－1.5＝2.5HQ ＝1.5＋1＝2.5∴BH ＝QH ∵BP ∥FG ∴∠PBH ＝∠GQH ∠BPH ＝∠QGH ∴△BPH ≌△QGH(AAS )∴PH ＝GH 2(导学号59042314)(2016·枣庄)如图已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1且抛物线经过A(10)C(03)两点与x 轴交于点B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B C 两点求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M 使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：(1)y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋3(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M 则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝－1代入y ＝x ＋3得y ＝2∴M(－12)(3)设P(－1t)又∵B(－30)C(03)∴BC 2＝18PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10①若点B 为直角顶点则BC 2＋PB 2＝PC 2即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10解得t ＝－2；②若点C 为直角顶点则BC 2＋PC 2＝PB 2即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2解得t ＝4；③若点P 为直角顶点则PB 2＋PC 2＝BC 2即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18解得t 1＝3＋172t 2＝3－172.综上所述P 的坐标为(－1－2)或(－14)或(－13＋172)或(－13－172)3(导学号59042315)(2016·安顺)如图抛物线经过A(－10)B(50)C(0－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P 使PA ＋PC 的值最小求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点在抛物线上是否存在一点N 使以A C M N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在求点N 的坐标；若不存在请说明理由．解：(1)y ＝12x 2－2x －52(2)∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52∴其对称轴为直线x ＝－b 2a ＝2如图1连接BC PA ＋PC ＝BC 且为最小值．∵B(50)C(0－52)可求直线BC 的解析式为y ＝12x －52当x ＝2时y ＝1－52＝－32∴P(2－32)(3)存在．如图2①当点N 在x 轴下方时∵抛物线的对称轴为直线x ＝2C(0－52)CN 1∥x 轴则y ＝－52x ＝4∴N 1(4－52)；②当点N 在x 轴上方时过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D 可证△AN 2D ≌△M 2CO(ASA )∴N 2D ＝OC ＝52即N 2点的纵坐标为52令12x 2－2x －52＝52解得x ＝2＋14或x ＝2－14∴N 2(2＋1452)N 3(2－1452)．综上所述符合条件的点N 的坐标为(4－52)(2＋1452)或(2－1452)1(导学号59042316)(2016·深圳)如图抛物线y ＝ax 2＋2x －3与x 轴交于A B 两点且B(10)．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)如图①点P 是直线y ＝x 上的动点当直线y ＝x 平分∠APB 时求点P 的坐标；(3)如图②已知直线y ＝23x －49分别与x 轴、y 轴交于C F 两点点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点过点Q 作y 轴的平行线交直线CF 于点D 点E 在线段CD 的延长线上连接QE.问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在请求出这个最大值；若不存在请说明理由．解：(1)y ＝x 2＋2x －3A(－30)(2)若y ＝x 平分∠APB 则∠APO ＝∠BPO 如图1若P 点在x 轴上方PA 与y 轴交于点B′由于点P 在直线y ＝x 上可知∠POB ＝∠POB′＝45°可证△BPO ≌△B′PO(ASA )∴BO ＝B′O ＝1易求直线AP 解析式为y ＝13x ＋1y ＝x y ＝13x ＋1x ＝32y ＝32∴P 点坐标为(3232)；若P 点在x 轴下方时同理可得△BOP ≌△B′OP ∴∠BPO ＝∠B′PO 又∠B′PO 在∠APO 的内部∴∠APO ≠∠BPO 即此时没有满足条件的P 点．综上可知P 点坐标为(3232)(3)如图2作QH ⊥CE 于点H 可求C(230)F(0－49)∴tan ∠OFC ＝OC OF ＝32∵DQ ∥y 轴∴∠QDH ＝∠GFD ＝∠OFC ∴tan ∠HDQ ＝32设DQ ＝t 可求DH ＝213t HQ ＝313t ∵△QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形若DQ ＝DE 则S △DEQ ＝12DE·HQ ＝12×313t ×t ＝31326t 2；若DQ ＝QE 则S △DEQ ＝12DE·HQ ＝12×2DH·HQ ＝12×413t ×313t ＝613t 2∵31326t 2＜613t 2∴当DQ ＝QE 时△DEQ 的面积最大．设Q 点坐标为(x x 2＋2x －3)则D(x23x －49)∵Q 点在直线CF 的下方∴DQ ＝t ＝23x －49－(x 2＋2x －3)＝－x 2－43x ＋239当x ＝－23时t max ＝3∴(S △DEQ )max ＝613t 2＝5413即以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为54132(导学号59042317)(2016·山西)如图在平面直角坐标系中已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A B 两点与y 轴交于点C 直线l 经过坐标原点O 与抛物线的一个交点为D 与抛物线的对称轴交于点E 连接CE 已知点A D 的坐标分别为(－20)(6－8)．(1)求抛物线的函数表达式并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F 使△FOE ≌△FCE ？若存在请直接写出点F 的坐标；若不存在请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点设其坐标为(0m)直线PB 与直线l 交于点Q 试探究：当m 为何值时△OPQ 是等腰三角形．解：(1)易求抛物线解析式为y ＝12x 2－3x －8∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252∴抛物线对称轴为直线x ＝3又∵抛物线与x 轴交于A B 两点点A 坐标(－20)∴点B 坐标(80)．易求直线l 的解析式为y ＝－43x ∵点E 为直线l 与抛物线的对称轴的交点∴点E 的横坐标为3纵坐标为－43×3＝－4∴点E 坐标(3－4)(2)抛物线上存在点F 使得△FOE ≌△FCE 此时点F 纵坐标为－4∴12x 2－3x －8＝－4∴x 2－6x －8＝0解得x ＝3±17∴点F 坐标为(3＋17－4)或(3－17－4)(3)①如图1当OP ＝OQ 时△OPQ 是等腰三角形∵点E 坐标(3－4)∴OE ＝32＋42＝5过点E 作直线ME ∥PB 交y 轴于点M 交x 轴于点H 则OM OP ＝OE OQ ∴OM ＝OE ＝5∴点M 坐标(0－5)可求直线ME 解析式为y ＝13x －5令y ＝0得13x －5＝0解得x ＝15∴点H 坐标为(150)∵MH ∥PB ∴OP OM ＝OB OH 即－m 5＝815∴m ＝－83；②如图2当QO ＝QP 时△POQ 是等腰三角形∵当x ＝0时y ＝12x 2－3x －8＝－8∴点C 坐标(0－8)∴CE ＝32＋（8－4）2＝5∴OE ＝CE ∴∠1＝∠2∵QO ＝QP ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴CE ∥PB 可求直线CE 解析式为y ＝43x －8令y ＝0得43x －8＝0∴x ＝6∴点N 坐标(60)∵CN ∥PB ∴OP OC ＝OB ON ∴－m 8＝86∴m ＝－323.综上所述当m ＝－83或－323时△OPQ 是等腰三角形3(导学号59042318)(2016·聊城)如图已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－30)B(90)和C(04)CD 垂直于y 轴交抛物线于点D DE 垂直于x 轴垂足为E l 是抛物线的对称轴点F 是抛物线的顶点．(1)求出二次函数的解析式及点D 的坐标；(2)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合得到Rt △A 1O 1F 求此时Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；(3)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度(0＜t ≤6)得到Rt △A 2O 2C 2Rt △A 2O 2C 2与Rt △OED 重叠部分的图形面积记为S 求S 与t 之间的函数解析式并写出自变量t 的取值范围．解：(1)y ＝－427x 2＋89x ＋4D(64)(2)如图①∵点F 是抛物线y ＝－427x 2＋89x ＋4的顶点∴F(3163)∴FH ＝43∵GH ∥A 1O 1∴GH A 1O 1＝FH FO 1∴GH 3＝434∴GH ＝1∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分是梯形A 1O 1HG ∴S 重叠部分＝S △A 1O 1F －S △FGH ＝12A 1O 1×O 1F －12GH ×FH ＝12×3×4－12×1×43＝163(3)当0＜t ≤3时如图②设O 2C 2与OD 交于点M 由题意知C 2(t 4)．设直线OD 为y ＝23x 可知M(t 23t)∴S ＝S △MOO 2＝12·t·23t ＝13t 2；当3＜t ≤6时如图③设A 2C 2与OD 交于点M O 2C 2与OD 交于点N 此时A 2(t －30)C 2(t 4)可求直线A 2C 2为y ＝43x ＋(4－43t)由直线A 2C 2与直线OD 交于点M＝43x ＋（4－43t ）＝23x＝2t －6＝43t －4即M(2t －643t －4)在△MOA 2中OA 2＝t －3点M 到OA 的距离y M ＝43t －4∴S △MOA 2＝12OA 2·y M ＝12(t －3)(43t －4)＝23t 2－4t ＋6在△ONO 2中N(t 23t)∴S △ONO 2＝12OO 2·O 2N ＝12·t·23t ＝13t 2∴S ＝S △ONO 2－S △MOA 2＝13t 2－(23t 2－4t ＋6)＝－13t 2＋4t －6.综上所述S 与t 的函数解析式为S ＝错误!。

2017年四川省各市中考数学试题汇总(12套)

