【新教材】新人教A版必修一 均值不等式及其应用 教案

均值不等式及其应用课程目标知识提要均值不等式及其应用均值不等式及其应用的知识主要包含：均值不等式的含义和均值不等式的应用及实际应用.均值不等式是指:若a,b >0，则21a +1b ⩽√ab ⩽a +√ab +b ⩽a +b ⩽2(a 2+ab +b 2)⩽√a 2+b 2⩽a 2+b 2. 其中21a +1b称为调和平均数，√ab 称为几何平均数，a+√ab+b3称为希罗平均数，a+b 2称为代数平均数，2(a 2+ab+b 2)3(a+b)称为形心平均数,√a 2+b 22称为平方平均数，a 2+b 2a+b称为反调和平均数．其中常用的是：21a +1b ⩽√ab ⩽a +b 2⩽√a 2+b 22.想要利用均值不等式求代数式的最值，就必须构造出积为定值的若干式子的和的形式或者和为定值的若干式子的积的形式．在利用均值不等式的时候，还需要注意考虑等号取到的条件，对式子进行系数的调整．均值不等式的含义•均值定理如果a，b∈R+，那么a+b2⩾√ab．当且仅当a=b时，等号成立．对任意两个正实数a，b，数a+b2叫做a，b的算术平均值，数√ab叫做a，b的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．均值不等式的实际应用•利用基本不等式解决实际问题的一般步骤:①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．精选例题均值不等式及其应用1. 已知x>0，则f(x)=x+2x的最小值为．【答案】2√2【分析】因为x>0，所以x+2x ⩾2√x⋅2x=2√2,当且仅当x=√2时取等号．2。

已知实数x ,y 满足2x +2y =1，则x +y 的最大值是 ．【答案】 −23. 函数f (x )=3x 2x−2(x >2)的最小值为 ，此时x = ．【答案】 24；4【分析】 设t =x −2，则t >0，且x =t +2，所以y =3(t +2)2t =3(t 2+4t +4)5=3(t +4+4)⩾3(2√4+4)=24,当且仅当t =4t，即t =2，x =4时，式中等号成立,因此，函数y =3x 2x−2(x >2)的最小值为24,此时x =4．4。

已知x ，y 为正实数，且x +y =20，则u =lgx +lgy 的最大值为 ．【答案】 25。

函数f (x )=xx 2+x+4(x >0)的最大值为 ，此时 ．【答案】 15,x =2【分析】 因为x >0，所以f (x )=x x 2+x+4=1x+4x+1．因为x +4x⩾4,所以0<1x+4x+1⩽15．当且仅当x =4x即x =2时,式中等号成立．因此函数f (x )=xx 2+x+4(x >0)的最大值为15，此时x =2．6。

已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列,x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a+b )2cd的最小值是 ．【答案】 47。

已知x，y，z均为正数,则xy+2yzx2+y2+z2的最大值是．【答案】√52【分析】xy+2yzx2+y2+z2=xy+2yzx2+15y2+45y2+z2⩽xy+2yz2√5xy+4√5yz=√52．8. 已知x1≠x2,设y1=x1+2x23,y2=x2+2x13，则x1x2与y1y2的大小关系为．【答案】x1x2<y1y29. 已知:x，y均为正，x+y=1，则xy +1x的最小值为．【答案】3【分析】因为x，y均为正，x+y=1，所以xy +1x=xy+x+yx=xy+yx+1⩾2+1=3，当且仅当x=y=12时,等号成立．10。

函数f(x)=2x−92−2x(x>1)最小值是．【答案】811。

设a>0，b>0．(1)若1a +2b=1,求a+b的最小值；【解】解法一：因为1a +2b=1，a>0，b>0,所以a+b=(a+b)×1=(a+b)(1a +2b)=3+2ab+ba⩾3+2√2ab⋅ba=3+2√2．当且仅当2ab =ba即b=√2a时取等号．所以a+b的最小值是3+2√2, 此时a=1+√2，b=2+√2．解法二：因为1a +2b=1，a>0,b>0，所以b+2a=ab，显然a>1，所以b=2aa−1=2+2a−1，所以a+b=a+2+2a−1=(a−1)+2a−1+3⩾2√2+3，当且仅当a −1=2a−1即a =1+√2时取等号．所以a +b 的最小值是3+2√2， 此时a =1+√2，b =2+√2．（2)若ab =a +b +3，求ab 的取值范围．【解】 解法一：因为a >0，b >0， 所以a +b ⩾2√ab ，所以ab =a +b +3⩾2√ab +3, 所以(√ab)2−2√ab −3⩾0, 得√ab ⩾3，ab =⩾9,所以ab 的取值范围是[9,+∞)． 解法二：因为ab =a +b +3，所以a ≠1，b =a+3a−1． 因为a >0，b >0， 所以a >1， 所以ab =a (a+3)a−1． 设t =a −1，则t >0,a (a+3)a−1=(t+1)(t+4)t =t 2+5t+4t =t +4t +5⩾4+5=9，所以ab 的取值范围是[9,+∞)．12。