1．﹣2的倒数是（）
A． B． C．2D．﹣2
2．随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2016年国民出境旅游超过120000000人次，将120000000用科学记数法表示为（）
A．1.2×109B．12×107C．0.12×109D．1.2×108
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
2017年四川省南充市中考数学试题（含答案）
2017年四川省宜宾市中考数学试题（含答案）
2017年四川省成都市中考数学试题（含答案）
2017届四川省自贡市毕业生学业考试（中考）数学试卷（含答案）
2017年四川省达州市中考数学试题（含答案）
2017年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．化简：．
21．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
（1）在表中：m=，n=；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在组；
16．对于函数，我们定义（为常数）．
例如，则 .
已知： .
（1）若方程有两个相等实数根，则m的值为；
（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．
17．计算：．
18．求不等式组的所有整数解．
19．如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．

中考数学专题12探索性问题(第03期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

一、选择题目1．（2017四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则1a1+1a2+1a3+⋯+1a19的值为（）A．2021B．6184C．589840D．4217602．（2017四川省达州市）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π3．（2017江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4B．C．2D．04．（2017重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A ．116B ．144C ．145D ．150 二、填空题目 5．（2017山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x 轴无交点的函数解析式：．6．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是．三、解答题7．（2017四川省南充市）如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =14AB ．（1）求证：EF ⊥AG ；（2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OABS S ∆∆=，求△P AB 周长的最小值．8．（2017四川省达州市）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．9．（2017四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：()()22 122121 PP x x y y =-+-他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：122x xx+=，122y yy+=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数43y x=（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．10．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．（2017山东省枣庄市）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F 在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC 的度数．12．（2017山西省）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C 的⊙O的切线交于点D．（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．13．（2017江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．14．（2017江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．15．（2017江苏省盐城市）（探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tan B =tan C =43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．16．（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB ．AC 上，且AD =AE ，连接BE 、CD ，交于点F ．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．17．（2017江苏省连云港市）问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE =DG ，求证：2ABCDEFGHS S 矩形四边形．（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S四边形EFGH =S矩形ABCD +S．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S四边形EFGH 、S矩形ABCD与S之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S四边形EFGH=11，HF，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．18．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．祝你考试成功!祝你考试成功!。

四川省中考数学复习难题突破专题十一：数学文化

难题突破专题十一数学文化数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。

在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．类型1 以科技或数学时事为题材1 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图Z11－1，图Z11－2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( )图Z11－1图Z11－2A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d例题分层分析(1)根据题目所给的直观图，你发现“牟合方盖”有哪些特征？(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么？|针对训练|1．[2019·湖州] 七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图Z11－3所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是( )图Z11－3图Z11－42．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．图Z11－5 图Z11－63．[2019·江西] 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图Z11－6，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为________．4．[2019·威海] 阅读理解：如图Z11－7①，⊙O与直线a，b都相切．不论⊙O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变(等于⊙O的直径)．我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图②是利用圆的这一特性的例子．将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．图Z11－7拓展应用：如图Z11－8①所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c，d间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于2 cm，则莱洛三角形的周长为________cm.图Z11－8类型2 以数学名著为题材2 《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图Z11－9所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )图Z11－9A．2 B．4＋2 2C．4＋4 2 D．6＋4 2例题分层分析(1)通过阅读，你知道“堑堵”是什么样的图形吗？(2)根据“堑堵”的定义，你能推断出该几何体的底面是什么图形？侧面又是什么图形？|针对训练|1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A．134石 B．169石 C．268石 D．338石2．[2019·荆州] 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A．x2－6＝(10－x)2 B．x2－62＝(10－x)2 C．x2＋6＝(10－x)2 D．x2＋62＝(10－x)23．[2019·眉山] “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图Z11－10获得，则井深为( )图Z11－10A．1.25尺 B．57.5尺C．6.25尺 D．56.5尺4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551135．[2019·自贡] 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可以列方程组为________．图Z11－116．[2019·遵义] 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图Z11－11)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)7．[2019·北京] 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图Z11－12所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．图Z11－12(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图Z11－13所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．图Z11－139．[2019·宜昌] 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12()m 2－n 2，b ＝mn ，c ＝12()m 2＋n 2.其中m>n>0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n ＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．10．[2019·福建]我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．类型3 以数学名人为题材3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n.记第n 个k 边形数为N(n ，k )(k≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式．三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测，N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________． |针对训练|1．[2019·黔东南州] 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用图Z11－14的三角形解释二项和(a ＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a ＋b)0…………… ① (a ＋b)1……………① ① (a ＋b)2…………① ② ① (a ＋b)3………① ③ ③ ① (a ＋b)4……① ④ ⑥ ④ ① (a ＋b)5…① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ①…… ……图Z11－14根据“杨辉三角”请计算(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为( ) A ．2019 B ．2019 C ．191 D ．1902．[2019·云南] 正如我们小学学过的圆锥体积公式V ＝13πr 2h(π表示圆周率，r 表示圆锥的底面半径，h 表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 3π，则这个圆锥的高等于( )A ．5 3πB ．5 3C ．3 3πD ．3 33．[2019·株洲] 如图Z11－15，若△ABC 内一点P 满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°.若Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ 的值为( )图Z11－15A ．5B ．4C ．3＋ 2D ．2＋ 24．[2019·乐山] 庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图Z11－16①，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋＋….图Z11－16②也是一种无限分割：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将△ABC 分成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n －2C n －1C n 、….假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__________．图Z11－16参考答案类型1 以科技或数学时事为题材例 1 A [解析] 当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线．故选A.[赏析] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．试题从识“图”到想“图”，再到构“图”，要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”、“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查，值得我们注意．|针对训练| 1．C2.45[解析] 如图，∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，∴大正方形边长AD ＝5，小正方形的边长EF ＝1.设DE ＝AF ＝x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴(x ＋1)2＋x 2＝52，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝3，即DE ＝3，AE ＝3＋1＝4，∴cos θ＝cos ∠DAE ＝AE AD ＝45.3．－3 [解析] 根据题意可知正放表示正数，斜放表示负数，组合在一起表示相加，由正放2根，斜放5根组合在一起表示(＋2)＋(―5)＝－3.4．2π [解析] 由题意知，莱洛三角形周长是半径为2，圆心角是60°的三段弧长的和，60π×2180×3＝2π.类型2 以数学名著为题材例2 C [解析] 依题意得，该几何体为三棱柱，且底面为等腰直角三角形，两直角边长均为2，高为2，所以其侧面积为S ＝2×2＋2 2×2＝4＋4 2，故选C.[赏析] 该题以我国古代数学名著《九章算术》中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景，是一道新概念信息的信息迁移题．试题以三视图为依托，在考查空间想象能力的同时传播数学文化．|针对训练|1．B [解析] 设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得x 1534＝28254，解得x≈169.故选B.2．D [解析] 如图，折断处离地面的高度为x 尺，则AB ＝10－x ，BC ＝6, 在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋62＝(10－x)2.3．B [解析] 如图，由题意，得BC∥DE，从而△ABF∽△ADE，因此BF DE ＝AB AD ，即0.45＝55＋BD ，解得BD＝57.5，所以井深为57.5尺．4．B [解析] 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ，∴275L 2≈13πr 2，而L≈2πr ，代入得π≈258. 5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100 [解析] 根据“大、小和尚共有100人”可得x ＋y ＝100；由“大和尚一人分3个”可知x 个大和尚共分得3x 个馒头，由“小和尚3人分一个”可知y 个小和尚共分得y3个馒头，根据“大、小和尚分100个馒头”可得3x ＋y3＝100，故可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100. 6．46 [解析] 设这群人人数为x ，根据题意得7x ＋4＝9x －8，解得x ＝6，银子的数量为46两． 7．S △AEF ；S △CFM ；S △ANF ；S △AEF ；S △FGC ；S △CFM8．1.6 [解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6.解得x ＝1.6.9．解：当n ＝1时，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m②，c ＝12(m 2＋1)③，因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：情况1：当a ＝5时，即12(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)；情况2：当b ＝5时，即m ＝5，再将它分别代入①③得a ＝12×(52－1)＝12，c ＝12×(52＋1)＝13；情况3：当c ＝5时，即12(m 2＋1)＝5，m ＝±3，因m>0，所以m ＝3，把m ＝3分别代入①②得a ＝12×(32－1)＝4，b ＝3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4. 10．解：设鸡有x 只，兔有y 只．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝12. 答：鸡有23只，兔有12只．类型3 以数学名人为题材例3 1000 [解析] 由N(n ，4)＝n 2，N(n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N(n ，k)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N(n ，24)＝11n 2－10n ，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.|针对训练|1．D [解析] 观察可得(a ＋b)n的展开式中第三项的系数为n （n －1）2，因此，可得(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为190.2．D [解析] 如图，∵圆锥的侧面展开图是个半圆，∴设这个半圆的半径为R ，则AC ＝R ，∴这个半圆的弧长为πR ，设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝πR ，得：R ＝2r ，∴AC ＝2r.由圆锥的母线AC ＝2r ，OC ＝r 得在Rt △AOC 中，h ＝AO ＝3r ，∵圆锥的体积等于9 3π，∴13πr 2·3r ＝9 3π，∴r ＝3，h＝AO ＝3r ＝3 3.3．D [解析] 因为Q 是△EDF 的布洛卡点，所以∠QDF＝∠QFE＝∠QED，又因为∠QFD＝45°－∠QFE，∠QEF ＝45°－∠QED，所以∠QFD＝∠QEF，所以△QDF∽△QFE，所以QF∶EQ＝DQ∶QF＝DF∶EF＝1∶2(△EDF 是等腰直角三角形)，所以DQ∶QF＝1∶2，其中DQ ＝1，所以QF ＝2，且QF∶EQ＝1∶2，所以EQ ＝2，所以EQ ＋FQ ＝2＋ 2.故选D. 4．2 3＝32[1＋34＋(34)2＋(34)3＋…＋(34)n＋…] [解析] 根据三角形的面积来列出等式．由∠ACB＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，可得三角形的面积为12×AC×BC ＝12×2×2 3＝2 3.又因为三角形的面积可表示为n 个三角形的面积和，则可得到12×1×3＋12×32×32＋12×34×3 34＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋…＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋…. 所以根据面积相等得2 3＝2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线平分对角 2．下列运算正确的是（）A.a 5﹣a 3＝a 2B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C.2212a 2a -= D.（﹣2a ）3＝﹣8a 3 3．用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）cm cm D.4cm4．下列命题是真命题的是（）A ．一元二次方程一定有两个实数根B ．对于反比例函数y ＝2x，y 随x 的增大而减小 C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．下列运算正确的是（）A ．2m 2+m 2＝3m 4B ．（mn 2）2＝mn 4C ．2m•4m 2＝8m 2D ．m 5÷m 3＝m 26．下列代数运算正确的是（）A ．x 3•x 2＝x 5B ．（x 3）2＝x 5C ．（3x ）2＝3x 2D ．（x ﹣1）2＝x 2﹣1 7．实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．a b >B ．0a b +>C ．0ac >D ．a c >8．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点C 在x 轴上，函数y=k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点A （2，6），且与边BC 交于点D ．若点D 是边BC 的中点，则OC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3.5D ．39．下列等式，错误的是（）A ．（x 2y 3）2＝x 4y 6B ．（﹣xy ）3＝﹣xy 3C ．（3m 2n 2）2＝9m 4n 4D ．（﹣a 2b 3）2＝a 4b 610．一组数据2，3，8，6，x 的唯一众数是x ，其中x 是不等式组26070x x ->⎧⎨-<⎩的解，则这组数据的中位数是（）A ．3B ．5C ．6D ．811．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．12．我们用[a]表示不大于a 的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[-2.5]=-3；已知,x y 满足方程组[][][][]329,30,x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩则[]2x y +可能的值有 ( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个二、填空题13．明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问郡多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个和笔套5个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x 根，用于制作笔套的短竹数为y 根，则可列方程为：_____．14．分解因式：mn 2﹣6mn+9m=_____．15．DNA 分子的直径只有0.0000002cm ，将0.0000002用科学计数法可表示为________.16．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝33°，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC 的度数为____．17．一个三角板(含30、60角)和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A ，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D 、点E ，且CD CE =，点F 在直尺的另一边上，那么BAF ∠的大小为_____°.18．若一次函数(为常数)的图象经过第二、三、四象限，则的值可以是______(写出一个即可).三、解答题191014sin 601)2-︒⎛⎫++- ⎪⎝⎭.20．（1）计算: 11tan 60|23-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）先化简22x -2x 1x -1+÷x-1-x 1x 1⎛⎫+ ⎪+⎝⎭,然后从. 21．某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于40元/件，设一次性购买x 万件（x ＞10）（1）若x ＝15，则售价应是元/件；（2）若以最低价购买此产品，求x 的值；（3）当x ＞10时，求此产品的利润y （万元）与购买数量x （万件）的关系式；（4）经营中公司发现售出19万件的利润反而比售出24万件的利润还多，在促销条件不变的情况下，为了使每次销售的越多总利润也越多，最低售价应调整到多少元/件？并说明理由． 22．先化简，再求值：22299(6)3a a a a a-+÷+-，其中a 2﹣4a+3＝0． 23．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，P 为⊙O 上一动点（P ，A 分别在直线BC 的两侧），连接PC ．（1）求证：∠P ＝2∠ABC ；（2）若⊙O 的半径为2，BC ＝3，求四边形ABPC 面积的最大值．24．等边△ABC 与正方形DEFG 如图1放置，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD ＝BE ．（1）求∠DEB 的度数；（2）当正方形DEFG 沿着射线BC 方向以每秒1个单位长度的速度平移时，CF 的长度y 随着运动时间变化的函数图象如图2所示，且当y 有最小值1；①求等边△ABC 的边长；②连结CD ，在平移的过程中，求当△CEF 与△CDE 同时为等腰三角形时t 的值；③从平移运动开始，到GF 恰落在AC 边上时，请直接写出△CEF 外接圆圆心的运动路径的长度．25．先化简，再求值：111()a a a ⎛⎫+-⎪-⎝⎭，其中a=12 ．【参考答案】***一、选择题二、填空题 13．8300035x y x y +=⎧⎨=⎩. 14．m （n ﹣3）215．×10-716．17°17．15°18．-1（答案不唯一）三、解答题19．-1【解析】【分析】原式第一项利用二次根式的法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果；【详解】原式＝412+-，＝1，＝﹣1．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）0；（2）12或-12. 【解析】【分析】（1）指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值的意义进行计算；（2）先通分做分式的加减法，再将除法转变成乘法，然后把多项式因式分解并进行约分化简.最后选择合适的数代入求值.【详解】解：(1)原式(2)原式=22-21-1x x x +÷-11x x +-()-1x =()()()2-11-1x x x +÷()()-1--111x x x x ++ =-11x x +÷()2-1--11x x x + =-11x x +÷2-1x x x + =-11x x +·()11x x x +-=-1x.∵满足-2,-1,0,1,2,又∵x=±1或x=0时,分母的值为0,∴x 只能取-2或2.当x=-2时,原式=12,当x=2时,原式=-12.(答对两种情况之一即得满分)故答案为：12或-12. 【点睛】本题第1小题考查了实数的加减混合运算，整数指数幂，锐角三角函数值等知识点.第2小题考查了分式的四则混合运算和化简求值.熟练掌握实数和分式的运算法则是关键.21．（1）70（2）x=30（3）y ＝﹣2x 2+80x （10＜x ＜30）（4）当x ＝20时，最低售价为60元/件【解析】【分析】（1）由一次性购买x 万件时，售价为80﹣2（x ﹣10）＝100﹣2x （元/件），据此将x ＝15代入计算可得；（2）由题意得出100﹣2x ＝40，解之可得；（3）根据总利润＝单件利润×销售量求解可得；（4）由y ＝﹣2x 2+80x ＝﹣2（x ﹣20）2+800，利用二次函数的性质求解可得．【详解】（1）由题意知，一次性购买x 万件时，售价为80﹣2（x ﹣10）＝100﹣2x （元/件），当x ＝15时，100﹣2x ＝70（元/件），故答案为：70；（2）由题意知100﹣2x ＝40，解得：x ＝30；（3）根据题意知，y ＝（100﹣2x ﹣20）x ＝﹣2x 2+80x （10＜x ＜30）；（4）为了使每次销售的越多总利润也越多，最低售价应调整到60元/件，∵y ＝﹣2x 2+80x＝﹣2（x ﹣20）2+800，∴当x≤20时，y 随x 的增大而增大，当x ＝20时，最低售价为60元/件．【点睛】本题主要考查一元一次方程、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．22．14. 【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】原式＝2(3)(3)(3)69a a a a a a a +-⋅-++ ＝23(3)a a a a +⋅+ ＝13a +∵a2﹣4a+3＝0，∴a 1＝1 a 2＝3（舍去）∴原式＝1 4【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．23．（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A+2∠ABC＝180°，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠P＝180°，从而得到结论；（2）由于S△ABC的面积不变，则当S△PBC的面积最大时，四边形ABPC面积的最大，而P点到BC的距离最大时，S△PBC的面积最大，此时P点为优弧BC的中点，利用点A为BC的中点可判断此时AP为⊙O的直径，AP⊥BC，然后利用四边形的面积等于对角线乘积的一半计算四边形ABPC面积的最大值．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠A+2∠ABC＝180°，∵∠A+∠P＝180°，∴∠P＝2∠ABC；（2）解：四边形ABPC的面积＝S△ABC+S△PBC，∵S△ABC的面积不变，∴当S△PBC的面积最大时，四边形ABPC面积的最大，而BC不变，∴P点到BC的距离最大时，S△PBC的面积最大，此时P点为优弧BC的中点，而点A为BC的中点，∴此时AP为⊙O的直径，AP⊥BC，∴四边形ABPC面积的最大值＝12×4×3＝6．【点睛】本题考查了考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，也考查了圆内接四边形的性质．（2）把四边形分成两部分计算其面积并确定此时AP为⊙O的直径时面积最大是关键。

中考数学专题11圆(第03期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)