已知x <−2,求函数y =2x 2+4x+1x+2的最值．【解】 y =2x 2+4x+1x+2=2(x+2)2−4(x+2)+1x+2=2(x +2)+1x+2−4．由x <−2，得x +2<0,即−(x +2)>0，所以2(x +2)+1x+2=−[−2(x +2)+1−(x+2)]⩽−2√2(x +2)⋅1(x+2)=−2√2． 当且仅当−2(x +2)=1−(x+2),即x =−4+√22时等号成立．当且仅当x =−4+√22时,函数有最大值−4−2√2．13。

某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200 m 2，高度一定的三段污水处理池（如图），由于受地形限制，其长、宽都不能超过16 m ，如果池的外壁的建造费单价为400元/ m ，池中两道隔墙的建造费单价为248元/ m ，池底的建造费单价为80元/ m 2，试设计水池的长x 和宽y (x >y )，使总造价最低，并求出这个最低造价．【解】 设污水池长为x m ,则宽为200x m ， 且0<x ⩽16，0<200x⩽16,两道隔墙与宽边平行时,造价较省，设总价为Q (x ),则Q (x )=400(2x +2×200x)+248×2×200x+80×200=800(x +324x)+16000⩾1600√x ⋅324x+16000=44800,当且仅当x =324x (x >0),即x =18时取等号， 所以44800不是最小值，又因为0<x ⩽16，0<200x⩽16，所以12.5⩽x ⩽16，而Q (x )在[12.5,16]上单调递减， 所以Q (x )⩾Q (16)=800(16+32416)+16000=45000(元)，故水池长为16 m ，宽为12.5 m 时,其总造价最低，最低造价为45000元．14. 某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分若干批生产，设每批生产需要投入固定费用75元,而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知每批生产10吨时，直接消耗的费用为300元（不包括固定费用）．(1)求此产品在一个生产周期内的总费用（固定费用和直接消耗的费用)与每批生产量的函数关系式；【解】 设每批生产量为x 吨，总费用为y 元,由题意可算出正比例系数k =300100=3，所以y =100x ⋅75+100x ⋅3x 2=7500x +300x (0<x ⩽100,100x∈N ∗).(2）求出平均分多少批生产时总费用最小，并求出此时的最小总费用．【解】 因为y =7500x +300x ⩾2√7500x⋅300x =3000, 当且仅当7500x=300x ,即x =5时，y min =3000，此时应分20批．所以，平均分20批时，总费用最小，最小值为3000元．15. 如图，树顶A距地面7.7 m,树上另一点B离地面4.7 m,人眼C离地面1.7 m．问:人离此树多远时，看树冠AB这一段的的视角最大?（精确到0.01 m)【解】设人离此树d m，从点C看A、B的仰角分别为α、β，所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=6d−3d1+18d2=3d+18d⩽2√18=√24．当d=18d时,即d=3√2≈4.24 m时，视角最大．16. 如图所示，在某公园的一块绿地上划出一个矩形区域，在这个矩形区域的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积都为200 米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方均为2米宽的走道,问每个池塘的长宽各为多少米时（记池塘的长为x米),这个矩形区域占地面积最少?并求出这个最小值．【解】设池塘的长为x(x>0)米,则池塘的宽为200x米，令矩形区域的面积为y平方米，则有y=(2x+6)(200x+6)=4[109+3(x+100x)]⩾4(109+3×20)=676.当且仅当x=100x ，即x=10时，y min=676,这时200x=20．答:池塘的长和宽分别为10米，20米,矩形区域的面积最小为676平方米．17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x m,宽为y m．（1)若菜园面积为72 m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小?【解】由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．∵x+2y⩾2√=24，当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．∴菜园的长x为12 m,宽y为6 m时，可使所用篱笆总长最小．(2)若使用的篱笆总长度为30 m,求1x +2y的最小值．【解】由已知得x+2y=30,∵(1x +2y)⋅(x+2y)=5+2yx+2xy⩾5+2√2yx⋅2xy=9，∴1x +2y⩾310，当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．∴1x +2y的最小值是310．18. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x⩾10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位:元）．（1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式．【解】 依题意得y =(560+48x )+2160×100002000x=560+48x +10800x（x ⩾10，x ∈N ∗）．（2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总费用）【解】 因为x >0，所以48x +10800x⩾2√48×10800=1440,当且仅当48x =10800x，即x =15时取到“ = ”，此时，平均综合费用的最少值为560+1440=2000（元)．所以当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．19。