一、选择题目1．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，AC =5cm ，BC =12cm ，∠ACB =90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2 【答案】B ．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．2．（2017四川省广安市）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB =45，BD =5，则OH 的长度为（）A ．32B ．65C ．1D ．67【答案】D ．【解析】试题分析：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD =∠BHD =90°，∵cos ∠CDB =DHBD=45，BD =5，∴DH =4，∴BH3，设OH =x ，则OD =OB =x +3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得：x 2+42=（x +3）2，解得：x =67，∴OH =67；故选D ．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．3．（2017四川省眉山市）如图，在△ABC 中，∠A =66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为（）A ．114°B ．122°C ．123°D ．132° 【答案】C ．【解析】试题分析：∵∠A =66°，∴∠ABC +∠ACB =114°，∵点I 是内心，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =57°，∴∠BIC =180°﹣57°=123°，故选C ．学*科网考点：三角形的内切圆与内心．4．（2017四川省绵阳市）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB =8cm ，圆柱体部分的高BC =6cm ，圆锥体部分的高CD =3cm ，则这个陀螺的表面积是（）A ．68πcm 2B ．74πcm 2C ．84πcm 2D ．100πcm 2【答案】C．【解析】试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．考点：1．圆锥的计算；2．几何体的表面积．5．（2017四川省达州市）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C．D【答案】A．考点：正多边形和圆．6．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．r << Br << C5r << D．5r <<【答案】B ．【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB==，AC =AD==，AE==，AF==，AG =AM =AN5r <<A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．故选B ．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．推理填空题目．7．（2017山东省济宁市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A ． 6πB ． 3πC ．122π-D ． 12【答案】A．【解析】试题分析：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB，∴S扇形ABD=6π．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=6π．故选A．考点：1．扇形面积的计算；2．等腰直角三角形；3．旋转的性质．学科*网8．（2017广东省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【答案】C．考点：圆内接四边形的性质．9．（2017广西四市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于（）A．2π3B．π3C．2√3π3D．√3π3【答案】A．【解析】试题分析：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，又OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC =OB =OC =2，∴劣弧BC 的长为：602180π⨯ =2π3．故选A ．考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理．二、填空题目10．（2017四川省眉山市）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB =8cm ，DC =2cm ，则OC = cm ．【答案】5．【解析】试题分析：连接OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD =12AB =4cm ，设⊙O 的半径为R ，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=42+（R ﹣2）2，解得R =5，∴OC =5cm ．故答案为：5．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．11．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P．若AB =6，BC=F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =92CE；④S =阴影．其中正确结论的序号是．【答案】．【解析】试题分析：①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF =AB =6，∵AD =BC=DF=3，∴F 是CD中点；∴①正确；②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ，∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ，∴AO OP AF DF =，设OP =OF =x ，则636x x -=，解得：x =2，∴②正确；③∵RT △ADF 中，AF =6，DF =3，∴∠DAF =30°，∠AFD =60°，∴∠EAF =∠EAB =30°，∴AE =2EF ； ∵∠AFE =90°，∴∠EFC =90°﹣∠AFD =30°，∴EF =2EC ，∴AE =4CE ，∴③错误；④连接OG ，作OH ⊥FG ，∵∠AFD =60°，OF =OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG =∠FOG =60°，OHOG，S 扇形OPG =S 扇形OGF ，∴S 阴影=（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S 扇形OGF ﹣S △OFG ）=S 矩形OPDH ﹣32S △OFG=312(222-⨯⨯．∴④正确；故答案为：①②④．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题．12．（2017山东省枣庄市）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则FE的长为．【答案】π．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算．学&科网13．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．14．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若CF =2，DF =4，求⊙O 直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD 、CD ，由AC 为⊙O 的直径知△BCD 是直角三角形，结合E 为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得：BF BDFC AC，得出结论．试题解析：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=，Rt△ADB中，cos∠BAD=34=ADAB，∴34=8AD，∴AD=6，∴BD=，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴BF BDFC AC=，∴103BF=，∴BF=考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．16．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DF A=45，AN=，求圆O的直径的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）503．学&科网【解析】试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DF A=45，∠DF A=∠ACH，∴CHAC=45．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=253，∴圆O的直径的长度为2r=503．考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．17．（2017四川省达州市）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD ACBQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE 2+（3DE ）2=BD 2=4，∴DE=，∴BE=，设OB =OD =R ，∴OE =R﹣，∵OB 2=OE 2+BE 2，∴R 2=（R）2+2，解得：R=，∴⊙O的半径为．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题．18．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BD=BF =2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）BC 与⊙O 相切；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB =90°，从而证得BC 是圆的切线；（2）设OF =OD =x ，则OB =OF +BF =x +2，由勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，即（x +2）2=x 2+12，解得：x =2，即OD =OF =2，∴OB =2+2=4，∵Rt △ODB 中，OD =12OB ，∴∠B =30°，∴∠DOB =60°，∴S扇形AOB =604360π⨯ =23π，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF =12×2×﹣23π=23π-．故阴影部分的面积为23π．考点：1．直线与圆的位置关系；2．扇形面积的计算；3．探究型．19．（2017山东省济宁市）如图，已知⊙O 的直径AB =12，弦AC =10，D 是BC 的中点，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）11．【解析】试题分析：（1）连接OD ，由D 为弧BC 的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE 平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD 与DE 垂直，即可得证；（2）解：过点O 作OF ⊥AC ，∵AC =10，∴AF =CF=12AC =5，∵∠OFE =∠DEF =∠ODE =90°，∴四边形OFED 为矩形，∴FE =OD =12AB ，∵AB =12，∴FE =6，则AE =AF +FE =5+6=11．考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．垂径定理．20．（2017广东省）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF =CE ，只要证明△ACF ≌△ACE 即可；（3）作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，利用相似三角形的性质求出BM ，求出tan ∠BCM 的值即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ，∴∠OCP =∠CEB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，∠BCE +∠OBC =90°，∴∠BCE =∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．（2）证明：连接AC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACF =90°，∠ACE +∠BCE =90°，∵∠BCP =∠BCE ，∴∠ACF =∠ACE ，∵∠F =∠AEC =90°，AC =AC ，∴△ACF ≌△ACE ，∴CF =CE ．（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CMPM BM =，∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM=a ，∴tan ∠BCM=BM CM =，∴∠BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算．21．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC =9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．【答案】（1）作图见解析；（2）15+ 【解析】试题分析：（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O ，作射线CO 即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，先求出△ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO 1、四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 均为矩形、四边形OECF 为正方形，得出∠OO 1O 2=60°=∠ABC 、∠O 1OO 2=90°，从而知△OO 1O 2∽△CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案．试题解析：（1）如图①所示，射线OC 即为所求；（2）如图2，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，过点O 1作O 1D ⊥BC 、O 1F ⊥AC 、O 1G ⊥AB ，垂足分别为点D 、F 、G ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为点E ，连接O 2B ，过点O 2作O 2H ⊥AB ，O 2I ⊥AC ，垂足分别为点H 、I ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°、∠A =30°，∴AC =tan 30BC==，AB =2BC =18，∠ABC =60°，∴C △ABC =9++18=27+，∵O 1D ⊥BC 、O 1G ⊥AB ，∴D 、G 为切点，∴BD =BG ，在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，∵BD =BG ，O 1B =O 1B ，∴△O 1BD ≌△O 1BG （HL ），∴∠O 1BG =∠O 1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD=1tan 30O D==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴1212OO OABCC O OC BC∆∆==，∴12OO OC∆=15+，即圆心O运动的路径长为15+考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．学科*网22．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．【答案】（1）y=2x+4；（21112．【解析】试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．试题解析：（1）∵OB=4，∴B（0，4）．∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则420bk b，解得24kb，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴12AD•OB=5，∴12（m+2）•m=5，即22100m m+-=，解得111m 或111m（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B 的运动路径长为：1111211142．考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．学#科网23．（2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=QD的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）143π；（3）4＜OC＜8．（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴∠AOP =∠BOQ ，∴P 、O 、Q 三点共线，∵在Rt △BOQ 中，cos B =43382QB OB==，∴∠B =30°，∠BOQ =60°，∴OQ =12OB =4，∵∠COD =90°，∴∠QOD =90°+60°=150°，∴优弧QD 的长=2104180π⨯=143π；（3）∵△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8．考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．24．（2017河北省）平面内，如图，在ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A =43．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；（2）当tan∠A tan A=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）100°或80°；（2）（3）16π或20π或32π．【解析】试题分析：（1）根据点Q与点B和PD的位置关系分类讨论；（2）因为△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的长，只需求PB，过点P作PH⊥AB于点H，确定BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB；（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ．∵tan∠A tan A=:3:2PH PHHB AH=，∴HB=3：2．而AB=10，∴AH=6，HB=4．在Rt△PHA中，PH=AH·tan A=8，∴PQ=PB==Rt△PQB中，QBPB=（3）①点Q在AD上时，如图3，由tan A=43得，PB=AB·sin A=8，∴扇形面积为16π．②点A 在CD 上时，如图4，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，交CD 延长线于点K ，由题意∠K =90°，∠KDP =∠A ．设AH =x ，则PH =AH ·tan A =43x ．∵∠BPH =∠KQP =90°-∠KPQ ，PB =QP ，∴Rt △HPB ≌Rt △KQP ．∴KP =HB =10-x ，∴AP =53x，PD =()5104x -，AD =15=()551034x x +-，解得x =6．∵22280PB PH HB =+=，∴扇形的面积为20π．③点Q 在BC 延长线上时，如图5，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，由①得BM =8．又∠MPB =∠PBQ =45°，∴PB =，∴扇形面积为32π．所以扇形的面积为16π或20π或32π．考点：1．解直角三角形；2．勾股定理；3．扇形面积的计算；4．分类讨论；5．压轴题．25．（2017浙江省丽水市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15．【解析】试题分析：（1）只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；（2）连接CD ．∵∠ADE =∠A ，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ADC 中，DC 12，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+122，在Rt △ABC 中，BC 2=（x +16）2﹣202，∴x 2+122=（x +16）2﹣202，解得x =9，∴BC 15．考点：1．切线的性质；2．勾股定理．26．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）只要证明∠AEP =∠ABP =45°，∠P AB =90°即可解决问题；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=2PM，PB=2PN，∴22PC PB+=222()PM PN+ =222()AN PN+=22PA =2PE =22 =4．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等腰直角三角形．27．（2017湖北省襄阳市）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧BC的长l．【答案】（1）证明见解析；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=12∠DOC ，∠OAC=12∠BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=12DEDC=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l=602180π⨯=23π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．祝你考试成功!祝你考试成功!。

2017四川成都中考数学试卷解析版

2017年四川省成都市中考数学试卷满分：150分版本：湘教版A 卷共100分一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分）1．（2017四川成都，3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为 A ．零上3℃ B ．零下 3℃ C ．零上7℃ D ．零下7℃ 答案：B ，解析：若气温为零上10℃记作＋10℃，由相反意义的量的意义，则－3℃表示气温为零下 3℃ ．2．（2017四川成都，3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其俯视图是A ．B ．C ．D ．答案：C ，解析：俯视图是对几何体从上向下看的正投影，故选C ．3．（2017四川成都，3分）总预算647亿元的西成高速预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时.用科学计数法表示647亿为 A ．664710⨯B ．86.4710⨯C ．106.4710⨯D ．116.4710⨯答案：C ，解析：647亿＝8821064710 6.471010 6.4710⨯=⨯⨯=⨯．4．（2017四川成都，3分）二次根式1x -中，x 的取值范围是 A ．x ≥1 B ．x >1 C ．x ≤1 D ．x <1 答案：A ，解析：由x －1≥0得．x ≥1.5.（2017四川成都，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C .D ．答案：D ，解析：A 是轴对称图形．故A 不合题意；B 是中心对称图形，故B 不合题意；C 是轴对称图形．故C 不合题意；D 既是轴对称图形又是中心对称图形，故D 符合题意.6．（2017四川成都，3分）下列计算正确的是 A ．5510a a a += B ．76a a a ÷=C ．326a a a ⋅=D ．326()a a -=-答案：B ，解析：A ．5552a a a +=，故A 错误；B ．76a a a ÷=正确；C ．325a a a ⋅=，故C错误；D ．326()a a -=，故D 错误.7.（2017四川成都，3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，得分（分）60 70 80 90 100 人数（人）7 12 10 8 3 A ．70分，70分 B ．80分，80分 C ．70分，80分 D ．80分，70分答案：C ，解析：全班有40人，取得70分的人数最多，故众数是70分；把这40人的得分按大小排列后知，中间的数为第20个与第21个，这两个得分都是80分，故中位数是80分．8．（2017四川成都，3分）如图四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA ′＝2∶3，则四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′的面积比为A ．4∶9B ．2∶5C ．2∶3D ．2:3 答案：A ，解析：由位似的性质得，ABCD 和A ′B ′C ′D ′的位似比为2∶3，所以四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′的面积比为4∶9 ．9．（2017四川成都，3分）已知x ＝3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数K 的值为 A ．－1B ． 0C ．1D ．2答案：D ，解析：把x ＝3代入分式方程2121kx k x x --=-，得321223k k --=，解此一元一次方程，得k ＝2．10. （2017四川成都，3分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．20,40abc b ac <-> B ．20,40abc b ac >->C. 20,40abc b ac <-<D ．20,40abc b ac >-<答案：B ，解析：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则a ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴上，由c <0，对称轴在y 轴的左侧，则2ba->0，所以b <0，所以0abc >；图象与x 轴有两点交点，则240b ac ->，综上，故选B .二、填空题：（每小题3分，共8小题，合计24分）11．（2017四川成都，3分）020171)= .答案：1，解析：020171)1=．12．（2017四川成都，3分）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2∶3∶4，则∠A 的度数为 . 答案：40°，解析：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别是2x ，3x ，4x ，则有2x ＋3x ＋4x ＝180°，解得x ＝20°，所以∠A ＝2x ＝40°．13．（2017四川成都，3分）如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点A（2，1），当x <2时，1y2y .（填“>”或“<”）答案：<，解析：由图象得，点A 的横坐标为2，所以当x <2时，1y <2y .14．（2017四川成都，3分）如图，在□ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线AP 交边CD 于点Q .若DQ ＝2QC ，BC ＝3，则□ABCD 的周长为 .答案：10，解析：由作图知，AQ 是∠BAD 的角平分线.又∵□ABCD ，∴∠DQA ＝∠BAD ，∴DA ＝QD .∵DQ ＝2QC ，BC ＝3，∴DQ ＝3，QC ＝1，∴□ABCD 的周长为2（BC ＋CD ）＝2×5＝10.三、解答题：本大题共6个小题，满分60分． 15．（本小题满分12分，每题6分）（1）（2017四川成都，6212182sin 45()2--+o221222432-⨯+=. （2）（2017四川成都，6分）解不等式组：273(1)423133x x x x -<-⎧⎪⎨+≤-⎪⎩解：整理不等式组，得422x x -<⎧⎨-⎩≤，即41x x >-⎧⎨≤-⎩，所以－4<x ≤－1．16．（2017四川成都，6分）化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中31x =解：原式＝2211111(1)1(1)11x x x x x x x x x ---+÷=⋅=+++-+，将31x =33113==-+17.（2017四川成都，8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将检查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有__________人，估计该校1200 名学生中“不了解”的人数是__________人．（2）“非常了解”的4 人有12,A A 两名男生，12,B B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．解析：（1）由饼图可知“非常了解”为8%，由条形图可知“非常了解”为4人，故本次调查的学生有4508%=（人）；由扇形图可知：“不了解”的概率为18%22%40%30%---=，故1200名学生中“不了解”的人数为120030%360⨯=（人）.（2）树状图：由树状图可知共有12种结果，抽到1男1女分别为1112212212112122A B A B A B A B B A B A B A B A 、、、、、、、共8种．∴82123P ==.18．（2017四川成都，8分）科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离.思路分析：由小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，确定AC ∥BD ，通过已知∠CAB ＝60°，∠CBD ＝45°可得∠C ＝45°．通过作BE ⊥AC ，因为已知AB ＝4，所以先在Rt △AEB 中求得BE 的长，然后再在Rt △CEB 中求得BC 的长.解：由题意知：AB ＝4，∠CAB ＝60°，∠CBD ＝45°，AC ∥BD ，作BE ⊥AC ，∴∠CEB ＝90°，∠EBA ＝90°－∠CAB ＝30°，∠CBE ＝90°－∠CBD ＝45°，∴△CEB是等腰直角三角形.∴BE＝cos304AB⋅︒==∴BC==千米)，即，B，C两地的距离为千米.19.（2017四川成都，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数12y x=与反比例函数kyx=的图象交于A（a，－2），B两点.（1）求反比例函数表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标.思路分析：(1)由点A（a，－2）在正比例函数12y x=图象上可求得a的值，进而得出点A（－4，－2），再由点A（－4，－2）在在反比例函数kyx=的图象上，求得k值，进而求得反比例函数的表达式为8yx=；由A，B两点关于原点O中心对称，求得点B的坐标为（4，2）.(2)设第一象限内反比例函数8yx=点P8(,)aa，根据PC∥y轴，点C在直线12y x=上，表示出PC的长度，利用已知的△POC的面积为3，求出点P的坐标.解：（1）∵点A（a，－2）在正比例函数12y x=图象上，∴122a-=，∴4a=-，∴点A（－4，－2）.又∵点A（－4，－2）在反比例函数kyx=的图象上，∴4(2)8k xy==-⨯-=，∴反比例函数kyx=的表达式为8yx=.∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，∴A，B两点关于原点O中心对称，∴点B的坐标为（4，2）.（2）如图，设第一象限内反比例函数8yx=点P8(,)aa，∵PC∥y轴，点C在直线12y x=上，∴点C的坐标为1(,)2a a，∴2181622aPC aa a-=-=，∴2211161632224POCa aS PC a aa∆--=⋅=⋅==，当21634a-=时，解得a==P为7；当21634a -=-时，解得2a =，∴点P 为(2,4). 综上，符合条件的点P 的坐标为47(27,)7，(2,4). 20.（2017四川成都，10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F . （1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EFFD的值；（3）若1EA EF ==，求e O 的半径.思路分析：（1）连接OD ，因为DH AC ⊥于点H ，只需证明//OD AC ，即可得到DH OD ⊥，得证，或者再连接AD ，利用直径所对的圆周角为直角，证明∠ODA ＋∠ADH ＝90°也可；（2）通过证明AEF ODF ∆∆∽，可得到,EF AEFD OD=再利用OD 是△ABC 的中位线，等腰△DEC 的性质，求出AE AC 的比值，进而求得EFFD的值；（3）由EA ＝EF ，OD ∥EC ，可得△ODF 和△BDF 都是等腰三角形，设O e 半径为r ，则DF ＝OD ＝r ，所以BF ＝BD ＝DC ＝DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1，AF ＝AB －BF ＝2r －(r ＋1)＝r －1.通过BFD EFA ∆∆∽，即可求出r .解：（1）连接OD ，∵OB OD =，∴OBD ∆是等腰三角形，OBD ODB ∠=∠ ①，又 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠ ②， ∴ODB OBD ACB ∠=∠=∠， ∴//OD AC ，∵DH AC ⊥，∴DH OD ⊥， ∴DH 是O e 的切线；（2）∵E B ∠=∠，E B C ∠=∠=∠，∴EDC ∆是等腰三角形，又∵DH AC ⊥，点A 是EH 中点，设,4AE x EC x ==，则3AC x =，连接AD ，由090ADB ∠=，即AD BD ⊥，又∵ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 中点，∴OD 是ABC ∆中位线，∴13//,22OD AC OD x =， ∵//OD AC ， ∴E ODF ∠=∠，在AEF ∆和ODF ∆中，E ODFOFD AFE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴AEF ODF ∆∆∽，∴2,332EF AE AE x FD OD OD x ===，∴23EF FD =．（3）设O e 半径为r ，即OD OB r ==， ∵EF EA =， ∴EFA EAF ∠=∠，又∵//OD EC ， ∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， ∴DF OD r ==， ∴1DE DF EF r =+=+，∴1BD CD DE r ===+，∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠， ∵BF BD =，BDF ∆是等腰三角形，∴1BF BD r ==+， ∴()2211AF AB BF OB BF r r r =-=-=-+=-，在BFD ∆与EFA ∆中BFD EFAB E∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∵BFD EFA ∆∆∽，∴11,1EF BF r FA DF r r+==-，解得121515,22r r +-==（舍） ∴综上，O e 的半径为15+．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共20 分，答案写在答题卡上） 21. （2017四川成都，4分）如图，数轴上点A 表示的实数是________.512221=55-1OA +，.22.（2017四川成都，4分）已知12,x x 是关于x 的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根，且221210x x -=，则a =___________.答案：214a =，解析：由题意得，1212+=5=x x x x a ⋅，.∵2212121212()()10,2x x x x x x x x -=+-=∴-=.由22121212()()44x x x x x x -=+-=，即，221544,4a a -=∴=. 23.（2017四川成都，4分）已知O e 的两条直径,AC BD 互相垂直，分别以,,,AB BC CD DA 为直径向外作半圆得到如图所示的图形.现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为1P ，针尖落在O e 内的概率为2P ，则12P P =______________.答案：2π，解析：设O e 的半径为1，则O S π=e ，AO ＝1，AD 2. ∴21211=4[()()]22242S ππ⋅--=阴影，∴该图形的总面积为2π+. ∴112222,,22P P P P ππππ==∴=++. 24．（2017四川成都，4分）在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ，我们把点11,P x y ⎛⎫' ⎪⎝⎭称为点P 的 “倒影点”．直线1y x =-+上有两点,A B ，它们的倒影点,A B ''均在反比例函数ky x=的图像上．若22AB =k =____________．答案：43-，解析：∵A ，B 两点在直线1y x =-+上，设A （a ，－a ＋1），B （b ，－b ＋1），∴22222()(11)2()(22)AB a b a b a b =-+-++-=-=，∴2()4,2a b a b -=∴-=±.∴A ，B 两点的“倒影点”1111(,),(,)11A B a a b b''--.∵点,A B ''均在反比例函数k y x =的图像上，∴111111k a a b b⋅==⋅--，∴(1)(1)a a b b -=-，变形因式分解得()(1)0a b a b ---=，∵2a b -=±，∴10a b --=.由210a b a b -=⎧⎨--=⎩解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴1124(2)133k a a =⋅=⨯-=--；由210a b a b -=-⎧⎨--=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1124(2)133k a a =⋅=-⨯=--.综上，43k =-.25.（2017四川成都，4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD ，再沿ADC ∠的平分线DE 折叠，如图2，点C 落在点C '处，最后按图3所示方式折叠，使点A 落在DE 的中点A '处，折痕是FG ．若原正方形纸片的边长为6cm ，则FG =______cm ．答案：210，解析：∵原正方形纸片的边长为6，∴AD ＝6，AB ＝3，DC ′＝CD ＝AB ＝3，∴DE ＝32在图3中，A ′是DE 的中点，折痕是FG ，∴FG 垂直平分AA ′垂足为P ，AF ＝A ′F .作A ′M ⊥AD ，垂足为M ，由A ′M ＝12AB ＝32，AM ＝3＋32＝92， ∴AA ′222239310()()222AM A M '+=+=，∴AP ＝131024AA '=.设AF ＝x ，则FC ′＝3－x ，由222,FA MA MA ''=+即22233()(3)22x x =+-+，解得52x =.作GN ⊥AD ，垂足为N ，∴GF ＝AB ＝3， ∵1122AGF S AF GN GF AP ∆=⋅=⋅，即，151********⨯⨯=⨯，∴210GF =二、解答题（共3个小题，共30分）26.（2017四川成都，8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的,,,,A B C D E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x （单位：千米），乘坐地铁的时间1y （单位：分钟）是关于x 的一次函数，地铁站 ABCDEx （千米）8 9 10 11.5 13 1y （分钟）1820222528（1）求1关于的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用22111782y x x =-+来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间. 解：（1）设乘坐地铁的时间1y 关于x 的一次函数是1y kx b =+，把x ＝8，118y =；x ＝10，122y =代入，得1882210k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴1y 关于x 的函数表达式是122y x =+；（2）设骑单车的时间为y ，12y y y =+，即，22211179221178980(9)2222y x x x x x x =++-+=-+=-+， ∴当9x =时，79=2y 最小（分钟）.∴李华选择从B 地铁口出站，骑单车回家的最短时间为792分钟.27.（2017四川成都，10分）问题背景：如图1，等腰ABC ∆中，0,120AB AC BAC =∠=，作AD BC⊥于点D ，则D 为BC 的中点，01602BAD BAC ∠=∠=，于是23BC BD AB AB==；迁移应用：如图2，ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，0120BAC DAE ∠=∠=，,,D E C 三点在同一条直线上，连接BD .① 求证：ADB AEC ∆≅∆； ② 请直接写出线段,,AD BD CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠BAC ＝120°，在∠BAC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .① 证明：CEF ∆是等边三角形； ②若5,2AE CE ==，求BF 的长．解：迁移应用：①证明：∵ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，0120BAC DAE ∠=∠=， ∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∵∠DAB ＝∠DAE －∠BAE ，∠CAE ＝∠BAC －∠BAE ，∴∠DAB ＝∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ； ②BD 3＝CD .拓展延伸：①证明：如答图所示，连接BE ，作BG ⊥AE ，∵点C 关于BM 的对称点E ，∴BM 垂直平分CE ，∴FE ＝FC ，BE ＝BC ，∴△CEF 和△BEC 都是等腰三角形，∴∠ABG ＝∠EBG ，∠EBF ＝∠CBF ，∴∠GBF ＝∠EBG ＋∠EBF ＝12∠ABC ＝60°， ∴∠GFB ＝30°，∴∠EFC ＝60°，∴△CEF 是等边三角形；②∵AE ＝5，，在等腰三角形ABE 中，GF ＝GA ＝52. ∵EF ＝2，∴GF ＝GE ＋EF ＝9,2在直角三角形GBF 中，∵∠GFB ＝30°，∴FG ＝3BG =，∴BF ＝2333⨯=. 28．（2017四川成都，12分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x轴相交于,A B 两点，顶点为()0,4D ，42AB =，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点为P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．解：（1）∵抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,4D ，42AB = ∴抛物线C 的对称轴是y 轴，A (2,0),(22,0),B -设抛物线C 的解析式为(2)(22)y a x x =+-，即，28y ax a =-，∴84a -=，∴12a =-，抛物线C 的解析式为2142y x =-+；（2）如图，∵点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '，∴(2,4)D m '-，∴设抛物线C '的解析式为21(2)42y x m =--. 令抛物线C '过点D （0，4），有214442m =⋅-，∴24m =，∴2m =（舍去负值）；由221(2)42142y x m y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，有22114(2)422x x m -+=--，即222280x mx m -+-=，当抛物线C '与抛物线C 有唯一交点时，有2222444(28)4320b ac m m m ∆=-=--=-+=，∴m =（舍去负值）.∴m 的取值范围是2<m<（3）∵P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，∴点P 在y ＝x 上，由2142x x =-+，解得122,4x x ==-（不合题意，舍去）， ∴点P 的坐标为（2，2）.∵抛物线C '的解析式为21(2)42y x m =--，F （m ，0），由对称性可知，四边形PMP ′N 能成为正方形，即△PMF 为以F 为顶点的等腰直角三角形.①若0<m ≤2时，如图2①，过点F 、P 、M 分别向坐标轴作垂线交点分别为K 、L ，易得△KPF ≌△LFM ，∴KF ＝LM ＝2，KP ＝FL ＝2－m ，∴M （m ＋2，m －2），代入2142y x =-+中，得2680m m +-=，解得，1233m m =-=-（不合题意，舍去）.②若m >2，如图2②过点F 、P 、M 分别向坐标轴作垂线交点分别为K 、L ，易得△KPF ≌△LFM ， ∴KP ＝FL ＝2－m ，∴M （m －2，2－m ），代入2142y x =-+中，得260m m -=，解得，126,0m m ==（不合题意，舍去）.综上，m 的值为3- 6.。

2017年四川省成都市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. （3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10 C记作+10C, 则-3C表示气温为（）A. 零上3°CB.零下3°CC.零上7°CD.零下7°C2. （3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（）3. （3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（）A. 647X 108B. 6.47X 109C. 6.47X 1010D. 6.47X 10114. （3分）二次根式肚丁可中，x的取值范围是（）A. x> 1B. x> 1C. x< 1D. x v 15. （3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. a5+a5=a10B. a7* a=a6C. a3?a2=a6D. （—a3）2= —a67. （3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：8. （3分）如图，四边形ABCD和A B'C D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA' =2：3,则四边形ABCD与四边形A' B' C D'的面积比为（）A.A.6.巖B^ C.飙D.（3分）下列计算正确的是（得分（分）60 70人数（人）7 12则得分的众数和中位数分别为（）A. 70 分，70 分B. 80 分，80 分80901001083C. 70 分, 80分D. 80 分，70 分D.■1-.A. 4: 9B. 2: 5C. 2: 3D.9.（3分）已知x=3是分式方程一二- 一=2的解，那么实数k的值为（）X'l xA. - 1B. 0C. 1D. 210. （3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A. abc v0, b2-4ac>0B. abc>0, b2 -4ac>0C. abc v0, b2 - 4ac v0D. abc>0, b2 -4ac v0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11. （4 分）（癒斤-1）0= .12.（4 分）在厶ABC中，/ A:Z B:Z C=2: 3: 4,则/ A 的度数为.13. （4分）如图，正比例函数y仁k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A （2,1）,当x v2 时，y1 y2.（填“〉”或“V”）.14. （4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB, AD于点M , N;②分别以M , N为圆心，以大于丄MN的长为半径作弧，两弧相交于点P;③作AP射线，交边CD于点Q,若DQ=2QC BC=3,则平行四边形ABCD周长为-2;三、解答题（本大题共15. （12 分）（1）计14小题，共104分）迈-1| -伍+2sin45°1+迈）X —1 Q16. （6分）化简求值：2…十（1--），其中x 桁-1. x +2 计 1 x+117. （8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解” “了解”“了解较少” “不了解”四类，并将调查结果绘制成下本次调查的学生共有人；“非常了解”的4人有A1, A2两名男生，B1, B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.18. （8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇 C ,小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离.19. （10分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数ypx 的图象与反比例函数的图象交于A （a ，- 2），B 两点.（1）求反比例函数的表达式和点 B 的坐标；（2） P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 P 作y 轴的平行线，交直线 AB 于点C,连接卩0,若厶POC 的面积为3,求点P 的坐标.（2）解不等式组: r 2ic-7<3(K-L )®■|■工+3<(1) 数是 (2)面两个统计图.不了解”的人D,交CA的延长线于点E,过点D作DH丄AC于点H,连接DE交线段OA于点F. （1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求一;的值；■10 1 A 122. （4分）已知x1, x2是关于x的一元二次方程x2 - 5x+a=0的两个实数根，且x12 -x22=10,则a= .23. （4分）已知。

四川省绵阳市2017年中考数学真题试题(含扫描答案)

绵阳市2017年高中阶段学校招生暨初中学业水平考试数学一、选择题：1.中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，5.0-的相反数是（）A ．5.0B ．5.0±C ．5.0-D ．52.下列图案中，属于轴对称图形的是（）3.中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（）A ．71096.0⨯B ．6106.9⨯C ．51096⨯D ．2106.9⨯4.如图所示的几何体的主视图正确的是（）5.使代数式x x 3431-++有意义的整数x 有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是cm 50，镜面中心C 距旗杆底部D 的距离为cm 4，如图所示.已知小丽图象的身高是m 54.1，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离为cm 4，则旗杆的高度等于（）A ．m 10B ．m 12 C. m 4.12 D ．m 32.127.关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则m n 的值为（）A ．8-B ．8 C. 16 D ．16-8.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径cm AB 8=，圆柱体部分的高cm BC 6=，圆锥体部分的高cm CD 3=，则这个陀螺的表面积是（）A ．268cm πB ．274cm π C. 284cm π D ．2100cm π9.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交BC AD ,于FE ,两点.若32=AC ， 120=∠AEO ，则FC 的长度为（）A ．1B ．2 C.2 D ．310.将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数b x y +=2的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（）A ．8>bB ．8->b C.8≥b D ．8-≥b11.如图，直角ABC ∆中， 30=∠B ，点O 是ABC ∆的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作AB EF ⊥交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MF MO的值为（）A ．21B ．45 C.32D ．3312.如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图形中“ ”的个数为1a ，第2 ”的个数为2a ，第3幅图形中“ ”的个数为3a ，…，以此类推，则193211111a a a a ++++ 的值为（）A ．2120B ．8461C.840589D ．760421二、填空题13.因式分解：=-282a ．14.关于x 的分式方程x x x -=+--111112的解是．15.如图，将平行四边形ABCO 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点A 的坐标是)0,6(，点C 的坐标是)4,1(，则点B 的坐标是．16.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是．17.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，DEF ∆绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交CAB ∆的两腰CB CA ,于点N M ,两点.若5=CA ，6=AB ，3:1:=AB AD ，则DNMA MD ⋅+12的最小值为．18.如图，过锐角ABC ∆的顶点A 作BC DE //，AB 恰好平分DAC ∠，AF 平分EAC ∠交BC 的延长线于点F ，在AF 上取点M ，使得AF AM 31=，连接CM 并延长交直线DE 于点H ，若2=AC ，AMH ∆的面积是121，则ACH∠tan 1的值是．三、解答题19.（1）计算：|21|)2(45cos 04.0102----+-；（2）先化简，再求值：y x y xyx x y xy x y x 2)22(222-÷--+--，其中22=x ，2=y . 20.红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗）：182 195 201 179 208 204 186 192 210 204175 193 200 203 188 197 212 207 185 206188 186 198 202 221 199 219 208 187 224（1）对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行分析，请补全下表中空格，并完善直方图：上图所示的扇形统计图中，扇形A 对应的圆心角为度，扇形B 对应的圆心角为度；（2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株？21.江南农场收个小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割2.5公顷.（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用.22.如图，设反比例函数的解析式为)0(3>=k xk y .（1）若该反比例函数与正比例函数x y 2=的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；（2）若该反比例函数与过点)0,2(-M 的直线l ：b kx y +=的图象交于B A ,两点，如图所示，当ABO ∆的面积为316时，求直线l 的解析式.23.如图，已知AB 是圆O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为H ，与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N .（1）求证：CN CA =；（2）连接DF ，若54cos =∠DFA ，102=AN ，求圆O 的直径的长度.24.如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的顶点坐标是)1,2(，并且经过点)2,4(，直线121+=x y 与抛物线交于D B ,两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，圆C 与直线m 交于对称轴右侧的点)1,(t M ，直线m 上每一点的纵坐标都等于1.（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C 与x 轴相切；（3）过点B 作m BE ⊥，垂足为E ，再过点D 作m DF ⊥，垂足为F ，求MF BE :的值.25.如图，已知ABC ∆中，090=∠C ，点M 从点C 出发沿CB 方向以s cm /1的速度匀速运动，到达点B 停止运动，在点M 的运动过程中，过点M 作直线MN 交AC 于点N ，且保持045=∠NMC .再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F ，连接MF ，将MNF ∆关于直线NF 对称后得到ENF ∆.已知cm AC 8=，cm BC 4=，设点M 运动事件为)(s t ，ENF ∆与ANF ∆重叠部分的面积为)(2cm y .（1）在点M 的运动过程中，能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围；（3）当y 取最大值时，求NEF sin 的值.。

【配套K12】四川省达州市2017年中考数学真题试题(含解析1)

四川省达州市2017年中考数学真题试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2的倒数是（）A ．2B ．﹣2C ．12D ．12- 【答案】D ．【解析】试题分析：∵﹣2×（12-）=1，∴﹣2的倒数是12-．故选D ．考点：倒数．2．如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ．考点：简单组合体的三视图． 3．下列计算正确的是（）A ．235a b ab +=B 6=±C ．22122a b ab a ÷= D ．()323526ab a b =【答案】C ．【解析】试题分析：A ．2a 与3b 不是同类项，故A 不正确； B ．原式=6，故B 不正确；C ．22122a b ab a ÷=，正确；D ．原式=368a b ，故D 不正确；故选C ．考点：整式的除法；算术平方根；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．4．已知直线a ∥b ，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 【答案】B ．考点：平行线的性质．5．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm 3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/cm 3，根据题意列方程，正确的是（） A ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．30155113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．30155113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】试题分析：设去年居民用水价格为x 元/cm 3，根据题意列方程：30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5，故选A ．考点：由实际问题抽象出分式方程． 6．下列命题是真命题的是（）A ．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B ．若分式方程()()41111mx x x -=+--有增根，则它的增根是1 C ．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形 D ．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等【答案】C ．考点：命题与定理．7．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C ． D 【答案】A ．【解析】试题分析：如图1，∵OC =2，∴OD =2×sin30°=1；如图2，∵OB =2，∴OE =2如图3，∵OA =2，∴OD =212221+=，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：112⨯．故选A ．考点：正多边形和圆．8．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则一次函数2y ax b =-与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．9．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π【答案】D．考点：轨迹；矩形的性质；旋转的性质；规律型；综合题．10．已知函数()()12030x xy x x⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图象如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A ，B 两点，连接OA 、OB ．下列结论：①若点M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）在图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2； ②当点P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形； ③无论点P 在什么位置，始终有S △AOB =7.5，AP =4BP ；④当点P 移动到使∠AOB =90°时，点A的坐标为（）．其中正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．【解析】试题分析：①错误．∵x 1＜x 2＜0，函数y 随x 是增大而减小，∴y 1＞y 2，故①错误．②正确．∵P （0，﹣3），∴B （﹣1，﹣3），A （4，﹣3），∴AB =5，OA=5，∴AB =AO ，∴△AOB 是等腰三角形，故②正确． ③正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m ，m ），∴PB =﹣3m，PA =﹣12m ，∴PA =4PB ，∵S AOB =S △OPB +S △OPA=31222+=7.5，故③正确． ④正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m ，m ），∴PB =﹣3m，PA =﹣12m ，OP =﹣m ，∵∠AOB =90°，∠OPB =∠OPA =90°，∴∠BOP +∠AOP =90°，∠AOP +∠OPA =90°，∴∠BOP =∠OAP ，∴△OPB ∽△APO ，∴OP PBAP OP =，∴OP 2=PB •PA ，∴m 2=﹣3m•（﹣12m ），∴m 4=36，∵m ＜0，∴m =，∴A （），故④正确，∴②③④正确，故选C ．考点：反比例函数综合题；综合题．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11．达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×106平方米．则原数为平方米．【答案】7920000．【解析】试题分析：7.92×106平方米．则原数为7920000平方米，故答案为：7920000．考点：科学记数法—原数．12．因式分解：3228a ab -= ．【答案】2a （a +2b ）（a ﹣2b ）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．13．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m ，n ，那么点（m ，n ）在函数6y x=图象上的概率是．【答案】13．【解析】试题分析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数6yx=图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数6yx=图象上的概率是：412=13．故答案为：13．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．14．△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．【答案】1＜m＜4．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．15．甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5c m/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为．（并写出自变量取值范围）【答案】y =4.5x ﹣90（20≤x ≤36）．考点：一次函数的应用；动点型；分段函数．16．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P ．若AB =6，BC =F是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =92CE ；④S =阴影．其中正确结论的序号是．【答案】．【解析】试题分析：①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF =AB =6，∵AD =BC =DF =3，∴F 是CD 中点；∴①正确；②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ，∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ，∴AO OP AF DF =，设OP =OF =x ，则636x x-=，解得：x =2，∴②正确；故答案为：①②④．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；综合题．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算：11201712cos453-⎛⎫--++︒⎪⎝⎭．【答案】5．【解析】试题分析：首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．试题解析：原式=1132++5．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．18．国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h ．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A 组为t ＜0.5h ，B 组为0.5h ≤t ＜1h ，C 组为1h ≤t ＜1.5h ，D 组为t ≥1.5h ．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查数据的众数落在组内，中位数落在组内；（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．【答案】（1）B ，C ；（2）960．【解析】试题分析：（1）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；（2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数；众数． 19．设A =223121a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭．（1）化简A ；（2）当a =3时，记此时A 的值为f （3）；当a =4时，记此时A 的值为f （4）；…解关于x 的不等式：()()()27341124x xf f f ---≤+++，并将解集在数轴上表示出来．【答案】（1）21a a+ ；（2）x ≤4．【解析】试题分析：（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．考点：分式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；阅读型；新定义．20．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ．（1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．【答案】（1）5；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC =∠OCE ，∠OFC =∠OCF ，证出OE =OC =OF ，∠ECF =90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．试题解析：（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF =10，∴OC=OE=12EF=5；考点：矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；探究型；动点型．21．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为MN长为3米，求信号塔PQ 的高．（结果不取近似值）【答案】1．【解析】试题分析：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．试题解析：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt △QEN 中，设EN =x ，则EQ =2x ，∵QN 2=EN 2+QE 2，∴20=5x 2，∵x ＞0，∴x =2，∴EN =2，EQ =MF =4，∵MN =3，∴FQ =EM =1，在Rt △PFM 中，PF =FM •tan60°=PQ =PF +FQ =1．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．22．宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系： ()()7.504510414x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2）2150 (04)5110240(414)x x W x x x ≤≤⎧=⎨-++<≤⎩，第11天时，利润最大，最大利润是845元．∴5x+10=70，解得：x=12．答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数．23．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．试题解析：（1）证明：∵PQ ∥AB ，∴∠ABD =∠BDQ =∠ACD ，∵∠ACD =∠BCD ，∴∠BDQ =∠ACD ，如图1，连接OB ，OD ，交AB 于E ，则∠OBD =∠ODB ，∠O =2∠DCB =2∠BDQ ，在△OBD 中，∠OBD +∠ODB +∠O =180°，∴2∠ODB +2∠O =180°，∴∠ODB +∠O =90°，∴PQ 是⊙O 的切线；考点：相似三角形的判定与性质；分式方程的解；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；压轴题．24．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：12PP 2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：122x x x +=，122y y y +=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数43y x =（x ≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）5．试题解析：（1）∵P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），∴Q 1Q 2=OQ 2﹣OQ 1=x 2﹣x 1，∴Q 1Q =212x x -，∴OQ =OQ 1+Q 1Q =x 1+212x x -=122x x + ，∵PQ 为梯形P 1Q 1Q 2P 2的中位线，∴PQ =11222PQ P Q + =122y y +，即线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式为x =122x x +，y =122y y +；（2）①∵M （2，﹣1），N （﹣3，5），∴MN ；（3）如图，设P 关于直线OL 的对称点为M ，关于x 轴的对称点为N ，连接PM 交直线OL 于点R ，连接PN 交x 轴于点S ，连接MN 交直线OL 于点E ，交x 轴于点F ，又对称性可知EP =EM ，FP =FN ，∴PE +PF +EF =ME +EF +NF =MN ，∴此时△PEF 的周长即为MN 的长，为最小，设R （x ，43x ），由题意可知OR =OS =2，PR =PS =n ，=2，解得x =﹣65（舍去）或x =65，∴R （65，85），∴n =，解得n =1，∴P （2，1），∴N （2，﹣1），设M （x ，y ），则22x +=65，12y + =85，解得x =25，y =115，∴M （25，115），∴MN ，即△PEF ．考点：一次函数综合题；阅读型；分类讨论；最值问题；探究型；压轴题．25．如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．（1）①直接回答：△OBC 与△ABD 全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=+的图象l 与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．【答案】（1）①△OBC与△ABD全等；②证明见解析；（2）P（32，-；（3）﹣4912≤m＜0．试题解析：（1）①△OBC与△ABD全等，理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD（SAS）；②∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OBA=∠BAD，∴OB∥AD，∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；∴B（1，设y1的解析式为：y=ax（x﹣4），把B（1a（1﹣4），a=﹣3，∴设y 1的解析式为：y 1=（x ﹣4）=2x x +，过E 作EG ⊥x 轴于G ，Rt △AGE 中，AE =1，∴AG =12AE =12，EG，∴E （52，，设直线AE 的解析式为：y =kx +b ，把A （2，0）和E（522052k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩AE的解析式为：y =-2y y x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得：113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩P （32，-；（3）如图3，y 1=2x +=22)x -+，顶点（2），∴抛物线y 2的顶点为（2，﹣3），∴y 2=2(2)33x --，当m =0时，y =与图形M 两公共点，当y 2与l 相切时，即有一个公共点，l 与图形M 有3个公共点，则：2(2)33y x y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩22)x =-x 2﹣7x ﹣3m =0，△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m ）≥0，m ≥﹣4912，∴当l 与M 的公共点为3个时，m 的取值是：﹣4912≤m ＜0．考点：二次函数综合题；翻折变换（折叠问题）；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．。